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- Herausgeber: Universidad Nacional de Colombia
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Spanisch
El libro es adecuado para estudiantes de matemáticas y también es un sólido soporte para estudiantes de disciplinas afines que deben enfrentar cursos de matemáticas en su formación profesional. El texto reúne algunos temas de varias asignaturas como: teoría de conjuntos, teoría de conjuntos, teoría de números, fundamentos de matemáticas, análisis matemático y topología de la recta. Cumple con el objetivo de introducir los sistemas numéricos más importantes utilizados en el área. Es un buen libro de referencia o de refuerzo. Además, presenta una buena cantidad de ejercicios que complementa de forma muy natural, la teoría expuesta en cada uno de los capítulos. La rigurosidad en el tratamiento de los temas y las demostraciones es exquisita, es un buen punto de referencia para usar cuando se necesite información acerca de los sistemas numéricos más utilizados. Tiene una escritura impecable, su redacción es adecuada y es un texto fácil de leer y entender para un estudiante de matemáticas. Es un texto que de manera sencilla y sin perder el rigor de la matemática formal, introduce una secuencia de tópicos desde las nociones de operación binaria y clases de equivalencia, necesarios para una construcción formal de los números reales usando sucesiones, hasta finalmente, introducir los números complejos.
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Seitenzahl: 352
Veröffentlichungsjahr: 2014
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Ähnliche
©Universidad Nacional de Colombia
© Vicerrectoría de Investigación
© Editorial Universidad Nacional de Colombia
© Sigifredo De Jesús Herrón Osorio
Primera edición, 2014
ISBN : 978-958-761-761-0 (papel)
ISBN : 978-958-761-763-4 (IPD)
ISBN : 978-958-761-762-7 (digital)
Diseño de la Colección Obra Selecta
Marco Aurelio Cárdenas
Edición
Editorial Universidad Nacional de Colombia
www.editorial.unal.edu.co
Bogotá, D. C., Colombia, 2014
Prohibida la reproducción total o parcial
por cualquier medio sin la autorización escrita
del titular de los derechos patrimoniales
________________________________________________________
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
Herrón Osorio, Sigifredo De Jésus, 1965-
Tópicos previos a la matemática superior / Sigifredo Herrón Osorio. -- Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Vicerrectoría de Investigación, 2014.
234 páginas : ilustraciones. - (Colección Obra Selecta)
Incluye referencias bibliográficas
ISBN : 978-958-761-761-0 (papel) - ISBN : 978-958-761-763-4 (IPD) -- ISBN : 978-958-761-762-7 (digital)
1. Matemáticas 2. Sistema binario (Matemáticas) 3. Teoría de conjuntos 4. Teoría de los números 5. Análisis matemático 6. Topología I. Título II. Serie
CDD-21 510 / 2014
Gracias te damos, oh Dios, gracias te damos,
Pues cercano está tu nombre;
Los hombres cuentan tus maravillas.
Salmo 75:1
Anotación
NConjunto de los números naturales
(AP1)Primer axioma de Peano
(AP2)Segundo axioma de Peano
(AP3)Tercer axioma de Peano
(AP4)Cuarto axioma de Peano
(AP5) Quinto axioma de Peano
PBO Principio del buen orden
[a] Clase de equivalencia de a
ZConjunto de los números enteros
N∗ Conjunto de los números naturales
a|b El entero a ≠ 0divide al entero b
(SA) Asociatividad de la suma
(SN) Existencia de neutro para la suma
(SI) Existencia de inversos para la suma
(SC) Conmutatividad de la suma
(PA)Asociatividad del producto
(PN) Existencia de neutro para el producto
(PC) Conmutatividad del producto
(D) Distributiva de la suma respecto al producto
−AConjunto de opuestos de A
A + BConjunto de todas las sumas posibles de elementos de A y de B
AB Conjunto de todos los productos posibles de elementos de Ay de B
cAConjunto de todos los elementos de la forma cA
Conjunto de los números racionales
Conjunto de racionales positivos
Conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales
Conjunto de las sucesiones de racionales que son nulas
Conjunto de los números reales
Conjunto de los números reales
Conjunto de los números reales negativos
Parte entera del real x
Parte fraccionaria del real x
Conjunto de los números irracionales
Conjunto de puntos de acumulación del conjunto A
Complemento del conjunto A
Clausura del conjunto A 153
Frontera del conjunto A
Conjunto de los números complejos
Argumento principal de z
Variaciones de n objetos tomados de a r
Combinaciones de n objetos tomados de a r
Los conjuntos A y B son equipotentes
Segmento inicial de números naturales
Cardinal del conjunto A
Función f restringida al conjunto A
Conjunto de polinomios con coeficientes en el campo
Grado del polinomio p
Prólogo
El presente texto fue motivado principalmente por la ausencia de un libro en el mercado, de fácil acceso para el estudiante, que reuniera los contenidos que se proponen aquí y que constituyen el programa oficial de la asignatura Sistemas Numéricos, previa al curso de Análisis Real, que se les ofrece a los estudiantes no solo de la carrera de Matemáticas, sino también de otras carreras de la Universidad Nacional de Colombia. Es consecuencia de unas notas de clase que resultaron de dictar el curso durante varios semestres, antes y después de la reforma académica que se implantó en nuestra universidad.
El texto se expone, cuando la temática lo hace posible, en términos sencillos para beneficio del estudiante, pero sin sacrificar el rigor correspondiente. Es oportuno mencionar que esta asignatura involucra conceptos teóricos no triviales los cuales, para ser asimilados, necesitan fuerza de voluntad y estudio continuo. Es altamente recomendable resolver los ejercicios y dedicarle tiempo a estudiar las pruebas, aunque esto último vaya en contra de lo deseado por el estudiante en el sentido de entender sin mucho esfuerzo lo que se presenta en un libro de matemáticas.
Una de las partes centrales de este texto es la construcción del conjunto de los números reales y el estudio de algunos temas en este conjunto. Para ello iniciamos con los números naturales, vía los axiomas de Peano. Luego se construye el conjunto de los números enteros, que será usado para construir los racionales y estos a su vez para la construcción de los números reales vía sucesiones de Cauchy. Finalmente, presentamos los números complejos. Como lectura complementaria se presenta un apéndice, el cual reúne algunos temas de carácter opcional que pueden brindar claridad en un momento dado a las necesidades del lector.
Necesitamos contar con algunos elementos que seguramente el lector ya conoce. Uno de los primeros, consiste en aceptar la existencia de una relación llamada la igualdad, que es reflexiva, simétrica y transitiva. Las nociones de clase de equivalencia, conjunto cociente, función, teoría básica de conjuntos y los métodos estándares de prueba también serán elementos primarios que deben ser conocidos por el lector. En el capítulo de los números complejos supondremos conocidos, por razones de tiempo, algunos hechos básicos de trigonometría y la noción de vector. Por último, un axioma muy importante, no solo en la teoría de conjuntos, es el de elección. Hay varias versiones, todas equivalentes, pero una versión sencilla es como sigue:
Si {Ai : i ∈ I} es una familia no vacía de conjuntos no vacíos, entonces existe un conjunto E que contiene uno y solo un elemento de cada Ai.
Los ejercicios se van dejando en el punto apropiado para que el estudiante con los elementos mínimos expuestos hasta ese momento pueda desarrollarlos. Sin embargo, al final de cada capítulo o sección podemos proponer más.
Es importante mencionar que hay poco original en este libro, pues el contenido aquí detallado es de conocimiento universal en la literatura, no solo de la misma clase a la que este libro pertenece sino a muchos otros. Algunas pruebas y el toque personal pedagógico para beneficio de los estudiantes, son los aportes significativos. Aunque las referencias presentadas no son necesariamente las fuentes originales, la ausencia de alguna referencia para ciertos temas específicos no equivale a decir que lo expuesto sea de mi autoría.
Este libro no es exhaustivo, se pretende simplemente presentar lo básico que se ha diseñado como contenido de la asignatura Sistemas Numéricos. Más precisamente, uno de los objetivos de este libro es revisar y complementar los conjuntos numéricos desde los naturales hasta los complejos, involucrando su construcción y algunos temas estudiados en cada uno de ellos.
Las proposiciones, corolarios, lemas, teoremas, ejemplos, ejercicios y definiciones están numerados, pero no independientemente, con dos números separados por un punto: el primero hace alusión al capítulo y el segundo indica el orden correspondiente. Como ilustración, el lector hallará secuencias como Definición 3.4, Lema 3.5, Teorema 3.6, Ejercicio 3.7, etc.
Es frecuente la idea de que los estudiantes deben tener contacto con la investigación al final de sus estudios. En lo personal me distancio de esa postura, y es por ello que en algunos capítulos se plantean miniproyectos sobre temas que, aunque importantes, son de fácil asimilación para él y tienen la intención de sembrar en el estudiante espíritu investigativo desde los inicios de su carrera.
El texto fue escrito usando ; y con el símbolo indicaremos la terminación de una demostración.
Especial agradecimiento a los profesores Margarita Toro Villegas, Jorge Mejía Laverde y Fernando Puerta Ortiz, colegas de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín, por sus valiosos aportes para una mejor redacción final de este texto. Al estudiante de la Maestría en Matemáticas, Aníbal Fernando Álvarez Pérez, por su colaboración en el manuscrito de una pequeña parte de este libro. Mi agradecimiento también va para los evaluadores (anónimos) de este proyecto, quienes realizaron una lectura cuidadosa del manuscrito propuesto y detectaron algunos detalles que se corrigieron y mejoraron la versión definitiva del texto. Finalmente, agradezco a los lectores cualquier comentario, sugerencia o corrección a un eventual error involuntario. Pueden dirigir sus mensajes a [email protected]
Sigifredo De Jesús Herrón Osorio
Diciembre de 2013
Capítulo 1
Operaciones binarias
En este primer capítulo presentamos algunos elementos básicos que serán de uso rutinario en algunos capítulos posteriores. El presente capítulo concierne solamente a cierto tipo de funciones que en la práctica no se usan como tales y son llamadas operaciones binarias.
1.1 Operaciones binarias
Dado un conjunto no vacío A y un par de elementos a y b en este conjunto, si existe alguna manera * de operar con ellos y que el único resultado obtenido sea un elemento del conjunto dado, entonces llamaremos a * una operación binaria en dicho conjunto. Es decir, para a*b ∈ A, se tiene que el resultado a * b € A. Esto no es más ni menos que una función de A×A en A. Formalizamos entonces esta noción en la definición siguiente:
Definición 1.1. Sea A un conjunto no vacío. Una función de la forma * : A×A→ A se llama una operación binaria en A.
Una operación binaria también se llama clausurativa o ley de composición interna.
Se acostumbra escribir la evaluación de * en el par (a,b) ∈ A × A como a*b en lugar de *(a, b).
La función *, así definida, es una operación binaria en A.
Presentamos ahora algunas propiedades que pueden tener las operaciones binarias.
Por ejemplo, de lo que sabemos de la teoría de conjuntos, las operaciones binarias del Ejemplo 1.2 son conmutativas y asociativas. Un chequeo directo nos permite ver que la operación * del Ejemplo 1.3 es conmutativa. ¿Es dicha operación asociativa?
En álgebra se acostumbra usar para el inverso bilateral a′ las siguientes notaciones: la aditiva, —a y la multiplicativa, a-1.
Definición 1.7. Una relación R y una operación * definidas en un conjunto A se dicen compatibles si para a, a′, b, b′∈ A se cumple:
Con el ánimo de ir introduciendo al lector a cursos posteriores, en álgebra abstracta, concretamente en teoría de grupos, una cosa es el conjunto A y otra la operación binaria * definida en él. Pero juntos, el par (A,*) define una estructura algebraica llamada grupoide. Ahora bien, cuando en un grupoide la operación binaria es asociativa, este se llama semigrupo, y si además tiene elemento neutro y es invertiva, la estructura se llama grupo. Finalmente, el nombre de grupo abeliano o conmutativo se le asigna al grupo cuya operación binaria es conmutativa.
1.2. Ejercicios
1. Sean X un conjunto fijo no vacío y A el conjunto de todas las funciones biyectivas de X en X. Para f, g ∈ A, considere la composición de funciones f o g. ¿Es esta una operación binaria en A? Si es así, ¿qué propiedades tiene esta operación? Responda las mismas preguntas en el caso de funciones en general.
2. Sea (A,*) un semigrupo con elemento neutro e. Pruebe que si a ∈ A tiene inverso bilateral entonces este es único.
3. Sean a,b y c tres elementos en un semigrupo (A, *), los cuales tienen inversos. Pruebe que a * (b * c) tiene inverso y este es
4. Sea * una operación conmutativa definida en un conjunto A. Muestre que una relación de equivalencia R en A es compatible con la operación * si y solo si
7. Sean (G,) y (H, *) grupos. Si en G x H se define
pruebe que (G x H, #) es un grupo. Este grupo se llama el producto directo de (G, ) y (H, *).
para cada g1,g2 ∈G).
Capítulo 2
Los números naturales
Existen varias maneras de presentar los números naturales, por ejemplo, usando la teoría de conjuntos o conjuntos inductivos. La presentación que hacemos acá es vía los axiomas de Peano{1}. Estos postulados permiten derivar toda la aritmética de los números naturales. En la formulación de los axiomas de Peano se supone de antemano la existencia del conjunto .
2.1 Construcción axiomática de
Definición 2.1. El conjunto de los números naturales, denotado por, se caracteriza por los siguientes axiomas, llamados axiomas de Peano:
En términos simples, el conjunto de los números naturales consiste de un elemento distinguido (el cero) y la función sucesora de n que satisfacen los postulados de Peano. Muchos autores prefieren que el elemento distinguido sea el natural 1; matemáticamente, esto es irrelevante.
Finalmente, no presentaremos alusión profunda ante el asunto relacionado con la existencia y la unicidad de los números naturales. En la referencia [AE] se realiza una breve descripción sobre el particular y en [B] se hace una presentación más completa.
Una primera propiedad que demostramos es que, exceptuando el cero, cada natural es un sucesor. En la prueba ilustramos el poder del quinto axioma de Peano.
Proposición 2.2. Todo número natural diferente de cero es un sucesor.
Por definición de S, el natural 0 ∈S. Luego, se cumple (i) del axioma (AP5).
lo cual implica que n+ ∈ S. Queda así probada la condición (ii) del quinto axioma de Peano. Luego, tenemos que
Se desprende del Axioma (AP4) y la proposición previa que la función sucesor de n, S :, es biyectiva.
A continuación vamos a ocuparnos de introducir las operaciones suma y multiplicación en los números naturales.
Definición 2.3.En el conjunto de los números naturales,, definimos la suma “ + ” de la siguiente manera:
Reiteramos que las propiedades de la suma y el producto definidas en el conjunto serán demostradas usando el quinto axioma de Peano, esto es, el principio de inducción.
Teorema 2.4. La suma de dos números naturales es otro número natural, es decir, “ + ” es una operación binaria en.
Demostración. Sea . Como hemos venido comentando, la idea es usar el axioma (AP5) para demostrar que , lo que prueba el teorema. Por la definición de suma tenemos que 0 ∈ S. Veamos que si n ∈ S entonces n+ ∈ S. Sea m ∈. Por la hipótesis de inducción, m + n ∈ para todo natural m y así por el axioma (AP2), el sucesor de m + n es un natural y por la definición de suma se tiene que esto es
Teorema 2.5. La suma de naturales es asociativa, esto es se cumple que
Demostración. Sea
Esto demuestra que
Antes de probar la propiedad conmutativa, demostramos los siguientes lemas, que serán cruciales.
Lema 2.6. Para cada .
Demostración.Como antes usamos el principio de inducción.
Lema 2.7.Para todo par de naturales m,n se tiene que
Demostración. Sea . Es claro que 0 ∈ S, pues dado . Ahora demostremos el paso inductivo. Supongamos n ∈ S y sea m ∈. Entonces:
En consecuencia,
Teorema 2.9. La suma enes conmutativa.
Demostración. Sea . Probemos que . Por la definición de suma y el Lema 2.6, tenemos que . Por tanto, 0 ∈S. Supongamos ahora que n ∈ S, esto es . Luego,
Queda así probado que
La suma en los naturales goza de la propiedad cancelativa y la propiedad uniforme, más precisamente:
Es inmediato que 0 ∈ S. Supongamos ahora que k ∈ S y demostremos que k+∈ S. Notemos que esto significa probar la afirmación
Demostración. Una prueba simple es
Sin embargo, como hemos venido ilustrando, otra estrategia consiste en usar el quinto axioma de Peano. Para ello, sea
Ejercicio 2.12. Demuestre que para todo natural n se tiene que n+ n.
Si definimos 1 := 0+, la proposición previa nos permite definir
El etcétera se justifica gracias al axioma (AP2), es decir, el proceso se puede continuar indefinidamente. En virtud del axioma (AP3), el proceso no lleva nunca al número 0 y por los axiomas (AP4) y (AP5), el proceso no lleva nunca a uno de los números ya definidos. Para justificar esto último vamos a definir los siguientes conjuntos: para ,
A continuación nos ocupamos de la multiplicación en .
Definición 2.13. Se define la multiplicación (o el producto) “ · ” en el conjunto de los números naturales de la siguiente manera:
De la definición de producto y la observación anterior se deduce que para todo , puesto que
Usando el principio de inducción y el hecho de que la suma en es una operación binaria, se demuestra el siguiente resultado.
Teorema 2.14. La multiplicación definida enes una operación binaria, esto es, si m, n ∈entonces m · n ∈.
Ejercicio 2.15. Pruebe el Teorema 2.14.
De ahora en adelante, para denotar el producto entre dos naturales m y n omitiremos el punto.
Antes de probar la conmutatividad del producto presentamos un lema que junto con el Ejercicio 2.19 serán claves en su demostración.
De esta manera queda probado el lema.
Teorema 2.21. El producto enes conmutativo.
A continuación demostramos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
Teorema 2.22. Para todo m,n,k ∈se cumple que
Demostración. Sea
El natural 0 está en S, pues dados m y n naturales tenemos que
Demostremos el paso inductivo: supongamos que k ∈ S y sean m, n ∈. Entonces:
lo que prueba que
Con la ayuda de la propiedad distributiva se demuestra la asociatividad del producto.
Demostración. Ejercicio.
2.2 Orden en los naturales
Recordemos que una relación definida en un conjunto no vacío A se dice que es una relación de orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. En el conjunto de los números naturales definimos una relación que cumple estas tres características.
La relación m ≥ n significa n ≤ m.
Proposición 2.25. La relación “≤”, es una relación de orden en.
Definición 2.26. Sean m y n naturales. Decimos que m < n si m ≤ n y m n.
La relación m > n significa n < m.
La siguiente afirmación nos proporciona una caracterización, quizá más manejable, de la comparación estricta que se definió previamente.
Ejercicio 2.28. Demuestre que la Proposición 2.27 implica la Definición 2.26. Esto significa que cualquiera de las dos afirmaciones (la de la proposición y la de la definición) se puede dejar como definición y de ella se deduce la otra.
Notemos lo siguiente:
Ejercicio 2.29.Sean m,n y p números naturales. Demuestre las siguientes afirmaciones:
(a) Para todo n se tiene que n < n + 1.
(b) La relación “ < ” es transitiva.
(c) Se cumple que m + p < n + p m < n.
(d) La relación “ < ” es compatible con la operación “ + ” , es decir si m < n y p < q entonces m + p < n + q.
(e) Si m < n, entonces m + 1 ≤ n.
(f)Si m < n +1, entonces m ≤ n.
Ejercicio 2.30. Sean m,n naturales. Elabore un argumento que justifique la falsedad de las afirmaciones siguientes:
(c)m < n y n < m.
El próximo resultado expresa que dados dos naturales arbitrarios, solamente puede ocurrir una de tres posibilidades, lo cual precisamente da el nombre al teorema.
Demostración.Por el Ejercicio 2.30 no pueden ocurrir dos de las afirmaciones expresadas en el teorema de manera simultánea. Por tanto, basta probar que al menos una de ellas sí se presenta. Para ello aplicamos el principio de inducción al conjunto
Si m < n, como n < n+ entonces m < n+.
En cualquier caso se concluye que n+ ∈ S y, por tanto, .
Combinando la tercera parte de la observación presentada en la página 32 con la Ley de Tricotomía, se deduce la equivalencia mn m > n. De esto se desprende que la relación “≤”, definida en el conjunto , es una relación de orden total; es decir, dados naturales m y n se tiene que m ≤ n V n ≤ m. Nótese que la disyunción previa es verdadera, ya que su negación es una proposición falsa.
Ejercicio 2.32. Sean m,n y p naturales con p 0. Demuestre: m < n mp < np.
El próximo ejercicio expresa que el producto permite cancelar factores no nulos.
2.3 Principio del buen orden
Como veremos a continuación, este principio puede deducirse del principio de inducción; incluso son lógicamente equivalentes, es decir se implican mutuamente.
Teorema 2.34 (Principio del buen orden -- PBO). Sea A⊆no vacío. Entonces el conjunto A tiene un menor elemento, es decir existe m ∈A tal que m ≤ a, ∀ a ∈ A (m es el mínimo de A).
Demostración. Como es lo estándar al aplicar el principio de inducción, definimos un conjunto que tenga los elementos con la propiedad deseada. Definamos el conjunto
Ejercicio 2.35. Sea m ∈fijo. Demuestre que no existen números naturales k tales que m < k < m + 1.
El siguiente teorema es una modificación del principio de inducción y suele llamarse principio de inducción completa. Es consecuencia del PBO principio del buen orden.
Teorema 2.36 (Principio de inducción completa). Sean a ∈fijo y S ⊆ {k ∈: k ≥ a} tales que
(i) a ∈ S,
(ii) Si para todo j ∈con a ≤ j ≤ n, j ∈ S entonces n + 1 ∈S.
Este principio difiere en sus dos condiciones del dado por el quinto axioma de Peano. La primera diferencia es que el natural a puede ser diferente de cero; la segunda es que para que n +1 pertenezca a S, exige que a, a + 1, · · · ,n estén en S, la tercera diferencia es que la conclusión no es que , sino que la conclusión es que
A continuación presentamos una versión del principio de inducción, que es como una “combinación” de las dos anteriores. La combinación se explica en que la primera condición es como en el principio de inducción completa y la segunda condición, como en el principio de inducción dado por (AP5); es decir, para que el sucesor de n≥ a pertenezca al conjunto S se requiere que n lo esté. No se exige que a, a + 1,… , n estén en S.
Teorema 2.37 (Principio de inducción 3).Sean a ∈fijo y
tales que
(i) a ∈ S,
(ii) (∀n ≥ a) (n ∈ S n + 1 ∈S).
Al realizar una lectura cuidadosa de las pruebas que hemos presentado en esta sección, es importante notar que hemos probado lo siguiente:
(AP5) PBO Principio de inducción completa Teorema 2.37.
Veremos que el principio de inducción 3 también implica el axioma (AP5), completándose así el ciclo que demuestra la equivalencia de todos estos principios. Por esta razón se suele asignar el nombre de principio de inducción matemática a cualquiera de estos principios.
Teorema 2.38.El principio de inducción 3 implica el axioma de Peano (AP5).
Demostración.(Tomada de [JGR]). Sea a ∈ fijo verificando el principio de inducción 3. Veamos que se cumple el principio de inducción dado por (AP5). Sea S⊆ tal que
(ii) En la práctica, el principio de inducción suele aplicarse más en términos de propiedades que en términos de conjuntos y se usa de la siguiente manera: sean a ∈ fijo y Pn una propiedad que se cumple para el número natural n. Entonces Pn es cierta para todos los números naturales del conjunto {k ∈: k ≥ a} siempre que
a) Pa sea verdadera (paso base).
b) Si Pk se cumple, con k ≥ a entonces Pk+1 también (paso inductivo).
Ejercicio 2.39. Utilice el principio de inducción matemática, cuando sea el caso, para demostrar las siguientes proposiciones:
Sean f :
y g :
dos funciones. Sean p y q naturales tales que q
≥
p y p está fijo. Se define (la notación
)
Demuestre que si m y n son naturales fijos, entonces para todo natural k ≥ p se cumple que
Observemos que de la definición se deduce que
(Ver pie de página {2}).
2. Para todo n ≥ 1 se tiene que .
3. Para todo n ≥ 1 se tiene que
4. Para todo (Ver pie de página {3}).
5. Para todo n ≥ 1 se tiene que
6. Combinando los resultados de los Ejercicios 1, 2 y 3 se demuestra el Ejercicio 5 sin utilizar inducción. Justifique esta afirmación.
7.Para todo n ∈se cumple que . Proporcioneuna interpretación de esteresultado.
8. Demuestre que.
9. Deduzca una fórmula para
10. Sean f :una función y m < n naturales fijos. Demuestre la propiedad llamada suma telescópica:
(b) Si p < q entonces pn < qn.
12. Para todo n ∈tenemos que 3n≥2n + 1.
13. Para todon ≥ 6,2n > 7n.
14. Para todo n ≥ 4,3n > n3.
15. Para todo n ≥ 4,3n > 3n + 25.
16. Sean k un natural fijo y n ∈. Pruebe la siguiente desigualdad, llamada desigualdad de Bernoulli: (1 + k)n≥1 + nk.
17. Se define el factorial de un natural n, así:
Nota: Algunos ejercicios presentados en este capítulo fueron extraídos del texto “Teoría de números para principiantes”, (1999), Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia, de los autores L. R. Jiménez Becerra, J. E. Gordillo Ardila y G. N. Rubiano Ortegón. Similarmente, algunas ideas y demostraciones presentadas se extractaron de allí, obviamente con la autorización de los autores.
