Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis E-Book

Georg Cantor

• Herausgeber: Librorium Editions
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Französisch

Veröffentlichungsjahr: 2022

Beschreibung

Georg Cantor est un mathématicien allemand, né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg (Empire russe) et mort le 6 janvier 1918 à Halle (Empire allemand). Il est connu pour être le créateur de la théorie des ensembles.

Leseprobe

SUR LES FONDEMENTSDE LA THÉORIE DES ENSEMBLES TRANSFINIS

PAR

G. CANTOR, à Halle-a-S.

1899

© 2022 Librorium Editions

ISBN : 9782383832379

1er ARTICLE[1]

Hypotheses non fingo.

Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus.

Veniet tempus, quo ista quae nunc latent, in lucem dies extrahat et longioris aevi diligentia.

§ 1. — La notion de puissance ou le nombre cardinal.

Nous appelons « ensemble » toute réunion M d’objets de notre conception m, déterminés et bien distincts, et que nous nommerons « éléments » de M. Nous écrirons ainsi

La réunion de plusieurs ensembles M, N, P, …, qui n’ont aucun élément commun, donne un ensemble qui sera représenté par

(2)

(M, N, P, …).

Les éléments du nouvel ensemble sont ainsi les éléments de M, de N, de P, etc., considérés comme formant un seul tout.

Nous dirons qu’un ensemble M1 est une « partie » de l’ensemble M, si les éléments de M1 sont aussi des éléments de M.

Si M2 est une partie de M1, M1 une partie de M, M2 est aussi une partie de M.

À tout ensemble M correspond une « puissance » bien déterminée que nous appelons aussi son « nombre cardinal ».

Nous appelons « puissance » ou « nombre cardinal » de M, la notion générale que nous déduisons de M à l’aide de notre faculté de penser, en faisant abstraction de la nature des différents éléments m et de leur ordre.

Nous représentons par

(3)

M

le nombre cardinal ou puissance de M, résultat de ces deux abstractions.

Chaque élément isolé m, abstraction faite de sa nature, est une « unité » ; le nombre cardinal M est donc lui-même un ensemble déterminé d’unités qui se présente comme l’image ou la projection de l’ensemble M dans notre esprit.

Nous disons que deux ensembles M et N sont « équivalents » et nous écrivons

(4)

M ∼ N ou N ∼ M

lorsqu’il est possible de les associer, de telle sorte qu’à chaque élément de l’un d’eux corresponde un et un seul élément de l’autre.

À chaque partie M1 de M correspond alors une partie déterminée équivalente N1 de N, et réciproquement.

Si l’on a trouvé une telle loi d’association pour deux ensembles équivalents, on peut (sauf le cas où ceux-ci ne comprendraient qu’un seul élément) en trouver plusieurs autres. Notamment, on peut toujours faire en sorte qu’à un élément déterminé m0 de M, corresponde un élément déterminé n0 de N. Car, si la loi d’association primitive ne faisait pas correspondre m0 et n0, c’est qu’à l’élément m0 de M correspondrait l’élément n1 de N, tandis qu’à l’élément n0 de N correspondrait l’élément m1 de M ; il suffit donc de modifier la loi d’association de façon que m0 et n0 et de même m1 et n1 deviennent des éléments correspondants des deux ensembles, et cela sans modifier la correspondance des autres éléments. Nous avons alors atteint notre but.

Un ensemble est équivalent à lui-même

(5)

M ∼ M.

Si deux ensembles sont équivalents à un troisième, ils sont équivalents entre eux.

(6)

De M ∼ P et N ∼ P il résulte M ∼ N.

Il est d’importance capitale que deux ensembles M et N ont alors et seulement alors le même nombre cardinal lorsqu’ils sont équivalents.

et

L’équivalence de deux ensembles est aussi la condition nécessaire et suffisante de l’égalité de leurs nombres cardinaux.

En effet, d’après la définition de la puissance donnée plus haut, le nombre cardinal M reste inaltéré lorsqu’on substitue d’autres objets à un, à plusieurs ou à tous les éléments de M.

Or, si l’on a M ∼ N, il y a une loi d’association qui réalise une correspondance biuniforme de M et N et fait correspondre à l’élément m de M l’élément n de N. Nous pouvons donc substituer à chaque élément m de M l’élément correspondant n de N et par cette opération transformer M en N sans changer le nombre cardinal. Donc

La réciproque de ce théorème résulte de la remarque qu’entre les éléments de M et les diverses unités de son nombre cardinal M existe une correspondance biuniforme. Car, comme nous l’avons vu, M résulte de M en ce sens que chaque élément de M devient une unité de M. Nous pouvons donc dire que

M ∼ M.

De la notion de l’équivalence résulte encore immédiatement le théorème suivant :

Si M, N, P, … sont des ensembles formés d’éléments tous distincts et si M′, N′, P′, … sont des ensembles correspondants analogues, les relations

M ∼ M′N ∼ N′P ∼ P′…

ont pour conséquence

(M, N, P, …) ∼ (M′, N′, P′, …).

§ 2. — Comparaison des puissances.

1oIl n’y a aucune partie de M qui soit équivalente à N,

2oIl y a une partie N1 de N, telle que N1 ∼ M,

il est tout d’abord évident que celles-ci sont aussi remplies lorsqu’on remplace les ensembles M et N par deux ensembles respectivement équivalents M′ et N′ ; elles expriment donc une relation déterminée entre les nombres cardinaux a et b.

De plus, l’équivalence de M et N, et par suite l’égalité de a et b sont exclues ; car si l’on avait M ∼ N et N1 ∼ M, on aurait aussi N1 ∼ N, et en vertu de l’équivalence des ensembles M et N, il existerait une partie M1 de M telle que M1 ∼ M, et par suite M1 ∼ N, ce qui est contraire à la première condition.

En troisième lieu, la relation de a à b est telle qu’elle exclut la même relation de b à a ; car si l’on permute dans 1o et 2o les lettres M et N, on obtient deux conditions qui sont contradictoires aux premières.

Nous exprimons la relation de a à b caractérisée par les conditions 1o et 2o en disant : a est plus petit que b ou encore b est plus grand que a, ce que nous écrivons

(1)

a < b ou b > a.

On démontre facilement que

(2)

Si a < b, b < c, on a toujours a < c.

De même, il résulte immédiatement de la définition que si P1 est une partie d’un ensemble P, la relationa < P1entraîne toujoursa < P et P < bentraîne aussi P1 < b.

Nous avons vu que chacune des trois relations

exclut les deux autres.

Au contraire, il n’est nullement évident, et nous ne pourrions que difficilement démontrer actuellement que pour deux nombres cardinaux quelconques a et b, l’une de ces trois relations est nécessairement vérifiée.

Bientôt, lorsque nous aurons jeté un coup d’œil sur la suite ascendante des nombres cardinaux infinis et que nous aurons pénétré leur enchaînement, nous reconnaîtrons l’exactitude du théorème suivant :

A. — Si a et b sont des nombres cardinaux arbitraires, l’on a :

On déduit très simplement de ce théorème les propositions suivantes dont nous ne ferons provisoirement aucun usage.

B. — Si deux ensembles M et N sont tels que M est équivalent à une partie N1 de N et N équivalent à une partie M1 de M, M et N sont aussi équivalents.

C. — Si M1 est une partie d’un ensemble M, M2 une partie de l’ensemble M1 et si les ensembles M et M2, sont équivalents, ils sont aussi équivalents à l’ensemble M1.

D. — Si deux ensembles M et N sont tels que N n’est équivalent ni avec M lui-même, ni avec une partie de M, il y a une partie N1 de N qui est équivalente à M.

E. — Si deux ensembles M et N ne sont pas équivalents et s’il y a une partie N1 de N équivalente à M, il n’y a aucune partie de M équivalente à N.

§ 3. — L’addition et la multiplication des puissances.

La réunion de deux ensembles M et N qui n’ont aucun élément commun a été représentée par (M, N) [§ 1, (2)]. Nous nommons ce nouvel ensemble l’ensemble-somme (Vereinigungsmenge) de M et de N.

Si M′, N′ sont deux autres ensembles sans éléments communs et si M ∼ M′, N ∼ N′, nous avons vu que

(M, N) ∼ (M′, N′).

Ceci nous conduit à la définition de la somme de a et b lorsque nous posons

Puisque dans la notion de puissance, il est fait abstraction de l’ordre des éléments, nous avons

et pour 3 nombres cardinaux a, b et c

Arrivons à la multiplication.

La réunion d’un élément m d’un ensemble M et d’un élément n d’un autre ensemble N forme un nouvel élément (m, n). Nous désignerons par la notation (M × N) l’ensemble formé de tous les éléments (m, n) et nous l’appellerons ensemble-produit (Verbindungsmenge) de M et de N. On a ainsi

et si l’on considère m, m′ ainsi que n, n′ comme des éléments associés, on voit que l’ensemble

est lié à l’ensemble (M × N) par une correspondance biuniforme si l’on fait correspondre les éléments (m, n) et (m′, n′). Ainsi

(5)

(M′ × N′) ∼ (M × N).

Nous pouvons maintenant définir le produit a × b par l’équation

On peut aussi déduire des deux ensembles M et N, dont les nombres cardinaux sont a et b, un ensemble de nombre cardinal a × b par la règle suivante : on remplace chaque élément n de l’ensemble N par un ensemble Mn ∼ M ; si l’on considère les éléments de tous ces ensembles Mn réunis en un seul tout S, on voit facilement que

(7)

S ∼ (M × N).

et par suite

Car si nous désignons par mn l’élément de Mn correspondant à l’élément m de M, on a :

et, par suite, les ensembles S et (M × N) se correspondent d’une manière biuniforme lorsque l’on associe mn et (m, n).

De nos définitions résultent immédiatement les théorèmes

parce que

(M × N) ∼ (N × M)

[M × (N × P)] ∼ [(M × N) × P]

[M × (N, P)] ∼ [(M × N), (M × P)].

L’addition et la multiplication des puissances sont ainsi soumises aux lois commutative, associative et distributive.

§ 4. — L’exponentiation des puissances.

Nous disons d’une loi qui, à chaque élément n de N fait correspondre un élément déterminé de M, le même élément pouvant être employé plusieurs fois, qu’elle réalise une représentation (Belegung) de l’ensemble N sur les éléments de l’ensemble M, ou, plus simplement, une représentation de N sur M. L’élément de M associé ainsi à n est, d’une certaine façon, une fonction uniforme de n et peut, par exemple, être désigné par f(n) ; f(n) est la fonction de représentation de n ; la représentation correspondante de N sera désignée par f(N).

Deux représentations f1(N) et f2(N) sont alors, et seulement alors, dites identiques lorsque pour tous les éléments n de N on a l’équation

Par exemple, si m0 est un élément particulier de M et si l’on suppose que pour tous les éléments n on a

on a une représentation particulière de N sur M.

On obtiendra une autre représentation lorsque, m0 et m1 étant deux éléments différents de M, n0 un élément particulier de N, on pose

pour tous les n différents de n0.

La réunion de toutes les représentations distinctes de N sur M forme un ensemble déterminé dont les éléments sont f(N) ; nous le nommons l’ensemble exponentiel (Belegungsmenge) de N avec M et nous le représentons par la notation (N|M). Ainsi

Si M ∼ M′, N ∼ N′, on voit facilement que

(3)

(N|M) ∼ (N′|M′).

Pour trois ensembles quelconques, M, N et P, on démontre facilement les théorèmes suivants :

(5)

[(N|M) × (P|M)] ∼ [(N, P)|M]

(6)

[(P|M) × (P|N)] ∼ [P|(M × N)]

(7)

[P|(N|M)] ∼ [(P × N)|M]

On reconnaîtra par l’exemple suivant combien ces formules simples, étendues aux puissances, sont instructives et d’une grande portée.

Désignons par 𝔬 la puissance du continu linéaire X (c’est-à-dire de l’ensemble X de tous les membres réels x qui sont ≥ 0 et ≤ 1. On s’assure facilement que 𝔬 peut être représenté par la formule

ℵ0 étant le nombre défini au § 6.

En effet, d’après (4), 2ℵ0 n’est pas autre chose que la puissance de l’ensemble de toutes les représentations

des nombres x dans le système de numération dont la base est 2. Si nous remarquons, de plus, qu’il n’y a pour chaque nombre x qu’une seule manière de les représenter ainsi, sauf pour les nombres

2ν + 1

2μ

< 1,