Теоретический минимум. Специальная теория относительности и классическая теория поля E-Book
Л. Сасскинд
Erhalten Sie Zugang zu diesem und mehr als 300000 Büchern ab EUR 5,99 monatlich.
- Herausgeber: Питер
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Russisch
Вы уже познакомились с классической и квантовой механикой? Настало время для нового погружения в глубины физики. Физик Леонард Сасскинд и консультант по обработке данных Арт Фридман знакомят читателей со специальной теорией относительности Эйнштейна и классической теорией поля Максвелла. Сасскинд и Фридман в своем фирменном стиле, с помощью математики, поучительных рисунков и юмора, проведут для нас экскурсию по волнам, силам и частицам, расскажут о специальной теории относительности и электромагнетизме. Яркие примеры и картины вымышленных миров превращают книгу в увлекательное путешествие по миру, который управляется законами специальной теории относительности. Все (или почти все) тайны волн, взаимодействий и частиц будут раскрыты. Книга обязательна к прочтению фанатам серии «Теоретический минимум» и всем, кто интересуется физикой.
Sie lesen das E-Book in den Legimi-Apps auf:
Seitenzahl: 394
Veröffentlichungsjahr: 2022
Das E-Book (TTS) können Sie hören im Abo „Legimi Premium” in Legimi-Apps auf:
Ähnliche
Переводчик К. Масленников
Технический редактор Л. Егорова
Художники Л. Егорова, В. Мостипан
Корректоры М. Молчанова (Котова), Г. Шкатова
Верстка Л. Егорова
Л. Сасскинд, А. Фридман
Теоретический минимум. Специальная теория относительности и классическая теория поля. — СПб.: Питер, 2021.
ISBN 978-5-4461-0802-2
© ООО Издательство "Питер", 2021
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Оглавление
Моему отцу и герою, храброму человеку — Бенджамену Сасскинду
Л. С.
Моей жене Мэгги и ее родителям, Дэвиду и Барбаре Слоун
А. Ф.
Книги серии «Теоретический минимум»
Это третья книга из серии «Теоретический минимум». Книга первая, «Теоретический минимум. Что необходимо знать, чтобы начать заниматься физикой», была посвящена классической механике, составляющей основу любого физического образования. Время от времени мы будем ссылаться на него просто как на Книга I. Во второй книге объясняется квантовая механика и ее отношение к механике классической. В этой, третьей, книге рассматриваются специальная теория относительности и классическая теория поля. Параллельно книгам данной серии выходят видеолекции Леонарда Сасскинда, выкладываемые на сайте Стэнфордского университета (см. их перечень на www.theoreticalminimum.com, лекции на английском языке). Книги, в которых рассматриваются те же общие вопросы, что и в видеолекциях, конечно, содержат дополнительные детали и темы, которые в лекции не вошли.
Предисловие
Эта книга — одна из серии книг, тесно связанных с моим курсом лекций в интернете под названием «Теоретический минимум». Мой соавтор Арт Фридман прошел этот курс в качестве студента, и книга выиграла оттого, что как человек, изучавший предмет, Арт понимал, какие вопросы могут представлять трудность для новичка. Работа над книгой доставляла нам огромное удовольствие, и мы попытались передать это чувство посредством шуток. Если этот юмор вам мешает, не обращайте на него внимания.
Две предыдущие книги этой серии посвящены классической механике и основам квантовой механики. До сих пор мы не рассматривали вопросов, связанных со светом, потому что свет представляет собой релятивистское явление: он связан со специальной теорией относительности или, как мы будем ее иногда называть, СТО. СТО и классическая теория поля и составляют предмет этой книги. Классическая теория поля — это теория электромагнитного поля, то есть волн, сил, действующих на заряженные частицы, и т.д., в контексте СТО. Со специальной теории относительности мы и начнем.
Леонард Сасскинд
* * *
Мои родители, дети иммигрантов, были двуязычными. Они учили нас, своих детей, кое-каким словам и выражениям на идише, но в основном приберегали этот язык для себя, иногда говоря на нем друг другу то, что не предназначалось для наших ушей. Часто эти их «секретные» разговоры сопровождались бурными взрывами хохота.
Идиш — язык очень экспрессивный, он хорошо приспособлен и для великой литературы, и для повседневной жизни. Есть в нем и простецкий юмор. Мне жаль, что мое понимание этого языка так ограниченно — я бы хотел прочесть все написанные на нем великие произведения в оригинале, но, честно говоря, был бы доволен, если бы понимал хотя бы шутки.
Многие из нас испытывают похожие чувства по отношению к математической физике. Мы хотим понять ее великие идеи и проблемы, найти применение и своему творчеству. Мы знаем, что в физике есть поэзия, которую можно и понимать, и создавать, нам очень хотелось бы внести в нее и свой вклад. Но нам недостает ее «секретного языка». В этой серии книг мы ставим себе целью научить вас языку физики и показать некоторые из великих идей этой науки в их естественной «среде обитания».
Если вы доверитесь нам, перед вами раскроется картина значительной части физики XX века. Вы будете в достаточной степени экипированы, чтобы понять основную часть ранних работ Эйнштейна. Как минимум вы научитесь не только «понимать шутки», но и серьезные идеи, стоящие за ними. Чтобы вам было легче начать, мы познакомим вас с нашими собственными шутками — по-моему, среди них есть настоящие «хиты».
Я искренне благодарен всем, кто помогал нам и поддерживал нас. Фраза «мы не могли бы сделать это без вас» звучит стандартно, но тем не менее это истинная правда.
Работать с профессионалами из издательств Brockman, Inc., и Basic Books — всегда удовольствие и полезный опыт. Джон Брокман, Макс Брокман и Майкл Хили сыграли огромную роль в превращении нашей идеи в реальный проект. «Ти Джей» Келлер, Элен Бартелеми, Кэрри Наполитано и Мелисса Веронези с огромным мастерством и пониманием провели нас через все стадии издательского и производственного процесса. Лаура Стикни из Penguin Books координировала выпуск британского издания столь ювелирно, что мы почти не заметили, как все произошло. Выпускающий редактор Эми Шнайдер внесла существенные улучшения в исходную рукопись, как и корректоры Лор Гэрет и Бен Тэдофф.
Многие бывшие студенты Леонарда великодушно предложили свою помощь в просмотре рукописи. Это было нелегким делом. Их глубокий анализ и предложения были бесценны, и благодаря им книга стала гораздо лучше. Мы искренне благодарны Джереми Брэнски, Байрону Дому, Джеффу Джастису, Клинтону Льюису, Иоганну Шамрилу Соса и Дон Марсии Уилсон.
Как всегда, на протяжении всего проекта я чувствовал тепло и поддержку моей семьи и друзей. Моя жена Мэгги часами переделывала два рисунка, изображающие «Кабачок “У Германа”», несмотря на свои недомогания и безвременную кончину ее матери.
Этот проект обеспечил мне такую роскошь, как возможность предаваться сразу двум самым большим страстям моей жизни: физике (на уровне третьекурсника) и юмору (на уровне четвероклассника). В этом отношении мы с Леонардом оказались прекрасной командой, и сотрудничество с ним стало для меня незабываемой радостью.
Арт Фридман
Введение
Здравствуйте, дорогие читатели «Теоретического минимума». С возвращением к необыкновенным приключениям Ленни и Арта! Мы расстались с отважными приятелями, когда они только начали приходить в чувство после отчаянных и бесшабашных полетов на американских горках в квантовом мире запутанности и неопределенности. Им срочно требовалось что-нибудь успокаивающее, надежное, однозначно детерминистское, что-нибудь классическое. Но в Книге III их гонка продолжается, и она не станет менее сумасшедшей. Сокращающиеся стержни, замедление времени, парадокс близнецов, относительная одновременность, растягивающиеся лимузины, которые одновременно и влезают, и не влезают в гаражи размером с «фольксваген» — да, похоже, сумасбродные приключения Ленни и Арта не собираются заканчиваться. А в конце гонки Ленни еще и одурачит Арта при помощи фальшивого монополя.
Может, я нагоняю страху, но для новичка релятивистский мир представляется какой-то причудливой «комнатой смеха» с кривыми зеркалами, полной опасных головоломок и скользких парадоксов. Но мы всегда будем рядом, чтобы помочь вам преодолеть трудности. Вам также пригодилось бы знакомство с основами математического анализа и линейной алгебры.
Мы всегда ставили себе цель объяснять предмет со всей серьезностью, ничего не упрощая, но и не добавляя ничего сверх того, что необходимо для перехода к следующему этапу курса. В зависимости от ваших предпочтений это может быть либо квантовая теория поля, либо общая теория относительности.
Прошло уже некоторое время с тех пор, как мы с Артом опубликовали Книгу II,1 посвященную квантовой механике. Мы были щедро вознаграждены тысячами электронных писем с выражением благодарности за наши усилия по описанию наиболее важных теоретических принципов физики в нашем «Теоретическом минимуме».
В первом томе, посвященном классической механике, были в основном очерчены общие рамки классической физики, установленные в XIX веке Лагранжем, Гамильтоном, Пуассоном и другими гигантами. Этот подход по-прежнему актуален и лежит в основе развития всей современной физики, вплоть до квантовой механики.
Проникновение квантовой механики в физику началось с 1900 года, когда Макс Планк обнаружил пределы классической физики, и продолжалось до 1926 года, когда Поль Дирак объединил идеи Планка, Эйнштейна, Бора, де Бройля, Шрёдингера, Гейзенберга и Борна в рамках единой согласованной математической теории. Этот великий синтез (основанный, кстати, на заложенных Гамильтоном и Пуассоном базовых принципах классической механики) подробно рассматривается в Книге II «Теоретического минимума».
В Книге III мы делаем в историческом смысле шаг назад, в XIX столетие, к источникам современной теории поля. Я не историк, но думаю, что не ошибаюсь, когда возвожу идею поля к Майклу Фарадею. Фарадей пользовался элементарным математическим аппаратом, но при этом обладал исключительной силой воображения, что и привело его к представлениям об электромагнитном поле, силовых линиях и электромагнитной индукции. Интуитивно он уже понимал большую часть из того, что Максвелл позже объединил в своих универсальных уравнениях электромагнетизма. Фарадею недоставало лишь одного: понимания, что переменное электрическое поле приводит к эффектам, подобным тем, которые производит электрический ток.
Именно Максвелл позже, примерно в начале 1860-х, открыл так называемый ток смещения и пошел дальше, построив первую настоящую теорию поля: теорию электромагнетизма и электромагнитного излучения. Но теория Максвелла была не свободна от некоторых вызывающих беспокойство противоречий.
Проблема максвелловской теории заключалась в том, что она, по-видимому, не согласовывалась с основным принципом, открытие которого приписывается Галилею и который в явном виде сформулировал Ньютон: все движения относительны. Ни одна (инерциальная) система отсчета не может считаться покоящейся в большей степени, чем любая другая система. Однако этот принцип вошел в противоречие с электромагнитной теорией, которая предсказывала, что свет движется с постоянной скоростью c 3 × 108 метров в секунду. Как мог свет иметь одну и ту же скорость во всех системах отсчета? Как мог он распространяться с одной и той же скоростью относительно и покоящегося вокзала, и несущегося мимо него поезда?
Максвелл и другие знали об этом конфликте и решали его простейшим известным им путем: отказываясь от галилеевского принципа относительности движения. Они рисовали картину мира, заполненного особой субстанцией — эфиром, — который, как и всякое обычное вещество, был связан с покоящейся системой отсчета, в которой он был неподвижен. Эта система отсчета, согласно приверженцам теории эфира, была единственной, в которой уравнения Максвелла были верны. В любой другой системе, движущейся относительно эфира, эти уравнения надо было корректировать.
Вопрос оставался в этом состоянии до 1887 года, когда Альберт Майкельсон и Эдвард Морли выполнили свой знаменитый эксперимент, пытаясь измерить малые изменения в скорости света, связанные с движением Земли сквозь эфир. Большинство читателей, несомненно, знают, чем это кончилось: никаких изменений экспериментаторы не обнаружили. Многие пытались как-то объяснить результат, полученный Майкельсоном и Морли, не отказываясь от идеи эфира. Проще всего было предположить, что эфир увлекается за Землей в ее движении, так что установка Майкельсона — Морли на деле оставалась неподвижной относительно эфира. Но как бы ни пытались спасти теорию эфира, она оставалась неуклюжей и громоздкой.
Если верить свидетельству самого Эйнштейна, он ничего не знал об опыте Майкельсона — Морли, когда в 1895 году (в возрасте шестнадцати лет) начал размышлять о противоречии между электромагнетизмом и идеей относительности движения. Он интуитивно чувствовал, что каким-то образом этого противоречия на деле не существует. Его размышления основывались на двух постулатах, которые выглядели несовместимыми друг с другом.
1. Законы природы одинаковы во всех системах отсчета. Поэтому не может быть никакой предпочтительной системы, связанной с эфиром.
2. Свет движется со скоростью c — это закон природы.
И сколь бы несообразным это ни казалось, объединение этих двух принципов приводило к выводу, что свет должен двигаться с одной и той же скоростью во всех системах отсчета.
Потратив на это почти десять лет, к 1905 году Эйнштейн сумел согласовать два указанных принципа в рамках теории, которую назвал специальной теорией относительности. Интересно, что в названии его статьи 1905 года слова «относительность» нет; она называется «Об электродинамике движущихся тел». Из физики ушла все более усложняющаяся идея эфира; ее место заняла новая теория пространства и времени. Однако и по сей день вы найдете в учебниках оставленный теорией эфира след в виде символа , так называемой диэлектрической постоянной вакуума, как будто вакуум представляет собой субстанцию с материальными свойствами. Студенты, знакомящиеся с предметом, часто страдают от путаницы, которую создают обозначения и терминология, восходящие к теории эфира. И если в моих лекциях есть что-то новое, то это попытка избавления от этой путаницы.
Как и в других книгах «Теоретического минимума», я ограничиваюсь тем минимумом материала, который необходим для следующего шага, — в зависимости от ваших предпочтений, им будет либо квантовая теория поля, либо общая теория относительности.
Как вы уже слышали, классическая механика построена на интуиции: тела движутся вполне предсказуемо. Опытный бейсболист может лишь мельком взглянуть на летящий мяч и по его положению и скорости понять, куда ему бежать, чтобы оказаться ровно там и тогда, где и когда мяч окажется в его руках. Конечно, внезапный порыв ветра может оставить его в дураках, но это лишь потому, что он не принял во внимание все переменные. Есть очевидная причина интуитивности классической механики: люди, а до них и животные, каждый день многократно пользуются ею, чтобы выжить. В нашей книге по квантовой механике мы очень подробно объяснили, почему при изучении этого предмета от нас требуется забыть нашу физическую интуицию и заменить ее чем-то совершенно иным. Нам пришлось изучить новые математические абстракции и новый способ соединять их с физическим миром. А что можно сказать о специальной теории относительности? В то время как квантовая механика исследует мир ОЧЕНЬ МАЛОГО, специальная теория относительности уводит нас в мир ОЧЕНЬ БЫСТРОГО — и нам снова придется заставлять себя не верить нашей интуиции. Но есть и хорошая новость: математика специальной теории относительности гораздо менее абстрактна, и нам не понадобится «перепрошивка мозга», чтобы связать эти абстракции с физическим миром. Да, СТО тоже расширяет пределы нашей интуиции, но гораздо мягче. Фактически СТО в целом считается ветвью классической физики.
Специальная теория относительности требует от нас пересмотра наших представлений о пространстве, времени и особенно одновременности. Этот пересмотр дался физикам нелегко. Как и любой принципиальный скачок, СТО встретила сопротивление многих. Можно, пожалуй, сказать, что некоторых физиков приходилось тащить к ОТО насильно, а они упирались руками и ногами. А кое-кто так и не согласился принять эту теорию.2 Почему же большинство из них в конце концов сдались? Помимо многих экспериментов, которые подтверждали предсказания ОТО, у нее была и очень сильная теоретическая поддержка. Классическая теория электромагнетизма, в XIX веке доведенная до совершенства Максвеллом и другими, невозмутимо провозглашала, что «скорость света есть скорость света». Другими словами, что скорость света остается одной и той же во всех инерциальных (не ускоряющихся) системах отсчета. И хотя это заключение вызывало беспокойство, его нельзя было просто проигнорировать — теория электромагнетизма слишком успешно работает, чтобы от нее можно было бы отмахнуться. В этой книге мы исследуем глубокие связи СТО с электромагнитной теорией, а также ее многочисленные и интересные предсказания и парадоксы.
Рисунок Маргарет Слоун. «Кабачок “У Германа”»
1Сасскинд Л., Фридман А. Квантовая механика. Теоретический минимум / Пер. с англ. А. Сергеева. — СПб.: Питер, 2015. — 400 с.: ил.
2Отметим, что среди них были Альберт Майкельсон, первый американец, получивший Нобелевскую премию по физике, и его сотрудник Эдвард Морли. Их точные измерения стали веским подтверждением СТО.
Лекция 1. Преобразования Лоренца
Мы открываем Книгу III и видим, как Арт и Ленни со всех ног от кого-то убегают.
Арт: Ох, Ленни, слава богу, нам удалось улизнуть из заведения Гильберта живыми! Я уж думал, нам оттуда не выбраться. Может, найдем более классическое место, чтобы потусить?
Ленни: Верно, Арт. Хватит с меня этих неопределенностей. Пошли лучше к Герману в кабачок, там со всей определенностью что-то происходит.
Арт: Это где? И что за тип этот Герман?
Ленни: Минковский? Тебе точно понравится. Гарантирую, у Минковского не встретишь ни одного бра. И кетов нету.3
И вот Ленни и Арт уже в кабачке «У Германа», тесно набитом возбужденной публикой.
Арт: С какой стати Герман открыл свой кабачок здесь, на отшибе, посреди — чего? Коровьего пастбища? Рисовой плантации?
Ленни: Мы зовем это просто полем. Можно выращивать тут что хочешь: коров, рис, маринованные огурчики… Герман — мой старый друг, я сдаю ему этот участок очень дешево.
Арт: Так ты, выходит, фермер-любитель! Кто бы мог подумать? А кстати, почему это здесь все такие тощие? Кормят плохо?
Ленни: Кормят потрясающе. А тощие они потому, что очень быстро двигаются. Герман раздает всем бесплатные реактивные ранцы. Скорей! Смотри! Утка! УТКА!
Арт: Ух ты! Попробуем догнать! Хоть похудеем, что ли.
Специальная теория относительности — это прежде всего теория систем отсчета. Если мы говорим что-то о физическом мире, остается ли наше утверждение верным в другой системе отсчета? Является ли наблюдение, которое сделал человек, стоящий на земле, верным для того, кто летит в самолете? Существуют ли величины или утверждения, остающиеся инвариантными — не зависящими от системы отсчета наблюдателя? Ответы на такие вопросы оказываются интересными и неожиданными. По сути, именно они и привели к революции в физике в самом начале XX века.
1.1. Системы отсчета
О системах отсчета вы уже кое-что знаете. Я рассказывал о них в Книге I, посвященной классической механике. Декартовы координаты, например, знакомы большинству людей. В декартовой системе отсчета есть набор пространственных координат x, y и z и есть начало отсчета. Если вы хотите наглядно представить себе, что означает понятие системы координат, вообразите, что все пространство заполнено решеткой из мерных реек, так что любая точка в нем может быть обозначена определенным числом метров влево, определенным числом метров вверх и определенным числом метров вперед или назад от начала отсчета. Это и есть пространственная система координат. Она позволяет нам обозначать точное место, в котором произошло событие.
Чтобы отметить не только где, но и когда что-то произошло, нам еще требуется временная координата. Система отсчета — это система координат и в пространстве, и во времени. Она включает в себя оси x, y, z и t. Мы можем расширить наше наглядное представление, вообразив, что в каждой точке пространства есть еще и часы. Еще представим себе, что мы позаботились о синхронизации всех наших часов — это значит, что все они показывали t 0 в один и тот же момент и что все они идут с одной и той же скоростью. Итак, наша система отсчета (или для краткости СО) представляет собой реальную или воображаемую решетку мерных реек вкупе с установленными в каждой точке синхронизированными часами.
Разумеется, есть множество способов обозначить положения точек в пространстве и времени, и это значит, что у нас могут быть различные СО. Мы можем перенести начало отсчета x y z t 0 в какую-нибудь другую точку, чтобы измерять положения в пространстве и времени относительно нее. Мы можем и поворачивать оси координат, придавая им то одну, то другую ориентацию. Наконец, мы можем рассматривать системы, движущиеся относительно какой-то одной определенной системы. Мы можем говорить о вашей системе и моей системе, и здесь мы приходим к важному пункту: кроме осей координат и начала отсчета, система отсчета может ассоциироваться с наблюдателем, который и будет пользоваться для своих измерений всеми этими часами и мерными рейками.
Предположим, что вы неподвижно сидите в аудитории в середине первого ряда. Аудитория заполнена мерными рейками и часами, которые в вашей системе отсчета неподвижны. Каждому событию, которое происходит в аудитории, вы приписываете определенное положение и время при помощи ваших реек и часов. Я тоже нахожусь в этой аудитории, но не стою неподвижно, а хожу. Я могу пройти мимо вас справа налево или слева направо, и с собой я ношу свою решетку часов и мерных реек. В каждый миг я нахожусь в начале моей системы пространственных координат так же, как вы находитесь в начале своей. Мои координаты, очевидно, отличаются от ваших. Вы описываете событие координатами x, y, z и t, а я описываю то же самое событие другим набором координат, который отражает тот факт, что я могу двигаться мимо вас. В частности, если я двигаюсь относительно вас вдоль оси x, мы не придем к согласию в вопросе о наших x-координатах. Я всегда буду считать, что кончик моего носа находится на x 5, то есть он в пяти дюймах впереди центра моей головы. Однако вы на это скажете, что мой нос не находится на координате x 5 — вы скажете, что мой нос движется и его положение изменяется со временем.
Я могу почесать свой нос в момент времени t 2, подразумевая под этим, что, когда я его почесал, часы на кончике моего носа показывали 2 секунды с момента начала лекции. Вы можете поддаться искушению и подумать, что и ваши часы тоже показывали t 2 в точке, в которой я почесал свой нос. Но именно тут релятивистская физика расходится с ньютоновской. Предположение, что все часы во всех системах отсчета можно синхронизировать, интуитивно кажется очевидным, но оно входит в противоречие с предположением Эйнштейна об относительности движения и универсальности скорости света.
Мы скоро подробно рассмотрим вопрос о том, как и до какой степени можно синхронизировать часы в разных местах и в разных системах отсчета, но пока что просто предположим, что в любой данный момент времени все ваши часы показывают одно и то же время и что все они выставлены одинаково с моими часами. Другими словами, мы пока что будем следовать Ньютону и предполагать, что временная координата у вас в точности та же, что и у меня, и что нет никаких расхождений, происходящих из нашего относительного движения.
1.2. Инерциальные системы отсчета
Законы физики было бы очень трудно описать без координат, которыми отмечаются события. Как мы только что убедились, имеется множество систем координат и, следовательно, множество описаний одного и того же события. Для Галилея и Ньютона точно так же, как и для Эйнштейна, понятие относительности значило, что законы, управляющие этими событиями, остаются одними и теми же во всех инерциальных системах отсчета.4 Инерциальная система — это такая, в которой частица, не испытывающая воздействия никаких внешних сил, движется по прямой с постоянной скоростью. Ясно, что не все системы инерциальны. Допустим, ваша система отсчета инерциальная, то есть частица, летящая по комнате, имеет постоянную скорость при измерении вашими рейками и часами. Если мне вздумается ходить туда-сюда, то для меня эта частица будет выглядеть ускоряющейся каждый раз, когда я поворачиваю. Но если я иду равномерно по прямой линии, то для меня и эта частица будет двигаться с постоянной скоростью. Вообще можно сказать, что любые две инерциальные системы должны двигаться друг относительно друга равномерно и прямолинейно.
Особенностью ньютоновской механики является то, что законы физики, например F ma и ньютоновский закон гравитационного притяжения, одни и те же во всех ИСО. Мне нравится описывать это так: представим себе, что я опытный жонглер. Я изучил кое-какие законы жонглирования, например такой: если бросить мяч вертикально вверх, он вернется в ту же точку, откуда стартовал. Я изучил эти законы, пока стоял на платформе в ожидании поезда.
Когда подходит поезд, я сажусь в него и тут же начинаю жонглировать. Но едва поезд трогается, законы вдруг перестают работать. Некоторое время мячи движутся как-то странно, падая в неожиданные места. Однако как только поезд начинает двигаться с постоянной скоростью, мои законы опять вступают в силу. Если я нахожусь в движущейся ИСО и все окна занавешены, так что я не могу выглянуть наружу, я не могу сказать, что я двигаюсь. Если я попытаюсь это выяснить посредством жонглирования, я увижу, что мои стандартные законы жонглирования действуют. Я мог бы предположить, что нахожусь в покое, но это неверно; все, что я могу точно сказать, это что я нахожусь в инерциальной системе отсчета.
Принцип относительности гласит, что законы физики одни и те же во всех ИСО. Этот принцип не был изобретен Эйнштейном; он существовал и до него. Обычно его формулировку приписывают Галилею. Ньютон, разумеется, с ним бы тоже согласился. Что же нового внес Эйнштейн? Он добавил еще один закон физики: что скорость света есть скорость света, c. В метрах в секунду скорость света равна приблизительно 3 108, в милях в секунду около 186 000, а в световых годах в год — ровно единице. Но какие бы единицы измерения ни выбирать, новый закон Эйнштейна постулирует, что скорость света одинакова для всех наблюдателей.
Когда вы объединяете эти две идеи — что законы физики одинаковы во всех ИСО и что законом физики является то, что свет движется с фиксированной скоростью, — вы приходите к выводу, что свет должен двигаться с одной и той же скоростью в каждой ИСО. Этот вывод поистине странный. Он заставлял некоторых физиков категорически отвергать теорию относительности. В следующем разделе мы исследуем логику Эйнштейна и выясним, каковы последствия нового закона.
1.2.1. Ньютоновские (дорелятивистские) системы отсчета
В этом разделе я объясню, как Ньютон описал бы отношения между системами отсчета и какие выводы он бы сделал о движении световых лучей. Основной постулат Ньютона заключался в том, что существует универсальное время, одинаковое во всех системах отсчета.
Начнем с того, что забудем о направлениях y и z и целиком сосредоточимся на направлении x. Притворимся, что мир одномерный и что все наблюдатели свободны в своих передвижениях вдоль оси x, но «заморожены» в остальных двух пространственных направлениях. Рисунок 1.1 следует стандартному соглашению, согласно которому ось x направлена вправо, а ось t — вверх. Эти оси описывают мерные рейки и часы в вашей системе — системе, покоящейся в этой аудитории. (Я буду произвольно называть вашу систему покоящейся, а свою — движущейся.) Мы предположим, что в вашей системе свет движется со своей стандартной скоростью c. Такая схема называется пространственно-временной диаграммой. Вы можете считать ее картой мира, но такой картой, которая показывает все возможные места и все возможные моменты времени. Если световой луч послан из начала координат и движется вправо, его траектория будет задаваться уравнением
x ct.
Рис. 1.1. Ньютоновские системы отсчета
Подобным же образом световой луч, движущийся влево, будет представлен уравнением
x –ct.
Отрицательная скорость означает просто движение влево. Графические схемы, которые будут представлены ниже, я буду рисовать так, как если бы моя система двигалась вправо (положительно). В виде упражнения можете перерисовать их для отрицательного значения .
На рис. 1.1 световой луч показан пунктиром. Если за единицы на осях взять метры и секунды, световой луч покажется почти горизонтальным; линия пройдет 3 × 108 метров вправо, сдвинувшись по вертикали всего на 1 секунду! Но численное значение c полностью зависит от выбранных нами единиц. Следовательно, удобно выбрать какие-то другие единицы измерения для скорости света — такие, с которыми мы более ясно будем видеть, что наклон траектории светового луча конечен.
Теперь добавим сюда мою систему, движущуюся относительно вашей вдоль оси x с постоянной скоростью .5 Эта скорость может быть положительной (в этом случае относительно вас я буду двигаться вправо), отрицательной (тогда для вас я буду смещаться влево) или нулевой (а в этом случае мы покоимся друг относительно друга, и моя траектория на рисунке будет вертикальной).
Я буду обозначать координаты в моей системе и вместо x и t. Тот факт, что я двигаюсь относительно вас с постоянной скоростью, означает, что моя траектория в пространстве-времени — прямая линия. Вы можете описать мое движение уравнением
или
,
где — моя скорость относительно вас. Все это иллюстрирует рис. 1.1. Как мне описать мое собственное движение? Легко: я всегда нахожусь в начале моей системы координат. Другими словами, я описываю себя уравнением . Интересный вопрос: как нам перейти от одной системы к другой, то есть какова связь между вашими координатами и моими? По Ньютону, эта связь выражается так:
(1.1)
. (1.2)
Первое из этих уравнений отражает предположение Ньютона об универсальном времени, одинаковом для всех наблюдателей. Второе просто показывает, что моя координата смещена относительно вашей координаты на величину нашей относительной скорости, умноженной на время, отсчитываемое от начала координат. Отсюда мы видим, что уравнения
и
означают одно и то же. Уравнения (1.1) и (1.2) и представляют собой ньютоновское преобразование координат между двумя инерциальными системами отсчета. Если вы знаете, когда и где в вашей системе координат произошло событие, вы сможете сказать мне, когда и где оно случилось в моих координатах. Можно ли сделать обратное преобразование? Это легко, и я поручу это вам. Результат будет таким:
(1.3)
. (1.4)
Теперь посмотрим на световой луч на рис. 1.1. В соответствии с предположением, в вашей системе он движется вдоль пути . Как я могу описать его движение в моей системе? Я просто подставлю значения x и t из уравнений (1.3) и (1.4) в уравнение x ct, чтобы получить
,
что можно переписать в форме
.
Как и следовало ожидать, это описание светового луча, движущегося со скоростью () в моей системе. Это не вяжется с новым законом Эйнштейна, по которому все световые лучи движутся с одинаковой скоростью c во всех ИСО. Если Эйнштейн прав, в наших рассуждениях есть какая-то серьезная ошибка. Эйнштейн и Ньютон не могут быть правы оба: скорость света не может быть универсальной величиной, если существует универсальное время, единое для всех наблюдателей.
Прежде чем двинуться дальше, давайте посмотрим, что случится со световым лучом, который движется влево. В вашей системе такой световой луч будет описываться уравнением
.
Легко видеть, что в моей системе отсчета ньютоновские правила дают
.
Другими словами, если я по отношению к вам двигаюсь вправо, световой луч, движущийся в том же направлении, перемещается немного медленнее (со скоростью ), а световой луч, движущийся в противоположную сторону, летит немного быстрее (со скоростью ) относительно меня. С этим согласились бы Ньютон и Галилей. С этим согласился бы каждый — вплоть до конца XIX века, когда физики научились измерять скорость света с большой точностью и обнаружили, что она всегда одинакова, независимо от того как движется инерциальный наблюдатель.
Единственный способ уладить этот конфликт — это признать, что с ньютоновским преобразованием координат от системы к системе что-то не так.6 Нам необходимо разобраться, как изменить уравнения (1.1) и (1.2), чтобы скорость света в обеих системах отсчета оставалась неизменной.
1.2.2. Системы отсчета СТО
Прежде чем приступить к выводу наших новых преобразований, давайте еще раз посмотрим на одно из основных предположений Ньютона. Самое уязвимое из его предположений — именно оно и является неверным — заключается в том, что одновременность во всех системах означает одно и то же, то есть если мы синхронизируем наши часы и после этого я начну движение, мои часы останутся синхронизированными с вашими.
Мы сейчас увидим, что уравнение
не является верным преобразованием отсчетов времени между движущимися и покоящимися часами. Сама идея одновременности оказывается зависящей от системы отсчета.
Синхронизация часов
Представим себе следующую ситуацию. Мы находимся в аудитории. Вы, студент, сидите в первом ряду, среди других внимательно слушающих лекцию студентов, у каждого из которых есть часы. Все эти часы идентичны друг другу и абсолютно надежны. Вы внимательно проверили все эти часы и убедились: все они показывают одно и то же время и тикают с одной и той же частотой. У меня, в моей системе отсчета, тоже есть эквивалентная вашей коллекция часов, расположенная относительно меня таким же образом, каким расположены ваши часы. У каждого часового механизма из вашего набора имеется соответствующий партнер в моем наборе, и наоборот. Я убедился, что все мои часы синхронизированы друг с другом и с вашими часами. Затем я вместе со всеми моими часами начинаю двигаться относительно вас и ваших часов. Когда каждый из моих часовых механизмов проходит мимо каждого из ваших, мы сверяемся друг с другом, чтобы посмотреть, показывают ли они по-прежнему одно и то же время, и если нет, насколько каждое из устройств разошлось со своим партнером. Ответ на этот вопрос может зависеть от положения каждого из часовых механизмов на координатной прямой.
Разумеется, подобный вопрос мы могли бы задать и в отношении своих мерных реек: «Когда я прохожу мимо вас, имеет ли моя единичная мерная рейка такую же единичную длину в ваших координатах?» Именно здесь Эйнштейн и совершил свой великий прорыв. Он понял, что нам надо отнестись гораздо внимательнее к нашим определениям длины, времени и одновременности. Мы должны подумать о том, как мы синхронизируем два наших часовых механизма экспериментально. Но при этом мы должны держаться постулата о постоянстве скорости света во всех ИСО. И тогда нам придется отказаться от ньютоновского постулата об универсальном времени. Как обнаружил Эйнштейн, «одновременность относительна». Мы будем следовать его логике.
Что на самом деле мы имеем в виду, когда говорим, что два часовых механизма — назовем их A и B — синхронизированы? Если и те и другие часы находятся в одном и том же месте и движутся с одной и той же скоростью, очень просто сравнить их показания и выяснить, показывают ли они одно и то же время. Но даже если A и B неподвижны, скажем, в вашей системе отсчета, но не находятся в одной и той же точке, проверка их синхронизации требует некоторого размышления. Дело в том, что свету нужно время для того, чтобы дойти от A до B.
Стратегия Эйнштейна заключалась в следующем: представим себе третьи часыC, расположенные на полпути между A и B.7 Например, пусть все три механизма расположены в первом ряду нашей аудитории. Часы A держит в руках студент на левом краю ряда, часы B — студент на правом краю, а часы C находятся в центре ряда. При этом мы особенно тщательно позаботились о том, чтобы расстояние от A до C было в точности равно расстоянию от B до C.
Ровно в тот момент, когда часыA показывают полдень, они посылают световой сигнал в сторону часов C. Точно так же, когда часы B показывают полдень, в сторону часов C летит световой импульс и от них. Конечно, обоим сигналам потребуется время, чтобы достичь часов C, но так как скорость света одна и та же для обеих вспышек и расстояние, которое сигналы должны пройти, также одинаково, то и время, которое они затратят на то, чтобы дойти до C, тоже будет одним и тем же. Говоря, что часы A и B синхронизированы, мы имеем в виду, что световые сигналы придут в точку C ровно в одно и то же время. Конечно, если они придут не одновременно, студентка C заключит, что часы A и B не синхронизированы. Тогда она может послать студентам A или B сообщение о том, насколько им надо изменить показания своих часов, чтобы их синхронизировать.
Допустим, часыA и B синхронизированы в вашей системе. Что происходит в моей движущейся системе? Например, пусть я двигаюсь вправо и достиг средней точки C как раз в момент посылки этих двух сигналов. Но свет вспышек не достигнет C ровно в полдень; он придет сюда чуть позже. К этому времени я уже немного сдвинусь вправо от центра. А так как я справа от центра, световой луч слева достигнет меня немного позже, чем это сделает световой луч справа. Следовательно, мне придется заключить, что ваши часы не синхронизированы — ведь световые сигналы от них пришли ко мне в разное время.
Очевидно, что для меня и для вас синхронность — тот факт, что два события произошли в одно и то же время — определяется по-разному. Два события, которые произошли в одно и то же время в вашей системе отсчета, в моей системе происходят в разное время. Во всяком случае, исходя из двух постулатов Эйнштейна, мы должны прийти именно к такому выводу.
Единицы и измерения: краткое отступление
Прежде чем двигаться дальше, нам надо сделать небольшую паузу и объяснить, что мы будем использовать две системы единиц. Каждая из этих систем хорошо приспособлена для своих задач, и переходить от одних единиц к другим очень просто.
В первой из этих систем используются знакомые нам единицы: метры, секунды и т.д. Будем называть их обычными, или общепринятыми. Эти единицы превосходно описывают окружающий мир, где в большинстве случаев скорости гораздо меньше световой. Скорость 1 в этих единицах означает 1 метр в секунду, что на много порядков меньше c.
Вторая система основана на скорости света. В этой системе единицы длины и времени определяются так, чтобы скорость света была безразмерной величиной, равной 1. Эти eдиницы мы будем называть релятивистскими. В релятивистских единицах гораздо проще делать выкладки и устанавливать симметрию в уравнениях. Мы уже видели, что обычные единицы неудобны для построения пространственно-временных диаграмм. А релятивистские единицы для этого прекрасно приспособлены.
В релятивистских единицах не только c 1, но и все скорости безразмерны. Чтобы это обеспечить, мы должны соответствующим образом определить единицы длины и времени — ведь скорость есть не что иное, как длина, деленная на время. Если в качестве единицы времени мы возьмем секунду, то нашей единицей длины будет световая секунда. Много это или мало? Мы знаем, что это 300 000 км, но для наших целей это совершенно несущественно. Важно вот что: световая секунда теперь наша мера длины, и в соответствии с ее определением свет пролетает расстояние в 1 световую секунду за секунду! По сути, мы теперь измеряем в секундах и время, и длину. Таким образом, скорость — длина, деленная на время — становится величиной безразмерной. Когда мы пользуемся релятивистскими единицами, любая переменная скорость является безразмерной частью скорости света. И это вполне согласуется с тем, что сама скорость светаc имеет численное значение 1.
На пространственно-временной диаграмме, такой как на рис. 1.2, оси x и t откалиброваны в секундах.8 Траектория светового луча образует равные углы и с осью x, и с осью t. И наоборот, любая траектория, которая образует равные углы с обеими осями, представляет собой световой луч. В вашей стационарной СО этот угол равен 45 градусам.
Знание того, как легко и быстро переходить от одного типа единиц измерения к другому, нам очень пригодится. Основной принцип здесь заключается в том, что размерность математических выражений должна быть внутренне согласованной, независимо от того, какую именно систему единиц мы в том или ином случае используем. Наиболее распространенный и полезный прием при переходе от релятивистских к обычным единицам заключается в замене на . Есть и другие схемы перехода, которые, как правило, основаны на умножении или делении на некоторую подходящую степень скорости света c. С такими примерами мы скоро встретимся в ходе изложения, и вы увидите, что эти преобразования систем единиц довольно просты.
Рис. 1.2. Системы отсчета СТО в релятивистских единицах (c 1). Уравнения, связанные с Артом, представляют два различных способа описания его мировой линии. Пунктиром показаны мировые линии световых лучей. Постоянные 1 и 2 в уравнениях мировых линий Мэгги и Ленни не просто числа — это секунды в релятивистских единицах
И снова координаты!
Давайте вернемся к нашим двум системам координат. На этот раз мы будем очень внимательно относиться к точному значению слова одновременностьв движущейся СО. В покоящейся СО две точки синхронны (или одновременны), если они находятся на одном и том же горизонтальном уровне на пространственно-временной диаграмме. Обе эти точки имеют одну и ту же координату t, и прямая, которая их соединяет, параллельна оси x. Со всем этим Ньютон был бы полностью согласен.
Но что, если система отсчета движется? Мы сейчас увидим, что в движущейся системе точка
x 0, t 0
не одновременна с другими точками оси x, но зато одновременна с совершенно другим множеством точек. По сути дела, вся поверхность, которая в движущейся системе называется «одновременной», находится где-то в другом месте. Как мы можем изобразить эту поверхность? Мы используем для этой цели процедуру синхронизaции, описанную в предыдущем подразделе («Синхронизация часов») и проиллюстрированную на рис. 1.2.
Рисование пространственно-временной диаграммы — это обычно лучший способ понять суть проблемы относительности. Основа этого графика всегда одна и та же: горизонтальная ось x, вертикальная — t. Эти координаты составляют СО, которую мы считаем неподвижной. Другими словами, они являются вашейсистемой отсчета. Линия, которая представляет траекторию наблюдателя, движущегося в пространстве-времени, называется мировой линией.
Определившись с осями, мы нарисуем световые лучи. На рис. 1.2 они представлены линиями x ct и x −ct. Пунктирная линия, проведенная из точки a в точку b, тоже является световым лучом.
Вернемся на главную дорогу
Возвращаясь к рис. 1.2, нарисуем на нем наблюдателя: Арта, сидящего в купе поезда, который движется вправо с постоянной скоростью . Его мировая линия обозначена уравнением, которое описывает его движение. Напомним еще раз, что система Арта будет двигаться так, что — в точности как двигался наблюдатель на рис. 1.1.
Теперь давайте подумаем, как нарисовать ось в системе Арта. Начнем с того, что добавим еще двух наблюдателей, Мэгги и Ленни. Мэгги сидит в следующем купе перед Артом (для вас — правее), а в купе перед ней, то есть еще правее, сидит Ленни. Соседние наблюдатели отделены друг от друга одной единицей длины, измеренной в вашей (покоящейся) системе. Уравнения мировых линий Мэгги и Ленни даны на рисунке. Так как Мэгги расположена на одну единицу длины справа от Арта, ее траектория описывается как , а траектория Ленни — как . Арт, Мэгги и Ленни находятся в одной и той же движущейся системе отсчета. Друг относительно друга они неподвижны.
У нашего первого наблюдателя, Арта, есть часы, и в тот момент, когда он достигает начала отсчета, они показывают ровно 12 дня. Предположим, что и в покоящейся системе отсчета часы в этот момент тоже показывают полдень. Договоримся считать 12 часов дня нашим нулевым моментом времени и обозначим наше общее начало координат (x 0; t 0) в вашей координатной системе и () в системе координат Арта.
Итак, по нашему допущению, движущийся и неподвижный наблюдатели договорились о нулевом моменте времени t 0. Для вас (неподвижного наблюдателя) t 0 на всей горизонтальной оси. По сути, это определение горизонтальной оси: это как раз такая линия, на которой все моменты времени неподвижного наблюдателя равны нулю.
Пусть Арт из своего начала отсчета посылает световой сигнал Мэгги. Ленни тоже посылает в сторону Мэгги световой сигнал из некоторой точки — мы пока не знаем из какой. Каким-то образом он ухитряется сделать это так, что оба сигнала достигают Мэгги в один и тот же момент. Если сигнал Арта послан из начала отсчета, Мэгги получит его в точке a на рис. 1.2. Из какой же точки должен послать свой сигнал Ленни, чтобы этот сигнал достиг Мэгги в тот же самый момент? Мы можем это определить, если развернем события в обратном направлении. Мировая линия любого светового сигнала, который Ленни отправляет к Мэгги, должна образовать с осью x угол 45 градусов. Поэтому мы просто должны построить прямую из точки a с наклоном 45 градусов вниз и направо и продолжать ее до пересечения с линией движения Ленни. На нашем рисунке это точка b, и, как легко можно видеть из рисунка, она лежит над осью x, а не на ней.
Мы только что показали, что начало отсчета и точка b являются одновременными событиями в системе отсчета Арта! Другими словами, движущийся наблюдатель (Арт) скажет, что в точке b. Почему? Потому, что в движущейся системе отсчета Арт и Ленни, находящиеся на одинаковом расстоянии от центрального наблюдателя Мэгги, послали ей световые сигналы, которые пришли к ней в один и тот же момент времени. А Мэгги скажет: «Ребята, вы послали мне световые сигналы ровно в один и тот же момент времени, потому что они пришли ко мне в одно и то же время, а я ведь знаю, что вы находитесь от меня на одинаковом расстоянии».
Находим ось
Мы установили, что для Арта (а также для Мэгги и Ленни) ось x — это прямая, соединяющая общее (для обеих систем отсчета) начало отсчета с точкой b. Нашей следующей задачей будет точно отыскать положение точки b. Как только мы вычислим координаты точки b, мы тут же узнаем, как определить направление оси в системе Арта. Давайте проделаем это шаг за шагом. Процедура немного громоздкая, но простая. Шагов два. Первый — это поиск или определение координат точки a.
Точка a лежит на пересечении двух прямых: движущегося направо светового луча и прямой , которая является мировой линией Мэгги. Чтобы найти это пересечение, мы просто подставим одно уравнение в другое. Так как мы используем релятивистские единицы, в которых скорость светаc равна 1, уравнение
x ct
можно записать еще проще:
x t. (1.5)
Подставляя (1.5) в уравнение мировой линии Мэгги,
;
получаем
,
или
.
Или еще лучше:
. (1.6)
Теперь, когда известна временная координата точки a, можно найти и ее координату x. Это легко сделать, если заметить, что вдоль всего светового луча x t. Другими словами, мы просто можем заменить в (1.6) t на x и написать
.
Поздравляю! Мы нашли точку a!
Обладая координатами точки a, посмотрим на прямую ab. Как только у нас будет ее уравнение, мы сможем определить, где она пересекает мировую линию Ленни . Для этого потребуется несколько шагов, но, во-первых, они интересные, а во-вторых, я не знаю более короткого пути.
Каждая прямая с наклоном 45 градусов, направленная вправо и вниз, обладает тем свойством, что величина x + t вдоль всей прямой постоянна. У каждой прямой, направленной под углом в 45 градусов вверхи вправо, постоянна величина x – t. Возьмем прямую ab. Ее уравнение:
x + t некоторая постоянная.
Чему же равна эта постоянная? Легко найти ее, взяв какую-нибудь точку на этой прямой с конкретными значениями x и t. В частности, мы уже знаем, что в точке a
.
Следовательно, так как мы знаем, что это равенство будет выполняться вдоль всей прямой ab, уравнение этой прямой должно иметь вид
. (1.7)
Теперь можно найти координаты b, решая систему линейных уравнений для прямой ab и мировой линии Ленни. Мировая линия Ленни — это , что мы перепишем как . Составим нашу систему уравнений
и
и после несложных алгебраических преобразований решим ее:
,
(1.8)
Первое и самое важное: не равно нулю. Следовательно, точка b, одновременная c началом отсчета движущейся системы координат, не одновременна с началом отсчета в неподвижной системе. Далее, рассмотрим прямую, соединяющую начало отсчета с точкой b. По определению, наклон этой прямой равен , а из уравнений (1.8) мы видим, что этот наклон равен . Эта прямая — не что иное, как ось , что весьма просто получается из уравнения
. (1.9)
Не забудем при этом, что скорость может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, двигаюсь ли я вправо или влево относительно вашей системы. Если скорость отрицательна, вам придется перерисовать все диаграммы или просто перевернуть их.
Рис. 1.3. Системы отсчета СТО. Показаны оси и
На рис. 1.3 показана наша пространственно-временная диаграмма, на которой нарисованы оси и . Прямая (или трехмерная поверхность на пространственно-временной карте, если в рассмотрение включаются и две другие координаты y и z) имеет то важное свойство, что на ней все часы в движущейся системе показывают одно и то же время . Назовем ее поверхностью одновременности в движущейся системе. Она играет ту же роль, что и поверхность t 0 в покоящейся системе.
До сих пор в этом разделе мы использовали релятивистские единицы, в системе которых скорость светаc 1. Теперь у вас есть хорошая возможность попрактиковаться в преобразованиях размерностей и посмотреть, как уравнение (1.9) выглядело бы в обычной системе единиц: метрах и секундах. В этих единицах в (1.9) не согласованы размерности: левая часть выражена в секундах, а правая — в квадратных метрах в секунду. Чтобы согласовать размерности, нам придется умножить правую часть на соответствующую степень c, а именно на 1/c2:
(1.10)
В уравнении (1.10) интересно то, что оно описывает прямую с невероятно малым наклоном: . То есть, например, если бы равнялась 300 метров в секунду (примерная скорость реактивного самолета), наклон составил бы . Другими словами, ось на рис. 1.3 была бы почти совершенно горизонтальной, а поверхности одновременности в покоящейся и движущейся системах почти точно совпадали бы, как это и происходит в ньютоновской физике.
Это пример того, как эйнштейновское описание пространства-времени сводится к ньютоновскому, если относительная скорость систем отсчета много меньше скорости света. И, конечно, это дает нам важный критерий правильности нашего подхода.
Рис. 1.4. Упрощенные системы отсчета СТО
Теперь мы можем вернуться к релятивистским единицам, в которых c 1. Упростим нашу диаграмму и оставим на ней только то, что потребуется нам для дальнейшего движения вперед. Пунктирная линия на рис. 1.4 представляет луч света, мировая линия которого образует угол в 45 градусов и с осью t, и с осью x. Мировая линия Арта показана как ось , обозначена и его ось . Над обеими осями системы Арта также надписаны соответствующие уравнения. Отметим симметрию этих двух осей: и . Эти две прямые являются отражениями друг друга относительно пунктирной световой траектории. Они связаны взаимозаменяемостью t и x. Другой способ выразить это — сказать, что они образуют одинаковый угол с соответствующими осями без штрихов — осью x в случае и осью t в случае . Мы обнаруживаем две интересные вещи. Во-первых, если скорость света действительно одна и та же во всех системах отсчета и вы используете световые лучи для синхронизации часов, то пары событий, одновременные в одной системе, не являются одновременными в другой. Во-вторых, мы поняли, что именно означает одновременность в движущейся системе: она соответствует поверхностям, которые не являются горизонтальными, а наклонены под углом . Мы определили направления осей и в движущейся системе Арта. Впоследствии мы выясним, как измерять интервалы на этих осях.
Пространство-время
Остановимся на минутку, чтобы поразмышлять о том, что мы узнали о пространстве и времени. Ньютон, разумеется, знал и о том и о другом, но считал их полностью независимыми друг от друга. Для Ньютона «пространство» было трехмерным пространством, а «время» — универсальным временем. Они были полностью самостоятельны, и различие между ними было абсолютным.
Но такие диаграммы, как рис. 1.3 и 1.4, указывают на нечто, чего Ньютон знать не мог, а именно на то, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой пространственные и временные координаты начинают смешиваться друг с другом. Например, на рис. 1.3 интервал между началом отсчета и точкой b представляет две точки в один и тот же момент времени в движущейся системе отсчета. Но в покоящейся системе точка b сдвинута по отношению к началу отсчета не только в пространстве, но и во времени.
Спустя три года после основополагающей статьи Эйнштейна 1905 г., в которой были изложены основы специальной теории относительности, Минковский довершил революцию в физике. В обращении к 80-й Ассамблее Общества немецких естествоиспытателей и врачей он писал:
Пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции, и лишь некоторый вид соединения обоих должен еще сохранить самостоятельность.9
Это объединение четырехмерно, с координатами t, x, y, z. Физики иногда называют его пространством-временем. Иногда мы зовем его и пространством Минковского. Сам Минковский называл его иначе: он называл его миром.
Точки в пространстве-времени Минковский называл событиями. Событие обозначается своими четырьмя координатами: t, x, y, z. Называя точку пространства-времени событием, Минковский имел в виду не то, что в точке t, x, y, z действительно что-то произошло, — он подразумевал, что там что-то могло произойти. Прямые или кривые линии, описывающие траектории объектов, Минковский называл мировыми линиями. Например, прямая на рис. 1.3 является мировой линией Арта.
Этот случившийся в 1908 году переход от независимых пространства и времени к единому пространству-времени был радикальным шагом. Сегодня пространственно-временные диаграммы так же знакомы физикам, как линии на их собственных ладонях.
Преобразования Лоренца
Событие, или, другими словами, точку пространства-времени, можно пометить значениями координат в покоящейся или в движущейся системе отсчета. В зависимости от того, какую из систем мы выбираем, мы говорим при этом о двух различных описаниях одного и того же события. Следует очевидный вопрос: как мы переходим от одного описания к другому? Другими словами, каково преобразование координат, связывающее координаты в покоящейся системе t, x, y, z с координатами в движущейся системе ?
Одно из предположений Эйнштейна заключалось в том, что пространство-время повсюду одно и то же, в том же смысле, в каком повсюду одной и той же остается бесконечная плоскость. Это единообразие пространства-времени представляет собой симметрию, в соответствии с которой ни одно событие не отличается от любого другого события и при помещении начала отсчета в какой угодно точке физические уравнения не изменяются. Такой подход имеет математические последствия для природы преобразований от одной системы отсчета к другой. Например, ньютоновское уравнение
(1.11)
линейно, то есть содержит только первые степени координат. Уравнение (1.11) не удастся сохранить в его простой форме, но одну вещь оно все же ясно показывает, а именно, что 0 при любом . По сути, существует единственный способ видоизменить уравнение (1.11), сохранив при этом его линейность наряду с тем фактом, что при любом : это умножить его правую часть на функцию скорости:
. (1.12)
Вначале функция могла быть любой, но у Эйнштейна был в запасе еще один трюк: использование другого вида симметрии, симметрии между левым и правым. Иначе говоря, не существует никаких физических причин считать скорость движения вправо положительной, а скорость движения влево — отрицательной. Такая симметрия предполагает, что не должна зависеть от того, является ли положительной или отрицательной. Есть простой путь записать любую функцию так, чтобы она была одинакова для положительных и отрицательных : записать ее как функцию квадрата скорости .10 Поэтому вместо (1.12) Эйнштейн написал
. (1.13)
Подводя итог, можно сказать, что, записывая вместо , мы подчеркиваем то обстоятельство, что в пространстве нет выделенного направления.
А как быть с ? Здесь вполне подходит та же логика, что и для . Мы знаем, что 0 при всех . Другими словами, мы просто можем поменять ролями x и t и написать
, (1.14)
где — некоторая другая возможная функция. Уравнения (1.13) и (1.14) говорят нам, что 0 при любых и что 0 при любом . Симметрия этих двух уравнений приводит к тому, что ось является просто отражением оси относительно прямой x t и наоборот.
Итак, пока мы знаем, что наши преобразования координат должны иметь вид:
,
. (1.15)
Следующая наша задача — установить, какими именно должны быть функции и . Для этого рассмотрим путь светового луча в этих двух системах отсчета и применим эйнштейновский принцип, гласящий, что скорость света одинакова. Если скорость светаc равна 1 в неподвижной системе, она должна быть равна 1 и в движущейся системе. Перефразируем это: если мы начинаем с отправки светового луча, удовлетворяющего уравнению x t в неподвижной системе отсчета, он должен удовлетворять и уравнению в движущейся системе. Иначе говоря, из
должно следовать
.
Вернемся к уравнениям (1.15). Полагая x t и требуя, чтобы , мы приходим к простому условию:
.
Другими словами, требование, чтобы скорость света была одной и той же в вашей и моей системах отсчета, приводит к простому условию равенства функций и . Тогда мы можем упростить уравнения (1.15)
,
. (1.16)
Чтобы найти , Эйнштейн использовал еще одно средство. По сути, он сказал: «Постойте, а откуда мы знаем, какая из систем движется? Откуда мы знаем, движется ли моя система относительно вашей со скоростью или ваша относительно моей со скоростью −
