Métodos matemáticos E-Book

Gabriel Téllez Acosta

• Herausgeber: Universidad de los Andes
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 389

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Este libro presenta y explica herramientas básicas y avanzadas de matemáticas necesarias para todo científico. Está principalmente orientado a estudiantes de pregrado y posgrado en Física, pero es también accesible y útil para otros futuros científicos, ingenieros y matemáticos. El libro asume del lector un conocimiento previo de cálculo diferencial, integral, vectorial y álgebra lineal. En la primera parte se abordan temas como la teoría de funciones de variable compleja, la teoría de distribuciones, el análisis de Fourier, la transformada de Laplace y el estudio de las principales ecuaciones diferenciales de la Física. Esta segunda edición extendida incluye cuatro capítulos nuevos sobre temas más avanzados, como la teoría de Sturm-Liouville, los polinomios ortogonales, el estudio de singularidades en ecuaciones diferenciales lineales y las funciones elípticas.

Leseprobe

MÉTODOS MATEMÁTICOS

GABRIEL TÉLLEZ ACOSTA

MÉTODOS MATEMÁTICOS

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Nombre: Téllez Acosta, Gabriel, autor.

Título: Métodos matemáticos / Gabriel Téllez Acosta.

Descripción: Segunda edición extendida. | Bogotá: Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Ediciones Uniandes, 2022.

Identificadores: ISBN 9789587981827 (rústica) |9789587981834 (electrónico)

Materias: Análisis matemático | Funciones de variable compleja | Análisis de Fourier | Ecuaciones diferenciales | Polinomios ortogonales

Clasificación: CDD 515.2-dc23              SBUA

Segunda edición: febrero del 2022

© Gabriel Téllez Acosta

© Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Departamento de Física

Ediciones Uniandes

Carrera 1.a n.° 18A-12

Bogotá, D. C., Colombia

Teléfono: 601 339 4949, ext. 2133

http://ediciones.uniandes.edu.co

http://ebooks.uniandes.edu.co

[e-mail]

ISBN: 978-958-798-182-7

ISBNe-book: 978-958-798-183-4

Corrección de estilo: Laura Porras Montenegro

Diagramación: Patricia Chávez Rojas

Diseño de cubierta: La Central de Diseño

Imágenes, figuras y tablas: elaboración propia del autor

Conversión ePub: Lápiz Blanco S.A.S.

Hecho en Colombia

Made in Colombia

Universidad de los Andes | Vigilada Mineducación. Reconocimiento como universidad: Decreto 1297 del 30 de mayo de 1964. Reconocimiento de personería jurídica: Resolución 28 del 23 de febrero de 1949, Minjusticia. Acreditación institucional de alta calidad, 10 años: Resolución 582 del 9 de enero del 2015, Mineducación.

Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida ni en su todo ni en sus partes, ni registrada en o transmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electro-óptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo por escrito de la editorial.

AUTOR

Gabriel Téllez Acosta es doctor en Física Teórica de la Universidad de París XI, Francia. Actualmente se desempeña como profesor titular e investigador en el Departamento de Física de la Universidad de los Andes, Colombia. Fue ganador del premio para científicos jóvenes colombianos de la Academia de Ciencias para el Mundo en Desarrollo (TWAS) en el 2006. Es miembro correspondiente de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales desde el 2013. Fue director del Departamento de Física de la Universidad de los Andes entre el 2014 y el 2018 y lidera el grupo de investigación de Física Estadística en la misma universidad. Ha publicado numerosos artículos de investigación en revistas internacionales especializadas en este campo.

CONTENIDO

Lista de figuras

Prefacio de la segunda edición

Prefacio de la primera edición

1Funciones de una variable compleja

1.1.Funciones analíticas y funciones holomorfas

1.2.Representaciones geométricas

1.3.Integración compleja

1.4.Serie de Taylor y serie de Laurent

1.5.Teorema y cálculo de residuos

1.6.Ejercicios y problemas

2Distribuciones

2.1.La distribución de Dirac

2.2.La teoría de las distribuciones

2.3.Producto de convolución

2.4.Ejercicios y problemas

3Series de Fourier

3.1.Introducción

3.2.Serie de Fourier de una función periódica

3.3.Convergencia en L2(T). Interpretación geométrica

3.4.Serie de Fourier de una distribución periódica

3.5.Ejercicios y problemas

4Transformada de Fourier

4.1.Introducción: de la serie de Fourier a la transformada de Fourier

4.2.Definiciones y primeras propiedades

4.3.Transformada de Fourier de distribuciones

4.4.Propiedades y aplicaciones varias

4.5.Funciones de varias variables

4.6.Ejercicios y problemas

5Transformada de Laplace

5.1.Transformada de Laplace de funciones

5.2.Transformada de Laplace de distribuciones

5.3.Fórmula de inversión

5.4.Convolución y aplicación a ecuaciones diferenciales

5.5.Ejercicios y problemas

6Ecuaciones diferenciales de la física

6.1.Introducción

6.2.Algunos casos sin fronteras

6.3.Separación de variables

6.4.Funciones y polinomios de Legendre

6.5.Funciones de Bessel

6.6.Funciones de Green

6.7.Ejercicios y problemas

7Teoría de Sturm-Liouville

7.1.Ecuaciones diferenciales autoadjuntas

7.2.Sistemas de Sturm-Liouville

7.3.Aplicaciones

7.4.Ejercicios y problemas

8Polinomios ortogonales

8.1.Definiciones

8.2.Propiedades generales

8.3.Propiedades generales de polinomios ortogonales clásicos

8.4.Ejercicios y problemas

9Singularidades en ecuaciones diferenciales lineales

9.1.Puntos singulares de una ecuación diferencial lineal

9.2.Ecuación diferencial de Riemann

9.3.Función hipergeométrica de Gauss

9.4.Ejercicios y problemas

10Funciones elípticas

10.1.Definiciones y propiedades generales

10.2.La función de Weierstrass

10.3.Las funciones theta

10.4.Las funciones elípticas de Jacobi

10.5.Ejercicios y problemas

Apéndice

Bibliografía

Símbolos utilizados

LISTA DE FIGURAS

1.1.Caminos en recubrimientos universales

1.2.Camino

1.3.Camino dividido en segmentos

1.4.Caminos homótopos y no homótopos a un punto

1.5.Camino triangular

1.6.Integrales en caminos homótopos y no homótopos

1.7.Dos caminos homótopos entre ellos

1.8.Caminos considerados en la demostración del teorema 1.3.3 (fórmula de Cauchy)

1.9.Disco de convergencia de una serie de Taylor

1.10.Círculo Γ considerado en la demostración del teorema 1.3.4

1.11.Camino considerado para la demostración del teorema 1.4.1

1.12.Prolongación analítica de una función

1.13.Teorema del residuo

1.14.Camino considerado en el ejemplo 1.5.1

1.15.Camino considerado en el ejemplo 1.5.2 cuando k > 0

1.16.Camino considerado en el ejemplo 1.5.2 cuando k < 0

1.17.Camino considerado en el ejemplo 1.5.4

1.18.Camino rectangular considerado en el ejemplo 1.5.5

1.19.Lema de Jordan

1.20.Camino considerado para la representación de Hankel de la función gamma

2.1.Una secuencia delta

2.2.Secuencia de funciones que convergen hacia la función escalón de Heaviside

2.3.Función escalón de Heaviside

2.4.Función con saltos

2.5.Soporte de la función (x, y) ϕ(x + y)

2.6.Intersección de soportes acotados para la definición del producto de convolución T ∗ S cuando T o S tienen soporte acotado

2.7.Intersección de soportes acotados para la definición del producto de convolución T ∗ S cuando T y S tienen como soporte media recta

2.8.Un sistema lineal

2.9.Circuito RC

3.1.Condiciones de frontera del problema (3.1.2)-(3.1.3)

3.2.Función de variación acotada

3.3.Función “cuadrados”

3.4.Función “triángulos”

4.1.Difracción

4.2.Representación esquemática del tamaño de los espacios D y S y sus duales D′ y S′

4.3.Peine de Dirac y su transformada de Fourier

4.4.Transformada de Fourier de una función periódica

4.5.Rayas espectrales finas y gruesas

5.1.Dominio de definición de una transformada de Laplace

5.2.Camino de integración para la inversión de la transformada de Laplace del ejemplo 5.3.1

5.3.Región de los polos de la prolongación analítica de una transformada de Laplace

5.4.Camino de integración para la inversión de la transformada de Laplace cuando hay un punto de ramificación

5.5.Circuito RLC en serie

6.1.Camino de integración para el cálculo de la función de Green

10.1.Paralelogramo periodo fundamental

PREFACIO DE LA SEGUNDA EDICIÓN

Diecisiete años han pasado desde la publicación de la primera edición de este libro, durante los cuales este ha servido como texto guía y de consulta a muchas generaciones de físicos egresados de la Universidad de los Andes. Para esta segunda edición se revisaron los capítulos 1 a 6, corrigiendo algunos errores que se “colaron” en la primera edición y complementando algunos temas y ejercicios.

Sin embargo, la gran novedad de la segunda edición es la adición de una segunda parte compuesta por cuatro capítulos nuevos, completamente inéditos. Estos capítulos del 7 a 10 presentan temas más avanzados que los anteriores y sirven de material para el curso Métodos Matemáticos Avanzados, que dicté por primera vez en el 2005. Este curso es para un público de estudiantes de física de posgrado o de finales de la carrera de pregrado. Por lo tanto, hay un cambio importante en el enfoque y el nivel de los temas del libro a partir del capítulo 7. En esa segunda parte del libro, se detallan menos las demostraciones que se dejan más como ejercicios para el lector.

Los nuevos temas de la segunda parte son los siguientes. El capítulo 7 complementa el estudio de las ecuaciones diferenciales de la física iniciado en el capítulo 6, presentando la teoría de Sturm-Liouville de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Es la ocasión para extender y generalizar la teoría de series de Fourier y sus aplicaciones a problemas físicos. El capítulo 8 presenta elementos de la teoría de los polinomios ortogonales. En su exposición se trataron las propiedades generales de dichos polinomios, dejando el estudio específico de los polinomios ortogonales clásicos (Hermite, Laguerre, Jacobi) a modo de ejercicios. El capítulo 9 aborda la problemática del comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales cerca a singularidades, en particular las singularidades regulares. También se concentra este capítulo en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales con tres puntos singulares regulares, es decir, la ecuación diferencial de Riemann. Se presenta la reducción de la ecuación diferencial de Riemann a la ecuación hipergeométrica de Gauss y se estudia en detalle la función hipergeométrica que permite resolver este tipo de ecuaciones diferenciales. Por último, el capítulo 10 presenta una introducción al tema de las funciones elípticas, que son las funciones doblemente periódicas y meromorfas. En particular, se presentan la función de Weierstrass, las funciones elípticas de Jacobi y las funciones theta.

En esta segunda edición también se ha extendido considerablemente la bibliografía citada, balanceando varias referencias recientes, así como los trabajos originales de los siglos XIX y XX en los que se desarrollaron la gran mayoría de las herramientas matemáticas y funciones especiales aquí presentadas. En la actualidad, gracias al internet, el acceso a estos documentos históricos se ha facilitado enormemente con respecto a hace unas décadas, por lo que su lectura resulta de gran interés para apreciar la génesis de estas herramientas matemáticas.

Quiero agradecer especialmente a Robert Salazar, quien realizó una revisión técnica exaustiva de todo el libro antes de la publicación de esta segunda edición. Gracias a su trabajo se corrigieron varios errores y se mejoró la presentación de algunos temas. Agradezco también al Departamento de Física, a la Facultad de Ciencias y la Vicerrectoría de Investigación y Creación de la Universidad de los Andes por el apoyo para la publicación de este libro.

GABRIEL TÉLLEZEnero del 2022Bogotá, D. C., Colombia

PREFACIO DE LA PRIMERA EDICIÓN

Este libro nace de unas notas de clase del curso Métodos Matemáticos para estudiantes de la carrera de Física de la Universidad de los Andes, el cual dicté en el segundo semestre del 2000 y en el primer semestre del 2002. En este se tratan los conceptos básicos de matemáticas que todo físico debe conocer. Para abordar este libro el lector debe tener conocimientos elementales de cálculo diferencial, integral y vectorial, así como nociones de álgebra lineal, correspondientes a los cursos universitarios de primeros semestres de toda carrera científica. El contenido de este material está orientado principalmente a los estudiantes del pregrado en Física, aunque puede ser provechoso para estudiantes de otras carreras científicas, como matemáticos e ingenieros. A pesar de esta orientación hacia la física, se trató de mantener cierto rigor matemático.

El libro está dividido en seis capítulos. Cada uno presenta la teoría ilustrada con ejercicios, algunos de ellos resueltos, otros no. Al final de cada capítulo hay ejercicios y problemas adicionales.

El primer capítulo trata sobre funciones de variable compleja. No se trató de presentar un compendio sobre este vasto tema sino solo lo esencial. En particular, se hace énfasis en las aplicaciones del teorema de residuos al cálculo de integrales definidas. La principal bibliografía utilizada para esta parte es [Spi67, AWH13, But68, Kah91].

El segundo capítulo trata sobre las distribuciones o funciones generalizadas. Se presentan primero de manera intuitiva con la distribución de Dirac, y luego se dan algunos elementos de la teoría de Schwartz de las distribuciones, mostrando así el fundamento matemático de esta herramienta. La principal referencia para este capítulo es naturalmente el libro de Schwartz [Sch66], así como [Sch98, Kah91].

Los capítulos 3, 4 y 5 tratan del análisis de Fourier y la transformada de Laplace. Allí se abordan las nociones básicas de estas transformaciones para funciones y distribuciones, así como sus aplicaciones. Se presentan algunos ejemplos de cómo aparece en fenómenos físicos la transformada de Fourier, por ejemplo, en óptica, pero también su utilidad como herramienta matemática para resolver ecuaciones diferenciales. La bibliografía sobre este tema es amplia. Podemos citar [AWH13, Sne51, Kah91, Sch98, Spi70], entre otros.

El último capítulo aborda el tema de las ecuaciones diferenciales que más comúnmente aparecen en física. Es la ocasión para presentar en detalle el método de las funciones de Green, y resolver la ecuación de Laplace en diferentes sistemas de coordenadas. Naturalmente se presenta, entonces, el estudio de las funciones especiales que aparecen en la solución de la ecuación de Laplace, a saber los polinomios y funciones asociadas de Legendre y las funciones esféricas armónicas para los problemas con simetría esférica, y las funciones de Bessel para los problemas con simetría cilíndrica. Para las propiedades de estas funciones especiales el lector encontrará muy útil consultar libros, tales como [GR94, Wat44, WW27].

GABRIEL TÉLLEZSeptiembre del 2004Bogotá, D. C., Colombia

CAPÍTULO 1

FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA

En este capítulo estudiaremos las propiedades de las funciones de una variable compleja con valores complejos. En particular nos interesa estudiar las funciones derivables (también llamadas holomorfas o analíticas), las cuales tienen una propiedad muy particular: una función de variable compleja derivable una vez lo es automáticamente una infinidad de veces. Esto es algo nuevo con respecto a las funciones de una variable real en que las una función puede ser derivable una vez, pero no dos o más veces. Tal propiedad tiene consecuencias especiales: una de ellas se conoce como la fórmula de Cauchy [Cau25], que nos permitirá calcular muy fácilmente muchas integrales definidas. Los temas aquí presentados pueden complementarse consultando, por ejemplo: [Spi67, AWH13, But68, WW27].

1.1.FUNCIONES ANALÍTICAS Y FUNCIONES HOLOMORFAS

1.1.1.DEFINICIONES

En todo este capítulo, salvo que se mencione lo contrario, f es una función de una variable compleja que toma valores complejos:

Definición 1.1.1. La función f es analítica en z0 ∈ , si existe > 0 tal que para todo z que cumple |z − z0| < tenemos

con (an) una secuencia de números complejos.

Decimos que f es analítica en un abierto G de , si es analítica en todo punto de G.

En otras palabras, f es analítica en z0 si posee un desarrollo en serie de Taylor en la vecindad de z0.

Definición 1.1.2. Una función f es holomorfa o derivable en z0, si f está definida en la vecindad de z0 y existe el límite

Decimos que f es holomorfa en un abierto G de , si es holomorfa en todo punto de G. Se trata de la misma definición que para funciones de variable real. Pero hay que tener en cuenta un punto importante: h es un número complejo. El límite debe existir y ser único independientemente de como h se acerque a cero. Esto tendrá consecuencias importantes como se verá en la siguiente sección.

Teorema 1.1.1. Toda función analítica es holomorfa y recíprocamente toda función holomorfa es analítica.

Es bastante evidente que toda función analítica es derivable. Si f(z) = entonces

Tenemos, además, f′(z0) = a1.□

La recíproca, toda función holomorfa es analítica, también es cierta (aunque no es evidente). Veremos su demostración más adelante. Notemos que esto es completamente nuevo y es una propiedad muy fuerte. Para las funciones de una variable real esto no es cierto: una función de variable real puede ser derivable sin ser analítica.

Ejercicio 1.1.1. Dar un ejemplo de una función de variable real que es derivable sin ser analítica.

Finalmente, para funciones de una variable compleja, los términos holomorfa y analítica son sinónimos.

Ejemplo 1.1.1. La función f(z) = z es holomorfa en todo . La función donde es el complejo conjugado de z, no es derivable en ningún punto.

Ejercicio 1.1.2. Mostrarlo.

Algunas propiedades bastante evidentes para mostrar que una función es derivable:

Teorema 1.1.2.

1.La suma de dos funciones derivables es derivable.

2.El producto de dos funciones derivables es derivable.

3.El cociente de dos funciones derivables es derivable, si el denominador no se anula.

4.Si f y g son derivables, entonces f ◦ g es derivable. (f ◦ g)′(z) = f′(g(z))g′(z). Es la regla de la cadena:

5.Si f es derivable y su derivada f′ no se anula y f es uno-a-uno de un abierto G hacia un abierto H, entonces la función recíproca f−1 que aplica de H hacia G es derivable. Su derivada es: (f−1)′(ζ) = 1/f′(f−1(ζ)). O escrito de otra forma: ζ = f(z), z = f−1(ζ),

Son las mismas propiedades básicas que para las funciones de una variable real y se demuestran de la misma forma.

1.1.2.CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN

Como se mencionó, el límite (1.1.3) que define la derivada no debe depender de cómo h tiende hacia cero. Eso impone varias condiciones sobre las derivadas parciales de la parte real e imaginaria de f con respecto a la parte real e imaginaria de z. Consideremos que z = x + iy con (x, y) ∈ 2 y f(z) = u(x, y) + iv(x, y) con u y v las partes real e imaginaria de f. Supongamos que f es holomorfa en z y que las derivadas parciales de u y v en z existen. Pongamos h = δx + iδy. Tenemos

Ahora escojamos δy = 0 y miremos el límite cuando δx → 0.

De manera similar, tomando primero δx = 0 podemos mostrar que

Comparando las dos ecuaciones (1.1.6) y (1.1.7) deducimos las condiciones de Cauchy-Riemann:

Acabamos de demostrar que

Teorema 1.1.3. Si f es derivable y las derivadas parciales de u y v existen, entonces se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann. En otras palabras, estas son una condición necesaria para que f sea holomorfa.

Recíprocamente, si las derivadas parciales de u y v son continuas, las condiciones de Cauchy-Riemann son una condición suficiente para que f sea holomorfa.

Ejercicio 1.1.3. Demostrar la recíproca.

El siguiente ejercicio contiene varios resultados importantes. Antes, tal vez, es útil recordar la noción de convergencia simple y convergencia uniforme.

Definición 1.1.3. (Convergencia simple). Una secuencia de funciones (fn) definidas en un conjunto X (de o de ) converge simplemente hacia una función f, si y solamente si para todo z ∈ X,

Definición 1.1.4. (Convergencia uniforme). Una secuencia de funciones (fn) converge uniformemente en un conjunto X hacia una función f, si y solamente si

Ejercicio 1.1.4. Sea una serie de potencias de z con radio de convergencia R.

1.Mostrar que la serie converge uniformemente dentro de todo disco de radio r < R.

2.Mostrar que la serie de derivadas converge uniformemente dentro de todo disco de radio r < R.

3.Mostrar que f es holomorfa dentro de su radio de convergencia.

4.Mostrar que f es derivable una infinidad de veces y que f(n)(0) = n! an.

Solución.

1.Podemos usar el criterio de convergencia uniforme de Weierstrass que dice que si en un conjunto existe una cota Mn para una secuencia un(z), |un(z)| < Mn para todo z ∈ y que ΣMn converge, entonces Σun(z) converge uniformemente en .

Sea M tal que r < M < R. Tenemos Σn|an|Mn < ∞ y para todo z tal que |z| < r, |anzn| < |anMn|. Cada término de la secuencia (|anzn|) tiene una cota superior Mn = |an|Mn y la serie ΣMn converge, entonces la serie Σanzn converge uniformemente.

2.Primero probemos que la serie Σnanzn−1 tiene el mismo radio de convergencia R. Sea |z| < R y sea |z0| tal que |z| < |z0| < R. Como la serie converge, entonces y deducimos que existe un N > 0 tal que para todo n > N, Para n > N, los términos de la serie derivada Pero vemos que la serie Σun converge, pues límn→∞un+1/un = |z|/|z0| < 1. Así la serie Σnanzn converge para todo |z| < R.

Por otro lado, si |z| > R, sea |z0| > |z|. Tenemos |annzn−1| > |anzn|/|z0| y como Σ|anzn| diverge, entonces Σ|nanzn−1| diverge. Pero como toda serie de potencias converge absolutamente dentro de su disco de convergencia, deducimos que Σnanzn−1 diverge. El radio de convergencia de Σannzn−1 es R, el mismo que para Σanzn.

Aplicando los resultados del punto 1 para la serie Σbnzn con bn = (n + 1) an+1, concluimos que la serie Σannzn−1 es uniformemente convergente dentro de todo disco incluido en el disco de convergencia.

3.Por la convergencia uniforme de la serie de derivadas Σnnanzn−1 y convergencia simple de la serie Σanzn podemos intercambiar límite y sumatoria y deducir que f es derivable en todo punto z al interior del disco de convergencia.

4.Además,

De manera más general tenemos

De este resultado deducimos que f(p)(0) = p! ap.

□

Ejercicio 1.1.5. Sea F (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) una función compleja de dos variables reales. Definimos las nuevas variables z = x+iy y Podemos ver a F como una función de

1.Mostrar que

2.Mostrar que f es una función analítica (holomorfa) de la variable z si y solamente si y que además

3.De manera similar, mostrar que f es una función analítica (holomorfa) de la variable si y solamente si y que además En este caso decimos que f es una función antianalítica de la variable z.

Usaremos muy a menudo esas derivadas parciales. Algunas notaciones usuales:

Ejercicio 1.1.6. Pongamos z = reiθ y sea f(z) = R(r, θ)eiΘ(r,θ). Mostrar que las condiciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares se escriben:

Ejercicio 1.1.7.Funciones armónicas

Decimos que una función es armónica en un abierto G si su laplaciano es nulo en ese abierto. Sea f(x, y) = u(x, y)+iv(x, y) una función de dos variables.

1.Mostrar, usando las condiciones de Cauchy-Riemann, que si f es holomorfa, entonces u y v son armónicas.

2.Mostrar que el laplaciano

Y usando los resultados del ejercicio 1.1.5, deducir otra demostración para el punto 1.

Ejercicio 1.1.8. Sea u(x, y) = e−x(x sen y − y cos y).

1.Mostrar que u es armónica.

2.Encontrar v tal que f(z) = u + iv sea analítica.

1.1.3.FUNCIONES TRASCENDENTALES ELEMENTALES

Definimos la función exponencial por la serie

y las funciones trigonométricas e hiperbólicas

La función exponencial tiene radio de convergencia infinito. Por los resultados del ejercicio 1.1.4 deducimos que la función exponencial es analítica en todo .

Ejercicio 1.1.9. Mostrar usando la definición (1.1.17) que (ez)′ = ez y deducir que ez+h = ezeh.

Ejercicio 1.1.10. Mostrar que cos iz = cosh z, sen iz = i senh z, cos z = cosh iz y senh iz = i sen z. Encuentre un z tal que | cos z| > 1.

La siguiente función a estudiar es la función logaritmo. Sin embargo, su definición presenta problemas porque la función exponencial es periódica en la dirección del eje imaginario. Si ζ = ez, decimos que z es el logaritmo natural de ζ, pero como ez+i2π = ez, vemos que z + 2iπ también es el logaritmo de ζ. Más generalmente todos los z + i2πn con n ∈ son logaritmos de ζ.

Esto nos lleva a introducir la noción de funciones multivaluadas o multívocas, las cuales pueden tomar varios valores para un valor fijo del argumento. Esto en oposición a las funciones unívocas que toman un solo valor.

Empecemos por poner por definición ln 1 = 0. Para definir el logaritmo en otro punto z empezamos en 1 y nos movemos por el plano complejo sin el origen, \{0} (puesto que el logaritmo de 0 no está definido), hasta llegar a z, pero con la convención siguiente: si le damos una vuelta al origen en el sentido positivo no volvemos al punto 1, sino a un punto por “encima” de este (ei2π) que tiene por logaritmo 2iπ. Igualmente si damos la vuelta en el sentido negativo llegamos a un punto por “debajo” de 1 (e−2iπ). Podríamos seguir dando vueltas y cada vez llegar a un punto diferente e2inπ al dar |n| vueltas en el sentido positivo si n > 0, o negativo si n < 0. Este punto tiene logaritmo 2inπ. Hemos así definido un nuevo conjunto que puede visualizarse como una superficie en espiral, también llamada superficie de Riemann, y que se conoce como el recubrimiento universal de \{0}. Así, encima y abajo de cada punto de \{0} hay una infinidad de puntos que corresponden a “hojas” (hojas de Riemann), una encima de otra y pegadas.

Ejercicio 1.1.11. Para tener una mejor idea del recubrimiento universal de \{0} construya un modelo en papel de esta superficie.

Para calcular el logaritmo ln z hay que saber cómo se va de 1 hasta z (en especial cuántas vueltas se dan alrededor del origen). Decimos que el punto 0 “centro” de la hélice es un punto de ramificación. En la práctica lo más sencillo es poner z = |z|eiθ en forma polar, con θ ∈ [0, 2π[. Si no se ha dado ninguna vuelta alrededor del origen, entonces ln z = ln |z| + iθ. Si se han dado n vueltas alrededor del origen, entonces ln z = ln |z| + iθ + i2nπ.

En ocasiones nos limitaremos a trabajar en una sola hoja de Riemann, conviniendo que nunca daremos una vuelta alrededor del origen. Para esto escogemos un corte en el plano complejo (por ejemplo, la media línea ]−∞, 0]) que no atravesaremos y consideraremos que la función logaritmo no está definida ahí. Así la función se vuelve unívoca y además holomorfa.

Ejercicio 1.1.12. Calcular la derivada de ln z para z ∈ \ ]−∞, 0].

Podemos ahora definir la función potencia. Para cualquier a ∈ , la función potencia a está definida así: Por la presencia del logaritmo en la definición, esta función es, en general, multivaluada y definida en el recubrimiento universal de \{0}. Pero hay casos particulares:

•Si a es entero positivo, se trata de la función potencia usual: za = z·z · · · z (a veces) y es una función unívoca.

•Si a = p/q es racional, consideremos dos puntos uno encima de otro separados por q hojas de Riemann: z = |z|eiϕ y z′ = |z|eiϕ+2iqπ. Claramente tenemos z′a = |z|aeipϕ/q+2ipπ = za. No tiene utilidad distinguir la hoja 0 y la hoja q, puesto que tienen las mismas imágenes. Así, para definir la función potencia nos podemos limitar a q hojas.

Ejemplo 1.1.2. está definida sobre dos hojas de Riemann.

Podemos identificar los puntos e0 y e4iπ.

También puede haber recubrimientos universales de cualquier abierto. Por ejemplo, para la función tendríamos dos puntos de ramificación y “espirales” de dos hojas alrededor de cada punto z1 y z2.

Ejemplo 1.1.3. El camino de la figura 1.1 es cerrado en el recubrimiento universal de \{b}, pero no lo es para los recubrimientos universales de \{a} y \{c}.

Figura 1.1. Caminos en recubrimientos universales

Ejercicio 1.1.13. ¿Es el camino mostrado en la figura 1.1 cerrado en el recubrimiento universal de \{a, b, c}?, ¿de \{b, c}?, ¿de \{a, b}?, ¿de \{a, c}?

Ejercicio 1.1.14. Para la función construya la superficie de Riemann sobre la cual está definida. Muestre que con dos cortes, uno que empiece en z1 y vaya hacia el infinito y el otro en z2 y vaya hacia el infinito sin cruzarse, la función f es unívoca. Muestre también que con un solo corte [z1, z2] basta para que la función sea unívoca.

Ejercicio 1.1.15. Funciones hiperbólicas y trigonométricas inversas.

Mostrar que

Indicar cuál es el dominio de definición de estas funciones y sus puntos de ramificación. Encontrar fórmulas similares para las funciones trigonométricas inversas.

1.2.REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS

Como es bien sabido, un número complejo z = x + iy puede representarse en el plano por un vector r = (x, y). Usando las notaciones del ejercicio 1.1.5, podemos encontrar representaciones de los operadores diferenciales usuales en el plano en términos de derivadas complejas.

▪Gradiente: sea ϕ(x, y) una función escalar. El gradiente de ϕ es

y se puede representar por la función compleja

Recordemos que F es perpendicular a las curvas ϕ constante.

▪Divergencia: a todo campo vectorial A(r) = (Ax(r), Ay(r)) le podemos asociar una función compleja A = Ax + iAy. La divergencia es ∇ · A = ∂xAx + ∂yAy. En términos de la función compleja A, se expresa así:

▪Rotacional: trabajando en el plano el rotacional no es un vector, sino un (pseudo) escalar: Rot A = ∂xAy − ∂yAx. Con complejos se representa así

Ejercicio 1.2.1. Verificar las fórmulas anteriores.

1.3.INTEGRACIÓN COMPLEJA

1.3.1.INTEGRAL DE LÍNEA

Sea un camino en el plano parametrizado por dos funciones (X(t), Y (t)) como se muestra en la figura 1.2. Es decir que un punto corriente M(t) del camino tiene coordenadas (X(t), Y (t)). El parámetro t ∈ [α, β] y M(α) = A y M(β) = B son los extremos del camino.

Para dos funciones P (x, y) y Q(x, y) podemos definir la integral de línea o integral de camino

Figura 1.2. Camino

Para una función f(z) de una variable compleja también podemos definir una integral de línea. Supongamos que los puntos A y B están representados por los números complejos a y b, la integral de línea de f sobre está definida por suma de Riemann

donde hemos dividido el camino en pequeños segmentos ∆zk = zk − zk−1 y ζk está en el segmento [zk−1, zk] (figura 1.3).

Figura 1.3. Camino dividido en segmentos

Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y), la relación entre las dos integrales de línea es

Si el punto corriente M(t) de la curva está representado por el número complejo γ(t) (es decir, que la curva está parametrizada por la función compleja γ de una variable real t), entonces podemos calcular la integral de f por la fórmula

Esta es una de las fórmulas que más usaremos para calcular integrales de línea complejas.

Ejemplo 1.3.1. Sea la función f(z) = zn con n ∈ . Calculemos ∫f(z) dz para un círculo de radio 1 centrado en 0. La curva se puede parametrizar con la función γ(t) = eit con t ∈ [0, 2π]. Tenemos

Teorema 1.3.1. Si f(z) = F′(z) en un abierto que contiene entonces

Notar que en este caso la integral no depende del camino, solamente de los puntos inicial y final. Caso particular: si el camino es cerrado, ∫ f(z) dz = 0.

Demostración.

□

Con respecto al ejemplo 1.3.1 podemos notar que si n ≠ −1, zn = (zn+1/(n+1))′ y se aplica el teorema 1.3.1, que nos dice que la integral sobre un camino cerrado es cero. Pero para n = −1, 1/z = (ln z)′. La función logaritmo está definida sobre el recubrimiento universal de \{0} y el camino considerado en el ejemplo 1.3.1no es cerrado sobre esta superficie de Riemann: al dar una vuelta llegamos a un punto sobre otra hoja de Riemann. De ahí que el resultado de la integral no sea necesariamente cero.

1.3.2.TEOREMA DE CAUCHY

Presentamos ahora un teorema fundamental del análisis complejo, debido a Augustin-Louis Cauchy [Cau25].

Teorema 1.3.2. (Teorema de Cauchy). Si f es holomorfa en una región abierta R simplemente conexa, entonces para todo camino cerrado ⊂ R

Si la región R es múltiplemente conexa, se aplica el teorema a todo camino homótopo a un punto.

Expliquemos primero la terminología. Una región simplemente conexa es una región en la que todo camino cerrado de esta envuelve solo puntos de esta región. Una región es múltiplemente conexa si no es simplemente conexa. Por ejemplo, un disco es simplemente conexo, mientras que un anillo es múltiplemente conexo. El plano entero es simplemente conexo, por el contrario, el plano sin un punto es múltiplemente conexo. Un camino cerrado homótopo a un punto es un camino que puede deformarse continuamente hasta volverse un punto. En la figura 1.4, el camino 1 es homótopo a un punto, mientras que el camino 2 no lo es.

Figura 1.4. Caminos homótopos y no homótopos a un punto

Demostración. Si suponemos además que las derivadas de u y v (parte real e imaginaria) de f son continuas, podemos demostrar fácilmente el teorema usando la fórmula de Stokes aplicada al plano (Oxy) (también conocida, en este caso, como teorema de Green)

En efecto, tenemos

El paso a la segunda línea se hace usando la fórmula de Stokes y en el paso a la última línea usamos las condiciones de Cauchy-Riemann (1.1.8).□

Sin embargo, la demostración se puede hacer sin suponer que f′ es continua. Esto es más interesante, puesto que luego veremos que el teorema de Cauchy implica que f es infinitamente derivable (y, en particular, f′ continua).

Ejercicio 1.3.1. Demostrar el teorema de Cauchy sin suponer que f′ es continua para el camino triangular ∆ mostrado en la figura 1.5.

Figura 1.5. Camino triangular

Solución. Podemos descomponer el triángulo ∆ grande en cuatro triángulos pequeños ∆I, ∆II, ∆III y ∆IV. Tenemos ∫∆f = ∫∆If + ∫∆IIf + ∫∆IIIf + ∫∆IVf, por lo tanto, |∫∆f| ≤ |∫∆If| + |∫∆IIf| + |∫∆IIIf| + |∫∆IVf| ≤ 4| ∫∆1f|, donde ∆1 es el triángulo pequeño, en el cual la integral es mayor en módulo. Repitiendo el proceso n veces tenemos |∫∆f| ≤ 4n|∫∆nf|, para triángulos cada vez más pequeños que tienden hacia un punto z0.

Como f es derivable tenemos para z cerca a z0, f(z) = f(z0)+(z−z0)f′(z0)+ (z − z0)η(z) = a + bz + (z − z0)η(z) con límz→z0η(z) = 0 y a = f(z0) − z0f′(z0), b = f′(z0) son constantes (no dependen de z). Ahora como a + bz es la derivada de az + bz2/2, su integral en un camino cerrado es cero, ∫∆n (a + bz) dz = 0 según el teorema 1.3.1. Quedando |∫∆f| ≤ 4n|∫∆nη(z)(z − z0) dz|.

Llamemos P al perímetro del ∆, claramente el perímetro del ∆n es P/2n. Por otro lado, límz→z0η(z) = 0 quiere decir que para cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que si |z − z0| < δ, entonces |η(z)| < ε. Escojamos n suficientemente grande de manera que P/2n < δ. Así tenemos |z − z0| < P/2n y entonces se cumple que |η(z)| < ε. Obtenemos

Finalmente,

Y esto para cualquier ε > 0, concluimos que ∫∆f = 0.□

Veamos algunas consecuencias directas del teorema de Cauchy. Si dos caminos 1 y 2 son homótopos (es decir, se pueden transformar continuamente el uno en el otro), entonces (figura 1.6). Si f es holomorfa en todo el plano complejo, la integral no depende del camino para ir de a a b.

Figura 1.6. Integrales en caminos homótopos y no homótopos

Ejercicio 1.3.2. Mostrar explícitamente que la integral de una función holomorfa es igual para los dos caminos mostrados en la figura 1.7.

Figura 1.7. Dos caminos homótopos entre ellos

Como consecuencia del teorema de Cauchy podemos deducir una fórmula fundamental del análisis complejo, conocida como fórmula de Cauchy.

Teorema 1.3.3. (Fórmula de Cauchy). Sea f una función holomorfa en un abierto G de y sea z0 ∈ G. Sea un camino ⊂ G que encierre el punto z0 dando una sola vuelta en el sentido positivo alrededor de este punto. Entonces

Demostración. Notemos primero que la función f(z)/(z − z0) es holomorfa en G, excepto en el punto z0 en el que tiene un polo simple. Entonces, el teorema de Cauchy no se aplica y la integral no es nula.

Sea un círculo Γ centrado en z0 de radio ρ suficientemente pequeño para que Γ ⊂ G y que encierre z0 en el sentido positivo, tal como se muestra en la figura 1.8. Los caminos Γ y son homótopos, por tanto, ∫ f(z)/(z − z0) dz = ∫Γf(z)/(z − z0) dz.

Figura 1.8. Caminos considerados en la demostración del teorema 1.3.3 (fórmula de Cauchy)

Parametrizando Γ por z = z0 + ρeit con t ∈ [0, 2π], tenemos

Como ρ es arbitrario tomamos el límite ρ → 0, de ahí se deduce la fórmula de Cauchy.

Armados de la fórmula de Cauchy podemos ahora por fin demostrar que analítica y holomorfa son sinónimos.

Teorema 1.3.4. Si f es holomorfa en G, entonces f es analítica en G. Precisamente para todo z0 ∈ G, tenemos

para todo z en un disco centrado en z0 y de radio igual a la distancia de z0 a la frontera de G. Este disco se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9. Disco de convergencia de una serie de Taylor

Además, los coeficientes son

con Γ ⊂ G un círculo centrado en z0, orientado en el sentido positivo, tal que z esté al interior del círculo (figura 1.10).

Figura 1.10. Círculo Γ considerado en la demostración del teorema 1.3.4

Demostración. Tenemos Refiriendose a la figura 1.10 se nota que |(z − z0)/(ζ − z0)| < 1. Podemos entonces escribir

Apliquemos ahora la fórmula de Cauchy

La integral y la sumatoria se pueden permutar, porque la serie es uniformemente convergente en todo disco de radio a centrado en z0 y dentro de Γ. Ya que |z − z0| ≤ a < |ζ − z0|, tenemos |z − z0|n/|ζ − z0|n ≤ an < 1 y la serie Σan = (1 − a)−1 < ∞ converge. Así tenemos finalmente

Corolario 1.3.1. Si f es holomorfa (derivable una vez), es derivable una infinidad de veces, además

Corolario 1.3.2.

con y r menor que la distancia de z0 a la frontera de G. En otras palabras, M(r) = sup |f(z)| para z en el círculo centrado en z0 de radio r e incluido dentro de G.

Demostración. Con ζ = z0 + reit en la fórmula (1.3.16) tenemos

Corolario 1.3.3. (Teorema de Liouville). Si f es holomorfa en todo el plano y acotada, entonces f es constante.

Demostración. Por hipótesis |f| ≤ M, entonces para todo r, |an| ≤ M/rn. Tomando r → ∞ deducimos que an = 0 para n ≥ 1. Conclusión: f(z) = a0 es constante. □

Corolario 1.3.4. (Teorema de d’Alembert o teorema fundamental del álgebra). Todo polinomio no constante P (z) admite por lo menos una raíz en .

Demostración. Si no fuese así, la función 1/P (z) sería holomorfa en todo , además es acotada, puesto que lím|z|→∞ 1/P (z) = 0. Entonces, por el teorema de Liouville es constante: contradicción.□

Corolario 1.3.5. Todo polinomio P (z) de grado n se puede factorizar

Ejercicio 1.3.3. Sea f analítica en un abierto G y z0 ∈ G. Mostrar que f(z0) es igual al promedio de f sobre un círculo de centro z0 y radio r arbitrario incluido en G:

Ejercicio 1.3.4. Sea f analítica en un abierto G que incluye 0. Sea un camino de G que encierra el origen 0 en el sentido positivo, empezando en un punto z0 y volviendo a z0. Mostrar que

Indicación. Integración por partes.□

La recíproca del teorema de Cauchy es también cierta:

Teorema 1.3.5. (Morera). Si f es continua en un abierto G simplemente conexo y para toda curva simple cerrada de G tenemos ∫ f(z) dz = 0, entonces f es analítica en G.

Demostración. De la hipótesis que la integral sobre un camino cerrado es cero se deduce que la integral sobre un camino de extremos z0 y z no depende del camino, solo de los puntos z0 y z. Para z0 fijo podemos entonces definir la función F (z) de la variable z,

Probemos que F′(z) = f(z), en otras palabras, que F es una primitiva o integral (indefinida) de f. Tenemos

Por hipótesis todas estas integrales no dependen del camino. Escojamos en la última integral un camino recto [z, z + h]. La continuidad de f nos dice que para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si |ζ − z| < δ, entonces |f(z) − f(ζ)| ≤ ε. Escojamos ahora h tal que |h| < δ, entonces en la integral anterior los puntos z y ζ cumplen |z − ζ| ≤ |h| < δ y

Queda demostrado que límh→0(F (z + h) − F (z))/h = f(z), es decir, F ′(z) = f(z).

Además mostramos que F es holomorfa y analítica; en consecuencia, F′ = f también es analítica.□

1.4.SERIE DE TAYLOR Y SERIE DE LAURENT

1.4.1.SERIE DE TAYLOR, FUNCIONES ENTERAS

Ya vimos que toda función holomorfa en un abierto G es analítica en G, es decir, posee un desarrollo en serie de Taylor:

alrededor de todo punto de z0 ∈ G y para todo z en el disco más grande posible centrado en z0 e incluido en G.

Si el radio de convergencia de la serie de Taylor es infinito, decimos que f es una función entera. Por ejemplo, la función exponencial es una función entera.

También deducimos del teorema 1.3.4 que si una función es holomorfa en todo el plano complejo , entonces es una función entera.

1.4.2.SERIE DE LAURENT

Consideremos ahora la serie

Por definición decimos que la serie anterior converge si convergen por separado las series La serie (1.4.2) se llama serie de Laurent. La serie se llama la parte analítica de la serie y la serie se llama la parte principal.

La serie de Laurent (1.4.2) si converge, converge en un anillo centrado en z0. En efecto, la parte analítica es una serie de Taylor que tiene un cierto radio de convergencia R2. La parte principal se puede ver como una serie de Taylor de la variable (z − z0)−1 y tiene un radio de convergencia ρ: converge para |z − z0|−1 < ρ, es decir, para |z − z0| > ρ−1 = R1. Si R1 < R2, la serie de Laurent converge en el anillo centrado en z0 de radio interior R1 y exterior R2. Puede ocurrir que la serie de Laurent no converja para ningún punto, este es el caso cuando R1 > R2.

Es bastante claro que la serie de Laurent es analítica dentro de su anillo de convergencia. La recíproca también es cierta.

Teorema 1.4.1. Toda función analítica f en un anillo centrado en z0 de radios interior y exterior R1 y R2 se puede expandir en serie de Laurent en ese anillo

y los coeficientes de la expansión están dados por

en los que Γ es un círculo centrado en z0 dentro del anillo de convergencia (o cualquier otro camino homótopo a este).

Demostración. El anillo en el que la función es analítica es una región múltiplemente conexa y el camino Γ no es homótopo a un punto, así que la fórmula de Cauchy no se aplica. Por el contrario, el camino de la figura 1.11, que encierra el punto z y está compuesto de un círculo 1 recorrido en el sentido positivo, un círculo recorrido en el sentido negativo y un par de rectas de ida y vuelta que unen los círculos, sí es homótopo a un punto y sí aplica la fórmula de Cauchy.

Figura 1.11. Camino considerado para la demostración del teorema 1.4.1

Definiendo el círculo 2 que es el círculo recorrido en el sentido positivo, tenemos

En la primera integral, ζ ∈ 1, tenemos |ζ − z0| > |z − z0|, entonces, siguiendo los mismos pasos que en la demostración del teorema 1.3.4, (ζ − z)−1 =

definiendo los coeficientes

para n ≥ 0. Obtenemos así la parte analítica de una serie de Laurent.

Por otro lado, para la segunda integral, ζ ∈ 2, tenemos |ζ − z0| < |z − z0|, podemos expandir

Habiendo definido

para n ≥ 0, pero cambiando n′ = −(n + 1), vemos que es la misma fórmula que para an con n ≥ 0, ya que la integral no depende del camino. Hemos obtenido entonces la parte principal de la serie de Laurent. En resumen, tenemos

con

1.4.3.CEROS, POLOS Y SINGULARIDADES

Si f es analítica en la vecindad de z0 y f(z0) = 0, decimos que z0 es un cero de f. En ese caso necesariamente tenemos con N ≥ 1. Decimos que z0 es un cero de orden N. Notemos que en ese caso f se puede escribir en la vecindad de z0 como f(z) = (z − z0)Ng(z) con g analítica y g(z0) ≠ 0.

Si f es analítica en la vecindad de z0, pero no en el punto z0, tenemos f(z) = con un anillo de convergencia de radio inferior R1 = 0 y radio exterior R2 > 0. Si se presenta el caso en que con N ≥ 1, decimos que z0 es un polo de orden N de f (en el caso N ≤ 0, f se puede definir en z0 y decimos que z0 es un punto regular). Notar que si z0 es un polo de orden N, entonces f(z) = g(z)/(z − z0)N, con g analítica en la vecindad de z0, incluido z0 y g(z0) ≠ 0. Además, límz→z0 |f(z)| = ∞.

En el caso en que la parte principal de la serie de Laurent no tenga un número finito de términos y que el radio interior del disco de convergencia es cero decimos que z0 es una singularidad esencial (ejemplo: la función e1/z). Cerca de este tipo de singularidad esencial aislada la función f puede tomar valores cercanos a cualquier número complejo. Por ejemplo, la funciónf(z) = e1/z, cuando z → 0, tiene límite 0 si z es real negativo, límite ∞ si z es real positivo, y oscila si z es imaginario puro.

Existen, sin embargo, otros tipos de singularidades esenciales, tales como los puntos de ramificación (0 para ln z) en los cuales no se puede hacer un desarrollo en serie de Laurent.

Nota. Para clasificar una singularidad como polo o esencial es importante no solo saber si la parte principal tiene una infinidad de términos, sino además asegurarse de que el anillo de convergencia tiene radio interno R1 = 0. Para esto considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.4.1. Sea Es una serie de Laurent cuya parte principal tiene infinidad de términos. Sin embargo, z = 1 no es una singularidad esencial. En efecto, esta es una serie geométrica que puede sumarse. Si ponemos ζ = (z − 1)−1, tenemos f(z) = ζ2 + ζ3 + · · · = (1 − ζ)−1 − ζ − 1 y la serie converge para |ζ| < 1, es decir, |z − 1| > 1: el radio interior del círculo de convergencia es 1, no es nulo. Además, tenemos

Vemos claramente que el punto z = 1 es un polo simple (de orden 1). Notemos que la función f definida originalmente por la serie solo existe para |z − 1| > 1. Pero con la fórmula (1.4.12) vemos que se puede prolongar la definición de f a \{1, 2}. Hemos hecho una prolongación analítica de la función f.

Definición 1.4.1. (Funciones meromorfas). Se dice que una función f es meromorfa en una región del plano complejo si f es holomorfa en , excepto en un conjunto de puntos aislados de que son polos de f.

Ejercicio 1.4.1. Sea f una función analítica sobre y dentro de una curva cerrada simple , excepto en un número finito de posibles polos, y que no se anula sobre . Sea N el número de ceros de f al interior de contados con su multiplicidad (u orden) respectiva. Sea P el número de polos de f al interior de contados con su multiplicidad respectiva. Mostrar que

Definiendo el argumento de un número complejo ζ por ln ζ = ln |ζ| + i arg ζ, demostrar que la variación de arg f(z)/2π al recorrer la curva también es igual a N − P.

1.4.4.PROLONGACIÓN ANALÍTICA

En el ejemplo 1.4.1 vimos una forma de prolongar analíticamente una función. Existen otras formas de hacerlo, por ejemplo, si se tiene una representación integral de la función (para esto véanse los problemas 1.6.2 y 1.6.4) o por medio de las series de Taylor. El teorema siguiente asegura la unicidad de la prolongación analítica. Antes de enunciarlo recordemos un par de definiciones. Un abierto conexo es un abierto en el cual dos puntos del abierto pueden ser unidos por un camino poligonal dentro del abierto. Un punto de acumulación de un conjunto F es un punto tal que toda vecindad de ese punto contenga puntos de F además del punto de acumulación. Es lo contrario de un punto aislado.

Teorema 1.4.2. Si dos funciones analíticas sobre un abierto conexo G son iguales en un conjunto F ⊂ G que tiene por lo menos un punto de acumulación, entonces las dos funciones son idénticas.

Demostración. Sea f la diferencia de las funciones en cuestión. Esta función es analítica en G y cero en F. Sea z0 un punto de acumulación de F. Como f es analítica tenemos

en el disco más grande incluido en G centrado en z0. Además an = f(n)(z0)/n!. Sin embargo, tomando el límite z → z0 con puntos z ∈ F, deducimos de la hipótesis que todas las derivadas en z0 de f son nulas, es decir, an = 0 para todo n. Entonces, f es nula en todo el disco . Ahora podemos repetir el proceso para otro punto del disco y así sucesivamente hasta cubrir todo el abierto G (esto es posible porque G es conexo).□

Un método teórico (pero rara vez utilizado en la práctica) para prolongar analíticamente una función es por medio de las series de Taylor. Imaginemos que f es analítica en un abierto G. Para un punto z0 de G existe un desarrollo en serie de Taylor sobre el disco centrado en z0 más grande posible incluido en G. Pero puede ocurrir que la serie tenga un radio de convergencia mayor que el radio del disco . Entonces se puede prolongar analíticamente f más alla de G y repetir el proceso para otros puntos. En algún momento de este proceso es posible que la serie de Taylor no se pueda extender más alla de donde f