RACIONALIDAD ESCONDIDA. E-Book

Mariana Corujo

• Herausgeber: Grupo Magro
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 183

Veröffentlichungsjahr: 2021

Beschreibung

¿Se generaliza en la escuela? Si es así, ¿cómo se generaliza? ¿Por qué es importante generalizar en matemática? Estas son algunas preguntas que nos han motivado a escribir acerca del proceso de generalización a lo largo de la escuela primaria. Entender la enseñanza de la matemática a nivel escolar como producción en cada aula lleva a pensarla de manera diferente. La generalización en matemática está asumida en este libro como modos de encontrar regularidades, patrones, de conjeturar, de producir y formular explicaciones a esas conjeturas. Estos modos de hacer y de pensar la matemática habilitan e invitan al estudiante a producirla dando lugar a una racionalidad que habitualmente aparece escondida. Sin duda esta manera de asumir la enseñanza de la matemática requiere una gestión que considere al proceso de generalización como objeto de estudio y lo integre al trabajo matemático. En estas páginas el lector encontrará modos de hacer matemática y de pensar su enseñanza centrados en el proceso de generalización en distintos contextos: aritmético y geométrico. El libro resulta un aporte sumamente interesante tanto para la formación de docentes de Matemática como para la práctica de enseñanza, pues da cuenta de una articulación fértil entre teoría didáctica y orientaciones para la práctica. La intención puesta en el proceso de generalización ilumina de manera nueva la anticipación de la gestión de la clase y la construcción de recorridos a lo largo de la escolaridad.

Leseprobe

RACIONALIDAD ESCONDIDA

La generalización en la matemática escolar

Mariana Corujo Carla Damisa Verónica Easton Virginia Méndez

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© RACIONALIDAD ESCONDIDA. La generalización en la matemática escolar

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Montevideo - Uruguay

Editor: Fernando Díaz

Diseño: Patricia Carretto

ISBN: 978-9974-8789-0-7

Índice

Autoras

Prólogo. La generalización en la matemática escolar

Capítulo 1. Desde dónde hablamos

1.1. Hacer Matemática

1.2. ¿Cuándo se ponen en acto estos haceres?

1.3. Una herramienta de intervención: el análisis didáctico

1.4. La lectura y la escritura en clase de matemática

1.5. Los Contextos

Capítulo 2. Generalización proceso y producto

2.1. ¿Qué representa la generalización en matemática?

2.2. La generalización en la escuela básica

2.3. Reglas del debate matemático

2.4. Generalización proceso-producto

2.5. ¿Qué aporta el contexto geométrico y aritmético al proceso de generalización?

Capítulo 3. De las Representaciones

3.1. Algunas consideraciones

3.2. Contexto geométrico

3.3. Contexto aritmético

Capítulo 4. Generalizaciones en la clase de geometría

4.1. Una propuesta para Primer Ciclo

4.2. Un análisis para Segundo Ciclo

4.3. Posibles intervenciones docentes para avanzar en la producción de generalizaciones

Capítulo 5. Generalizaciones en la clase de aritmética

5.1. El Sistema de Numeración Decimal. Una entrada a la generalización en los primeros años de la escolaridad

5.2. Generalizaciones sobre el concepto de paridad e imparidad

Bibliografía

Autoras

Mariana Corujo

Es maestra de Educación Inicial y Primaria (IINN). Posee un posgrado en Educación Inicial y Primera Infancia (Flacso, Argentina). Es integrante del equipo de Educación Inicial en Formación en Territorio (Paepu, Codicen). Se desempeña como docente en la Especialización en Enseñanza de la Matemática para Nivel Inicial y Primaria (UClaeh). Ha escrito libros y artículos sobre la enseñanza de la matemática.

Carla Damisa

Es profesora de Matemática (IPA) y magíster en Didáctica de la Educación Superior (U-Claeh). Se desempeña como docente en los Institutos Normales de Montevideo (CFE), integra la Comisión de Análisis Curricular de la Enseñanza Escolar de la Matemática (Caceem-CEIP) y coordina la Especialización en Enseñanza de la Matemática para Nivel Inicial y Primaria (U-Claeh). Ha escrito libros y artículos sobre la enseñanza de la matemática.

Verónica Easton

Es profesora de Matemática (IPA). Se desempeña como formadora de Matemática en Formación en Territorio (Paepu-IFS, Codicen). Es docente en Enseñanza Secundaria (CES) y en la Especialización en Enseñanza de la Matemática para Nivel Inicial y Primaria (U-Claeh). Ha escrito libros y artículos sobre la enseñanza de la matemática.

Virginia Méndez

Es maestra de Educación Primaria (IINN). Posee una Especialización en Didáctica de la Educación Superior (U-Claeh). Se desempeña como formadora de Matemática en Formación en Territorio (Paepu-IFS, Codicen) y como docente en la Especialización en Enseñanza de la Matemática para Nivel Inicial y Primaria (U-Claeh). Ha escrito libros y artículos sobre la enseñanza de la matemática.

Prólogo La generalización en la matemática escolar

Magíster Graciela Chemello

La posibilidad de conocer los argumentos que elaboran los alumnos, cómo son las explicaciones que construyen y los enunciados que formulan, de comenzar a comprender cuál va siendo su racionalidad mientras cursan la escolaridad primaria, es lo que este libro nos propone explorar. Se trata de propuestas que ponen foco en la generalización y en las que se asume que las formas de asegurar la validez de las afirmaciones producidas en el aula han de ser objeto de enseñanza.

Si bien el interés por enseñar las formas de hacer y pensar es compartido por quienes se ocupan de la enseñanza de la Matemática y hay consenso respecto de que el proceso de generalización es propio de la construcción de conocimiento matemático, no es fácil su desarrollo en las aulas. El aporte de las autoras avanza en señalar cómo intervenir en la enseñanza para instalar en el aula un tipo de trabajo matemático centrado en la producción y validación de conocimientos, poniendo atención a las generalizaciones y con la concepción de que la enseñanza de las formas de hacer y pensar, no es independiente del estudio de las nociones, sus propiedades y las relaciones en las que intervienen.

Se sostiene que la racionalidad matemática es una construcción a elaborar a lo largo de la escolaridad obligatoria, es decir, que las formas legítimas de saber si la respuesta producida frente a una pregunta desafiante es o no válida matemáticamente es un tema a tratar en las aulas. Para ello, el docente podrá invitar a los alumnos a producir una regla, un enunciado, una “idea matemática” y luego considerar cómo se ha formulado la generalidad, cómo se encadenan sus partes, si el enunciado es verdadero o falso, cuál es su alcance y cuáles sus limitaciones, es decir, para qué conjunto de objetos matemáticos vale o no vale la idea formulada.

En el capítulo 1, se explicita el enfoque que se adopta que considera a la Matemática como producto cultural y social, haciendo un recorrido por algunas ideas centrales de los didactas cuyas investigaciones han generado un cuerpo teórico, el de la Didáctica de la Matemática. El hacer matemática, la modelización, las interacciones en la clase a propósito de los conocimientos, las diferencias entre pruebas pragmáticas e intelectuales, los diferentes registros semióticos de los objetos matemáticos, la idea de problema como desafío intelectual, el sentido de los contextos en las situaciones de enseñanza, son algunos de los puntos de partida que se explicitan y que subyacen al conjunto de las propuestas. Se presenta también el análisis didáctico como la herramienta que se utiliza en este campo para examinarlas.

Luego, en los capítulos 2 y 3, se toman trabajos que darán lugar más adelante a los análisis que se realizan. Se presenta la diferencia entre la generalización como proceso propio de la actividad matemática y como producto al validar conjeturas. También se consideran la diferencia entre explicación y prueba, las reglas del debate propias de la racionalidad matemática, las formas de razonamiento que intervienen en la producción de conocimientos, entre otros.

El conjunto de las actividades incluidas en los capítulos siguientes va mostrando para cada contexto elegido, geométrico o aritmético, un camino orientado por el proceso de generalización. Van apareciendo ejemplos de las reglas y enunciados que los alumnos de distintos años producen frente a diferentes desafíos, al reconocer y explicitar características comunes a un conjunto de figuras, al derivar una propiedad para una figura a partir de otras conocidas, al encontrar regularidades en una grilla numérica, al buscar los resultados de operar con determinados tipos de números.

Las intervenciones docentes que se sugieren tienen como propósito que los alumnos expliquen cómo pensaron, que den las razones de lo que producen, se los invita a hacerlo como parte del trabajo de resolución. Se entiende que la validación es un proceso que va acompañando a la resolución, que implica ir anticipando, conjeturando, tratando de asegurarse de lo que se va realizando y que permite a quien resuelve controlar los procedimientos que utiliza, y asegurarse de las afirmaciones que realiza.

La tarea del docente, tanto en la elección de las propuestas como en la intervención aparece ejemplificada y se van señalando los criterios que las han orientado.

Se pone el acento en la necesidad de realizar una gestión de la clase que “sostenga” la búsqueda de generalizaciones producto. Por ejemplo, plantear preguntas más allá de la consigna inicial o luego de identificar un patrón, proponer la exploración de otros casos particulares para promover la elaboración de conjeturas. Si se analizaron polígonos de hasta 6 lados, ¿qué pasará con los de 20 lados? O si consideraron los números del 0 al 39 en una grilla, ¿qué pasará con los de la fila del 50?

También se requiere validar las conclusiones que se obtienen pidiendo que se formulen explicaciones de manera individual o grupal y avanzando luego, mediante un debate colectivo, en su transformación en pruebas para el conjunto de la clase.

Se aborda asimismo la necesidad de debatir sobre el valor que los alumnos otorgan a las proposiciones con ejemplos de actividades para decidir si valen siempre, nunca o a veces. Más allá de cuáles son los objetos matemáticos a los que hacen referencia estas actividades permiten cuestionar el sentido común, explicitar alguna regla de la racionalidad matemática o explorar bajo qué condiciones es posible decir que son verdaderas.

En los análisis que las autoras realizan, vamos advirtiendo en los enunciados y explicaciones que los alumnos han producido, cuáles son los conocimientos que ponen en juego, qué lenguaje utilizan, qué reglas subyacen a sus razonamientos. Estos tres aspectos permiten considerar cual es el avance en la generalidad de las sentencias que formulan y que distancia tienen con explicaciones propias de la racionalidad matemática.

Encontramos ejemplos de como inicialmente las explicaciones son particulares, expresadas en un lenguaje familiar y ligadas al contexto de la situación, a las figuras o a los números presentes en la actividad. “El de adelante es el mismo” dicen los niños de nivel inicial al expresar lo común a una fila en una grilla con el tramo de 0 a 39. “El de adelante” es, para los números de dos cifras de la actividad, el que ocupa el lugar de las decenas. Pero en otros tramos numéricos, por ejemplo para números de tres o cuatro cifras, el de adelante ocupa otro lugar.

En años más avanzados van apareciendo señales de explicaciones más generales, como por ejemplo en “Por más que la mitad de un ángulo entero (ángulo de 360°) este dividido en mil pedazos está bien pero la condición que tiene que tener es que al hacer la suma de los mil pedazos te tiene que dar 180°”. Aquí mil puede entenderse como muchísimos pedazos, no importa cuántos, se acerca mucho a “cualquiera que sea la cantidad de pedazos”, se usan términos propios de la matemática como mitad, ángulo, suma y la expresión “la condición” que podemos interpretar como que la suma de 180° debe cumplirse “necesariamente”.

El libro resulta un aporte sumamente interesante tanto para la formación de docentes de Matemática como para la práctica de enseñanza, pues da cuenta de una articulación fértil entre teoría didáctica y orientaciones para la práctica. La intención puesta en el proceso de generalización ilumina de manera nueva la anticipación de la gestión de la clase y la construcción de recorridos a lo largo de la escolaridad.

Capítulo 1

Desde dónde hablamos

La temática de este libro es el trabajo con la generalización en matemática a nivel de educación primaria. Tanto este recorte como la selección de aquello que analizamos y compartimos con el lector están atravesados por supuestos teóricos que requieren ser explicitados y refieren a la matemática y su enseñanza. Trazaremos algunas líneas que nos permitirán dar un marco sobre: el hacer matemático, el análisis didáctico como una herramienta docente, la idea de problema matemático, los contextos, entre otros.

Todos estos asuntos están permeados por una perspectiva epistemológica que iremos desarrollando. Algunas preguntas que abonan a nuestra perspectiva son ¿en qué consiste la matemática?, ¿para qué sirve?, ¿para qué enseñar matemática en la escuela? Creemos que la matemática es un producto cultural y social. Es cultural en tanto es resultado de la actividad humana y sus construcciones están condicionadas por las concepciones de la sociedad y del momento histórico en el que se desarrollan. Es social porque surge de la interacción entre individuos de una misma comunidad. Compartimos con Charlot (1986) que la actividad matemática refiere a crear, producir, fabricar y no a “mirar, ver y descubrir”. Es así que la matemática, su enseñanza y su aprendizaje, tiene que ver con la producción de ideas y no sobre el descubrimiento de las mismas. La posición que planteamos es que las ideas no están dadas, como sostenía Platón, sino que son fabricadas en un espacio y en un tiempo bajo ciertas condiciones de tal manera que son producto del pensamiento. Es decir que la matemática se hace, así como lo hacen los matemáticos en sus investigaciones, en el aula se produce matemática nueva para el sujeto que aprende y para esa comunidad clase. El autor sostiene:

“Hacer matemáticas es un trabajo del pensamiento que construye los conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver problemas nuevos, que generaliza y unifica poco a poco los conceptos en los universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.” Charlot (1986).

Esta mirada es la que nos invita a profundizar en el siguiente punto de lo que es el “hacer matemática”.

1.1. Hacer Matemática

La presencia de la matemática en la escuela responde a una necesidad social. Como individuos de una sociedad se hace necesario saber matemática para poder resolver y reconocer los problemas con los que nos encontramos, por lo que también es una necesidad individual.

Chevallard, Bosch y Gascón (2000), en el desarrollo de la teoría antropológica, enmarcan los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática como aspectos particulares del proceso de estudio de la matemática. Esto incluye tanto el trabajo que desarrolla el matemático, el profesor, el maestro, como el que realiza el alumno: los cuatro estudian problemas de la matemática.

Desde este lugar se concibe a la actividad matemática como una actividad de modelización.

Un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construir un modelo (matemático) de la realidad que queremos estudiar, trabajar con dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos en este trabajo para contestar a las cuestiones planteadas inicialmente. Gran parte de la actividad matemática puede identificarse, por lo tanto, con una actividad de modelización matemática (Chevallard, Bosch y Gascón, 2000: 51, cursivas en el original).

Esta actividad de modelización, es decir de construcción de modelos matemáticos para estudiar sistemas –en un contexto intra o extramatemático–, implica un hacer matemático. En ese hacer, al abordar un problema para resolverlo, se utilizan herramientas matemáticas que el individuo conoce y sabe usar. Pero puede suceder que no se cuente con esas herramientas, que sean instrumentos que ya existan pero no se conozcan. Es allí donde surge la necesidad de aprender –y, por ende, en la escuela, la actividad de enseñar– esas herramientas para estudiar ese sistema matemático. En ese proceso de aprendizaje, tanto matemáticos como docentes y alumnos crean matemática nueva. Dicho así, uno podría preguntarse qué crea el alumno si las ideas ya están creadas por la comunidad matemática, que es la que produce matemática. El que aprende crea matemática nueva para él en tanto miembro de una comunidad de clase. Ambos crean matemática en distintas comunidades.

Pensamos en un alumno que hace matemática, la crea. ¿Cuál es el mejor escenario para que esto ocurra, para que un alumno cree matemática?

La teoría de las situaciones didácticas, cuyo expositor es Guy Brousseau, propone un enfoque que pone el énfasis, entre otras cuestiones, en las interacciones sociales que se dan en el aula entre alumnos, docentes y saberes matemáticos en la construcción del conocimiento. Estas interacciones condicionan los aprendizajes de los alumnos, qué aprenden y cómo lo aprenden. En este sentido, Brousseau afirma:

No se trata solo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera los fundamentos de una cultura científica; las matemáticas en este nivel son el primer dominio en que los niños pueden aprender los rudimentos de la gestión individual y social de la verdad (1991: 19).

Esto implica generar un ámbito que los ponga en contacto con un hacer propio de la disciplina que tiene que ver con la construcción de ideas, y también con la construcción de ese hacer. El hacer es algo que se aprende. Explorar, anticipar, conjeturar, validar, leer y escribir forman parte del aprendizaje de ese hacer. Entre estos haceres, leer, escribir, conjeturar y validar tienen un lugar protagónico en el proceso de generalización, asunto que desarrollaremos en el capítulo 2.

Para seguir avanzando en lo que implica hacer matemática para el alumno, es necesario puntualizar las características de su objeto de estudio. La matemática como disciplina estudia objetos y relaciones cuya naturaleza no es material: no existen en la realidad, son objetos ideales. De ahí la imposibilidad de actuar directamente sobre ellos: lo hacemos sobre sus representaciones. Leer y escribir en matemática implica poder interpretar y producir distintos tipos de registros de representación semiótica, concepto desarrollado por Raymond Duval (1999a) y que por ser una cuestión estructurante será ampliado en el capítulo 3 «De las representaciones».

Consideraremos a la conjetura como la elaboración de una afirmación que se supone cierta pero que no ha sido probada o refutada. Esta elaboración está asociada en primer lugar con lo que la persona conoce de esos objetos, sus relaciones y sus funciones, los saberes que tiene disponibles. En segundo lugar, se vincula con la información que pueda extraer de la representación de ese objeto matemático, cualquiera sea su registro, esto es, de lo que pueda interpretar (leer). En tercer lugar, puede influir la capacidad de visualización que tenga el individuo. La visualización como proceso cognitivo requiere de la transferencia de objetos, conceptos, fenómenos, procesos y sus representaciones hacia algún tipo de representación visual y viceversa (Torregrosa y Quesada, 2007). Por último, involucra la identificación de patrones o regularidades que serán formuladas para uno mismo o para comunicar a otros.

Estos elementos aparecen cuando el sujeto, que está elaborando una conjetura, explora de manera diversa. La búsqueda, la exploración, el probar con diferentes casos es parte del proceso de construcción de una conjetura. Dentro del modelo epistemológico cuasiempírico de la matemática, sostiene Gascón (2001), citando a Lakatos, que cuando se está en un período de desarrollo de teorías matemáticas, estas son informales. Es en esa etapa de teorías informales donde se estudian los problemas más interesantes tanto desde el punto de vista epistemológicos como histórico. En ellos se analizan los bordes de las ideas, las rupturas con respecto a lo que ya existe, se abona a la diferenciación entre varios conceptos. Se exploran los límites de validez de las ideas matemáticas en juego. Podemos comparar este proceso de la construcción de teorías matemáticas con la situación del sujeto que está aprendiendo. De alguna manera, está en posición de explorar los problemas, las ideas matemáticas que subyacen, los límites de estas, cuándo, dónde y cómo funcionan; aunque estas ideas y problemas no sean nuevos para la matemática.

¿Cuándo una conjetura deja de serlo?

Una conjetura deja de serlo cuando a través de la validación se determina si es verdadera o falsa (su valor de verdad). La validación es un proceso de control que implica someter a prueba una conjetura para determinar su carácter de verdad o falsedad. Nicolás Balacheff (1987) distingue dos tipos de pruebas:

• Pruebas pragmáticas: están vinculadas a la acción y a la experiencia. Se dan en un momento determinado (temporalizadas), son contextualizadas pues están asociadas a la situación.

• Pruebas intelectuales: quien las produce toma distancia de la acción, son despersonalizadas. Se desvinculan del contexto particular en el que se produjeron, son descontextualizadas. No se asocian a un tiempo en particular, son destemporalizadas. La demostración es una prueba intelectual particular que no vive en el ciclo escolar.

Estos tipos de pruebas no son etapas consecutivas, pueden coexistir en una clase y en una misma persona. A medida que las pruebas se producen van apareciendo razones matemáticas que comienzan a tener un lugar preponderante en la elaboración de explicaciones. Siguiendo a Balacheff (2000), el paso de la explicación a la prueba viene dada cuando una explicación es reconocida y aceptada por una comunidad, esta comunidad puede ser el aula. Es así que el pasaje de la explicación a la prueba es un proceso social.

1.2. ¿Cuándo se ponen en acto estos haceres?

Cuando el alumno se enfrenta a un problema. Resulta oportuno precisar qué se entiende por problema. El problema es fuente, lugar y criterio de elaboración del saber (Charnay, 1994). Este debe permitir al alumno utilizar los conocimientos que tiene construidos y así poder interactuar con el problema. Debe ofrecer una resistencia suficiente para que esos conocimientos no le alcancen, de manera de llevar al alumno a hacer evolucionar y cuestionar los conocimientos construidos. Por último, la validación debe venir de la situación misma y no ser el maestro el que «sancione» si esa resolución es correcta o no.1 De esta manera, son los problemas los que dan sentido a los conceptos construidos.

Si se tienen las herramientas y la situación no ofrece resistencia, o no se tienen los conocimientos disponibles para interactuar con el problema o la situación está muy alejada de los conocimientos que se dispone, esa situación no constituye un problema para el alumno. Hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema a resolver.

Muchas veces conocer cuáles son las herramientas y conocimientos que posee el estudiante se transforma en una situación de incertidumbre para el docente, se entra en un terreno que no se puede “controlar” del todo. Žižek (2018) propone considerar la incertidumbre de la relación entre lo conocido y lo desconocido. Podemos teorizar sobre la construcción de relaciones entre conocido/desconocido y todas sus combinaciones.

Las relaciones en juego son entre:

“conocido/conocido”

, denota lo que sabemos que sabemos;

“desconocido/conocido”, identifica lo que sabemos que no sabemos;

“conocido/desconocido”, establece lo que no sabemos que sabemos;

“desconocido/desconocido”, relaciona lo que no sabemos que no sabemos.

Estas relaciones se juegan siempre para todo sujeto en posición de pensar, aprender, interactuar con otros, resolver problemas, entre otras acciones. Parecería que para el sujeto que aprende la situación “más compleja” es la que implica la relación desconocido/desconocido. Sin embargo, para Žižek lo conocido/desconocido - los conceptos que no sabemos que sabemos-, sería la situación crucial, en el entendido que se estaría aún en un proceso de transformación sin identificar lo que conocemos y por eso no sabemos que lo usamos. Este desconocimiento del saber hace que a veces no se puedan abordar, en términos de resolución de problemas, las herramientas, ideas o conceptos necesarios para atrapar la solución del mismo. Cuando se está en situación de resolver un problema, al buscar en nuestra caja de herramientas, identificamos aquellos conocimientos que sabemos que sabemos (conocido/conocido). No es posible buscar algo que no sabemos que sabemos (lo conocido/desconocido