Más allá de lo creíble E-Book

Nicholas Falletta

• Herausgeber: Gedisa Editorial
• Kategorie: Lebensstil
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2021

Seitenzahl: 145

Beschreibung

¿Te atraen las paradojas y las ilusiones ópticas pero no has cursado estudios superiores de matemática, lógica o filosofía? Con este fascinante libro, repleto de magníficas ilustraciones, te invitamos a entrar en un laberinto de curiosidades mentales y contradicciones increíbles que han marcado la historia y la cultura universales. Podrás sumergirte en un mundo de razón donde nada es lo que parece y encontrar soluciones a dilemas o figuras que te parecerán imposibles. ¿Te gustan las escaleras de Escher? Descubre aquí cómo serían factibles en el espacio exterior. ¿Conoces el célebre dilema del prisionero? Aquí lo encontrarás explicado al detalle. Asimismo, con la ayuda del autor podrás resolver paradojas de la probabilidad, del tiempo o de inversión estadística, entre otras. No tengas miedo, aunque muchas hablen de conceptos sofisticados y razonamiento lógico, ninguna de ellas necesita un conocimiento profundo de la materia.

Leseprobe

Título original en inglés: Paradoxicon

Doubleday & Company, Inc., 1983

This translation published by arrangement with Doubleday, an imprint of The Knopf Doubleday Group, a division of Penguin Random House, LLC.

Traducción: Daniel Zadunaisky

Diseño de cubierta: Equipo Gedisa

Primera edición, 2021, Barcelona

Derechos reservados para todas las ediciones en castellano.

© Editorial Gedisa, S. A.

www.gedisa.com

Preimpresión: Editor Service, S.L.

www.editorservice.net

eISBN: 978-84-18193-40-8

Queda prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio de impresión, en forma idéntica, extractada o modificada, en castellano o en cualquier otro idioma.

ÍNDICE

Agradecimiento

Introducción

La paradoja del vaticinio

El dilema del prisionero

Paradojas de la probabilidad

La paradoja del cuervo

La paradoja del tendero

Paradojas de inversión estadística

Paradojas del tiempo

Paradojas topológicas

La paradoja del examen sorpresa

Ilusiones ópticas

La paradoja del comicio

Las paradojas de Zenón

Bloc de preguntas y respuestas

Se agradece a las siguientes personas y editoriales el permiso para reproducir material protegido por derechos:

Beeldrecht/Vaga: Figura 21, Cinta de Möbius, II; Figura 47, Límite cuadrado, todas de M. C. Escher. Copyright © Beeldrecht, Amsterdam/Vaga, Nueva York. Colección del Haags Gemeentemuseum de La Haya.

Martin Gardner: Figura 6, «La paradoja del segundo as», de «Probability Paradoxes», en Mathematical Puzzles and Diversions. Publicado por Simon and Schuster. Copyright © 1959 por Martin Gardner.

New York Public Library, Pinacoteca: Figura 24, «Ilusión de la galera»; Figuras 38 y 39, «Ilusiones de la cuerda retorcida de Frazier»; Figura 44, «La ilusión de la talla y el bajorrelieve».

A Betty Ann

AGRADECIMIENTO

Escribir un libro es una tarea esencialmente solitaria, pero nadie la realiza solo. Quiero agradecer los aportes de las siguientes personas. Agradezco a Jeanette Cissman, quien dibujó los croquis y coordinó el trabajo de artes gráficas. No hubiera podido realizar esta obra sin su ayuda y su pericia. Vaya mi agradecimiento especial a Fred Marcellino por su carátula excepcional. Agradezco también a Mary Reid y Toby Wertheim por su ayuda en la investigación bibliográfica. Vaya también mi agradecimiento a Dan Schiller, Beth Murphy, Carolyn Quinn, Ned Levy y otros, quienes me brindaron informaciones útiles a lo largo de varios años. Las siguientes personas leyeron los originales de la obra e hicieron sugerencias útiles: Jane Briscoll, Ellen Rosenbush, Susan McMahon, Morton Davis y Marilyn Davis. Agradezco especialmente a Martin Gardner, quien clarificó la paradoja del as sorpresivo del capítulo «Paradojas de la probabilidad». Agradezco también y muy especialmente a mi hermana Denise Mazza, quien facilitó la realización de la obra en sus aspectos logísticos, y a Peyton Moss, Georgie Remer y el personal de Doubleday que participó en la edición del libro. Agradezco principalmente a mi esposa, Betty Ann, por su aliento y perseverancia.

N. Falletta

INTRODUCCIÓN

Este libro va dirigido al lector que se interesa por las paradojas pero no ha cursado estudios superiores de matemática, lógica, ciencias naturales o filosofía. Las paradojas desarrolladas aquí pertenecen a esas y otras disciplinas, y aunque muchos de estos problemas incluyen conceptos y razonamientos lógicos complejos, para su inteligencia sólo se requieren conocimientos de lenguaje cotidiano y aritmética elemental. El objeto de esta colección es presentar una muestra de la inteligencia y la imaginación de los autores de paradojas en toda su diversidad, pero de ninguna manera pretende ser exhaustiva. El autor ha excluido numerosas paradojas —algunas tan interesantes como las incluidas aquí, otras más complejas— por razones de espacio o porque exigen conocimientos especializados.

De acuerdo con una definición algo antojadiza, una paradoja es una «verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención». Esta afirmación se acerca mucho más a la esencia del término que cualquier definición formal, porque en verdad es muy difícil aprehender el concepto de paradoja.

El término viene del griego (para y doxos) y significa «más allá de lo creíble». En la actualidad la palabra «paradoja» posee toda una gama de acepciones; en su sentido más general designa una afirmación o creencia contraria a las expectativas u opiniones aceptadas. Para los fines de la presente obra el término es un poco más específico e incluye tres acepciones distintas: (1) una afirmación aparentemente contradictoria pero que en realidad es verdadera; (2) una afirmación aparentemente verdadera pero que en realidad contiene una contradicción y (3) un argumento válido o lógico que conduce a conclusiones contradictorias. Evidentemente, las afirmaciones paradójicas de los tipos (1) y (2) son en muchos casos, aunque no siempre, conclusiones derivadas de argumentos del tipo (3). El tema principal de esta obra son los argumentos —sean visuales, lógicos, matemáticos o de otras disciplinas naturales— con los cuales se intenta fundamentar conclusiones paradójicas.

Algunas paradojas son profundas, otras son triviales. Muchas resultan falaces, lo cual no significa necesariamente que sean triviales. En muchas ocasiones, las paradojas falaces han conducido a importantes reestructuraciones de los sistemas en que se enmarcan. Desde luego que no todas las paradojas son falaces; algunas se apoyan en un razonamiento sólido, pero no obstante entrañan conceptos contrarios a la intuición. En éstas, uno se ve forzado a aceptar conclusiones que no por verdaderas parecen menos inesperadas o contrarias al sentido común. Como observa Anatol Rapoport, especialista en comunicaciones y teoría de juegos, en su artículo «Escape from Paradox» (Scientific American, julio de 1967):

Las paradojas han cumplido un papel notable en la historia intelectual, y en numerosas ocasiones se han anticipado a cambios revolucionarios en las ciencias, la matemática y la lógica. Cuando en una disciplina surge un problema que parece insoluble en los marcos conceptuales que aparentemente corresponde aplicar, el investigador sufre una profunda conmoción, que puede llevarlo a descartar el antiguo marco en favor de uno nuevo. Muchas ideas fundamentales de la matemática y de las ciencias se deben a ese proceso de transformación intelectual... De la paradoja de Aquiles y la tortuga, de Zenón, surgió la idea de las series convergentes infinitas. Las antinomias (contradicciones internas en lógica matemática) dieron lugar con el tiempo al teorema de Gödel. El resultado paradójico del experimento de Michelson y Morley con la velocidad de la luz allanó el camino para la teoría de la relatividad. El descubrimiento de la dualidad onda-partícula de la luz obligó a un reexamen del determinismo causal, la base misma de la filosofía de la ciencia, y condujo a la mecánica cuántica. La paradoja del demonio de Maxwell, resuelta por primera vez por Leo Szilard en 1929, posteriormente sirvió para fundamentar la profunda intuición de que dos conceptos en apariencia tan distantes como la información yla entropía están íntimamente ligados.

Se pueden agregar numerosas paradojas que han conducido a profundas modificaciones en nuestra visión del mundo. Como dice Willard V. Quine: «Uno de los rasgos más curiosos de las paradojas es el hecho de que frecuentemente son mucho menos frívolas de lo que parecen».

Independientemente de sus distintos tipos, las paradojas tienden a manifestar ciertas características comunes. La más importante es la contradicción, pero la autorreferencia y el círculo vicioso también aparecen con frecuencia. Por lo general las paradojas también poseen una buena dosis de ambigüedad, y para resolverlas se requiere distinguir entre diversos significados o interpretaciones incorporadas al lenguaje cotidiano o las imágenes que las forman. El adepto debe estar atento a las ambigüedades, la vaguedad y otros signos de razonamiento falaz.

Una reseña histórica de la paradoja en la civilización occidental muestra que han existido tres períodos durante los cuales hubo gran interés por el pensamiento paradójico. El primero sucedió en la antigua Grecia, aproximadamente del quinto al segundo siglo antes de Cristo. De esa época provienen la paradoja del mentiroso y las de Zenón. El interés por las paradojas parece haber disminuido poco antes del nacimiento de Cristo y no resurgió hasta el medioevo, cuando los escolásticos descubrieron los textos clásicos y volcaron su atención a los «problemas insolubles». La siembra de los escolásticos dio sus frutos durante el Renacimiento, cuando se publicaron en Europa occidental más de quinientas antologías de paradojas científicas, literarias y de todo tipo.

El tercer período se inició en la segunda mitad del siglo pasado y se prolonga hasta nuestros días. Entre mediados del siglo XIXy principios del XX se formalizaron la matemática y la lógica, lo cual condujo inevitablemente al estudio de las paradojas, algunas de ellas nuevas y otras muy antiguas y aún no resueltas. Además de obtener un puesto de privilegio en la matemática y la lógica, la paradoja mejoró su reputación en el terreno de las ciencias naturales debido a las conmociones antiintuitivas provocadas por la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.

Esa tendencia se extiende hoy a otras esferas de la actividad intelectual, tales como la psicología, la economía, las ciencias políticas y la filosofía, además de las artes. De ahí las extensas y rigurosas obras que se han publicado acerca del papel de la paradoja en la historia. Esa capacidad de deslumbrar al hombre, de conducirlo a las fronteras del pensamiento y la percepción, hacen pensar que el actual interés por las paradojas es algo más que una moda intelectual pasajera.

LA PARADOJA DEL VATICINIO

Imagine el lector a un Ser superior —un dios omnisciente o una computadora superinteligente— capaz de vaticinar la alternativa que escogerá un jugador en determinado juego con precisión casi total. En el juego el Ser coloca ante el jugador dos cajas y una fuerte suma de dinero que éste se llevará en caso de ganar. El jugador puede optar por las dos cajas o por la caja número 2. El comienzo de las cajas depende del vaticinio del Ser de lo que hará el jugador. El vaticinio será uno de dos:

1. Si el Ser vaticina que el jugador optará por las dos cajas, pondrá $1.000 en la caja 1 y nada en la caja 2.

2. Si el Ser vaticina que el jugador optará por la caja 2, pondrá $1.000 en la caja 1 y $1.000.000 en la caja 2.

Si el Ser acierta en su vaticinio —y hasta ahora, que se sepa, jamás ha fallado— el jugador puede ganar $1.000 o $1.000.000. Pero es teóricamente posible, aunque improbable, que el Ser falle en su vaticinio. En tal caso, el resultado será uno de dos:

3. Si el Ser vaticina que el jugador optará por las dos cajas y éste opta por la caja 2, el jugador no gana nada.

4. Si el Ser vaticina que el jugador optará por la caja 2, y éste opta por las dos cajas, el jugador gana las sumas contenidas en las cajas 1 y 2, es decir, $1.001.000.

El Ser explica el mecanismo del juego y los resultados posibles y agrega que las cajas ya contienen el dinero correspondiente a su vaticinio. Corresponde al jugador optar por la alternativa que le redituará la mayor cantidad de dinero. ¿Cuál es la opción lógica para el jugador?

A primera vista puede parecer que el juego no contiene paradoja alguna, ya que sólo se trata de optar. No obstante, hay una paradoja por cuanto existen argumentos igualmente racionales y persuasivos a favor de cualquiera de las dos opciones. Por consiguiente, según Robert Nozick, profesor de filosofía en Harvard, se trata de determinar por qué no se puede aplicar uno de los argumentos a la opción en semejante situación.

Esta paradoja fue creada por William A. Newcomb, físico del laboratorio Livermore de la Universidad de California, pero fue Nozick quien la trajo a la atención de los filósofos, matemáticos y físicos. Él afirma, después de haber presentado el problema a un gran número de personas, entre ellas sus amigos y discípulos, que la gente se divide en dos bandos casi parejos, con argumentos igualmente contundentes a favor de una u otra opción. Los argumentos son los siguientes:

Si el jugador opta por las dos cajas, el Ser, que así lo habrá vaticinado casi con seguridad, habrá colocado $1.000 en la caja 1 y nada en la caja 2. Por consiguiente, el jugador gana $1.000. En cambio, si el jugador opta por la caja 2, el Ser, que así lo habrá vaticinado casi con seguridad, habrá puesto $1.000 en la caja 1 y $1.000.000 en la caja 2. Por consiguiente, el jugador tiene la casi certeza de ganar $1.000.000. Evidentemente, le conviene optar por la caja 2, ya que es preferible tener la casi plena certeza de ganar $1.000.000 que la de ganar $1.000.

Sin embargo, también se puede argumentar que el Ser ya ha formulado su vaticinio; por consiguiente, la caja 2 contiene $1.000.000 o nada, es decir, el contenido de la caja 2 ya está determinado. Siendo así, los posibles resultados son los siguientes: si el Ser puso $1.000.000 en la caja 2, el jugador, al optar por las dos cajas, ganará las sumas contenidas en ambas, es decir, $1.000 más $1.000.000. Pero si el Ser sólo puso $1.000 en la caja 1, conviene igualmente optar por las dos; caso contrario, el jugador no ganaría nada.

Conviene descartar de entrada las soluciones falsas, por ejemplo, la posibilidad de elegir al azar en lugar de dejarse llevar por la lógica de las alternativas planteadas por el Ser. Si se supone que el jugador elige al azar, el Ser, que ya lo sabe, pondrá $1.000 en la caja 1 y nada en la caja 2, lo mismo que si el jugador hubiera optado por las dos cajas. De modo que la elección al azar de ninguna manera beneficia al jugador. Asimismo, se puede descartar cualquier hipótesis de retroactividad causal, según la cual el Ser podría alterar su vaticinio después de conocer la opción del jugador.

Las contradicciones fundamentales generadas por la paradoja saltan a la vista si se construye una matriz de resultados posibles del problema y se analizan los payoffs. En la figura 1 se reproduce una matriz de payoff.

La mayoría de los análisis de la paradoja de Newcomb incluyen aplicaciones de la teoría de juegos. Los especialistas señalan que el dilema en esta opción representa un conflicto entre dos principios importantes de la teoría de juegos: el principio del rédito esperado y el de dominación. De acuerdo con el primero, una persona que se encuentra en situación de optar entre varias alternativas debe elegir aquella que, espera, le brindará el mayor rédito, que en este caso es dinero. Según el principio de rédito esperado la opción más racional es la caja 2. Desde luego que la matriz de payoff supone que el Ser acierta en el cien por ciento de los casos, mientras que el enunciado del problema dice que acertará con precisión casi total. Si se estima que la probabilidad máxima de error por parte del Ser es de una en diez, el rédito esperado del payoff es de $900.000. Éste es el payoff mayor para las mismas probabilidades. Más aún, el jugador obtendrá el máximo rédito esperado si elije la caja 2, aunque la probabilidad de acierto por parte del Ser sea apenas superior al cincuenta por ciento.

Por el contrario, el principio de dominación indica que lo más racional es optar por las dos cajas. De acuerdo con este principio, si se supone que el mundo está dividido en varias situaciones y que en una de ellas la acción A es preferible a la acción B, entonces conviene elegir la acción A incluso en aquellas situaciones en que las opciones son las mismas. En el renglón inferior de la matriz de payoff de la paradoja de Newcomb se observa que la opción de elegir las dos cajas es dominante porque en cada situación esta opción le da más (precisamente $1.000 más) al jugador que si elige la caja 2. El conflicto entre el principio de rédito esperado (optar por la caja 2) y el de dominación (optar por las dos) es lo que genera la paradoja. Independientemente de que se pueden elaborar argumentos racionales sobre la base de uno u otro principio, la paradoja subsiste en tanto el Ser tenga una probabilidad de acertar mayor del cincuenta por ciento.

Nozick recomienda que el jugador opte por las dos cajas, Newcomb considera que es más conveniente optar por la caja 2. Otros autores participan en esta polémica a favor de una u otra opción. La mayoría de sus argumentos no son sino reformulaciones complejas de lo expuesto más arriba, aunque algunos consideran que la paradoja guarda relación con el antiguo dilema del determinismo contra el libre albedrío. Si el jugador cree que el Ser es semejante a Dios en su omnisciencia, lo más probable es que elija la caja 2, aunque en este caso «elegir» es una ilusión. Si cree, por el contrario, que hay alguna posibilidad, aunque mínima, de que el Ser se equivoque y que existe algún grado de libre albedrío, parecería que le conviene optar por las dos cajas.

El norteamericano John A. Ferejohn, especialista en teoría de las decisiones, ha demostrado que si se enfoca la paradoja desde el punto de vista de esa teoría en lugar de la de juegos, desaparece el conflicto aparente entre los principios de dominación y rédito esperado. La teoría de las decisiones supone que, en una situación como la que describe Newcomb, cuando el jugador elige una alternativa no se logra un resultado único y específico sino un conjunto de varios resultados posibles, con distintas probabilidades de suceder. Desde el punto de vista de la teoría de las decisiones, no interesa si el Ser efectúa su vaticinio con base en la elección del jugador sino solamente si ese vaticinio fue acertado o no. De este nuevo enfoque deriva una matriz de payoff levemente distinta, con una solución inesperada (figura 2).

La diferencia más evidente entre las dos matrices de payoff