¡Resuélvelo! E-Book

James S. Tanton

• Herausgeber: Ediciones SM España
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2020

Beschreibung

Los alumnos no suelen tener la oportunidad de experimentar por sí mismos el lado creativo de las matemáticas. Uno de los objetivos de las actividades de este libro es transformar el concepto de "resuelto", pasar de verlo como algo acabado a observarlo como una oportunidad para continuar explorando y esforzándose de forma creativa. Esta obra plantea también que en nuestra vida diaria muchas veces se nos presentan problemas abiertos o mal definidos ante los cuales nos vemos obligados a pensar de forma clara y creativa, a cambiar de perspectiva; o sea, a pensar como un matemático. Por eso las matemáticas avanzadas pueden ser interesantes, accesibles, prácticas y, sencillamente, divertidas para alumnos, docentes y lectores curiosos; suponer un reto para cualquiera, independientemente de su nivel de formación. Todo el mundo puede hacer matemáticas. ¿Te animas a comprobarlo?

Leseprobe

Introducción

Estuve a punto de llamar a este libro El libro del club de matemáticas. Pero el problema de ese título es que puede llevar a los lectores a pensar que se trata de un libro únicamente para estudiantes interesados en cursos de matemáticas y para sus monitores y profesores. Nada más lejos de la realidad. A pesar de que el libro es fruto de mi trabajo como director del club de matemáticas en la Universidad St. Mary’s College of Maryland y en la Universidad de Merrimack, su esencia (y la de mis clubs) es la de abrir el mundo de las matemáticas a cualquiera que esté interesado. Y es que creo, firmemente, que las matemáticas son accesibles a todos. Mostrar esta accesibilidad es, precisamente, el objetivo del libro.

Las matemáticas son creativas, interactivas y llenas de vida. Pueden, sin duda alguna, suponer un reto o desconcertar a cualquiera, independientemente de su nivel de formación. A menudo requieren pensamiento crítico, ingenio y originalidad. Pero estas son cualidades que todos tenemos. En nuestra vida diaria muchas veces se nos presentan problemas abiertos o mal definidos. Nos vemos obligados a pensar de forma clara y creativa, a cambiar de perspectiva; o sea, a pensar como un matemático. Todo el mundo puede hacer matemáticas.

En un ambiente tradicional de clase, los alumnos no suelen tener la oportunidad de presenciar ni de experimentar por sí mismos el lado creativo de las matemáticas (a menudo, este es el caso de las clases en los institutos y en los primeros cursos de la universidad: ¿cómo pueden saber estos alumnos si quieren continuar con las matemáticas?). Uno de los objetivos principales de las actividades de este libro es fomentar el pensamiento original, transformar el concepto de “resuelto” pasando de verlo como algo cerrado y acabado a observarlo como una nueva oportunidad para continuar explorando y esforzándose de forma creativa.

Las matemáticas avanzadas pueden ser interesantes, accesibles, prácticas y, sencillamente, divertidas, ¡incluso para quien no está convencido de querer entrar en el mundo del pensamiento matemático! La popularidad de los problemas descritos en este texto es prueba de ello. Gente que se describe a sí misma como “matemático-fóbicos”, alumnos de Secundaria, estudiantes y profesores universitarios de Matemáticas… Todos ellos se han divertido, se han sentido realizados y han experimentado una sensación de satisfacción resolviendo estos problemas.

Los treinta capítulos que siguen a continuación constituyen las actividades que han tenido mayor éxito hasta la fecha en mis clubs de matemáticas. También he usado muchas de ellas en programas especiales para Secundaria y Bachillerato, las he incorporado en mis cursos universitarios de matemáticas, las he utilizado en talleres infantiles e incluso me han servido como trucos para romper el hielo en alguna fiesta. Cada capítulo es una recopilación de problemas y actividades matemáticas con un tema común. Todos tienen que ver con objetos de la vida cotidiana (rosquillas, bicicletas, tazas y cuerdas, papeles y tijeras o retículos en un suelo de baldosas, por ejemplo). Es muy recomendable fomentar la participación del grupo. La forma de desarrollar cada una de las actividades en equipo quedará clara a partir de su descripción.

He intentado escribir el libro en un estilo accesible, apoyando al lector, y he usado fotografías y diagramas hechos a mano para darle un toque más amable. La mayoría de los capítulos son una mezcla de material ya conocido, con interpretaciones clásicas y nuevas, y también con giros originales. Aparte de ser divertidos, los problemas de este libro abordan una extensa variedad de temas y tratan cuestiones matemáticas profundas. Atribuir una interpretación práctica a una idea abstracta puede ser todo un reto. Para mí, un buen problema tiene un atractivo práctico inmediato, se puede generalizar o asociar con conceptos matemáticos más amplios y también relacionar con otros problemas. La parte matemática está explicada de forma sencilla (normalmente como un Apunte Sobre…). Ulteriores discusiones sobre algunos temas (lecturas adicionales) requieren conocimientos de cálculo. Todas las fuentes y referencias aparecen al final de cada capítulo.

Cada capítulo de problemas se adapta cómodamente a una clase de 60–90 minutos, permitiendo incluso un tiempo para debate general y para plantear nuevas cuestiones. Por supuesto, el lector o responsable de la actividad es libre de combinar capítulos o de seleccionar problemas aislados para períodos más cortos. Sin embargo, el profesor no debería sorprenderse si el entusiasmo de los estudiantes es suficiente para extender la discusión de un único problema a una actividad completa de 90 minutos en sí misma. Todos los capítulos son independientes entre sí y no es necesario leerlos en el orden que aparecen.

El proceso matemático consiste en investigar y desvelar, uno a uno, distintos niveles de profundidad, encontrando nuevas perspectivas y aplicaciones. Para reflejar esto, he dividido el libro, y cada uno de los capítulos, en tres secciones:

Parte I: Actividades, discusiones y planteamiento de problemas

Parte II: Pistas, algunas soluciones y otras ideas

Parte III: Soluciones y comentarios

Es recomendable que los docentes que estén leyendo este texto con la intención de orientar una actividad de grupo lean las tres secciones del capítulo seleccionado para así prepararse la sesión. Aunque no sugiero inhibir el razonamiento libre, es importante tener una idea de cómo y por dónde dirigir las reflexiones del grupo. Es posible, por ejemplo, que el verdadero objetivo de una actividad no se revele completamente hasta que no se hayan comprendido las soluciones de una serie de problemas preliminares. Además, desde un punto de vista práctico, uno necesita ser consciente de todos los materiales que se van a utilizar para una actividad (fotocopias de diagramas, rotuladores, etc.).

Al planteamiento del problema o actividad le sigue, en la mayoría de los casos, un reto o un debate acerca de la posibilidad de llevar el problema más allá (Una Vuelta de Tuerca). Esto está pensado para mostrar el problema como una ventana que se abre a nuevas preguntas y a distintos niveles de profundidad que permitan una mayor reflexión. Este debate también ofrece orientación específica para encontrar nuevas direcciones de análisis y de pensamiento creativo. Todos los retos de Una Vuelta de Tuerca están resueltos en el texto, mientras que los Desafíos quedan abiertos a la reflexión personal o a discusiones de grupo. Estos problemas, aunque a veces son difíciles de resolver, pueden servir de inspiración para los proyectos de los alumnos. Algunos Desafíos Avanzados son problemas que aún no han sido resueltos.

Mis clubs de matemáticas con más éxito siempre estaban bien anunciados, se realizaban en un ambiente agradable e incluían una buena selección de problemas y actividades. Antes de cada sesión, mis alumnos y yo, colocamos carteles llamativos y fáciles de leer para dar publicidad al club por todo el campus y atraer así a gente de todas las disciplinas. No es fácil superar el estigma de que un club de matemáticas es solo para estudiantes de Matemáticas, pero nos esforzamos por conseguirlo. (¡Ve a la Sección 5.2. para descubrir cómo anunciar un evento de forma llamativa!). También damos a nuestras sesiones un título pensado para provocar curiosidad (echa un vistazo a algunos de los epígrafes en el índice). Realizamos las actividades del club en lugares con muchos asientos y con acceso a una pizarra, pero manteniendo un ambiente con un toque íntimo, un grupo pequeño se siente aislado en una sala grande. También nos ocupamos de llevar tentempiés para ayudar a romper las barreras académicas y sociales, para hacer que los asistentes se sientan cómodos y por pura diversión. (¡Ofrecer pizza a la hora de la comida es una buena forma de llamar la atención de los alumnos!). Y, por supuesto, es importante aprenderse los nombres de todos.

Todas las actividades descritas en este libro tienen un importante componente práctico. Están pensadas para que todos, incluso los que no se sienten cómodos con las matemáticas, puedan participar sin problemas. Básicamente, no se necesitan conocimientos previos para lanzarse a la piscina. Asegúrate siempre de tener bastante material para que nadie se sienta excluido. Estimula el diálogo y la reflexión acerca de todas las cuestiones propuestas. Pero, por otro lado, también hay que hacer que las cosas avancen. Yo no dudo en dar pistas e ideas, e incluso en dar la respuesta. Es imprescindible que la situación no resulte amenazadora para nadie ni que parezca un examen. Ningún alumno debería sentirse expuesto.

Las matemáticas son divertidas. Suponen un reto, son creativas y vivaces. Ya seas un alumno, un docente, un “matemático-fóbico” o un lector curioso, espero que los problemas propuestos en este libro te den una idea de la fascinación y el placer que yo siento cuando pienso en matemáticas.

Agradezco especialmente a Mike Furrow las fotos que hizo en St. Mary’s College of Maryland y a Kevin Salemme las que hizo en Merrimack College. Gracias también a Lane Anderson y Chuck Adler por sus consejos y su ayuda montando la actividad sobre retroalimentación, a don Albers por todo el ánimo y a mi mujer Lindy por su ayuda en la edición del manuscrito y por su maravilloso apoyo. Pero, sobre todo, gracias a mis alumnos por su entusiasmo y sus ganas de aprender. Ha sido un privilegio trabajar con cada uno de vosotros y un placer conoceros.

Parte I

Actividades, discusiones y planteamiento de problemas

Capítulo 1

Dilemas de reparto

1.1. Un pastor y sus ovejas

Este es un problema clásico.

Un anciano pastor fallece dejando todos sus bienes a sus tres hijos. Al hijo mayor, que era su favorito, le deja 1/2 de su rebaño de ovejas, al mediano le deja 1/3 y al pequeño, al que menos quería, le deja 1/9 del rebaño. (¿Hay algún problema con estas proporciones?)

No queriendo contrariar el testamento de su padre, los tres hijos van hasta los pastos para empezar a dividir el rebaño. Alarmados, ven que hay ¡diecisiete ovejas! ¿Hay alguna forma de que los tres hijos consigan honorar los deseos de su padre?

Una vuelta de tuerca. Por otro lado, las tres hijas de una pastora, recientemente fallecida, se encuentran frente a un dilema semejante. Su madre, muy rica, pero con una comprensión errónea de las fracciones, ha dejado en herencia su patrimonio de 495 ovejas según las siguientes proporciones: 1/5 para la hija mayor, 1/33 para la mediana y un 1/2145 para la pequeña. ¿Es posible llevar a cabo la voluntad de la pastora?

1.2. Reparto reiterado

Un grupo de amigos está sentado en corro, cada uno tiene un montoncito de caramelos con su envoltorio. (El envoltorio es necesario porque cada caramelo va a pasar por las manos de mucha gente antes de que alguien se lo coma). Algunos tienen veinte caramelos o más, otros no tienen ninguno, y los demás tienen una cantidad intermedia. El reparto es bastante arbitrario, salvo por el hecho de que a todos se les ha dado un número par de caramelos. Se coloca una cantidad de reserva en el centro.

A continuación, el grupo tiene que seguir las siguientes instrucciones: dale la mitad de tus caramelos a la persona sentada a tu izquierda (y, por tanto, recibe algunos de la persona sentada a tu derecha). Hacedlo todos al mismo tiempo. Ahora, haz un recuento de tu montoncito. Si tienes un número impar de caramelos, coge uno más del montón de reserva. Esto hace que tu montón tenga de nuevo una cantidad par, así que todos estáis en condiciones de repetir la maniobra.

Se distribuyen 124 caramelos y se coloca en el centro una reserva de 100 caramelos.

¿Qué ocurre con el reparto de caramelos entre estos amigos si el proceso se repite una y otra vez? ¿Se seguirán cogiendo caramelos extra del centro haciendo que la cantidad que tiene cada uno crezca indefinidamente? ¿O la distribución se estabilizará o igualará de alguna manera? ¿Acabará una persona teniendo todos los caramelos? ¿Habrá grupos de caramelos que vayan pasando de uno a otro en todas las iteraciones o surgirá algún extraño patrón oscilatorio? ¿Es posible predecir cuál será el resultado?

Una vuelta de tuerca. ¿Qué pasa si en lugar de añadir caramelos te vas comiendo los que sobran para reducir tu montón a un número par? ¿Qué pasa si se varía el patrón de reparto, si le das, por ejemplo, la mitad de tus caramelos a la persona a tu izquierda y la otra mitad a la persona a tu derecha?

Capítulo 2

Formas curiosas

2.1. Perímetros osados

Estas figuras tienen en común una peculiar propiedad, ¿cuál?

2.2. Ruedas raras

Una rueda circular tiene altura constante cuando se mueve por el suelo.

Angela Dellano examina la rueda rara.

Haz una fotocopia de la forma irregular que aparece aquí encima, amplía la imagen y traza la forma en una cartulina para hacer una rueda. Comprueba que esta rueda también tiene altura constante al rodar por el suelo. ¿Cómo he conseguido hacerla?

2.3. Piezas cuadradas en agujeros no tan redondos

Tal vez te interese leer la solución al problema anterior antes de intentar resolver este.

Meter una pieza cuadrada en un agujero redondo no es imposible. Para conseguir una pieza que se ajuste bien, las cuatro esquinas tienen que tocar las paredes del agujero. No importa cómo esté orientado el cuadrado, los cuatro vértices siempre tocan el círculo, es una propiedad de esta figura geométrica. ¿Es el círculo la única figura en la que se puede inscribir un cuadrado de esta manera?

Capítulo 3

Pares o nones…¿Qué probabilidades hay?

3.1. Truco con monedas

Han lanza doce monedas sobre una mesa. Cierra los ojos y le pide a John que gire tantas como quiera. Si quiere, John puede girar la misma moneda todas las veces o el número de veces que le parezca. La única condición es que cada vez que le dé la vuelta a una moneda, tiene que decir en voz alta la palabra “vuelta”.

Al terminar, John tapa una moneda con la mano y le dice a Han que ya puede abrir los ojos. Entonces Han rápidamente dice cómo está la moneda bajo la mano de John, acertando tanto si es cara como si es cruz. Han consigue acertar siempre que juegan, incluso si usan un número de monedas diferente. ¿Cuál es su truco?

Comentario. Cuando hagas el truco para un grupo grande de personas, intenta utilizar fichas negras por un lado y blancas por otro en lugar de monedas, para que se vean mejor.

3.2. ¿Nos damos la mano?

Con un número impar de personas en la sala, pide a todo el mundo que se dé un apretón de manos un número impar de veces. No es necesario que nadie dé la mano a todo el mundo. De hecho, cada uno podría darse la mano con el mismo grupito de gente varias veces. Lo único que hace falta es que todos participen en un número impar de apretones. Teniendo en cuenta que es de mala educación rechazar la mano de quien te la ofrece (y que no vale estrecharse la mano a uno mismo), ¿en qué curioso apuro se encuentra la gente cuando intenta hacer este experimento?

Comentario. Para asegurarse de que el número de personas que participan en el ejercicio sea impar el organizador puede participar o no. ¡Pero mantén en secreto el motivo de tu participación (o de tu ausencia)!

3.3. Cuarenta y cinco vasos

Se colocan en una mesa cuarenta y cinco vasos de plástico boca arriba. Dando la vuelta a seis cada vez (ni uno más ni menos) se puede conseguir dejar todos los vasos boca abajo. ¡Inténtalo! (Es posible que tengas que dar la vuelta varias veces a los mismos vasos para lograr llevar a cabo esta proeza).

3.4. Más vasos, ahora en fila

Se colocan veintiséis vasos de plástico boca abajo y en fila sobre una mesa. Ángela le da la vuelta a cada uno de los vasos. Entonces llega Barry y gira uno sí, uno no, empezando por el segundo; le sigue Cane, que le da la vuelta a uno sí, dos no, empezando por el tercero; y se continúa así hasta llegar a Zachary, que gira un vaso sí, veinticinco no – o sea, ¡solo el último vaso! Al final del proceso, ¿qué vasos quedan boca arriba?

John Dockstader intenta dar la vuelta a los 45 vasos.

Capítulo 4

Troceando, cortando y evitando los trozos feos

4.1. Troceando tofu con eficacia

Un cubo de tofu se puede dividir en veintisiete cubitos con seis cortes planos. ¿Es posible hacer lo mismo con menos de seis cortes si se nos permite apilar los trozos de tofu ya cortados antes de volver a hacer un corte?

Una vuelta de tuerca. ¿Cuál es el menor número de cortes necesarios para trocear un cubo de tofu de 4 × 4 × 4 en 64 cubitos? ¿Y uno de 5 × 5 × 5?

James Taylor intenta trocear el tofu en cubitos con menos de seis cortes.

4.2. Cortando papel con eficacia

Vamos a reducir el problema del cubo de tofu a una dimensión menos. Es posible cortar un trozo de papel de 4 cm × 5 cm en veinte cuadrados haciendo solo siete cortes en línea recta. De hecho, es posible hacerlo con menos cortes si apilamos los trozos que vamos cortando (mira el siguiente diagrama). ¿Cuál es el menor número de cortes necesario para un trozo de papel como este? ¿Y para un trozo de papel de dimensión arbitraria m cm×n cm?

Ir apilando los trozos de papel ya cortados te permite cortar un papel de 4 cm × 5 cm en veinte cuadraditos haciendo menos de siete cortes en línea recta.

4.3. Chocolate malo (¡Imposible!)

A Dan y a James les dan una tableta de chocolate rectangular de dimensiones 4 × 8 con marcas para dividirla en 32 onzas. Se dan cuenta de que la onza de chocolate de la esquina inferior derecha está estropeada y no se puede comer.

Estos dos caballeros deciden hacer el siguiente juego: Dan rompe la tableta por una de las líneas de división marcadas, le da a James el trozo con la onza estropeada y aparta el otro trozo. Entonces James hace lo mismo, divide en dos partes el trozo que le ha dado Dan, siempre siguiendo una de las líneas marcadas, y le devuelve la parte con la onza estropeada dejando el otro trozo aparte. Y así sucesivamente. El juego continúa hasta que alguno recibe únicamente la onza estropeada. Esa persona pierde y la otra se queda con el resto de chocolate. Si tuvieras que jugar tú, ¿qué estrategia usarías?

Una vuelta de tuerca. Otra tableta de chocolate, ahora cuadrada, tiene una onza estropeada situada tal como se ve en la figura. ¿Jugarías al mismo juego con esta tableta?

Capítulo 5

Trucos “imposibles” con papel

5.1. Un agujero enorme

¿Puedes hacer un agujero en una tarjeta postal que sea tan grande como para pasar a través de él? ¡Yo, sí!

5.2. La pestaña misteriosa

El papel se fabrica plano y en dos dimensiones. ¿Cómo es posible entonces construir un trozo de papel con una pestaña que “se salga” del plano y “entre” en la tercera dimensión? La pestaña es contigua a la base plana de papel. No se ha usado ningún adhesivo para construirla.

5.3. Trenzas extrañas

Normalmente las trenzas se hacen con tres tiras que están unidas por un lado y sueltas por el otro.

¿Se puede hacer una trenza con tiras unidas por los dos lados?

Comentario. Puedes usar un trozo rectangular de papel, pero el fieltro es más flexible y fácil de manipular.

5.4. Anillos (des)enlazados

Dos anillos enlazados tienen la propiedad de que si cortas cualquiera de los dos se forman dos piezas separadas.

¿Es posible enlazar tres anillos de papel de tal manera que, cortando (una sola vez) cualquiera de los tres, la figura se divida necesariamente en tres piezas separadas?

Capítulo 6

Desafíos de teselado

6.1. Tablero de ajedrez I

Es imposible construir un mosaico de 7 × 7 cuadrados con piezas de dominó de 2 × 1 de forma que cada cuadrado del tablero esté cubierto por una pieza de dominó y que ninguna pieza se salga del tablero. ¿Sabrías decir por qué? (Construir un mosaico de esta forma se llama teselar). Sin embargo, si quitamos una de las esquinas del tablero sí que es posible construir el mosaico (que ahora tiene 48 cuadrados).

Y si en lugar de quitar una esquina quitamos el cuadrado de al lado, ¿se puede construir este mosaico? (¡Intenta hacerlo! Dibuja una cuadrícula en un papel y sustituye las piezas de dominó por clips).

6.2. Tablero de ajedrez II

Este es un problema clásico de la teoría de teselados con fichas de dominó. Si ya has pasado por la sección 6.1. la solución es evidente.

Se eliminan las esquinas diagonalmente opuestas de un tablero de 8 × 8. ¿Se pueden teselar los 62 cuadrados restantes con treinta y una piezas de dominó?

6.3. Tablero de ajedrez III

¿Es posible teselar un tablero de 8 × 8 con veintiuna piezas de 3 × 1 y una de 1 × 1? Si lo es, ¿cómo se hace? Y si no lo es, ¿por qué no?

6.4. Tablero de ajedrez IV

Aquí tenemos un teselado de un tablero 6 × 6 con dieciocho piezas de dominó de dimensiones 2 × 1. Fíjate en que el tablero tiene una línea horizontal que separa las piezas en dos grupos (de hecho, también tiene una línea vertical con esta propiedad). Construye otro teselado que también respete estas líneas de separación.

Capítulo 7

Cosas que no se caen

7.1. Incontroladamente inestable

Seguro que este poliedro de seis caras se caerá si lo apoyamos en una mesa tal como se ve en la imagen. ¿Se puede construir un poliedro que siempre vuelque, lo apoyes sobre la cara que lo apoyes?

7.2. Un móvil inquietante

¿Cómo construir un móvil perfectamente equilibrado, hecho con piezas rectas de alambre e hilo, en el que la pieza más baja se extienda más allá del extremo de la más alta? (ver figura)

Fíjate en que los extremos de las piezas forman una curva muy bonita. ¿Qué curva te parece que es?

Una vuelta de tuerca. ¿Se puede hacer un móvil equilibrado en el que la pieza de abajo sobresalga más de dos veces su propia longitud?

7.3. Una torre inquietante

Apilando bloques de madera, se puede construir una escalera de forma que el bloque de arriba sobresalga completamente del extremo del bloque de abajo. ¿Cómo?

Comentario. Para hacer esta actividad también se pueden usar reglas, chocolatinas e incluso naipes.

Yo mismo, inspeccionando la torre imposible de Josh Davis.

Capítulo 8

Locuras de Möbius: variaciones tortuosas sobre un tema clásico

8.1. Möbius básico

Si cortamos una banda de papel por su línea central se separará en dos trozos. Hasta aquí ninguna sorpresa.

Ahora coge una tira de papel, dibuja una línea en el centro por los dos lados y construye una banda de Möbius dando media vuelta a la tira y uniendo los extremos. ¿Qué pasa si cortas esta banda por la mitad (siguiendo la línea que has marcado antes)?

Una vuelta de tuerca 1. Imagina que cortas por la mitad una banda con dos, tres o más medios giros. ¿Eres capaz de predecir el resultado?

Una vuelta de tuerca 2. ¿Cuántos trozos obtenemos al cortar una banda de Möbius en tres? ¿Y si cortamos en cinco una banda con cinco medios giros?

Una vuelta de tuerca 3. Coge una tira de papel muy larga y dale medio giro como para formar una banda de Möbius, pero, antes de unirla, desliza uno de los extremos a lo largo de la tira dando toda la vuelta hasta llegar al otro extremo para formar una banda de Möbius “de doble capa”. (Análogamente, también puedes colocar dos tiras de papel una encima de otra, darles un medio giro a las dos a la vez y unir respectivamente sus extremos). ¿Qué pasa cuando se corta este objeto por su línea central?

8.2. Una construcción de Möbius diabólica

Cada una de estas figuras tiene un agujero central. ¿Qué pasa si cortas la primera alrededor de su agujero central?

¿Y qué pasa si cortas esta, que tiene los dos medios giros en la misma dirección?

¿O esta otra, que tiene los giros en dirección opuesta?

Una vuelta de tuerca. Prueba a hacer diferentes configuraciones con giros y multigiros en la misma dirección o en la contraria. Analiza lo que ocurre e intenta explicar cualquier patrón que pueda ir surgiendo.

Comentario. Para construir estas bandas tan peculiares, empieza cogiendo una tira de papel larga y recortando una sección ovalada en cada extremo. Dibuja unas líneas alrededor de lo que has recortado, te servirán de guía para cortar más tarde. Ahora forma una banda y une cada uno de los extremos con el número de medios giros que quieras.

8.3. Otra construcción de Möbius diabólica

Corta una hoja de papel en forma de X para construir dos bandas de igual longitud y grosor unidas entre sí de forma perpendicular. ¿Qué pasa cuando se corta cada una de ellas a lo largo de su línea central?

¿Cambia el resultado si damos un medio giro a una de las bandas? ¿Y dos medios giros? ¿Y si damos siete medios giros?

Capítulo 9

El dichoso problema de la bicicleta

9.1. ¿Hacia dónde iba la bici?

Este es un problema cada vez más conocido.

Estas huellas son de una bicicleta a la que le han pintado las ruedas de tiza. ¿Hacia qué lado iba la bici y cuál es su longitud?

Dortheanne Roberts montando en bici sobre un papel de cinco metros de largo. Las ruedas de la bici estaban pintadas con tiza y después repasamos con rotuladores las marcas que dejaron para que se vieran mejor.

9.2. El poder del pedal

Mientras se sujeta una bici por el sillín para mantenerla en pie, se empuja hacia atrás el pedal, situado en la posición más baja posible. ¿Hacia dónde se mueve la bici, hacia adelante o hacia atrás?

9.3. Una rareza del yoyó

Un yoyó, con la cuerda enrollada normalmente, se coloca de pie sobre una mesa. Si se tira suavemente de la cuerda, ¿hacia qué lado se mueve el yoyó: hacia delante siguiendo el sentido del tirón o hacia atrás siguiendo la cuerda que se desenrolla?

Capítulo 10

Construcción de superficies en espacios de tres y cuatro dimensiones

10.1. Construcción del toro

Para construir un toro (una superficie con forma de flotador) a partir de un trozo de papel cuadrado basta pegar el borde de arriba con el de abajo para hacer un cilindro y después de doblarlo pegar el borde izquierdo con el derecho. (En topología se dice que los bordes opuestos han sido identificados).

¿Qué superficie se forma si identificamos los bordes opuestos de un hexágono regular? Asegúrate de que la dirección de las flechas coincida cuando pegues los bordes.

10.2. Un toro con un giro inesperado

Otra forma de construir un toro a partir de una banda de papel es pegar el borde superior con el inferior a lo largo de toda la banda. (Pero en la práctica, esto es un poco difícil de hacer. El papel es implacable y no hay manera de estirarlo. El flotador de papel que consigas, después de mucho esfuerzo, ¡estará todo arrugado!).

Supón que a esta banda se le ha dado un medio giro al construirla. ¿Aún podemos formar un toro pegando el borde de arriba con el de abajo?

Comentario. Intenta hacer esta actividad con papel y cinta adhesiva, tela, aguja e hilo, o mejor aún, con plastilina.

10.3. Una tapa para Möbius

La frontera de una banda de Möbius no es nada más que una circunferencia: una circunferencia retorcida en forma de ocho.

La frontera de un disco circular también es una circunferencia. ¿Qué pasa si cosemos las dos figuras a lo largo de su frontera circular común? ¿Qué superficie obtendremos?

Capítulo 11

Paradojas de la teoría de la probabilidad

11.1. ¿El dinero o la cabra?

Este problema clásico de la teoría de la probabilidad se conoce como el problema de Monty Hall, en honor al presentador de “Let’s make a deal!”. Una de las secciones de ese programa de televisión era precisamente este problema.

Imagínate que eres un concursante y delante de ti tienes tres puertas cerradas. Te dicen que detrás de una de esas puertas hay un premio de un millón de dólares en efectivo. Detrás de cada una de las otras puertas hay una cabra. Eliges una puerta, pero antes de abrirla el presentador abre una de las otras dos y aparece… ¡una cabra! Ahora te da la oportunidad de quedarte con tu elección inicial o cambiar de puerta. ¿Qué deberías hacer? ¿Cambiar o quedarte con la puerta que habías elegido al principio? ¿Hay alguna diferencia?

11.2. Doble o… ¡Doble!

Un amigo te pone delante dos bolsas de papel, las dos tienen dentro gominolas. Te dice que una tiene el doble de dulces que la otra y que puedes quedarte con el contenido de una de ellas. Eliges una bolsa, la abres y cuentas las gominolas que hay. Entonces, tu amigo te da la opción de cambiar de idea y quedarte con el contenido de la otra bolsa (¡pero sin mirar!). Suponiendo que tú quieres tener tantas gominolas como puedas (y no te parece que cambiar de bolsa sea insultar a su generosidad), ¿te conviene cambiar o es mejor quedarte con tu elección inicial?

11.3. Desacuerdo entre las cuerdas

Este problema se conoce como la paradoja de Bertrand.

Considera un círculo de radio R. Dentro de este círculo inscribe un triángulo equilátero. Este triángulo tiene un lado de longitud . Supongamos que se selecciona aleatoriamente una cuerda del círculo. ¿Cuál es la probabilidad P de que la longitud de esta cuerda sea mayor que , el lado del triángulo?

Jennifer responde a la pregunta de la siguiente manera: una vez dibujada la cuerda, siempre podemos rotar la imagen del círculo para que uno de los extremos de la cuerda seleccionada coincida con el punto más a la izquierda del círculo. También podemos suponer que todas las cuerdas del problema tienen uno de sus extremos en este punto. Ahora dibujamos el triángulo equilátero como se muestra en la imagen (haciendo coincidir un vértice con ese mismo punto). Está claro que la longitud de la cuerda será mayor que el lado del triángulo si su otro extremo está en el tercio central del perímetro del círculo. Luego P 1/3.

Bill piensa: si el punto medio de la cuerda se encuentra en cualquier parte de la región sombreada de la imagen, su longitud será mayor que la del lado del triángulo. Entonces P es igual a la probabilidad de que el punto medio esté en esta zona. Un cálculo rápido muestra que el área de esa zona es un cuarto del área total de círculo, así que P 1/4.

Joi, por otro lado, argumenta lo siguiente: rotando la figura del círculo con la cuerda seleccionada, podemos suponer que la cuerda es horizontal. Si su punto medio se encuentra en el segmento marcado de la línea vertical de la imagen, la longitud de la cuerda será mayor que el lado del triángulo. Por tanto, P 1/2.

¿Cuál de los tres razonamientos es correcto?

Una vuelta de tuerca. ¿Qué pasaría si lanzases unos cuantos alambres (rígidos) sobre un círculo trazado en el suelo y midieses la longitud de las cuerdas que lo atraviesan? ¿Aproxi- madamente, cuántas tendrían longitud mayor que ?

11.4. Dado alternativo

Un dado ordinario tiene seis caras numeradas del 1 al 6. Así, tirando un par de dados, la probabilidad de obtener un 12 (sumando los valores de los dos dados) es de 1/36; la de obtener un 8 es de 5/36; la de un 4 es 3/36; etc. ¿Es posible numerar dos dados de seis caras con otros números enteros positivos de forma que las probabilidades de las sumas sean las mismas que para dos dados comunes?

Una vuelta de tuerca. Dos dados tetraédricos “comunes” tienen cuatro caras numeradas del 1 al 4. ¿Hay alguna manera ingeniosa de numerarlos de otra forma, pero manteniendo las mismas probabilidades para las sumas?