Matemática aplicada a los negocios E-Book

Victor Cabanillas Zanini

• Herausgeber: Fondo editorial Universidad de Lima
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2021

Seitenzahl: 279

Beschreibung

Matemática aplicada a los negocios es un libro que sirve de guía y apoyo a los estudiantes del Programa de Estudios Generales que aspiran a seguir una carrera en la Facultad de Ciencias Empresariales y Económicas de la Universidad de Lima. Los autores, docentes de amplia trayectoria en las aulas universitarias, presentan, a través de sus siete capítulos, los conceptos del análisis matemático de manera intuitiva y didáctica. El capítulo 1 contiene una revisión de las funciones elementales e inicia el estudio de los modelos matemáticos. En el capítulo 2 se explican las nociones de límite y continuidad de una función y sus aplicaciones. En el capítulo 3 se examina la derivada de una función y se estudian las reglas de derivación, la regla de la cadena, la derivación implícita y las derivadas de orden superior. El capítulo 4 estudia las aplicaciones de la derivada a los negocios. La derivada de las funciones trascendentes y sus aplicaciones se desarrollan en el capítulo 5. En el capítulo 6 se aborda la integral indefinida y los principales métodos de integración. Finalmente, en el capítulo 7 se presenta la integral definida y varias de sus aplicaciones, así como las integrales impropias. Al final de cada sección el lector encontrará problemas y ejercicios propuestos para afianzar lo aprendido. Y en las páginas finales se han incluido sus respectivas respuestas.  

Leseprobe

Matemática aplicada a los negocios / Víctor Cabanillas, Tomás Núñez, Luis Huamán, Luis Toro y Jorge Urdanivia. Primera edición. Lima: Universidad de Lima, Fondo Editorial, 2021.

396 páginas: diagramas, gráficos.

Referencias: página 393.

1. Matemáticas. 2. Funciones (Matemáticas). 3. Modelos matemáticos. 4. Cálculo diferencial 5. Cálculo integral. I. Universidad de Lima. Fondo Editorial.

330.0151

M ISBN 978-9972-45-575-9

Matemática aplicada a los negocios

Primera edición impresa: septiembre, 2021

Primera edición digital: octubre, 2021

© Víctor Cabanillas Z., Tomás Núñez L., Luis Huamán R., Luis Toro M., Jorge Urdanivia E.

© De esta edición

Universidad de Lima

Fondo Editorial

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Urb. Fundo Monterrico Chico, Lima 33 Apartado postal 852, Lima 100, Perú

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Diseño, edición y carátula: Fondo Editorial de la Universidad de Lima

Imagen de carátula: Shutterstock.com

Versión e-book 2021

Digitalizado y distribuido por Saxo.com Perú S. A. C.

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Lima - Perú

Se prohíbe la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso expreso del Fondo Editorial.

ISBN 978-9972-45-575-9

Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú n.o 2021-11582

Índice

Presentación

Capítulo 1: Funciones elementales y modelos matemáticos

1.1. Introducción

1.1.1 Gráfico de una función

1.2. Funciones elementales

1.2.1 Función constante

1.2.2 Función lineal

1.2.3 Función cuadrática

1.2.4 Función raíz cuadrada

1.2.5 Función valor absoluto

1.3. Operaciones con funciones

1.4. Ejercicios resueltos

1.5. Funciones definidas por tramos

1.6. Ejercicios resueltos

1.7. Ejercicios propuestos

1.8. Modelos matemáticos

1.9. Ejercicios y problemas propuestos

Capítulo 2: Límites de funciones

2.1. Introducción

2.2. Definición y ejemplos

2.3. Cálculo de límites

2.4. Límites con indeterminación de forma

2.5. Ejercicios resueltos

2.6. Ejercicios propuestos

2.7. Límites laterales

2.8. Ejercicios resueltos

2.9. Ejercicios propuestos

2.10. Límites infinitos

2.10.1 Interpretación geométrica de los límites infinitos

2.11. Ejercicios propuestos

2.12. Límites al infinito

2.12.1 Límites al infinito de funciones racionales

2.12.2 Límites al infinito de funciones irracionales

2.12.3 Interpretación geométrica de los límites al infinito

2.13. Ejercicios resueltos

2.14. Ejercicios propuestos

2.15. Aplicaciones de los límites infinitos y al infinito

2.15.1 Problemas de aplicación resueltos

2.16. Ejercicios propuestos

2.17. Funciones continuas

2.18. Ejercicios y problemas propuestos

Capítulo 3: La derivada en el campo de los negocios

3.1. Introducción

3.2. La derivada: definición y ejemplos

3.3. Reglas de derivación

3.3.1 Derivada de una potencia

3.3.2 Derivada del producto

3.3.3 Derivada del cociente

3.3.4 Interpretación geométrica de la derivada

3.4. Ejercicios propuestos

3.5. Regla de la cadena

3.6. Ejercicios y problemas propuestos

3.7. Derivación implícita

3.8. Ejercicios y problemas propuestos

3.9. Derivadas de orden superior

3.10. Ejercicios propuestos

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada a los negocios

4.1. Introducción

4.2. Razón de cambio

4.3. Ejercicios y problemas propuestos

4.4. Análisis marginal

4.4.1 Costo marginal

4.4.2 Ingreso marginal

4.4.3 Utilidad marginal

4.5. Problemas propuestos

4.6. Regla de L’Hôpital

4.7. Ejercicios propuestos

4.8. Diferenciales

4.9. Problemas propuestos

4.10. Gráficas de funciones: criterio de la primera derivada

4.10.1 Criterio de la primera derivada

4.11. Problemas propuestos

4.12. Concavidad y criterio de la segunda derivada

4.12.1 Criterio de la segunda derivada

4.13. Problemas propuestos

4.14. Optimización de funciones

4.15. Problemas propuestos

Capítulo 5: Funciones trascendentes y sus derivadas

5.1. Introducción: el número e

5.1.1 El interés compuesto y el número e

5.2. Función exponencial

5.3. Función logarítmica

5.3.1 Propiedades de la función logarítmica

5.4. Derivadas de las funciones exponencial y logarítmica

5.5. Aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica

5.6. Problemas resueltos

5.7. Ejercicios y problemas propuestos

5.8. Derivadas de las funciones trigonométricas y sus inversas

5.8.1 Funciones trigonométricas

5.8.2 Derivadas de las funciones trigonométricas

5.8.3 Funciones trigonométricas inversas

5.8.4 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

5.9. Ejercicios propuestos

Capítulo 6: Métodos de integración y aplicaciones

6.1. Introducción

6.2. La integral indefinida

6.3. Ejercicios propuestos

6.4. Métodos de integración: método de sustitución o cambio de variables

6.5. Ejercicios propuestos

6.6. Métodos de integración: método de integración por partes

6.7. Ejercicios propuestos

6.8. Aplicaciones de la integral indefinida

6.9. Ejercicios y problemas propuestos

6.10. Integrales que contienen expresiones cuadráticas

6.11. Ejercicios propuestos

6.12. Integración por descomposición en fracciones parciales

6.13. Ejercicios y problemas resueltos

6.14. Ejercicios y problemas propuestos

Capítulo 7: La integral definida y sus aplicaciones en los negocios

7.1. Introducción

7.2. La integral definida

7.3. Ejercicios resueltos

7.4. Ejercicios propuestos

7.5. Aplicaciones de la integral definida: cálculo de áreas de regiones planas

7.6. Ejercicios resueltos

7.7. Ejercicios propuestos

7.8. Aplicaciones de la integral definida: integrales impropias

7.9. Ejercicios resueltos

7.10. Ejercicios propuestos

7.11. Aplicaciones de la integral definida: valor acumulado y valor promedio

7.12. Ejercicios resueltos

7.13. Ejercicios y problemas propuestos

7.14. Aplicaciones de la integral definida: excedentes del consumidor

7.15. Ejercicios resueltos

7.16. Ejercicios y problemas propuestos

7.17. Aplicaciones de la integral definida: excedente del productor

7.18. Ejercicios resueltos

7.19. Ejercicios y problemas propuestos

Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos

Referencias

Acerca de los autores

Presentación

La matemática está cada vez más presente en el lenguaje diario de los profesionales de la administración, la economía, las finanzas, los negocios y las ciencias sociales. Los modelos matemáticos y las conclusiones que podamos extraer de estos juegan hoy en día un rol fundamental en la descripción del comportamiento cualitativo y cuantitativo de variables como el precio de un producto, su oferta y demanda, así como del costo, el ingreso y la utilidad. En tal sentido, el manejo del lenguaje matemático, desde el punto de vista de la interpretación de resultados, y no como mero cálculo, acompañado del uso de la tecnología, constituye un valor agregado en los profesionales de estas áreas.

Matemática aplicada a los negocios es un libro de texto que sigue la estructura curricular del curso del mismo nombre que se dicta cada ciclo a los estudiantes que seguirán las carreras de Administración, Contabilidad, Economía, Marketing y Negocios Internacionales en la Universidad de Lima, se adecua a las necesidades académicas de los estudiantes de estas carreras en otras instituciones.

Presenta, de manera práctica y directa, los conceptos y técnicas del cálculo diferencial e integral en una variable real, aplicados a situaciones en las que el estudiante debe tratar con funciones de producción, oferta, demanda, precio, costo, ingreso y utilidad, entre otras. También pone énfasis en el modelaje matemático; es decir, en ejercitar al estudiante en la transformación de un problema real al lenguaje matemático. El análisis del comportamiento cualitativo de los modelos matemáticos, así como la interpretación de los resultados, son los principales objetivos del texto.

Esta obra ha sido organizada en siete capítulos. En cada uno de ellos, el lector encontrará la teoría del tema, así como una buena cantidad de ejercicios y problemas resueltos, en los que se muestran las estrategias y la manera de abordar un problema aplicado a los negocios, así como la interpretación de los resultados obtenidos. Al finalizar cada sección, encontrará un conjunto de ejercicios y problemas que le permitirán reforzar y afianzar lo estudiado. Además, el lector podrá comprobar si los resultados obtenidos son correctos al revisar las páginas finales del libro, en las que han sido incluidas todas las respuestas.

En el capítulo 1 se revisan las funciones elementales y se estudia el dominio, rango y gráficos de funciones que se construyen a partir de estas. En la parte final de este capítulo estudiamos los modelos matemáticos que estarán presentes a lo largo de todo el texto. En el capítulo 2 se inicia el estudio del cálculo diferencial aplicado a los negocios. Se trata la idea del límite de una función y se calculan límites laterales, límites infinitos y al infinito, así como sus respectivas interpretaciones geométricas, lo que permite determinar sus asíntotas y estudiar el comportamiento a largo plazo de varias funciones. Este segundo capítulo concluye con el estudio de las funciones continuas. El capítulo 3 está dedicado al estudio de la derivada, su origen e interpretación geométrica, así como las reglas de derivación, la regla de la cadena, la derivación implícita y las derivadas de orden superior. En el capítulo 4 se presenta un conjunto de aplicaciones de la derivada, iniciando con la interpretación de la derivada como razón de cambio, y a través de problemas contextualizados se muestra la derivada como una herramienta matemática que permite hacer pronósticos acerca del comportamiento futuro de funciones, como el precio, la oferta, la demanda, la producción, etcétera. Las funciones costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal, también aparecen de manera natural como una forma de interpretar la derivada de las funciones costo, ingreso y utilidad para incrementos unitarios del número de unidades producidas o vendidas. Para incrementos no unitarios se estudia el diferencial de una función y se utiliza para aproximar la variación de funciones como costo, ingreso, utilidad, producción, precio, entre otras. En este capítulo también se muestra cómo utilizar la derivada para calcular, de manera más ágil y simple, los límites de formas indeterminadas, mediante la regla de L’Hôpital. El estudio del signo de la primera y segunda derivada de una función permite, como se muestra en este capítulo, estudiar su comportamiento mediante los criterios de la primera y segunda derivada. El cuarto capítulo termina aplicando estos criterios a la solución de problemas de optimización.

Las funciones estudiadas en los cuatro primeros capítulos son polinómicas, racionales, irracionales y combinaciones de estas. Las funciones trascendentes y sus derivadas se estudian en el capítulo 6. Como veremos, las funciones exponencial y logarítmica son muy utilizadas para describir el comportamiento del precio de un producto a través de sus funciones de oferta y demanda. Estas funciones también aparecen en la descripción del número de contagiados en una población ante una epidemia, por ejemplo. Por otra parte, fenómenos periódicos, es decir, aquellos que se repiten cada cierto intervalo de tiempo, como las temperaturas o el consumo de electricidad, se describen mediante funciones trigonométricas. En este capítulo se estudian problemas en los que nos encontramos nuevamente con la razón de cambio, el análisis marginal o los diferenciales, pero para situaciones descritas por funciones trascendentes.

En el capítulo 6 se inicia el estudio del cálculo integral aplicado a los negocios. Se estudia el proceso inverso de la derivación. Si antes, al derivar una función podíamos conocer su razón de cambio, ahora, conociendo la razón de cambio de una función, y una condición inicial, aprenderemos a descubrir cuál es esa función. Ese proceso se denomina integración. En este capítulo se estudia la integral indefinida de una función y los métodos de integración por sustitución y por partes, así como algunas técnicas para integrar funciones que contienen expresiones cuadráticas y otras que deben ser descompuestas en fracciones parciales.

En el capítulo 7 se estudia la integral definida y varias de sus aplicaciones, como el cálculo del área de una región plana, lo que permite introducir la integral definida en el cálculo del excedente de los productores y de los consumidores. También se utiliza la integral definida en el estudio de la convergencia o divergencia de integrales impropias, así como para calcular el valor acumulado y el valor promedio de una función.

Los autores deseamos expresar nuestro agradecimiento a todos los docentes que en los últimos años dictaron el curso de Matemática Aplicada a los Negocios y que con sus propuestas y sugerencias contribuyeron al desarrollo de este texto, así como también por la revisión de las respuestas a todos los ejercicios y problemas propuestos. Asimismo, agradecemos al profesor Benito Comeca por su dedicado trabajo de digitación y diagramación.

Finalmente, queremos agradecer al Programa de Estudios Generales y al Fondo Editorial de la Universidad de Lima por su incentivo y dedicación en la publicación de este libro.

Los autores

Capítulo 1

Funciones elementales y modelos matemáticos

Situaciones de la vida real como el tamaño de una población, el precio de un producto y su evolución en el tiempo, la utilidad o los ingresos que genera la venta de un artículo pueden describirse con lenguaje matemático y modelarse con funciones. En este capítulo haremos una revisión de las funciones elementales, sus operaciones, y estudiaremos su utilidad en el modelamiento de situaciones ligadas a los negocios.

Conocimientos previos

Álgebra elemental; inecuaciones; dominio y rango de una función; operaciones con funciones.

Secciones

✓ Funciones elementales

✓ Operaciones con funciones

✓ Funciones definidas por tramos

✓ Modelos matemáticos

Sabes

Capacidades adquiridas:

✓ Resolver ecuaciones e inecuaciones algebraicas.

✓ Plantear ecuaciones.

✓ Efectuar operaciones con funciones.

✓ Determinar el dominio y rango de funciones elementales.

✓ Graficar funciones.

Piensas

Competencias por lograr:

✓ Graficar funciones definidas por tramos, así como funciones que son resultado de operaciones entre funciones elementales.

✓ Formular modelos matemáticos mediante funciones para situaciones en el campo de los negocios.

✓ Identificar los modelos matemáticos como una herramienta para la descripción de situaciones reales.

Haces

Habilidades por desarrollar:

✓ Resolver situaciones reales usando modelos matemáticos.

✓ Formular modelos matemáticos para la descripción de situaciones reales.

1.1. Introducción

Muchas situaciones de la vida real obedecen a ciertas reglas, dependen de una o más cantidades y pueden ser modeladas por funciones. Por ejemplo, el área de un círculo o el volumen de una esfera dependen de la longitud de su radio; la producción de una fábrica depende del número de trabajadores; el costo de un producto puede variar con el paso del tiempo, etcétera.

Figura 1.1

En este capítulo, haremos una revisión de las funciones elementales que se estudiaron en el curso Matemática Básica y mostraremos varias situaciones relacionadas con los negocios que pueden ser descritas por medio de funciones (modelos mate-máticos).

Recordemos que una función real de variable real es una correspondencia que asocia a cada elemento x de un conjunto A ⊆ un único elemento f (x) en un conjunto B ⊆ . El conjunto A es llamado dominio de la función f y es denotado por Dom (f), mientras que el conjunto de todos los números f (x), con x ∈ A, es llamado rango de f y denotado por Ran (f).

Dado un elemento x ∈ Dom (f), el número f (x) debe ser leído como “f de x” y es llamado imagen de x mediante f.

Ejemplo 1.1

Considere un cuadrado cuyo lado mide x cm. Sabemos que su área es igual a x2 cm2. Es decir, a cada valor positivo de x le corresponde un único valor para el área. Por tal razón, decimos que el área del cuadrado es una función de la medida de su lado y podemos escribir:

Figura 1.2

Como vemos, si variamos el valor de x, variará también el valor de A (x); es decir, el valor de A (x) depende del valor de x. Por tal razón, decimos que x es una variable independiente, mientras que A (x) es la variable dependiente.

1.1.1 Gráfico de una función

Dada una función f con dominio A, el gráfico de f se define como el siguiente conjunto de pares ordenados:

Figura 1.3

Ejemplo 1.2

Figura 1.4

1.2. Funciones elementales

1.2.1 Función constante

La función constante se define como:

Donde la letra C denota una constante real. Ya que para cualquier número real x la función f toma el mismo valor, esta es llamada función constante. Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje de ordenadas Y en el punto C.

Para C > 0:

Figura 1.5

Para C < 0:

Figura 1.6

Ejemplo 1.3

Figura 1.7

Figura 1.8

1.2.2 Función lineal

La función lineal se define como:

Donde m y b son constantes reales. Esta función debe su nombre al hecho de que su gráfica es una línea recta. Como sabemos, la constante m representa la pendiente de la recta, mientras que la constante b, el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas Y.

Figura 1.9

Figura 1.10

Ejemplo 1.4

Figura 1.11

1.2.3 Función cuadrática

Definimos la función cuadrática por:

Donde a, b y c son constantes reales y exigimos que a ≠ 0, pues, de lo contrario, la función se convertiría en lineal.

Como sabemos del curso Matemática Básica, la gráfica de la función cuadrática es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del coeficiente a.

Si el coeficiente a es positivo, la gráfica será una parábola que se abre hacia arriba. En caso contrario, cuando a sea negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. Un elemento importante de cualquier parábola es su vértice, que es dado por:

El gráfico 1.12 resume lo anterior:

Figura 1.12

Ejemplo 1.5

La gráfica de la función f es:

Figura 1.13

1.2.4 Función raíz cuadrada

La función raíz cuadrada se define como:

Observación 1.1

Recordemos que, para calcular la raíz cuadrada de un número real, es necesario que este sea no negativo; es decir, mayor o igual que cero. Por tal razón, exigimos que x ≥ 0 en la definición de esta función.

Observación 1.2

También debemos recordar que la raíz cuadrada de un número es siempre mayor o igual que cero. Es decir:

Como son números reales no negativos, su gráfico se encuentra en el primer cuadrante y es dado por:

Figura 1.14

1.2.5 Función valor absoluto

La función valor absoluto se define como:

Recordemos que el valor absoluto de un número real se define como:

La gráfica de esta función es:

Figura 1.15

1.3. Operaciones con funciones

En esta sección encontraremos el dominio de ciertas funciones combinadas. Llamamos funciones combinadas a aquellas que se definen como suma, diferencia, producto, cociente o composición de las funciones elementales que revisamos en la sección anterior.

Antes de comenzar con los ejemplos, vale la pena hacer algunas observaciones.

Observación 1.3

Dadas las funciones f y g, las funciones suma f + g, diferencia f – g y producto f g se definen como:

Por lo tanto, estas funciones estarán definidas en aquellos puntos x en los que ambas funciones estén definidas. Es decir, el dominio de f + g, f – g y f g se obtiene como la intersección de los dominios de las funciones f y g.

Veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1.6

Considere las funciones:

vemos que esta es la suma de g y h. Luego, su dominio será:

Ejemplo 1.7

Ahora, considere la función:

Notemos que f está definida como la suma de las funciones:

Veamos cuál es el dominio de f. Para que las funciones g y h existan, debemos exigir que:

Es decir,

Entonces,

Observación 1.4

Dadas las funciones f y g, la función cociente se define como:

Por lo tanto, esta función está definida en aquellos puntos x en los que ambas funciones f y g están definidas y además g (x) ≠ 0.

Ejemplo 1.8

Considere la función:

1.4. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

Para hallar el dominio de cada una de estas funciones, aplicaremos algunas propiedades y definiciones que se estudiaron en el curso Matemática Básica.

a) Siendo el dominio de las funciones del numerador y denominador de f, basta exigir que el denominador sea distinto de cero. Pero:

Por lo tanto,

b) Notemos que la función

contiene una raíz cúbica en el numerador y que la raíz cúbica, así como cualquier raíz impar, está definida para cualquier número real, por lo que no hay ninguna restricción en el numerador de f.

En el denominador, debemos exigir que x3 – x2 – 2x ≠ 0.

Factorizando, tenemos:

Es decir, x ≠ 0, x ≠ –1 y x ≠ 2. Por lo tanto:

Ejercicio 1.2

Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

Veamos:

a) Para que la función esté definida, debemos exigir que 9 – x2 ≥ 0. Cambiando de signo, podemos escribir x2 – 9 ≤ 0. Es decir,

Aplicando el método de los puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.16

b) La función está compuesta por una raíz cuadrada y un polinomio en el denominador que no puede anularse.

Entonces,

O lo que es lo mismo:

Si resolvemos la inecuación anterior por el método de los puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.17

Por lo tanto,

Note que no fue necesario extraer el punto – 4 del dominio, pues este no pertenece a ninguno de los intervalos componentes.

c) En la función , hay dos sumandos. La única exigencia sobre el primer sumando es que x ≠ 0. En cuanto al segundo sumando, debemos exigir que:

Pero x2 + 4 es siempre positivo, independientemente del valor que asuma x. Por lo tanto, si el numerador de la expresión anterior es positivo, su denominador deberá ser positivo para que el cociente exista y sea no negativo. Luego, debemos tener 1 – x > 0, es decir x < 1.

Por lo tanto,

Propiedades del valor absoluto Desigualdad Forma equivalente

Ejercicio 1.3

Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones:

Solución

a) Los elementos x en el dominio de deben satisfacer la condición 2 |x| – 1 > 0. Es decir, |x| > . Por lo tanto, el dominio de f es:

b) Los elementos del dominio de deben satisfacer:

Es decir,

Así, los puntos críticos en el numerador son – 1 y 2. Los puntos críticos en el denominador son – 1 y 1. Es decir, el punto crítico – 1 se repite dos veces. Usando el método de puntos críticos, obtenemos:

Figura 1.18

Por lo tanto, el dominio de la función f es:

Ejercicio 1.4

Grafique las siguientes funciones:

a)

b)

Solución

Veamos:

Ya que nos piden graficar para 1 < x ≤ 5, su gráfico será:

Figura 1.19

b) Hallemos el dominio de la función Por definición de la raíz cuadrada, debemos considerar que 4 – x ≥ 0; es decir, x ≤ 4. Así, el dominio de f es el intervalo 〈–∞; 4].

Luego, su gráfico es:

Figura 1.20

Ejercicio 1.5

Grafique las siguientes funciones:

Solución

Veamos:

Así, vemos que la gráfica de f representada en la figura 1.21 está compuesta de dos semirrectas.

Figura 1.21

b) Al igual que con la función anterior, aplicamos la definición de valor absoluto para obtener la regla de correspondencia de f.

Entonces, la gráfica de f es:

Figura 1.22

1.5. Funciones definidas por tramos

Diremos que una función está definida por tramos si es posible descomponer su dominio como unión de conjuntos disjuntos, sobre cada uno de los cuales la función tiene una regla de correspondencia distinta. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.9

La función:

es una función definida por tramos, pues su dominio 〈 – 3; 5] se puede expresar como la siguiente unión de intervalos disjuntos 〈 – 3; 0] ∪ 〈 0; 5] y sobre cada uno de estos intervalos, la función tiene distintas reglas de correspondencia.

Ejemplo 1.10

La función valor absoluto:

también es un ejemplo de función definida por tramos.

Observación 1.5

El dominio de una función definida por tramos es la unión de los dominios de las funciones componentes. Por ejemplo, el dominio de la función:

es la unión de los intervalos

Es decir:

1.6. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.6

Halle el dominio y grafique la función:

Solución

El dominio de y su gráfico es:

Figura 1.23

Ejercicio 1.7

Esboce la gráfica de la siguiente función e indique su dominio:

Solución

Notemos que esta gráfica tiene tres tramos: el primero es una función constante (y su gráfica será una recta horizontal); el segundo es una función lineal (cuya gráfica es una recta con pendiente – 1 y que corta al eje Y en el punto 4), y el tercero es una función cuadrática (cuya gráfica es una parábola que se abre hacia arriba y tiene vértice (6; – 4).

La gráfica de f es:

Figura 1.24

Ejercicio 1.8

Esboce la gráfica de la siguiente función:

Solución

Graficando por separado cada una de las funciones componentes de f, obtenemos:

Figura 1.25

Ahora, restringimos cada gráfica al intervalo indicado en la definición de f y obtenemos:

Figura 1.26

Ejercicio 1.9

Esboce la gráfica de la siguiente función:

Solución

El segundo tramo de la función f es una función cuadrática con vértice (1; 1). La gráfica de f es:

Figura 1.27

Ejercicio 1.10

Grafique la siguiente función:

Solución

La primera parte de la función (x2 – 2 |x|) está definida sobre el intervalo 〈–∞; 2].

Graficando cada una de las funciones componentes sobre los intervalos indicados, obtenemos el gráfico de f que se muestra en la figura 1.28.

Figura 1.28

1.7. Ejercicios propuestos

1. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

2. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

3. Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones:

4. Esboce la gráfica de la cada una de las siguientes funciones e indique su dominio:

5. Esboce la gráfica de la cada una de las siguientes funciones e indique su dominio:

1.8. Modelos matemáticos

En esta sección, usaremos el lenguaje de las funciones para estudiar y describir situaciones reales. En tal sentido, llamaremos modelo matemático a una función que describe una situación dada. Una función que describe el costo de un producto en función del tiempo transcurrido desde su lanzamiento al mercado, una función que expresa la oferta de un producto como función de su precio unitario de venta, una función que nos permite estimar el tamaño de una población en función del tiempo transcurrido desde el inicio de la observación son ejemplos de modelos matemáticos.

Ejemplo 1.11

Un agricultor desea cercar un terreno rectangular con 1000 metros de cerca. Si el lado mayor del terreno se ubica a lo largo de un arroyo (y no requiere cerca), exprese el área del terreno como una función de su ancho. ¿Cuál es el dominio de esta función? Grafique la función.

Solución

El enunciado del problema nos pide expresar el área del terreno como una función de su ancho. Es decir, el ancho será nuestra variable. Denotemos por x el ancho del terreno, y por A (x) su área. Ya que la longitud total de la cerca es de 1000 metros y uno de los lados no lleva cerca, entonces la longitud del lado mayor del terreno será de (1000 – 2x) metros, tal como se muestra en la figura.

Figura 1.29

Luego, la función área viene dada por:

Se trata de una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola con vértice (250; 125000). Luego, su gráfica es la que se muestra en la figura 1.30.

Figura 1.30

De la gráfica, notamos que el dominio de la función área es el intervalo 〈0; 500〉. Note que el intervalo es de extremos abiertos, pues x no puede ser 0 ni 500 (pues tendríamos un rectángulo de lado nulo).

Ejemplo 1.12

Si a una pieza rectangular de cartón de 18 cm de largo y 12 cm de ancho se le quita un pequeño cuadrado de cada esquina y se pliegan las alas para formar los lados, se construirá una caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante en función de la longitud x de un lado de los cuadrados eliminados. ¿Cuál es el dominio de esta función?

Solución

La siguiente figura muestra la situación descrita por el problema:

Figura 1.31

Si denotamos por V (x) la función volumen de la caja, entonces:

Como x, 12 – 2x, 18 – 2x denotan las medidas de la caja; estas deben ser positivas; es decir,

Entonces,

Figura 1.32

Por lo tanto, el dominio de V es el intervalo 〈0; 6〉.

Ejemplo 1.13

Un agricultor estima que si se plantan 60 naranjos en un determinado terreno, cada árbol producirá, en promedio, 400 naranjas. La producción media disminuirá en cuatro naranjas por árbol por cada árbol adicional plantado en la misma área. Exprese la producción total del agricultor como una función de la cantidad adicional de árboles plantados y calcule la cantidad total de árboles que debería plantar para que la producción sea máxima. Grafique y halle el dominio de la función producción.

Solución

La siguiente tabla expresa la situación descrita en el problema:

Si P (x) denota la función producción, entonces:

La gráfica de P se muestra en la figura 1.33.

Figura 1.33

Ejemplo 1.14

La base de una caja rectangular cerrada es tal que su largo L es el triple de su ancho. La caja tiene un volumen de 25 m3. Si el material de las partes superior e inferior de la caja cuesta 4 dólares por m2 y el de los lados, 3 dólares por m2, exprese el costo de construcción en función de L y halle su dominio.

Solución

Si h representa la altura de la caja, entonces sus dimensiones son metros, tal como indica la siguiente figura:

Figura 1.34

Ya que el volumen de la caja es de 25 m3, tenemos:

Por lo tanto, la función costo de construcción es:

Simplificando, obtenemos:

El dominio de la función costo es 〈0; +∞〉.

Ejemplo 1.15

En el planeamiento de una cafetería, se estima que si hay espacio para 50 personas, las utilidades diarias serán de 5 dólares por persona. Sin embargo, si el espacio se habilita para más de 50 personas, las utilidades diarias por persona disminuirán en un 20 %. Si x es el número de personas que acuden a la cafetería, exprese el monto de las utilidades diarias como función de x y bosqueje el gráfico de la función.

Solución

Sea x el número de personas que acuden a la cafetería. Si x < 50, entonces, el problema nos dice que la utilidad total generada por x personas será de 5x dólares. Pero si la cafetería se habilita para atender a más de 50 personas, la utilidad que genera cada una se reduce en 20 % (20 % de 5 dólares); es decir, cada persona generaría una utilidad de 4 dólares. Luego, la utilidad generada por x visitantes a la cafetería, sería de 4x dólares cuando x > 50. De esta forma, la función utilidad queda definida por:

y su gráfica es:

Figura 1.35

Aquí, la gráfica aparece con líneas punteadas, debido a que el dominio de la función está formado por números enteros no negativos, pues x representa el número de personas que acuden a la cafetería.

1.9. Ejercicios y problemas propuestos

1. Para construir una caja abierta, de base cuadrada, se necesitan $ 64. Si los lados de la caja cuestan $ 3 por m2 y la base, $ 4 por m2, exprese su volumen en función de la longitud de un lado de la base. Indique su dominio.

2. El departamento de obras de una empresa está planeando construir una playa de estacionamiento rectangular de 9200 m2 de área. Para ello se construirá un cerco perimetral cuyo costo por metro de cerca es de $ 20. Si x denota el ancho del terreno, halle la función costo de cercado C(x).

3. Un negocio con capital original de $ 10 000 tiene ingresos y gastos semanales de $ 2000 y $ 1600, respectivamente. Si se retienen en el negocio todas las utilidades, exprese el capital del negocio al final de t semanas. Halle el dominio de la función obtenida. Grafique la función.

4. Un fabricante puede producir estantes a un costo de $ 80 la unidad. Las cifras de ventas indican que si los estantes se venden a x dólares la unidad, se venderán 500 – x estantes cada mes. Exprese la utilidad mensual del fabricante en función del precio de venta, grafique la función y determine el precio óptimo de venta.

5.