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- Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: ...für Dummies
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2020
Die Quantenmechanik ist ein zentrales, wenn auch von vielen Studierenden ungeliebtes Thema der Physik. Aber keine Panik! Dieses Buch erklärt Ihnen freundlich, verständlich, kompetent, was Sie über Quantenmechanik wissen müssen. Es erläutert die Grundlagen von Drehimpuls und Spin, gibt Ihnen Tipps, wie Sie komplexe Gleichungen lösen, und nimmt den klassischen Problemen der Quantenmechanik den Schrecken. Zahlreiche, ausführlich erklärte Beispiele geben Ihnen zusätzliche Sicherheit auf einem vor Unschärfen und Wahrscheinlichkeiten wimmelnden Feld.
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Seitenzahl: 331
Ähnliche
Quantenmechanik für Dummies
Schummelseite
DER HAMILTON-OPERATOR
Eine der wichtigsten Aufgaben der Quantenmechanik ist die Berechnung der Energieniveaus eines Systems. Der Energieoperator, der auch Hamilton-Operator genannt wird, liefert die Gesamtenergie. Das Auffinden der Energieniveaus eines Systems reduziert sich darauf, die Eigenwerte folgender Gleichung zu finden:
In Matrixform lautet diese Gleichung:
DIE HEISENBERG'SCHE UNSCHÄRFERELATION
Die Heisenberg'sche Unschärferelation besagt: Je genauer man den Ort eines Teilchens kennt, desto weniger genau kennt man seinen Impuls und umgekehrt. In x-Richtung sieht das zum Beispiel wie folgt aus:
wobei Δx die Messunschärfe der Position eines Teilchens in x-Richtung ist, Δpx die Unschärfe des Impulses in x-Richtung und ℏ = h/2π.
Dies gilt ebenso für die anderen beiden Raumrichtungen:
DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Die Schrödinger-Gleichung beschreibt die Energien und wahrscheinlichen Aufenthaltsorte von Elektronen. Die Quantenmechanik in diesem Buch beschäftigt sich vor allem damit, diese Differenzialgleichung für verschiedene Potenziale V(r) zu lösen:
DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG IN DREI DIMENSIONEN
SPINOPERATOREN UND IHRE KOMMUTATOREN
Die Kommutatoren-Beziehungen für die Drehimpulsoperatoren Lx, Ly und Lz
Quantenmechanik für Dummies
Bibliografische Informationder Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
3. Auflage 2020© 2020 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimDie 1. und 2. Auflage dieses Buchs erschienen unter dem Titel »Quantenphysik für Dummies«.
Original English language edition Quantum Physics For Dummies © 2013 by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.
Copyright der englischsprachigen Originalausgabe Quantum Physics For Dummies © 2013 by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.
Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.
Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.
Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Print ISBN: 978-3-527-71732-3ePub ISBN: 978-3-527-82711-4
Coverfoto: © kseniyaomega – stock.adobe.comKorrektur: Birgit Volk, Bonn
Über den Autor
Steven Holzner ist preisgekrönter Autor wissenschaftlicher und technischer Bücher (zum Beispiel Physik für Dummies und Differenzialgleichungen für Dummies). Er studierte Physik am Massachusetts Institute for Technology (MIT) und promovierte an der Cornell University. Er unterrichtete mehr als zehn Jahre lang an der Cornell und an Unternehmen überall in den Vereinigten Staaten.
Widmung
Für Nancy natürlich.
Inhaltsverzeichnis
Cover
Über den Autor
Widmung
Einleitung
Über dieses Buch
Festlegungen in diesem Buch
Törichte Annahmen über den Leser
Aufbau dieses Buchs
Symbole in diesem Buch
Wie geht es weiter?
Teil I: Ist die Welt nicht klein? Die Grundlagen
Kapitel 1: Entdeckungen und wesentliche Grundlagen der Quantenmechanik
Wie alles begann: Der Ärger mit der Strahlung schwarzer Körper
Stück für Stück: Licht als Teilchen
Eine doppelte Identität: Die Wellennatur von Teilchen
Man kann nicht alles wissen (aber die Wahrscheinlichkeiten berechnen)
Die Heisenberg'sche Unschärferelation
Die Würfel rollen: Quantenmechanik und Wahrscheinlichkeiten
Kapitel 2: Eine ganz neue Welt: Die Quantenmechanik
Was ist Quantenmechanik?
Die Schrödinger-Gleichung und die Wellenfunktion
Zustände und Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik
Die Darstellungsweise
Die Lösung quantenmechanischer Probleme
Die Quantenmechanik und die folgenden Kapitel
Kapitel 3: Willkommen in der Matrix: Zustände und Operatoren
Vektoren im Hilbert-Raum
Mit Dirac wird das Leben einfacher
Sie bringen die Physik ins Spiel: Operatoren
Adjungierte und hermitesche Operatoren
Tauschen für Fortgeschrittene: Kommutatoren
Bei null starten und bei Heisenberg enden
Eigenvektoren und Eigenwerte: Natürlich sind sie eigenartig!
Hin und wieder zurück: Inverse und unitäre Operatoren
Vergleich zwischen Matrix- und kontinuierlicher Darstellung
Teil II: Gebunden, aber unbestimmt: Teilchen in gebundenen Zuständen
Kapitel 4: Ein Blick in den Potenzialtopf
Gefangen zwischen 0 und
a
Endlich tiefe Potenzialtöpfe
Gebundene Teilchen in unendlichen rechteckigen Potenzialtöpfen
Endliches Potenzial: Jetzt wird es interessant
Mit dem Teilchen durch die Wand
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ungebundene Teilchen
Das Wichtigste von Kapitel 4 noch einmal in Kürze
Kapitel 5: Immer hin und her mit dem harmonischen Oszillator
Die Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator
Harmonisch schwingende Matrizen
Klassische und quantenmechanische Oszillatoren
Das Wichtigste von Kapitel 5 noch einmal in Kürze
Teil III: Alles dreht sich: Drehimpulse und Spin
Kapitel 6: Drehimpuls auf Quantenniveau
Quantisiertes Kreisen
Die Kommutatoren von
L
x
,
L
y
und
L
z
Die Eigenzustände des Drehimpulses
Die Eigenwerte des Drehimpulses
Die Eigenwerte von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Drehimpuls und Matrixdarstellung
Eine runde Sache: Übergang zu Kugelkoordinaten
Das Wichtigste von Kapitel 6 noch einmal in Kürze
Kapitel 7: Die spinnen, die Quanten …
Der Stern-Gerlach-Versuch und der fehlende Strahl
Der Spin und seine (Eigen-)Zustände
Halbe und Ganze: Fermionen und Bosonen
Spinoperatoren: Es wird formal
Spin-1/2-Teilchen und Pauli-Matrizen
Das Wichtigste von Kapitel 7 noch einmal in Kürze
Teil IV: Die dritte Dimension
Kapitel 8: Mit Ecken und Kanten: 3D-Probleme in rechtwinkligen Koordinaten lösen
Die Schrödinger-Gleichung: Jetzt in 3D-Qualität!
Freie Teilchen im Raum
Dreidimensionale Kästen
Der dreidimensionale harmonische Oszillator
Das Wichtigste von Kapitel 8 noch einmal in Kürze
Kapitel 9: Zum Kugeln: 3D in sphärischen Koordinaten
Zentralpotenziale im Dreidimensionalen
Freie Teilchen im Dreidimensionalen in Kugelkoordinaten
Das sphärisch symmetrische »Kasten«-Potenzial
Das Wichtigste von Kapitel 9 noch einmal in Kürze
Kapitel 10: Die Krönung: Berechnung des Wasserstoffatoms
Die Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom
Vereinfachung und Separation
Die Lösung für
ψ
(
R
)
Die Lösung für
ψ
(
r
)
Die Energieentartung beim Wasserstoffatom
Catch me, if you can: Der Aufenthaltsort des Elektrons
Das Wichtigste von Kapitel 10 noch einmal in Kürze
Teil V: Immer was los mit vielen Teilchen
Kapitel 11: Viele identische Teilchen
Vielteilchensysteme im Allgemeinen
Ein äußerst hilfreiches Werkzeug: Austauschsymmetrie
Systeme mit unterscheidbaren Teilchen
Mit identischen Teilchen jonglieren
Wellenfunktionen symmetrisch oder antisymmetrisch machen
Besetzt! – Das Pauli-Prinzip
Das Periodensystem der Elemente
Das Wichtigste von Kapitel 11 noch einmal in Kürze
Kapitel 12: Nah dran: Störungstheorie
Die zeitunabhängige Störungstheorie
Störungstheorie für nicht entartete Ausgangszustände
Die Störungstheorie im Test: Harmonische Oszillatoren in elektrischen Feldern
Störungstheorie für entartete Hamilton-Operatoren
Test der entarteten Störungstheorie: Wasserstoff in elektrischen Feldern
Das Wichtigste von Kapitel 12 noch einmal in Kürze
Kapitel 13: Treffen sich zwei Teilchen: Streutheorie
Teilchenstreuung und Wirkungsquerschnitt
Schwerpunktsystem oder Laborsystem?
Die Streuamplitude von spinlosen Teilchen
Die Wellenfunktion des einfallenden Teilchens
Die Wellenfunktion des gestreuten Teilchens
Rettung der Wellengleichung: Die Born'sche Näherung:
Das Wichtigste von Kapitel 13 noch einmal in Kürze
Teil VI: Der Top-Ten-Teil
Kapitel 14: Zehn Webseiten zur Quantenmechanik
Elektronen und Photonen aus Ulm
Quanten.de
Joachims Quantenwelt
Visual Quantum Mechanics
HydrogenLab
MILQ
Physik multimedial
Quantum Mechanics Tutorial
Leifi Physik
HyperPhysics
Kapitel 15: Zehn Highlights der Quantenmechanik
Welle-Teilchen-Dualismus
Der photoelektrische Effekt
Entdeckung des Spins
Unterschiede zwischen den Newton'schen Gesetzen und der Quantenmechanik
Die Heisenberg'sche Unschärferelation
Der Tunneleffekt
Diskrete Atomspektren
Der harmonische Oszillator
Potenzialtöpfe
Schrödingers Katze
Glossar
Stichwortverzeichnis
End User License Agreement
Illustrationsverzeichnis
Kapitel 1
Abbildung 1.1: Ein Hohlraum mit sehr kleinem Loch ist ein so gut wi...
Abbildung 1.2: Zwei Ansätze für das Spektrum eines schwarzen Körper...
Abbildung 1.3: Der photoelektrische Effekt
Abbildung 1.4: Kinetische Energie
E
kin
der emittierten Elektronen a...
Abbildung 1.5: Licht fällt auf ein ruhendes Elektron
Abbildung 1.6: Photonenstreuung an einem Elektron
Abbildung 1.7: Ein Elektronenstrahl passiert eine Doppelspaltanordn...
Kapitel 2
Abbildung 2.1: a) Potenzialtopf, b) Potenzialstufe, c) Potenzialbar...
Abbildung 2.2: Rechtwinklige Koordinaten (links) und Kugelkoordinat...
Kapitel 4
Abbildung 4.1: Ein rechteckiger Potenzialtopf
Abbildung 4.2: Ein anderer Potenzialtopf
Abbildung 4.3: Wellenfunktionen in einem unendlichen rechteckigen P...
Abbildung 4.4: Eine Potenzialstufe, wenn die Teilchenenergie
E
>
V
0
Abbildung 4.5: |
ψ
(
r
)|
2
für eine Potenzialstufe mit
E
>
V
0
Abbildung 4.6: Eine Potenzialstufe mit
E
<
V
0
Abbildung 4.7: |
ψ
(
r
)|
2
für eine Potenzialstufe mit
E
<
V
0
Abbildung 4.8: Eine Potenzialbarriere mit
E
>
V
0
Abbildung 4.9: |
ψ
(
r
)|
2
für eine Potenzialbarriere mit
E
>
V
0
Abbildung 4.10: Eine Potenzialbarriere mit
E
<
V
0
Abbildung 4.11: |
ψ
(
x
)|
2
für eine Potenzialbarriere mit
E
<
V
0
Abbildung 4.12: Ein Gauß'sches Wellenpaket
Kapitel 5
Abbildung 5.1: Der Grundzustand eines quantenmechanischen harmonisc...
Abbildung 5.2: Der erste angeregte Zustand eines quantenmechanische...
Abbildung 5.3: Der zweite angeregte Zustand eines quantenmechanisch...
Abbildung 5.4: Ein Proton in harmonischer Oszillation
Abbildung 5.5: Vergleich von klassischem und quantenmechanischem ha...
Abbildung 5.6: Vergleich der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten von kl...
Kapitel 6
Abbildung 6.1: Eine sich drehende Scheibe mit dem Drehimpulsvektor
Abbildung 6.2:
L
und
L
z
Abbildung 6.3: Ein rotierendes zweiatomiges Molekül
Abbildung 6.4: Das Kugelkoordinatensystem
Kapitel 7
Abbildung 7.1: Der Stern-Gerlach-Versuch
Abbildung 7.2: Betrag des Spins und seine Lage bezüglich der
z
-Achs...
Kapitel 8
Abbildung 8.1: Ein freies Teilchen im Dreidimensionalen
Abbildung 8.2: Ein dreidimensionales Kastenpotenzial
Abbildung 8.3: Ein harmonischer Oszillator
Kapitel 9
Abbildung 9.1: Das Kugelkoordinatensystem
Kapitel 10
Abbildung 10.1: Das Wasserstoffatom
Abbildung 10.2: Die radiale Wellenfunktion
R
10
(
r
)
Abbildung 10.3: Die radiale Wellenfunktion
R
20
(
r
)
Abbildung 10.4: Die radiale Wellenfunktion
R
21
(
r
)
Abbildung 10.5: Der Zustand |1,0,0〉
Abbildung 10.6: Der Zustand |4, 3, 2〉
Abbildung 10.7: Der Zustand |2,1,1〉
Kapitel 11
Abbildung 11.1: Ein Vielteilchensystem
Abbildung 11.2: Ein Mehrelektronenatom
Abbildung 11.3: Zwei Elektronen sind zusammengestoßen …
Abbildung 11.4: … oder war es so?!
Kapitel 12
Abbildung 12.1: Ein harmonischer Oszillator
Abbildung 12.2: Ein harmonischer Oszillator in einem elektrischen ...
Kapitel 13
Abbildung 13.1: Streuung an einem Target
Abbildung 13.2: Streuung im Laborsystem
Orientierungspunkte
Cover
Inhaltsverzeichnis
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Einleitung
Die Physik kennt im Allgemeinen keine Grenzen, sie beschäftigt sich sowohl mit ungeheuer großen (zum Beispiel Galaxien) als auch mit winzig kleinen Objekten (Atomen oder noch viel kleineren Teilchen). Dieses Buch handelt von den sehr kleinen Teilchen – das ist das Reich der Quantenmechanik. In diesem Reich sind physikalische Größen quantisiert, eine weitere Unterteilung in kleinere Einheiten ist nicht möglich, es handelt sich um unteilbare (diskrete) Einheiten oder eben Quanten.
Die klassische Physik kann sehr erfolgreich Vorgänge erklären, wie das Erwärmen von Kaffeetassen, das Herunterrutschen von kostbaren Porzellanvasen auf schiefen Ebenen, Zusammenstöße von Autos und Tausende anderer ähnlicher Phänomene. Aber bei sehr kleinen Objekten treten Probleme auf. Die Quantenmechanik beschäftigt sich mit dieser Mikrowelt kleiner Objekte, wie etwa mit einzelnen Elektronen und ihren Bewegungen. Es stellte sich heraus, dass Elektronen sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzen, was Physiker früher sehr verunsichert hat. Man benötigt die Quantenphysik, um diese Erscheinungen zu verstehen.
Die Quantenphysik hat zudem das Unschärfeprinzip eingeführt, das besagt, dass man nicht gleichzeitig den Ort und den Impuls eines Teilchens (oder auch bestimmte andere Größenpaare) genau bestimmen kann. Sie ist zugleich in der Lage, die Energieniveaus von Elektronen, die an ein Atom gebunden sind, zu berechnen. Quantenphysik ist notwendig, wenn man die Realität im Bereich sehr kleiner Objekte verstehen will. Von diesen Themen handelt dieses Buch.
Über dieses Buch
Unschärfen und Wahrscheinlichkeiten sind für die Quantenphysik äußerst wichtig, ebenso die Differenzialrechnung. In diesem Buch werden alle notwendigen Konzepte entwickelt. Allerdings macht es keinen Gebrauch von Gedankenexperimenten, die sich mit halb toten Katzen oder parallelen Universen beschäftigen. Vielmehr liegt der Schwerpunkt des Buches auf der Mathematik, die notwendig ist, um die Quantenwelt zu beschreiben.
Ich habe mehrere Tausend Studenten auf Universitätsniveau in Physik unterrichtet. Daher kenne ich auch die häufigste Klage dieser Studenten: Womit habe ich das verdient?
Quantenphysik für Dummies entspricht in etwa dem Niveau von einführenden Bachelor-Studienkursen, aber das Buch unterscheidet sich von üblichen Lehrbüchern. Es enthält all das, was man wissen sollte, aber nicht mehr. Darüber hinaus versuche ich zu vermitteln, wie Lehrer und Professoren vorgehen, um Probleme einfach erscheinen zu lassen.
Ich empfehle, dieses Buch vom Anfang bis zum Ende zu lesen, aber es ist natürlich auch möglich, sich besonders mit den Themen zu beschäftigen, die einen persönlich interessieren. Wie jedes Für-Dummies-Buch gibt auch dieses dem Leser alle Freiheiten. Man kann die Kapitel in jeder beliebigen Reihenfolge lesen. Dieses Buch wurde für Sie gemacht, und Sie dürfen sich aus dieser Schatzkiste der Quantenphysik bedienen, wie Sie wollen.
Festlegungen in diesem Buch
Es gibt viele Bücher, für die man ein Dutzend oder mehr verwirrende Festlegungen lernen muss, bevor man überhaupt mit dem Lesen beginnen kann. Dies ist hier nicht der Fall. Sie brauchen nur das Folgende zu wissen:
Alle neuen Ausdrücke sind, wenn sie zum ersten Mal erscheinen,
kursiv
gedruckt. Normalerweise folgt anschließend ihre Definition.
Vektoren – also Größen, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung besitzen – sind
fett
gedruckt, zum Beispiel
B
.
Internet-Adressen sind in
Monofont-Schrift
gedruckt.
Törichte Annahmen über den Leser
Ich gehe davon aus, dass Sie nichts oder kaum etwas über Quantenmechanik wissen, wenn Sie beginnen, dieses Buch zu lesen. Allerdings gehe ich von den folgenden Annahmen aus:
Sie besuchen derzeit Unterricht oder eine Vorlesung über Quantenmechanik, oder Sie sind ganz allgemein daran interessiert, wie die Mathematik Bewegungen und Energien im atomaren oder subatomaren Bereich beschreibt.
Sie haben mathematische Vorkenntnisse, insbesondere im Bereich der Differenzialrechnung. Sie müssen kein Profi sein, aber Sie sollten wissen, wie man integriert und einfache Differenzialgleichungen löst. Im Idealfall kennen Sie sich sogar im Hilbert-Raum aus.
Sie verfügen über physikalische Grundkenntnisse. Sie haben Physik in der Oberstufe oder im ersten Studienjahr an der Universität belegt (oder aber
Physik für Dummies
gelesen und verstanden).
Aufbau dieses Buchs
Die Quantenphysik – die Beschäftigung mit sehr kleinen Objekten – ist ein ziemlich umfangreiches Thema. Deshalb wird sie üblicherweise in eine Reihe von Teilgebieten unterteilt. Dementsprechend besteht dieses Buch aus den folgenden Teilen:
Teil I: Ist die Welt nicht klein? Die Grundlagen
Teil I ist der Start der Reise in die Quantenwelt und bietet einen guten Überblick über die Themen der Quantenphysik. Die Quantenphysik wird vorgestellt, ihre Möglichkeiten werden aufgezeigt, und es wird dargestellt, welche Problemstellungen sie lösen kann. Sie werden außerdem mit der für den Rest des Buches notwendigen Mathematik vertraut gemacht, etwa mit Zustandsvektoren und dem Umgang mit Quantenmatrizen. Wenn Sie diese Grundlagen beherrschen, sind Sie für die Teile II bis VI gut vorbereitet.
Teil II: Gebunden, aber unbestimmt: Teilchen in gebundenen Zuständen
Teilchen können innerhalb eines Potenzials gefangen sein; zum Beispiel können Elektronen in einem Atom gebunden sein. Die Quantenphysik kann die Energieniveaus von Teilchen in verschiedenen Potenzialen hervorragend bestimmen; davon handelt Teil II. Sie werden unter anderem lernen, Teilchen zu beschreiben, die in Potenzialtöpfen und harmonischen Oszillatoren gebunden sind.
Teil III: Schwindlig werden mit Drehimpuls und Spin
Auch die Quantenphysik benutzt den Drehimpuls, um Rotationen von Teilchen zu beschreiben. Dazu kommt aber noch der geheimnisvolle Spin. Viele berühmte Experimente – wie etwa den Stern-Gerlach-Versuch, bei dem Teilchenstrahlen in Magnetfeldern aufgespalten werden – kann man nur auf der Grundlage der Quantenphysik verstehen. Alle Einzelheiten werden in diesem Teil vorgestellt.
Teil IV: Die Quantenmechanik wird dreidimensional
Die einleitenden Aufgabenstellungen in Teil II und III wurden eindimensional behandelt, um ihre Lösungen verständlicher zu machen. Im Teil IV werden dreidimensionale Aufgaben vorgestellt, sowohl im kartesischen (rechtwinkligen) als auch im Kugelkoordinatensystem. Dieser Übergang 1D → 3D erlaubt eine viel bessere Beschreibung der wirklichen Welt, die ja alles andere als eindimensional ist. Ein Paradebeispiel dafür ist die vollständige quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms in Kapitel 10.
Teil V: Gruppendynamik mit vielen Teilchen
Dieser Teil behandelt Vielteilchensysteme wie etwa Atome oder Gase. Sie werden lernen, wie sich die vielen Elektronen in einem größeren Atom verhalten, wie Teilchen miteinander wechselwirken und wie Teilchen an anderen Teilchen streuen.
Vielteilchenprobleme stellen einen weiteren Schritt der Annäherung an die wirkliche Welt dar, denn eigentlich haben Systeme mit nur einem Teilchen nicht viel mit dieser Welt zu tun, die aus vielen, vielen Myriaden von Teilchen aufgebaut ist. Teil V handelt davon, wie die Quantenphysik diese Vielteilchenprobleme handhabt.
Teil VI: Der Top-Ten-Teil
Diesen Teil gibt es in allen Für-Dummies-Büchern, er besteht aus Zehnerlisten mit kurz gefassten Informationen. In diesem Buch finden Sie hier zehn wichtige Webseiten über Quantenmechanik und allgemeine Quantenphysik sowie eine Darstellung der zehn wichtigsten Entdeckungen der Quantenwelt.
Symbole in diesem Buch
In diesem Buch tauchen immer wieder einige Hinweissymbole auf, die die folgende Bedeutung haben:
Dieses Symbol markiert wichtige Hinweise, die vor allem für die Lösung von Aufgaben von Bedeutung sind.
Dieses Symbol weist auf Dinge hin, die man sich merken sollte, wie etwa wichtige physikalische Gesetze oder besonders nützliche Gleichungen.
Dieses Symbol bedeutet, dass es sich im Folgenden um Wissen handelt, das sich eher an Experten richtet. Sie müssen es nicht lesen, wenn Sie nicht wollen, aber wenn Sie ein Profi in Quantenphysik werden wollen (und wer will das nicht?), sollten Sie einen Blick riskieren.
Dieses Symbol warnt vor mathematischen Verständnisfehlern.
Wie geht es weiter?
Damit ist an dieser Stelle alles gesagt, und wir können uns auf den Weg ins Quantenreich machen. Sie können an jedem Punkt dieses Buches beginnen. Wenn Sie glauben, dass der Elektronenspin das Partythema am nächsten Wochenende sein wird, beginnen Sie mit Kapitel 7. Wenn Sie Ihre nächsten Ferien in Genf verbringen und dabei auch Ihren Lieblings-Teilchenbeschleuniger – den LHC – besuchen möchten, sollten Sie Kapitel 13 lesen und sich mit Streutheorie beschäftigen. Wenn Sie aber das ganze Thema von Beginn an interessiert, lesen Sie zuerst Kapitel 1: Hier werden die Grundlagen gelegt.
Teil I
Ist die Welt nicht klein? Die Grundlagen
IN DIESEM TEIL …
Arbeitsweise der QuantenphysikProbleme, die die Entwicklung der Quantenphysik ausgelöst habenLösungen dieser ProblemeMathematik, die man für die Quantenphysik benötigtUmgang mit ZustandsvektorenKapitel 1
Entdeckungen und wesentliche Grundlagen der Quantenmechanik
IN DIESEM KAPITEL
Quantisierung: Unteilbare Einheiten
Experimente mit Wellen, die sich wie Teilchen verhalten …
… und mit Teilchen, die sich wie Wellen verhalten
Unschärfe und Wahrscheinlichkeiten
Der klassischen Physik zufolge sind Teilchen Teilchen und Wellen Wellen. Beide haben keine Gemeinsamkeiten. Teilchen besitzen eine Energie E und einen Impulsvektor p, und das ist alles. Dagegen besitzen Wellen, wie beispielsweise Lichtwellen, eine Amplitude A und einen Wellenvektor k, für dessen Betrag |k| = 2π/λ gilt mit der Wellenlänge λ. Der Wellenvektor zeigt in die Richtung, in die sich die Welle fortpflanzt. Und das ist, der klassischen Physik zufolge, auch hier alles.
Aber die Wirklichkeit sieht anders aus: Es zeigt sich, dass Teilchen einen wellenartigen Charakter besitzen können und Wellen einen Teilchencharakter. Hauptsächlich weil uns klar geworden ist, dass Wellen (zum Beispiel Licht) sich wie Teilchen (zum Beispiel Elektronen) verhalten können und umgekehrt, kann die Quantenmechanik heute eine so äußerst wichtige Rolle in der Welt der Physik spielen. Dieses Kapitel wirft einen Blick auf die Herausforderungen, denen sich die Physik zu Beginn des 20. Jahrhunderts gegenübersah, und zeigt, wie die Quantenmechanik diese Herausforderungen nach und nach löste. Bis zu diesem Zeitpunkt war es der klassischen Physik möglich, alles, aber auch alles genau zu erklären. Aber diese vertrackten Experimentalphysiker waren unermüdlich und fanden schließlich eine ganze Reihe von Ergebnissen, die die theoretischen Physiker nicht erklären konnten. Das war für diese natürlich unerträglich, und so machten sie sich an die Arbeit. Die Probleme kamen aus der mikroskopischen Welt, jener Welt, die zu klein ist, als dass man sie sehen könnte. In der üblichen, makroskopischen Welt konnte die klassische Physik fast alles erklären; wenn es aber um Effekte im Zusammenhang mit der Mikrowelt ging, begann sie zu versagen. Wenn man sich dieses Versagen genauer ansieht, erhält man eine gute Einführung in die Quantenmechanik und versteht, warum sie notwendig ist.
Wie alles begann: Der Ärger mit der Strahlung schwarzer Körper
Eine der wesentlichen Neuerungen der Quantenmechanik ist natürlich die Quantisierung – das Auftreten von diskreten, unteilbaren, nicht kontinuierlichen Objekten. Diese Idee der Quantisierung, etwa der Energie, wurde im Zusammenhang mit einer der ersten Herausforderungen der klassischen Physik entwickelt: der Strahlung eines schwarzen Körpers.
Wenn man einen Körper erhitzt, beginnt er zu glühen. Doch auch bevor dieses Glühen sichtbar wird, strahlt der Körper, nämlich im infraroten Bereich des Spektrums. Der Grund für dieses Glühen beim Erhitzen ist, dass Elektronen an der Oberfläche des Materials thermisch angeregt werden und dass beschleunigte oder abgebremste Elektronen Licht aussenden.
Die Physiker beschäftigten sich im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert vor allem mit dem Lichtspektrum, das von sogenannten schwarzen Körpern ausgesendet wird. Ein schwarzer Körper ist ein Stoff, der wie alle anderen Körper seiner Temperatur entsprechend strahlt, aber auch Licht aus seiner Umgebung absorbiert und reflektiert. Um das Problem möglichst einfach zu halten, nimmt die Physik jedoch an, dass ein idealer schwarzer Körper alles einfallende Licht absorbiert und nichts reflektiert (daher der Name schwarzer Körper, denn ein Objekt erscheint vollkommen schwarz, wenn es das gesamte einfallende Licht absorbiert). Wenn man einen schwarzen Körper erhitzt, beginnt er zu strahlen, das heißt, er emittiert Licht.
Es war nicht leicht, einen vollkommen schwarzen Körper zu entwickeln. Denn welches Material absorbiert schon exakt 100 Prozent des einfallenden Lichts und reflektiert überhaupt nicht? Aber Physiker sind zumeist überaus findig, und sie entwickelten Hohlkörper mit einem Loch, wie in Abbildung 1.1 dargestellt.
Wenn nun Licht auf das Loch fällt, wird es in das Innere des Hohlkörpers gelangen, wo es dann wieder und wieder reflektiert wird, bis es schließlich absorbiert wird (nur ein verschwindend geringer Anteil kann wieder durch das Loch entkommen). Genau dies aber ist ein schwarzer Körper: eine Fläche, die Licht verschluckt und nicht reflektiert. Wenn man den Hohlkörper erhitzt, wird sein Inneres zu glühen beginnen, und diese »Temperaturstrahlung« tritt durch das Loch nach außen. Damit ist das Loch tatsächlich eine sehr gute Annäherung an einen vollkommenen schwarzen Körper.
Das Spektrum eines schwarzen Körpers und zwei Versuche, es zu modellieren, sind in Abbildung 1.2 dargestellt.
Abbildung 1.1: Ein Hohlraum mit sehr kleinem Loch ist ein so gut wie idealer schwarzer Körper
Abbildung 1.2: Zwei Ansätze für das Spektrum eines schwarzen Körpers
Der erste Versuch: Das Wien'sche Gesetz
Der Erste, dem es gelang, zumindest einen Teil des Spektrums eines schwarzen Körpers zu erklären, war 1889 Wilhelm Wien. Mithilfe der klassischen Thermodynamik entwickelte er folgende Formel:
Dabei sind A und β Konstanten, die sich aus der experimentellen Anordnung ergeben, ν ist die Frequenz des Lichts und T die Temperatur des schwarzen Körpers. (Das Spektrum ist angegeben durch die Funktion u(ν, T), also die Energiedichte des emittierten Lichts als Funktion der Frequenz und der Temperatur.)
Diese Gleichung, das Wien'sche Verschiebungsgesetz, liefert sehr gute Ergebnisse für hohe Frequenzen, wie in Abbildung 1.2 zu sehen ist. Für niedrige Frequenzen liefert es hingegen zu kleine Werte.
Der zweite Versuch: Das Rayleigh-Jeans-Gesetz
Der nächste Versuch, das Spektrum eines schwarzen Körpers zu erklären, war das Rayleigh-Jeans-Gesetz, das um 1900 entwickelt wurde. Dieses Gesetz beschreibt das Spektrum durch folgende Formel:
Dabei ist k = 1,38 · 10–23 J/K die Boltzmann-Konstante. Allerdings zeigte sich, dass beim Rayleigh-Jeans-Gesetz die Probleme – im Gegensatz zum Wien'schen Gesetz – im Bereich mittlerer und hoher Frequenzen lagen. Während es für niedrige Frequenzen gut mit den beobachteten Daten übereinstimmt (siehe Abbildung 1.2), divergiert es für mittlere und hohe Frequenzen. Dieses Phänomen nannte man die Ultraviolett-Katastrophe, da die beste Beschreibung, die man hatte, bei hohen Frequenzen (also im ultravioletten Bereich) unendlich hohe Energiedichten lieferte. Damit war die Zeit reif für etwas ganz Neues, was sich dann als die Quantenmechanik entpuppen sollte.
Ein intuitiver (Quanten-)Sprung: Das Planck'sche Spektrum
Max Planck machte 1900 einen revolutionären Vorschlag. Was ist, wenn der Betrag an Energie, den eine Lichtwelle mit Materie austauschen kann, nicht kontinuierlich ist, wie es die klassische Physik fordert, sondern nur ganz bestimmte diskret Werte annehmen kann? Mit anderen Worten: Planck behauptete, dass die Energie des Lichts, das von den Wänden des Schwarzkörper-Hohlraums ausgestrahlt wird, nur in nicht weiter unterteilbaren ganzzahligen Vielfachen einer Größe hν auftritt, wobei h eine neue universelle Konstante ist:
Mit dieser Theorie, die am Anfang des 20. Jahrhunderts reichlich verrückt klang, wandelte Planck die in der der Rayleigh-Jeans-Theorie auftretenden kontinuierlichen Integrale über eine unendliche Zahl von Summanden in diskrete Summen um. Durch diese Änderung gelangte Planck zur folgenden Formel für das Spektrum der Strahlung eines schwarzen Körpers:
Diese Gleichung erwies sich als voller Erfolg; sie beschrieb das Spektrum eines schwarzen Körpers genau, sowohl für niedrige als auch für mittlere und hohe Frequenzen.
Das war eine revolutionäre Vorstellung. Planck sagte, dass die Energie strahlender Oszillatoren im schwarzen Körper nicht jeden beliebigen Wert annehmen kann, wie es nach der klassischen Theorie möglich wäre; vielmehr gibt es nur bestimmte Werte, also quantisierte Energien. Planck nahm darüber hinaus an, dass dies für jeden Oszillator gilt; die Energie eines jeden Oszillators beträgt ein ganzzahliges Vielfaches von hν.
In der Folge wurde diese Planck'sche Theorie als Planck'sches Gesetz bekannt. Die Konstante h wiederum wird als Planck'sches Wirkungsquantum bezeichnet: h = 6,626 · 10-34 Js. Die Forderung, dass die Energie aller Oszillatoren quantisiert ist, war die Geburtsstunde der Quantenmechanik.
Man kann sich fragen, wie Planck auf diese Idee kam, da sie keine offensichtliche Lösung ist. Warum sollen Oszillatoren nur mit bestimmten Energien schwingen können? Wie kann man all das erklären? Unabhängig von den Antworten auf diese Fragen: Die Revolution war da, und niemand konnte sie aufhalten.
Stück für Stück: Licht als Teilchen
Licht als Teilchen? Besteht Licht nicht aus Wellen? Es stellte sich heraus, dass Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften aufweisen kann. Der folgende Abschnitt liefert für beides Beweise.
Die Erklärung des photoelektrischen Effekts
Der photoelektrische Effekt war ein weiteres der vielen experimentellen Ergebnisse, die die Krise der klassischen Physik am Beginn des 20. Jahrhunderts auslösten. Seine Erklärung war einer der ersten Erfolge Albert Einsteins; zudem liefert der Effekt einen Beweis für die Quantisierung von Licht. Es ging dabei um Folgendes.
Wenn man ein Metall mit Licht bestrahlt, wie es in Abbildung 1.3 dargestellt ist, werden Elektronen emittiert, denn sie absorbieren das einfallende Licht, und wenn sie genügend Energie aufnehmen, können sie die Metalloberfläche verlassen. Der klassischen Physik zufolge besteht Licht aus Wellen, und diese können jeden beliebigen Energiebetrag mit dem Metall austauschen. Wenn man also ein Stück Metall mit Licht bestrahlt, sollten die Elektronen im Metall das Licht absorbieren, egal, wie schwach die Wellen auch sein mögen, und so nach und nach genügend Energie aufnehmen, um es verlassen zu können. Daraus folgt, dass die kinetische Energie der emittierten Elektronen umso größer sein sollte, je mehr Licht auf das Metall fällt. Bei sehr schwachen Lichtstrahlen sollten nach entsprechend langer Wartezeit ebenfalls Elektronen austreten.
Aber das entspricht nicht den Beobachtungen: Wenn hochfrequentes (»blaues«) Licht auf das Metall fällt, treten wie erwartet Elektronen aus. Wird dagegen niederfrequentes (»rotes«) Licht eingestrahlt, passiert gar nichts, egal, wie lange man wartet. Und die Energie der emittierten Elektronen hängt nur davon ab, wie hoch die Lichtfrequenz ist, nicht aber von dessen Intensität (Abbildung 1.4).
Abbildung 1.3: Der photoelektrische Effekt
Abbildung 1.4: Kinetische Energie Ekin der emittierten Elektronen als Funktion der Frequenz ν des einfallenden Lichts
Dabei wird ν0 Schwellenfrequenz genannt; benutzt man Licht mit einer geringeren Frequenz, werden überhaupt keine Elektronen emittiert. Die emittierten Elektronen stammen aus dem sogenannten freien Elektronengas des Metalls (alle Metalle besitzen ein solches freies Elektronengas). Damit sie aus dem Metall austreten können, muss man ihnen eine Energie zuführen, die man die Austrittsarbeit W des Metalls nennt. Es gilt W = hν0.
Diese Ergebnisse konnte man klassisch nicht erklären. Hier kommt nun Einstein ins Spiel. Das war in seinem großen Jahr 1905. Ermutigt von Plancks Erfolg (siehe den vorangegangenen Abschnitt) forderte Einstein, dass nicht nur Oszillatoren quantisiert sind, sondern auch das Licht selbst: Es besteht demnach aus unteilbaren Einheiten, die man heute Photonen nennt. Licht, so schlug Einstein vor, kann sich sowohl wie ein Teilchen als auch wie eine Welle verhalten.
Nach dieser Vorstellung treffen die Photonen, wenn Licht auf eine Metalloberfläche fällt, auf die freien Elektronen und werden dabei jeweils von einem Elektron absorbiert. Des geschieht aber nur, wenn die Energie hν des Photons größer als die Austrittsarbeit des Metalls ist. Es gilt:
Dabei ist W die Austrittsarbeit des Metalls und Ekin die kinetische Energie des emittierten Elektrons. Auflösen nach Ekin ergibt:
Man kann diese Gleichung auch mithilfe der Schwellenfrequenz ν0 schreiben:
Ganz augenscheinlich ist Licht also nicht nur eine Welle, sondern manchmal verhält es sich auch wie eine Horde Teilchen, die Photonen. Mit anderen Worten: Licht ist quantisiert.
Dieses Ergebnis Einsteins hatte niemand erwartet, obwohl es auf die früheren Arbeiten Plancks zurückgriff. Licht ist also auch quantisiert? Es besteht aus unteilbaren Strahlungseinheiten? Was kommt als Nächstes?
Billard mit Licht: Der Compton-Effekt
Einer Welt, die sich immer noch weigerte, sich Licht als Teilchen vorzustellen (siehe den vorhergehenden Abschnitt), versetzte Arthur Compton mit dem nach ihm benannten Effekt den letzten Schlag. Seine Experimente befassten sich mit der Streuung von Photonen an Elektronen, wie Abbildung 1.5 zeigt.
Abbildung 1.5: Licht fällt auf ein ruhendes Elektron
Licht mit einer Wellenlänge λ fällt auf ein ruhendes Elektron. Dabei wird es gestreut, wie Abbildung 1.6 zeigt.
Der klassischen Physik zufolge sollte Folgendes passieren: Das Elektron absorbiert das einfallende Licht, beginnt zu schwingen und emittiert dann Licht mit der ursprünglichen Wellenlänge und mit einer Intensität, die von der Intensität des einfallenden Lichts abhängt. Aber genau dies wurde nicht beobachtet; vielmehr erhöht sich die Wellenlänge um einen Betrag Δλ, den sogenannten Wellenlängenshift. Das gestreute Licht besitzt also eine größere Wellenlänge λ + Δλ, was mit anderen Worten bedeutet, dass es an Energie verloren hat. Δλ hängt im Übrigen vom Streuwinkel θ ab, nicht aber von der Intensität des einfallenden Lichts.
Abbildung 1.6: Photonenstreuung an einem Elektron
Arthur Compton konnte die Ergebnisse seiner Experimente nur erklären, wenn er annahm, dass er es mit einem ganz klassischen Stoß zwischen zwei Teilchen zu tun hatte, nämlich einem Photon und einem Elektron. Das bedeutet, dass auch er Licht als einzelne Teilchen behandeln musste, nicht als Welle. Wenn Photon und Elektron einen elastischen Stoß ausführten, bei dem sowohl die gesamte kinetische Energie als auch der Gesamtimpuls erhalten bleiben, also das Photon den Impuls aufs Elektron überträgt, kommt die Rechnung hin.
Unter der Annahme, dass Photonen den Impuls p = E/c tragen, konnte Compton die folgende Formel für die Erhöhung der Wellenlänge herleiten (die Ableitung ist sogar ziemlich einfach):
Dabei ist h die Planck'sche Konstante, me die Elektronenmasse, c die Lichtgeschwindigkeit und θ der Streuwinkel. λC = h/mec ist die sogenannte Compton-Wellenlänge. Manchmal wird diese Gleichung auch wie folgt geschrieben:
Es soll an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen werden, dass Compton zur Herleitung dieser Gleichung annehmen musste, dass sich Licht wie ein Teilchen verhält, nicht wie eine Welle. Ein weiteres Mal dominierte der Teilchencharakter von Licht über dessen Wellencharakter.
Das Positron als Beweis? Dirac und die Paarerzeugung
Im Jahr 1928 sagte der Physiker Paul Dirac die Existenz eines positiv geladenen Anti-Elektrons voraus, des sogenannten Positrons. Er arbeitete an einer Erweiterung der sich gerade entwickelnden Quantenmechanik durch Kombination mit der Relativitätstheorie zur sogenannten relativistischen Quantenmechanik. Diese Theorie sagte nun, wenn man mit den Vorzeichen Plus und Minus spielte, die Existenz des Positrons voraus.
Das war eine kühne Vorhersage: ein Antiteilchen des Elektrons? Aber es vergingen nur vier Jahre, bis Physiker das Positron wirklich beobachteten. In der heutigen Zeit können die gut ausgerüsteten Elementarteilchenphysiker verschiedenste Teilchenbeschleuniger benutzen, um all die Elementarteilchen zu erzeugen, die sie gerade benötigen, aber im frühen 20. Jahrhundert sah das ganz anders aus.
Damals mussten die Physiker die kosmische Strahlung als Teilchenquelle benutzen, also die Teilchen und hochenergetischen Photonen (die sogenannten Gamma-Strahlen), die aus dem Weltall auf die Erde treffen. Sie verwendeten Nebelkammern, die mit dem Dampf von Trockeneis gefüllt waren, um die Spuren dieser Teilchen sichtbar zu machen. Wenn man diese Kammern in Magnetfelder brachte, konnte man anhand der Krümmung der Bahnen den Impuls der Teilchen bestimmen.
Im Jahr 1932 beobachtete ein Physiker ein sehr überraschendes Ereignis: Ein Paar von entgegengesetzt geladenen Teilchen (das konnte man anhand der Krümmungen im Magnetfeld feststellen) erschien plötzlich wie aus dem Nichts. Es gab keine Teilchenspur, die zum Entstehungsort der beiden neuen Teilchen führte. Diesen Prozess nennt man Paarerzeugung: die Umwandlung eines hochenergetischen Photons in ein Elektron und ein Positron, zu der es kommen kann, wenn das Photon an einem schweren Atomkern vorbeifliegt.
Die Physiker hatten nun also experimentell beobachtet, wie sich ein Photon in ein Teilchenpaar umwandelt. Mehr Beweise für die Teilchennatur von Licht brauchte man nun wirklich nicht! Später wurde übrigens auch die Paarvernichtung beobachtet: die Umwandlung eines Elektrons und eines Positrons in Licht.
Es stellte sich heraus, dass Paarerzeugung und -vernichtung von Einsteins neuer Relativitätstheorie bestimmt werden. Insbesondere gilt seine berühmte Formel E = mc2, die eine Beziehung zwischen Energie und Masse herstellt. Zu diesem Zeitpunkt verfügte man also über eine Vielzahl von Beweisen für die Teilchennatur von Licht.
Eine doppelte Identität: Die Wellennatur von Teilchen
Im Jahr 1923 schlug der Physiker Louis de Broglie vor, dass nicht nur Wellen Teilchencharakter besitzen, sondern dass umgekehrt auch alle Materie-Teilchen wellenartige Eigenschaften aufweisen.
Wie kann man sich das vorstellen? Ein Photon besitzt den Impuls p = hν/c = h/λ, wobei ν die Frequenz des Photons und λ seine Wellenlänge ist. Sein Wellenvektor k ist k = p/ℏ (mit ℏ = h/2π; sprich »h quer«). De Broglie postulierte, dass die folgenden beiden Beziehungen für alle Teilchen gelten sollten:
De Broglie machte diese augenscheinlich überraschenden Vorschläge in seiner Doktorarbeit. Um sie zu überprüfen und festzustellen, ob sich ein Elektronenstrahl wie ein Teilchen oder wie eine Welle verhält, wurde ein Experiment entwickelt, bei dem ein Elektronenstrahl auf eine Doppelspaltanordnung fällt. Versuchsaufbau und Ergebnisse sind in Abbildung 1.7 dargestellt.
Abbildung 1.7: Ein Elektronenstrahl passiert eine Doppelspaltanordnung
Abbildung 1.7a zeigt einen Elektronenstrahl, der auf einen einzelnen Spalt fällt, sowie die sich auf einem dahinter befindlichen Schirm ergebende Intensitätsverteilung. In Abbildung 1.7b passieren die Elektronen einen zweiten Spalt. Klassisch würde man erwarten, dass sich die Intensitäten aus den Abbildungen 1.7a und 1.7b einfach addieren, wenn beide Spalte offen sind:
Aber genau das passiert nicht. Tatsächlich beobachtet man, wenn beide Spalte offen sind, ein für die Überlagerung von Wellen typisches Interferenzmuster (Abbildung 1.7c) und nicht einfach die Summe der Elektronenintensitäten der Einzelspalte.
Dieses Ergebnis war ein Beweis für de Broglies Annahme des Wellencharakters von Teilchen. Die Experimente ergaben, dass die Beziehung λ = h/p
