Mensch und Mathematik E-Book

Edwin Gräupl

• Herausgeber: neobooks
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 65

Veröffentlichungsjahr: 2013

Beschreibung

In der dominierenden Sichtweise der westlichen Kultur schreibt man den Gegenständen der Mathematik seit Plato ein selbständiges Dasein in einer übergeordneten Welt (wie man sie auch immer nennen mag) zu. Das führt dazu, dass für viele Menschen die Mathematik eine rigide Kälte ausstrahlt, die den Zugang zu ihren Methoden und Erkenntnissen erschwert und oft verhindert. Spätestens seit Ludwig Wittgenstein kann man dagegen argumentieren und die mathematische Wissenschaft als etwas zutiefst Menschliches erkennen. Auf den folgenden Seiten entwickelt der Autor diese Position und schließt mit einer "Checkliste" für einen menschlichen Mathematikunterricht.

Leseprobe

Edwin Gräupl

Mensch und Mathematik

Wittgenstein gegen Plato

Dieses ebook wurde erstellt bei

Inhaltsverzeichnis

Titel

1. Das Wesen der Mathematik

1.1 Information und Sprachspiel

1.2 Die physische Welt und ihr Informationsgehalt

1.3 Die Grenzen der Autarkie

1.4 Die natürlichen Zahlen

1.5 „Eins" und die Menge

1.6 „Kein" und das Kontinuum

1.7 „Unendlich" und der mathematische Gegenstand

1.8 Die Entstehung der Theorien

1.9 Die Symbolsprache

1.10 Die Axiomatisierung einer Theorie

1.11 Anmerkungen zum Wesen der Mathematik

2. Wahrheit und Mathematik

2.1 Das mathematische Objekt

2.2 Wahrheit in der Mathematik

2.3 Willkür in der Mathematik

2.4 Anwendbarkeit der Mathematik

2.5 Der Gebrauch der Wörter

2.6 Der gute Engel Wittgensteins

2.7 Anmerkungen zur Wahrheit in der Mathematik

3. Anhang: Bemerkungen zum „Tertium non datur“

4. Erfolgreicher Mathematikunterricht

5. Literaturverzeichnis

Impressum neobooks

1. Das Wesen der Mathematik

Denn die Mathematik ist doch ein anthropologisches Phänomen.

L. Wittgenstein (BGM V 26)

Tatsächlich beruht, ob man das nun wahrhaben will oder nicht, alle mathematische Pädagogik .. . auf einer Philosophie der Mathematik .

(Rene Thom, zitiert nach: Mathematiker über die Mathematik, Springer 1974, pag 5).

In der dominierenden Sichtweise der westlichen Kultur schreibt man den Gegenständen der Mathematik seit Plato ein selbständiges Dasein in einer übergeordneten Welt (wie man sie auch immer nennen mag) zu. Das führt dazu, dass für viele Menschen die Mathematik eine rigide Kälte ausstrahlt, die den Zugang zu ihren Methoden und Erkenntnissen erschwert und oft verhindert. Spätestens seit Ludwig Wittgenstein kann man dagegen argumentieren und die mathematische Wissenschaft als etwas zutiefst Menschliches erkennen.

1.1 Information und Sprachspiel

Unter Information will ich hier Aussagen über Sachverhalte, oder allgemeiner, Züge in einem Sprachspiel verstehen. Verständlich heißt die Information dann, wenn ich in der Lage bin, jene Aussagen auch gebrauchen oder auf diesen Zug entsprechend antworten zu können. Jemand empfängt nun einen Zeichenkomplex. Da dies nicht isoliert geschieht, sondern in einem größeren Zusammenhang, kann er diesen Komplex auch dann für eine Information halten, wenn er nicht weiß, wie diese Zeichen zu gebrauchen sind. Er wird dann von einer unverständlichen Information sprechen.

Erfahrungsgemäß reizt diese Situation die Neugierde, es entsteht das Bedürfnis diese Zeichen auch gebrauchen zu können. Der triviale Fall einer unverständlichen Information liegt vor, wenn die sie konstituierenden Aussagen in einer dem Empfänger unbekannten Sprache gemacht werden. Für unsere Betrachtungen ist aber der Fall wichtig, dass der Empfänger trotz seiner Sprachkenntnis die Information nicht gebrauchen kann. Das kann eintreten, wenn sehr viele Zeichen in rascher Folge übermittelt werden, so dass der Empfänger sie nicht mehr verarbeiten kann. Wichtiger ist für uns der andere Fall, dass diese Informationen etwa schriftlich vorliegen, also das Verarbeitungstempo im Belieben des Empfängers liegt, aber so umständlich formuliert sind, dass sie der Empfänger trotzdem nicht gebrauchen kann. Dazu ein Beispiel. Höre oder lese ich „Gib mir Geld!", so kann ich diese Information gebrauchen. Sie weist mir eine bestimmte Rolle zu, von der ich weiß, wie sie zu spielen ist. Diese Aufforderung gibt mir also das Startzeichen zu einem mir wohlbekannten Spiel. Höre ich aber „Gib mir nie kein Geld nicht!", so kann ich mit dieser Information, so wie sie hier vorliegt, noch nichts anfangen. Ich weiß nicht, was ich tun soll. Hier setzt die Notwendigkeit ein, für einen derartigen Fall neue Verhaltensformen zu überlegen.

Ich kann den Kontakt zum Informanten (manchmal) abbrechen, dieses Spiel nicht spielen („Lass mich in Ruhe!"). Diese Haltung wird im Extremfall zum Selbstmord führen müssen. Für den, der weiterleben will, bleibt die Notwendigkeit, mehr oder weniger „mitzuspielen". Dazu muß man aber die Spielzüge der Partner beurteilen können, sie verstehen. Deshalb kann ich versuchen zu bitten: „Das habe ich nicht verstanden, sag es verständlicher!" Ich verlange hier also vom Informanten, seine Information umzuformen. Dem liegt die Vermutung zugrunde, dass die gegebene Information in anderer Form so gegeben werden kann, dass ich in der Lage bin, sie zu gebrauchen.

Hege ich diese Vermutung, so könnte ich auch genauso irgendeinen anderen Menschen bitten, diese Umformung vorzunehmen, oder ich könnte es selbst versuchen. Liegt hier nicht ein Widerspruch vor? Wie kann ich eine Information, die ich nicht gebrauchen kann, also damit nicht umgehen kann, bearbeiten?

Nun ist es doch so, dass ich dem Zeichenkomplex als Ganzem ratlos gegenüberstehe, nicht aber den Elementen dieses Komplexes, ihre Verwendung kenne ich ja. Ich muß nun das, was in einfacheren Fällen mein Gehirn automatisch besorgt, bewußt durchführen, nämlich, wie es etwa in unserem Beispiel erforderlich ist, die Zusammenfassung mehrerer Zeichen in eines. Hier versteht man „Gib mir kein Geld nicht!" als,,Gib mir Geld!" Setzt man nun „nie" wieder ein, so heißt es „Gib mir nie Geld!"

Somit wurde am Beispiel gezeigt, dass es Informationen gibt, die vorerst unbrauchbar sind, dann aber nach einer Umformung, der wir zustimmen können, verständlich und brauchbar werden.

1.2 Die physische Welt und ihr Informationsgehalt

Wichtiger für uns sind jene Spiele, in denen die Natur selbst als Spielpartner auftritt. Man wird einwenden, dass die Natur selbst keine Informationen formuliert, sondern dass ich es bin, der das Verhalten der Natur, also die Tatsachen, beschreibt. Ich brauche diese Beschreibung ja nur so zu formulieren, dass ich sie verwenden kann. Das ist nun aber oft nicht möglich, wie bereits ein einfaches Beispiel zeigt, etwa die Bestimmung der Entfernung Erde-Mond. Es kann hier keine Messung der fraglichen Größe selbst vorgenommen werden (gedacht ist an das Messen mit dem Maßstab), sondern es können nur Aussagen über greifbare Tatsachen gemacht werden, also Entfernungen auf der Erde, Blickwinkel zum Mond. Erst durch Umformung dieser Aussagen (die an Hand bestimmter Vorstellungen über die Raumstruktur vorgenommen werden) gelangt man zu einer brauchbaren Information, nämlich derart, dass die Entfernung in Metern angegeben wird.

Wir wollen nun versuchen, jene Informationen zu charakterisieren, deren Eigenschaft, zugleich wichtig und unverständlich zu sein, die Erfindung der mathematischen Methoden nahelegte.

Es gibt Aussagen, die sich mit den Empfindungen selbst, den Qualitäten, beschäftigen, und es gibt Aussagen, die zwischen den Empfindungen Beziehungen herstellen. Sie sind durch das folgende Kriterium zu unterscheiden: Für Aussagen der ersten Art ist die empfundene Qualität als solche wesentlich, während es bei Aussagen der zweiten Art nicht auf die Qualität selbst, sondern nur auf ihre Konstanz ankommt(1).

Damit ein Lebewesen sich in seiner Umwelt zurechtfinden kann, ist es notwendig, dass gleiche Bedingungen gleiche Empfindungen hervorrufen; die Qualität der Empfindung ist (in Grenzen) zur Orientierung, zur Ordnung der Eindrücke, nicht relevant. Wie steht es aber mit den Qualitäten selbst? Die Erfahrung lehrt, dass es etwa unmöglich ist, einem Blindgeborenen die Farbempfindungen mitzuteilen, sieht man von so schwachen Aussagen wie: „Grün ist angenehm" ab. Aber selbst solche Aussagen werden nicht von allen Empfindenden gebilligt. Daraus folgt, dass die empfundene Qualität in ihrem vollen Umfang nicht durch die Sprache mitteilbar ist und dass das Wenige, das mitgeteilt werden kann, keine allgemeine Zustimmung findet. Offenbar empfinden verschiedene Menschen verschieden. Objektiv überprüfbar können also nur Aussagen der zweiten Art sein, auf sie wird sich die Wissenschaft stützen.