Lineare Algebra kompakt für Dummies E-Book

E. G. Haffner

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 263

Veröffentlichungsjahr: 2014

Beschreibung

Sie ist unbeliebt und gilt als schwer zu verstehen: die Lineare Algebra. Aber keine Sorge, Hilfe naht: E.-G. Haffner hat für Sie das Wichtigste kompakt und dennoch verständlich zusammengefasst. Dank vielen Beispielen und Schritt-für-Schritt-Beschreibungen erlernen Sie den Umgang mit Vektoren, Vektorräumen, Matrizen und linearen Gleichungssystemen fast wie von selbst. So verliert die Lineare Algebra endlich ihren Schrecken und Sie können der nächsten Prüfung entspannt entgegensehen.

Leseprobe

Ernst Georg Haffner

Lineare Algebra kompakt für Dummies

Fachkorrektur von Dr. Patrick Kühnel

WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d‐nb.de abrufbar.

1. Auflage 2014

© 2014 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This EBook published under license with the original publisher John Wiley and Sons, Inc.

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Coverfoto: © Sashkin – shutterstock.com

E‐Book: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza

ePub ISBN: 978‐3‐527‐68789‐3

mobi ISBN: 978‐3‐527‐68790‐9

Print: ISBN: 978‐3‐527‐71108‐6

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Zu diesem Buch

Konventionen in diesem Buch

Was Sie nicht lesen müssen

Törichte Annahmen über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Teil I: Grundlagen der linearen Algebra

Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra

Teil III: Lineare Algebra for Runaway Dummies

Teil IV: Top Ten Teil

Symbole in diesem Buch

Wie es weitergeht

Teil I: Grundlagen der Algebra

Kapitel 1: Die bunte Welt der linearen Algebra

Dafür braucht man lineare Algebra

Systeme von Gleichungen lösen

Geometrische Rätsel knacken

Die Bausteine der linearen Algebra erkennen

Körper und Vektorräume

Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren

Die Werte in Reih' und Glied bringen

Matrizen und ihre Verknüpfungen

Determinanten

Alles in einen linearen Zusammenhang bringen

Lineare Abbildungen

Kapitel 2: Körper und andere Welten

Verkündigung der Körpergesetze

Das Assoziativgesetz

Das Kommutativgesetz

Das neutrale Element

Inverse Elemente

Das Distributivgesetz

Die Algebraische Struktur der Körper

Endlich unendliche Körper

Der kleinste Körper

Die klassischen Zahlkörper

Na so was: die Restklassenkörper

Kapitel 3: Wen Amors Vektor trifft

Woher die Vektoren kommen

Erweitern Sie Ihren Horizont – um n Dimensionen

Grundlegende Vektoroperationen

Addition und Subtraktion von Vektoren

Skalare Multiplikation von Vektoren

Das Skalarprodukt von Vektoren

Die Norm eines Vektors

Das Vektorprodukt

Der Winkel zwischen Vektoren

Diese Vektoren sind nicht normal

Jetzt wird es eng: der n‐Raum

Der Euklidische n‐Raum

Der komplexe n‐Raum

Warum das alles kein Unsinn ist

Arbeit und Kraft

Das Drehmoment

Tricks mit Vektoren

Der Kosinussatz

Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra

Kapitel 4: Vektorräume mit Aussicht

Räume voller Vektoren

Vektorraumoperationen

Addition von Vektoren

Skalare Multiplikation

Vektorraumeigenschaften

Massenhaft Beispiele für Vektorräume

Vektorräume aus n‐Tupeln

Vektorräume aus Polynomen

Vektorräume aus Matrizen

Vektorräume von Folgen und Funktionen

Vektorräume aus linearen Abbildungen

Vektorräume aus Körpern

Unterräume – aber nicht im Kellergeschoss

Die formale Spezifikation der Unterräume

Eine Abkürzung zu den Unterräumen

Aufräumen in den Unterräumen

Summen von Unterräumen

Direkte Summen von Unterräumen

Kapitel 5: LGS – Auf lineare Steine können Sie bauen

Wie lineare Gleichungssysteme entstehen

Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme

Die Quadratische Form

Die Stufenform

Die Idealform

Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen

Eindeutige Lösung

Freie Parameter in der Lösung

Keine Lösungen

Das Gauß'sche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen

Der Gauß‐Jordan‐Algorithmus

Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix

So geht es auch: LR‐Zerlegung nach Gauß

Determinanten zur Bestimmung von Lösungen

Lösung à la Cramer & Cramer

Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung

Parametrisierte LGS

Kapitel 6: Die Matrix ist überall

Wie eine Matrix das Leben erleichtert

Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen

Grundlegende Matrixoperationen

Addition von Matrizen

Skalare Multiplikation von Matrizen

Matrix‐Vektorprodukt

Matrixmultiplikation

Transposition von Matrizen

Der Rang einer Matrix

Attribute von Matrizen

Quadratische Matrizen

Reguläre Matrizen

Idempotente Matrizen

Diagonalmatrizen

Adjungierte von Matrizen bestimmen

Komplementäre Matrizen erzeugen

Matrizen invertieren

Mittels Determinanten und Adjunkten

Mittels Gauß‐Jordan‐Algorithmus

Der Matrix auf der Spur

Teil III: Lineare Algebra for Runaway Dummies

Kapitel 7: Die lineare Unabhängigkeitserklärung

Wir kombinieren linear

Warum unabhängig besser ist als abhängig

Bestimmung der linearen Unabhängigkeit

Bei n‐Tupel‐Vektoren

Bei Polynomen

Bei Matrizen

Im Allgemeinen

Fallstricke der linearen Unabhängigkeit

Kapitel 8: Basen, keine lästige Verwandtschaft

Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit

Erzeugende Systeme

Lineare Hüllen als Unterräume

Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren

Erzeugte Unterräume

Matrizen und Basen: So geht das!

Dimensionen und Basisvektoren

Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten

Basen für Orthonormal‐Verbraucher

Kapitel 9: Ganz bestimmte Determinanten

Warum Determinanten wichtig sind

Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben

Berechnung von Determinanten

Determinanten von 2x2‐Matrizen

Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen

Berechnung von Determinanten im Allgemeinen

Rechenregeln für Determinanten

Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken

Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten

Die Determinate der Einheitsmatrix

Skalare Multiplikation und Determinanten

Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch

Leibniz trifft auf Gauß

Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen

Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix

Unterdeterminanten

Der Entwicklungssatz

Teil IV: Top Ten Teil

Kapitel 10: Lineare Algebra in zehn Minuten

Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben

Den Körper als Freund betrachten

Mit diesen Vektoren können Sie rechnen

Räume voller Vektoren

Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren

LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen

Keiner entkommt der Matrix

Noch unabhängiger als die Schweiz

Neues Verständnis von Koordinaten

Determinanten sind das Herz einer Matrix

Stichwortverzeichnis

Einführung

Wollen Sie richtig Eindruck bei Ihren Freunden und Verwandten schinden, so verwenden Sie doch einfach bei passender Gelegenheit mathematische Fachausdrücke wie beispielsweise Algebra, Matrix oder Vektor. Wenn Sie diese Nomen dann noch mit spezifischen Adjektiven wie linear, affin oder skalar kombinieren, bleibt die offene oder unausgesprochene Bewunderung gewiss nicht aus.

Voraussetzung dafür ist selbstverständlich, dass Sie genau wissen, worum es sich dabei handelt. Die Basis dafür haben Sie bereits erfolgreich gelegt, indem Sie dieses Buch in Händen halten.

Zu diesem Buch

In diesem Buch werden Sie rasch und ohne Schnörkel alles Wichtige über die lineare Algebra erfahren.

»Lineare Algebra kompakt für Dummies« beinhaltet überwiegend die Grundlagen der linearen Algebra, die bereits für Schüler von Interesse sein könnten. Es handelt sich dabei um eine verkürzte Version der Ausgabe »Lineare Algebra für Dummies«, die auch tiefgründige und weiterführende Erkenntnisse für Studierende beinhaltet.

Mathematische Abhandlungen und selbst die meisten Lehrbücher neigen dazu, möglichst knapp und kompakt ihre Inhalte zu vermitteln. »Jedes Wort zuviel verwässert die reine Lehre«, das ist die Devise. Warum aufwändig einen Sachverhalt erklären, wenn man genauso gut eine kryptische Formel angeben kann, die – allerdings nur für Eingeweihte – alles Wesentliche bereits enthält? Viele Leser werden durch diese Art von Mathematik abgeschreckt, wenn nicht gar verängstigt.

Ich verspreche Ihnen, dass dieses Buch anders ist. Es wird Sie sanft in eine der zweifellos wichtigsten Teilgebiete der Mathematik entführen. Sie werden sich wundern, wie viel Spaß und Unterhaltung sogar die kompliziertesten Sachverhalte bereiten können! Dieses Buch wird Sie auf eine Weise ansprechen, die Sie bisher nicht kannten, aber an die Sie sich schnell gewöhnen werden. Es behandelt überraschende, spannende aber auch alltägliche Themen.

Dabei können Sie das Buch in beliebiger Reihenfolge durcharbeiten. Es zwingt Sie niemand dazu, das Buch von vorne bis hinten Seite für Seite zu lesen. Wie andere Dummies‐Bücher ist auch dieses Buch so aufgebaut, dass Sie so viel wie möglich darin herumblättern können – schließlich ist es Ihr Buch. Die lineare Algebra bietet so viele interessante Aspekte, dass Sie immer wieder davon fasziniert sein werden!

Konventionen in diesem Buch

Zahlreiche Bücher verwenden etliche Konventionen, die Sie kennen sollten, bevor Sie die Lektüre starten können. Das ist hier nicht der Fall. Es gibt nur einige wenige Konventionen, die Ihnen helfen werden, sich schnell zurechtzufinden:

Kursivschrift kennzeichnet wichtige Fachbegriffe und hebt bedeutsame Worte hervor.

Fettschrift wird für Schlüsselworte in Aufzählungen und in Aktionen bei nummerierten Schritten verwendet. Ebenso sind wichtige Begriffe fett markiert, die jedoch keine Fachbegriffe der linearen Algebra darstellen.

KAPITÄLCHEN bleibt Verweisen auf Webadressen vorbehalten.

Was Sie nicht lesen müssen

Es gibt im gesamten Buch immer wieder interessante und nützliche Aspekte bei der Behandlung der Themen, die Sie jedoch nicht unbedingt lesen müssen, um die weiteren Abschnitte zu verstehen. Diese Informationen habe ich Ihnen in die grau unterlegten Kästen gepackt.

Wenn ein Satz mit dem Symbol »Achtung Technik« (das ulkige Gesicht und der erhobene Zeigefinger) gekennzeichnet ist, verweist er auf weiterführende oder tiefer gehende Facetten für Insider. Wenn Sie zurzeit noch kein Insider sind, ist das nicht schlimm. Vielleicht werden Sie später einmal wieder das Buch in die Hand nehmen wollen und dann sind die »Achtung Technik« Einschübe ihre Lieblingslektüre!

Törichte Annahmen über den Leser

Wenn Sie jetzt nicht zufällig in einer Buchhandlung stehen und versehentlich dieses Dummies‐Buch mit einem Kochbuch für südfranzösische Desserts verwechselt haben, wird Ihnen die lineare Algebra heute womöglich bereits einiges Kopfzerbrechen bereiten.

Auf jeden Fall sind Sie motiviert, sich mit Mathematik zu befassen und werden sich noch wundern, was alles auf Sie zukommt. In einem Punkt muss ich Sie jedoch enttäuschen. Die Delikatessen der südfranzösischen Küche werden wir nicht behandeln, ganz ehrlich nicht. Allerdings können wir dafür bereits im ersten Kapitel über Diätpläne sinnieren …

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Vermutlich haben Sie schon im Inhaltsverzeichnis geblättert und die Gliederungsebenen entdeckt. Dieses Buch besteht aus vier Teilen mit insgesamt zehn Kapiteln. Jedes Kapitel wiederum ist in Abschnitte unterteilt, manchmal sind selbst diese Abschnitte in Unterabschnitte aufgegliedert.

Die Kapitel sind die wichtigste bedeutungstragende Einheit. Hier werden die wesentlichen Aspekte der linearen Algebra ausführlich diskutiert. In den Teilen werden Kapitel zusammengefasst, die thematisch eng verwandt sind. Um Ihnen die Lektüre dieser Kapitel zu erleichtern, werden die Abschnitte sich jeweils mit Teilaspekten befassen, die logisch zusammenhängen.

Allerdings ist es unvermeidlich, dass ich bei der Darstellung der einzelnen Themen auch auf andere Kapitel zur Erklärung verweise. Das ist kein Fehler, sondern liegt in der Natur der Sache, nämlich der linearen Algebra. Das macht sie sogar besonders reizvoll und wichtig. Alles hängt mit einander zusammen und voneinander ab wie ein wild zerzauster Wollknäuel. Daher ist es auch keine schlechte Strategie, wenn Sie sich ein bereits gelesenes Kapitel zu einem späteren Zeitpunkt erneut vorknöpfen. Denn dann könnten Ihnen neue Aspekte der behandelten Themen auffallen und ziemlich viele tiefsinnige Zusammenhänge besser einleuchten. Die lineare Algebra ist wie ein Labyrinth, durch das Sie dieses Buch hindurchführen möchte!

Teil I: Grundlagen der linearen Algebra

Dieser Teil befasst sich mit den Basiselementen der linearen Algebra. Sie finden dort zunächst einen Streifzug durch die faszinierende Welt eines der wichtigsten und erfolgreichsten Teilgebiete der Mathematik. Sie werden anhand praktischer und anschaulicher Beispiele Sinn und Nutzen der gesamten linearen Algebra erforschen und nebenbei lernen, wie man sich gesund ernährt.

In einem eigenen Kapitel finden Sie Körper, wie sie nur die Mathematik kennt. Diese wichtigen Strukturen sind ein integraler Bestandteil der linearen Algebra und es ist immer gut, wenn man nachschlagen kann, was es damit auf sich hat.

Der Teil schließt mit der Vektorrechnung, die sich durch den gesamten Rest des Buches zieht und immer wieder benötigt wird.

Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra

In diesem Teil untersuchen wir gemeinsam die zentrale Struktur der linearen Algebra, nämlich die Vektorräume. Alle zulässigen und möglichen Operationen können Sie selbst ausprobieren. Natürlich werden auch zahlreiche Beispiele für Vektorräume nicht fehlen.

Und dann geht es schnurstracks um lineare Gleichungssysteme, die immer wieder und an unerwarteter Stelle auftauchen. Aber keine Panik. Sie werden dort auch sehen, wie man die Lösungsmengen dieser mächtigen Konstrukte bestimmt.

Eine Abstraktion von linearen Gleichungssystemen führt uns unmittelbar zu den Matrizen, die am Anfang unhandlich erscheinen, die sich aber sehr bald schon als höchst effektiv und nützlich erweisen, ganz ehrlich!

Teil III: Lineare Algebra for Runaway Dummies

Im dritten Teil geht es ans »Eingemachte« der linearen Algebra. Dabei widmet sich ein eigenes Kapitel der Frage nach der linearen Unabhängigkeit, einer grundlegenden Eigenschaft von Vektoren, die sich überraschend erfolgreich auf lineare Gleichungssysteme anwenden lässt.

Anschließend zeige ich Ihnen, wie Sie mit Basisvektoren ganze Unterräume aufspannen. Im letzten Kapitel dieses Teils erfahren Sie alles Nötige über Determinanten, die sich im engeren Sinne auf Matrizen beziehen, letztlich aber auch eine große Rolle für lineare Abbildungen spielen.

Teil IV: Top Ten Teil

Falls es Ihnen noch nicht aufgefallen sein sollte, prüfen Sie es gerne nach: der letzte Teil eines jeden Dummies‐Buch handelt von Auflistungen im Zehnerblock. Da bildet dieses Werk keine Ausnahme.

Sie können sich hier die 10 wichtigsten Aspekte der linearen Algebra hübsch und kompakt angeordnet anschauen.

Symbole in diesem Buch

In diesem Buch erscheinen immer wieder fünf unterschiedliche Typen von Symbolen. Hier erfahren Sie, was diese bedeuten:

Alles, was Sie sich unbedingt einprägen sollten, wird mit diesem Symbol markiert. Die dargestellten Zusammenhänge sind für die gesamte lineare Algebra sehr wichtig.

Mit dieser Zielscheibe werden Sie auf einen Tipp hingewiesen. Es kann sich um eine Abkürzung zur Lösung eines Problems handeln oder einfach um einen freundlichen Hinweis, der Ihnen helfen sollte, das Verständnis der linearen Algebra zu erleichtern.

Auch wenn Sie dieses Männlein darauf hinweist, dass der nebenstehende Text recht technisch, häufig schwierig und nur für Insider gedacht ist, trösten Sie sich. Entweder Sie haben Spaß daran und sind schon auf die nächste Warnung gespannt oder Sie ignorieren den Hinweis. In beiden Fällen kommen Sie gut mit der Lektüre der restlichen Abschnitte klar.

Wie Sie sehen, brennt die Lunte. Das ist ein Zeichen, dass nun ihre höchste Konzentration und Aufmerksamkeit gefordert ist. Gefährliche Fallstricke oder typische Fehlerquellen werden dann angezeigt. Aber keine Angst, das Symbol taucht nur sehr selten auf in diesem Buch.

Das Hinweisschild zeigt Ihnen die Wege durch das Labyrinth! Wenn die nachfolgenden Abschnitte bestimmte Begriffe oder Kenntnisse voraussetzen, verdeutlicht Ihnen der Wegweiser, wo Sie diese nötigenfalls erwerben können.

Wie es weitergeht

Ich möchte Ihnen keinesfalls vorschreiben, was Sie als nächstes mit diesem Buch tun sollen. Ich habe es ja nur geschrieben, aber jetzt ist es Ihr Buch. Niemand hindert Sie daran, es von der ersten bis zur letzten Seite zu lesen. Sie können aber auch mitten drin starten. Das bleibt Ihnen überlassen.

Oder Sie wollen ganz systematisch von Anfang an beginnen, ja dann ist der erste Teil mit den Grundlagen genau das Richtige für Sie.

Möglicherweise haben Sie auch von dem Gerücht gehört, dass sich mathematische Zusammenhänge allein mittels Osmose übertragen und dass es eventuell genügt, dieses Buch einfach unter das Kopfkissen zu legen und es überhaupt nicht mehr aufzuschlagen. Ich kann Ihnen das wirklich nicht empfehlen, aber da es Ihr Buch ist, können Sie damit machen, was Sie wollen und alle Gerüchte ausprobieren, die Sie über die Mathematik gehört haben.

Sie sehen, ich kann Ihnen die Entscheidung nicht abnehmen, sondern nur hoffen, dass Ihnen dieses Buch gefallen wird und dass Sie jede Menge Spaß an der linearen Algebra haben werden. Das würde mich schon sehr freuen!

Teil I

Grundlagen der Algebra

In diesem Teil …

Erfahren Sie in diesem Teil das Wichtigste zu den Grundlagen der linearen Algebra. Was man mit linearer Algebra überhaupt anfangen kann und was die wesentlichen Bausteine der linearen Algebra sind. Dazu müssen wir uns mit Körpern befassen, mit mathematischen, versteht sich, ohne die in der linearen Algebra nichts zu machen ist. Am Ende dieses Teils findet sich ein Kapitel über Vektoren, deren Bedeutung für technische und allgemein naturwissenschaftliche Problemlösungen nicht überschätzt werden kann und die der eigentliche Grund für den enormen Erfolg der linearen Algebra sind.

Kapitel 1

Die bunte Welt der linearen Algebra

In diesem Kapitel

Sinn und Zweck der linearen Algebra kennenlernen

Erfahrungen mit den notwendigen Bestandteilen der linearen Algebra sammeln

Sich vom Potenzial der Matrizen und Determinanten überzeugen

Verstehen, wie alles zusammen hängt

In diesem Kapitel gebe ich Ihnen eine Schnelleinführung in die lineare Algebra. Wenn Sie auf einem Gebiet unsicher sind oder gerne ausführlichere Erklärungen hätten, dann lesen einfach in den Kapiteln nach, die ich Ihnen an den entsprechenden Stellen empfehle.

Leider löst allein das Wort Algebra bei den meisten Menschen und selbst bei Studierenden, die sich mehr oder weniger zwingend mit Mathematik befassen müssen, Kopfschmerzen oder Magenkrämpfe aus. Es scheint sich um eine geheimnisvolle, nicht verständliche Gedankenwelt zu handeln, die Uneingeweihte nie und nimmer erschließen können und die einzig zu dem Zweck konzipiert worden ist, Ängste und böse Erinnerungen an die Schulzeit auszulösen.

Wenn dann noch ein kryptisches Adjektiv wie linear hinzukommt, schaltet der Verstand automatisch in den Verteidigungsmodus und blockt alles ab, was danach an Erklärungen folgt.

Algebra

Das Wort » Algebra« müsste aufgrund seiner Herkunft eine geradezu heilsame Wirkung verbreiten. Denn das arabische steht für »Einrenken gebrochener Knochen« und wurde vom medizinischen Fachbegriff vor über tausend Jahren geradewegs auf die Mathematik übertragen. Die Algebra meint seither gewissermaßen das Einrenken von mathematischen Termen, etwa in Gleichungen, um eine Lösung für die dort vorhandenen Unbekannten zu ermitteln. Die Anwendung algebraischer Methoden bedeutet also nichts weniger als die Suche nach Lösungen für gegebene Probleme, und das ist in allen Facetten erstrebenswert. Zumal die mathematischen Probleme fast immer aus technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungsgebieten hervorgegangen sind.