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- Herausgeber: Wiley-VCH
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: Verdammt clever!
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2012
Mit diesem zweibändigen Werk liegt wiederum eine erneuerte und verbesserte Auflage des bewährten Lehrbuchs von Friedhelm Kuypers vor. Band 1 widmet sich der Mechanik und Thermodynamik. Die Mechanik wurde durch ausführliche Beträge zu erneuerbaren Energien und zu Windkraftanlagen ergänzt. Zahlreiche Beispiele beleuchten die Zusammenhänge zwischen technischen Anwendungen, alltäglichen Phänomenen und physikalischen Gesetzen. Der Aufbau und die Aufbereitung des Stoffes sind auf eine effektive Prüfungsvorbereitung zugeschnitten. Jedes Kapitel endet mit einer Zusammenfassung des Basiswissens und der wichtigsten Lernschritte. Zahlreiche Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsgraden mit ausführlichen Lösungen bieten ideale Trainingsmöglichkeiten.
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Seitenzahl: 650
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Inhalt
A Mechanik
1 Einführung
1.1 Einleitung
1.2 Messung und Maßeinheit
2 Kinematik der Massenpunkte
2.1 Idealisierungen
2.2 Geschwindigkeit
2.3 Einführung in die Integralrechnung
2.4 Beschleunigung
2.5 Kreisbewegung
2.6 Noch einmal in Kürze
2.7 Aufgaben
3 Newtonsche Axiome und Kräfte
3.1 Das erste Newtonsche Axiom
3.2 Das zweite und dritte Newtonsche Axiom
3.3 Lösung einfacher Bewegungsgleichungen
3.4 Reibungskräfte
3.5 Noch einmal in Kürze
3.6 Aufgaben
4 Arbeit, Leistung und Energie
4.1 Arbeit
4.2 Leistung
4.3 Energie
4.4 Erneuerbare Energien *
4.5 Noch einmal in Kürze
4.6 Aufgaben
5 Impulssatz und Drehimpulssatz
5.1 Impulssatz
5.2 Drehimpulsssatz für Massenpunkte
5.3 Noch einmal in Kürze
5.4 Aufgaben
6 Bewegungen starrer Körper
6.1 Schwerpunktsatz
6.2 Trägheitsmomente
6.3 Drehungen um raumfeste Achsen
6.4 Ebene Bewegungen starrer Körper
6.5 Kinetische Energie ebener Bewegungen
6.6 Unwuchtkräfte
6.7 Präzession und Nutation
6.8 Noch einmal in Kürze
6.9 Aufgaben
7 Lineare Schwingungen
7.1 Freie Schwingungen
7.2 Erzwungene Schwingungen
7.3 Mechanische und elektrische Schwingungen *
7.4 Gekoppelte Pendel
7.5 Noch einmal in Kürze
7.6 Aufgaben
8 Strömungslehre
8.1 Grundlagen
8.2 Die Bernoulli-Gleichung
8.3 Laminare Strömungen
8.4 Turbulenzbildung und Reynolds-Zahl
8.5 Turbulente Rohrströmungen *
8.6 Strömungswiderstand umströmter Körper
8.7 Modelltechnik *
8.8 Windkraftanlagen *
8.9 Noch einmal in Kürze
8.10 Aufgaben
B Thermodynamik
9 Einführung in die Thermodynamik
10 Temperatur
10.1 Definition der Temperaturskala
10.2 Thermische Ausdehnung
10.3 Temperaturmessung
10.4 Noch einmal in Kürze
10.5 Aufgaben
11 Ideale Gasgleichung
11.1 Naturkonstanten
11.2 Aufstellung der idealen Gasgleichung
11.3 Noch einmal in Kürze
11.4 Aufgaben
12 Kinetische Gastheorie
12.1 Definition des idealen Gases
12.2 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
12.3 Geschwindigkeitsverteilung
12.4 Noch einmal in Kürze
12.5 Aufgaben
13 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
13.1 Wärme
13.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
13.3 Wärmeübergang
13.4 Volumenänderungsarbeit
13.5 Gleichverteilungssatz und Wärmekapazität
13.6 Adiabatische Zustandsänderungen
13.7 Noch einmal in Kürze
13.8 Aufgaben
14 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
14.1 Formulierungen von Clausius und Kelvin
14.2 Reversible und irreversible Prozesse
14.3 Wirkungsgrad reversibler und irreversibler Prozesse
14.4 Carnotscher Kreisprozess
14.5 Noch einmal in Kürze
14.6 Aufgaben
15 Phasenumwandlungen
15.1 Umwandlungswärmen und -temperaturen
15.2 Verdampfung und Kondensation
15.3 p,T-Diagramme
15.4 Zustandsgleichung realer Gase*
15.5 Verflüssigung von Gasen*
15.6 Kältemaschinen
15.7 Noch einmal in Kürze
15.8 Aufgaben
16 Wärmeübertragung
16.1 Wärmeleitung
16.2 Konvektion
16.3 Wärmestrahlung
16.4 Wärmeaustausch durch Strahlung
16.5 Noch einmal in Kürze
16.6 Aufgaben
Lösungen
Lösungen: 2 Kinematik der Massenpunkte
Lösungen: 3 Newtonsche Axiome und Kräfte
Lösungen: 4 Arbeit, Leistung und Energie
Lösungen: 5 Impuls- und Drehimpulssatz
Lösungen: 6 Starrer Körper
Lösungen: 7 Lineare Schwingungen
Lösungen: 8 Strömungslehre
Lösungen: 10 Temperatur
Lösungen: 11 Ideale Gasgleichung
Lösungen: 12 Kinetische Gastheorie
Lösungen: 13 Erster Hauptsatz
Lösungen: 14 Zweiter Hauptsatz
Lösungen: 15 Phasenumwandlungen
Lösungen: 16 Wärmeübertragung
Register
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Thomsen, C.
Physik für Ingenieure für Dummies
2011
ISBN: 978-3-527-70622-8
Räsch, T.
Mathematik der Physik für Dummies
2011
ISBN: 978-3-527-70576-4
Christman, J. R., Derringh, E.
Halliday Physik
880 Losungen
2008
ISBN: 978-3-527-40901-3
Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.
Halliday Physik
Bachelor-Edition
2007
ISBN: 978-3-527-40746-0
Autor
Prof. Dr. Friedhelm Kuypers
Hochschule Regensburg
Prüfeninger Straße 58
93049 Regensburg
3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2012
Alle Bücher von Wiley-VCH werden sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren, Herausgeber und Verlag in keinem Fall, einschließlich des vorliegenden Werkes, für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler irgendeine Haftung.
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© 2012 Wiley-VCH Verlag & Co. KGaA, Boschstr. 12, 69469 Weinheim, Germany
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Kennzeichen handeln, wenn sie nicht eigens als solche markiert sind.
Print ISBN: 978-3-527-41135-1
ePDF ISBN: 978-3-527-69957-8
ePub ISBN: 978-3-527-66956-1
Mobi ISBN: 978-3-527-66955-4
Vorwort
Dieses Buch ist der erste Band eines zweibändigen Werkes der Physik und beschäftigt sich mit Mechanik und Thermodynamik. Der zweite Band enthält die Elektrizität, Optik und Wellenlehre. Für das Verständnis werden nur elementare Grundkenntnisse der Differential- und Integralrechnung vorausgesetzt.
Das Buch unterscheidet sich in den inhaltlichen Schwerpunkten und vor allem im didaktischen Konzept von anderen Büchern. Im Folgenden werden die Besonderheiten aufgezählt:
Stoffbeschränkung:
Oft wird in Vorlesungen Stoff unterrichtet, der so schwierig ist, dass dazu keine sinnvollen, d. h. von Studenten lösbaren Klausuraufgaben existieren. Ich meide allzu schwierige Inhalte ganz bewusst und behandele nur den Stoff, den die Studierenden in den ersten beiden Semestern
verstehen
und daher auch in Klausuren bearbeiten können.
Beispiele und 187 Aufgaben
werden sorgfältig in den Lehrstoff eingearbeitet. Die Beispiele werden durch einen grauen Balken markiert. Bei jeder Aufgabe wird der subjektiv geschätzte Schwierigkeitsgrad – leicht, mittel, schwer – angegeben.
157 Aufgaben enthalten ausführliche Lösungen am Ende des Buches. Zu
den 30 übrigen Aufgaben, neben deren Überschriften das rechts dargestellte
Maus-Icon
steht, werden am Ende des Buches nur die Endergebnisse genannt; ihre ausführlichen Lösungen finden Sie frei zugänglich auf der
Webseite zum Buch unter
www.wiley-vch.de
.
Kontrolle und Veranschaulichung:
Oft wird beklagt, dass viele Studenten Rechnungen und Ergebnisse völlig ungeprüft und kritiklos übernehmen. Jeder Student sollte sich angewöhnen, Rechnungen immer zu überprüfen. In diesem Buch werden Resultate regelmäßig getestet und zugleich veranschaulicht, indem sie auf bereits bekannte
Spezialfälle
angewendet,
Abhängigkeiten von Parametern und Anfangsbedingungen
untersucht, Zahlen eingesetzt und Einheiten kontrolliert werden.
Hinweise auf typische Fehler:
Fehler, die in Übungen und Klausuren immer wieder gemacht werden, Fallen und häufige Missverständnisse werden ausdrücklich genannt. So kann der Leser nicht nur aus den eigenen Fehlern, sondern auch
aus den
„
klassischen
“
Fehlern anderer Studenten lernen.
Zusammenfassung:
Am Ende jedes Kapitels werden die wichtigsten Gleichungen, Sätze und Aussagen nochmals in Kürze zusammengefasst. Zusammenfassungen bieten eine Übersicht des behandelten Stoffes und können daher auch
vor
dem Studium eines Kapitels gelesen werden.
Unterkapitel, deren Überschrift mit einem Stern * markiert sind, können beim ersten Lesen übergangen werden.
Die dritte Auflage wurde vollständig überarbeitet und gestrafft. Einige Kapitel, die für Studierende im ersten und zweiten Semester nur schwer zu verstehen sind, wurden gestrichen. Neu hinzu gekommen ist das Unterkapitel „4.4 Erneuerbare Energien“. Hier werden auf 10 Seiten wichtige Daten, der momentane Stand der erneuerbaren Energieproduktion und die zukünftigen Erwartungen an Solarzellen, Wasserkraftwerke, Windkraftanlagen, Solarthermische Kraftwerke und Flachkollektoren dargestellt. In den Unterkapiteln 8.8 und 15.6 werden Windkraftanlagen und Wärmepumpen ausführlich besprochen und ihre maximalen Wirkungsgrade berechnet.
Abschließend möchte ich allen danken, die zur Entstehung dieses Buches beigetragen haben. Prof. Dr. K. Heift hat eine gründliche Fehlersuche in Teil „A Mechanik“ durchgeführt. Prof. Dr. P. Dato hat den größten Teil der Thermodynamik kritisch gelesen und zahlreiche Verbesserungsvorschläge gemacht. Besonders danken möchte ich Prof. Dr. A. Deutz, mit dem ich seit vielen Jahren unzählige physikalische und didaktische Probleme besprochen habe. Sein Interesse und seine ständige Bereitschaft, mit mir über Fragen und „Rätsel“ der Physik zu diskutieren, haben mir sehr beim Schreiben dieses Buches geholfen.
Allen Lesern, die durch Anregungen, Bemerkungen oder auch durch Fragen zur Verbesserung des Buches beitragen, bin ich auch weiterhin sehr dankbar. Meine E-Mail-Adresse lautet:
Regensburg, im Juni 2012
Friedhelm Kuypers
A
Mechanik
1
Einführung
1.1 Einleitung
Die Physik beschäftigt sich mit der Natur und versucht ihre Gesetze zu enträtseln. Sie hat die Aufgabe, Eigenschaften und Aufbau der Materie und die Wechselwirkungen der Grundbausteine zu verstehen und daraus alle natürlichen Phänomene und Beobachtungen der unbelebten (und teilweise auch belebten) Natur abzuleiten. Die Physik ist daher die grundlegendste aller Naturwissenschaften. Sie hat starke Verbindungen zu den anderen Naturwissenschaften und den Ingenieurwissenschaften.
Die Physik stellt den anderen Wissenschaften aber nicht nur grundlegende theoretische Erkenntnisse zur Verfügung; sie entwickelt auch Methoden und Arbeitsgeräte, die auf fast allen Gebieten der angewandten und reinen Forschung benutzt werden. Erinnert sei hier nur an die Geräte in der Medizin (vom Röntgengerät bis zum Computertomographen) oder an die Archäologie (Luftbildaufnahmen im nicht-sichtbaren Bereich und Altersbestimmungen mit der Radio-Carbon-Methode).
Der physikalische Fortschritt vollzieht sich durch eine wechselseitige Befruchtung von Theorie und Experiment. Am Anfang stehen in der Regel Beobachtungen und Messungen der Experimentalphysiker. Der theoretische Physiker schlägt daraufhin ein Modell vor, das auf Axiomen (Postulaten) beruht, die nicht bewiesen, also nicht mathematisch aus anderen Gesetzen abgeleitet werden können, sondern nur von der Erfahrung ausgehen (Induktive Methode). Wenn das Modell die bereits bekannten experimentellen Befunde richtig beschreibt, werden weitere, evtl. noch nicht bekannte Vorhersagen mathematisch aus dem Modell hergeleitet und experimentell überprüft (Deduktive Methode). Unter Umständen muss man das Modell dann modifizieren oder erweitern oder bestimmte Gültigkeitsgrenzen stecken; evtl. ist das Modell auch völlig zu verwerfen.
Die gegenseitige Verknüpfung von Theorie und Experiment ist für den ungeheuren Fortschritt der modernen Wissenschaft verantwortlich. Die erst zu Beginn der Neuzeit von Galileo Galilei eingeführte ‘Experimentelle Naturwissenschaft’ verlangt die Überprüfung jeder neuen Theorie an der Wirklichkeit, am Experiment. Neben der Forderung nach der inneren Widerspruchsfreiheit und dem Wunsch, dass die Modelle und Gesetze möglichst einfach und ‘schön’ aussehen sollen, ist die Übereinstimmung mit der Realität das entscheidende Kriterium, das über Annahme oder Ablehnung eines Modells entscheidet. Diese Arbeitsweise war den alten Griechen, die sich intensiv mit den Naturgesetzen beschäftigt und viele bedeutende Gelehrte hervorgebracht haben, völlig fremd. Für sie war die Erforschung der Natur keine Wissenschaft in unserem Sinn, sondern Philosophie; ihre Gedanken und Modelle waren reine Spekulationen, die zwar auch widerspruchsfrei und möglichst einfach sein sollten, aber nicht an der Wirklichkeit überprüft wurden. Dies ist der Hauptgrund dafür, dass die Naturwissenschaften in der Antike und im Mittelalter nur relativ wenige Erfolge aufzuweisen hatten.
Mehr als jeder andere Wissenschaftler arbeitet der Physiker quantitativ, also mit Zahlen und Gleichungen. Man kann durchaus sagen, dass der Physiker eine Beobachtung oder eine Information erst dann richtig verstanden hat, wenn er sie in eine Gleichung gefasst hat. Die Mathematik ist die Sprache der Physik; ohne sie sind physikalische Theorien nur sehr unvollständig zu beschreiben.
1.2 Messung und Maßeinheit
Physikalische Erkenntnisse und Zusammenhänge werden durch physikalische Größen dargestellt. Darunter versteht man messbare Eigenschaften physikalischer Objekte, Zustände oder Vorgänge wie z. B.
Die Länge eines Stabes
⇔
Objekt
Die Stärke eines elektrischen Feldes
⇔
Zustand
Die Dauer einer Schwingung
⇔
Vorgang
In der Mechanik gibt es drei unabhängige Grundgrößen: MASSE, LÄNGE, ZEIT. Alle anderen Größen der Mechanik werden aus diesen drei fundamentalen Größen abgeleitet. Z. B.
Neben den drei Grundgrößen der Mechanik gibt es vier weitere unabhängige Grundgrößen:
In der Elektrizitätslehre wird eine weitere unabhängige Grundgröße benötigt: Die Stromstärke mit der Einheit‘Ampere’
.
In der Thermodynamik sind die Temperatur mit der Einheit ‘Kelvin’ oder ‘Grad Celsius’ und die Stoffmenge mit der Einheit ‘mol’ zwei weitere Grundgrößen.
In der Optik kommt schließlich die Lichtstärke mit der Einheit ‘Candela’ hinzu.
Die Messung einer physikalischen Größe erfolgt durch den Vergleich mit einer Einheit. Einheiten sind international festgelegte, reproduzierbare Größen, die durch einen Prototyp (wie früher beim Kilogramm) oder durch eine Mess- oder Zählvorschrift definiert werden. Einheiten brauchen nur für die Grundgrößen festgelegt werden. Die Einheiten der abgeleiteten Größen erhält man dann mit den Definitionsgleichungen dieser (abgeleiteten) Größen.
Die drei Einheiten der Mechanik sind wie folgt definiert:
Das KILOGRAMM ist die Einheit der Masse.
Das METER ist die Einheit der Länge.
Die SEKUNDE ist die Einheit der Zeit.
Die Einheit, in der eine physikalische Größe ausgedrückt wird, muss oft gewechselt werden. Dabei multiplizieren wir die ursprüngliche Größe mit einem Umrechnungsfaktor (Quotienten aus zwei Maßeinheiten), der gleich eins ist. Wir nennen zwei Beispiele:
1 Hiermit erhält die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum einen festen Wert zugeordnet, nämlich 299.792.458 m/s.
2
Kinematik der Massenpunkte
Ruhe und Bewegung sind relative Begriffe. Für einen im Zug reisenden Beobachter ist eine neben ihm sitzende Person in Ruhe, für einen draußen am Bahnsteig stehenden Beobachter hingegen ist diese Person in Bewegung. Deshalb haben die Begriffe ‘Ruhe’ und ‘Bewegung’ nur dann einen eindeutigen Sinn, wenn das Bezugssystem angegeben wird, auf das sie sich beziehen. Wenn nichts anderes vereinbart wird, ist in der Physik und in der Technik stets ein mit der Erde fest verbundenes Bezugssystem zugrunde gelegt.
2.1 Idealisierungen
Bei der Berechnung von Bewegungen ist es oft zulässig und sinnvoll, von der Ausdehnung des Körpers abzusehen und den Körper als Punktmasse – auch Massenpunkt genannt – zu idealisieren. Dies hat den Vorteil, dass
der Körper sich nicht drehen kann
alle auf den Körper einwirkenden Kräfte in einem Punkt angreifen.
Obwohl es in Wirklichkeit keine Massenpunkte gibt, ist die Näherung verschwindender Ausdehnung in der Theorie oft zweckmäßig und erlaubt, wenn die Bahnabmessung wesentlich größer ist als die Ausdehnung des Körpers (siehe z. B. die Bewegungen der Planeten im Sonnensystem). Darüber hinaus werden wir in Unterkapitel 6.1 sehen, dass sich Punktmassen wie die Schwerpunkte ausgedehnter Körper bewegen. Danach stimmen die für Massenpunkte berechneten Bewegungen mit den Schwerpunktbewegungen ausgedehnter Körper überein, falls die Massen und die Summe aller Kräfte in beiden Fällen gleich groß sind.
Ganz allgemein werden Idealisierungen, die die Wirklichkeit nicht exakt beschreiben, sondern bestimmte Eigenschaften und Sachverhalte bewusst und gezielt außer acht lassen, sehr häufig in der Physik mit großem Erfolg vorgenommen. Die Vernachlässigung unerwünschter Nebeneffekte und die Konzentration auf das Wesentliche sind so typisch für die Arbeitsweise des Physikers, dass wir kurz über Zulässigkeit und Nutzen von Idealisierungen bzw. Vernachlässigungen sprechen müssen.
Die Zulässigkeit von Idealisierungen hängt von dem untersuchten Objekt und der Aufgabenstellung ab
. Dazu drei Beispiele:
Die
exakte
Beschreibung der Vorgänge in Natur und Technik ist in nahezu allen Fällen unmöglich. Deshalb müssen Randeffekte außer acht gelassen und dafür kleine – evtl. sogar vernachlässigbare – Ungenauigkeiten in Kauf genommen werden. Viele Vernachlässigungen sind sehr gebräuchlich und weit verbreitet. Kein Maschinenbauer käme auf die Idee, relativistische Massenänderungen oder Corioliskräfte der Erdrotation zu berücksichtigen. Auch Reibungskräfte werden oft nicht in Betracht gezogen.
Es kommt nicht darauf an, ob Idealisierungen auch in der Wirklichkeit realisiert werden können. Seit Galileo Galilei arbeitet die Wissenschaft oft mit fiktiven Modellen, die wenig Bezug zur Wirklichkeit haben, aber leicht überschaubar sind und sich auf das Wesentliche, auf die zu untersuchende Frage konzentrieren.
Wir nehmen im Folgenden an, dass die betrachteten Körper punktförmig sind. Punktmassen können sich nicht drehen und ihre zeitabhängige Position wird durch den sog. „Ortsvektor”r(t) beschrieben, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Ort der Punktmasse reicht.
2.2 Geschwindigkeit
Wir definieren die Geschwindigkeit und betrachten zuerst den einfachsten Fall, die gleichförmige Bewegung. Darunter versteht man eine geradlinige Bewegung, bei der der Quotient aus zürückgelegter Strecke Δx und benötigter Zeit Δt für alle Zeiten Δt gleich groß ist. Der konstante Quotient Δx/Δt wird „Geschwindigkeit”v der gleichförmigen Bewegung genannt:
(2.2–1)
Die Einheit der Geschwindigkeit ist nach dieser Gl. m/s. Häufig wird auch die Einheit km/h verwendet. Zwischen diesen beiden Einheiten gibt es folgende Umrechnung
(2.2–2)
(2.2–3)
Das sog. „Orts-Zeit-Diagramm” einer gleichförmigen Bewegung ist eine Gerade (siehe Abb. 2.2–1) mit der Steigung v.
Als nächstes betrachten wir ungleichförmige Bewegungen auf einer Geraden. Jetzt werden in gleich großen Zeitintervallen nicht mehr gleich große Strecken zurückgelegt, so dass das Orts-Zeit-Diagramm in Abb. 2.2–2 eine gekrümmte Kurve ist.
Man nennt den Quotienten
(2.2–4)
Abb. 2.2–1 Orts-Zeit-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung
„mittlere Geschwindigkeit” oder „Durchschnittsgeschwindigkeit” in dem Intervall [ t1 , t2 ] .
In Physik und Technik und beim Autofahren interessiert man sich aber gewöhnlich nicht für die mittlere, sondern für die momentane Geschwindigkeit v(t). Vor der Einführung der Radartechnik wurden momentane Geschwindigkeiten im Verkehr mit zwei Lichtschranken ermittelt. Lichtschranken messen – genaugenommen – die mittlere Geschwindigkeit vm. Wenn aber der Abstand der Lichtschranken so klein ist, dass ein Fahrzeug seine Geschwindigkeit auf der kurzen Messstrecke kaum ändern kann, dann sagt man: Die gemessene Geschwindigkeit ist – in genügend guter Näherung – die momentane Geschwindigkeit.
Diese Aussage ist umso genauer, je kleiner der Abstand der beiden Lichtschranken ist. Daraus ergibt sich die Definition der momentanen Geschwindigkeit wie folgt:
Die momentane Geschwindigkeit
(2.2–5)
oder genauer – wenn wir die Zeit deutlich in die Definition einbeziehen –
(2.2–6)
ist die zeitliche Ableitung des Ortes x(t). Es ist allgemein üblich, die zeitliche Ableitung nicht durch einen Strich, sondern durch einen Punkt zu kennzeichnen.
Abb. 2.2–2 Für t2 → t1 geht die Steigung der Sekante über in die Steigung der Tangente. Die Steigung der Tangente ist laut Definition die momentane Geschwindigkeit v(t1).
Bisher waren alle Bewegungen geradlinig. Nun wollen wir auch krummlinige Bahnen betrachten. Die zeitabhängige Lage des Massenpunktes wird durch den sog. „Ortsvektor”r(t) beschrieben, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Ort des Teilchens zeigt (siehe weiter unten Abb. 2.5–2). Der Ortsvektor lässt sich mit seinen drei kartesischen Koordinaten x(t), y (t), z(t) und den sog. „Basisvektoren” ex, ey, ez, die die Länge Eins haben und auf den drei Koordinatenachsen liegen, als eine Linearkombination schreiben:
(2.2–7)
Bemerkung: Die Ortsvektoren dürfen im Gegensatz zu den Vektoren in der Mathematik nicht parallel verschoben werden. Die Ortsvektoren sind ortsfest; ihr Anfang liegt immer im Koordinatenursprung. (Nach einer Parallelverschiebung würde das Ende der Ortsvektoren nicht mehr auf den Ort der Teilchen zeigen.)
Vektoren werden komponentenweise differenziert und integriert. Daher ergibt sich der Geschwindigkeitsvektor v(t) durch die zeitliche Ableitung der drei Koordinaten:
(2.2–8)
2.3 Einführung in die Integralrechnung
Nach Unterkapitel 2.2 ergibt sich die momentane Geschwindigkeit v(t) durch Ableiten des Ortes x(t) nach der Zeit. Wir wollen nun die umgekehrte Aufgabe lösen: v(t) ist gegeben – z. B. durch den Fahrtenschreiber eines LKWs – und x(t) ist gesucht.x(t) ist die Stammfunktion von v(t).
Abb. 2.3–1 Die graue Fläche im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist gleich dem zurückgelegten Weg.
(2.3–1)
Als nächstes untersuchen wir eine beliebige ungleichförmige Bewegung auf der x-Achse. Da die Geschwindigkeit v(t) nicht konstant ist, kann der in dem Zeitintervall [t1, t] zurückgelegte Weg nicht so ohne weiteres als Produkt v(t′) (t – t1) geschrieben werden – zumal man überhaupt nicht wüsste, welche Zeit t′ in v einzusetzen wäre.
Wir müssen deshalb anders vorgehen und davon ausgehen, dass die Geschwindigkeit in genügend kleinen Zeitintervallen Δt nahezu konstant ist. Der in dem kleinen Zeitintervall zurückgelegte Weg ist daher näherungsweise
Welche Zeit t′ man aus dem Zeitintervall wählt, ist nicht entscheidend, da sichv(t′) in dem sehr kleinen Zeitbereich Δt kaum ändert.
Mit dieser Überlegung können wir nun den in der Zeit [t1, t] zurückgelegten Weg berechnen: Wir unterteilen das Zeitintervall [t1, t] in n gleich große Teilintervalle der Breite
(2.3–2)
(2.3–3)
Die letzte Summe in Gl. (2.3–3), die wir “Zwischensumme” nennen wollen, ist gleich der grauen Fläche unter der Stufenfunktion inAbb. 2.3–2 .
Abb. 2.3–2 Der gesamte zurückgelegte Weg ist die Summe der in den Teilintervallen zurückgelegten Teilwege. Für kleine Δt ist jeder Teilweg ungefähr gleich der Geschwindigkeit am Anfang des Teilweges mal Δt.
(2.3–4)
Das Integral ist einerseits gleich der Fläche zwischen der Funktion v(t) und der Abszisse im Intervall [t1, t] und andererseits gleich dem Zuwachs x (t) – x (t1) der Stammfunktion.
Wenn wir x(t1) in Gl. (2.3–4) auf die rechte Seite bringen, erhalten wir den Ort des Teilchens zur Zeit t bei gegebener Geschwindigkeit v(t):
(2.3–5)
x(t) ist die Stammfunktion des sog. “Integranden” v(t). In Verallgemeinerung dieser Aussagen auf andere Funktionen erhalten wir die folgenden Integraleigenschaften, die von zentraler Bedeutung für die Mathematik und Physik sind:
Das Integral
ist gleich der Fläche, die von der Funktion f(t) und der Abszisse im Intervall [t1, t] eingeschlossen wird.
Das Integral über eine Funktion
f
(
t
) ist gleich der Änderung
(2.3–6)
der Stammfunktion des Integranden im Integrationsbereich. Daraus folgt insbesondere
2.4 Beschleunigung
Auch jetzt betrachten wir zuerst wieder den einfachsten Fall, die geradlinige Bewegung, bei der wir skalar rechnen dürfen. Im Folgenden werden fast dieselben Überlegungen angestellt wie bei der Definition der Geschwindigkeit. Der wesentliche Unterschied ist nur der, dass wir jetzt nicht mehr im Orts-Zeit-Diagramm arbeiten, sondern im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Vom Autofahren ist bekannt, dass Beschleunigung als Geschwindigkeitsänderung pro Zeit definiert ist. Daher definieren wir die Steigung der Sekante in Abb. 2.4–1
(2.4–1)
Abb. 2.4–1 Die Steigungen der Sekante und Tangente im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm sind laut Definition die mittlere und die momentane Beschleunigung.
als „mittlere Beschleunigung” oder „Durchschnittsbeschleunigung” im Intervall [t2, t1]. Die Einheit der Beschleunigung ist danach m/s2.
Bei der Definition der momentanen Beschleunigung a(t) zur Zeit t gehen wir genauso vor wie bei der Definition der momentanen Geschwindigkeit: Danach ist die momentane Beschleunigung die mittlere Beschleunigung im Grenzübergang Δt → 0:
(2.4–2)
Die Beschleunigung ist die einmalige Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit oder die zweimalige Ableitung des Ortes nach der Zeit.
(2.4–3)
Ein besonders wichtiger Spezialfall ist die gleichförmig oder gleichmäßig beschleunigte Bewegung; hier ist die Beschleunigung konstant. Der reibungsfreie Fall im homogenen Schwerefeld ist die bekannteste gleichförmig beschleunigte Bewegung. Wegen ist die Geschwindigkeit die Stammfunktion der Beschleunigung. Die Geschwindigkeit ergibt sich nach Gl. (2.3–6) durch Integration über die konstante Beschleunigung:
(2.4–4)
Eine weitere Integration liefert den Ort des Teilchens
(2.4–5)
Schnellkäfer erreichen im Tierreich die größte Beschleunigung: Beim Hochspringen können sie mit a ≈ 400 g beschleunigen. Die größten Beschleunigungen in der Natur erreichen einige Pilzarten, die ihre Sporen mit einer Beschleunigung von bis zu 1,8 · 105g (!) abschießen.
Jetpiloten müssen nach der Auslösung des Schleudersitzes sehr kurzfristig eine Beschleunigung von 27 g aushalten. Dabei wird die Wirbelsäule so stark gestaucht, dass die Piloten etwa 0,5 cm kleiner werden. Nach zwei Notausstiegen im Schleudersitz werden Bundeswehrpiloten in den vorzeitigen Ruhestand versetzt.
Tabelle 2.4–1 Die für den Menschen maximal erträgliche Beschleunigung hängt von der Körperhaltung und von der Dauer der Beschleunigung ab und ist wichtig für die bemannte Raumfahrt, Militärjets und Kraftfahrzeuge. Bei Crash-Versuchen mit Dummies darf die kurzzeitige Kopfbeschleunigung höchstens 80 g und die Brustbeschleunigung höchstens 60 g betragen.
2.5 Kreisbewegung
Die Kreisbewegung ist eine besonders wichtige Bewegung: Maschinenteile, die um eine raumfeste Achse rotieren, führen solche Bewegungen aus.
Abb. 2.5–1 Kreisbewegung in der x,y-Ebene.
(2.5–1)
(2.5–2)
(Beachte die Übereinstimmung mit Gl. (2.2–3).) Der vom Fahrstrahl überstrichene Winkel φ(t) wächst linear in der Zeit.
Für ungleichförmige Kreisbewegungen (Δφ/Δt ≠ const) gibt die Gl.
(2.5–3)
die mittlere Winkelgeschwindigkeit im Intervall Δt an. Die momentane Winkelgeschwindigkeit ω(t) zur Zeit t ist definiert als
(2.5–4)
Bemerkenswert und wichtig ist die Feststellung, dass die mittlere und die momentane Winkelgeschwindigkeit in völlig gleicher Weise definiert werden wie die mittlere Geschwindigkeit vm und die momentane Geschwindigkeit v(t). (Vergleiche die Gln. (2.2–4 und 6) mit den Gln. (2.5–3 und 4).) Dies zeigt sehr deutlich, dass es in der Physik Gedanken, Überlegungen und Rechnungen gibt, die immer wieder in ähnlicher Form auftreten.
Die zweite Ableitung von φ(t) ergibt die Winkelbeschleunigung
Die momentane Bahn- oder Umfangsgeschwindigkeit des Teilchens beträgt
(2.5–5)
Für gleichförmige und auch für ungleichförmige Kreisbewegungen gilt also:
(2.5–6)
Nachdem die Winkelgeschwindigkeit ω(t) und Bahngeschwindigkeit v(t) als Skalare definiert bzw. berechnet wurden, müssen beide Größen noch zu Vektoren erweitert werden. Der Betrag von wird durch die Gl. (2.5–4) gegeben. Die Richtung von wird wie folgt definiert: steht senkrecht auf der Bahnebene und weist in die Richtung, in die sich ein Korkenzieher bewegt, der im Umlaufsinn der Masse gedreht wird. ist also laut Definition parallel zur Drehachse. Bei einer ungleichförmigen Kreisbewegung ist nur die Richtung der Winkelgeschwindigkeit konstant.
Abb. 2.5–2 Die Winkelgeschwindigkeit steht senkrecht auf der Kreisbahn und fällt daher mit der Drehachse zusammen.
Der Geschwindigkeitsvektor v(t) ist die Zeitableitung des Ortsvektors r(t). Der Ortsvektor r(t) geht vom Koordinatenursprung zum Ort des Teilchens und lautet nach Abb. 2.5–2:
(2.5–7)
(2.5–8)
Dabei lieferte die Kettenregel die innere Ableitung.
Kontrolle und Veranschaulichung:
Die Einheiten sind richtig.
v
(
t
) hat in Übereinstimmung mit
Gl. (2.5–5)
die Länge
Behauptung: v(t) lässt sich als Vektorprodukt schreiben
(2.5–9)
Beweis: In Koordinatendarstellung lautet das Vektorprodukt von a, b
Wir berechnen die rechte Seite der Gl. (2.5–9):
Die zweite Ableitung des Ortsvektors r(t) nach der Zeit liefert die Beschleunigung
(2.5–10)
Der erste Term ist parallel zur Geschwindigkeit v (t) und beschreibt die Beschleunigung, die bei einer Änderung von ω in tangentialer Richtung auftritt. Beim Betrachten einer Kreisbahn, deren Winkelgeschwindigkeit sich plötzlich stark ändert, wird dieser Term verständlich. Er hat den Betrag und verschwindet bei gleichförmigen Kreisbahnen.
Der zweite Term – ω2 (t) r(t) ist die sog. „Zentripetalbeschleunigung”. Sie ist proportional zum Radius r und proportional zu ω2und weist zum Kreismittelpunkt. Für folgt:
(2.5–11)
Auf ein Teilchen, das eine gleichförmige Kreisbewegung macht, wirkt die Zentripetalkraft
Bei den Planeten, deren Ellipsenbahnen nur wenig von Kreisbahnen abweichen, ist die Zentripetalkraft die Anziehungskraft der Sonne. Bei einem Teilchen, das von einem Faden gehalten auf einer Kreisbahn umläuft, wird die Zentripetalkraft durch den Faden aufgebracht. Der Betrag der Beschleunigung gleichförmiger Kreisbewegungen ist
(2.5–12)
Bemerkungen: 1) Die Gln. (2.5–12) gelten auch für ungleichförmige Kreisbewegungen, beschreiben dann aber nur die Komponente der Beschleunigung in radialer Richtung, also nur den Betrag der Zentripetalbeschleunigung.
2) Der Leser muss sich die drei wichtigen Gln. (2.5–12) nicht unbedingt merken. Er muss nur wissen, dass sich a in einfacher Form durch Multiplikation und Division der drei Variablen ω, v und r ergibt und dass a die Einheit ms–2 hat. Dann erhält man zwangsläufig die Gln. (2.5–12). Andere einfache Gln. für a können bei Beachtung der Einheit nicht mit ω, v und r aufgestellt werden.
Beispiel 2.5–1 Kreisender Satellit
Ein Satellit kreist in 200 km Höhe einmal in 88,45 min um die Erde. Der Erdradius beträgt 6380 km. Wie groß sind ω, v, a?
Lösung:
Bemerkung: Nach dem Gravitationsgesetz (siehe Aufgabe 4–16) ist die Erdanziehungskraft auf einen Körper im Abstand r zum Erdmittelpunkt proportional zu 1/r2. Daher beträgt die Erdbeschleunigung in 200 km Höhe
Hiermit beenden wir die Kinematik, die eine rein mathematische Disziplin ist und daher ohne die physikalischen Größen ‘Masse’ und ‘Kraft’ auskommt. Ein kleiner Rückblick sei gestattet: Wir haben die drei kinematischen Funktionen x(t), v(t), a(t) eingeführt und wissen nun, dass sie durch Differenzieren und Integrieren ineinander umgerechnet werden können. Außerdem wurde die Kreisbewegung von Massenpunkten behandelt. Die Bedeutung von Ableitungen und Integralen wurde an Hand physikalischer Probleme ausführlich besprochen. Weitere mathematische Hilfsmittel und mathematische Theorien werden im Buch nicht mehr erläutert, so dass wir uns ab jetzt auf die Physik konzentrieren können.
2.6 Noch einmal in Kürze
(2.2–6)
(2.4–2)
(2.4–4/5)
(2.5–4)
Die Richtung des Vektors der Winkelgeschwindigkeit ist laut Definition parallel zur Drehachse; der Richtungssinn wird mit der Korkenzieher-Regel festgelegt.
(2.5–6/12)
2.7 Aufgaben
2–1Leicht Überholvorgang
2–2Leicht Beschleunigter Zug
2–3Mittel Beschleunigter Rennwagen Abb. 2.7–1
Abb. 2.7–1 Der beschleunigte Rennwagen durchfährt eine Mess-Strecke mit den angeführten Daten.
2–4Mittel Känguruh-Sprünge Abb. 2.7–2
Ein Känguruh macht beim Rennen 6 m weite und 1,5 m hohe Sprünge. Wie groß ist die konstante horizontale Geschwindigkeit v des Känguruhs?
Abb. 2.7–2 Das Känguruh macht 6 m weite und 1,5 m hohe Sprünge.
Hinweis: Die horizontale Bewegung ist gleichförmig, die vertikale Bewegung ist gleichförmig beschleunigt mit
2–5Mittel Notbremsung
Der zweite Wagen fährt mit 72 km/h und beginnt 16 m vor der Wand mit einer Vollbremsung. Mit welcher Geschwindigkeit prallt er gegen die Wand?
2–6Mittel Brunnentiefe
2–7Schwer Maximale Drehzahl Abb. 2.7–3
Welche Winkelgeschwindigkeit ist maximal zulässig, wenn der Kleber nicht reißen soll?
Abb. 2.7–3 Das dünne Brett ist an eine rotierende Achse angeklebt.
1. Genauso gut hätte man die Geschwindigkeiten am Ende der Teilintervalle oder irgendwo innerhalb der Teilintervalle berechnen können, weil die n Teilintervalle sehr klein sind und sich die Geschwindigkeit daher innerhalb eines Teilintervalles kaum ändert.
3
Newtonsche Axiome und Kräfte
Die drei Newtonschen Axiome wurden in dem epochemachenden Werk “Philosophiae naturalis principia mathematica” im Jahre 1687, also vor fast 330 Jahren veröffentlicht. Axiome sind keine mathematisch beweisbaren Sätze. Vielmehr sind sie als richtig anzusehen, solange ihre Folgerungen durch die Erfahrung bestätigt werden. Ihre Aufstellung beruht auf Experimenten und Beobachtungen.
Lesen Sie weiter in der vollständigen Ausgabe!
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