Klassische Mechanik E-Book

Herbert Goldstein

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 938

Veröffentlichungsjahr: 2012

Beschreibung

Der Goldstein gehört zu den Standardwerken für die Vorlesung in Klassischer Mechanik, die Pflichtvorlesung und Teil des Theorie-Lehrplans jedes Physik-Studienganges ist. Der von Beginn an hohe mathematische Anspruch der theoretischen Physik, der gerade in der ersten Vorlesung viele überraschend trifft, lässt zwei Gruppen von Studierenden entstehen: jenen, die mathematisch und theoretisch begabt sind, sich evtl. später zur theoretischen Physik hin orientieren und mit der Vorlesung wenig Probleme haben; und jenen, die zwar z.B. experimentell begabt sind, indes Schwierigkeiten haben, den abstrakten Formalismus auf die Physik etwa des Praktikums zu übertragen. Erstere Gruppe nutzt für die theoretische Physik Lehrbücher, die hohes Niveau voraussetzen und mathematisch streng die Formeln herleiten; letztere Gruppe benötigt Werke, welche die Formeln ausführlicher erklären und mit vielen Beispielen illustrieren. In der ersteren Gruppe haben sich Klassiker wie "Jackson: Classical Electrodynamics" etabliert, die seit Jahrzehnten sowohl von Studenten gelobt als auch von Dozenten empfohlen werden. Der "Goldstein" gehört in diese Kategorie. Für diese aktuelle Ausgabe haben Charles Poole und John Safko die Texte überarbeitet und neueste Themen, Anwendungen und Notationen eingearbeitet, womit sie den Anforderungen an einen modernen Lehrstoff auf diesem Gebiet gerecht werden. Neu aufgenommene numerische Übungen befähigen die Studenten, Physikprobleme computergestützt zu lösen. Mathematische Techniken werden detailliert eingeführt, so daß der Text auch für Studenten ohne den entsprechenden Hintergrund der Theoretischen Mechanik verständlich ist. Bis zu 40 Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels!

Leseprobe

Contents

Vorwort

1 Die grundlegenden Prinzipien

1.1 Die Mechanik von Massenpunkten

1.2 Die Mechanik eines Systems von Massenpunkten

1.3 Randbedingungen

1.4 Das Prinzip von d'Alembert und die Lagrange-Gleichungen

1.5 Geschwindigkeitsabhängige Potentiale und die Dissipationsfunktion

1.6 Einfache Anwendungen der Lagrange-Gleichungen

2 Variationsprinzipien und die Lagrange-Gleichungen

2.1 Das Hamilton-Prinzip

2.2 Methoden der Variationsrechnung

2.3 Herleitung der Lagrange-Gleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip

2.4 Die Erweiterung des Hamiltonschen Prinzips auf Systeme mit Randbedingungen

2.5 Vorteile der Formulierung über ein Variationsprinzip

2.6 Erhaltungssätze und Symmetrieeigenschaften

2.7 Die Energiefunktion und die Erhaltung der Energie

3 Zentralkräfte

3.1 Die Zurückführung auf das äquivalente Einkörperproblem

3.2 Die Bewegungsgleichungen und erste Integrale

3.3 Das äquivalente eindimensionale Problem und die Klassifikation von Bahnen

3.4 Das Virialtheorem

3.5 Die Differentialgleichung für die Bahn und integrierbare Potenzpotentiale

3.6 Bedingungen für geschlossene Bahnen (Theorem von Bertrand)

3.7 Das Keplerproblem: Ein 1/r2-Kraftgesetz

3.8 Die zeitliche Bewegung im Keplerproblem

3.9 Der Laplace–Runge–Lenz-Vektor

3.10 Streuung in einem Zentralkraftfeld

3.11 Transformation des Streuproblems auf Laborkoordinaten

3.12 Das Dreikörperproblem

4 Kinematik starrer Körper

4.1 Die unabhängigen Koordinaten eines starren Körpers

4.2 Orthogonale Transformationen

4.3 Die formalen Eigenschaften der Transformationsmatrix

4.4 Die Eulerschen Winkel

4.5 Cayley–Klein-Parameter und verwandte Größen

4.6 Das Eulersche Theorem über die Bewegung eines starren Körpers

4.7 Endliche Drehungen

4.8 Infinitesimale Drehungen

4.9 Die zeitliche Änderung eines Vektors

4.10 Der Coriolis-Effekt

Theoretische Aufgaben

5 Die Bewegungsgleichungen starrer Körper

5.1 Drehimpuls und kinetische Energie der Bewegung um einen Punkt

5.2 Tensoren

5.3 Der Trägheitstensor und das Trägheitsmoment

5.4 Die Eigenwerte des Trägheitstensors und die Hauptachsentransformation

5.5 Die Bewegung starrer Körper und die Eulerschen Bewegungsgleichungen

5.6 Die Bewegung starrer Körper in Abwesenheit von Drehmomenten

5.7 Der schwere symmetrische Kreisel mit einem festgehaltenen Punkt

5.8 Die Präzession der Äquinoktien und der Bahnen von Satelliten

5.9 Die Präzession geladener Körper in einem Magnetfeld

6 Schwingungen

6.1 Die Formulierung des Problems

6.2 Die Eigenwertgleichung und die Hauptachsentransformation

6.3 Die Frequenzen der freien Schwingung und Normalkoordinaten

6.4 Freie Schwingungen eines linearen dreiatomigen Moleküls

6.5 Erzwungene Schwingungen und die Wirkung dissipativer Kräfte

6.6 Mehr als nur kleine Schwingungen: Das gedampfte angeregte Pendel und Josephson-Kontakte

7 Klassische Mechanik der speziellen Relativitätstheorie

7.1 Die grundlegenden Postulate der speziellen Relativitätstheorie

7.2 Die Lorentz-Transformationen

7.3 Addition von Geschwindigkeiten und Thomas-Präzession

7.4 Vektoren und der metrische Tensor

7.5 1-Formen und Tensoren6

7.6 Kräfte in der speziellen Relativitätstheorie ; Elektromagnetismus

7.7 Relativistische Kinematik von Stößen und Vielteilchensysteme

7.8 Der relativistische Drehimpuls

7.9 Die Lagrange-Formulierung der relativistischen Mechanik

7.10 Kovariante Lagrange-Formulierungen

7.11 Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie

8 Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

8.1 Legendre-Transformationen und die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

8.2 Zyklische Koordinaten und Erhaltungssätze

8.3 Das Routh-Verfahren

8.4 Die Hamiltonsche Formulierung der relativistischen Mechanik

8.5 Ableitung der Hamiltonschen Gleichungen aus einem Variationsprinzip

8.6 Das Prinzip der kleinsten Wirkung

9 Kanonische Transformationen

9.1 Die Gleichungen der kanonischen Transformation

9.2 Beispiele kanonischer Transformationen

9.3 Der harmonische Oszillator

9.4 Die symplektische Formulierung kanonischer Transformationen

9.5 Poisson-Klammern und kanonische Invarianten

9.6 Die Formulierung von Bewegungsgleichungen, infinitesimalen kanonischen Transformationen und Erhältungssätzen mit Poisson-Klammern

9.7 Die Poissonschen Klammerbeziehungen für den Drehimpuls

9.8 Die Symmetriegruppen mechanischer Systeme

9.9 Das Theorem von Liouville

10 Hamilton–Jacobi-Theorie und Wirkungs- und Winkelvariablen

10.1 Die Hamilton–Jacobi-Gleichung für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion

10.2 Der harmonische Oszillator als Beispiel für die Hamilton–Jacobi-Methode

10.3 Die Hamilton–Jacobi-Gleichung für die charakteristische Hamilton-Funktion

10.4 Separation der Variablen in der Hamilton–Jacobi-Gleichung

10.5 Ignorable Variablen und das Kepler-Problem

10.6 Wirkungs- und Winkelvariablen in Systemen mit einem Freiheitsgrad

10.7 Wirkungs- und Winkelvariablen in vollständig separierbaren Systemen4

10.8 Das Kepler-Problem in Wirkungs- und Winkelvariablen'

11 Klassisches Chaos

11.1 Periodische Bewegungen

11.2 Störungen und das Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorem

11.3 Attraktoren

11.4 Chaotische Trajektorien und Liapunov-Exponenten

11.5 Poincare-Abbildungen

11.6 Das Hénon-Heiles-System

11.7 Bifürkationen, der gedämpfte angeregte Oszillator und parametrische Resonanz

11.8 Die logistische Gleichung

11.9 Fraktale und Dimensionalität

12 Kanonische Störungstheorie

12.1 Einführung

12.2 Zeitabhängige Störungstheorie

12.3 Anwendungen der zeitabhängigen Störungstheorie

12.4 Zeitunabhängige Störungstheorie

12.5 Adiabatische Invarianten

13 Die Hamiltonsche und Lagrangesche Formulierung für kontinuierliche Systeme und Felder

13.1 Der Übergang von einem diskreten zu einem kontinuierlichen System

13.2 Der Lagrange-Formalismus für kontinuierliche Systeme

13.3 Der Spannungs–Energie-Tensor und Erhaltungssätze

13.4 Die Hamiltonsche Formulierung

13.5 Relativistische Feldtheorie

13.6 Beispiele für relativistische Feldtheorien

13.7 Das Noether-Theorem

Index

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Die Autoren

Herbert Goldsteint†

Charles P. Poole, Jr.

University of South Carolina, USA

John L. Safko

University of South Carolina, USA

Übersetzung

Dr. Michael Bär

Originaltitel

Classical Mechanics/Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko – Third Edition

© 2002 Pearson Education, Inc.,

publishing as Addison Wesley, 1301

Sansome St., San Francisco, CA 94111.

All rights reserved.

Titelbild

Peter Hesse

3., vollst. überarb. u. erweiterte Auflage 2006

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Bibliografische Information

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© 2006 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

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Print ISBN 9783527405893

Epdf ISBN 978-3-527-66208-1

Epub ISBN 978-3-527-66207-4

Mobi ISBN 978-3-527-66206-7

Vorwort

Die erste Auflage dieses Buchs erschien im Jahr 1950 und wurde so begeistert aufgenommen, dass schon im Folgejahr ein Nachdruck nötig wurde. Über die nächsten drei Jahrzehnte behauptete es seine Position als Standardlehrbuch für die Einführung in die Theoretische Mechanik für Physiker in der ganzen Welt. Dreißig Jahre nach der Erstauflage, im Jahr 1980, erschien die zweite Auflage, die eine völlige Überarbeitung der ersten Auflage bedeutete. Das Vorwort zu dieser zweiten Auflage enthielt den Satz „Ich habe versücht, die Vorzuge der ersten Auflage so weit wie möglich zu erhalten und dabei gleichzeitig die Veränderungen des Fachs selbst und der Lehrinhalte an den Universitäten zu berücksichtigen und Anwendungen auf andere Gebiete aufzunehmen“. Diese Philosophie liegt auch der vorliegenden dritten Auflage zugrunde, die wiederum mehr als zwanzig Jahre nach der zweiten Auflage entstand.

In der zweiten Auflage kam ein Kapitel über Störungstheorie neu hinzu und die Anordnung des Kapitels über kleine Schwingungen wurde geändert. Außerdem wurden viele neue Themen aufgenommen, wodurch sich der Umfang des Buches stark erhöhte. In der vorliegenden Auflage ist ein weiteres Kapitel über nichtlineare Dynamik bzw. Chaos hinzugekommen, dafür wurden mehrere der anderen Kapitel sowie die Anhänge und das Literaturverzeichnis gekürzt und die lange Liste der Symbole ganz entfernt. Die vorliegende Auflage ist daher vom Umfang her vergleichbar mit der vorangegangenen.

In dem Kapitel über die Relativitätstheorie haben wir den komplexen Minkowski- Raum zugunsten der moderneren reellen Metrik aufgegeben. Obwohl uns die komplexe Formulierung am Herzen liegt, überwog letztlich doch der Wunsch, Studenten in der klassischen Mechanik so gut wie möglich auszubilden und ihnen den Weg in andere Gebiete der Physik wie beispielsweise die Feldtheorie oder die Allgemeine Relativitätstheorie zu öffnen, über unsere persönlichen Präferenzen. In diesem Kapitel führen wir einige moderne Schreibweisen wie 1-Formen, Abbildungen und das Keilprodukt ein.

Das Kapitel über Chaos war eine notwendige Ergänzung, da das aktuelle Interesse an der nichtlinearen Dynamik inzwischen einen wesentlichen Anteil an den Anwendungen der klassischen Mechanik ausmacht. Die Mehrzahl der Aufgabenstellungen der klassischen Mechanik und ihrer praktischen Anwendungen enthält Nichtlinearitäten, und es ist für Studenten daher heute unerlässlich, eine Vorstellung von der Komplexität dieser Probleme und den neuen Eigenschaften eines Systems zu haben, die dort auftreten können. Auch die Rolle der fraktalen Dimension für chaotisches Verhalten ist hervorzuheben.

Im gesamten Buch wurden neue Abschnitte hinzugefügt, mit anderen zusammengezogen oder entfernt, wobei die Kürzungen meist durch den Wunsch motiviert waren, den Umfang des Buchs nicht über den der zweiten Auflage hinaus ansteigen zu lassen. Ein Abschnitt über die exakten Eulerschen und Lagrangeschen Lösungen des Dreikörperproblems wurde neu aufgenommen.

In mehreren Fallen haben wir Grafiken hinzugefügt, um Lösungen zu veranschaulichen. Das gedampfte angetriebene Pendel wird als Beispiel diskutiert, um die Funktionsweise von Josephson-Kontakten zu erklären. Der symplektische Ansatz wird verdeutlicht, indem einige der Matrizen explizit ausgeschrieben werden. Der harmonische Oszillator wird nun auch in der anisotropen Variante und in Polarkoordinaten diskutiert. Das abschließende Kapitel über Kontinua und Felder ist nun in der modernen Schreibweise formuliert, die in dem Kapitel über die Relativitätstheorie eingeführt wurde. Die Bedeutung der zweidimensionalen speziellen unitären Gruppe SU(2) und der dreidimensionalen speziellen orthogonalen Gruppe SO(3) werden in einer moderneren Notation diskutiert, und ein Anhang über Gruppen und Matrizen wurde aufgenommen. Einige Tabellen wurden hinzugefügt, um die Eigenschaften von Ellipsen, Vektoren, Vektorfeldern, 1-Formen und kanonischen Transformationen sowie die Beziehungen zwischen der Raumzeit und symplektischen Ansätzen zu erläutern.

Einige der neuen Elemente und Ansätze in dieser dritten Auflage waren bereits im Vorwort zur zweiten Auflage als mögliche Erweiterungen angesprochen worden, beispielsweise die Eigenschaften der Gruppentheorie, Tensoren in nichteuklidischen Raumen oder neuere mathematische Methoden der theoretischen Physik wie Mannigfaltigkeiten. Die Anmerkung „Ein fehlendes Thema, das dennoch Aufmerksamkeit verdient, sind nichtlineare Schwingungen und Fragen der Stabilität“ hat ihren Niederschlag nun in dem neuen Kapitel 11 über klassisches Chaos gefunden. Wir haben lange diskutiert, ob wir dieses Kapitel hinter die Störungstheorie stellen sollen, wohin es logisch gehören würde, oder vor die Störungstheorie, wo es in den Vorlesungen eher behandelt werden wird; letztlich haben wir uns für die zweite Möglichkeit entschieden.

Das mathematische Niveau dieser Auflage ist etwa so hoch wie das der beiden vorhergehenden. Einige Elemente der mathematischen Physik wie die Diskussion hermitescher und unitärer Matrizen haben wir herausgenommen, da sie ihren Platz eher in der Quantenmechanik als in der klassischen Mechanik haben; wenig benutzte Konzepte wie die Dyaden wurden ebenfalls weggelassen. Die Beschreibung von Potenzgesetzen für Potentiale, der Cayley–Klein-Parameter, des Routh-Verfahrens, der zei- tunabhängigen Störungstheorie und des Energie–Impuls-Tensors wurde gekürzt. Die Aufgaben am Ende der jeweiligen Kapitel wurden in „Theoretische Aufgaben“ und „Rechenaufgaben“ unterteilt und wesentlich erweitert.

Wir danken besonders Michael A. Unseren und Forrest M. Hoffman vom Oak Ridge National Laboratory für ihre Zusammenstellung von Fehlern in der zweiten Auflage, die sie im Internet veröffentlichten. Wir hoffen, dass uns in dieser neuen Auflage nicht allzu viele neue Fehler unterlaufen sind. Wir danken unseren Studenten, die mit diesem Buch arbeiten und die eine Reihe von Vorschlagen gemacht haben, die wir im Manuskript berücksichtigen könnten. Professor Thomas Sayetta und Mike Schuette haben hilfreiche Kommentare zu dem Kapitel über Chaos beigesteuert, und Professor Joseph Johnson und James Knight haben geholfen, unsere Gedanken zu Lie-Algebren zu ordnen. Die folgenden Kollegen haben das Manuskript gelesen und haben viele wichtige Vorschläge für Verbesserungen gemacht: Yoram Alhassid (Yale University), Dave Ellis (University of Toledo), John Gruber (San Jose State University), Thomas Handler (University of Tennessee), Daniel Hong (Lehigh University), Kara Keeter (Idaho State University), Carolyn Lee und Yannick Meurice (University of Iowa), Daniel Marlow (Princeton University), Julian Noble (University of Virginia), Muhammad Numan (Indiana University of Pennsylvania), Steve Ruden (University of California, Irvine), Jack Semura (Portland State University), Tammy Ann Smecker- Hane (University of California, Irvine), Daniel Stump (Michigan State University), Robert Wald (University of Chicago), Doug Wells (Idaho State University).

Wir danken E. Barreto, P. M. Brown, C. Chien, C. Chou, F. Du, R. F. Gans, I. R. Gatland, C. G. Gray, E. J. Guala, Jr., S. Gutti, D. H. Hartmann, M. Horbatsch, J. Howard, K. Jagannathan, R. Kissmann, L. Kramer, O. Lehtonen, N. A. Lemos, J. Palacios, R. E. Reynolds, D. V. Sathe, G. T. Seidler, J. Suzuki, , A. Tenne-Sens, J. Williams und T. Yu für Hinweise auf Fehler in den vorhergehenden Ausgaben. Wir danken außerdem Martin Tiersten für Hinweise auf Fehler in den Abbildungen 3.7 und 3.13 in den früheren Auflagen und den ersten Drucken dieser Auflage.

Es war für zwei von uns (CPP und JLS) eine große Ehre, fünfzig Jahre nach der ersten Publikation dieses Klassikers als Koautoren an der dritten Auflage beteiligt sein zu dürfen. Wir haben dieses Buch bewundert, seit wir die klassische Mechanik während unserer Zeit als Doktoranden (CPP 1953 und JSL 160) aus der ersten Auflage lernen durften, und wir haben dieses Werk in vielen Jahren der Lehre in allen seinen Ausgaben immer wieder verwendet. Es ist das Verdienst von Herbert Goldstein, einen solchen Meilenstein der Physikliteratur geschrieben und über Jahre immer wieder aktualisiert und verbessert zu haben.

Abschließend wollen wir unseren Dank und unsere Wertschätzung mit den Worten des Psalms 19,1 zum Ausdruck bringen:

Oi oραvoι διηγoται δoξαν Θo

Im Juli 2002

Flushing,New York

Columbia, South Carolina

Columbia, SouthCarolina

Herbert GoldsteinCharles P. Poole, Jr.John L. Safko

1

Die grundlegenden Prinzipien

Die Bewegung fester Körper war eines der frühesten Gebiete, dem sich die Pioniere der Physik widmeten. Aus ihren Untersuchungen entwickelte sich ein weites Feld, das heute als analytische Mechanik oder Dynamik oder einfach als Mechanik bekannt ist. Im zwanzigsten Jahrhundert entstand die Bezeichnung „klassische Mechanik“ in Abgrenzung zu neueren physikalischen Theorien, insbesondere der Quantenmechanik. Wir werden diesem Gebrauch folgen, werden dabei aber den Teil der Mechanik, der aus der speziellen Relativitätstheorie folgt, mit einschließen. Die Absicht dieses Buches ist, die Struktur der klassischen Mechanik zu entwickeln und einige ihrer Anwendungen vorzustellen, die in der modernen Physik von Interesse sind.

Grundlage jeder Darstellung der Mechanik sind physikalische Konzepte wie Raum, Zeit, Gleichzeitigkeit, Masse und Kraft. Im überwiegenden Teil des Buches werden diese Begriffe nicht kritisch hinterfragt, sondern vielmehr als undefinierte, aber dem Leser vertraute Begriffe vorausgesetzt.

1.1 Die Mechanik von Massenpunkten

Mit r wollen wir den Vektor eines Massenpunkts vom Koordinatenursprung aus gerechnet bezeichnen, mit v entsprechend seine vektorielle Geschwindigkeit, die als

(1.1)

definiert ist. Der lineare Impuls (oder einfach Impuls) p ist als Produkt der Masse und der Geschwindigkeit des Massenpunkts definiert,

(1.2)

Durch Wechselwirkungen mit anderen Objekten oder Feldern köpnnen verschiedene Kräfte auf einen Massenpunkt einwirken, beispielsweise Gravitationskräfte oder elektromagnetische Kräfte. Die Vektorsumme aller Kräfte auf den Massenpunkt ergibt die Gesamtkraft F.

Die Mechanik eines solchen Massenpunkts wird durch das zweite Newtonsche Axiom beschrieben, wonach die Bewegung des Massenpunkts in einem geeigneten Bezugssystem durch die Differentialgleichung

(1.3)

oder

(1.4)

beschrieben wird.

In den meisten Fällen ist die Masse des Massenpunkts konstant, sodass sich Gl. (1.1) auf

(1.5)

reduziert, wobei a die Beschleunigung des Massenpunkts ist, die durch

(1.6)

definiert ist. Die Bewegungsgleichung ist somit eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, wenn wir annehmen, dass F nicht von höheren Ableitungen abhängt.

Ein Bezugssystem, in welchem Gl. (1.3) gilt, heißt Inertialsystem oder Galileisches System. Selbst innerhalb der klassischen Mechanik ist das Konzept eines Inertialsystems eine Idealisierung. Meist ist es aber möglich, ein Koordinatensystem zu wählen, das dieser Idealisierung hinreichend nahe kommt. In vielen Fällen ist ein mit der Erde verbundenes Bezugssystem(Laborsystem) bereits eine hinreichende Annäherung an ein Inertialsystem; in der Astronomie ist es jedoch gelegentlich nötig, ein Inertialsystem durch Bezug auf entfernte Galaxien zu konstruieren.

Viele der wichtigen Ergebnisse der Mechanik können in Form von Erhaltungssätzen ausgedrückt werden, die angeben, unter welchen Bedingungen bestimmte mechanische Größen zeitlich unveränderlich sind. Gleichung (1.3) liefert direkt den ersten solchen Erhaltungssatz, den

Der Drehimpuls eines Massenpunkts um einen Punkt O wird mit L bezeichnet; er ist durch

(1.7)

definiert, wobei r der Radiusvektor von O zu dem Massenpunkt ist; dabei ist die Reihenfolge der Faktoren im Vektorprodukt von Bedeutung. Das Drehmoment um O ist als

(1.8)

definiert. Die zu Gl. (1.3) analoge Gleichung für N erhalten wir, indem wir das Vektorprodukt von r mit Gl. (1.4) bilden,

(1.9)

Mithilfe der Vektoridentität

(1.10)

in welcher der erste Term auf der rechten Seite offensichtlich verschwindet, kann Gl. (1.9) als

(1.11)

geschrieben werden. Dabei hängen sowohl N als auch L von dem Punkt O ab, auf den sie bezogen sind.

Genau wie Gl. (1.1) liefert auch die Drehimpulsgleichung (1.11) einen Erhaltungssatz, und zwar den

Als nächstes betrachten wir die Arbeit, die eine äußere Kraft F bei der Bewegung von einem Punkt 1 zu einem Punkt 2 an einem Massenpunkt leistet. Sie ist definitionsgemäß gleich

(1.12)

Für konstante Masse (was wir im Folgenden stets annehmen werden, sofern nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird) reduziert sich das Integral in Gl. (1.12) auf

und damit wird

(1.13)

Die skalare Größe mv2/2 nennt man die kinetische Energie des Massenpunkts und bezeichnet sie mit T, sodass die geleistete Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie ist,

(1.14)

Wenn das Kraftfeld so beschaffen ist, dass die Arbeit W12 für jeden physikalisch möglichen Weg zwischen 1 und 2 identisch ist, so bezeichnet man die Kraft (und dasb System) als konservativ. Eine alternative Beschreibung eines solchen Systems erhält man, wenn man sich vorstellt, dass der Massenpunkt auf einem beliebigen Weg von Punkt 1 nach Punkt 2 gelangt und danach auf einem anderen Weg wieder zu Punkt 1 zurückkehrt. Wegen der Wegunabhängigkeit von W12 folgt sofort, dass die Arbeit, die entlang eines solchen geschlossenen Weges geleistet wird, null sein muss,

(1.15)

Offensichtlich kann ein System nicht konservativ sein, wenn Reibungs- oder andere Dissipationskräfte vorhanden sind, denn F · d s ist für Reibungskräfte stets positiv, und das Integral kann daher nicht verschwinden.

Nach einem Theorem aus der Vektoranalysis ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Arbeit W12 unabhängig vom Weg ist, den der Massenpunkt nimmt, wenn F als Gradient einer skalaren Funktion des Ortes geschrieben werden kann,