Mathe für Biologen E-Book

Alan J. Cann

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2012

Seitenzahl: 237

Beschreibung

Um ein biologisches Experiment richtig planen, durchführen und auswerten zu können, muss man über fundierte Kenntnisse grundlegender mathematischer und statistischer Operationen verfügen. Mathe für Biologen bietet einen leicht verständlichen Zugang zur Mathematik, Statistik und Datenverarbeitung. Ob in Form von Exponentialrechnungen, Logarithmen oder bei der Berechnung von Molaritäten, Verdünnungen und Volumina - ohne Mathematik geht im Labor gar nichts. Die Kenntnis aller relevanten Maßeinheiten und Umrechnungsverhältnisse ist ebenso unverzichtbar wie eine sichere Beherrschung der wichtigsten statistischen Methoden und der Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung. All dies vermittelt Mathe für Biologen. Besonders junge Wissenschaftler, Diplomanden, Doktoranden und Angehörige des technischen Personals dürften die einfühlsame Didaktik, den klaren Aufbau und die verständliche Sprache des Bandes zu schätzen wissen. Jedes der elf Kapitel enthält Kontrollfragen, anhand derer der Leser seine Lernfortschritte überprüfen kann. Die Lösungen werden im Anhang ausführlich hergeleitet und erläutert. Das umfangreiche Glossar erschließt die wichtigsten Fachbegriffe. So empfiehlt sich der Band sowohl als Begleiter bei der täglichen Laborarbeit als auch zum Nachschlagen beim Verfassen wissenschaftlicher Arbeiten.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

1 Mathe in der Biologie

1.1 Was kann schief gehen?

1.2 Schätzen

1.3 Wie benutzt man dieses Buch?

1.4 Mathematische Konventionen, die in diesem Buch benutzt werden

2 Zahlen manipulieren

2.1 Zahlen manipulieren

2.2 Gleichungen lösen

2.3 Warum müssen Sie dies alles wissen?

2.4 Brüche

2.5 Die Zahl 1

2.6 Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler

2.7 Brüche addieren und subtrahieren

2.8 Multiplizieren von Brüchen

2.9 Dividieren von Brüchen

2.10 Brüche, Kommazahlen und Prozente

2.11 Verhältnisse und Proportionalitäten

3 Einheiten und Umrechnungsfaktoren

3.1 Das SI-System der Maßeinheiten

3.2 SI-Vorsilben

3.3 Gebrauch des SI-Systems

3.4 Energie messen

3.5 Temperatur

4 Molaritäten und Verdünnungen

4.1 Die Avogadro-Zahl

4.2 Molekulargewicht

4.3 Lösungen

4.4 Spektroskopie

4.5 Verdünnungen

5 Flächen und Rauminhalte

5.1 Geometrie

5.2 Flächen und Rauminhalte berechnen

6 Exponenten und Logarithmen

6.1 Exponenten

6.2 Exponentialfunktionen

6.3 Logarithmen

7 Einführung in die Statistik

7.1 Was ist Statistik.

7.2 Statistische Variablen

7.3 Statistische Methoden

7.4 Häufigkeitsverteilungen

7.5 Schaubilder für Häufigkeitsverteilungen

8 Deskriptive (beschreibende) Statistik

8.1 Populationen und Stichproben

8.2 Die zentrale Tendenz

8.3 Variabilität

8.4 Standardfehler

8.5 Vertrauensintervalle

8.6 Parametrische und nicht-parametrische Statistik

8.7 Einen passenden statistischen Test auswählen

8.8 Explorative Datenanalyse

9 Wahrscheinlichkeit

9.1 Wahrscheinlichkeitstheorie

9.2 Ziehen mit und ohne Zurücklegen

9.3 Berechnen der Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse

9.4 Die Binomialverteilung

9.5 Koinzidenzen

10 Beurteilende Statistik

10.1 Statistische Urteile

10.2 Das Verfahren zum Testen von Hypothesen

10.3 Standard-Werte (z-Werte)

10.4 Student-t -Test (t-Test)

10.5 Analyse der Varianz (ANOVA)

10.6 χ2-Test

10.7 Fishers exakter Test

11 Korrelation und Regression

11.1 Regression oder Korrelation?

11.2 Korrelation

11.3 Regression

A Lösungen zu den Aufgaben

B Software für Biologen

C Statistische Formeln und Tabellen

D Glossar

E Stichwortregiste

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Autor

Prof. Dr. Alan J. Cann

University of Leicester, UK

Übersetzer

Dr. Björn Feuerbacher

Seestraße 56

69214 Eppelheim

Germany

Titel der englischen Originalausgabe:

Maths from Scratch for Biologists,

John Wiley & Sond Ltd. 2002

Umschlaggestaltung 4t Werbeagentur,

Darmstadt

Satz Steingraeber Satztechnik GmbH,

Dossenheim

Druck Strauss GmbH, Mörlenbach

Bindung Litges & Dopf Buchbinderei

GmbH, Heppenheim

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© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA, Weinheim

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Print ISBN 9783527311835

Epdf ISBN 978-3-527-66260-9

Epub ISBN 978-3-527-66259-3

Mobi ISBN 978-3-527-66258-6

Vorwort

Dieses Buch entstand aus meinem eigenen Wunsch nach einem Text, den ich mit Freuden meinen Studenten empfehlen könnte. Obwohl es nicht gerade wenige Bücher gibt, die behaupten, Biologen bei der Mathematik zu helfen, haben alle, die mir bekannt sind, einen von zwei Fehlern. Entweder sind sie von wohlmeinenden Mathematikern geschrieben und kümmern sich wenig um die Biologie, oder sie sind nicht dem Niveau angemessen, auf dem die meisten Probleme auftauchen – neue Studenten, die nicht besonders selbstsicher an mathematische Probleme herangehen, obwohl sie in der Schule eine intensive Mathematik-Ausbildung bekommen haben.

Ich behaupte nicht, ein mathematisches Genie zu sein. Aber ich denke, dass gerade mein Ringen darum, das Material in einer leicht zugänglichen Form zu erklären, eines der Stärken des Buches ist – es bringt mich den Studenten, mit denen ich mich verständigen will, näher. Ich verwehre mich gegen alle Anschuldigungen, ich hätte das Material zu stark vereinfacht – jeder, der jemals versucht hat, einem panischen Studenten im Griff derMathe-Phobie zu helfen, weiss, dass eine beruhigende, nicht eine belehrende, Stimme in solchen Situationen ein wichtiges Hilfsmittel ist.Meine Absicht ist durchweg, einen leicht zugänglichen Text für Studenten zur Verfügung zu stellen, die, mit oder ohne formale Mathematikqualifikatonen, durch die vermeintliche „Schwierigkeit“ der Mathematik geängstigt sind und unwillens, unfähig oder nicht erfahren genug sind, ihre mathematische Fähigkeiten anzuwenden. Um jenen Studenten entgegenzukommen, die sich für ein Biologiestudium entschieden, da sie (bewusst oder unbewusst) annahmen, dass dies eine Möglichkeit wäre, Karriere in der Wissenschaft zu machen und dabei gleichzeitig die Mathematik zu vermeiden, ist der Stil dieses Buches bewusst informell und darauf ausgerichtet, Vertrauen aufzubauen.

Die Mathe in diesem Buch ist aufs Schärfste überprüft worden, aber ich kann nicht garantieren, dass der Text frei von Rechenfehlern ist. Außerdem könnte es einige Abschnitte geben, in denen die behandelten Themen nicht so klar ausgedrückt werden, wie ich gehofft hatte. Ich verlasse mich darauf, dass meine Leser mich auf diese aufmerksam machen werden – und ich bin sicher, das werden sie tun.

Alan J. Cann

1

Mathe in der Biologie

Mathematik, aus dem Griechischen „manthano“: lernen

Manche Leute entscheiden sich für ein Biologiestudium in der (bewussten oder unbewussten) Annahme, dass es eine Möglichkeit wäre, Karriere in der Wissenschaft zu machen und dabei gleichzeitig die Mathematik zu vermeiden. Dieses Buch wurde entworfen, um Studenten einen einfachen Zugang zu ermöglichen, die, mit oder ohne formale mathematische Kenntnisse, von der vermeintlichen „Schwierigkeit“ der Mathematik geängstigt sind und die deshalb nicht gewillt sind, ihre womöglich vorhandenen mathematischen Kenntnisse anzuwenden. Haben Sie jemals bemerkt, dass Sie, nachdem Ihnen beigebracht worden war, wie Sie ein mathematisches Problem zu lösen haben, immer noch nicht wussten, warum Sie einen bestimmten Rechenschritt machen müssen? Dies ist die Wurzel vieler Probleme mit der Mathematik, und deswegen wird dieses Buch versuchen, das Warum der Mathe zu erklären, zusätzlich zum Wie. Manchmal scheinen diese Erklärungen unnötig zu sein, aber ich rate Ihnen ernsthaft, sie nicht zu überspringen – verstehen, warum man etwas machen muss, ist der Schlüssel dazu, sich zu merken, wie man es machen muss. Ich beabsichtige dabei, zwanglos zu schreiben und Vertrauen aufzubauen, um sicherzustellen, dass alle Leser eine allgemeine Wertschätzung der grundlegenden mathematischen, statistischen und Datenverarbeitungs-Methoden, die für die Biologie angemessen sind, erlangen. Ich werde versuchen, den Jargon zu erklären, der Leute, die nicht in Zahlen denken, verwirrt.

In den folgenden Kapiteln werden wir uns anschauen, wie man mit Zahlen umgeht, mit Einheiten und Umrechnungen, mit Molaritäten und Verdünnungen, mit Flächen und Rauminhalten, mit Exponenten und Logarithmen und Statistik. Die grundlegenden Ratschläge in diesem Kapitel sind jedoch wirklich der wichtigste Teil des Buches, also lesen Sie bitte weiter.

1.1 Was kann schief gehen?

Es ist in der Mathematik leicht, Fehler zu machen. Eine Antwort sieht wie die andere aus, wie kann man also sagen, ob sie richtig oder falsch ist? Schauen wir uns einige Beispiele für die Arten von Fehlern an, die allzu leicht gemacht werden. Jeder weiss, dass Zahlen bedeutungslos sind ohne die Einheiten, die festlegen, was sie bedeuten (mehr darüber in Kapitel 3). Selbst wenn wir den grundlegenden Fehler vermeiden, dies zu vergessen und nicht einfach „33,6“ als Antwort zu geben (33,6 von was? Volt? Meter? Frösche?), sind die Probleme nicht immer einfach. Betrachten Sie die folgenden Frage:

Ein Aquarium hat die inneren Maße 100 cm × 45 cm × 45 cm.

Wie groß ist sein Volumen in Litern?

Das Leben ist jedoch nicht immer so leicht. Wenn dieselbe Aufgabe auf andere Weise gestellt wird, ist die Antwort nicht mehr so einfach:

Ein Aquarium hat die inneren Maße 39 Zoll × 18 Zoll × 18 Zoll.

Wie groß ist sein Volumen in Litern?

Dies ist schwieriger, weil die Einheiten, in denen die Daten gegeben werden und in denen die Antwort gegeben werden soll, zu unterschiedlichen Einheitensystemen gehören. Im wirklichen Leben passiert so etwas nur zu häufig.

WARNUNG!

Die Verwendung gemischter Einheiten ist gefährlich (siehe Kapitel 3).

Um Fehler zu vermeiden, müssen wir die Einheiten so umrechnen, dass sie insgesamt konsistent sind. Dies bedeutet jedoch, dass es zwei Möglichkeiten gibt, die Aufgabe zu lösen:

Im allgemeinen ist die beste Methode die, die weniger Umrechnungen und weniger Schritte erfordert, hier also Methode 2. Dies hängt jedoch davon ab, welche Umrechnungsfaktoren zur Verfügung stehen – falls Sie den Umrechnungsfaktor von Kubikzoll auf Liter berechnen sollen, könnte es besser sein, Methode 1 zu verwenden. Beachten Sie, dass die Genauigkeit der Umrechnungen von einer Einheit auf eine andere von der Zahl der signifikanten Ziffern abhängt, die man benutzt. Signifikante Ziffern sind: „die kleinste Anzahl von Ziffern, die benötigt wird, um einen gegebenen Wert (in wissenschaftlicher Notation) darzustellen, ohne an Genauigkeit zu verlieren“. Die meistsignifikante Ziffer ist die am weitesten links stehende, die Ziffer, die am besten bekannt ist. Die wenigstsignifikante Ziffer ist die am weitesten rechts stehende, die Ziffer, die am schlechtesten bekannt ist.

Signifikante Ziffern sind wichtig, wenn man wissenschaftliche Daten veröffentlicht, weil sie dem Leser ein Gefühl dafür geben, wie genau die Daten gemessen wurden. Hier sind die Regeln:

1. Alle Ziffern ungleich null (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) sind immer signifikant: z. B. hat 12345 fünf signifikante Ziffern, und 1,2345 auch.

2. Alle Nullen, die rechts des Kommas stehen und am Ende der Zahl, sind immer signifikant. Diese Regel verwirrt manche Leute gelegentlich, da sie nicht verstehen, warum das so sein soll. Der Grund ist, dass diese Nullen die Genauigkeit festlegen, mit der diese Zahl berechnet wurde. Beispielsweise haben 1,2001 und 1,2000 beide fünf signifikante Ziffern.

3. Alle Nullen zwischen signifikanten Ziffern sind immer signifikant: z. B. haben 10002, 1,0002 und 1,0200 alle fünf signifikante Ziffern (hier sind die „Platzhalter- Nullen“ rechts des Kommas signifikante Ziffern, weil sie zwischen signifikanten Ziffern stehen).

4. Alle anderen Nullen sind keine signifikanten Ziffern: z. B. hat 0,0200 drei signifikante Ziffern (die „Platzhalter-Null“ rechts des Kommas ist keine signifikante Ziffer, weil sie nicht zwischen signifikanten Ziffern und nicht am Ende der Zahl steht), 1 000 000,01 hat neun signifikante Ziffern (Nullen zwischen signifikanten Ziffern), aber 1 000 000 hat nur eine signifikante Ziffer. Will man letztere Zahl mit sieben signifikanten Ziffern schreiben, so muss man die wissenschaftliche Notation verwenden: 1,000000 × 107.

Es ist wichtig, eine angemessene Zahl von signifikanten Ziffern in Rechnungen zu verwenden, da dies Verluste an Genauigkeit verhindert. Computer und Taschenrechner geben jedoch oft lächerlich viele signifikante Ziffern an – weit jenseits der Genauigkeit, mit der eine Messung durchgeführt werden könnte. Aus diesem Grund, und um Rechnungen zu erleichtern (besonders beim Schätzen, siehe unten), ist es oft nötig, die signifikanten Ziffern in einer Zahl zu „runden“ (auch: „runden auf die nächste gerade Zahl“ genannt). Beachten Sie, dass hier von „Runden“ die Rede ist, nicht „Auf- und Abrunden“, welches zu Ungenauigkeiten und Fehlern führt. „Auf- oder abrunden“ einer Ziffer, die von einer 5 gefolgt wird (z. B.: 5,45 wird zu 5,5), führt zu Fehlern in Rechnungen, weil die Ziffern eins, zwei, drei und vier (vier Möglichkeiten) „abgerundet“, aber die Ziffern fünf, sechs, sieben, acht, neun (fünf Möglichkeiten) „aufgerundet“ werden. „Runden“ vermeidet diese Fehler:

1. Falls die Ziffer, die der Ziffer folgt, die die letzte sein wird, kleiner als 5 ist, streiche sie und alle Ziffern rechts von ihr.

2. Falls die Ziffer, die der Ziffer folgt, die die letzte sein wird, größer als 5 ist, erhöhe die zu rundende Ziffer, also die vorhergehende, um 1.

3. Falls die Ziffer, die der Ziffer folgt, die die letzte sein wird, gleich 5 ist, runde die vorhergehende Ziffer, so dass sie gerade wird.

Beispiele

Runde 123,456789 auf drei signifikante Ziffern: 123 (Regel 1: runde die Zahl durch Streichen der restlichen Ziffern)

Runde 123,456789 auf fünf signifikante Ziffern: 123,46 (Regel 2: runde die letzte Ziffer auf)

Runde 123,456789 auf vier signifikante Ziffern: 123,4 (Regel 3: mache die letzte Ziffer gerade)

Runde 123,356789 auf vier signifikante Ziffern: 123,4 (Regel 3: mache die letzte Ziffer gerade)

Runde 123,456799 auf acht signifikante Ziffern: 123,45680 (Beachten Sie, dass 9 auf 10 aufgerundet wird, nicht auf 0 abgerundet).

1.2 Schätzen

Hinweis: Machen Sie nach jeder Rechnung eine grobe Abschätzung, um zu sehen, ob Ihre Antwort Sinn ergibt, und um Fehler zu vermeiden.

Taschenrechner und Computer spucken Zahlen auf Knopfdruck aus, aber sind die Antworten richtig? Schätzen ist eine unbedingt notwendige Fähigkeit, wenn Sie lernen wollen, mit Zahlen sicher und gekonnt umzugehen. Schätzen und rechnen sind jedoch nicht dasselbe, und es ist wichtig, den Unterschied zu verstehen. Wo Rechnungen versuchen, die genauestmögliche Antwort zu geben (innerhalb der experimentellen Fehler), verzichten Schätzungen freiwillig auf Genauigkeit, um die Berechnung des Ergebnisses zu vereinfachen.

Falls Sie einen Computer oder einen Taschenrechner benutzt haben, um ein Ergebnis zu berechnen, ist es am Besten, eine Schätzung im Kopf oder auf einem Fetzen Papier durchzuführen, um zu überprüfen, ob sich durch Benutzen der Maschine nicht irgendwelche Fehler eingeschlichen haben. Deshalb beinhaltet Schätzen eine Erleichterung der Rechnung – eine Schätzung ist nicht dafür gedacht, genau zu sein, aber sie sollte leicht zu berechnen sein und eine verlässliche Überprüfung bieten. Neben dem eigentlichen Durchführen der Rechnung ist Schätzen das wichtigste Mittel, sicherzustellen, dass Antworten auf Aufgaben richtig sind. Einige Rechnungen in der Biologie sind komplex und benötigen viele Schritte (Kapitel 5). Schätzen ist dort sehr wichtig, um sicherzustellen, dass die Antwort vernünftig aussieht. Rechnungen mit Zahlen und Gleichungen könnten auch auf einen mathematischen Term statt auf eine Zahl als Antwort führen (z. B. 3y-2). Hier besteht der Trick darin, Ihr Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um zu sehen, ob es funktioniert (Kapitel 2).

1.3 Wie benutzt man dieses Buch?

Falls Sie angewiesen wurden, dieses Buch als Begleitung zu einer bestimmten Vorlesung zu benutzen, sollten Sie am Besten den Anweisungen desjenigen folgen, der die Vorlesung hält. Ansonsten können Sie dieses Buch benutzen, wie auch immer es Ihnen gefällt. Einige Leute möchten vielleicht alle (oder die meisten) Kapitel in der richtigen Reihenfolge lesen. Andere könnten Abschnitte auslassen und in manche Kapitel nur hineinlinsen, von denen sie denken, dass sie sie brauchen. Beide Möglichkeiten sind in Ordnung, solange Sie Aufgaben konsistent und genau lösen können – und am Wichtigsten ist es, dass Sie das Wissen und das Selbstvertrauen erlangen, um damit anzufangen, zu versuchen, mögliche Antworten auszuarbeiten.

1.4 Mathematische Konventionen, die in diesem Buch benutzt werden

Um sie leichter lesbar zu machen, werden Zahlen mit mehr als vier Ziffern in Gruppen von drei Ziffern, getrennt durch Leerzeichen (nicht Kommas, wie sonst üblich in der englischsprachigen Literatur), aufgeteilt; z. B. bedeutet 9999999 neun Millionen, neun hundert und neunundneunzigtausend, neun hundert neunundneunzig.

2

Zahlen manipulieren

Algebra (aus dem Arabischen „al-jabr“: die Reduktion): ein Zweig der Mathematik, in dem Symbole benutzt werden, um Zahlen darzustellen

LERNZIELE

Nach dem Beenden dieses Kapitels sollten Sie zu folgendem in der Lage sein: