Pumping-Physics E-Book

Ottmar Kögel

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2019

Seitenzahl: 423

Beschreibung

Warum sind manche Stoffe fest, andere aber flüssig? Schwimmt ein Schiff auch in der Badewanne? Wie kalt ist es im Weltraum? Was uns beschäftigt und gleichzeitig fasziniert, sind nicht die alltäglichen Dinge. Physik erweist sich als gute Basis unsere von Naturwissenschaft und Technik geprägte Welt besser zu verstehen. Pumping-Physics regt mit interessanten, oft spannenden und vor allem auch für Laien verständlichen Themen dazu an, sich mit diesen Fragen zu beschäftigen. Die Beispiele werden in Form einer klar umrissenen Frage und Beantwortung mittels vorgegebener Auswahlmöglichkeiten präsentiert. Anschauliche Fragestellungen führen Schritt für Schritt auch durch schwieriges Terrain und vermitteln die Fähigkeiten, die Antworten darauf selbst nachvollziehen zu können. Mit Kenntnis und Freude an der Sache geschrieben und mit über 350 zum Teil farbigen Abbildungen pfiffig illustriert wird die Lektüre dennoch nicht zur Anstrengung. Physik kann auch Spaß machen. Anschaulich und treffend zugleich, leicht geschrieben und durchweg illustriert, dabei immer exzellente Physik. Pumping-Physics macht es vor. Brian Clegg, Science-Autor.

Leseprobe

Zum Buch

Wir stehen einer komplexen Umwelt, die uns immer mehr Wissen und Informationen abverlangt, oft ratlos gegenüber. Unsere Alltagserfahrungen helfen hier nicht weiter.

Wie misst man eine Million Grad? Warum soll ich zwischen Masse und Gewicht unterscheiden? Warum friert ein See auch bei stärkstem Frost nicht bis zum Boden durch? Wie entwickelte sich überhaupt die Atomvorstellung? Wozu brauchen Wissenschaftler diese vielen Formeln? Wenn Sie sich auch solche Fragen stellen, finden Sie hier das Rüstzeug, die Antworten darauf besser zu verstehen.

Pumping-Physics setzt hier an und will mit Fragestellungen, die auch für Laien geeignet sind, das Interesse an Naturwissenschaft und Technik wecken. Es dreht sich dabei nicht nur um die reine Wissensvermittlung, es geht vielmehr um: Naturwissenschaftlich denken. Wie in der kurzen Anekdote im Vorwort geschildert, steht Pumping-Physics für diese aktive Beschäftigung mit den Themen und die Physik erweist sich als gute Basis.

Ein bewährtes Konzept wird modern präsentiert: Konkrete, klar umrissene Fragestellung. Die Beantwortung mittels vorgegebener Auswahlmöglichkeiten ist insbesondere für Nicht-Fachleute sinnvoll und senkt die Hemmschwelle, sich auch mit kniffligen Fragen zu befassen, nach dem Motto: „Probieren kann ich’s ja mal!“

Ein lebendiger Schreibstil und pfiffige zum Teil farbige Grafiken lassen auch den Spaß nicht zu kurz kommen. Um sich vom aktiven Lesen mal zurücklehnen zu können, lockern ein- bis zweiseitige Einschübe mit weiterführenden Beispielen oder interessanten Hintergrundinformationen aus den Wissenschaften den Text auf.

Ottmar Kögel diplomierte 1993 in Physik, Schwerpunkte Optik und Werkstoffwissenschaften. Zuvor nutze er sein musisches Talent für ein Studium zum Ton- und Bildingemeur am Robert-Schumann-Institut und der Hochschule Düsseldorf.

Dieses breite Interessensspektrum ist auch die Grundlage für seine berufliche Laufbahn als Produktmanager in unterschiedlichen Branchen – stets verbunden mit der verständlichen Aufbereitung komplizierter Sachverhalte.

Über das nebenberufliche Engagement an naturwissenschaftlich-technischen Schulen sowie die Präsentation entsprechender Themen auf diversen Wissenschaftsevents erkannte er, dass mit pfiffigen Fragen und einem pragmatischen Schreibstil mit einem Schuss Humor vor allem die physikalischen Grundlagen einem breiten Publikum vermittelt werden können.

Ottmar Kögel ist Autor zahlreicher Fachartikel und ausführlicher Beiträge in Fachbüchern und findet regelmäßig die Zeit für journalistische Beiträge in der Presse.

INHALT

Vorwort

Neugier und der Wunsch, die Welt zu verstehen, scheinen in der Natur des Menschen zu liegen. Nicht erst der moderne Mensch beobachtet, sammelt und ordnet. Schon immer führte diese Neugierde die Menschheit zu neuen Erkenntnissen und Entdeckungen. Eine möglichst genaue und zugleich einfache Beschreibung der Naturerscheinungen zu finden ist das Ziel der Naturwissenschaften und insbesondere der Physik.

Was uns beschäftigt und gleichzeitig fasziniert, sind die nicht alltäglichen Dinge. Wie entwickelte sich die Idee von den Atomen? Warum sind manche Stoffe fest, andere aber flüssig? Im LargeHadronCollider LHC am CERN prallen die Teilchen mit der Energie zweier ICE-Züge aufeinander: Wie kann ich mir das vorstellen? Warum soll ich zwischen Masse und Gewicht unterscheiden? Wieso schwimmen Schiffe aus Eisen? Wie kalt ist es im Weltraum? Und neuerdings vielleicht: Was hat es mit dem Higgs-Teilchen auf sich? Wenn Sie sich auch solche Fragen stellen, finden Sie hier das Rüstzeug, die Antworten darauf besser zu verstehen.

Wir stehen einer zunehmend komplexeren Welt, in der immer mehr Wissen und Informationen angehäuft werden, oft etwas hilflos gegenüber. Wer sich auf dieses technisch-naturwissenschaftliche Feld einlässt, verspürt daher einen ständig wachsenden Wissensdurst. Dagegen hilft nur die aktive Beschäftigung mit den Fragestellungen und dieses Buch unterstützt Sie dabei.

Pumping iron, Englisch für Bodybuilding, ist zwar schweißtreibender Sport, hält aber fit. Als mir ein amerikanisches Gitarrenheft namens Pumping Nylon unter die Finger kam, gefiel mir diese Umdeutung von „pumping“ als, wenn auch harte: Übung. Nicht nur körperlich, sondern auch intellektuell. Pumping-Physics soll ebenso zur aktiven Beschäftigung mit Themen aus Naturwissenschaft und Technik anregen.

John Hymus, Inhaber Internationale Sprachenschule, Rhyl/Wales: “It sounds good – 'pumping-physics' would meet your expectations.”

Guenther Mohr, Mathematiker, Toronto/Kanada: “Pumping physics conjures up a vision of being very diligent at learning about physics. So far so good.”

Guenthers „Vorstellung des sehr gewissenhaften Lernen“ scheint vielleicht etwas abgehoben, drückt aber doch das aus, was Pumping-Physics auch ist: fachlich korrekte Physik!

In Pumping Physics steckt wohl beides: einmal der Spaß an der Sache. Aber auch das ernsthafte Ringen um die „hard facts“. Dem Wortspiel verpflichtet hat Pumping Physics rundweg denksportlichen Charakter – „sounds good“.

Wer sich für Physik interessiert, will die Phänomene in seiner Umwelt verstehen. Mit dem Blick unter die Oberfläche, sieht man sich sehr schnell komplexen Zusammenhängen gegenüber. Um aber das Wesentliche, die physikalischen Prinzipien und Konzepte zu verstehen, ist gar nicht so viel Spezialwissen, Theorie oder allzu Technisches erforderlich.

Zwei Aspekte erleichtern es, unsere vielschichtige und abstrakte Welt zu verstehen: Physik ist ein sehr strukturiertes Fach und befasst sich mit ganz grundlegenden Fragestellungen.

Gründlich vorzugehen heißt auch, wichtige Prinzipien und Konzepte zu kennen. Hat man bestimmte fundamentale Tatsachen, die für sich genommen weder unbegreiflich noch abschreckend sind, einmal verstanden, erschließen sich dem Leser auch größere Zusammenhänge der Physik.

Der Leitgedanke, viele komplexe Details wegzulassen und die Themen eher anschaulich anzugehen, bedeutet nicht: unstrukturiert. Aus einer auch auf Einsteigerniveau grundlegenden Herangehensweise folgt die klare Ordnung ganz zwanglos. Durch eine verständliche Gliederung sowie das Hervorheben wichtiger Aussagen und Gesetze lässt sich so Stück für Stück sicheres Wissen schaffen.

Thematisch liegt der Fokus auf Fragestellungen, die auch für den interessierten Laien nachvollziehbar sind. Schon der Alltag, unsere unmittelbare Umgebung bieten ein reiches Reservoir an anschaulichen Beispielen. Dabei dreht es sich nicht nur um die reine Wissensvermittlung, es geht vielmehr darum, naturwissenschaftlich denken zu lernen.

Die Inhalte werden physikalisch möglichst exakt, gleichzeitig aber auch unterhaltsam vermittelt. Der Stoff ist anschaulich gegliedert nach klassischen Teilgebieten der Physik.

Die Mechanik ist nach wie vor der sichere Einstieg und wird auch hier den Anfang machen. Es folgen die Flüssigkeiten und Gase, ein Feld, auf dem man immer wieder auf Fragen aus dem Alltag stößt. Die oft selbst direkt wahrnehmbaren, zum Teil aber auch erstaunlichen Phänomene der Wärme nehmen großen Raum ein. Mit einer verständlichen Herleitung des heutigen Atommodells endet dieser Band.

Durch ein umfangreiches Stichwortverzeichnis eignet sich das Buch auch zum Nachschlagen.

Die Themen werden als klar umrissene Fragestellungen in Form von Frage & Antwort präsentiert. Davon lebt auch die Physik: Forscher beobachten nicht nur Vorgänge, die in der Natur von selbst ablaufen. In geplanten physikalischen Beobachtungen, den Experimenten, stellen sie gezielt Fragen an die Natur.

Begriffe und physikalische Größen werden vor ihrem Gebrauch eingeführt, entweder separat oder mit einer passenden Frage. Insbesondere wird konsequent auf eine standardisierte Terminologie und Schreibweise etwa der Formeln geachtet.

Bei der Lösung hilft Ihnen eine Auswahl aus vorgegebenen Alternativen. Die Beantwortung mittels Auswahlmöglichkeiten ist nicht dem Quiz-Zeitgeist geschuldet. Der Weg über das Ausschließen nicht zutreffender Aussagen ist insbesondere für Nicht-Fachleute durchaus sinnvoll und senkt die Hemmschwelle, sich auch mit kniffligen Fragen zu befassen, nach dem Motto: „Probieren kann ich’s ja mal!“ Außerdem bieten Alternativantworten die Chance, einen Kick Spaß und Spiel einzubringen.

Um sich vom aktiven Lesen mal zurücklehnen zu können, lockern ein- bis zweiseitige Einschübe den fortlaufend gegliederten Text auf. Dort finden sich jeweils passend weiterführende Informationen. Auch wird entlang der einzelnen Themen der Weg von der klassischen Antike bis zur modernen Naturwissenschaft der Neuzeit skizziert. Es ist von Irrtümern, Anekdoten und so manch unbekannter Charaktereigenschaft der einschlägigen Protagonisten die Rede.

Immer jedoch steht die Physik, das naturwissenschaftliche Denken im Mittelpunkt. Pfiffig illustriert, mit Spaß an der Sache formuliert und interessanten Hintergrundinformationen aus den Wissenschaften gelingt es, die Lektüre dennoch nicht zur Anstrengung werden zu lassen.

Danksagung:

Vielen Dank an alle, die mich bei meiner Arbeit am Projekt „Pumping-Physics“ unterstützt haben.

Mein besonderer Dank gilt Frau Andrea Hager, Oberstudienrätin für Mathematik/Physik am Emmy-Noether-Gymnasium, Erlangen und nicht zuletzt meiner Frau und Lektorin Bettina Höfner-Kögel.

MECHANIK

Auch die Physik des 21. Jahrhunderts beginnt mit dem Studium der Mechanik. So erschließt sich am einfachsten die Bedeutung vieler physikalischer Grundprinzipien wie die Erhaltungsätze oder das Wechselwirkungsprinzip.

Seit Galileo Galilei nehmen das Experiment und die Messung von Größen eine zentrale Stellung ein. Der Vorteil des Experimentierens gegenüber der reinen Beobachtung liegt darin, dass im Experiment die Versuchsbedingungen verändert und so der Einfluss einer Größe auf eine andere untersucht werden kann. Dabei verfolgt der Physiker die Vorgänge immer auch messend. Die Resultate werden miteinander in Zusammenhang gebracht, um die Abhängigkeit der Größen zu erkennen oder sogar ein physikalisches Gesetz zu erhalten.

Das sich daraus entwickelnde Wechselspiel von Modellbildung und experimenteller Untersuchung ist bis heute kennzeichnend für die physikalische Forschung.

Neben der grundlegenden Vorgehensweise zur Gewinnung neuer Erkenntnisse kamen auch typische Methoden der Physik ursprünglich aus der Mechanik.

Ein wichtiges Ziel der Mechanik ist es, die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von Kräften zu beschreiben. Dazu werden Bewegungsgleichungen aufgestellt, deren formelmäßige Lösung dann z. B. die gewünschte Bahnkurve des Körpers ergibt.

Daher stehen die grundsätzlichen Bewegungsgrößen am Anfang.

Die Kinematik behandelt die Gesetzmäßigkeiten, die den Bewegungsabläufen zugrunde liegen. Die bei der Bewegung auftretenden Kräfte bleiben unberücksichtigt. Man unterscheidet zwei Arten von Bewegung: geradlinige Bewegung (Translation) und Drehbewegung (Rotation).

Werden auch die auftretenden Kräfte und Massen mit einbezogen, werden aus reinen Bewegungsabläufen dynamische Prozesse. Das Konzept der Kraft ist fundamental in Physik und Technik, um beispielsweise die Bewegung eines Körpers vorherzusagen.

Die berühmten Newtonschen Gesetze dürfen bei diesem Einstieg natürlich nicht fehlen.

Größen und Einheiten

Größen (Formelzeichen) wie „s“ und „t“ werden kursiv, die Symbole für Einheiten wie „m“ für Meter oder „s“ für Sekunde immer in Normalschrift dargestellt.

Eine Zusammenstellung wichtiger (SI) Einheiten findet sich im Anhang.

Auch für sehr große oder sehr kleine Zahlenwerte gibt es kürzere Schreibweisen. Entweder in der sogenannten wissenschaftlichen Notation mit 10er-Potenzen oder mit bestimmten Präfixen, die jeweils einer Potenz entsprechen. Die Strecke 1250 m lässt sich somit abkürzen zu: 1,25 103 m bzw. 1,25 km. Insbesondere für die Mechanik wichtige Basisgrößen sind

Präfixe für SI-Einheiten

FaktorPräfixZeichen1012Tera-T109Giga-G106MegaM103Kilo-K102HektoH101Deka-da10-1Dezi-d10-2Zenti-c10-3Milli-m10-6Mikro-μ10 -9Nano-n10 -12Piko-p10 -15Femto-f

Länge

Vor gut 100 Jahren wurde die Längeneinheit Meter (m) über zwei Kerben in einem Metallstab festgelegt. Von diesem in Paris aufbewahrten Original wurden exakte Kopien an alle Normungsbehörden weltweit verschickt. Heute geht die Einheit Meter auf eine Naturkonstante zurück, nämlich die Lichtgeschwindigkeit:

Ein Meter ist die Entfernung, die das Licht im Vakuum in Sekunden zurücklegt.

zeit

Die Zeitmessung basiert auf einem periodischen Vorgang. Naheliegend wurden früher Stunde, Minute und Sekunde auf die tägliche Rotation der Erde zurückgeführt. Im 17. Jh. aufkommende Uhren nutzten die regelmäßigen Schwingungen von Pendeln oder Federn.

Heute definiert man die Zeit ebenfalls über eine Naturkonstante:

Taktgebende Schwingung zur Definition der Zeiteinheit Sekunde (s) ist eine bestimmte Oszillation des Caesiumatoms. Diese extrem schnelle Schwingung ermöglicht die von Atomuhren bekannte Ganggenauigkeit. Die Bestimmung der Länge wird letztlich auf eine hochpräzise Zeitmessung zurückgeführt.

Masse

Noch wird die Masseneinheit Kilogramm (kg) über einen Zylinder aus einer Platin-Iridium-Legierung festgelegt, der sich ebenfalls in Paris befindet und von dem es weltweit Kopien gibt. Für Messungen auf atomarer Skala verwendet man die atomare Masseneinheit u, die anhand des Kohlenstoff-12-Atom definiert ist. Aktuell wird im aus Deutschland koordinierten Avogadro-Projekt eine Neudefinition des Kilogramms über das „Zählen“ von Atomen in einem Silizium-Einkristall angestrebt.

Besser messen

Zu den ganz grundlegenden Messungen gehört die Bestimmung von Zeitpunkten oder Zeitintervallen. Dazu nutzt man einfache, mechanische Stoppuhren, die man über Druckknöpfe bedient. Manche haben eine Digitalanzeige. Für eine höhere Präzision gibt es auch elektronisches Zeitmess-Equipment. Alle Messungen jedoch hängen, neben der Ganggenauigkeit der verwendeten Uhren, vom exakten Starten bzw. Stoppen der Zeitmessung ab. Das Erfassen kurzer Zeitintervalle mit einer Stoppuhr ist problematisch, da das Drücken der Start-Stopp-Knöpfe große Unsicherheiten mit sich bringt.

Wie kann man diese systembedingten Unzulänglichkeiten abmindern oder weitgehend ausschließen?

Wiederholen der gleichen Messung und bilden des Mittelwertes

Es bleibt nur eines: Den Umgang mit der Stoppuhr trainieren

Bei periodischen Vorgängen kann man die Messung über einen längeren Zeitraum durchführen und das Ergebnis durch die Anzahl der Perioden teilen

Antwort

Die Antworten a) und c) sind richtig Beide Wege sind das Standard-Verfahren zur Erhöhung der Messgenauigkeit. Das Wiederholen ein und derselben Messung und die Bildung des Mittelwertes ist über die sogenannte Fehlerrechnung sogar mathematisch exakt definiert. Die Anzahl n der gemachten Messungen geht rechnerisch in die letztlich unvermeidliche, aber minimierte Schwankung des Mittelwertes ein.

Um die Schwingungsperiode in Sekunden des abgebildeten Pendels zu messen, lässt man diese mehrere Male schwingen und teilt die gemessene Zeit durch die Anzahl der Hin- und Herbewegungen. So könnte die Messung einer einzigen Schwingungsperiode z. B. 2 Sekunden ergeben. Mehr Genauigkeit ist messtechnisch nicht möglich. Lässt man das Pendel jedoch 25-Mal schwingen und misst dabei die Zeit von 55 Sekunden, so ergibt sich der genauere Wert von 2,2 Sekunden für eine Periode.

Neben diesen statistischen Schwankungen, die sich mit zunehmender Anzahl an Versuchen ausmitteln, gibt es noch die systematischen Fehler, wie z. B. ein falsch kalibriertes Messinstrument. Sie heben sich natürlich nicht durch wiederholte Messungen auf, sondern müssen erkannt und behoben werden.

Die Erhöhung der Messgenauigkeit bezieht sich auf alle physikalischen Größen und ist ein sich über Jahrhunderte und alle verfügbare Techniken erstreckender Prozess.

!Begriffe der Kinematik

Wir betrachten hier die eindimensionale Bewegung entlang einer geraden Linie. Die Beschränkung auf eine Richtung vereinfacht die Beschreibung. Bewegungen werden zwar durch Kräfte verursacht, auf diese wird weiter unten auch eingegangen. Die Kinematik untersucht jedoch nur die Bewegungen an sich, sowie Änderung dieser Bewegungen.

Schließlich betrachten wir Objekte als punktförmig. Elektronen wären tatsächlich solche dimensionslosen Massenpunkte. Aber auch starre Körper, bei denen sich alle Teile mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche Richtung bewegen, werden als ein Teilchen aufgefasst. Verfolgt man beispielsweise die Bahn eines Sprinters, so misst man etwa die Bewegung seines Oberkörpers, der hier den Massenpunkt darstellt.

Ort und Verschiebung

Um Bewegung zu beschreiben, ist zuerst ein Bezugssystem festzulegen. Den Ort eines Teilchens anzugeben bedeutet, seine Position relativ zu einem bestimmten Referenzpunkt festzulegen. Dieser Punkt ist z. B. der Ursprung (Nullpunkt) eines Bezugssystems.

Das Bezugssystem wird als Achse mit einer Längeneinteilung, z. B. in der Einheit Meter, dargestellt. Die positive Richtung zeigt dabei nach rechts, die negative nach links.

Entsprechend werden die Positionen (Orte) mit positiven bzw. negativen Zahlenwerten um den Ursprungspunkt (Null) angegeben:

Wenn die Situation eindeutig oder übersichtlich ist, wird eine Verschiebung auch einfach mit „s“ bezeichnet, das Δ also weggelassen.

Eine Verschiebung ist ein Beispiel für eine vektorielle Größe, d.h. es wird neben dem Betrag, hier 5 m, auch die Richtung angegeben. Im Fall der geradlinigen Bewegung reicht hierfür ein „ + “- bzw. „–“ -Zeichen.

Vektoren sind wichtig in der Physik, bei den Kräften wird näher darauf eingegangen.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Bewegung eines Massenpunktes wird anschaulich anhand von Zeit-Ort-Diagrammen dargestellt. Dabei wird der Ort s als Funktion der Zeit t aufgetragen, s(t).

Die Abbildung rechts zeigt die Bewegung eines Fahrzeuges von A nach D. Offensichtlich beschleunigt es, bremst ab B wieder ab und kommt bei C zum Stehen, wo es bis D stehen bleibt.

Fragt man wie schnell ist das Fahrzeug unterwegs ist, gibt man z. B. dessen Durchschnittsgeschwindigkeit oder mittlere GeschwindigkeitυD an.

Sie ist definiert als der zurückgelegte Weg dividiert durch die dafür benötigte Zeit, also: .

Für den Radfahrer aus Größen und Einheiten ergibt die Messung:

Wie die Verschiebung besitzt auch die Geschwindigkeit einen Betrag und eine Richtung, ist also ebenfalls eine Vektorgröße. Der Betrag entspricht dabei der Steigung der Geraden.

Momentangeschwindigkeit

Sehr kleine Größen bzw. Größenänderungen werden üblicherweise mit einem vorangestellten „d“ gekennzeichnet.

Das zur Beispielbewegung von A nach D gehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm stellt sich schließlich so dar:

Beschleunigung

Ändert sich die Geschwindigkeit eines Teilchens, so heißt es, das Teilchen erfährt eine Beschleunigung a. Im Beispiel steigert das Fahrzeug vom Start bei A bis B die Geschwindigkeit, es wird beschleunigt. Die betrachtete Bewegung ist gleichmäßig, d.h. die Beschleunigung konstant, es gilt:

Allgemein berechnet sich die (mittlere) Beschleunigung zu:

Die übliche Einheit der Beschleunigung ist .

Beim Abbremsen zwischen B und C unterliegt das Fahrzeug einer negativen Beschleunigung, da sich die Geschwindigkeit verringert. Sie ist im Beispiel geringer (Betrag) als die Anfahrbeschleunigung und hat ein negatives Vorzeichen. Im t-v-Graphen fällt die Gerade zwischen B und C entsprechend flacher. Rechts das Beschleunigungs-Diagramm.

Hin und zurück

Betrachten wir als erstes eine einfache Bewegung. Ein Fußgänger, den wir als Massenpunkt ansehen, bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn nach dem hier abgebildeten Zeit-Ort-Diagramm.

Kann man das zugehörige Diagramm für die Geschwindigkeit eindeutig angeben?

Ja (versuchen Sie eine Skizze)

Nein

Kann genau diese Bewegung in der Natur vorkommen?

b) Ja

b) Nein

Antwort

Die Antwort auf die erste Frage lautet: a) Ja.

Die Geschwindigkeit beträgt auf dem Hinweg Auf dem Rückweg entsprechend

Zum Vorzeichen vergleiche die Anmerkung in Achterbahn.

Die Antwort auf die zweite Frage lautet: b) Nein.

Die Bewegungsumkehr nach 3 Sekunden bei 6 Meter kann in der Natur nie unmittelbar, d. h. mit 0 Sekunden Verzögerung, geschehen.

Die bewegte Masse muss auf 0 m/s abgebremst und anschließend wieder auf – 2 m/s beschleunigt werden. Dies kann nicht unendlich schnell geschehen, da dann auch unendlich große Kräfte auftreten würden.

Außerdem ist kein Körper völlig starr, sondern verformbar. Kräfte werden dadurch immer etwas „abgefedert“. Die oben skizzierte abrupte Geschwindigkeitsumkehr ist also nur eine Idealisierung. In der Realität verläuft das nach der rechts skizzierten abgerundeten Kurve.

Von A nach B

Auf einer geradlinigen Strecke liegen zwei 15 km voneinander entfernte Orte A und B. Entlang dieser Strecke bewegt sich ein Radfahrer nach dem hier abgebildeten Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm. Wie lautet das entsprechende Zeit-Ort-Diagramm?

Antwort

Die Antwort lautet: b)

Diagramme

Diagramme sind ein wichtiges Hilfsmittel in Wissenschaft und Technik. Diagramme und Grafiken sind ein Weg, wissenschaftliche Daten so darzustellen, dass Trends oder (physikalische) Gesetze direkt zu sehen sind. In einem Diagramm lässt sich der Zusammenhang zwischen zwei Größen anschaulich machen. Anhand der hier verwendeten Grafiken ist etwa der Zeit- Ort- bzw. Zeit- Geschwindigkeit-Verlauf sofort ablesbar.

Durch Interpretation von Diagrammen werden Abhängigkeiten von Größen untereinander erkennbar. Im Kraft-Ausdehnungs-Diagramm der Frage Feder, konstante weiter unten ergibt sich z. B. ein für jede Feder charakteristischer Zusammenhang zwischen F und Δl. Das Diagramm liefert unmittelbar den Proportionalitätsfaktor: Die Federkonstante.

Darüber hinaus erlauben Diagramme Voraussagen zu machen. So können aus den hier verwendeten Zeit-Ort- und Zeit- Geschwindigkeit-Diagrammen nicht nur die Bewegungen von Körpern bestimmt werden, sondern z. B. auch die auf sie einwirkenden Kräfte.

Schreibweise Die hier benutzte Konvention, Diagramme in der Reihenfolge horizontaler Wert – vertikaler Wert zu benennen, kennt diese Kurzschreibweise, beispielsweise für ein Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm: t-υ-Diagramm bzw. υ(t)-Diagramm.

...und los

Mit wie vielen verschiedenen Geschwindigkeiten ist der Passant unterwegs?

einer

zwei

drei

vier

fünf

Antwort

Die Antwort lautet: d) vier.

Der Fußgänger läuft vom Ausgangspunkt nur in eine Richtung, nämlich zu den kleineren Ortsangaben auf der Skala. Seine Geschwindigkeit ist daher immer negativ.

In der Summe bewegt er sich mit vier unterschiedlichen Geschwindigkeiten: 0 m/s, –1 m/s, –2 m/s und –3 m/s.

Das zugehörige Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm ist rechts abgebildet.

Der Weg ist das Ziel

Die folgende Problemstellung ist gewissermaßen die Umkehrung der letzten Frage:

Der Fußgänger bewegt sich diesmal nach dem abgebildeten Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm.

Nachdem er an einem bestimmten Ort s0 steht, geht er mit der Geschwindigkeit υ1 los.

Führt sein Weg wieder zum Ausgangspunkt zurück?

Ja

Nein

4 m

2 m

0 m (gelangt wieder an den Startpunkt)

2 m

4 m

Antwort

Die Antwort auf die erste Frage lautet b) Nein.

In Hin und zurück liegt eine ähnliche Fragestellung vor. Man kann aus dem Geschwindigkeitsprofil nur die relative Ortsveränderung ermitteln. Dazu summiert man die einzelnen Wege für die gegebenen konstanten Gehgeschwindigkeiten auf.

Das Zeitintervall Δti ist immer gleich 2 s.

...

Weg insgesamt: -4m

Mit den ermittelten Werten kann man nun ein Zeit-Ort-Diagramm erstellen, das noch in einem Punkt offen ist: Die absolute Skalierung der vertikalen Weg-Achse muss noch relativ bleiben.

Die zweite Antwort sollte man nun direkt aus dem jetzt auch vertikal skalierten Diagramm ablesen können: a) Start bei +4m.

Tourenplanung

Noch eine weitere Interpretation eines υ(t)-Diagramms.

Eine Radtour mit der ganzen Familie steht an. Normalerweise mischt sich Daddy nicht in die Planungen von Ausflügen ein, hier meldet er sich aber zu Wort: Da er mit dem Kinderwagen-Anhänger maximal 15 km/h fahren kann, fixiert er die ganze Tour an dieser Geschwindigkeit.

Er ersinnt folgendes Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm:

Frage: Sind nach diesem Streckendiagramm am Ende alle wieder zu Hause?

Antwort

Dazu stellt man sich den Streckenverlauf vor. Daddy teilt die Zeitachse in 20-Minuten ein und rechnet mit Geschwindigkeiten in 5 km/h-Schritten.

Aus dem Geschwindigkeitsprofil ergibt sich nun die Ortveränderung relativ zum Start Zuhause. Dazu summiert man die einzelnen Wegstrecken für die gegebenen, nun nicht mehr völlig konstanten Geschwindigkeiten, auf. Das Zeitintervall Δti ist immer gleich 20 Minuten.

Δs1: Aber Daddy ist nicht ganz der Sportterrorist und steigert das Tempo im ersten 20 min-Intervall erstmal von 0 auf 10 km/h. Den zurückgelegten Weg ermittelt man über die Durchschnittsgeschwindigkeit von 5 km/h, also

Die weitere Planung Daddys geht nur noch von konstanten Radigeschwindigkeiten aus:

Δs2 errechnet sich wie auch andere Stecken über mehrere, hier 2 Zeitintervalle:

Mittagspause...

... und wieder zurück

Weg insgesamt: + 5/3 km

Die Radler kommen nach dieser Planung also nicht zuhause an. Es fehlt ein Wegstück, das dem Warmfahren in den ersten 20 Minuten entspricht.

Vielleicht sollte das nächste Mal wieder...

Unter der Laterne

Mia wartet unter einer der Laternen, die vor ihrem Haus im Abstand von 20 Metern stehen, darauf, dass sie von ihrer Freundin abgeholt wird. Es dauert und sie schlendert herum.

Welches Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm führt sie am weitesten weg von ihrer Ausgangsposition.

a)

b)

c)

d)

Antwort

Die Antwort lautet: d)

Nach den υ(t)-Diagrammen a) bis c) schlendert Mia nur um die erste Laterne herum, bewegt sich aber nie wirklich von ihr weg.

Der Ablauf nach d) führt sie bis zur nächsten Laterne in 20 m Entfernung. Nun wartet sie dort, in der Hoffnung, dass ihre Abholerin schneller kommt.

„Lamppost walk“

Solche Hin-und-Her-Bewegungen um einen Mittelwert oder die Wegbewegung von einem Ursprungswert spielen in der Statistischen Physik als Verdeutlichung der zufälligen Änderungen einer Größe eine Rolle.

Eine beliebtes Gedankenspiel ist der „lamppost walk“: Ein Betrunkener startet bei einer Laterne. Jeder seiner Schritte hat eine bestimmte Länge. Der Mann ist jedoch so betrunken, dass es jedes Mal völlig offen ist, ob er einen Schritt vorwärts oder rückwärts macht. Die Bewegung in die eine Richtung kann dabei wahrscheinlicher sein, als die in die Gegenrichtung. Steigt die Straße etwa steil an, ist ein Schritt abwärts wohl wahrscheinlicher als einer bergauf. Nun ist das Hauptanliegen der Physik nicht, wie ein Betrunkener nach Hause kommt. Es illustriert jedoch den allgemeinen Fall, wenn N Strecken (allg.: Vektoren) gleicher Länge zufällig aneinander gereiht werden und dann gefragt wird, wie lang die resultierende Strecke ist und wohin sie zeigt. Diese Methode wird ständig angewendet: Ob bei der Diffusion eines Moleküls in einem Gas, ähnlich auch bei der Brownschen Bewegung, dem magnetischen Spin („auf“, „ab“) eines Atoms oder zur Berechnung der Intensität einer inkohärenten Lichtquelle.

Auch hinter der Berechnung zu erwartender Messfehler steckt dieses Prinzip. Der Ansatz der zufälligen Schwankungen ist fundamental für die Wahrscheinlichkeitstheorie und wird in allen Bereichen der Physik angewendet.

Langsamer oder schneller nass

Man erlebt es regelmäßig: Es hat zu regnen angefangen und man hat keinen Schirm zur Hand, muss aber durch den Regen laufen, um an sein Ziel zu kommen. Wie wird man weniger nass:

normal gehen oder

möglichst schnell durch den Regen rennen?

Der Einfachheit denken wir uns den, der im Regen unterwegs ist, als aufrecht „laufenden“ Quader mit der oberen Deckfläche Aoben als Kopf und der vorderen Seitenfläche Avorne als Körper. Der Regen soll genau senkrecht fallen.

Antwort

Die Antwort lautet: b) möglichst schnell durch den Regen rennen.

Betrachten wir zunächst die vordere Seitenfläche Avorne.

Zwischen ihr, also unserem Körper, und dem Ziel befindet sich eine bestimmte Menge Regentropfen. Egal ob man langsam läuft oder rennt, es befindet sich immer die gleiche Anzahl Tropfen vor dem Körper. Also nimmt man, ob man schnell oder langsam bis zum Ziel gelangt, all diese Regentropfen mit. Beim Rennen, ist die Rate (Tropfen/Sekunde) eben entsprechend groß.

Oben, also auf dem Kopf, sieht es anders aus. Die Tropfrate hängt hier nicht von der Geschwindigkeit ab mit der man läuft. Da der Regen genau von oben kommt und man sich aber horizontal fortbewegt, also senkrecht zu den Tropfenbahnen, fällt immer die gleichen Anzahl Tropfen pro z. B. Sekunde auf die „Kopf“-Fläche Aoben. Je schneller man also läuft, desto weniger Wasser fängt man mit der Oberseite ein.

Was man instinktiv tut, nämlich rennen, ist genau das Richtige. Alessandro de Angelis, Physik-Professor aus Udine, hat beide Möglichkeiten kurzerhand durchgerechnet: Wer mit sehr sportlichen 10 m/s rennt bleibt um ca. 10 % trockener als derjenige, der mit nur 3 m/s geht. Das Modell von dem hier wie auch bei der Rechnung ausgegangen wird, ist allerdings wenig realistisch: Regen geht einerseits meist mit Wind einher. Dieser kann zudem von allen Seiten wehen. Auch die Art des Regens, d. h. seine Stärke oder sind es kleine oder große Tropfen, müssen in die Überlegungen einfließen. Die hier gefragten Physiker wie Meteorologen sind nahezu einhellig der Meinung, dass die Einflussfaktorenganz einfach zu mannigfaltig sind, das Problem praktisch nicht berechenbar ist.

Für den US-Mathematiker Bruce Torrence, also jemanden der gewohnt ist, in Strukturen und Modellen zu denken, liegt die Krux darin, dass keines der Modelle mit menschlichen Körperformen arbeitet, sondern mit dem beschriebenen Quader. Auch er resümiert: „Prinzipiell sollt man immer so schnellt wie möglich laufen“.

Natürlich haben Forscher, zwei US-amerikanische Meteorologen, auf einer 100-m-Teststrecke längst den Praxistest gemacht und einen signifikanten Vorteil für den Läufer gegenüber dem langsam Gehenden ermittelt.

Auf eine sehr praxisnahe Lösung kommen schließlich Wissenschaftler der Royal Astronomical Society, London: Alternativ sollte man anstatt lange zu überlegen doch einen Schirm mitnehmen.

Zündschnur

Bankräuber wollen das Gefängnis in die Luft sprengen, um ihren Kumpel zu befreien.

Beim letzten Banküberfall hat ihn ein von der Explosion herumfliegendes Teil erwischt, weil er nicht schnell genug weglaufen konnte.

Abbrandgeschwindigkeit der Zündschnur: 50 cm/s

Aus leidiger Erfahrung ist ihnen bekannt, dass die Explosionsreste bis zu 30 m weit umherfliegen.

Ein Bankräuber kann mit bis zu 5 m/s wegrennen.

Wie lang muss die Zündschnur mindestens sein, damit diesmal keiner erschlagen wird?

Antwort

Die Antwort lautet: 3 m.

Der Räuber benötigt für die 30 m-Strecke die Zeit

Damit die Zündschnur mindestens diese 6 Sekunden lang brennt, muss sie3 Meter lang sein.

Zwischen Radlern

Nun eine klassische Frage.

Googelt man nach „Fahrrad“ und „Biene“ oder „Fliege“ finden sich u. a. Foren, in denen Hilfe zur Beantwortung folgendes Problems gesucht wird:

Nehmen wir Fliegen. Unser Mitleid über das Ende einer Landfliege dürfte sich in Grenzen halten.

Zwei Radler kommen sich entgegen. Die von links Kommende fährt mit 15 km/h, ihr Gegenüber tritt ebenfalls bei 15 km/h. Als die beiden Fahrräder 30 km voneinander entfernt sind, startet die Fliege vom linken Fahrrad mit 25 km/h Richtung rechtes Fahrrad. Wenn die Fliege das Vorderrad des rechten Fahrrades berührt, dreht sie sofort um und fliegt wieder zum linken Fahrrad zurück. Die Flüge hin und her werden immer kürzer bis die Fahrräder zusammenstoßen und die Fliege zerquetscht wird.

Welche Gesamtstrecke hat die Fliege bei ihren Hin- und Rückflügen bis zu ihrem Ende zurückgelegt?

7,5 km

15 km

25 km

nicht mit einfachen Methoden zu lösen

Antwort

Die Antwort lautet: c) 25 km

Wer am Ende dann d) gewählt hat, hat sich vielleicht an einer detaillierten und in der Tat etwas komplizierteren Lösung der Aufgabe versucht. Die Strecken, die die Fliege zwischen den Rädern zurücklegt werden immer kürzer, Richtungswechsel zum Ende hin immer häufiger. Summiert man all diese Einzelstrecken zusammen, erhält man die 25 km Gesamtstrecke.

Betrachtet man sich das Ganze mit Abstand, geht es auch viel einfacher.

Der Schlüssel ist die Zeit, nämlich die Rest-Lebenszeit der Fliege. Die Radler begegnen sich mit der Relativgeschwindigkeit von 30 km/h. Bis zu ihrem unglücklichen Zusammenstoß dauert es also genau eine Stunde. Solange lebt die Fliege also noch, und solange kann sie noch fliegen. Dabei legt sie bei ihrer Fluggeschwindigkeit von 25 km/h eben 25 km zurück.

Kick it like Daddy

Wenn Vater von der Arbeit nach Hause kommt, hat er bis zum Abendessen oft noch eine Viertelstunde Zeit, um mit seinem Sohn noch ein bisschen herumzutoben. Der Junge spielt gerne Fußball und so trippeln sie meist den schönen breiten Weg entlang, einmal ums kleine Wäldchen herum.

Vom Bewegungsmangel heutiger Schulkinder weiß er natürlich und schließt seinen Sohn nicht unbedingt davon aus. Er will daher, dass sich sein kleiner Kickpartner in der Viertelstunde so viel bewegt wie möglich und überlegt sich, wie er dazu wohl seine Pässe am besten schlagen muss:

immer nach vorne in die Richtung, in die er selber läuft

immer nach hinten, so dass der Sohn jedes Mal noch das Stück mehr laufen muss, da auch er selber zwischenzeitlich weiter läuft

es ist egal, wie und wohin er den Ball schlägt (außer natürlich in den Graben)

Antwort

Die Antwort lautet: c)

Es ist egal, da es hier nicht auf die Einzelstrecken ankommt, sondern auf die Gesamtzeit, die sich der Junge mit seiner typischen Laufgeschwindigkeit bewegt. Ob er dabei erst das Stück nach vorne laufen muss und mit dem Ball das kürzere Stück dem Vater entgegen, oder ob er zunächst die gleiche Strecke nach hinten zu laufen hat und dann mit dem Ball dem Vater hinterher, ist egal. Er läuft abwechselnd mit und ohne Ball eben die Viertelstunde lang.

Wer sich anders entschieden hat, dachte vielleicht an die längste Einzelstrecke: Dann wäre b) die richtige Antwort

Wieder einmal ist also die Zeit der Schlüssel für die Lösung...

Bewegung – Was ist das?

„Wie Bewegung?“, fragen Sie sich jetzt vielleicht. Ein beliebiger Körper bewegt sich von einem Ort A zu einem Ort B, ganz einfach. In den zurückliegenden Fragen haben wir zur Beschreibung dieses Vorgangs Begriffe wie Strecke s, Geschwindigkeit υ und Beschleunigung a eingeführt. Für die Philosophen der klassischen Antike hatte die Naturbeobachtung eine zentrale Bedeutung. So suchte man auch nach einer schlüssigen Erklärung dafür, was Raum, Zeit und Bewegung überhaupt ausmacht.

Eine zugrunde liegende Vorstellung war, dass jeder Körper seinen „natürlichen“ Ort hat. Diesen strebt er an, indem z. B. schwere Körper nach unten sinken oder fallen und leichte Körper nach oben steigen. Außerdem „ruht“ schließlich ein Körper an seinem Ort.

Die Naturphilosophen hielten noch eine weitere, aus heutiger Sicht fast unverständliche Beschränkung für richtig: Greift der Mensch ein, stört er die natürliche, kontinuierliche Bewegung aller Dinge hin zu ihrem eigentlichen Ort, und bringt so nichts in Erfahrung. Durch Technik, heute sollte man sagen durch Experimente, kann man keine physikalischen Erkenntnisse erlangen, diese stört eben die natürlichen Abläufe. Deshalb wurde zunächst über Bewegung nachgedacht.

Für den Griechen Zeno von Elea, der bereits im 5. Jh. v. Chr. über das Verhältnis von Raum, Zeit und Bewegung philosophierte, tat sich ein unlösbarer Widerspruch auf:

Aus der Annahme, dass alle Körper ihren natürlichen Ort haben, fasst Zeno Bewegung als Abfolge unbewegter „ruhender“ Einzelbilder auf (im Prinzip wie bei einem Film, [13] S. 26). Ein Gegenstand nimmt ihm zufolge ohne Frage zu einem bestimmten Zeitpunkt einen ganz bestimmten Ort ein. Er kann nicht gleichzeitig an verschiedenen Orten sein. Die Frage, wie ein Körper von einem Ort A nach B gelangt, also zwischen zwei Ruheorten wechselt, ließ er außen vor. Alle Betrachtungen hierüber führten zwangsläufig zur Unendlichkeit oder unendlich kleinen Intervallen, was man zur damaligen Zeit logisch nicht ganz schlüssig fassen konnte. Der Ortswechsel geschieht einfach.

Um philosophisch zu beweisen, dass Bewegung nicht möglich sei, erdachte sich Zeno einige Paradoxien. Das bekannteste ist das vom schnell laufenden Achill und der langsamen Schildkröte. Achill räumt der Schildkröte einen Vorsprung ein und versucht dann, sie einzuholen. Dazu muss er zuerst den Punkt erreichen, an dem die Schildkröte gestartet ist. In dieser Zeit hat die Schildkröte jedoch bereits einen neuen Punkt erreicht. Bis Achill dorthin gelangt, ist die Schildkröte erneut ein Stück weiter. Dies setzt sich unendlich fort.

Das Problem Zenos läuft darauf hinaus, wie wir uns von einem einzelnen „ruhenden“ Filmbild zum nächsten bewegen. Zeno konnte sich aber keine kontinuierliche, stetige Bewegung vorstellen, und schloss deshalb, dass Achill die Schildkröte nie einholen kann. Da man sich Bewegung also gar nicht widerspruchsfrei denken konnte, gibt es sie in Wahrheit nicht.

Nun kann aber jeder Mensch sehen, wie sich die Dinge um ihn herum bewegen. Aristoteles (vgl. Kasten unten) formulierte über 100 Jahre später eine Interpretation, die sich fast zwei Jahrtausende hielt, bis Galilei und andere die neuzeitliche Physik begründeten.

Auch Aristoteles hielt daran fest, dass jeder Körper einen bestimmten Raum und eine bestimmte Zeit beansprucht. Er war aber überzeugt, dass Zenos Vorstellung von Bewegung als ein „Film“ falsch war: Für ihn war Bewegung ein kontinuierlicher Fluss von untrennbaren Ruhemomenten. In Wirklichkeit bleibt Achill nicht unendlich oft stehen, sondern läuft stetig weiter und überholt schließlich die Schildkröte. Aristoteles sah Bewegung letztlich als ein Ganzes, vom Anfang zum Ende. Achill passiert beim Einholen der Schildkröte zwar diese unendlich vielen Punkte, sie spielen für die Bewegung an sich aber keine Rolle. Nach dieser Logik soll Bewegung also möglich sein.

Die Frage der unendlichen Teilbarkeit von Raum und Zeit wird nicht beantwortet. Aristoteles nimmt Bewegung letztlich doch als Ganzes war, als kontinuierlichen Übergang von A nach B. Wie der eigentliche Grenzübergang nach Unendlich logisch zu beherrschen ist, interessiert auch ihn nicht wirklich.

Dies gelingt erst mit dem Aufkommen der modernen Naturwissenschaft den theoretischen Physikern bzw. Mathematikern Newton und Leibniz mit der sogenannten Infinitesimalrechnung.

Wenn es weiter unten um Kraft bzw. die Newtonschen Bewegungsgesetze geht, stößt man bei den Wissenschaftlern der Antike auf weitere, fast schon kuriose Erklärungen wie für die Bewegung des gewöhnlichen Wurfes (z. B. eines Steins). [13] Kapitel 1, [10]

Aristoteles

Aristoteles war der bedeutendste Philosoph und Naturforscher der Antike. Geboren 384 v. Chr. in Mazedonien wurde er Schüler Platons. In den Jahren 342/41 war er Erzieher Alexander des Großen. Außerdem war er als großer Rhetoriker bekannt. Er starb 322 v. Chr.

Aristoteles forderte mit Nachdruck, dass Theorien und Meinungen über Mensch und Natur mit den Sinneswahrnehmungen übereinstimmen sollten. Diese sich abzeichnende und von ihm klar formulierte Zeitenwende im Denken hatte insbesondere großen Einfluss auf die „Physik“ (griech. für Ursprung). Aus seiner Lehre der vier Ursachen: Materie, Form, Wirkungsursache, Zweck (telos) leitet er viele seiner naturwissenschaftlichen Beobachtungen ab, z. B. die oben erläuterte Auffassung von Bewegung oder weiter unten zum Kraftbegriff, vgl. Kuriose Kraft. Mit Physik, wie wir sie heute verstehen, haben die Erkenntnisse des Aristoteles allerdings wenig gemein.

Bekannt ist auch seine Lehre der fünf Elemente: Erde, Wasser, Luft, Feuer sowie der Quintessenz. Dieses 5. Element ist der Äther jenseits der Mondphase, in dem sich das von den irdischen Bewegungen losgelöste göttliche und unendliche Kreisen der Planeten und Gestirne abspielt.

Seine physikalisch-naturwissenschaftlichen Schriften werden später als Metaphysik zusammengefasst. Seine immense Autorität ließ sein Wissen quasi zum Dogma werden und verhinderte u. a., dass sich das heliozentrische Weltbild schon früher durchsetzen konnte.

Durchschnittlich

seine Anfangsgeschwindigkeit

seine durchschnittliche Geschwindigkeit

seine Endgeschwindigkeit?

Antwort

Nur, wenn das Fahrzeug die vollen 100 Meter mit konstanter Geschwindigkeit fährt, wären auch die Antworten a) und c) richtig.

25 m/s entsprechend übrigens 90 km/h – durchschnittlich schnell eben.

Rechnung:

Gleichförmige und ungleichmäßige Verschiebung

Was etwas umständlich zu beschreiben ist, löst man mathematisch elegant mit der Integration. Siehe dazu unten im gleichnamigen Kasten.

Nochmal durchschnittlich

Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist oben unter „Begriffe“ definiert als der zurück-gelegte (Gesamt-) Weg dividiert durch die dafür benötigte Zeit. Die Formel dazu lautet:

Daran ändert sich auch nichts, wenn man folgenden Fall betrachtet.

Ein Rennfahrer dreht zwei gemächliche Trainingsrunden. Die erste Runde der Länge s Kilometer hat er mit 40 km/h zurückgelegt. Wie schnell muss er die zweite Runde fahren, um auf eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h zu kommen?

80 km/h

100 km/h

120 km/h

Antwort

Die Antwort lautet: c) 120 km/h, also deutlich schneller.

Fährt ein Auto die halbe Strecke, hier die erste Runde, mit Tempo 40 und die andere Hälfte mit Tempo 80, dann beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit nicht etwa 60, sondern nur gut 50 km/h. Um also die Durchschnittsgeschwindigkeit merklich zu steigern, muss man in einen folgenden Streckenabschnitt deutlich schneller fahren.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet sich nämlich nicht einfach nach dem arithmetischen Mittel, d. h. zu , sondern leicht anders:

Das Rennauto fährt die erste Runde der Strecke mit der konstanten Geschwindigkeit υ1 (hier: 40 km/h) in der Zeit t1 und die zweite mit der der hier gesuchten υ2 in der Zeit t2. Die durchschnittliche Geschwindigkeit lautet:

eingesetzt ergibt die Durchschnittsgeschwindigkeit:

Diese Formel ist das harmonische Mittel der beiden Geschwindigkeiten v1 und v2, siehe dazu auch den Kasten „Im Mittel“. Würden nicht jeweils gleich lange Strecken durchfahren, ergäbe sich eine leicht abgewandelte Formel.

Berechnung der Geschwindigkeit von Runde 2

Auch die Berechnung ergibt die auf den ersten Blick recht hoch erscheinende Geschwindigkeit für die zweite Runde.

Das t-υ-Diagramm zeigt, warum υ2 so hoch sein muss – und klärt vielleicht, wo es bei dem einen oder anderen hakt.

Ja, aber nur eines, für das auch die Durchschnittsgeschwindigkeit vD exakt 60 km/h wird.

Die Durchschnittgeschwindigkeit eines Leichtathleten, der einige Läufe über die gleiche Distanz absolviert, errechnet sich also mit dem harmonischen und nicht einfach mit dem arithmetischen Mittel.

!Im Mittel

Mittelwerte, wie die Durchschnittsgeschwindigkeit der letzten beiden Fragen, sind von ausgesprochener Bedeutung in allen wissenschaftlichen Disziplinen. Früher wurden sie auch als Durchschnittswerte bezeichnet.

Der Mittelwert ist ein Begriff aus dem Gebiet der Statistik. Im Prinzip wird auf unterschiedliche Weise die Summe oder das Produkt aller gemessenen Werte gebildet und durch ihre Anzahl geteilt. Das Ergebnis liegt zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Einige Mittelwerte sollen hier näher beleuchtet werden. Die einzelnen Werte werden mit xi, der Mittelwert dann mit bezeichnet:

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist der gängigste und einfachste Mittelwert. Es errechnet sich aus der Summe aller Werte dividiert durch ihre Anzahl:

Definition:

Bei allen Mittelwertbildungen sind für zum Teil sehr viele Werte Additionen bzw. Multiplikationen auszuführen. Für die Summe etwa gibt es diese kompakte Schreibweise:

Σ ist das große griechische Sigma und soll für Summe stehen.

Es ist der klassische Mittelwert, der zur Berechnung aller gängigen Durchschnittwerte herangezogen wird. Insbesondere liefert er das Mittel aus mehreren Messwerten, welches schließlich als „wahre“ Größe genommen wird. Einfach mal verwenden kann auch schief gehen, wie in der Frage Nochmal durchschnittlich zu sehen ist: Das arithmetische Mittel liefert nur dann die Durchschnittgeschwindigkeit, wenn über gleiche Zeiten gemessen wird. Oft sollen aber gleiche Strecken verglichen werden. Dafür ist das harmonische Mittel geeignet, siehe auch unten.

Geometrisches Mittel

Auch zur Bestimmung des Zinseszins oder der Wertsteigerung von Wertpapieren wird das geometrische Mittel herangezogen.

Definition:

Ein eher praktisches Beispiel. Die Rohrdurchmesser z. B. von Abflussrohren wachsen mit jeder Stufe um einen bestimmten Faktor und nicht um einen konstanten (arithmetischen) Wert. Von z. B. sechs Rohren hat das kleinste 20 mm und das größte 200 m Durchmesser. Es gilt dazwischen vier Rohre einzupassen, von 20 mm soll in fünf Stufen ein Durchmesser von 200 mm erreicht werden.

Bei arithmetischer Stufung ist der prozentuale Zuwachs des Durchmessers sehr unausgeglichen. Vom 1. Zum 2. Rohr springt er um 180 %, vom 5. zum 6. Rohr wären es nur noch 22%, s. Abb., links. Bei Rohren ist der Durchfluss interessant. Dieser springt einmal um 324% bzw. um nur noch knapp 5%.

Dagegen ist der prozentuale Zuwachs des Durchmessers bei geometrischer Abstufung von Rohr zu Rohr derselbe, nämlich das 1,585-fache oder 58,5%. Schon rein anschaulich zeigt die Abbildung rechts, dass die Rohrdurchmesser gleichmäßiger ansteigen.

Quadratisches Mittel

In der Technik hat das quadratische Mittel große Bedeutung bei periodisch veränderlichen Größen. Der arithmetische Mittelwert einer um den Nullpunkt schwankenden Größe wäre exakt Null. Positive und negative Werte heben sich gegenseitig auf. Dies ist natürlich sinnlos, denn eine Größe wie der Wechselstrom, bei dem Strom und Spannung ständig die Richtung (+/-) wechseln, zeigt ja effektiv eine Wirkung. Für die Bewertung von Spannungs-, Strom- und Leistungswerten wird daher der quadratische Mittelwert genutzt. Er liefert die sogenannten Effektivwerte.

Definition:

Allgemein ist das quadratische Mittel zur Angabe des Grades der Abweichung von Werten um ihren Mittelwert von Bedeutung. Indem die Quadrate zur Berechnung herangezogen werden, können sich einzelne positive und negative Abweichungen nicht gegenseitig egalisieren.

Harmonisches Mittel

Sollen zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit Messwerte, die über gleiche Strecken ermittelt wurden, benutzt werden, muss das harmonische Mittel herangezogen werden. Näheres steht dazu in der Frage Nochmal durchschnittlich. Der Vollständigkeit halber hier die allgemeine

Definition:   

oder:   

Es gibt noch zahlreiche Mittelwertdefinitionen, insbesondere für statistische Zwecke. Interessant sind auch die geometrischen oder ästhetischen Interpretationen.

Von Bedeutung sind noch die gewichteten Mittelwerte