Las trampas de la paradoja E-Book

Nicholas Falletta

• Herausgeber: Gedisa Editorial
• Kategorie: Lebensstil
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2020

Seitenzahl: 133

Beschreibung

No siempre las cosas son lo que parecen. Pero con un poco de curiosidad, conocimiento del lenguaje ordinario y aritmética simple puedes superar las trampas de las verdades aparentes. Nicholas Falletta desafía tu capacidad deductiva y de cálculo invitándote a resolver paradojas de todo tipo: matemáticas, lógicas, científicas y hasta filosóficas. Además del famoso Dilema del cocodrilo o las célebres paradojas de Zenón y de M.C. Escher, podrás entretenerte con enigmáticas construcciones geométricas como el acertijo Bájense de la Tierra, de Sam Lloyd, o la paradoja del conejo eliminado de Paul Curry. Las ilusiones ópticas y las figuras reversibles no faltan, así que podrás divertirte con el ánfora y los rostros de Rubin, el cubo de Necker, la escalera de Schroeder o el libro de Mach. Una fuente inagotable de información y diversión que te hará descubrir el razonamiento falaz y las lógicas imposibles.

Leseprobe

Título original en inglés: Paradoxicon

Doubleday & Company, Inc., 1983

This translation published by arrangement with Doubleday, an imprint of The Knopf Doubleday Group, a division of Penguin Random House, LLC.

Traducción: Daniel Zadunaisky

Diseño de cubierta: Equipo Gedisa

Primera edición, abril de 2020, Barcelona

Derechos reservados para todas las ediciones en castellano.

© Editorial Gedisa, S.A.

Av. Tibidabo, 12, 1o.

08022, Barcelona, España

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Preimpresión: Editor Service, S.L.

www.editorservice.net

eISBN: 978-84-18193-22-4

Queda prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio de impresión, en forma idéntica, extractada o modificada, en castellano o en cualquier otro idioma el certificado medioambiental reconocido.

ÍNDICE

Agradecimiento

Introducción

Figuras ambiguas

La paradoja de Anfibio

La paradoja del barbero

El dilema del cocodrilo

Las paradojas de M. C. Escher

Eliminaciones geométricas

La paradoja Verjo-Rode

La paradoja heterológica

Figuras imposibles

La paradoja del Hotel Infinito

La paradoja de los abogados

La paradoja del mentiroso

Perspectivas paradójicas

Se agradece a las siguientes personas y editoriales el permiso para reproducir material protegido por derechos:

Harry N. Abrams, Inc.: Figura 58, Venus dormida descubierta por Amor, de Henry Kettle, y Figura 50, Castillo, de J. W. Schwenk. De Hidden Images, de Fred Leeman, Joost Elffers y Mike Schuyt. Fotografías de Mike Schuyt. Copyright © 1976 por Harry N. Abrams. Reproducido con permiso de Harry N. Abrams, Inc.

Beeldrecht/Vaga: Figura 18, Manos que dibujan;Figura 20, Día y noche;Figura 21, Límite circular IV;Figura 22, El mirador;Figura 24, Ascenso y descenso;Figura 38, Cascada;Figura 61, Arriba y abajo;Figura 62, Otro mundo;Figura 63, Relatividad.

Bobbs-Merrill Educational Publishing: Pasajes reproducidos en las páginas 197 y 201-2 de Zeno’s Paradoxes. Wesley Simon, editor. Copyright © 1970 por Bobbs-Merrill Educational Publishing.

Paul Curry: Figura 33, «La paradoja del conejo eliminado». Copyright © 1955 por Paul Curry.

Martin Gardner: Figura 49, «Método diagonal de Cantor» y pasaje reproducido en páginas 65-66 de «The Hierarchy of Infinities and the Problems it Spawns». Publicado en Scientific American, marzo de 1966. Copyright © 1966 por Martin Gardner.

Harcourt Brace Jovanovich, Inc.: Pasaje reproducido en páginas 183-84 de Mathematically Speaking, de Morton Davis. Copyright © 1980 por Harcourt Brace Jovanovich, Inc.

Houghton Mifflin Company: Figura 8, «Figura de Shajrazada y el Príncipe» y Figura 9, «Figura de Sherlock Holmes-Robin Hood», de Aha! por Rex Whistler y Laurence Whistler, Copyright 1946 y © 1978 por Laurence Whistler. Reproducido con permiso de Houghton Mifflin Company.

William H. Ittelson: Figura 65, «Dos vistas de la silla de Ames», Ames Demonstrations in Perception, de William H. Ittelson. Copyright © 1952 de Princeton University Press. Reproducido con permiso de William H. Ittelson.

Scott Kim: Figura 15, Upside-down, y Figura 16, lnfinity, de Inversions. Copyright © 1981 de Scott Kim. Figura 42, «Modelo en relieve de un triángulo imposible»; Figura 43, «Modelo curvo de un triángulo imposible»; Figura 44, «Demostración de la imposibilidad de construir un modelo tridimensional del triángulo imposible de Penrose»; Figura 45, «El cuadrilátero alabeado imposible: una ilusión tetradimensional»; Figura 46, «Plano para la construcción de un modelo tridimensional del cuadrilátero alabeado imposible»; Figura 47, «Demostración de la imposibilidad de construir un cuadrilátero alabeado imposible», de «An Impossible Four-dimensional Illusion». Copyright © 1978 por Scott Kim.

McGraw-Hill Book Company: Figura 1, «Figura de la joven vieja de Boring» y Figuras 40 y 41, «Modelos tridimensionales de un triángulo imposible», de The Intelligent Eye, de Richard L. Gregory. Copyright © 1970 por Richard L. Gregory. Reproducido con permiso de McGraw-Hill Book Company.

The National Gallery, Londres: Figuras 56 y 57, Los embajadores y «Detalle de Los embajadores», de Hans Holbein el Joven. Reproducido con permiso de los directores de la National Gallery, Londres.

New York Public Library, Pinacoteca: Figura 2, «La figura del ánfora y los rostros de Rubín»; Figura 3, «Figura de indio-esquimal»; Figura 4, «Figura del pato conejo»; Figura 11, «Escalera reversible de Schroeder»; Figura 34, «Tridente imposible»; Figura 35, «Cuadrilátero imposible»; Figura 51, «Ilusión creada por un plano inclinado»; Figura 53, «Anamorfosis de da Vinci»; Figura 54, ¿Qué veis? de Echard Schön; Figura 55, Fuera, viejo idiota de Echard Schön.

Random House: Figura 23, «Cubos de Necker» y Figura 25, «Escalera imposible de Penrose», de The Magic Mirror of M. C. Escher. Copyright © 1976 por J. A. F. de Rijk.

Time Inc.: Figura 64, «El cuarto de Ames», de Life, 16/1/1950. Fotografía de Eric Shaal. Copyright © 1950 de Time lnc.

A Betty Ann.

AGRADECIMIENTO

Escribir un libro es una tarea esencialmente solitaria, pero nadie la realiza solo. Quiero agradecer los aportes de las siguientes personas. Agradezco a Jeanette Cissman, quien dibujó los croquis y coordinó el trabajo de artes gráficas. No hubiera podido realizar esta obra sin su ayuda y su pericia. Vaya mi agradecimiento especial a Fred Marcellino por su carátula excepcional. Agradezco también a Mary Reid y Toby Wertheim por su ayuda en la investigación bibliográfica. Vaya también mi agradecimiento a Dan Schiller, Beth Murphy, Carolyn Quinn, Ned Levy y otros, quienes me brindaron informaciones útiles a lo largo de varios años. Las siguientes personas leyeron los originales de la obra e hicieron sugerencias útiles: Jane Briscoll, Ellen Rosenbush, Susan McMahon, Morton Davis y Marilyn Davis. Agradezco especialmente a Martin Gardner, quien clarificó la paradoja del as sorpresivo del capítulo «Paradojas de la probabilidad». Agradezco también y muy especialmente a mi hermana Denise Mazza, quien facilitó la realización de la obra en sus aspectos logísticos, y a Peyton Moss, Georgie Remer y el personal de Doubleday que participó en la edición del libro. Agradezco principalmente a mi esposa, Betty Ann, por su aliento y perseverancia.

N. Falletta

INTRODUCCIÓN

Este libro va dirigido al lector que se interesa por las paradojas pero no ha cursado estudios superiores de matemática, lógica, ciencias naturales o filosofía. Las paradojas desarrolladas aquí pertenecen a esas y otras disciplinas, y aunque muchos de estos problemas incluyen conceptos y razonamientos lógicos complejos, para su inteligencia sólo se requieren conocimientos de lenguaje cotidiano y aritmética elemental. El objeto de esta colección es presentar una muestra de la inteligencia y la imaginación de los autores de paradojas en toda su diversidad, pero de ninguna manera pretende ser exhaustiva. El autor ha excluido numerosas paradojas —algunas tan interesantes como las incluidas aquí, otras más complejas— por razones de espacio o porque exigen conocimientos especializados.

De acuerdo con una definición algo antojadiza, una paradoja es una «verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención». Esta afirmación se acerca mucho más a la esencia del término que cualquier definición formal, porque en verdad es muy difícil aprehender el concepto de paradoja.

El término viene del griego (para y doxos) y significa «más allá de lo creíble». En la actualidad la palabra «paradoja» posee toda una gama de acepciones; en su sentido más general designa una afirmación o creencia contraria a las expectativas u opiniones aceptadas. Para los fines de la presente obra el término es un poco más específico e incluye tres acepciones distintas: (1) una afirmación aparentemente contradictoria pero que en realidad es verdadera; (2) una afirmación aparentemente verdadera pero que en realidad contiene una contradicción y (3) un argumento válido o lógico que conduce a conclusiones contradictorias. Evidentemente, las afirmaciones paradójicas de los tipos (1) y (2) son en muchos casos, aunque no siempre, conclusiones derivadas de argumentos del tipo (3). El tema principal de esta obra son los argumentos —sean visuales, lógicos, matemáticos o de otras disciplinas naturales— con los cuales se intenta fundamentar conclusiones paradójicas.

Algunas paradojas son profundas, otras son triviales. Muchas resultan falaces, lo cual no significa necesariamente que sean triviales. En muchas ocasiones, las paradojas falaces han conducido a importantes reestructuraciones de los sistemas en que se enmarcan. Desde luego que no todas las paradojas son falaces; algunas se apoyan en un razonamiento sólido, pero no obstante entrañan conceptos contrarios a la intuición. En éstas, uno se ve forzado a aceptar conclusiones que no por verdaderas parecen menos inesperadas o contrarias al sentido común. Como observa Anatol Rapoport, especialista en comunicaciones y teoría de juegos, en su artículo «Escape from Paradox» (Scientific American, julio de 1967):

Las paradojas han cumplido un papel notable en la historia intelectual, y en numerosas ocasiones se han anticipado a cambios revolucionarios en las ciencias, la matemática y la lógica. Cuando en una disciplina surge un problema que parece insoluble en los marcos conceptuales que aparentemente corresponde aplicar, el investigador sufre una profunda conmoción, que puede llevarlo a descartar el antiguo marco en favor de uno nuevo. Muchas ideas fundamentales de la matemática y de las ciencias se deben a ese proceso de transformación intelectual... De la paradoja de Aquiles y la tortuga, de Zenón, surgió la idea de las series convergentes infinitas. Las antinomias (contradicciones internas en lógica matemática) dieron lugar con el tiempo al teorema de Gödel. El resultado paradójico del experimento de Michelson y Morley con la velocidad de la luz allanó el camino para la teoría de la relatividad. El descubrimiento de la dualidad onda-partícula de la luz obligó a un reexamen del determinismo causal, la base misma de la filosofía de la ciencia, y condujo a la mecánica cuántica. La paradoja del demonio de Maxwell, resuelta por primera vez por Leo Szilard en 1929, posteriormente sirvió para fundamentar la profunda intuición de que dos conceptos en apariencia tan distantes como la información yla entropía están íntimamente ligados.

Se pueden agregar numerosas paradojas que han conducido a profundas modificaciones en nuestra visión del mundo. Como dice Willard V. Quine: «Uno de los rasgos más curiosos de las paradojas es el hecho de que frecuentemente son mucho menos frívolas de lo que parecen».

Independientemente de sus distintos tipos, las paradojas tienden a manifestar ciertas características comunes. La más importante es la contradicción, pero la autorreferencia y el círculo vicioso también aparecen con frecuencia. Por lo general las paradojas también poseen una buena dosis de ambigüedad, y para resolverlas se requiere distinguir entre diversos significados o interpretaciones incorporadas al lenguaje cotidiano o las imágenes que las forman. El adepto debe estar atento a las ambigüedades, la vaguedad y otros signos de razonamiento falaz.

Una reseña histórica de la paradoja en la civilización occidental muestra que han existido tres períodos durante los cuales hubo gran interés por el pensamiento paradójico. El primero sucedió en la antigua Grecia, aproximadamente del quinto al segundo siglo antes de Cristo. De esa época provienen la paradoja del mentiroso y las de Zenón. El interés por las paradojas parece haber disminuido poco antes del nacimiento de Cristo y no resurgió hasta el medioevo, cuando los escolásticos descubrieron los textos clásicos y volcaron su atención a los «problemas insolubles». La siembra de los escolásticos dio sus frutos durante el Renacimiento, cuando se publicaron en Europa occidental más de quinientas antologías de paradojas científicas, literarias y de todo tipo.

El tercer período se inició en la segunda mitad del siglo pasado y se prolonga hasta nuestros días. Entre mediados del siglo XIXy principios del XX se formalizaron la matemática y la lógica, lo cual condujo inevitablemente al estudio de las paradojas, algunas de ellas nuevas y otras muy antiguas y aún no resueltas. Además de obtener un puesto de privilegio en la matemática y la lógica, la paradoja mejoró su reputación en el terreno de las ciencias naturales debido a las conmociones antiintuitivas provocadas por la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.

Esa tendencia se extiende hoy a otras esferas de la actividad intelectual, tales como la psicología, la economía, las ciencias políticas y la filosofía, además de las artes. De ahí las extensas y rigurosas obras que se han publicado acerca del papel de la paradoja en la historia. Esa capacidad de deslumbrar al hombre, de conducirlo a las fronteras del pensamiento y la percepción, hacen pensar que el actual interés por las paradojas es algo más que una moda intelectual pasajera.

FIGURAS AMBIGUAS

Se llama figura ambigua a aquella que puede interpretarse como dos o más imágenes distintas. ¿Qué ve el lector: una bella joven o una bruja vieja y fea? ¿Puede ver las dos imágenes al mismo tiempo?

La figura de la joven-vieja fue creada por el psicólogo norteamericano E. G. Boring. La mirada fluctúa entre las dos imágenes fuertemente contrastadas que la componen.

1. La figura de la joven vieja de Boring

El efecto de reversibilidad se logra mediante trazos que forman parte de dos contextos visuales diferentes. Por ejemplo, cuando la mirada baja de la mejilla y la mandíbula de la joven, los mismos trazos se convierten en la gran nariz ganchuda de la vieja. Asimismo, la gargantilla de la joven es la boca de la vieja.

En este dibujo la figura alterna con el fondo; es decir, en un momento dado, una de las imágenes es la «figura» dominante mientras que la otra sirve de fondo. El desplazamiento de la mirada, aunque facilita la reversión, es absolutamente innecesario. Si se contempla la figura en forma convencional, la reversión se produce de manera espontánea.

La más famosa de estas figuras en las cuales la imagen alterna con el fondo es quizá la del psicólogo dinamarqués Edgar Rubin: una figura ambigua que aparece como dos rostros enfrentados de perfil o como un ánfora formada por el espacio entre aquéllos (figura 2). Según Rubin, «El lector tiene la oportunidad de convencerse de que percibe al fondo como algo informe y, además, de comprender que la interpretación que se hace de un dibujo cuando se lo percibe como figura no es la misma que cuando se lo percibe como fondo».

2. La figura del ánfora y los rostros de Rubin

El mismo efecto de reversión entre figura y fondo se logra con el dibujo del indio-esquimal (figura 3) y con el del pato-conejo (figura 4). En la percepción de este tipo de figuras generalmente se manifiesta una lateralidad vinculada con la de la mano y el cuerpo. Los individuos diestros generalmente ven primero al indio y al pato, los zurdos al esquimal y el conejo.

3. Figura del indio-esquimal

4. Figura del pato-conejo

5. Figura del pago-galgo de Newell y 6. Figura del perro-gato de Newell

7. Retrato de Madame Quilira. Rostros reversibles de un libro llamado Monstrique trata de monstruos reales y ficticios, publicado en Roma alrededor de 1585.

No todas las figuras ambiguas pueden apreciarse desde el mismo ángulo visual. Para pasar del pato al galgo y del perro al gato (figuras 5 y 6, respectivamente) es necesario invertir la página. Estos ejemplos pertenecen al artista gráfico norteamericano Peter Newell, quien a comienzos del siglo XX publicó dos tomos de figuras reversibles bajo el título de Topsys & Turvys.1Algunas cabezas reversibles (figura 7, por ejemplo) datan del siglo XVI. Los dibujos de Shajrazada y el príncipe y Sherlock Holmes-Robin Hood (figuras 8 y 9) son recientes. Ambos pertenecen a la pluma del artista inglés Rex Whistler y fueron utilizados en una campaña publicitaria de la empresa petrolera Shell en la década de 1930. También éstas deben invertirse.

8. Figura de Shajrazada y el príncipe de Whistler y 9. Figura de Sherlock Holmes-Robin Hood de Whistler

Existe otro tipo de figura ambigua en la cual la reversión afecta a la percepción de la profundidad. Un buen ejemplo es el célebre cubo de Necker, llamado así en homenaje a su creador, el cristalógrafo suizo L. A. Necker (figura 10).

10. El cubo reversible de Necker

Esta enigmática paradoja visual es el producto de varios factores. A diferencia de un croquis en perspectiva, en el cual la superficie de adelante es mayor que la de atrás, en el croquis del cubo de Necker ambas superficies tienen las mismas dimensiones. La imagen que se proyecta en la retina puede ser interpretada por el cerebro de dos maneras distintas, de acuerdo con la proyección del cubo visto desde distintas posiciones. El cerebro es incapaz de decidir en qué posición se encuentra el cubo, y oscila constantemente de una a otra.