Relojes, medidas y calendarios E-Book

Jordi Deulofeu

• Herausgeber: Gedisa Editorial
• Kategorie: Lebensstil
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2020

Seitenzahl: 192

Beschreibung

Galileo Galilei sostenía que el mundo está escrito en lenguaje matemático y el gran filósofo Immanuel Kant afirmaba que aquello que caracteriza a una verdadera ciencia es su relación con las matemáticas. El distinguido divulgador Jordi Deulofeu nos plantea una multitud de curiosas preguntas y problemas recreativos para descubrir las matemáticas en los fenómenos científicos y sociales del mundo real. ¿Por qué una hoja DIN A-4 (210 x 297 mm) tiene las medidas que tiene y cuanto difieren éstas de las medidas de una tarjeta de crédito? ¿Es posible caracterizar la belleza a través de los números? ¿Cómo se producen las filas en una autopista? ¿Qué relación hay entre forma y número? Las formas y las proporciones de la naturaleza, la medida de los objetos y del espacio, así como el cómputo del tiempo son los ejes centrales de esta fascinante obra apta para todos los públicos. El autor aborda y desgrana principios de las matemáticas, combina nociones de cultura general y acertijos de diferente nivel con el fin de proporcionarte placer y conocimiento a partes iguales.

Leseprobe

© Jordi Deulofeu, 2018

Diseño de cubierta: Equipo Gedisa

Primera edición, abril de 2020, Barcelona

Derechos reservados para todas las ediciones en castellano.

© Editorial Gedisa, S.A.

Av. Tibidabo, 12, 1o.

08022, Barcelona, España

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Preimpresión: Editor Service, S.L.

www.editorservice.net

eISBN: 978-84-18193-20-0

Queda prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio

de impresión, en forma idéntica, extractada o modificada, en castellano

o en cualquier otro idioma.

ÍNDICE

Índice

Introducción

Forma y proporción: Las matemáticas en la vida y en los objetos

Soluciones y comentarios a los problemas

La medida del espacio: del tamaño del Sistema Solar al establecimiento del metro

Soluciones y comentarios a los problemas

La medida del tiempo: historias de calendarios y relojes

Soluciones y comentarios a los problemas

Bibliografía

Introducción

Si las personas no consideran que las matemáticas son sencillas, es porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida.

JOHN VON NEUMANN (1903-1957)

Hay dos finalidades de las matemáticas que sirven para explicar por qué esta ciencia es una de las más antiguas que existen y cuyo desarrollo se remonta a los orígenes de las civilizaciones. En efecto, por un lado las matemáticas son una manera de mirar el mundo que nos rodea, tanto el físico como el social, para tratar de entenderlo y de actuar en él; por otro, y de manera paralela, constituyen una herramienta para resolver problemas de todo tipo, tanto aquéllos que se relacionan con la vida cotidiana, como problemas generados en el interior de la propia matemática, pasando por aquéllos que plantean las distintas ciencias y para cuya resolución son necesarios modelos matemáticos.

Cuando analizamos el papel de las matemáticas en el mundo constatamos que las dicotomías entre matemática pura y aplicada, y también entre matemática «seria» y recreativa, llevan a discusiones poco productivas. En efecto, la historia está llena de ejemplos de conceptos y propiedades matemáticas surgidas en el interior de la disciplina que, con el tiempo, han servido para resolver problemas reales aparentemente alejados de dichos conceptos. De manera similar, muchos problemas reales han llevado a construir modelos matemáticos que han servido para resolver dichos problemas y, posteriormente, otros de carácter interno.

Con las matemáticas recreativas sucede algo similar: que un problema surja como un divertimento no significa en absoluto que las matemáticas necesarias para resolverlo no sean relevantes, aunque, a veces, puede haber recreaciones cuyo interés matemático sea discutible. Para convencernos de la importancia de las matemáticas recreativas, basta con analizar la obra de Martin Gardner (1914-2010), el mayor divulgador de las matemáticas del siglo XX: comprenderemos como detrás de un acertijo pueden esconderse matemáticas de gran profundidad. Y si se trata de matemáticas relevantes, en un día más o menos lejano se encontrará su aplicación a la resolución de problemas importantes.

En este libro pretendemos mostrar las dos ideas expuestas anteriormente. Por un lado, explicaremos cómo es posible hallar matemáticas en temáticas científicas y sociales diversas y, por otro, plantearemos problemas recreativos la mayoría de ellos asociados a dichas temáticas.

Empezamos, en el primer capítulo, hablando de proporciones y nos planteamos, entre otras, preguntas del tipo: ¿por qué una hoja DIN A-4 (210 x 297 mm) tiene las medidas que tiene y cuanto difieren éstas de las medidas de una tarjeta de crédito? ¿Es posible caracterizar la belleza a través de los números? ¿Qué relación hay entre forma y número?

Dedicamos el segundo capítulo a la medida y a través de ella nos sumergimos en la historia iniciada por Eratóstenes (s. III a.C.) para determinar la longitud del meridiano y con ello establecer las dimensiones de la Tierra. Esta medida ha sido repetida a lo largo de la historia con finalidades distintas, entre ellas, constatar si la Tierra es una esfera perfecta, o bien establecer una nueva unidad universal para la medida de longitudes: el metro.

En la segunda parte de este capítulo se desarrolla el trabajo de Aristarco de Samos sobre el tamaño y las distancias del Sol, la Tierra y la Luna. Aristarco, que vivió en el mismo siglo que Eratóstenes, defendió la hipótesis heliocéntrica (la Tierra gira alrededor del Sol y no al revés), dieciocho siglos antes que lo hiciera Copérnico, y en contra de lo que defendían la mayoría de pensadores del antiguo mundo griego, desde Platón a Ptolomeo.

El tercer capítulo aborda la interesante historia de la medida del tiempo, principalmente la historia de nuestro calendario como sistema de cómputo del tiempo y su coexistencia con otros calendarios. En ella vemos como las decisiones racionales de tipo científico y matemático se mezclan con otras de carácter social o político, cuyo origen se encuentra muy lejos de la ciencia, como por ejemplo, por qué en nuestro calendario los meses de julio y agosto que son consecutivos, tienen ambos 31 días de duración, o por qué los años 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos y el 2000 si lo fue.

Muchas partes de este libro han sido extraídas del que el autor escribió en 2002 y que fue publicado con el nombre de: Una recreación matemática: historias, juegos y problemas. El lector observará que algunos problemas llevan la indicación (*) con la cual se pretende alertar de que se trata de cuestiones algo más difíciles que el resto de acertijos propuestos. En cualquier caso, se encontrará al final de cada capítulo soluciones y comentarios a todos los problemas propuestos.

Deseamos que la lectura de este libro, y la realización de los problemas y juegos que en él se proponen, proporcionen placer y conocimiento a partes iguales. Éste ha sido el objetivo del autor al escribirlo.

Forma y proporción: Las matemáticas en la vida y en los objetos

Finalmente he acabado por comprender que cada expresión del sentimiento se origina con un movi­miento dirigido por la geometría. La geometría es omnipresente en la naturaleza: he aquí el verdadero concierto de la naturaleza.

AUGUSTE RODIN (1840-1917)

Introducción

Una de las características de las matemáticas es que, a pesar de tratarse de una ciencia cuyos objetos son creaciones abstractas de la mente (como por ejemplo los números, las formas geométricas planas o las funciones) y, por lo tanto, no existentes en la realidad física, constituyen uno de los más poderosos instrumentos de análisis de dicha realidad. En este primer capítulo vamos a ocuparnos de diversas relaciones entre las matemáticas y el entorno, tanto físico como social, y concretamente de ciertas leyes que rigen la naturaleza y que responden, mayoritariamente, al conocido modelo matemático de las proporciones.

Los ejemplos existentes son innumerables y abarcan desde la realidad física, el universo en el que vivimos y las leyes que rigen su comportamiento (por ejemplo, cuál es la forma y el tamaño del universo, cuál es su antigüedad o cómo se mueven los cuerpos celestes), hasta la realidad social: cuáles son los modelos que sirven para explicar la evolución de la economía o cómo se elaboran las leyes electorales en los distintos países democráticos. También encontramos ejemplos en las ciencias de la vida y en el arte: cómo son las formas de los seres vivos o por qué los animales más grandes son más complejos; el uso de proporciones en la pintura, la escultura o la arquitectura, o bien la propia organización de la música definitiva, son innumerables los aspectos de nuestra vida cotidiana en los cuales la presencia de las matemáticas es constante, aunque esta presencia pase muchas veces de forma desapercibida.

De los muchos aspectos que nos brinda esta relación entre matemáti­cas y entorno, en este capítulo analizaremos con cierto detalle tres aspectos de las matemáticas que inciden de manera determinante en la for­ma de los objetos materiales. En primer lugar, nos referiremos a la relación entre las longitudes, las superficies y los volúmenes de dos cuerpos semejantes (semejanza es un término matemático que indica la igualdad de forma, prescindiendo del tamaño) que nos llevará a descu­brir la importancia de dicha relación en el crecimiento de los seres vivos.

En segundo lugar, hablaremos de algunos problemas relacionados con la optimización, en los cuales se trata de determinar el valor máximo (o mínimo) de una magnitud dependiente de otras cuyo valor está fijado. Por ejemplo, dada la medida de una superficie nos interesa averiguar cuál es la forma que ésta debe adoptar para que el volumen que encierre sea máximo; también, encontrar cuál es la superficie mínima necesaria para encerrar un volumen determinado. Veremos que este tipo de problemas, algunos de ellos clásicos, conocidos como problemas de máximos y mínimos, aparecen tanto en las formas de la naturaleza como en el comportamiento de la luz o en las filas de una autopista, por citar tres ejemplos bien distintos. En tercer lugar, analizaremos las proporciones de algunos objetos cotidianos, en particular las hojas de papel que utilizamos para escribir o las tarjetas de crédito, lo que nos llevará a hablar de la teoría de las proporciones aplicada al diseño y al arte.

Completaremos el capítulo con algunos problemas relacionados con una curiosa forma, la estrella pentagonal regular, una figura plana cuyas numerosas propiedades le confieren un carácter mágico y que ya los pitagóricos adoptaron como símbolo de su escuela.

Matemáticas y formas en la naturaleza

La relación entre matemáticas y naturaleza es mucho más importante de lo que puede parecer a primera vista. Es evidente que las leyes físicas se expresan mediante fórmulas matemáticas y que las funciones, construcciones puramente matemáticas, pueden entenderse como una abstracción de las distintas leyes que rigen la naturaleza, no solamente en la física sino también en la química y en las ciencias de la vida. Esta estrecha relación entre matemáticas y naturaleza ha sido considerada a lo largo de la historia por algunos de los más grandes científicos. Galileo sostenía que el mundo está escrito en lenguaje matemático, y también el gran fi­lósofo E. Kant afirmaba que aquello que caracteriza a una verdadera ciencia es su relación con las matemáticas. Sin embargo, otras personali­dades, como Pascal o Goethe, fueron más resistentes a tratar de explicar los fenómenos relacionados con la vida a través de las matemáticas. El gran avance de las ciencias de la vida, que empezó con las teorías sobre la evolución de Darwin y que han llevado a estas ciencias al inicio de una auténtica revolución a finales del siglo XX, ha venido a corroborar todavía más el importante papel de las distintas ciencias que se ocupan del mundo en el que vivimos.

Es evidente que las formas de los seres vivos son muy variadas, aunque en realidad muchas de ellas se parecen y globalmente corresponden a unos pocos modelos. Cabe pues plantearse si estas formas son arbitrarias o bien responden a ciertas leyes o modelos de carácter mecánico o geométrico. Una de estas leyes se refiere al crecimiento: ¿cómo crecen las distintas magnitudes de un cuerpo cuando éste aumenta su tamaño? Tengamos como ejemplo un cuerpo sencillo, un cubo cuya arista es de 1 cm. Hagamos «crecer» este cubo de forma que se mantenga su forma, es decir, que siga siendo un cubo, hasta que sus aristas midan el doble del inicial. Es fácil ver, por ejemplo, que su diagonal será el doble, al igual que sus dimensiones lineales, pero ¿qué sucede con su superficie y con su volumen? Resulta que la superficie total del segundo cubo no es el doble sino cuatro veces la del cubo inicial (la superficie total del primer cubo es de 6 cm2, ya que cada cara tiene una superficie de 1 cm2, mientras que la del segundo es de 24 cm2, puesto que cada cara del segundo cubo tiene una superficie de 4 cm2) mientras que su volumen es ocho veces el volumen del cubo inicial (para construir un cubo de 2 cm de arista necesitamos ocho cubos de 1 cm de arista, o dicho de otra manera, mientras el volumen del primer cubo es de 1 cm3, el del segundo es de 8 cm3).

Las relaciones anteriores entre las longitudes, las superficies y los volúmenes de dos cubos pueden generalizarse a cualquier par de cuerpos semejantes y pueden expresarse matemáticamente diciendo que si dos cuerpos son semejantes y su razón de semejanza es un cierto número k, la razón entre las áreas de dichos cuerpos será k2y la razón entre los volúmenes será k3.

Las consecuencias de la propiedad anterior son múltiples en relación con el crecimiento de los seres vivos. Si un animal dobla sus magnitudes lineales (su longitud), su superficie será aproximadamente cuatro veces mayor y su volumen (por lo tanto, también su masa) será alrededor de ocho veces mayor. Piense, por ejemplo, en un recién nacido de 50 cm de altura y 3 kg de peso. Cuando doble su altura, es decir, cuando llegue a 1 m, su masa no será el doble, sino que será alrededor de ocho veces su masa inicial, es decir, 24 kg. En realidad, esta proporción, bastante ajustada en los primeros años de crecimiento, disminuye notablemente a medida que la altura es mayor (cuando mida 150 cm, debería pesar 81 kg, y si llegara a los 2 m, su peso debería ser de 192 kg), por distintos motivos, entre ellos, el hecho de que no todas las magnitudes crecen en la misma proporción ni todas las partes del cuerpo crecen igual, y precisamente algunas de las partes con más peso del cuerpo, por ejemplo, la cabeza, crecen mucho menos que otras, por ejemplo, las extremidades. En este sentido, la razón entre la cabeza y el cuerpo de un recién nacido es muy superior a la de un adulto.

La ley anterior nos servirá para analizar diversas situaciones relacionadas con el crecimiento ya sea de formas reales o de sólidos matemáticos.

Problema 1. «Los viajes de Gulliver». En su conocida novela Los viajes de Gulliver, Jonathan Swift cuenta que cuando Gulliver se encuentra en Liliput, sus habitantes discuten sobre la cantidad de comida que deben proporcionarle. Sabiendo que la altura de Gulliver es doce veces la altura de un liliputiense, ¿cuántas raciones de comida deberán proporcionarle? Si quieren darle ropa para hacerse un vestido, ¿cuántos vestidos podrían confeccionar para los habitantes de Liliput con la ropa del vestido de Gulliver?

El problema anterior muestra el crecimiento de la superficie y del volumen en función del crecimiento de la longitud. Existen otras muchas situaciones donde es posible aplicar esta relación con resultados altamente sorprendentes para nuestra intuición, como, por ejemplo, en el siguiente problema.

Problema 2. ¿Dónde cabe la población mundial? Hace algún tiempo (según los periódicos, durante el otoño de 2011) la población mundial alcanzó la cifra de 7.000.000.000 de personas. En el año 2019 la población mundial superó la cifra de 7500 millones de habitantes (ver datos en <worldometers.info/es/>).

a) Formemos una fila con toda la población. ¿Cuántas vueltas daría a la Tierra una cuerda que tuviese la misma longitud que esa fila? ¿Llegaría hasta la Luna? ¿Y hasta el Sol? Trate de imaginar cuál será el resultado y luego verifíquelo.

b) Imaginemos, ahora, que reunimos a toda la población del mundo en una región y que cada persona ocupa un cuadrado de 50 cm de lado. Con estas condiciones, ¿cree que la superficie ocupada llegaría a llenar el Ampurdán (comarca del noreste de Cataluña, con unos 2.060 km2) ocuparía toda Catalunya (32.100 km2), toda la comunidad de Andalucía (87.270 km2), o bien sería necesaria toda la península ibérica (582.000 km2)? Trate de hacer una hipótesis sobre el resultado y luego verifíquelo.

c) Supongamos ahora algo todavía más inverosímil, y a decir verdad algo claustrofóbico: colocamos a toda la población mundial dentro de un gran cubo, de manera que cada persona ocupe un cubo cuyo volumen es igual a 1 m3. ¿Cuál será, aproximadamente, la arista de aquel cubo? Como antes, trate primero de imaginar cuál será el resultado y luego calcúlelo.

El interés del problema anterior no radica en el método de resolución, donde la única dificultad estriba en el hecho de trabajar con números grandes y realizar los correspondientes cambios de unidades, sino en la sorpresa del resultado, que proviene principalmente de lo poco interiorizado que tenemos, en general, el crecimiento de las superficies y de los volúmenes en relación con el crecimiento de las magnitudes lineales.

Para analizar mejor este fenómeno, con números más pequeños y a partir de una situación que puede representarse materialmente, veamos este curioso problema.

Problema 3. El crecimiento del cubo. Disponemos de una colección de cubos todos iguales (de 1 cm de arista) y con ellos formamos cubos más grandes, de 2 cm, 3 cm, 4 cm de arista y, en general, de n cm de arista. Una vez formados estos cubos pintamos su superficie exterior.

Si deshacemos luego cada cubo grande veremos que algunos de los cubos pequeños tienen tres caras pintadas; otros tienen dos caras pintadas, otros sólo una y otros ninguna. ¿Cuántos cubos pequeños de cada tipo se obtendrán con el cubo de 3 cm de arista? ¿Y con el cubo de 4 cm? ¿Y con el cubo de n cm de arista?

PISTA: Para los cubos de 3 y 4 cm de arista es suficiente un simple recuento, aunque imaginárselo puede ser un poco difícil, por lo que es conveniente construir efectivamente los cubos utilizando un material adecuado. Para la generalización, es decir, para el caso del cuadrado de un número cualquiera, n, de arista puede ser conveniente disponer los resultados en una tabla y relacionarlos con los elementos del cubo (vértices, aristas, caras).

Analicemos ahora otros ejemplos directamente relacionados con los seres vivos. El hecho de que el volumen (y la masa) crezca de acuerdo con el cubo de la razón de semejanza, y en cambio la superficie lo haga con el cuadrado de dicha razón, implica que a medida que un cuerpo aumenta de tamaño, también lo haga la razón volumen/superficie. Este crecimiento es lineal, igual que el crecimiento de la longitud. Así, si ésta se dobla, también se doblará la razón volumen/superficie. Esto afecta, entre otras cosas, a la transpiración. Lassage, un médico del siglo XVIII, ya postuló que los animales pequeños (por ejemplo, los insectos) tenían una piel más dura y sobre todo menos porosa que la nuestra, ya que, de lo contrario, la transpiración sería excesiva. También podríamos decir que la transpiración en los niños es más fácil que en los adultos porque tienen una mayor superficie en relación a su volumen corporal.

Veamos un segundo ejemplo. Dado que la masa de un fruto aumenta según el cubo de su longitud, mientras que la fuerza que debe hacer el tallo para sostenerlo aumenta según el cuadrado (es decir, depende de la sección del tallo), éste debe crecer de manera desproporcionada en relación con el fruto. ¡Imagínese como deberían ser los tallos para sostener una sandía o una calabaza! Por esta razón los frutos de gran volumen están mejor en el suelo.

Es evidente que éstos no son los únicos principios que rigen el crecimiento ni el tamaño de los seres vivos. Problemas de resistencia y de elasticidad, así como de ramificación, son también fundamentales. En todo caso se puede observar que a mayor tamaño, en general, se presenta una mayor complejidad en relación con las funciones desarrolladas por cada ser vivo. Por otra parte, el principio que hemos analizado con cierto detalle puede aplicarse a otras magnitudes distintas de la superficie o el volumen. En efecto, dado que la fuerza de un músculo varía de acuerdo con su sección y la resistencia de un hueso también, existen límites a las dimensiones de un animal que vive bajo el efecto de la gravedad. Basta observar las patas de un elefante, cuyos huesos tienen una sección desproporcionada en comparación con los mamíferos más pequeños, y mucho más si las comparamos con las patas de un insecto.

Esto no es cierto para los animales que viven en el agua, lo cual explicaría la existencia de animales mucho mayores en el agua que en la tierra, como las ballenas. El peso de estos animales queda contrarrestado por el volumen sumergido y por el hecho de que al aumentar sus músculos el animal puede desplazarse en el agua a mayor velocidad, sin tener que «soportar» su peso, algo que sí debería hacer si estuviera en tierra. Una cosa parecida sucede con algunos de nuestros medios de transporte: ¿se imagina un petrolero o un portaaviones desplazándose sobre tierra firme?

Máximos y mínimos: la importancia de optimizar

Expresiones como «maximizar la producción», «minimizar los costes» u «optimizar los recursos» pueden parecer sacadas de un tratado moderno de economía, pero en realidad son tan antiguas como la propia existencia del mundo. Cuestiones como por qué las gotas de agua o las pompas de jabón son esféricas o por qué las celdas que construyen las abejas son prismas hexagonales y su fondo tiene una determinada inclinación pueden responderse utilizando criterios de optimización. Las matemáticas se han ocupado desde muy antiguo de este tipo de problemas que en el mundo de hoy, especialmente en la economía, son de la máxima actualidad: corresponden a los llamados problemas de máximos y mínimos. Quizá recuerde cuando aprendió a resolverlos en la enseñanza secundaria, planteando ecuaciones a partir de las condiciones del problema, buscando la función que había que optimizar, derivando dicha función e igualando dicha derivada a 0.

No obstante, aunque algunos de estos problemas admiten un proceso de resolución como el anterior, otros pueden resolverse por métodos muy distintos, a menudo más fácilmente comprensibles, ya sea a partir de construcciones geométricas o de tanteos numéricos. Hay que recordar que algunos de estos problemas fueron planteados y resueltos mucho antes del siglo XVII, época en la que se inicia el análisis matemático y se empiezan a desarrollar los conceptos de función o derivada.

Uno de los problemas fundamentales de optimización que se plan­tea en el campo de las matemáticas tiene relación con las magnitudes lineales (longitudes), cuadráticas (superficies) y cúbicas (volúmenes). Puede plantearse en el plano y consiste en determinar cuál es la superficie máxima que puede encerrarse con una determinada longitud; o en el espacio, determinar el volumen máximo encerrado por una superficie cuya medida está fijada. De manera análoga pueden plantearse los problemas inversos a estos dos, que ahora serán problemas de mínimos: en el plano, tratar de hallar cuál es la mínima longitud necesaria para encerrar una superficie de la cual conocemos su medida; y de modo paralelo en el espacio, tratando de determinar cuál es la menor superficie necesaria para encerrar un volumen determinado.

El primero de los problemas formulados se conoce con el nombre de problema isoperimétrico (término que indica igualdad de perímetro), y aunque la intuición de la solución es bastante sencilla, su resolución completa es ciertamente compleja. Por ello, antes de abordar este problema y cualquiera de los otros formulados anteriormente, es conveniente restringirlos a un determinado tipo de figuras, de las cuales podemos calcular su área con facilidad. Veamos algunos ejemplos:

Problema 4. Formando rectángulos con un cordel. Elija un cordel que tenga 60 cm de longitud, una los extremos y colóquelo sobre una mesa. De todos los rectángulos que podemos formar con el cordel, ¿cuál es el que tiene mayor superficie?

De forma análoga podríamos plantearnos el problema de hallar cuáles son las dimensiones del rectángulo de 36 cm2 de área cuyo perímetro es el menor posible. Razonando como en el problema anterior, veríamos que en este caso el perímetro es mínimo también cuando el rectángulo es un cuadrado (concretamente de 6 cm de lado). Éste y otros problemas parecidos son los que habitualmente se plantean en las clases de matemáticas de la educación secundaria, aunque, en realidad, es más interesante plantearse el problema de forma general, es decir, sin restringirse a un tipo concreto de figuras.

La fórmulación concreta del problema isoperimétrico podría ser la siguiente:

Hallar la superficie máxima encerrada por una cuerda. Agarre un cordel que tenga 60 cm de longitud, una los extremos y colóquelo sobre una mesa. ¿Qué forma debemos dar al cordel para que la superficie encerrada sea la mayor posible?