Los escritos matemáticos de George Berkeley y la polémica sobre El analista E-Book

José A. Robles

• Herausgeber: UNAM, Instituto de Investigaciones Filosóficas
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 897

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Esta antología está dirigida a los estudiosos, tanto filósofos como matemáticos, interesados en conocer la polémica sobre los fundamentos del cálculo, desencadenada por la publicación de El analista, donde Berkeley señaló oscuridades en los planteamientos de Newton y de Leibniz. A ella replicaron dos defensores de la posición de Newton, airados porque alguien que no era considerado matemático se atreviese a criticar al eximio autor inglés: James Jurin, un médico reconocido y profesor de matemáticas de la Universidad de Cambridge —que usó como seudónimo en sus escritos el de Philalethes Cantabrigiensis—, y Jacob Walton, profesor irlandés de matemáticas, quien se contentó con seguir las críticas de Jurin en contra de Berkeley. En este volumen se incluyen estos textos y las respuestas de Berkeley, y se añaden dos escritos más a los que Berkeley ya no respondió: uno de John Hanna, quien más bien critica a Walton, y otro del conocido matemático Thomas Bayes, quien formula una crítica a la obra de Berkeley sin el carácter abusivo que muestra la de Jurin.

Leseprobe

INSTITUTO DE INVESTIGACIONES FILOSÓFICAS

Colección: FILOSOFÍA CONTEMPORÁNEA

ÍNDICE

Prólogo

Notas del prólogo

Introducción general

Notas de la introducción general

PARTE I. LOS ESCRITOS MATEMÁTICOS DE GEORGE BERKELEY

I. De infinitos

Notas a “De infinitos”

II.El analista, o discurso dirigido a un matemático infiel El analista (texto)

Notas a El analista

PARTE II. LA POLÉMICA SOBREEL ANALISTA

III. FILALETES CANTABRIGENSE (JAMES JURIN):

La geometría no es amiga de la infidelidad, o una defensa de sir Isaac Newton y de los matemáticos británicos en una carta al autor de El analista

La geometría no es amiga de la infidelidad (texto)

Notas a La geometría no es amiga de la infidelidad

IV. J. WALTON: Vindicación de los principios de las fluxiones de sir Isaac Newton en contra de las objeciones contenidas en El analista

Notas a Vindicación de los principios de las fluxiones de sir Isaac Newton

V. G. BERKELEY: Defensa del librepensamiento en matemáticas

Defensa del librepensamiento en matemáticas (texto)

Apéndice

Notas a Defensa del librepensamiento en matemáticas

VI. J. WALTON: Respuesta completa al catecismo del autor de El filósofo minucioso

Notas a la Respuesta completa al catecismo del autor de El filósofo minucioso

VII. G. BERKELEY: Razones para no responder a la Respuesta completa del señor Walton

Notas a Razones para no responder

VIII. J. WALTON: Apéndice como respuesta a las Razones para no responder a la Respuesta completa del señor Walton

Notas al Apéndice como respuesta a las Razones para no responder

IX. FILALETES CANTABRIGENSE: El matemático minucioso o el librepensador no es (sólo) un pensador (justo), publicado en una segunda carta al autor de El analista

El matemático minucioso (texto)

Notas a El matemático minucioso

X. JOHN HANNA: Algunas observaciones sobre el Apéndice del señor Walton con respecto al movimiento y a la velocidad, que escribió como réplica al autor de El filósofo minucioso

Notas a Algunas observaciones sobre el Apéndice del señor Walton

XI. THOMAS BAYES: Introducción a la doctrina de las fluxiones y defensa de los matemáticos en contra de las objeciones del autor de El analista, en la medida en que pretenden afectar sus métodos generales de razonamiento

Notas a Introducción a la doctrina de las fluxiones

Bibliografía

Notas al pie

Aviso legal

PRÓLOGO

Concluyo este libro a casi diez años de haber publicado Las ideas matemáticas de George Berkeley (en diciembre de 1993), que bien puede servir como introducción general al presente escrito. En el “Prólogo (1992)” de esa obra ofrecí publicar el presente libro a más tardar un año después de la aparición de aquélla; muy diversas razones, no del todo ejemplares, impidieron que esto fuera así; también en el mismo prólogo señalé que presentaría por primera vez en español los textos matemáticos de Berkeley (“De infinitos”, El analista y las respuestas polémicas de Berkeley a dos de los críticos de esta última obra: James Jurin, quien escribió con el seudónimo de Philalethes Cantabrigiensis, y Jacob Walton), reunidos en un solo volumen, por primera vez en cualquier lengua, con los textos críticos a El analista, a los que respondió Berkeley. Aquí añado que también se presentarán, por primera vez en nuestra lengua, los artículos de dos autores más: John Hanna, quien comenta el Apéndice de la última intervención de Walton, y Thomas Bayes, quien publicó su escrito de manera anónima, en el que presenta una propuesta constructiva para entender mejor las tesis fluxionarias de Newton; por otra parte, las críticas de estos dos autores se apartan de las que expresaron Jurin y Walton. Hasta donde soy consciente, lo que dije en 1993 aún vale para 2005.

Durante el tiempo de espera para concluir este volumen, pude publicar un libro en coautoría, siete libros colectivos y dos antologías, seis artículos individuales, dos en coautoría, siete capítulos en libro individuales (uno de ellos en francés) y dos en coautoría, cuatro capítulos en memorias de congresos, aun cuando poco tuvieron que ver estos trabajos con los escritos matemáticos de Berkeley y la polémica posterior; sin embargo, en ese lapso, Douglas M. Jesseph, un discípulo de Margaret D. Wilson, publicó el importante libro Berkeley’s Philosophy of Mathematics; este libro y Las ideas matemáticas. . . coinciden, tanto en fecha de publicación, como en subrayar la importancia per se de los escritos matemáticos de Berkeley y la que tienen dentro de la filosofía del autor irlandés. Asimismo, hay una notable coincidencia en señalar que si bien desde nuestra perspectiva, a más de dos siglos y medio de la publicación de El analista, podemos encontrar en éste errores en la apreciación de la metodología del cálculo, así como en el rigor de las demostraciones y muchas otras cosas, es preciso reconocer que su autor, George Berkeley, fue el primero que se atrevió a señalar problemas en la fundamentación misma de la notable creación de Leibniz y Newton; así, si mantenemos las propuestas de Berkeley dentro de su contexto histórico, debemos verlas como observaciones importantes, de avanzada, que servirían de catalizador para llevar a cabo las modificaciones básicas en los fundamentos del cálculo, que finalmente se establecieron en los siglos XIX (Dedekind, Weierstrass, Cantor, etc.) y XX (Abraham Robinson).

Además del libro antes mencionado, Jesseph también publicó, en un solo volumen, una nueva traducción del De motu berkeleyano, así como The Analyst, ambos con introducción, notas y bibliografía. Por otra parte, fuera de los dos libros de Jesseph, de Las ideas matemáticas de George Berkeley y del libro que el lector tiene en sus manos, no hubo en este tiempo (de 1993 a la fecha) ninguna otra publicación mayor sobre este tema (aquí me refiero a publicaciones en papel; en la red se encuentra la página de David R. Wilkins, matemático del Departamento de Matemáticas del Trinity College Dublin:

http://www.maths.tcd/HistMath/People/Berkeley/ACIndex.html

que pone a disposición de los interesados en la polémica sobre The Analyst, los escritos de James Jurin, Jacob Walton y Benjamin Robbins, así como la polémica entre Jurin y Robins, y otras cosas pertinentes sobre estos temas; también en la red apareció un interesante escrito, “Foundations for Fluxions”, de Bjørn Smestad, un proyecto de tesis en matemáticas, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Oslo, 1995).1 A pesar de que los autores berkeleyanos no permanecieron ociosos, al menos se publicaron veintiún libros (considerando reediciones y reimpresiones, ocho en total)2 de escritos de Berkeley comentados o sobre Berkeley, ninguno de ellos produjo nada en el campo de la filosofía matemática berkeleyana, lo que muestra que aún falta en los autores un conocimiento más amplio de la obra matemática de Berkeley y una idea clara de que ésta desempeña un importante papel en la totalidad de su empresa filosófica. La publicación (en 1994) de mayor interés, por ser un intento de esclarecer el nombre (y la personalidad) de J. Walton, fue una breve nota de Ruth Wallis (E30 en la bibliografía), gracias a la cual (parece que) es posible tener seguridad del nombre de Walton: Jacob (en lugar de John).3

Este libro se publica teniendo en cuenta a matemáticos interesados en conocer la historia de su disciplina, a filósofos de la matemática, a historiadores de la ciencia y, en general, a personas interesadas en una polémica que, conforme lo han señalado diversos historiadores de la matemática, propició el esclarecimiento de nociones y métodos en el análisis (hasta llegar a la llamada “aritmetización” del cálculo), gracias a las críticas que Berkeley formuló a la recién generada (en ese entonces) rama de la matemática, tanto en su versión inglesa, newtoniana, como en su versión continental, leibniziana.

En la presente edición he adoptado las siguientes convenciones:

1. En lugar de las líneas que usaban los matemáticos de la época para agrupar términos, he usado paréntesis; esto es, en lugar de la expresión newtoniana:

por ejemplo, escribiré:

(x + o)n,          o bien          [x + o]n.

2. Para referirme a mis notas (que figuran al final del capítulo), usaré lo siguiente:

(a) si la nota está en el mismo capítulo, emplearé:

o bien,

(b) en caso de que la nota se encuentre en un capítulo diferente, emplearé:

donde k puede ser “introd.” y esto remite a una nota en la introducción, o bien es un número romano, el cual remite al capítulo en el que figura(n) la(s) nota(s).

(c) Las notas de los autores de los textos citados las he dejado a pie de página referidas mediante una literal.

3. Las preguntas que figuran al final de El analista las he denominado cuestiones y se encuentran antecedidas por “cst. k.”, donde k es el número de la cuestión.

4. En los escritos traducidos figuran, en el texto principal, números entre corchetes, p.ej., “[52]”, que remiten a los números de página de las publicaciones en las que aparecieron originalmente los escritos o de las que yo traduje los que figuran en este libro; cuando en la introducción o en las notas se haga referencia a alguna(s) página(s) de los escritos aquí traducidos, se empleará la siguiente notación: p. [l/k], donde l remite a la página del escrito al que hago referencia, y k a la de este libro; en caso de que el escrito tenga párrafos numerados, la referencia la haré: m § k, donde m es el número del capítulo y § k señala el número del párrafo; si la remisión es a un párrafo del mismo capítulo, entonces se omite m.

No me resta aquí sino agradecer a las personas que, de una u otra manera, hicieron posible que se concluyera este trabajo:

Mauricio Beuchot se encargó de señalarme lo desastrosos que eran mis intentos de traducir al castellano los pasajes en latín que figuran en los escritos de la polémica (de manera principal en los textos de Filaletes Cantabrigense) y en todos los casos me propuso las versiones que aparecen en este libro.

Pedro Espinosa, encargado de la hemeroteca de nuestro Instituto, siempre ha tenido la preocupación de informarme de nuevas publicaciones de mi interés en revistas, de proporcionarme copias de ellas y de localizar y conseguir material de difícil adquisición; la mayor parte de las copias de los escritos que aquí publico, él se encargó de conseguirlas; David Berman, actualmente Jefe del Departamento de Filosofía del Trinity College de Dublín, amablemente me envió copia del primer escrito de James Jurin (Geometry No Friend to Infidelity), que apareció en su libro George Berkeley: Eighteenth Century Responses (Garland Publishing, Nueva York, 1989).

A Elsa Aurora Gómez Camacho, coordinadora de la Biblioteca “Eduardo García Máynez” de nuestro Instituto, le agradezco su preocupación constante y su eficacia para resolver todos los problemas de búsquedas bibliográficas, préstamos interbibliotecarios, etc.; al grupo del Seminario del Área de Historia de la Filosofía de nuestro Instituto, y en particular a Laura Benítez, el mantener siempre un ambiente de sana discusión de los muy diferentes problemas que allí se consideran, lo que propicia y estimula el interés en el trabajo filosófico. Quiero agradecer también a Germán Franco Toriz, miembro del Seminario, su ayuda al ponerme en contacto con la página http://www.google.com, que me fue de gran utilidad para aclarar muchas dudas sobre la organización de la Royal Society y algunos temas más.

También deseo agradecer al Departamento de Publicaciones del Instituto la labor de llevar a feliz término la edición de un libro complejo. A este respecto, deseo agradecer, en particular, a J. Alberto Barrañón C. su muy cuidadosa revisión final de este escrito, lo que me evitó que en él aparecieran algunos molestos errores. Aquellos otros que aún puedan figurar en él son de mi plena responsabilidad.

Finalmente, me es muy grato agradecer la labor que en la dirección del Instituto desarrollaron dos directoras anteriores, Olbeth Hansberg (que luego fue nombrada Coordinadora de Humanidades y actualmente es miembro de la Junta de Gobierno de la UNAM) y Paulette Dieterlen, quienes han apoyado de manera decidida la labor de investigación en nuestro Instituto, lo que me permitió llegar hasta el final en la etapa de preparación de la presente obra, y, por último, agradezco al director actual, Guillermo Hurtado, quien a la postre llevó este escrito a la etapa de publicación.

José A. Robles

Ciudad Universitaria, del otoño de 2002 a la primavera de 2005.

NOTAS DEL PRÓLOGO

1. Para los interesados en consultarla, la dirección electrónica es:

http://www.hifm.no/~mattematikk/ansatte/bjorns/hovedoppg.htm

La tesis, además de considerar la polémica Berkeley-Jurin (Philalethes Cantabrigiensis), trae observaciones sobre las críticas y los comentarios de Benjamin Robbins, Colin Maclaurin y del poco mencionado Roger Paman (Jesseph habla de él en su libro sobre la filosofía matemática de Berkeley (E16)). El escrito, además de las biobibliografías de los autores citados y de considerar sus aportaciones a la polémica desatada por Berkeley al publicar The Analyst, añade un capítulo sobre los efectos que tuvo la controversia sobre El analista con respecto al aislamiento matemático de la Inglaterra de la época. El autor añade a todo esto un apéndice sobre la polémica Newton-Leibniz, aunque es demasiado breve y lacónico; además figuran los índices de las publicaciones que en este escrito se comentan y, por último, se ofrecen algunas pequeñas biografías, notas a pie de página y una bibliografía; estas tres cosas no las obtuve en mi impresión del escrito, pues en éste se anunciaban 46 páginas, de las cuales la última estaba en blanco y la anterior terminaba con el índice de uno de los volúmenes de Maclaurin.

2. La bibliografía reciente de Berkeley y sobre él que pude recoger es la siguiente:

Atherton, Margaret, The Empiricists: Critical Essays on Locke, Berkeley and Hume, Rowman and Littlefield Publishers, Lanham, 1999.

Berkeley, George, George Berkeley’s Alciphron in Focus, ed. David Berman, Routledge, Taylor and Francis Books, Londres, 1993.

————, George Berkeley’s Manuscript Introduction, ed. Bertil Belfrage, Doxa, Oxford, 1987; reimp. Thoemmes Press, Brístol, 1994.

————, Philosophical Works: Including the Works on Vision, 2a. ed. revisada y ampliada, ed. Michael R. Ayers, Everyman Paperbacks, Londres, 1993.

————, The Works of George Berkeley, D.D.; Formerly Bishop of Cloyne, Including His Posthumous Works, facsímil de la edición de 1901, ed. Alexander Campbell Fraser, Thoemmes Press, Brístol, 1994, 4 vols. (1a. ed.: Clarendon, Oxford, 1871).

Berman, David, Berkeley, Phoenix Press, Londres, 1997.

————, Berkeley, Routledge, Londres/Nueva York, 1999.

————, George Berkeley: Idealism and the Man, Clarendon, Oxford, 1996.

Charles, Sébastien, Berkeley au Siècle des Lumières Immatérialisme et Scepticisme au XVIIIe Siècle, pref. Geneviève Bryckman, Librairie Philosophique J. Vrin, París, 2003.

———— (comp.), Science et épistémologie selon Berkeley, Les Presses de l’Université Laval, Saint-Nicolas (Quebec), 2004.

Dancy, Jonathan (comp.), Three Dialogues Between Hylas and Philonous, Oxford University Press, Oxford, 1998.

Hicks, George Dawes, Berkeley, Garland Publishing, Nueva York, 1988; reimpreso por Thoemmes Press, Brístol, 1992 (1a. ed.: 1932).

Kingston, F. Temple, The Metaphysics of George Berkeley, 1685–1753: Irish Philosopher, Edwin Mellen Press, Nueva York, 1992.

Lloyd, Peter B., Consciousness and Berkeley’s Metaphysics, Ursa Software, Londres, 1999.

McCracken, Charles e Ian C. Tipton, Berkeley’s Principles and Dialogues: Background Source Materials, Cambridge University Press, Cambridge/Nueva York, 2000.

Muehlmann, Robert G., Berkeley’s Ontology, Hackett, Indianápolis, 1992.

———— (comp.), Berkeley’s Metaphysics: Structural, Interpretive and Critical Essays, Pennsylvania State University Press, University Park, 1995.

Pappas, George, Berkeley’s Thought, Cornell University Press, Ithaca, NY, 2000.

Stack, George J., Berkeley’s Analysis of Perception, Mouton, La Haya, 1970; reimpreso por Peter Lang Publishing, Nueva York, 1992.

Strathern, Paul, Berkeley in 90 Minutes, Ivan R. Dee Publisher, Chicago, 2000.

Tipton, Ian C., Berkeley. The Philosophy of Immaterialism, Methuen, Londres, 1974; reimpreso por Thoemmes Press, Brístol, 1994.

Warnock, Geoffrey J., Berkeley, Gregg Revivals, Aldershot, 1993.

Winkler, Kenneth P., Berkeley: An Interpretation, Clarendon, Oxford, 1994.

3. Sin mayor explicación, Wilkins lo usa en su página. Cfr. infra, introd., n. 5.

INTRODUCCIÓN GENERAL

Los textos que aquí presento son los escritos de Berkeley dedicados exclusivamente a temas matemáticos. Ciertamente no son los únicos donde trata estos temas, pues su primera publicación, un libro con dos obras incluidas (Arithmetica y Miscellanea Mathematica) abordaba temas puramente aritméticos y algebraicos; es una obra muy temprana, publicada en 1707 (a los veintidós años del autor), pero que, según él mismo dice, los escritos de que consta ya los tenía tres años antes.

Luce señala que “La obra tiene el aspecto de una tesis para optar por una membresía [en el Trinity College de Dublín], especialmente ideada para eliminar la impresión de que a él le disgustaban las matemáticas” (B5, IV, p. 159). Los escritos no tienen mayor interés desde un punto de vista teórico respecto de la filosofía de Berkeley o en relación con cuestiones técnicas matemáticas, por lo que no se ve la necesidad de publicarlos.1

Otros lugares en los que hay observaciones matemáticas son los Comentarios filosóficos.2 En estos cuadernos de notas, Berkeley da muestras del interés que tenía por el trabajo matemático de su época y se puede observar una evolución de su pensamiento con respecto a temas matemáticos, desde el desdén que siente por los matemáticos, con exclusión de Newton, hasta llegar a tener una visión menos despectiva del trabajo matemático.

También se encuentran observaciones sobre aritmética, álgebra, geometría e infinitesimales en el Tratado sobre los principios del conocimiento humano (D3, §§ 118–132). Posteriormente, en su pequeño tratado De motu se dedica a considerar la física newtoniana, y en su largo libro en forma de diálogo, el Alcifrón o el filósofo minucioso, aparecen algunas observaciones interesantes sobre el manejo de signos matemáticos.

En el presente escrito, dividido en dos partes:

  I. Los escritos matemáticos de Berkeley, y

II. La polémica sobre El analista,

presento, en primer lugar, la conferencia de Berkeley “De infinitos”, y, de inmediato, su escrito apologético de la religión cristiana (en la versión protestante anglicana), El analista. Este último, según lo han señalado los historiadores de la matemática, fue el detonador que llevó a los matemáticos a revisar los fundamentos de su ciencia, en particular del cálculo recién descubierto, lo cual tuvo como desenlace en el siglo XIX, después de los trabajos de d’Alembert, Cauchy, Bolzano y otros más, la “aritmetización” del análisis, debido a las propuestas de Weierstrass, Dedekind et al., con lo que también desaparecieron los infinitesimales empleados por los matemáticos de los siglos anteriores (incluso desde los griegos). Por último, también es interesante señalar que, en 1966, Abraham Robinson les dio carta de naturalización matemática a los infinitesimales, a los que, en su momento y con justicia, Berkeley encontró como carentes de fundamentación y opuestos a la práctica matemática de su tiempo (primera mitad del siglo XVIII).3

En la parte II figuran los escritos polémicos de James Jurin (Philalethes Cantabrigiensis)4 y de J. Walton,5La geometría no es amiga de la infidelidad. . . (1734) y Vindicación de los principios de las fluxiones de sir Isaac Newton. . . (1735), respectivamente, a los que Berkeley responde con Defensa del librepensamiento en la matemática, en contra de Jurin, y al final de este escrito figura un “Apéndice sobre la Vindicación de los principios de las fluxiones. . . ” (1735), como respuesta a Walton. Jurin responde a Berkeley con El matemático minucioso o el librepensador. . . (1735), en un tono burlón y torpemente agresivo, en el que nada añade a la polémica, y Berkeley decide ya no responder al matemático cantabrigense. Por su parte, Walton, todavía en 1735, publica su Respuesta completa al catecismo. . . y Berkeley le contesta en tono sarcástico con un último escrito dentro de esta polémica: Razones para no replicar a la Respuesta completa del Sr. Walton. . . Sin embargo, la cosa no paró ahí, pues, en la segunda edición de la Respuesta completa. . . , Walton añade un “Apéndice como respuesta a las Razones para no replicar. . . ”, y con esta publicación concluye la polémica.6

A pesar de que los escritos anteriores presentan completa la polémica en la que tomó parte activa Berkeley, he añadido un par de escritos más; uno de John Hanna, a quien se le conoció por haber hecho una traducción de los Éléments de la philosophie de Newton de Voltaire,7 de quien Jesseph nos dice que se trata de un astrónomo menor inglés. El escrito de Hanna, Algunas observaciones sobre el Apéndice del Sr. Walton. . . (1736), es el comentario crítico de un observador independiente de la polémica, quien se anima a disentir de algunas de las afirmaciones de Walton con respecto al movimiento y la velocidad, desde un punto de vista más bien cercano a Aristóteles que a las propuestas que se expresaron como reacción en contra de la formulación del estagirita. Con esto, Hanna muestra que tampoco concuerda con las tesis de Newton, aunque su visión es una de las que ya no se tenía una buena opinión en la época.

Por último, presento un escrito del reverendo Thomas Bayes (1702–1761), de quien se conoce una famosa teoría que comprende la noción de probabilidad inversa (esto es, su famoso teorema sobre probabilidad subjetiva), publicada después de su muerte, en 1763 y 1764, en las Philosophical Transactions de la Royal Society. El escrito, Introducción a la doctrina de las fluxiones y defensa de los matemáticos. . . (1736), lo había publicado Bayes anónimamente, pero luego se conoció la identidad del autor. En él encontramos nuevamente al crítico que, a la manera de Jurin, ataca a Berkeley más porque considera que los motivos de éste no son los que un hombre de iglesia debería tener, que por criticar a Newton; Bayes concede que es importante la crítica a los escritos científicos, aun cuando sus motivaciones deberían ser sólo las de la búsqueda de la verdad, más bien que los ataques a las personas y no sólo a las ideas. Haciendo de lado estas observaciones, el escrito de Bayes, una vez que ha descargado su molestia en contra de Berkeley, hace una presentación de las tesis de Newton que las precisa y las esclarece.

1 . Parte I: Los escritos matemáticos de George Berkeley

1 . 1 . “De infinitos”

Ciertamente Berkeley no fue un matemático, sino una persona, un filósofo, (muy) interesado en cuestiones matemáticas. Esto se hace patente en su pequeña conferencia “De infinitos”, leída ante la Dublin (Philosophical) Society el 19 de noviembre de 1707.8 En este escrito, Berkeley da muestras de tener un amplio conocimiento del trabajo matemático que se está desarrollando en el continente europeo; en él alude centralmente a matemáticos continentales y apenas si menciona la variante inglesa, newtoniana, del cálculo y a un escritor inglés, John Wallis.

Con lo anterior se hace claro que las preocupaciones de Berkeley con respecto a los fundamentos del cálculo no eran algo nuevo en él cuando 27 años después, en 1734, publica El analista. Su conferencia “De infinitos” por mucho tiempo fue una obra perdida, hasta que Swift Payne Johnston la descubrió y la publicó en 1901. En este breve ensayo, Berkeley da muestras de estar en contacto no sólo con la matemática británica, inspirada por Newton, sino también con la matemática continental que seguía los pasos de Leibniz y de los hermanos Bernoulli.9 En este escrito, Berkeley presenta una propuesta, desde una perspectiva semántica, en contra de las tesis que sostenía la mayoría de los distinguidos matemáticos de la época. Más o menos en el mismo año en que leyó “De infinitos”, Berkeley comienza la redacción de sus Comentarios filosóficos (1707–1708) y, por las notas que en ellos figuran, da muestras más amplias del profundo interés que tenía por la matemática de su tiempo y de sus conocimientos sobre la materia. A partir de esto es posible concluir que, aun cuando la redacción de El analista la hayan motivado ciertas circunstancias que en su momento precisaremos, ésta no era la obra de un advenedizo.

“De infinitos” es un escrito que se funda en principios empiristas, conforme a los cuales sólo son significativas las expresiones que aluden a ideas, y las ideas se obtienen de nuestro contacto con el mundo. Conforme a esta posición, no podemos tener ideas de algo infinitesimal o de algo infinito, por lo que hablar de infinitos, sean éstos grandes o pequeños, es expresar sinsentidos. Berkeley adopta una propuesta de Locke con la que simpatiza profundamente, que puede resumirse en lo siguiente: una “totalidad infinita” es una expresión contradictoria, pues pretende imponer un límite, una terminación, a algo que está siempre en proceso de crecimiento. Así, Berkeley concibe el infinito (siguiendo a Locke) como algo en crecimiento continuo, o bien, algo de lo que siempre podemos pensar que se puede ampliar. Como ejemplos de esto tenemos los números naturales, de los que siempre podemos pensar que, dado cualquier número, por grande que éste sea, hay uno mayor; de un espacio dado siempre podemos suponer que puede ampliarse más, etcétera.

Dicho en otros términos, Berkeley considera aquí magnitudes arquimedianas, esto es, magnitudes tales que, dadas dos de ellas, α, β, y tales que si α < β, existe un número (finito) p tal que pα ≥ β, y también existe un número finito q tal que α ≥ qβ. Esto es, siempre es posible alcanzar cualquier magnitud, por grande o por pequeña que ésta sea, en un número finito de pasos y, por otra parte, siempre podremos aumentarlas o disminuirlas si proseguimos el proceso. En terminología aristotélica, el infinito que aquí considera Berkeley es uno potencial, no un infinito en acto.

Ahora bien, si tenemos en cuenta que los matemáticos de la época aceptaban un principio arquimediano en su geometría, una crítica de Berkeley en contra de ellos está perfectamente bien dirigida. En efecto, en “De infinitos” leemos:

Esto, sin embargo, es muy común en los escritores de fluxiones o del cálculo diferencial, etc. Ellos representan, en papel, infinitesimales de varios órdenes como si tuviesen en sus mentes ideas que correspondiesen a esas palabras o signos, o como si no incluyese una contradicción que hubiese una línea infinitamente pequeña y aún otra infinitamente menor que ésa. A mí me es claro que no debemos usar ningún signo sin una idea que le corresponda, y es muy claro que no tenemos ninguna idea de una línea infinitamente pequeña, y no sólo eso, sino que es imposible que pueda haber alguna cosa así, pues toda línea, por pequeña que sea, es aún divisible en partes menores que ella misma. Por tanto, no puede haber ninguna cosa tal como una línea quavis data minor. (C1, pp. 235–236; p. ?? en este volumen)

En este pasaje encontramos una doble crítica a las propuestas infinitesimalistas de los matemáticos de la época. Por una parte, una propuesta que surge claramente de la posición empirista (Locke-Berkeley) a la que ya aludí, esto es, rechazar los infinitesimales porque de ellos no podemos tener idea alguna; de esto se sigue que si de algo no tenemos (ni podemos tener) idea alguna, entonces cualquier palabra que pretenda referirse a “eso” es un sinsentido. Pero, además de esta propuesta que puede rechazarse desde una posición filosófica diferente, se encuentra una observación que va de lleno al corazón mismo de la actividad matemática, a saber, recordarles a los matemáticos que, conforme a sus propios principios, es imposible que haya una línea que sea menor que cualquier otra línea, pues el principio arquimediano señala, justamente, que cualquier magnitud, por pequeña que sea, puede aún dividirse en otra menor. Así, nunca llegaremos a tener una magnitud menor que cualquier otra magnitud. No hay indivisibles, conforme a esta manera de ver las cosas.

En el pasaje que acabo de citar, Berkeley parece aceptar que cualquier magnitud puede dividirse de manera indefinida. A ese pasaje se puede añadir otro más, en el que Berkeley, luego de señalar algunas dificultades que le surgen a Leibniz, comenta: “Éstas son dificultades en las que han caído esos grandes hombres por aplicar la idea de infinitud a partículas de extensión excesivamente pequeña, pero reales y aún divisibles” (p. ??). Pero esta tesis no la mantendrá por mucho tiempo. En sus Comentarios filosóficos concluirá que cualquier magnitud perceptual se podrá dividir sólo hasta alcanzar los minima sensibilia, algo apenas perceptible que muy bien concuerda con su dictum central, Esse est percipi aut percipere. Una propuesta del pasaje que aquí comento, que perdurará en Berkeley, es la de criticar el paso de lo que se puede hacer con lápiz y papel a lo que se puede decir sobre el mundo. En un momento posterior de su desarrollo filosófico, lo que acabo de decir se podría formular de esta manera: Berkeley objeta el paso de una propuesta semántica a una propuesta ontológica. Lo que hará en El analista es adoptar una postura semántica menos estricta e interpretará la matemática en términos instrumentalistas, lo cual le permitirá aceptar su lenguaje, de una manera formal, sin tener que comprometerse ontológicamente con algún supuesto contenido.

1.2. El analista

En 1734, Berkeley se sintió obligado a escribir y a publicar El analista. Algunos matemáticos contemporáneos consideran que esta obra marca el inicio de la búsqueda de los fundamentos sólidos y rigurosos del cálculo.10 Según una vieja tradición, actualmente rechazada por los biógrafos de Berkeley, éste sintió esa obligación porque un amigo suyo le refirió que el doctor Samuel Garth, un amigo común, había muerto sin recibir los últimos auxilios espirituales. Esta situación lamentable fue posible gracias a la intervención de un matemático que convenció al moribundo de que la religión estaba cargada de misterios y de sofismas, y que por ello no valía la pena tenerle confianza alguna. Se suponía que el matemático en cuestión era Edmund Halley (1656–1742), el bien conocido astrónomo por quien se bautizó el famoso cometa.

Sea lo anterior como haya sido, ciertamente El analista tiene un profundo y fuerte carácter polémico: es un largo argumentum ad hominem en el que se intenta mostrar que aun cuando pueda haber misterios en la religión, la matemática de la época no carece de ellos. Los matemáticos harían mejor en intentar reparar las fallas en su propio territorio que ir y predicar en un territorio ajeno del que tienen poco o ningún conocimiento. Con esto, Berkeley les recuerda el precepto bíblico: “Primero saca la viga de tu ojo y luego podrás quitar la paja del ojo de tu hermano.”11

Vale la pena acotar que, como identificación de autoría de El analista, Berkeley señaló que este escrito había sido hecho “por el autor de El filósofo minucioso”, texto que Berkeley había publicado en 1732. Aquí me interesa ampliar un poco el contexto en el que se publicó este libro, pues la alusión a él en la portada de El analista no es casual en manera alguna.12

En el año de 1731 se dictó el último grupo de conferencias (o sermones) de la Cátedra Boyle (The Boyle Lectures), instaurada por Robert Boyle (1627–1691) un poco antes de su muerte. Este destacado irlandés, como lo fuera Berkeley, instituyó esa cátedra para que cada año, a partir de 1692, se ofreciera un conjunto de ocho conferencias (sermones) en alguna de las iglesias de Londres, y la finalidad de las conferencias era contrarrestar la labor de quienes rechazaban las enseñanzas de la religión cristiana (de manera precisa, el cristianismo protestante anglicano, esto es, el de la baja Iglesia de Inglaterra); estaban dirigidas contra los enemigos de la religión, a los que se les denominó librepensadores.13 En palabras de Boyle, las conferencias (o, mejor, sermones) servirían:

para demostrar la religión cristiana a los infieles notorios, a saber, ateos, teístas, paganos, judíos y mahometanos, sin descender a las controversias que se dan entre los cristianos mismos. Estas conferencias (lectures) han de ofrecerse el primer lunes de los meses respectivos [excluyendo junio, julio, agosto y diciembre] [. . .] y [servirán] para responder las nuevas objeciones y dificultades que puedan surgir, las que aún no han recibido buenas respuestas.*14

El calificativo de librepensadores se empleó para englobar todas las diferentes sectas. Algunos de los conferencistas Boyle (los llamados newtonianos: Richard Bentley, John Harris, Samuel Clarke, William Whiston, William Derham) apoyaron sus argumentos, a favor de la versión de religión que les interesaba, en la mayor obra científica de la época: Philosophiæ naturalis principia mathematica de Newton. Berkeley escribió su Alcifrón o el filósofo minucioso (la palabra que usa Berkeley es ‘minute’, que encierra una interesante ambigüedad, pues puede traducirse como “minucioso” —aludiendo a los alegatos de los librepensadores—, o bien como “diminuto” —“minúsculo”, o “nimio”—, aludiendo a la impresión que a Berkeley le producían estos filósofos, que se dedicaban a perder su tiempo en fruslerías y asuntos nimios, en lugar de usar su inteligencia en algo más elevado) con las mismas intenciones con las que Boyle había ideado su cátedra. Berkeley escribió el Alcifrón durante su estancia en Rhode Island (1729–1731), mientras esperaba el envío de fondos, por parte del gobierno inglés, para establecer una escuela en las colonias inglesas. Los fondos nunca le fueron enviados; regresó a Inglaterra en 1731 y publicó su libro en Londres, en 1732. El libro es un alegato apologético en favor de la religión cristiana, dirigido en contra de los llamados librepensadores, presentado como un largo diálogo dividido en siete capítulos. En éste presenta y critica, conforme a los cánones del credo anglicano y dentro del marco, ciertamente, de su inmaterialismo, las doctrinas de cuatro importantes librepensadores de la época.15 Dos años más tarde, en 1734, publica El analista, en el que también se dedica a la tarea de hacer una apología de la religión cristiana, pero ahora su alegato estará encaminado a señalar, en primer lugar, que si los librepensadores (aquí, específicamente matemáticos) señalan que hay oscuridad y misterio en la religión, también los hay en la matemática (el cálculo recién formulado por Leibniz y por Newton), y, en segundo lugar, señala que los misterios en la religión son de esperarse, pues en ella se trata de la naturaleza de la divinidad y éste es un tema que rebasa con mucho las capacidades de nuestras mentes;16 pero si hay misterios en la religión, no son algo que vaya en contra de nuestra razón, sino que son algo que rebasa nuestra razón; lo que no sucede en el caso de la matemática, la cual, al ser una creación del hombre, no debería tener misterios similares a los religiosos.17 En el mismo El analista, § 2, Berkeley declara que él sostendrá

el privilegio de un librepensador y me tomaré la libertad de inquirir por el objeto, los principios y el método de demostración que admiten los matemáticos de nuestros días, con la misma libertad con la que vosotros presumís tratar los principios y misterios de la religión, a fin de que todos los hombres puedan ver qué derecho tenéis de guiarlos o qué ánimo de seguirlos pueden tener otros.18

Esto es, aquí Berkeley declara que adoptará la posición de los librepensadores, pero dirigiéndola en contra de los librepensadores mismos, para poner en tela de juicio los cuestionamientos que han lanzado en contra de la religión, así como el supuesto fundamento que quieren encontrar en la nueva matemática.

Finalmente, en su escrito de 1735, Defensa del librepensamiento en matemáticas, el mismo Berkeley continúa representando, de manera expresa, el carácter de un librepensador (en el sentido señalado en el párrafo anterior) con respecto a las críticas que en contra suya lanzaron sus objetores. Con lo dicho hasta aquí, espero haber mostrado que, con la publicación de El analista, Berkeley continúa el ataque iniciado en su Alcifrón en contra de los enemigos de la religión (anglicana) o, dicho en términos positivos, continúa en El analista la apología de la religión cristiana, la cual es, a su vez, una continuación de la tarea que iniciara Robert Boyle al instaurar la cátedra que llevó su nombre.

Algo que quiero hacer antes de abandonar esta presentación amplia de las propuestas de Berkeley es subrayar la importancia que tienen los escritos que aquí comento para tener una idea cabal de la filosofía del que fuera obispo de Cloyne. Como lo he señalado en las últimas líneas que he escrito, Berkeley está por demás interesado en los mismos temas que especifica en el título ampliado de sus Principios del conocimiento humano, en los que se estudian las principales causas del error y de la dificultad en las ciencias, con los fundamentos del escepticismo, del ateísmo y de la irreligión. Así pues, el estudio de los escritos matemáticos de Berkeley es una parte esencial del estudio de la filosofía del autor irlandés, como lo son también sus otros escritos científicos (el De motu), apologéticos (el Alcifrón) y teológicos (sus sermones), así como otros escritos varios.

1.3. Presentación general de las tesis de Berkeley en El analista

Uno de los aspectos de las tesis de Berkeley que considero de gran importancia es su posición irreverente con respecto a la ortodoxia científica de la época. Aun cuando tenía un gran respeto por Locke y por Newton, Berkeley siempre retuvo su independencia de pensamiento. Se sintió libre para criticar las propuestas incluso de aquellos a quienes más respetaba. En Los comentarios filosóficos nos dice de manera explícita: “Si en ciertas cosas difiero de algún Filósofo que declaro admirar, es precisamente por eso en razón de lo cual lo admiro el amor por la verdad” (B6, p. 467).

En 1740, tal libertad de miras le ganó una reprimenda del naturalista George Louis Le Clerc Comte de Buffon, quien en ese año tradujo y publicó el método de las fluxiones de Newton: La Méthode des fluxions, et des suites infinies. En el prefacio, con una inclinación histórica que le escribió a su libro, Buffon regañó severamente a Berkeley y a Robins,19 puesto que se habían atrevido a criticar propuestas newtonianas. Por otra parte, Buffon alabó a Jurin por haber surgido como defensor de Newton, y en un pasaje inmediato dice de Robins: “él [Robins] comienza por censurarlo [a Newton] y por desaprobar su forma muy breve de presentar las cosas; enseguida da explicaciones a su manera y no teme sustituir sus nociones incompletas por las demostraciones de ese gran hombre”.20

No obstante, al menos un autor le dio crédito a Berkeley. En 1803, Robert Woodhouse publicó los Principles of Analytical Calculation. Cajori nos dice que Woodhouse “es el primer matemático inglés que se expresa en términos respetuosos y apreciativos de los servicios prestados por el obispo Berkeley”. Woodhouse considera que son válidas algunas de las objeciones de Berkeley que se habían declarado inválidas. Los métodos de tratar el cálculo, y aquí Cajori cita a Woodhouse, “están todos igualmente sujetos a la objeción de Berkeley, acerca de la fallacia suppositionis, o del cambio de la hipótesis” (E6, p. 263). Por otra parte, en el prefacio a su libro, Woodhouse señaló:

El nombre de Berkeley ha figurado en más de una ocasión en las páginas anteriores y no puedo abandonar esta parte de mi tema sin alabar El analista y las obras subsiguientes en tanto que forman la más satisfactoria controversia en ciencia pura que jamás se haya dado; a qué grado de perfección de claridad y de precisión lógica pueda llegar la doctrina de las fluxiones no es un tema a considerar. Pero mirad la doctrina como Berkeley la encontró y claramente se distinguen sus defectos en metafísica y en lógica. Si, con el propósito de habituar la mente al razonamiento preciso [. . .] yo hubiese de recomendar un libro, éste sería El analista. (E6, p. 266)

El mismo Cajori, en su importante libro sobre la historia de las fluxiones en la Gran Bretaña, dijo: “Fue en el año de 1734 cuando el obispo Berkeley lanzó su famoso ataque en contra de la doctrina de las fluxiones, lo que fue el punto de partida de toda la discusión filosófica de la nueva matemática en Inglaterra durante el siglo dieciocho” (E6, p. 2).

Como lo sugerí en la sección anterior, el ataque de Berkeley puede verse desde dos perspectivas diferentes:

a) semántica (ontológica), y

b) metodológica o sintáctica.

Antes de presentar, de manera general, estos dos aspectos de la crítica de Berkeley, permítaseme citar a William Rowan Hamilton (1805–1865), otro irlandés distinguido, quien expresa un sentimiento que Berkeley mismo hubiera suscrito en su momento:

Siempre he estado muy insatisfecho con las frases, si no es que con los razonamientos de analistas incluso muy eminentes sobre muy diversos temas [. . .]. Un algebrista que de tal manera eliminase los obstáculos metafísicos que se encuentran a la entrada del análisis, sin sacrificar esos métodos concisos y poderosos que constituyen su esencia y su valor, realizaría una tarea útil y merece el agradecimiento de la ciencia. (E6, p. 276)

1.4. Crítica semántica (ontológica)

En la primera parte de sus Comentarios filosóficos, y en particular en su “De infinitos”, Berkeley sostuvo una posición semántica radical: no hay palabras (significativas) sin ideas. Conforme a esta tesis, Berkeley vio que la mayoría de las palabras en el lenguaje matemático carecían de significado, puesto que no había ninguna idea que le correspondiese a ninguna de aquéllas. Un claro ejemplo de esto es la palabra “infinito”, si con ella uno intenta referirse a algún conjunto de objetos infinito en acto. “De infinitos” es un escrito breve en el que, bajo la influencia de Locke, Berkeley rechaza, como carente de significado o contradictoria de suyo, la propuesta que hacen los matemáticos de los infinitesimales (infinitesimæ infinitesimarum, etc.).21 Sin embargo, la posición semántica de Berkeley cambió, debido a algunos problemas serios que surgían de ella. En anotaciones tardías de los Comentarios filosóficos, Berkeley formula la tesis que tendrá un papel distinguido en la introducción a los Principios del conocimiento humano, conforme a la cual puede haber palabras significativas aun cuando no estén relacionadas con ninguna idea. Esta tesis la expresa claramente Berkeley cuando considera la aritmética y el álgebra,22 y la mantendrá en El analista. De manera más precisa, su tesis puede expresarse en los siguientes términos:

(TS) Hay expresiones que son significativas y que no se refieren a ideas.

Pero, teniendo en cuenta el caso específico del lenguaje matemático que aquí estamos considerando, (TS) puede precisarse de la siguiente manera:

(TSM) Hay expresiones que los matemáticos quieren usar con un carácter descriptivo. Sin embargo, las supuestas entidades a las que se intentan referir son (lógicamente) imposibles de la manera como las conciben. Por tanto, tales expresiones no son descriptivas de ninguna cosa o, al menos, no de las cosas de las que los matemáticos tratan de hablar. De cualquier manera, esas expresiones retienen su significado pues lo tienen debido al sistema de símbolos dentro del que están inmersas.23

La conclusión que se extrae de (TSM) es que tales expresiones matemáticas son significativas aun cuando no tengan referencia. Hay otro matiz que quiero señalar. Cuando Berkeley considera la geometría, supone que ésta es una ciencia descriptiva;24 pero, como tal, tiene que describir algo que sea posible. De aquí que se proponga darles un significado a las expresiones geométricas en términos finitistas, encontrar un medio de interpretar los enunciados geométricos que concuerden con nuestra experiencia perceptual del mundo, y ésta es tal que en ella no figura un número infinito de entidades (por ejemplo, puntos). Por lo tanto, de acuerdo con lo que he dicho, él no cuestiona la verdad de los enunciados geométricos (o físicos) de los grandes autores de su época. Ciertamente Berkeley no estaba ciego a los grandes avances en la explicación física del mundo, que en su tiempo era posible gracias a la aplicación de la matemática a la física, a la astronomía, etc. Más bien, lo que él ponía en cuestión eran las interpretaciones que daban los matemáticos de sus instrumentos y de los logros obtenidos mediante su uso.

1.5. Crítica metodológica

La meta de Berkeley en este caso era mostrar que no podía ser correcta la explicación que los matemáticos ofrecían de sus procedimientos (específicamente con respecto a la porción diferencial del cálculo, sea en la versión fluxionaria newtoniana o en la infinitesimalista leibniziana). Woodhouse (cfr. supra, p. 23) consideró que era pertinente la crítica de Berkeley acerca del cambio de la hipótesis. Doy ahora una versión general de qué sea esto.

Tal como Berkeley interpreta la argumentación matemática (tomando en cuenta obras matemáticas publicadas), ésta procede de la siguiente manera: los matemáticos obtienen resultados correctos (verdaderos, dice Berkeley), pero no debido al procedimiento que piensan que están siguiendo. Conforme a esto, primero postulan ciertas premisas (P) y obtienen un resultado determinado (R). Luego reemplazan (P) con un nuevo conjunto de premisas (P') de las que alguna(s) son incompatibles con alguna(s) de (P). Y de (P'), junto con (R) —puesto que retienen (R) aun cuando hayan cambiado (P) por (P')—, obtienen un resultado final (R'). Berkeley señala correctamente que (R') no podría haberse obtenido sólo de (P) o de (P') y que no es lógicamente correcto retener un resultado obtenido de premisas que se han rechazado. Ésta es la fallacia suppositionis o el cambio de la hipótesis.

Una crítica diferente la formula Berkeley en contra de la versión continental (leibniziana) del cálculo, en la que, conforme se llevan a cabo las demostraciones en esta versión, no hay un problema dinámico, sino un problema de uso de cantidades infinitesimales, y Berkeley encuentra, además, que los matemáticos parecen cometer un par de errores en su procedimiento, a pesar de lo cual obtenían resultados correctos.25 Esto ciertamente requería ser explicado. Berkeley pensó que había encontrado una respuesta a su problema al proponer una tesis de compensación de errores —según ya lo señalé en otro lugar—;26 no fue el único en hacer esta propuesta, aun cuando ciertamente fue el primero en formularla. Ante todo, los matemáticos cometen un error de exceso y luego uno de defecto en la misma proporción que el primero. Estos dos errores se compensan y lo que se obtiene es un resultado correcto. La conclusión de Berkeley es que, de esta manera, aun si los matemáticos alcanzan la verdad, no llegan a la ciencia.

Antes de concluir esta breve presentación del trabajo de Berkeley es interesante notar lo que dice Cajori de Lazare Nicholas Margherite Carnot refiriéndose a su entonces (1797) nuevo libro, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal:

Carnot explica la corrección de los resultados que se obtienen con el cálculo infinitesimal de Leibniz mediante la teoría de la compensación de errores, una teoría que Berkeley, mucho antes, había propuesto en su Analista. El Sr. Philip E.B. Jourdain ha encontrado claras indicaciones de esta teoría en [la obra] Fluxions de Maclaurin y en la Théorie des fonctions analytiques de Lagrange. (E6, pp. 262–263)

Como una última cuestión, permítaseme señalar que considero que Berkeley fue muy consciente de que, con su propuesta, no había ofrecido una explicación de los fundamentos del cálculo, sino que sólo había mostrado, en parte, la oscuridad que lo rodeaba. Lo que hizo, en sus palabras, fue explicar “cómo el error puede producir la verdad, aun cuando no pueda producir la ciencia”, y que esta última podría alcanzarse “hasta un tiempo tal en que el objeto y la finalidad de la geometría se entiendan mejor que lo que parecen haber sido entendidos hasta ahora”.

Añadiré aquí que lo que Berkeley hizo en El analista fue considerar algunos casos en los que su propuesta resultaba ser correcta, pero esto no puede tomarse como una demostración de que funcionara en general.27

2. Parte II: La polémica sobre El analista

James Jurin (Filaletes Cantabrigense; 1684–1750), además de ser un médico destacado (murió siendo presidente del Royal College of Physicians [Colegio Real de Médicos]), fue también miembro y secretario (esto último en el periodo 1721–1727) de la Royal Society of London; además de haber sido profesor de matemáticas en la Universidad de Cambridge, fue el enemigo paradigmático de Berkeley (o el defensor paradigmático de Newton), pues consideró que era oprobioso que alguien se animara a cuestionar las tesis del “incomparable” sir Isaac Newton. Ésta fue la actitud que tomaron los defensores de Newton: es vergonzoso que alguien se atreva a poner en duda sus propuestas. Felizmente no todos los matemáticos tuvieron esa actitud con respecto al trabajo de Berkeley y, por tanto, con respecto a la matemática fluxionaria de Newton; ésta se estudió, se comprendieron mejor los fundamentos del análisis y, finalmente, se abandonaron tanto la versión dinámica newtoniana como su notación de puntos y rayas, se adoptó la notación continental de Leibniz, de los Bernoulli, de l’Hôpital, etc., y, finalmente, los matemáticos de los siglos XIX y XX afinaron sus instrumentos y dieron, por último, una caracterización clara y precisa del análisis.28

Jurin interviene con dos escritos en la polémica sobre El analista: La geometría no es amiga de la infidelidad. . . y El matemático minucioso o el librepensador no es (sólo) un pensador (justo) —esto último traduce The Free-Thinker No Just-Thinker, donde “Just” puede traducirse en cualquiera de las versiones señaladas: “sólo”, “justo”—.

2.1. Jurin vs. Berkeley: La geometría no es amiga de la infidelidad. . .

A partir de la p. 62/166, Jurin considera el caso que Berkeley presenta en El analista, § 21, donde toma como ejemplo, para explicar (según lo señala en § 20) cómo es que los matemáticos pueden “deducir proposiciones verdaderas de principios falsos, estar correctos en las conclusiones y, sin embargo, errar en las premisas”, el caso del trazo de una tangente a una curva, y esto hecho conforme a la versión continental. Según Berkeley, este caso y otros más que presenta y en los que surge la aparente paradoja que él plantea (obtener conclusiones verdaderas de premisas falsas) se pueden explicar debido a que se cometen dos errores, uno por exceso y otro por deficiencia, errores que al ser iguales, uno en más y el otro en menos, se compensan y producen un resultado verdadero. Acerca de esto decía que Jurin, al inicio de su crítica de la propuesta de Berkeley, comienza con las siguientes palabras:

Sólo vuestra suposición de un doble error en el método de las fluxiones y el uso que hacéis de ella para mostrar cómo se obtienen conclusiones verdaderas de principios falsos, por medio de errores contrarios que se compensan exactamente entre sí, posee algo tan extraordinario como para que requiera y merezca una consideración especial. (p. 62 in fine/??)

Pero, en realidad, para nada había mencionado Berkeley el método newtoniano de las fluxiones, el cual ya lo había considerado en los dos casos antes señalados. Jurin concluye su ejercicio retórico en la p. 71/??. Hay que reconocer que la propuesta de Berkeley es muy problemática; pero, según lo señalé en E21 y lo repito en mis notas a los textos de Berkeley y de Jurin, Berkeley fue el primero que formuló esta manera como una posible explicación de la corrección final del resultado a pesar de haber partido de “premisas falsas”, pero no fue el único, pues posteriormente destacados matemáticos volvieron a proponerlo, aunque sin dar a conocer el origen de su propuesta.

Jurin concluye su intervención en este escrito objetándole a Berkeley sus críticas a la doctrina de las ideas abstractas de John Locke. Las observaciones de Jurin son, en general, muy precipitadas y le achaca al autor irlandés confusiones que éste nunca tuvo.

2.2. Jacob Walton: Vindicación de los principios de las fluxiones de sir Isaac Newton. . .

Inmediatamente después de la aparición del escrito de Jurin, Walton publicó otro más en contra del autor de El analista. Sigue muy de cerca las observaciones de Jurin, tanto en contenido como en estilo; en efecto, Walton comienza analizando las causas y motivos de la conducta de Berkeley al publicar éste su Analista y concluye que el irlandés critica a Newton, entre otras cosas, porque escribió sobre asuntos religiosos.

Walton, pues, para contrarrestar las críticas de Berkeley, quien señaló que las fluxiones son algo difícil de entender, se propone dar una explicación de lo que éstas puedan ser (pp. 5– 19/200–209) y, para ello, intenta primeramente dar una explicación de lo que sean los momentos o, según él lo señala, los incrementos o decrementos momentáneos de cantidades fluyentes (en el caso newtoniano —en su Tractatus de Quadratura Curvarum (C12)—, la generación de líneas, planos y sólidos se efectúa, de manera dinámica, mediante el movimiento continuo de puntos —que generan líneas—, de líneas —que generan planos— y de planos —que generan sólidos—) y lo que se busca es determinar las razones o proporciones entre tales momentos; pero, de manera precisa, Walton señala que lo importante es obtener la razón primera de los incrementos o la razón última de los decrementos, y estas razones corresponden, según lo presenta este autor, a la proporción con la que comienzan a existir o bien a la proporción con la que cesan de existir tales cantidades fluyentes. El problema que aquí surge es que, así formulada la cuestión, no podemos obtener ninguna proporción, pues ésta no puede existir 1) antes de que las cantidades fluyentes comiencen a fluir o una vez que han dejado de fluir; pero, por otra parte, 2) si el tiempo y el recorrido de los móviles son continuos, no podemos asignarles un primero (o último) momento antes de que inicien (o concluyan) su recorrido, por lo que no se puede asignar esa primera (o última) razón del movimiento de los móviles.

Walton concluye su escrito intentando deslindar el trabajo newtoniano del cálculo continental de infinitesimales, pero, según lo señalo en infra, IV, nn. 31–33, no logra tampoco realizar este cometido.

2.3. Berkeley vs. Jurin y Walton

Berkeley le responde a Jurin in extenso y, como respuesta a Walton, añade un apéndice.

A. Berkeley vs. Jurin: Defensa del librepensamiento en matemáticas31

Berkeley denomina así su respuesta a Jurin y aquí comienza por extenderse en rechazar los comentarios ofensivos de Jurin; entre otras cosas, señala un principio básico de la investigación científica (§ 12): “En un asunto de mera ciencia, donde la autoridad nada tiene que ver, vos constantemente intentáis intimidarme con autoridades y llenarme de envidia”, y, a este respecto, Berkeley está plenamente justificado al señalar que la razón y no la autoridad es la que debe regir en la discusión científica; sobre este asunto abunda más en los apartados siguientes.

Berkeley continúa subrayando su crítica a las propuestas newtonianas difíciles de conciliar entre sí, como lo que Newton pensaba que fuera un momentum: una cantidad finita, un infinitesimal o un mero límite (en § 36), preguntas a las que Jurin no había dado respuesta satisfactoria.

Después, el escrito aclara las propuestas presentadas en El analista y solicita respuestas precisas de Jurin, hasta llegar a la última parte de la réplica de Jurin, en la que éste presenta objeciones sobre el tema de la crítica de Berkeley a la doctrina de las ideas abstractas de Locke. Aquí, Berkeley mantiene la posición que publicó en la introducción a Los principios del conocimiento humano, y con ello puede rechazar el ataque de Jurin, quien en muy diversas partes lo malinterpreta.

B. Berkeley vs. Walton: Apéndice

A continuación de su réplica a Jurin, Berkeley añade un apéndice, con el cual responde el escrito de Walton. La respuesta es breve y, en su primera parte, Berkeley señala que el texto de Walton es muy similar al de Jurin, así en el contenido como en la forma, tanto en las acusaciones a Berkeley, parecidas a las que formula Jurin, como cuando intenta refutar las propuestas del autor de El analista. A pesar de considerar que es muy pobre la participación de Walton y de “reprenderlo” por no querer dejarse catequizar, Berkeley le propone a su coterráneo que, para bien de sus educandos, lo cual ellos le agradecerán, les aclare un grupo selecto de problemas (que Berkeley precisa), los cuales formuló desde El analista y a los que ni Jurin ni él respondieron satisfactoriamente, y con esto da fin a su réplica.

2.4. Jurin vs. Berkeley: El matemático minucioso. . .

A la Defensa. . . berkeleyana, junto con su apéndice, responden tanto Jurin como Walton. La respuesta de Jurin es un largo escrito, no tanto por su contenido matemático, sino por la carga de burla, y quizá de resentimiento, en contra de Berkeley. A lo largo de su escrito, Jurin formula dos o tres propuestas de interés, y en lo demás demuestra su conocimiento de El paraíso perdido de Milton y de su habilidad para convertir en pusilánime el verso heroico miltoniano.

2.5. Walton vs. Berkeley: Respuesta completa al catecismo del autor de El filósofo minucioso. . .

Walton le responde a Berkeley señalando que puede responder todas las cuestiones que le ha propuesto y, sobre todo, mantiene que es claro que hay movimiento en un punto, lo cual implica que el movimiento puede darse sin extensión; por otra parte, Walton sostiene que siempre que hay movimiento, hay una causa que lo produce, por lo que “la velocidad [del móvil] no puede ser la misma en dos puntos cualesquiera del espacio descrito, por cercanos que éstos puedan estar”.

2.6. Berkeley vs. Walton: Razones para no replicar a la Respuesta completa del Sr. Walton. . .

Berkeley concluye su participación en esta polémica escribiendo un texto satírico como respuesta al escrito de Walton, en el que arguye que éste es un aliado suyo, disfrazado de defensor de Newton, pues sus argumentos en favor del gran autor inglés son tan obviamente malos, que esto debe servir de prueba de que su inclinación es, más bien, la de favorecer el alegato de Berkeley en contra de Jurin.

2.7. Walton vs. Berkeley: “Apéndice como respuesta a las Razones para no replicar. . .”

Para concluir este alegato, Walton saca una segunda edición de su Respuesta completa. . . , a la que añade la respuesta al último escrito de Berkeley, y en ella nuevamente sostiene todo lo que dijo en su escrito anterior y señala que la velocidad es una especie de atributo del cuerpo (a diferencia de lo que defendía Newton con respecto a propiedades activas en la materia inerte) y también reitera que la velocidad existe en un punto.

2.8. Hanna vs. Walton: Algunas observaciones sobre el Apéndice del Sr. Walton. . .

Justamente a partir de esta respuesta de Walton a Berkeley aparece el escrito de John Hanna, cuya posición es sorprendente en una época en la que Newton se ha convertido en el santo patrón de los científicos, pues aunque las observaciones de Hanna no se formulan directamente en contra de Jurin o en favor de Berkeley, sí son propuestas expresamente contrarias a las tesis de Newton, a pesar de que se presentan en términos de tesis que fueran sostenidas por pensadores aristotélicos o escolásticos, ya muy poco tomadas en cuenta desde las críticas cartesianas o incluso renacentistas anteriores. Newton, por su parte, las había llegado a desbancar de manera radical y, así, aun cuando podamos ver a Hanna como un pensador que no se deja guiar por las inclinaciones de la época, habrá que decir que tampoco tuvo la suficiente lucidez como para ver la importancia de los hallazgos de Newton.

2.9. Thomas Bayes vs. Berkeley: Introducción a la doctrina de las fluxiones. . .

Finalmente, en la propuesta de Bayes, en su poco conocida intervención en la polémica sobre los fundamentos del cálculo, Introducción a la doctrina de las fluxiones y defensa de los matemáticos en contra de las objeciones del autor de