Sistemas dinámicos en contexto E-Book

Carlos M. Vélez

• Herausgeber: Universidad EAFIT
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 756

Veröffentlichungsjahr: 2024

Beschreibung

El objetivo general de este libro es identificar, enlazar y aplicar los principales conceptos, métodos matemáticos y herramientas de los sistemas dinámicos, la teoría de la estimación y los sistemas de control en diversas áreas del conocimiento (sistemas en contexto). Esto se logra con la determinación de las características del sistema de manera matemática en problemas sencillos, y computacionalmente, con ayuda de MATLAB y Simulink, en problemas más complejos. Entre las estrategias metodológicas del libro están: el énfasis en una visión sistémica de los temas y los problemas, la aplicación de métodos no lineales con un enfoque desde los sistemas no lineales, la solución de problemas y la verificación de resultados con MATLAB, el énfasis en los conceptos y los métodos de áreas afines (investigación, ciencia, pensamiento sistémico, matemáticas, educación), el enfoque basado en competencias de aprendizaje, casos de estudio de diversa naturaleza (no solamente físicos) en los que se aplican e integran todos los temas vistos en el libro, ejercicios resueltos y propuestos, prácticas tipo proyecto con MATLAB, y otros recursos en el sitio web del libro (https://siscontexto.blogspot.com)

Leseprobe

Sistemas Dinámicos en Contexto

Carlos Mario Vélez S

Vélez-Sánchez, Carlos Mario

Sistemas dinámicos en contexto : modelación matemática, simulación, estimación y control con MATLAB / Carlos Mario Vélez-Sánchez - Medellín : Editorial EAFIT, 2024.

; 21.5 cm . -- (Cuadernos Z).

ISBN: 978-958-720-931-0

ISBN: 978-958-720-933-4 (versión PDF)

ISBN: 978-958-720-932-7 (versión EPUB)

1. Sistemas dinámicos. 2. Ecuaciones diferenciales. 3. Teoría de la estimación. 4. Sistemas no lineales. 5. MATLAB. I. Tít. II. Serie

510.285536 cd 23 ed.

V436

Universidad Eafit- Centro Cultural Biblioteca Luis Echavarría Villegas

Sistemas Dinámicos en Contexto

Primera edición: noviembre de 2024

© Carlos Mario Vélez S.

© Editorial EAFIT

Carrera 49 No. 7 sur - 50. Medellín, Antioquia

http://www.eafit.edu.co/editorial

Correo electrónico: [email protected]

ISBN: 978-958-720-931-0

ISBN: 978-958-720-933-4 (versión PDF)

ISBN: 978-958-720-932-7 (versión EPUB)

DOI: https://doi.org/10.17230/978-958-720-931-0

Edición: Editorial EAFIT

Corrección de textos: Daniela Álvarez

Diseño de carátula: Margarita Rosa Ochoa Gaviria

Imagen de carátula: Retrato de fase y puntos de equilibrio del modelo de un péndulo simple sin fricción viscosa

Universidad EAFIT | Vigilada Mineducación. Reconocimiento como Universidad: Decreto Número 759, del 6 de mayo de 1971, de la Presidencia de la República de Colombia. Reconocimiento personería jurídica: Número 75, del 28 de junio de 1960, expedida por la Gobernación de Antioquia. Acreditada institucionalmente por el Ministerio de Educación Nacional hasta el 2026, mediante Resolución 2158 emitida el 13 de febrero de 2018

Prohibida la reproducción total o parcial, por cualquier medio o con cualquier propósito, sin la autorización escrita de la editorial

Diseño epub:Hipertexto – Netizen Digital Solutions

Tabla de contenido

Nomenclatura

Prefacio

1 Fundamentos matemáticos de los sistemas dinámicos

1.1 Introducción

1.2 Ecuaciones diferenciales de sistemas dinámicos lineales de tiempo continuo

1.2.1 Conceptos

1.2.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables

1.2.3 Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales

1.2.4 Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden

1.2.5 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

1.3 Transformada de Laplace

1.3.1 Definición

1.3.2 Transformadas básicas

1.3.3 Propiedades operacionales

1.3.4 Transformada inversa de Laplace

1.4 Función de transferencia de tiempo continuo

1.4.1 Definición

1.4.2 Polos y ceros

1.4.3 Reducción del orden de la función de transferencia

1.5 Ecuaciones en diferencias de sistemas dinámicos lineales de tiempo discreto

1.5.1 Conceptos

1.5.2 Discretización o digitalización de señales

1.5.3 Solución iterativa

1.5.4 Solución analítica

1.6 Transformada z

1.6.1 Definición

1.6.2 Transformadas básicas

1.6.3 Propiedades operacionales

1.6.4 Transformada z inversa

1.7 Función de transferencia de tiempo discreto

1.7.1 Definición

1.7.2 Discretización de la función de transferencia

1.7.3 Interpretación de la función de transferencia

1.8 Ecuaciones en el espacio de estado

1.8.1 Conceptos básicos

1.8.2 Ecuación de estado a partir de la ecuación diferencial o en diferencias

1.8.3 Solución de la ecuación de estado homogénea lineal de tiempo continuo por valores y vectores propios

1.8.4 Solución de la ecuación de estado lineal de tiempo continuo por transformada de Laplace

1.8.5 Matriz de transición del estado y el método de las series de potencias

1.8.6 Discretización de la ecuación de estado de tiempo continuo.

1.8.7 Transformaciones lineales y formas canónicas

1.8.8 Polos y ceros de sistemas MIMO a partir de la ecuación de estado

1.9 Relación entre representaciones de sistemas dinámicos

2 Modelación matemática y simulación de sistemas dinámicos

2.1 Introducción

2.2 Modelación y simulación de sistemas dinámicos

2.3 El enfoque de sistemas en la modelación y el control

2.4 Diagrama de bloques

2.5 Gráficos de flujo de señal

2.6 Diagramas de estado o simulación

2.7 Método numérico de Euler

2.8 Simulación de sistemas dinámicos con Simulink

2.9 Escalamiento o normalización de modelos

2.10 Análisis de sensibilidad e incertidumbre

2.10.1 Teoría de errores y aproximación

2.10.2 Análisis de incertidumbre por el método de Montecarlo

2.10.3 Análisis de sensibilidad global basado en la varianza

3 Análisis de sistemas dinámicos

3.1 Introducción

3.2 Retratos de fase y puntos de equilibrios

3.3 Características de los sistemas no lineales

3.3.1 No cumplimiento del principio de superposición

3.3.2 Tiempo de escape finito

3.3.3 Múltiples puntos de equilibrio aislados

3.3.4 Estabilidad local

3.3.5 Ciclo límite

3.3.6 Respuesta no sinusoidal a una entrada sinusoidal

3.3.7 Caos

3.3.8 Bifurcación

3.4 Linealización

3.5 Análisis de estabilidad

3.5.1 Definición de estabilidad

3.5.2 Método directo de Lyapunov para modelos no lineales

3.5.3 Método indirecto de Lyapunov para modelos no lineales

3.5.4 Método de Routh-Hurwitz para modelos lineales de tiempo continuo y tiempo discreto

3.5.5 Método de Jury para modelos lineales de tiempo discreto

3.5.6 Método del lugar de las raíces

3.6 Análisis temporal

3.6.1 Respuesta temporal de un sistema de primer orden

3.6.2 Respuesta temporal de un sistema de segundo orden subamortiguado

3.7 Análisis frecuencial

3.7.1 Definición

3.7.2 Diagrama de Bode o logarítmico

3.7.3 Características frecuenciales

3.7.4 Análisis de Fourier y el espectro de potencias

3.7.5 Filtro pasabajas

3.7.6 Análisis de estabilidad a partir del diagrama de Bode

4 Diseño de sistemas básicos de control lineal

4.1 Introducción

4.2 El problema y requerimientos de control

4.3 Control digital

4.4 El papel del integrador en la eliminación del error en estado estacionario en lazo cerrado

4.5 Control de asignación de polos y ceros por el enfoque polinomial

4.6 Controlador PID

4.7 Predictor de Smith

4.8 Saturación y transición suave entre los modos automático y manual

4.9 Control de asignación de polos por realimentación del estado para sistemas lineales invariables en el tiempo

4.9.1 Ideas generales

4.9.2 Método para sistemas con una sola entrada

4.9.3 Método para sistemas con múltiples entradas

4.9.4 Control de asignación de polos por realimentación del estado con referencia y eliminación del error en estado estacionario

4.10 Controlabilidad y observabilidad

4.10.1 Controlabilidad de sistemas con una entrada

4.10.2 Observabilidad de sistemas con una salida

4.10.3 Controlabilidad y observabilidad al muestrear

4.10.4 Controlabilidad y observabilidad de sistemas con múltiples entradas y salidas

4.10.5 Interpretación de la controlabilidad y observabilidad - Formas canónicas

5 Identificación de sistemas dinámicos

5.1 Introducción

5.2 Objeto y método de la identificación de sistemas

5.3 Estructuras lineales discretas del modelo

5.3.1 ARX

5.3.2 ARMAX

5.3.3 OE

5.3.4 BOX-JENKINS

5.3.5 ARARX

5.3.6 Estructuras para modelos MIMO

5.4 Métodos no paramétricos de identificación de sistemas

5.4.1 Método de la respuesta temporal

5.4.2 Método de correlación

5.4.3 Método espectral

5.5 Métodos paramétricos para la estimación de parámetros

5.5.1 Método de mínimos cuadrados

5.5.2 Método de la variable instrumental

5.5.3 Método del error de predicción

5.5.4 Versión recursiva de los métodos paramétricos

5.6 Aspectos prácticos de la identificación de sistemas

5.6.1 Diseño de la entrada

5.6.2 Señales típicas de identificación

5.6.3 Preprocesamiento de datos

5.6.4 Selección del orden y el retardo

5.6.5 Validación con el coeficiente de determinación

5.6.6 Validación con análisis residual (prueba de blancura)

5.6.7 Identificación en lazo cerrado

5.6.8 Intervalo de confianza de los parámetros

5.7 Estimación de parámetros de sistemas no lineales con modelos caja gris

6 Estimación del estado

6.1 Introducción

6.2 Observadores lineales de estado.

6.3 Filtro de Kalman

6.4 Filtro extendido de Kalman

6.5 Aspectos prácticos de la implementación del filtro de Kalman

6.6 Filtro de Kalman conjunto para la estimación del estado y parámetros

7 Casos de estudio

8 Ejercicios resueltos

9 Ejercicios propuestos

Referencias

Índice

Nomenclatura

(A,B,C,D)

Matrices del modelo continuo lineal en variables de estado.

Dimensiones: (n×n),(n×m),(p×n),(p×m)

(A,B,C,D)

Polinomios de un modelo ARX, ARMAX, OE o Box-Jenkins

A−1

Inversa de la matriz A

AT

Transpuesta de la matriz A

argminxf(x)

Valor de x que minimiza la función f(x)

Cr

Factor de cresta de una señal

Cu(τ)

Autocovarianza de la variable u(t) : Cu(τ)E[u(t)−μu][u(t−τ)−μu]

Coincide con la autocorrelación si la media es igual a cero

Cuv(τ)

Covarianza cruzada de las variables u(t) y v(t): Cuv(τ)E[u(t)−μu][v(t−τ)−μv]T

Coincide con la correlación si las medias son iguales a cero

cond(A)

Número de condición de la matriz A

d⌊τTs⌋

Retardo puro discreto de un sistema dinámico a partir del retardo continuo τ del modelo continuo

δ(t−τ)

Función delta de Dirac de tiempo continuo (definida en cada instante del tiempo en un intervalo determinado)

δ(k−n)≡δk,n

Función delta de Kronecker (δkn) o función impulso unitario de tiempo discreto

{Δxixi−xi0Δuu−u0

Variables incrementales con respecto al punto de equilibrio (x0,u0)

y˙dydt,y(n)dnydtn

Derivadas ordinarias de orden 1 y orden n con respecto al tiempo

e(t),e(k)

Ruido blanco dado por una secuencia de variables aleatorias independientes.

e(t),e(k)

Variable de error igual a la diferencia entre la variable de referencia y la variable de salida (variable controlada) de un sistema dinámico con realimentación: e(t)r(t)−y(t)

esslimt→∞e(t)

Error en estado estacionario o valor final de la variable de error

ε(t),ε(k)

Error de predicción o innovación: ε(t)y(t)−y^(t)

Ev(t),E[v(t)]

Esperanza matemática de la variable aleatoria v(t)

eAt≡I+At+(At)22!+⋯

Matriz exponencial (es solo una representación y debe interpretarse como una serie infinita de potencias)

f(t)

Función de tiempo continuo (definida en cada instante del tiempo en un intervalo determinado)

f(k),f(kTs)

Función de tiempo discreto (se puede omitir el período de muestreo Ts y asumir que está implícito)

fs1Ts

Frecuencia de muestreo (Hz)

fX(x)

Función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X (PDF - "Probability Density Function")

FX(x)

Función de distribución (acumulada) de probabilidad de la variable aleatoria X

F{u(t)}U(ω)

Transformada de Fourier

φ(k),φ(t)

Vector de regresión en la estimación con mínimos cuadrados

Φ(t)≡eAt

Matriz de transición del estado, equivalente a la matriz exponencial

(Φ,Γ,C,D)

Matrices del modelo lineal discreto en variables de estado.

Dimensiones: (n×n),(n×m),(p×n),(p×m)

Φu(ω)

Espectro de potencia o densidad espectral de potencia de la función u(k)

G(s),G(z)

Función de transferencia en la variable s (continua o discreta)

G(s),G(z)

Matriz de funciones de transferencia en la variable s (continua o discreta)

Glc(s),Glc(z)

Función de transferencia en lazo cerrado

i−1

Número imaginario

I

Matriz identidad

Im(λ)

Parte imaginaria del número complejo λ

k

Variable de tiempo discreto (kTs,k0,1,2,… donde el período de muestreo Ts está implícito. En ocasiones se toma tkTs

K

Ganancia constante

Kp

Constante de acción proporcional de un controlador PID

K

Matriz de ganancias en un control estático de realimentación del estado

K(k)

Ganancia o matriz de Kalman

L{f(t)}F(s)

Transformada de Laplace

λα±iβ

Raíz característica o valor propio

m

Número de entradas de un sistema dinámico

Mc

Matriz de controlabilidad

MF

Margen de fase de un sistema dinámico

MG

Margen de ganancia de un sistema dinámico

Mο

Matriz de observabilidad

Mp

Sobreimpulso máximo de la respuesta temporal con oscilaciones de un sistema dinámico

Mr

Pico de resonancia de la respuesta frecuencial de un sistema dinámico lineal

μvEv(k)

Esperanza matemática, valor esperado o media de la variable v(k)

n

Orden de un sistema dinámico (número de variables de estado)

na

Número de parámetros del denominador A(q−1) de la función de transferencia discreta del modelo del proceso

nb

Número de parámetros del numerador B(q−1) de la función de transferencia discreta del modelo del proceso

nc

Número de parámetros del numerador C(q−1) de la función de transferencia discreta del modelo de la perturbación

nd

Número de parámetros del denominador D(q−1) de la función de transferencia discreta del modelo de la perturbación:

nk

Retardo total discreto (orden relativo) de la función de transferencia: nkd+nr≥1

Np

Número total de parámetros de una estructura de un modelo matemático

nrn−m

Orden relativo de un sistema dinámico (diferencia entre el número de polos y ceros finitos)

N

Número de datos en un experimento de estimación de parámetros

p

Número de salidas de un sistema dinámico

P

Período de una señal periódica

P

Matriz de covarianzas: PE(v−μv)(v−μv)T

vi

Vector propio correspondiente al valor propio λi : λiviAvi

pe

Orden de excitación persistente de una señal

q,q−1

Operadores de desplazamiento hacia delante y hacia atrás

r(t),r(k)

Señal de referencia (setpoint) o señal deseada en un sistema en lazo cerrado. k0,1,2,…,N−1

Ru(τ)

Autocorrelación de la variable u(t):Ru(τ)Eu(t)u(t−τ)

Ruv(τ)

Correlación cruzada de las variables u(t) y v(t) : Ruv(τ)Eu(t)v(t−τ) , donde Ruv(τ)Ruv(−τ)

Re(λ)

Parte real del número complejo λ

Ry2

Coeficiente de determinación de la variable y

rank(A)

Rango de la matriz A

siω

Variable compleja de la transformada de Laplace

σu2Cu(0)

Varianza de la variable u(k) : Cu(0)E[u(t)−μu][u(t)−μu]T

σv

Desviación estándar de la variable v(k)

t,tkTs

Tiempo continuo o tiempo discreto (en ocasiones se usa t en lugar de k)

Ts

Período de muestreo (se omite el subíndice cuando no hay opciones de confusión con la constante de tiempo)

T

Constante de tiempo para un sistema equivalente de primer orden

T

Matriz de transformación lineal o de similitud

Td

Constante de tiempo derivativo de un controlador PID

Ti

Constante de tiempo integral de un controlador PID

tp

Tiempo de pico de la respuesta temporal

tr

Tiempo de crecimiento de la respuesta temporal

ts

Tiempo de establecimiento de la respuesta temporal

tr(A)

Traza de la matriz A

τ

Retardo continuo de un sistema dinámico, el cual se introduce en la señal de entrada: u(t−τ)

θ^,θ0

Vector de parámetros estimados y exactos de un modelo matemático

us(t−τ){00⩽t<11t⩾1

Función escalón unitario o de Heaviside

u(t),u(k)

Vector de entradas de tiempo continuo o discreto de dimensión (m×1)

v(t),v(k)

Vector de perturbaciones o ruidos de la medida de dimensión (p×1)

V(x)

Función de Lyapunov

VN(θ),V(θ)

Función de coste (se omite el subíndice cuando no hay opciones de confusión con otra función)

varvσv2

Varianza de la variable aleatoria v

w(t),w(k)

Vector de ruidos de las variables de estado del sistema (perturbaciones no medibles, dinámicas no modeladas) de dimensión (n×1)

ω

Frecuencia angular de un movimiento periódico (rad/s)

ω0

Frecuencia angular no amortiguada de un movimiento periódico (rad/s)

ωB

Ancho de banda (rad/s) de la respuesta frecuencial de un sistema dinámico lineal

ωcf

Frecuencia de cruce de fase (rad/s)

ωcg

Frecuencia de cruce de ganancia (rad/s)

ωNωs/2

Frecuencia de Nyquist (rad/s)

ωr

Frecuencia de resonancia (rad/s) de la respuesta frecuencial de un sistema dinámico lineal

ωs2πTs2πfs

Frecuencia de muestreo (rad/s)

{x1,…,xn}

Conjunto de variables de estado

x~i,u~j

Variables escaladas (divididas por el máximo valor esperado de dicha variable)

x(t),x(k)

Vector de estados de tiempo continuo o discreto de dimensión (n×1)

x(0)

Condición inicial del sistema dinámico de tiempo continuo o discreto

x^(k)

Vector de estados estimados de dimensión (n×1)

x0(t),x0(k)

Variables de estado en un punto de equilibrio del sistema dinámico de tiempo continuo o discreto

y(t),y(k)

Vector de salidas o respuestas temporales de un sistema dinámico de dimensión (p×1)

y^(k),y^(t)

Vector (p×1) de salidas o respuestas temporales estimadas de un sistema dinámico en el instante discreto k o t

y(k+1),y(k+n)

Diferencias finitas hacia delante de orden 1 y orden n

y(k−1),y(k−n)

Diferencias finitas hacia atrás de orden 1 y n

y∗(t)

Variable muestreada

ysslimt→∞y(t)

Respuesta temporal en estado estacionaria o valor final de la salida y(t)

zeTss

Variable compleja de la transformada z

Z{f(k)}F(z)

Transformada z modificada

Zm{f(k)}

Transformada z

ζ

Razón de amortiguamiento de un sistema dinámico lineal de segundo orden.

*

Símbolo de convolución: f(t)∗g(t)

|z|Re2(z)+Im2(z)

Magnitud del número complejo zα+iβ

‖A‖

Norma de la matriz A

Prefacio

El objetivo general del libro es identificar, enlazar y aplicar los principales conceptos, métodos matemáticos y herramientas de los sistemas dinámicos, la teoría de la estimación y los sistemas de control, por medio de la determinación matemática de las características básicas en problemas simples que permitan el desarrollo intuitivo de los temas, la determinación de las características complejas con ayuda de herramientas computacionales (MATLAB® y Simulink®®) que integren los diversos métodos, y la aplicación a problemas de diversas áreas del conocimiento (sistemas en contexto).

El área de los sistemas dinámicos ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la ciencia y la tecnología, dado que permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de análisis, diseño, optimización y control. El área es transversal, por aplicarse a diferentes tipos de sistemas, y genérica, en cuanto a que utiliza métodos, técnicas y tecnologías de varias áreas de conocimiento bajo un enfoque sistémico basado en el modelo matemático. Un sistema se define como un conjunto de elementos unidos y en interacción (no necesariamente con un objetivo definido), y puede aplicarse a fenómenos materiales o abstractos (físicos, químicos, biológicos, ecológicos, económicos, sociales, matemáticos, entre otros). Todos los sistemas están compuestos por elementos, tienen una estructura, tienen sinergia e interactúan con su entorno.

El enfoque de sistemas es un estudio interdisciplinario que proporciona una visión general para la solución integrada y holística de problemas de diversa naturaleza, con un énfasis en los patrones de cambio e interacciones, y la integración y transferencia de conocimientos, conceptos y principios de diversas áreas, reduciendo la duplicación del esfuerzo teórico. Un principio es una proposición o verdad fundamental aceptada a partir de la cual se inicia el estudio de las ciencias o las artes; son leyes de la naturaleza que no se pueden demostrar explícitamente, pero que se pueden medir y cuantificar observando los resultados que producen. La teoría de los sistemas dinámicos se integra en la cibernética, es decir, en la ciencia dedicada al estudio de los métodos de comunicación (transmisión y recepción de información mediante un código común entre el emisor y el receptor), control y autoorganización comunes a máquinas y organismos vivos. La información, por su parte, es un conjunto de datos organizados y correlacionados que se generan, almacenan, analizan, interpretan o transmiten para formar un mensaje que reduce la incertidumbre y cambia el estado de conocimiento del receptor; un dato aislado no es información, como tampoco lo son datos no relacionados; para que aparezca la información debe haber un enlace entre los fragmentos de los datos.

En el estudio de los sistemas dinámicos, es importante tener en cuenta que, aunque la mayoría de los sistemas dinámicos incluyen señales estocásticas (comportamiento aleatorio o al azar), una práctica común y exitosa consiste en considerar que los sistemas dinámicos son determinísticos (comportamiento que no depende del azar) y tratar las señales desconocidas e impredecibles como perturbaciones, analizando el impacto de las perturbaciones por medio de la simulación. En este contexto, un proceso es una operación o desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden uno al otro en una forma relativamente fija y conducen a un resultado o propósito determinados; es el sistema sobre el cual se concentra un estudio. Una señal es la representación física de una variable; a una señal le corresponde una variable y viceversa, por lo que en la mayoría de los casos pueden considerarse equivalentes y solo se diferencian por el contexto (señal en diagramas de flujo y variable en expresiones matemáticas).

Una perturbación es una variable externa determinística o aleatoria, medible o no medible, no deseada y no manipulable, aplicada a un sistema y que afecta adversamente su comportamiento. A diferencia de una perturbación (aplicada en el canal de entrada), un ruido afecta una medición de una variable (canal de salida), mas no al sistema mismo. La relación señal/ruido es la relación que hay entre la potencia de la señal que se transmite y la potencia del ruido indeseado (también se puede dar como una relación ruido/señal); una relación ruido/señal pequeña minimiza el impacto negativo del ruido.

De otro lado, la mayoría de los sistemas dinámicos son no lineales, es decir, no cumplen con el principio de superposición (sección 3.3.1) y no cuentan con métodos y herramientas de simple aplicación, por lo que el enfoque de aproximación lineal es ampliamente utilizado en ingeniería al generar modelos simples sobre los cuales se aplican métodos matemáticos muy bien definidos y exactos. La obtención de modelos matemáticos lineales en cierto intervalo de operación se realiza por medio de una operación llamada linealización (sección 3.4). En este libro se parte de una visión no lineal, pero se aplican métodos lineales en el análisis y diseño que luego se verifican en simulación sobre el modelo no lineal. Esta es una característica que no es común en los textos de sistemas dinámicos y sistemas de control.

En relación con el libro, entre sus características metodológicas están:

• Énfasis en una visión sistémica de los temas y problemas, lo cual facilita la integración de los métodos con aplicaciones concretas. Es decir, se presentan los temas haciendo énfasis en los aspectos genéricos de un sistema específico en vez de sus particularidades.

• Enfoque desde los sistemas no lineales, llegando finalmente a soluciones lineales importantes para todo ingeniero, pero volviendo al contexto no lineal de donde provienen, es decir, el análisis y diseño lineales se prueban sobre el sistema no lineal, generalmente en simulación. El enfoque no lineal es fundamental en la mayoría de los casos de estudio del capítulo 7.

• Solución y verificación [1] de problemas con MATLAB (para la implementación de los algoritmos) y Simulink (para la simulación), con los respectivos archivos disponibles en el sitio web del libro [2]. El uso de MATLAB obedece a que el código es casi un pseudocódigo (lenguaje sencillo, informal y cercano al lenguaje coloquial que no puede ejecutarse en un computador, pero sí en el papel) y permite concentrarse en los aspectos de la implementación más que en los detalles del lenguaje y su compilación. Además, existe software alternativo y gratuito de MATLAB que se puede usar en muchos casos (Octave, Scilab). El uso de Simulink se justifica por la simplicidad para obtener diagramas bien documentados y con la posibilidad de separar el método numérico de la idea misma del modelo; de hecho, Simulink puede utilizarse como una herramienta visual de programación y a partir de sus diagramas se puede generar código en C y otros lenguajes, permitiendo incluso su uso en esquemas de control en tiempo real de procesos reales, donde el diagrama de Simulink se convierte en la interfaz gráfica de usuario. En este libro se utiliza la versión 2022b de MATLAB, por lo que el lector debe revisar los cambios correspondientes a las nuevas versiones y estar atento a las novedades en el blog del libro. El código presentado es simple y sin mucha documentación, para que el lector lo tome como punto de partida para la comprensión de la teoría. De este modo, el lector debe documentar cada programa.

• Énfasis en los conceptos y métodos de áreas afines (investigación, ciencia, pensamiento sistémico, matemáticas, educación), los cuales se introducen brevemente en el libro y se profundizan en la web del libro [2]. El lector debe revisar el índice al final del libro para identificar en que página se define un concepto.

• Enfoque basado en competencias de aprendizaje en la introducción de los temas y en la propuesta de ejercicios con diferentes niveles de desempeño, con el desarrollo de diferentes tipos de pensamiento matemático (numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional) y de procesos generales de la matemática (solución de problemas, procedimientos matemáticos, modelación y simulación, comunicación de los resultados por medio de figuras y tablas adecuadas). Una competencia de aprendizaje es la capacidad de una persona para movilizar diversos tipos de recursos adquiridos (conocimientos, habilidades, actitudes, valores) para hacer frente a situaciones y contextos de la vida personal, social o laboral. Un resultado de aprendizaje se define en términos del nivel verificable y factible de conocimientos, habilidades y actitudes al final de una actividad curricular específica en un módulo del curso (las competencias definen el nivel de desempeño general).

•Casos de estudio [3] de diversa naturaleza (sistemas dinámicos en contexto) en la web del libro (la descripción se da en el capítulo 7), de una manera que se integran diferentes temas y niveles de desempeño, enlazándolos con temas pasados (que permite el repaso y afianzamiento de competencias) y futuros (a modo de motivación). Los casos de estudio siempre incluyen pruebas de simulación en computador (capítulo 2) haciendo énfasis en asuntos de incertidumbre y sensibilidad en los parámetros (sección 2.10), de manera que se obtienen soluciones más útiles en la práctica y se está mucho más cerca de la implementación en el sistema real.

•Ejercicios resueltos [4] en la web del libro con aplicación del método de solución de problemas, de manera que se pueda profundizar en la aplicación de la teoría y mejorar las habilidades de solución de problemas y utilización de MATLAB. Los ejercicios están clasificados de manera que se identifica fácilmente el tema o temas que tratan.

•Ejercicios propuestos [5] y prácticas con MATLAB [6] en la web del libro, con una formulación que integra la teoría, el procedimiento de solución de problemas, la verificación [1] con MATLAB y la adecuada interpretación de resultados. No se indica la solución de cada problema, dado que se exige su verificación con MATLAB. Los ejercicios están clasificados de manera que se identifica fácilmente el tema o temas que tratan.

•Sitio web del libro [2], el cual incluye recursos sobre cada tema del libro: espacio para formular preguntas y proponer respuestas, ejercicios resueltos y propuestos, prácticas con MATLAB, programas y recursos de MATLAB y Simulink, línea histórica de los sistemas dinámicos y sus temas afines dentro del contexto de la matemática, la ciencia, la tecnología, la computación y la teoría de sistemas.

Para abordar este libro es necesario comprender los conceptos y métodos básicos del álgebra básica, trigonometría, álgebra lineal, cálculo diferencial, cálculo integral, cálculo en varias variables y números complejos. Adicionalmente, el lector debe manejar los elementos básicos de programación. Dada la importancia de las ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace, en el libro hay una sección donde se resumen sus principales conceptos y métodos descritos en términos de la variable independiente t, como sucede en los libros clásicos de ecuaciones diferenciales.

La introducción de cada capítulo contiene las ideas generales y prerrequisitos, un resumen de cada uno de los temas, preguntas generales, la competencia específica de aprendizaje del capítulo y los respectivos resultados de aprendizaje. Los ejercicios propuestos del capítulo 9 contienen problemas simples para su solución analítica y ejercicios un poco más complejos que integran varias competencias y requieren del uso de MATLAB. Se pide al lector aplicar la técnica de la solución de problemas y enlazar la teoría con los procedimientos computacionales (programas de MATLAB) para su mejor comprensión.

La solución analítica de un problema matemático es una expresión matemática explícita en términos de funciones conocidas, la cual se obtiene aplicando de manera lógica ciertas operaciones específicas. La solución numérica es una solución en forma de números presentados por medio de gráficos o tablas. El análisis de la solución numérica se circunscribe solo a los valores específicos de los parámetros, es decir, solo se puede afirmar que un parámetro afecta cierta característica de un sistema si se cambia en cierto intervalo de estudio. La principal ventaja de la solución analítica sobre la numérica es su capacidad de generalizar los resultados sin tener que probar diversos escenarios; por ejemplo, la solución analítica de una ecuación diferencial muestra directamente el efecto de cada parámetro.

La solución de problemas es el proceso de diseño, evaluación e implementación de una estrategia para responder una pregunta abierta o lograr el objetivo deseado. Pasos del método de solución de problemas, el cual se puede ajustar a un formato IMRAD (Introduction, Methods, Results, And Discussion) [7]: 1) Planteamiento y comprensión del problema (INTRODUCCIÓN). 2) Plan de solución (MÉTODOS). 3) Cálculo de la Resultados (solución). 4) Verificación [1] e interpretación de la solución (DISCUSIÓN).

Las competencias genéricas para afianzar en este libro son:

1. Aplicar conceptos y métodos matemáticos para representar y comprender mejor los sistemas dinámicos, problemas y procedimientos en distintos contextos y considerando sus características y propiedades.

2. Resolver problemas con un enfoque formal para una mejor comunicación y argumentación de los resultados obtenidos, por medio de la documentación de cada uno de sus pasos en un formato IMRAD [7], de manera que se pueda organizar adecuadamente la información, separando el problema, los métodos (propios o de otros autores) y los resultados originales (resultados). La discusión se centra en la interpretación de los resultados, es decir, en la explicación o traducción del sentido y principios fundamentales de algo en un lenguaje diferente al original, de manera fiel y en un contexto o marco específico que la limita. A partir de una adecuada interpretación se da respuesta a preguntas del tipo "por qué", es decir, se da sentido e importancia a los resultados observados: identificar con la razón lo que los ojos no ven. El conocimiento implica, de esta manera, la representación e interpretación de los hechos observados con una reducción de los errores e ilusiones inherentes a dicha proceso. No se debe confundir la interpretación con la descripción (proceso de obtención de las características relevantes y distintivas de algo o alguien de manera detallada y ordenada con un lenguaje apropiado y sin entrar en las relaciones de los componentes y relaciones causa-efecto).

3. Aplicar herramientas computacionales para la solución de problemas, por medio del desarrollo de algoritmos y simulaciones documentados, claros y simples en MATLAB.

4. Aplicar el pensamiento sistémico en la modelación matemática y estructuración de problemas (sección 2.3) y sistemas para identificar aspectos comunes con otros modelos similares, por medio de diagramas de bloques de los sistemas con identificación de variables y parámetros. Un parámetro es una magnitud física constante que determina la estructura de un sistema mediante su valor numérico y que lo distingue de otro semejante, por lo que los parámetros determinan cómo las entradas se transforman en salidas; en un modelo matemático, estos son los valores que no son variables. Una magnitud física es una propiedad física que puede medirse (constante o variable).

Las competencias específicas para desarrollar en este libro son:

1. Formular diversas representaciones del modelo matemático de tiempo continuo y tiempo discreto de los sistemas dinámicos para comprender la influencia de los parámetros y condiciones iniciales en la forma de la solución y extraer información importante y diferente de cada una de ellas, por medio de su integración en la solución de problemas y casos de estudio.

2. Implementar programas y simulaciones en MATLAB y Simulink para la solución numérica y comprensión del comportamiento (secuencia de estados de un sistema) de sistemas dinámicos lineales y no lineales a partir de su modelo matemático, considerando las limitaciones del modelo y el papel de las incertidumbres del modelo, por medio de la planificación de los experimentos de simulación, la documentación y organización adecuada de los programas, y la interpretación correcta de los resultados.

3. Analizar el comportamiento de sistemas dinámicos no lineales de tiempo continuo y discreto alrededor de puntos de equilibrio de interés con diversos métodos matemáticos lineales, por medio de la linealización y la validación en simulación con el modelo no lineal. El análisis generalmente se basa en gráficos de la respuesta temporal o frecuencial del sistema ante diversas entradas, por lo que es muy útil saber bosquejarla antes de calcularla de manera exacta, lo cual demuestra una mínima comprensión del modelo. Bosquejar significa graficar aproximadamente la solución de un problema sin necesidad de utilizar las proporciones correctas, lo cual implica una comprensión adecuada de dicha solución.

4. Diseñar sistemas básicos de control lineal de tiempo continuo y discreto para el logro de requerimientos establecidos de comportamiento en lazo cerrado, por medio de métodos matemáticos y con la validación en simulación con el modelo no lineal.

5. Aplicar procedimientos y algoritmos de base matemática para la identificación de modelos matemáticos lineales y la estimación de parámetros de modelos lineales y no lineales, por medio de una adecuada planificación experimental que incluye el procesamiento de los datos experimentales, la selección de la mejor estructura del modelo, la selección del método de estimación, los cálculos con MATLAB, la validación de los resultados y la adecuada documentación del modelo obtenido y sus parámetros.

6. Diseñar un estimador del estado para la obtención de las variables desconocidas de un sistema dinámico no lineal cerca y lejos de un punto de equilibrio de interés y su uso en la implementación de sistemas de control, por medio de métodos matemáticos, implementación de algoritmos en MATLAB, pruebas en simulación sobre el modelo no lineal, y análisis y documentación de los resultados.

El libro puede utilizarse en un curso de introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias con orientación a las aplicaciones y a la motivación, siguiendo ideas como las presentadas en [8]: (i) hacer énfasis en las ecuaciones diferenciales de orden superior y la ecuación de estado, las cuales son más cercanas a problemas reales; (ii) resaltar la importancia de los cambios de variables y las formas canónicas; (iii) enlazar los problemas no lineales con su aproximación lineal por medio de la linealización; (iv) aplicar métodos numéricos y simulación; (v) utilizar el método de la transformada de Laplace en el marco de la función de transferencia y el teorema de convolución; (vi) presentar ejemplos reales o cercanos a la realidad, mostrando la fase de la modelación matemática, la relación sistémica y gráfica entre los subsistemas, el análisis dimensional y una introducción a la modelación experimental con métodos simples; (vii) enseñanza de conceptos claves como la relación entre el orden de la ecuación diferencial y el número de integradores (diagrama de simulación), el efecto de los polos y ceros, la estabilidad, la relación entre la ecuación no homogénea y las variables exógenas del sistema, la aplicación del teorema de convolución, la relación entre diferentes representaciones de un modelo (ecuación diferencial, ecuación de estado, función de transferencia), el análisis en el plano de fase, las características no lineales, las características temporales y frecuenciales, entre otros; (viii) resaltar la importancia del análisis de incertidumbre y la teoría de errores y aproximación (sección 2.10.1) en los problemas reales.

Para terminar, el autor quiere agradecer a la Universidad EAFIT por su apoyo decidido a esta propuesta con las posibilidades que brinda de libertad de cátedra, descargas académicas para la preparación de material académico, períodos sabáticos y apoyo del Fondo Editorial. Igualmente, el autor agradece especialmente a los estudiantes de los cursos de Sistemas Lineales y Modelación Experimental del programa de Ingeniería Matemática, quienes a lo largo de más de 20 años le ayudaron a perfilar mejor los temas y orden del libro y a explicarlos de una mejor manera. Finalmente, el autor dedica este libro a Ami, Mario Alejandro y a todas las personas que lo han apoyado siempre con su amor y paciencia.