Matemáticas para aprender a pensar E-Book

Antoni Vila

• Herausgeber: Narcea Ediciones
• Kategorie: Bildung
• Serie: Educación Hoy Estudios
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 364

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Las matemáticas constituyen una materia idónea para ejercitarse en este arte de aprender a pensar. Para ello es necesario que en el aula se respire un clima estimulante que precisa de unas determinadas actitudes y creencias. El libro conjuga teoría y práctica y responde a preguntas como éstas: ¿pensar en clase de matemáticas? ¿en qué consiste realmente el saber resolver problemas? ¿Qué son las creencias y cuáles son las más comunes entre los estudiantes? ¿Cómo diagnosticar, evaluar y, en su caso modificar, los sistemas de creencias del alumnado?

Leseprobe

Matemáticas para aprender a pensar

El papel de las creencias en la resolución de problemas

Antoni Vila Corts María Luz Callejo de la Vega

NARCEA, S. A. DE EDICIONESMADRID

Índice

PRÓLOGO de Claudi Alsina

INTRODUCCIÓN

1. ¿PENSAR EN CLASE DE MATEMÁTICAS?

¿Pensar y matemáticas? ¡Sí, claro!

Hechos: ¿Pensar en clase de matemáticas? ¡No, gracias!

¿Por qué? ¿Acaso no basta con saber matemáticas para resolver problemas?

Para empezar, ¿no es acaso el problema simplemente una tarea matemática (difícil, por supuesto)?

Así pues, ¿qué es un problema?

¿Por qué fases transcurre la resolución de un problema?

¿Qué aspectos influyen en el proceso de resolución de problemas?

Conocimientos y metaconocimientos

¿Son las estrategias de resolución de problemas de la misma naturaleza que los conocimientos específicos de la materia?

Emociones y actitudes

Aspectos relacionados con el contexto escolar en el que se proponen y resuelven problemas

2. ¿QUÉ SON LAS CREENCIAS?

Visiones de la matemática

¿Por qué son importantes las creencias?

Diferentes aproximaciones a las creencias

Conocimiento, concepción y creencia

Hacia una definición

Origen de las creencias

Sistemas de creencias

Creencias y prácticas

Qué son las creencias

3. CREENCIAS DE LOS ESTUDIANTES

Algunas creencias sobre la resolución de problemas

Creencias sobre la matemática y los problemas

Creencias sobre los resolutores de problemas

Creencias sobre el proceso de resolución de problemas

Creencias sobre el aprendizaje y mejora de la resolución de problemas

Origen y formación de las creencias

Cultura escolar

Tareas escolares

Papel del profesor

Otros agentes

Sistemas de creencias de alumnos de primero de Educación Secundaria Obligatoria

Estudio de tres casos

Estudio de un grupo

Creencias adecuadas

La resolución de problemas es un acto creativo

Todo el mundo puede abordar la resolución de problemas

Al abordar un problema hay que adoptar una actitud abierta, dedicar tiempo a familiarizarse y buscar varias estrategias

Cuando se lleva adelante el plan se sigue un proceso de búsqueda, de tanteos, guiado por la intuición

El proceso de revisión es importante

Mejorar la capacidad de resolver problemas es un proceso que exige esfuerzo y perseverancia

4. EVALUACIÓN DE LAS CREENCIAS

¿Por qué evaluar las creencias?

¿Qué se debe y se puede evaluar con relación a las creencias? ¿Quién debe hacerlo?

¿Cómo evaluar las creencias? Planteamiento general

Instrumentos de recogida de información

Instrumentos de categorización, registro y síntesis

Un procedimiento operativo

5. MODIFICACIÓN DE CREENCIAS: PROPUESTAS DE INTERVENCIÓN EDUCATIVA

Propuestas centradas en la intervención sobre la resolución de ≪un≫ problema

Características de los problemas

Organización de la tarea

Papel del profesorado

La resolución de problemas en el currículo: como objeto y como instrumento de aprendizaje

Un enmarque: las creencias del profesorado

Tipos de actividades mate-máticas escolares

Evitar la convivencia de ≪dos matemáticas≫

Cuando el papel otorgado a la RP en el aula se reduce a aspectos mecanicistas

La RP como objeto y como herramienta de aprendizaje

Planificación general del currículum de matemáticas en Educación Secundaria Obligatoria

Concreción de la propuesta

Con relación a las finalidades e intenciones educativas

Con relación a la secuenciación de contenidos: procesos y capacidades

Con relación a la selección de contenidos: los ejes temáticos

Para seguir avanzando

Anexos

1. Versión sintética del instrumento de segundo orden para el análisis del papel que los profesores otorgan a la resolución de problemas en el aula

2. Cuestionario para la identificación de creencias

3. Mapa de la estructura del sistema de creencias

4. Temas matemáticos: números primos

Bibliografía

Prólogo

EN UNA OCASIÓN Yogui Berra escribió: “En teoría no hay ninguna diferencia entre la teoría y la práctica. Pero en la práctica hay mucha diferencia”. Me ha venido a la memoria esta frase leyendo este libro. Una virtud destacable de esta obra es saber entrelazar, adecuadamente, un discurso teórico rico en matices y nunca dogmático con un análisis práctico de ejemplos y estudios de casos. Esta sabia combinación de teoría y práctica hará posible que los lectores puedan entenderla mejor y, lo que es más interesante, los profesores puedan aprovechar el material para mejorar su propia actividad docente, especialmente en la educación secundaria obligatoria.

Esta obra cumple fielmente con lo que el título anuncia: analizar cuidadosamente las “creencias” que afloran en la “resolución de problemas” de matemáticas para reivindicar la importancia educativa de los mismos y recuperar el noble objetivo de hacer “pensar”. Pensar para educar y educar para pensar.

Una vez leí una definición de “clase” que me molestó profundamente: “una clase es una transferencia de información de las notas del profesor* a las notas del estudiante, sin pasar por la mente de ninguno de los dos”. La frase es indignante por ser a menudo cierta y por no aportar ninguna pista sobre como mejorar la situación. Los problemas de matemáticas rutinarios, los ejercicios triviales de manipulación, los enunciados cocinados para una resolución ad hoc… son ejemplos paradigmáticos de situaciones aburridas y de muy escaso interés formativo. Recuperar para las aulas este gran objetivo de “hacer pensar” es, y seguirá siendo, el itinerario docente correcto.

El capítulo 1 nos invita a interesantes reflexiones sobre el hacer pensar en clase de matemáticas y cómo los problemas son un instrumento valioso para desarrollar este pensamiento autónomo y crítico que los autores consideran clave para crear un “ambiente de aprendizaje”.

En el capítulo 2 se nos invita a reflexionar sobre las creencias en general para luego en el capítulo 3 entrar a fondo en las convicciones de los estudiantes ante la resolución de problemas, pasando de una crítica profunda sobre el origen de dichas opiniones a la precisión de aquellas creencias positivas que pueden favorecer el acto educativo: del bloqueo a la creatividad.

El capítulo 4 versa sobre la evaluación de las creencias, sobre cómo investigar el tema y sobre cómo sacar provecho a dicho análisis. En el último capítulo, culminante, se desgranan una serie de intervenciones educativas puestas al servicio de la resolución de problemas en la secundaria obligatoria. Unos anexos útiles y una cuidada bibliografía cierran la publicación.

Creo que, más allá de la lectura, el libro nos invita a la acción y nos guía para profundizar en ella.

Habiéndome referido ya a la obra, debo hacer ahora una especial referencia a sus autores. Antoni Vila y María Luz Callejo son figuras bien acreditadas en el mundo de los profesores de matemáticas. Unen a su formación matemática una amplia experiencia docente tanto con estudiantes como en formación del profesorado, siendo ambos autores de referencia en el tema de este libro. Sus tesis doctorales en Didáctica de las Matemáticas se centraron precisamente en resolución de problemas, abriendo unas interesantes líneas de investigación y unas metodologías rigurosas de análisis didáctico, sin olvidar que el fin último de estos trabajos doctorales ha sido la mejora efectiva de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Es importante pues que el lector aprecie, al ir leyendo este volumen, que los autores lo han escrito desde una reconocida competencia profesional en el tema, desde un amplio conocimiento de las tendencias mundiales que hoy se dan en esta temática y desde la voluntad de poner al servicio de los docentes un material, sencillo de entender y aplicar, que es fruto de una investigación rigurosa y de una experiencia vital propia.

Los lectores que practiquen una lectura íntima de la obra gozarán del placer intelectual de unas reflexiones didácticas fundamentales. Aquellos que se dediquen a enseñar pueden encontrar en la lectura un nuevo estímulo: para innovar, para intentar cambiar creencias, para elegir mejores repertorios de problemas, para pensar más en su propio oficio y para contagiar a sus estudiantes su amor por las matemáticas. Lo dijo Platón: “donde reina el amor, sobran las leyes”.

Claudi Alsina

* Para que la lectura del texto resulte más sencilla, se ha evitado utilizar conjuntamente el género masculino y femenino en aquellos términos que admiten ambas posibilidades.

Introducción

UNA MAESTRA pregunta a todos los niños y niñas de una clase de primer curso de Primaria lo siguiente: «Si un niño tiene 7 lápices y le quitan 7, ¿podrá escribir?». Un niño de 6 años responde: “Eso dependerá de si tiene bolígrafos o rotuladores”.

La maestra no sólo no admite la respuesta como correcta, sino que entiende que encierra una cierta rebeldía del alumno. Cuatro años más tarde, cuando le recordaba a este niño la anécdota, él la interrumpió diciendo: “¡Qué problema más tonto; claro que no podrá escribir!”.

La realidad del día a día nos ofrece ejemplos como éste que son un exponente de que, a veces, la escuela no está favoreciendo el desarrollo del pensamiento sino más bien el aprendizaje de mecanismos y de respuestas automáticas sin sentido; es más, hechos como el anterior muestran que la capacidad de dar respuestas inteligentes se trunca debido a la forma de intervenir el profesorado cuando los alumnos no contestan “la respuesta esperada”.

Sin embargo “aprender a pensar” ha sido uno de los argumentos más repetidos a lo largo de la historia para justificar la necesidad de aprender matemáticas, aunque no el único. Porque pensar es una de las actividades centrales de la persona, aunque el ser humano además de pensar también sea capaz de sentir, de creer, de amar, de jugar, de contemplar, de actuar– Y aunque pensar no sea patrimonio exclusivo de ninguna ciencia, la matemática es una materia idónea para ejercitarse en el arte de pensar y para tratar de mejorarlo.

Podemos hacer de los procesos de pensamiento objeto de aprendizaje, a través del enfrentamiento con situaciones problemáticas que se pueden abordar con las herramientas que ofrece la matemática. El método basado en la resolución de problemas estimula a los alumnos a abordar situaciones nuevas, a responder a cuestiones para las que no conocen una respuesta mecánica, a elaborar estrategias de pensamiento, a plantearse preguntas, a aplicar sus conocimientos y destrezas a otras situaciones.

En este libro consideramos que un problema no es simplemente una tarea matemática, sino una herramienta para pensar matemáticamente, un medio para crear un ambiente de aprendizaje que forme sujetos autónomos, críticos y propositivos, capaces de preguntarse por los hechos, las interpretaciones y las explicaciones, de tener su propio criterio estando a su vez abiertos a los de otras personas.

Esto exige crear en la clase una atmósfera que propicie la confianza de cada alumno y alumna en sus propias capacidades de aprendizaje, lo que no quiere decir que no se sientan a veces frustrados, descorazonados o fracasados, sino que a pesar de ello mantienen una fe arraigada en su capacidad de resolver problemas; un ambiente donde se disfrute con los retos, con los problemas y se valoren los procesos y los progresos de los alumnos y no sólo las respuestas; donde los alumnos sepan discernir lo que es o no importante, confíen en su propio criterio y no teman estar equivocados o cambiar de visión; donde sean capaces de examinar más de un punto de vista para abordar un problema, formulen preguntas pertinentes, sean cuidadosos al hacer generalizaciones, revisen sus propias creencias y no les dé miedo decir “no lo sé”.

Ahora bien, este ambiente de aprendizaje precisa de unas determinadas actitudes y creencias del profesorado que se genera estimulando la curiosidad intelectual, alentando el trabajo en grupo entre los estudiantes, propiciando la argumentación, partiendo de las preguntas y respuestas de los alumnos, interesando a los estudiantes en las actividades y procesos generadores de conocimiento como definir, preguntar, observar, clasificar, particularizar, generalizar, conjeturar, demostrar y aplicar.

Las creencias que acabamos de exponer sobre la educación matemática nos llevan a formularnos varias preguntas que van a hacer de hilo conductor a través de los cinco capítulos de este libro:

¿Pensar en clase de matemáticas?

¿Qué son las creencias?

¿Cuáles son las creencias de los alumnos?

¿Cómo se pueden diagnosticar y evaluar?

¿Cómo se pueden modificar?

La respuesta inmediata a la primera de ellas, ¿Pensar en clase de matemáticas?, es “¡Sí, claro!”, pero los hechos que se exponen muestran que a veces los alumnos experimentan dificultades y bloqueos ante situaciones que no son excesivamente complejas y que cometen errores sorprendentes.

Nos planteamos: ¿Por qué se producen estos errores? ¿Por qué algunos alumnos especialmente capacitados dan respuestas pobres, cuando no ingenuas? Estas preguntas nos pueden sumir en un estado de perplejidad o invitar a “echar balones fuera” si nuestra visión de la matemática y de la educación matemática no nos lleva a preguntarnos: “¿Acaso no basta con saber matemáticas?”.

Por ello, consideramos de suma importancia reformular esta última pregunta en los siguientes términos: ¿En qué consiste realmente saber resolver problemas de matemáticas? A su indagación se dedica gran parte del capítulo 1 planteando el conjunto de factores que inciden en la resolución de problemas. En él se pone de relieve que el proceso de resolver problemas tiene un componente de subjetividad, pues cada persona se acerca a una situación problemática desde unas actitudes, unas creencias y unos sentimientos y está influida por el contexto concreto en que se presenta (escolar, vida cotidiana, trabajo, etc.); en el caso de los problemas matemáticos la verificación de la solución y de la corrección del procedimiento se ajusta a los criterios de rigor y de verdad propios de esta ciencia.

También se expone que en la resolución de un verdadero problema intervienen el saber, el saber hacer y el saber cómo hacer donde se incluye la regulación cognitiva y emocional; en este último sentido se podría hablar de saber sentir. Estas formas de saber no están desligadas de las actitudes y creencias del sujeto y de la cultura escolar.

En los capítulos 2 y 3, sin perder de vista que en el proceso de resolución de problemas intervienen diversos elementos, nos centramos en uno de ellos, las creencias de los alumnos. Éstas actúan como un sistema regulador de su estructura de conocimiento e influyen en la forma en que aprenden y utilizan la matemática. Las creencias de los alumnos también son indicadores de aspectos que no son directamente observables, como su visión de la matemática o sus experiencias anteriores con esta ciencia. Las preguntas que abordamos en ellos son las siguientes: ¿Qué son las creencias?¿Por qué son importantes? ¿Cuáles son las creencias más comunes entre los estudiantes?¿Cómo se forman?¿Cuál es la relación entre las acciones llevadas a cabo en el abordaje de problemas no estereotipados y los sistemas de creencias de los estudiantes?¿Cuáles son las creencias adecuadas para resolver problemas?

Como el concepto de creencia es ambiguo, en el capítulo 2 hemos tratado de penetrar en su significado examinando sus semejanzas y diferencias con otros conceptos como conocimiento y concepción, analizando su contenido y sus componentes e indagando cómo se forman y cómo se relacionan entre sí.

En el capítulo 3 se presentan y comentan algunas de las creencias más habituales entre los alumnos. Empezamos presentando una panorámica general sobre creencias de estudiantes de distintos lugares del mundo, con distintas edades, capacidades y experiencias de la matemática. Luego nos acercamos a un centro educativo concreto y miramos un grupo de primer curso de Educación Secundaria Obligatoria, y las historias de tres estudiantes, lo que nos ayuda a conocer sus sistemas de creencias y a explicar cómo se han formado. Termina este capítulo señalando seis creencias que consideramos adecuadas para resolver problemas y que nos servirán de punto de partida para presentar las propuestas de intervención en el aula de los dos capítulos siguientes. Son éstas:

La resolución de problemas es un acto creativo

.

Todo el mundo puede abordar la resolución de problemas

.

Al abordar un problema hay que adoptar una actitud abierta, dedicar tiempo a familiarizarse y buscar varias estrategias

.

Cuando se lleva adelante el plan se sigue un proceso de búsqueda, de tanteos, guiado por la intuición

.

El proceso de revisión es importante

.

Mejorar la capacidad de resolver problemas es un proceso que exige esfuerzo y perseverancia

.

Pero como la intervención educativa tiene que ver, aunque no exclusivamente, con la formación y el cambio de las creencias, es importante conocer cómo se pueden detectar y qué experiencias se pueden proporcionar a los alumnos para desestabilizar aquellas que no son deseables y que a veces están muy arraigadas. Nos preguntamos: ¿Cómo diagnosticar y evaluar los sistemas de creencias del alumnado? ¿Cómo crear ambientes y entornos de aprendizaje que les ayuden a abordar las actividades matemáticas con un espíritu abierto, flexible y crítico, haciéndose preguntas, desarrollando estrategias y procesos propios del pensamiento matemático? Son las cuestiones que tratamos de responder en los capítulos 4 y 5. Las respuestas se argumentan con teoría y desde la práctica, presentando propuestas de intervención que se han aplicado en el aula.

En el capítulo 4, dedicado a la evaluación, nos planteamos los conocidos interrogantes: ¿Por qué evaluar las creencias?, ¿qué evaluar?, ¿quién debe hacerlo?, ¿cómo?, ¿cuándo? Si entendemos que la resolución de problemas es el corazón mismo de la matemática y que en ella debería centrarse la formación de los alumnos, la evaluación de los aprendizajes debería obedecer a un planteamiento global, no compartimentando, con metodologías e instrumentos de naturaleza diversa y en ocasiones no tradicionales. En este capítulo se ofrecen instrumentos de recogida, categorización, registro y síntesis de información así como un procedimiento operativo.

En el capítulo 5 se exponen propuestas de intervención en el aula agrupadas en tres núcleos que van desde intervenciones más puntuales como la resolución de fiun problemafl, a otras más globales: la resolución de problemas en el currículum como objeto y como instrumento de aprendizaje y la planificación general del currículum.

La lectura de estas propuestas por quienes día a día se enfrentan al reto de enseñar matemáticas a jóvenes y adolescentes, puede provocarles distintas reacciones, sentimientos y preguntas, que pasan obviamente por el filtro de sus propias creencias sobre la matemática, su enseñanza y aprendizaje. También puede llevarles a confrontar sus prácticas, constatando a veces la distancia entre lo que les gustaría hacer y lo que realmente pueden hacer con unos alumnos concretos en una clase concreta.

Si estas páginas dan pie a una reflexión sobre la propia práctica, a un contraste entre las creencias que aquí se han explicitado y las del lector, si suscitan deseos de mejora, si la experiencia cotidiana está en el trasfondo de la lectura, nos daríamos por satisfechos.

Pero nos gustaría que este libro no terminara en el capítulo 5, que éste no fuese su final, que tuviese muchos finales, tantos como profesores de matemáticas interesados en promover en sus alumnas y alumnos la capacidad de pensar, de hacerse preguntas, de enfrentarse a la resolución de problemas, de afrontar crítica y creativamente los retos que presenta la sociedad… lo hayan leído. Para fiescribirfl los siguientes capítulos damos algunas pistas sobre el fitextofl y el ficontextofl.

Las primeras pistas son las siguientes:

La acción educativa cotidiana es el lugar privilegiado de aprendizaje y desarrollo profesional.

La formación permanente está estrechamente ligada a la mejora de la práctica.

Para modificar la práctica es necesario seleccionar algún aspecto de la misma que sea abarcable e identificar y analizar tanto las creencias del profesorado que subyacen como las prácticas cotidianas, sabiendo que no siempre hay coherencia entre ambas.

El proceso anterior no debería quedarse en un diagnóstico inicial, sino que debería ofrecer elementos para concretar una propuesta de intervención, que sea viable en el aula y en el centro y llevarla a cabo. Su realización y su valoración harán posible hacer nuevas propuestas de mejora que se vayan apoyando siempre en prácticas anteriores, en un proceso continuo y a largo plazo que institucionaliza el cambio y la mejora.

En el capítulo 5 damos más pistas sobre algunos posibles centros de atención para revisar y mejorar la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas.

Este proceso de reflexión sobre la propia práctica es el texto de los capítulos siguientes, en el contexto de cada aula, de cada centro, con alumnos y profesores que tienen rostros concretos.

Son muchas las personas que han hecho posible que este trabajo llegase a escribirse. Desde estas páginas, quisiéramos dejar constancia de ello, junto con nuestro más sincero agradecimiento.

Agradecimientos especiales a José Carrillo y a Antoni Llaveria, los primeros lectores de nuestro manuscrito, por su minuciosa revisión y por sus valiosas sugerencias y aportaciones. Por supuesto también a Claudi Alsina, por acceder a escribir sus precisas y amables palabras de prólogo.

No podemos olvidar a todos aquellos profesores y profesoras, amigos todos ellos, de cuyas idas, experiencias y aportaciones hemos ido bebiendo en el largo proceso que supone la redacción de estas páginas. Gracias David, Pepe, Luís, Jordi, Luïsa, Inés, Carmen, Mamen y tantos otros. Tampoco a nuestro alumnos, los de hoy, los de ayer, los que aún no conocemos… Son los protagonistas auténticos del libro, los que ponen en marcha nuestros humildes y siempre limitados motores de mejora, los que con su crecimiento personal e intelectual dan fe de la grandeza de nuestra profesión.

Pero muy especialmente, queremos dejar constancia de la permanente colaboración de nuestras familias, tan a medudo gris, de pequeños detalles, de tareas de las que nos liberaban… Mercè, Xavi, Júlia, Ana, María, Carmen, Palma y Pablo. Gracias por vuestra comprensión, sin vosotros quizás este libro sería uno de tantos proyectos inacabados.

Dedicamos este libro al padre de Antoni, fallecido cuando faltaba muy poco para que pudiese leerlo. fiDiscreto siempre, nunca te quejaste por las muchas horas que este trabajo te robó. Al contrario, nuestro día a día era tu felicidad. No podrás leerlo, pero estás en élfl.

1 ¿Pensar en clase de matemáticas?

LA PREGUNTA que encabeza este capítulo nos sitúa en el corazón mismo de la actividad matemática. Se puede responder desde un plano puramente racional o desde lo que ocurre habitualmente en las clases; también desde distintas visiones de la matemática y su enseñanza.

Debemos partir del hecho de que «Matemáticas» es una palabra que puede significar cosas muy diferentes para personas diferentes. Lluís Santaló (1993), simplificando voluntariamente, indicaba que para aquellos que tienen una escasa formación matemática, esta ciencia está integrada únicamente por cálculos aritméticos comunes y por los nombres y propiedades de algunas figuras geométricas; para ellos, se trata de saber calcular y, en consecuencia, con la aparición de las calculadoras, consideran que la matemática ha perdido gran parte de su interés, o que este interés cabe mantenerlo evitando el uso de las nuevas tecnologías en el aula. Incluso personas con una alta formación reducen la actividad matemática a la abstracción y manipulación de números y relaciones funcionales, obviando otros campos y otros quehaceres. Sin embargo, en el otro extremo de esta escala, Santaló nos describe minuciosamente su visión de la actividad matemática a la vez como una técnica, como un arte, como una filosofía y como una ciencia. Y esta dimensión sólo puede ser desarrollada, como dice Puig Adam (1960), cultivando el espíritu de investigación y de conquista.

Esta amplitud de valores culturales es mostrada también por Alsina (1995), en su Elogio por las matemáticas, cuando expone que éstas han hecho posible un amplio abanico de modelos: cuantitativo, basado en el mundo de los números, de representación y descripción de la realidad física inmediata, de comparación y cuantificación de las magnitudes, de razonamiento… y muchos otros modelos específicos para describir fenómenos o situaciones. Pero además, pone el énfasis en que junto a este proceso ha ido desarrollándose una enseñanza matemática que en un principio fue dirigida a una élite, y que mucho después fue extendiéndose a la gran población, para llegar a su universalización.

La pregunta es pues pertinente: «¿Pensar en clase de matemáticas?». En estas primeras páginas, concretamente en los dos primeros apartados, queremos plantear una disfunción que observamos entre nuestro discurso como profesores (amparado tanto en las recomendaciones y objetivos propuestos por personalidades relevantes en el mundo de la educación matemática, como en los que podríamos llamar «grandes proyectos curriculares») y unos logros a veces incluso decepcionantes. En el tercer apartado precisaremos la dimensión en la que cabe buscar explicaciones y (quizás) remedios: la resolución de problemas es una actividad altamente compleja.

¿PENSAR Y MATEMÁTICAS? ¡SÍ, CLARO!

En el presente trabajo, y en la visión esbozada en los párrafos anteriores, asumiremos la idea de Lakatos (1978) cuando entiende las matemáticas como una actividad humana que encierra en ella misma una dialéctica de conjeturas, refutaciones y demostraciones, hasta llegar al establecimiento de una conclusión. A pesar de que pueda considerarse reiterativo, nos parece de gran importancia remarcar dónde se pone el énfasis: las matemáticas, desde esta perspectiva, no son únicamente las conclusiones en ellas mismas sino también la actividad que lleva a establecerlas. En el fondo, se trata de un binomio que debiera ser indisociable. Por una parte, como defienden Carrillo y Contreras (2000), concluir no es sólo dar el resultado, es también interpretarlo a la luz de las condiciones iniciales, es avanzar en el planteamiento de otros problemas e investigaciones; o como dice Polya (1969), las matemáticas son una disciplina de descubrimiento. Pero es que por otra parte, la actividad matemática se justifica en la finalidad creativa: la actividad en sí misma podría derivar (más bien degenerar) en un «hacer por hacer», con un escaso (o nulo) interés intelectual o cultural.

¿Y en la escuela? Bajo las ideas anteriores, hay que reconocer los esfuerzos en la última mitad del siglo pasado por caracterizar los valores educativos de las matemáticas: funcionalidad, sentido, comunicación, perseverancia, placer– (Freudenthal, Guzmán Polya, Puig Adam–y una extensa relación de matemáticos y pedagogos que han liderado este proceso). En particular, Puig Adam redactó en 1958 el ya famoso Decálogo del Profesor de Matemáticas, en el que recogía sus opiniones sobre la enseñanza de las matemáticas en los Institutos:

No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno, observándole constantemente.

No olvidar el origen concreto de la matemática, ni los procesos históricos de su evolución.

Presentar la matemática como una unidad en relación con la vida natural y social.

Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.

Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.

Estimular la actividad creadora, despertando el interés directo y funcional hacia el objeto de conocimiento.

Promover en todo lo posible la autocorrección.

Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.

Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensamiento.

Procurar que todo alumno tenga éxito para evitar su desaliento.

Polya (1965) consideraba que un profesor de matemáticas tiene en sus manos una gran oportunidad: si utiliza su tiempo en ejercitar a sus alumnos en operaciones rutinarias matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual; pero si estimula en ellos la curiosidad podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente.

Sin embargo, queremos destacar como un punto de inflexión el que se produce de forma simultánea a la publicación de la Agenda for Action; en este documento el National Council of Teachers of Mathematics afirmaba en su ya famosa recomendación 1: fiLa resolución de problemas debería ser el foco de las matemáticas escolares de los años 80fl (NCTM, 1980: 1).

Esta recomendación general se concretaba en seis acciones, en las que se implicaba al profesorado, a los investigadores y a las administraciones educativas:

Debería organizarse el currículo de matemáticas en torno a la resolución de problemas.

Debería desarrollarse y ampliarse la definición y el lenguaje de la resolución de problemas en matemáticas con el fin de incluir un amplio rango de estrategias, procesos y modos de presentación que abarcasen todo el potencial de las aplicaciones matemáticas.

El profesorado de matemáticas debería crear ambientes de clase en los cuales pueda surgir la resolución de problemas.

Deberían desarrollarse materiales curriculares apropiados para enseñar a resolver problemas a todos los niveles.

Los programas de matemáticas de los años 80 deberían implicar al alumnado en la resolución de problemas presentando aplicaciones a todos los niveles.

Los investigadores deberían dar prioridad durante la década de los 80 a las investigaciones sobre la naturaleza de la resolución de problemas y las vías efectivas para conseguir resolutores de problemas.

De hecho, cabe entender este hito como un «punto de llegada» de movimientos e informes anteriores, como por ejemplo el de Krygowska (1966), en el Congreso Internacional de Matemáticas de Moscú en 1966, con relación al desarrollo de la actividad matemática de los alumnos y al papel de los problemas en este desarrollo, o la ponencia de la misma autora en la reunión de 1976 de la Comisión Internacional para el Estudio y Mejora de la Enseñanza de las Matemáticas (CIEAEM) sobre fi El problema de los problemasfl. O incluso intentos, con distinto éxito, de creación de materiales que incorporasen nuevas metodologías de trabajo en clase ligadas a la resolución de problemas. (cf. Callejo, 2000 b).

Posteriormente, en 1989 (en su versión española, 1991:5) y en el marco de un nuevo documento, fiEstándares curriculares y de evaluación para la educación matemáticafl, el NCTM propone los siguientes cinco fines generales para todo el alumnado:

Aprender a valorar las matemáticas.

Adquirir confianza en la propia aptitud.

Adquirir la capacidad de resolver problemas matemáticos.

Aprender a comunicarse matemáticamente.

Aprender a razonar matemáticamente.

Estos cinco objetivos culminaban en rotundas afirmaciones:

“La resolución de problemas, en su sentido más amplio, significa prácticamente lo mismo que el uso de las matemáticas” (NCTM, 1991: 139).

“Conocer matemáticas significa ser capaz de usarlas con propósitos definidos. Para aprender matemáticas, los estudiantes tienen que involucrarse en explorar, conjeturar y razonar, más que en el aprendizaje memorístico de reglas y procedimientos– (para) dar sentido a las matemáticas (los estudiantes necesitan) verlas y emplearlas como herramienta de razonamiento y resolución de problemas” (NCTM, 1991: 5).

En general, se propone el abandono de la práctica tradicional de resumir los resultados matemáticos deseados en forma de destrezas, conceptos y aplicaciones, pidiendo que éstos formen parte de propósitos más generales de la resolución de problemas y de la comunicación.

En medio de los dos anteriores documentos, en Europa, concretamente en Gran Bretaña, el informe Cockcroft (1982 y 1985 en su versión española) enumera cuatro propósitos declarados como responsabilidad del profesorado que se corresponden de forma coherente con las citas anteriormente mencionadas.

En este marco de inflexión, queremos destacar uno de los autores que más explícitamente ha hecho referencia al importante papel de la resolución de problemas, A.H.Schoenfeld (1991a y 1992), quien apunta la conveniencia no tanto de hablar de enseñar a resolver problemas como de enseñar a pensar matemáticamente, es decir modelizar, simbolizar, abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango de situaciones. En este marco, los problemas jugarían el papel esencial de «punto de partida de las discusiones matemáticas», colocando en primer plano los procesos característicos de la actividad matemática (de alto nivel cognitivo), por encima de las rutinas algorítmicas (de bajo nivel cognitivo).

No podemos tampoco ignorar el amplio eco que han tenido y siguen teniendo trabajos y propuestas como las de J. De Lange en Holanda, el Shell Centre en Gran Bretaña y un larguísimo etcétera hasta llegar a los referentes más recientes: los Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000) y el Proyecto OCDE/PISA (2000 y 2003). En cuanto al primero, incide en seis principios que ya estaban implícitos en los Estándares de 1989:

Equidad

; la excelencia en educación matemática requiere igualdad, altas expectativas y un fuerte apoyo a todos los estudiantes.

Currículo

; un currículo es más que una colección de actividades: es indispensable que sea coherente, centrado en lo relevante y articulado en distintos niveles.

Enseñanza

; una enseñanza efectiva de las matemáticas requiere la comprensión de lo que conocen y necesitan los estudiantes, para estimularlos y conducirlos a un buen aprendizaje.

Aprendizaje

; para aprender matemáticas es indispensable la comprensión, activando un nuevo conocimiento desde la experiencia, más que desde el conocimiento anterior.

Evaluación

; la evaluación debiera apoyar el aprendizaje, proporcionando información útil a profesorado y alumnado.

Tecnología

; es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

En cuanto al Proyecto OCDE/PISA (2000), sin ser un documento comparable a los anteriores por su finalidad1, incide en la misma idea de plantear el conocimiento matemático sobre la base de las competencias, confrontando éstas a la visión tradicional del saber en términos de conceptos, hechos, algoritmos y técnicas.

¿Y en España? A pesar de estar en los años 70 y 80 inmersos en un marco general de materiales curriculares y proyectos en la línea de la llamada «matemática moderna», tímidamente renovados, surgen aportaciones muy relevantes como la del Grupo Cero de Valencia y el Grup Zero de Barcelona, en cuanto a diseño y planificación del currículo centrado en la resolución de problemas, y las del Grupo Azarquiel, el Grupo Periódica Pura y otros grupos organizados a menudo en torno a profesores (Guzmán, Alsina…) que han jugado un papel dinamizador o aglutinador por sus relevantes aportaciones; estas experiencias renovaron la ilusión del profesorado, pero no tuvieron el apoyo y la continuidad necesarios.

Así pues, queremos concluir este breve recorrido poniendo de manifiesto la unánime pero relativamente reciente asociación que se establece entre MatemáticasŒResolución de ProblemasŒRazonamiento y Comunicación. Más aún, queremos hacer mención de la importante asociación que algunos autores hacen de los términos Resolución de ProblemasŒPensamientoŒInteligencia2.

Obviamente, entendemos que la respuesta a la pregunta que formulábamos ¿Pensar en clase de matemáticas? No puede ser otra que: ¡Sí, claro! ¿Dónde mejor si no? O también: ¡Sí, claro! ¿Qué haríamos en ella, si no?

Sin embargo, cabe dudar si los proyectos, recomendaciones y reflexiones anteriores son el reflejo o el fruto de movimientos emergentes en la escuela o bien son justo lo contrario: la insistencia por parte de colectivos, amplios por supuesto, para reconducir el papel y el significado de la matemática en la escuela. En este sentido, queremos citar a Puig Adam (1960), de forma consciente como referente relativamente antiguo, cuando consideraba que la visión de la matemática escolar cabía entenderla en el marco de la visión de la educación en general, y afirmaba que tristemente “la enseñanza, que debería ser antes que nada formación del educando, se convierte en preparación, que no es lo mismo, sino más bien lo contrario”.

Y el mismo NCTM, a pesar de la visión de las matemáticas propuesta y del reconocimiento de trascendencia que la resolución de problemas juega en ella, en el mismo documento manifestaba su preocupación por la «realidad de cada día en el aula»: “Desde este punto de vista, la resolución de problemas significa mucho más que la aplicación de técnicas específicas para la resolución de diferentes tipos de enunciados” (NCTM, 1991: 139).

A esta realidad dedicaremos las siguientes reflexiones.

HECHOS: ¿PENSAR EN CLASE DE MATEMÁTICAS? ¡NO, GRACIAS!

La realidad del día a día antes mencionada nos muestra en primer lugar las dificultades que una parte muy importante del profesorado encuentra cuando pretende desarrollar los planteamientos anteriores, planteamientos que muy posiblemente llega a compartir en sus principios; en segundo lugar, pero creemos que a su vez muy estrechamente relacionado con ello, la realidad diaria nos muestra también una amplia e inabordable casuística de dificultades, bloqueos y errores cometidos y/o observados en el alumnado al resolver problemas de matemáticas. Querer categorizarlos de forma más o menos exhaustiva no sólo sería un esfuerzo imposible, sino que incluso carecería de sentido, por su misma naturaleza. Por otra parte, en el presente trabajo tampoco queremos centrar nuestra atención en todos ellos en su conjunto, sino sólo en una tipología, heterogénea en sí misma, que vamos a intentar definir por extensión considerando tres niveles.

En un Nivel 1, podemos considerar aquellas respuestas «sin sentido» a situaciones planteadas en el entorno escolar con relación a aspectos cotidianos. Con el fin de evidenciar más en nuestro análisis estas respuestas, podemos centrarnos en aquellas que se corresponden con situaciones sobre las que se formula preguntas absurdas, que serían reconocidas fácilmente como tales fuera del entorno escolar. Veamos ejemplos ilustrativos relacionados con edades tempranas.

Una experiencia muy conocida y a la que se dio mucha difusión en su momento, es la que llevó a cabo el IREM de Grenoble (1980) en la cual, en el marco de una investigación, se planteaba a un alumnado de 7 a 9 años la siguiente cuestión3:

En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?

Se observó que de los 97 niños y niñas a los que se propuso, 76 «consiguieron» calcular la edad del capitán a partir de los datos del enunciado. A manera de extensión de la mencionada investigación, los mismos autores citan el caso de un niño de 7 años a quien se le preguntaba:

Tienes 10 lápices rojos en tu bolsillo izquierdo y 10 lápices azules en tu bolsillo derecho. ¿Qué edad tienes?

A lo que responde: “20 años”. Se le hace notar que él sabe perfectamente que no tiene 20 años, a lo cual contesta: “Sí, pero es tu culpa, no me has dado los números buenos”. A pesar de que la edad del alumnado a la que se refieren los investigadores del IREM es notablemente inferior a aquella sobre la que centramos el presente trabajo, consideramos relevante la cita en tanto en cuanto se plantea abordar las siguientes preguntas: ¿Qué papel juegan las palabras inductoras?, ¿cuál es la influencia de los aprendizajes escolares recientes?, ¿qué papel juega la verosimilitud del enunciado?

Muy directamente relacionado con éste, tenemos el siguiente ejemplo (Vila, 1998b) en el que una maestra plantea por escrito a todos los niños y niñas de una determinada clase (6 años):

Si un niño tiene 7 lápices y le quitan 7, ¿podrá escribir?

Uno de los niños responde diciendo que “eso dependerá de si tiene bolígrafos o rotuladores”, respuesta que no sólo no es admitida como correcta, sino que incluso es entendida por la profesora como una especie de rebeldía. Cuatro años más tarde, cuando a este niño se le estaba recordando la anécdota, la interrumpió afirmando: “¡Qué problema más tonto, claro que no podrá escribir!”.

Creemos que el recorrido de los ejemplos es ilustrativo de esta primera tipología de errores a los que nos referíamos como Nivel 1. Y por supuesto cabe plantearnos si consideramos razonamiento a los procesos que han llevado a cabo los alumnos para llegar a las respuestas dadas. En cuanto a hipótesis explicativas, queremos desmarcarnos de la tentación de achacarlo únicamente a falta de concentración, de reflexión – por parte del alumnado; también queremos desmarcarnos de las explicaciones dadas en términos de que “no se puede esperar otro tipo de respuesta ante preguntas absurdas”, dado nuestro convencimiento de que a las mismas preguntas formuladas en contexto cotidiano, el absurdo hubiese sido identificado más fácilmente como tal.

Por otra parte, queremos considerar en un Nivel 2 las dificultades observadas en general en el proceso de resolución de problemas no estereotipados (PNE), contextualizados de forma más o menos familiar, que no requieren complejas estrategias de resolución, o más aún, que admiten métodos, estrategias o procesos de ejecución informales.

Una fuente muy importante de obtención y análisis de errores de este tipo son las llamadas evaluaciones externas, y lo son no sólo por la extensión de la población a la que se aplican, sino principalmente por un aspecto metodológico: el alumnado se enfrenta a situaciones propuestas por profesorado ajeno, y en consecuencia a situaciones para las cuales no ha sido adiestrado ad hoc. Así, Gaulin (1982) nos da referencias de una cuestión propuesta en el desarrollo de la segunda edición del National Assessment of Educational Progress (NAEP), en Estados Unidos:

Mike tiene un juego de construcciones que contiene (ver figura 1.1):

60 piezas largas, 60 piezas cortas, 60 tornillos para conectar.

¿Cuántas formas como la siguiente (ver figura 1.2) podrá construir Mike?

Figura 1.1

Figura 1.2

El análisis de la prueba muestra que únicamente el 3% del alumnado de 9 años y el 24% de 13 años obtenía que la respuesta correcta era 12, la cual es evidente en cuanto se considera que las existencias de tornillos serán las primeras en agotarse.

De la misma naturaleza es el problema que analiza Schoenfeld (1991a), propuesto en el tercer NAEP:

En un autobús militar caben 36 soldados. Si 1.128 soldados deben ser trasladados ¿cuántos autobuses son necesarios?

Los datos muestran que un 70% del alumnado efectuó correctamente los cálculos (una división en la que se obtiene 31 de cociente y 12 de resto); sin embargo: «¿Cuántos autobuses eran necesarios?». Un 29% afirmó que “31 y de resto 12”; un 18% afirmó que se necesitaban 31; y únicamente un 23% afirmó que se necesitaban 32.

En España, en el informe de las pruebas correspondientes al “Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias” (TIMSS)4 sobre alumnado de 13-14 años, se cita el siguiente ejemplo:

Las tres quintas partes del alumnado de una clase son chicas. Si añadimos a esta clase 5 chicas y 5 chicos, ¿qué afirmación es cierta?

(a). hay más chicas que chicos

(b). hay igual número de chicos que de chicas

(c). hay más chicos que chicas

(d). con la información dada, no es posible saber si hay más chicos o chicas

A pesar de que el 62% del alumnado opta correctamente por la opción (a), queremos resaltar que uno de cada seis alumnos optó por la opción (d).

Aun tratándose de problemas poco complejos, incluso para la edad a la que eran propuestos, su carácter no estereotipado hace que requieran de un abordaje reflexivo, no automático, ni asociado de forma mimética a algoritmos o sistemas conceptuales; los datos anteriores nos llevan a dudar de que sea posible encontrar de forma generalizada ese nivel de pensamiento matemático en clase; por supuesto, consideramos que ello debiera ser deseable.

Finalmente abordando el papel que creemos que debiera tener la educación matemática para aquellos alumnos especialmente capacitados, planteamos nuestro Nivel 3 de dificultades y errores: ¿Qué es lo que hace que algunos “buenos alumnos” resuelvan bien (excelentemente) algunos PNE y en cambio otros se bloqueen, den respuestas rápidas o incoherentes, o se conformen con bajos niveles de solución?

A continuación presentaremos las resoluciones aportadas por alumnos con muy alto rendimiento matemático a algunos ejemplos de estos PNE, problemas de distinta naturaleza y complejidad, y planteados en niveles escolares también distintos. En primer lugar, un ejemplo de problema abierto, propuesto a alumnos de 14 años (Vila, 1993):

¿Cuánto cartón es necesario para construir un envase que pueda contener un litro de leche?

La hoja de resolución de Anna, una de estas alumnas con un muy alto rendimiento en matemáticas contenía simplemente lo que se muestra en la figura 1.3.

Posteriormente confirmaría que, debido a la ambigüedad del enunciado, sufrió un bloqueo definitivo a los pocos minutos de abordar el problema.

Figura 1.3

Por su parte, Francesc, otro alumno con un expediente académico brillante, asumió que la “forma natural” era la de un prisma, y por supuesto las dimensiones “más fáciles” de suponer eran las de un cubo de arista 1 dm; con lo cual la superficie buscada era 6 veces la de una cara (600 cm2). En este punto dio por resuelto el problema: su idea en torno a qué era un problema de matemáticas y en torno a lo que significa resolverlo, se ajustaba perfectamente al nivel de respuesta dado.

Finalmente Laura, viendo la falta de concreción del problema propuesto, lo reformula en el sentido de buscar cuál sería la superficie mínima necesaria para contener un litro: “A partir de ahí puedes jugar con la cantidad de cartón que tú quieras; o sea, como mínimo tienes que coger esto, y a partir de ahí, según el tipo de envase que hagas (–) sin esta cantidad ya puedes dejarlo”, nos decía. Bajo esta reformulación, considera que a igual volumen, la mínima superficie se obtiene con una forma esférica, lo cual la lleva a calcular cuál sería su radio, conocido el volumen, y a partir de ahí determinar su superficie. Es interesante comentar al respecto que durante el proceso de resolución esta alumna consultó las fórmulas necesarias para determinar el volumen y la superficie de una esfera, pues no las recordaba.

Un segundo ejemplo, que requiere de estrategias de resolución de problemas, aunque con poca complejidad, es el siguiente, propuesto a alumnos de 12 años (Vila, 2001):

Imagínate una tira larga de papel (figura 1.4). Dóblala por la mitad haciendo coincidir los dos extremos uno sobre otro. Cuando la vuelvas a abrir verás una marca de pliegue en medio.

Si en lugar de doblarla una sola vez, lo haces dos veces, siempre por la mitad y en el mismo sentido, al volverla a abrir observarás 3 marcas de pliegue.

¿Cuántos pliegues verás en medio si en total doblas la tira 10 veces, cada vez por su mitad?

Figura 1.4

Por una parte, Mireia, alumna con un rendimiento académico impecable, muestra una absoluta ingenuidad en la resolución, asociando el enunciado propuesto a métodos recientemente aprendidos, en concreto aplicando criterios de proporcionalidad: “Si al doblar cinco veces aparecen 15 pliegues, al doblarlo 10 veces aparecerán 30 pliegues”.