Topología y geometría diferencial con aplicaciones a la física E-Book

Eduardo Nahmad-Achar

• Herausgeber: UNAM, Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial
• Kategorie: Gesellschafts- und Liebesromane
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 291

Beschreibung

El libro presenta, los fundamentos de la topología diferencial y la geometría diferencial junto con aplicaciones esenciales a muchas ramas de la física. En particular, y a pesar de que sólo se requieren para su lectura conceptos de álgebra lineal y de cálculo diferencial e integral, se llega a demostrar el Teorema de Stokes en variedades, a entender las expresiones fundamentales del cálculo avanzado en términos de formas diferenciales, a tocar brevemente las fronteras con la topología algebraica y, por el lado de la física, a formular la Teoría Newtoniana, la Teoría de Maxwell, y la Teoría de Einstein en un lenguaje geométrico (además de algunas aplicaciones a la mecánica, la dinámica de fluidos y la termodinámica). Para la parte de la física se presupone que el lector conoce los fundamentos de la relatividad especial.

Leseprobe

Programa Universitario del Libro de Texto

TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍADIFERENCIALCON APLICACIONES A LA FÍSICA

Eduardo Nahmad-Achar

Para Alex, Luis y Adela

Índice general

Prefacio

Notación

Capítulo 1Sinopsis de relatividad general

1.1Definición (Tiempo propio)

1.2Observación

1.3Ejemplo (Dilatación del tiempo)

1.4Distancia propia

1.5Ejemplo (Contracción de Lorentz)

1.6Transformación de coordenadas

1.7Efecto Doppler

1.8Corrimiento gravitacional hacia el rojo

1.9Espacio curvo, argumento de Schild

1.10Sobre la dinámica de gab

1.11Unidades geométricas

Capítulo 2Curvas y superficies en3

2.1Curvatura, torsión y fórmulas de Frenet

2.2Definición (Curva en 3)

2.3Ejemplos

2.4Definición (Velocidad de una curva)

2.5Definición (Reparametrización de una curva)

2.6Lema

2.7Definición (Longitud de arco)

2.8Teorema (Reparametrización por longitud de arco)

2.9Ejemplo

2.10Definición (Campo vectorial)

2.11Ejemplo

2.12Tangente, normal, binormal y sistema de Frenet

2.13Teorema (Fórmulas de Frenet)

2.14Definición (Curvatura y torsión)

2.15Ejemplo

2.16Lema (Curva plana)

2.17Ejemplo (Circunferencia plana)

2.18Observación

2.19Definición (Derivada covariante)

2.20Ejemplo

2.21Lema (Cálculo de derivadas covariantes)

2.22Ejemplo

2.23Definición (Operador de forma)

2.24Ejemplo

2.25Lema (La geometría determina la dinámica)

2.26Definición (Curvatura normal)

2.27Definición (Curvaturas principales)

2.28Teorema (Sobre puntos umbilicales)

2.29Corolario (Fórmula de Euler)

2.30Definición (Curvaturas Gaussiana y media)

2.31Lema

2.32Observación

2.33Cálculo de curvaturas

2.34Ejemplo (El toro, … una vez más)

Capítulo 3Elementos de topología

3.1Definición (Espacio topológico)

3.2Definición (Nomenclatura)

3.3Definición (Espacio conexo)

3.4Lema (Conexidad)

3.5Definición (T0)

3.6Ejemplo

3.7Definición (T1)

3.8Ejemplo

3.9Definición (T2)

3.10Ejemplo

3.11Definición (Base)

3.12Definición (Segundo numerable)

3.13Definición (Función continua)

3.14Definición (Homeomorfismo)

3.15Definición (Compacidad)

3.16Teorema (Compacidad como invariante topológico)

3.17Teorema (Conexidad como invariante topológico)

3.18Teorema (Dimensión como invariante topológico)

3.19El problema del punto fijo (teorema de Brower)

3.20Observación (Importancia del teorema del punto fijo)

3.21Definición (Espacio métrico)

3.22Lema

Capítulo 4Variedades diferenciables

4.1Definición (Espacio localmente euclideano)

4.2Ejemplos

4.3Ejercicio

4.4Definición (Variedad diferenciable)

4.5Definición (Atlas maximal)

4.6Ejercicio (Banda de Möbius)

4.7Ejercicio (Toro 2)

4.8Definición (j-ésima función coordenada)

4.9Lema (Producto de variedades)

4.10Definición (Función diferenciable)

Capítulo 5Vectores tangentes y espacios tangentes

5.1Definición (Curva en una variedad)

5.2Lema

5.3Definición (Vector tangente)

5.4Teorema (Dimensión del espacio tangente)

5.5Lema (Regla de Leibnitz)

5.6Ejercicio (Curvatura relativa)

5.7Ejemplo (Sistema dinámico)

Capítulo 6Álgebra tensorial

6.1Definición (1-formas)

6.2Ejemplo (Diferencial de una función)

6.3Lema (Base dual de )

6.4Notación

6.5Corolario (Cambio de base)

6.6Corolario (Generalización del Corolario 6.5)

6.7Reglas de transformación

6.8Definición (Tensor)

6.9Lema

6.10Definición (Producto tensorial)

6.11Definición (Simetrización)

6.12Ejercicio

6.13Ejercicio

6.14Ejercicio

Capítulo 7Campos tensoriales y conmutadores

7.1Definición (Campo vectorial)

7.2Definición (Conmutador)

7.3Ejercicio

7.4Ejercicio (Funciones de estructura)

7.5Definición (Espacio de campos vectoriales, y base coordenada)

7.6Teorema (Bases coordenadas)

7.7Interpretación geométrica del conmutador

7.8Ejercicio (Coordenadas polares)

7.9Ejercicio (Gradiente en términos de diferentes bases)

Capítulo 8Formas diferenciales y cálculo exterior

8.1Definición (k-forma diferencial)

8.2Formas diferenciales y álgebra de Grassmann

8.3Teorema (Derivada exterior)

8.4Definición (Elemento de volumen)

8.5Ejemplo

8.6Observación (Cálculo vectorial)

8.7Lema (Cálculo vectorial II)

8.8Definición (Formas cerradas y exactas)

8.9Corolario

8.10Orientación

8.11Definición (Variedad orientable)

8.12Teorema (Orientabilidad)

8.13Teorema (Orientabilidad II)

8.14Observación (Mecánica analítica)

Capítulo 9Mapeos de variedades

9.1Definición (Mapeo diferenciable)

9.2Definición (Mapeo diferencial)

9.3Lema

9.4Definición (Pull-back)

9.5Ejemplo

9.6Ejercicio

9.7Ejemplo (Campo vectorial en la banda de Möbius)

9.8Grupos de Lie y álgebras de Lie

Capítulo 10Integración en variedades

10.1Observación

10.2Definición (Integrabilidad de funciones y n-formas)

10.3Definición (Cubo en una variedad)

10.4Definición (Integral de una n-forma)

10.5Observación

10.6Definición (Partición de la unidad)

10.7Definición (Integración de n-formas generales)

10.8Teorema (Propiedades de la integral)

10.9Observación

10.10Definición (Variedad diferenciable con frontera)

10.11Observación

10.12Teorema (Orientabilidad de la frontera)

10.13Teorema (de Stokes)

10.14Ejemplo (Teorema de Gauss)

10.15Ejemplo (Teorema de Stokes en 3)

10.16Ejemplos (Formas cerradas, exactas, y el oscilador armónico)

10.17Una mirada a la cohomología y la homología

Capítulo 11Curvas integrales y derivadas de Lie

11.1Definición (Curva integral de un campo vectorial)

11.2Teorema (Unicidad de curvas integrales)

11.3Lema (Sistema de coordenadas adaptado a un campo vectorial)

11.4Definición (Congruencia y curva integral completa)

11.5Definición (Arrastre a lo largo de curvas)

11.6Definición (Derivada de Lie de funciones)

11.7Teorema (Sobre la derivada de Lie de una función)

11.8Definición (Derivada de Lie de un campo vectorial)

11.9Interpretación geométrica de la derivada de Lie

11.10Teorema (Sobre la derivada de Lie de un campo vectorial)

11.11Corolario

11.12Definición (Derivada de Lie de un campo de 1-formas)

11.13Lema (Cálculo de la derivada de Lie de una 1-forma)

11.14Teorema (Derivada de Lie de n-formas)

11.15Ejercicio (Derivada de Lie de un tensor)

11.16Ejercicio (Derivada de Lie con respecto a un conmutador)

11.17Ejercicio (Contracción y derivada de Lie)

11.18Ejercicio (Derivada de Lie en una base arbitraria)

Capítulo 12Conexiones lineales

12.1Definición (Conexión lineal)

12.2Definición (Transporte paralelo)

12.3Definición (Coeficientes de una conexión)

12.4Observación (Justificación de la Definición 12.3)

12.5Ejemplo (Motivación)

12.6Teorema (Transformación de los coeficientes de la conexión)

12.7Ejemplo (Γ en coordenadas polares)

12.8Lema (Diferencia de dos conexiones)

12.9Definición (Acción de ∇ en Funciones)

12.10Lema (Acción de ∇ en 1-formas)

12.11Lema (Acción de ∇ en tensores)

12.12Ejemplo (Condición de “ortogonalidad”)

Capítulo 13Geodésicas

13.1Definición (Geodésica)

13.2Teorema (Unicidad de la geodésica dados un punto y un vector tangente)

13.3Teorema (Unicidad de la geodésica dados dos puntos)

13.4Ejercicio (Parámetro afín)

13.5Definición (Mapeo exponencial y coordenadas normales)

13.6Teorema (Parte simétrica de la conexión)

13.7Ejemplo (Conexión en coordenadas polares)

13.8Ejemplo (Potencial Newtoniano)

Capítulo 14Torsión y curvatura

14.1Definición (Conexión simétrica)

14.2Lema (Justificación de la Definición 14.1)

14.3Definición (Coeficientes de torsión)

14.4Teorema (Tensor de torsión)

14.5Lema (Parte antisimétrica de la conexión)

14.6Teorema (Tensor de curvatura)

14.7Lema (Cálculo del tensor de curvatura)

14.8Interpretaciones geométricas (cf. capítulo 2)

14.9Lema (Identidad de Ricci)

14.10Definición (Campo que conecta una congruencia)

14.11Teorema (Otra interpretación geométrica de la curvatura)

14.12Teorema (Identidades de Bianchi)

14.13Definición (Tensor de Ricci)

14.14Observación (Más sobre la curvatura)

Capítulo 15Métrica pseudo-Riemanniana

15.1Definición (Producto interno)

15.2Ejemplo

15.3Observación

15.4Definición (Magnitud, ángulo y longitud)

15.5Teorema (Propiedades de la magnitud)

15.6Definición (Métrica)

15.7Observación (Métrica Tp (M) ≅ (M))

15.8Conexión métrica

15.9Teorema (Unicidad de la conexión métrica)

15.10Ejercicio (Simetrías de tensor de Riemann)

15.11Definición (Tensor de Einstein y escalar de Ricci)

15.12Ejercicio

15.13Ejercicio (Cono de luz)

15.14Definición (Ortogonalidad)

15.16Ejemplo (Curvatura de la esfera 2)

15.17Ejemplo (Métrica de la esfera de dimensión n, n)

15.18Ejemplo (Curvatura del toro 2)

15.19Ejemplo (Geodésicas del toro)

15.20Ejercicio

15.21Ecuación de geodésicas a partir del principio de mínima acción

Capítulo 16Espacio-tiempo Newtoniano y termodinámica

16.1Estructura Newtoniana y Coordenadas Galileanas

16.2Transformación entre sistemas de referencia

16.3Dinámica de un fluido perfecto

16.4Sistemas inerciales y la conexión Newtoniana

16.5Materia y curvatura del espacio

16.6Dinámica Hamiltoniana y variedades simplécticas

16.7Termodinámica

Capítulo 17Relatividad especial, electrodinámica y el grupo de Poincaré

17.1Postulados de la relatividad especial

17.2Tensor electromagnético y ecuaciones de Maxwell

17.3Medios continuos

17.4Más sobre la dinámica de fluidos perfectos

17.5Tensor de energía-momento

Capítulo 18Relatividad general

18.1Principio de equivalencia

18.2Principio de relatividad

18.3Acción para el campo gravitacional

18.4Lema

18.5Ecuaciones de Einstein en vacío

18.6Tensor de energía-momento

18.7Ecuaciones de Einstein

18.8Ejemplo (Métrica de Schwarzschild)

18.9Geodésicas en la métrica de Schwarzschild

18.10Comentarios sobre las ecuaciones de Einstein

Capítulo 19Radiación gravitacional

19.1Teoría Lineal de la Gravitación

19.2Comparación con electromagnetismo

19.3Soluciones a la ecuación de onda

19.4Energía del campo gravitacional

19.5Energía radiada por una onda gravitacional

19.6Ejemplo

Aviso legal

Prefacio

La geometría diferencial ha encontrado múltiples aplicaciones en el campo de la física. Cada vez más, conceptos físicos considerados fundamentales se entienden como una consecuencia directa de principios geométricos. La estructura matemática misma de la electrodinámica de Maxwell, la relatividad general, la teoría de cuerdas, y las teorías de norma en general, son de naturaleza geométrica. En todas estas áreas, en las que se requiere de un espacio curvo para la descripción de un sistema, si se desea ir más allá de una simple discusión superficial de relaciones físicas se requiere de un formalismo matemático que permita manejar dichos espacios. Este formalismo es, precisamente, la geometría diferencial. Aún áreas como la termodinámica y la dinámica de fluidos se benefician enormemente con un tratamiento geometro-diferencial.

No solamente en la física sino también en importantes ramas de las matemáticas ha efectuado grandes cambios la geometría diferencial. Las aplicaciones han sido tan extensas y variadas, que, por un lado, muchos y grandes (y en ocasiones complicados) tratados se han escrito al respecto y, por otro lado, la mayoría han quedado dispersados en publicaciones especializadas; la consecuencia de esto es que la gran mayoría de los científicos no están familiarizados con esta disciplina, a pesar de lo altamente deseable que sería el que lo estuvieran.

Este libro tiene como propósito presentar, de manera muy concisa y directa, a la vez que manteniendo el formalismo matemático apropiado, los fundamentos de la topología diferencial y la geometría diferencial junto con aplicaciones esenciales a muchas ramas de la física. En particular, y a pesar de que sólo se requieren para su lectura conceptos de álgebra lineal y de cálculo diferencial e integral, se llega a demostrar el teorema de Stokes en variedades, a entender las expresiones fundamentales del cálculo avanzado en términos de formas diferenciales, a tocar brevemente las fronteras con la topología algebráica, y, por el lado de la física, a formular la teoría Newtoniana, la teoría de Maxwell, y la teoría de Einstein en un lenguaje geométrico (además de algunas aplicaciones a la mecánica, la dinámica de fluidos, y la termodinámica). Para la parte de la física se presupone que el lector conoce los fundamentos de la relatividad especial. El material se presenta al nivel de un estudiante avanzado de licenciatura y el de un estudiante que inicia el posgrado, de tal manera que puedan abordar un tema específico en un mínimo de tiempo, sin sacrificar por ello entendimiento, conceptos importantes, o formalismo matemático.

El libro está organizado como sigue: despues de motivar la necesidad de trabajar en espacios curvos (capítulo 1) se introduce (capítulo 2) la teoría de curvas y superficies en 3 para familiarizar al lector con algunos conceptos fundamentales como curvatura y torsión, que se verán más adelante de manera más abstracta y para variedades de cualquier dimensión. En el capítulo 3 se describen los elementos de la topología de conjuntos, y en los capítulos 4 a 7 se introducen las variedades diferenciales y se construyen espacios tangentes y campos vectoriales y tensoriales en ellas. El capítulo 8 introduce al lector al cálculo exterior y a las variedades orientables como preparación para, habiendo definido mapeos entre variedades (capítulo 9), la integración en variedades y el Teorema de Stokes (capítulo 10). Los capítulos 11 a 13 estudian derivadas de Lie, conexiones lineales, y geodésicas, y el capítulo 14 torsión y curvatura.

Hemos decidido postergar lo más posible, hasta el capítulo 15, la introducción de la métrica. Esto no es usual en libros orientados a la física, pero permite ver todo lo que es posible hacer sobre una variedad sin métrica y elimina la falsa idea, que en ocasiones existe, de que muchas de las estructuras introducidas anteriormente dependen de la existencia de una métrica.

Los capítulos 16 a 18 utilizan todo el formalismo introducido anteriormente para presentar en ese lenguage la física Newtoniana, la electrodinámica, la relatividad especial, y la relatividad general. En particular, las ecuaciones de Einstein se derivan de un principio variacional y se discute su significado y el del tensor de energía-momento. Finalmente, el capítulo 19 trata perturbaciones de la métrica a primer orden y radiación gravitacional.

Agradecimientos

En primer lugar, quiero agradecer especialmente a mi hijo Alexander Nahmad-Rohen, quien asumió la responsabilidad de leer el manuscrito completo, revisar casi todos los desarrollos matemáticos, traducir mis notas al inglés, escribirlas en , y hacer una cantidad enorme de sugerencias para su mejora. Su entusiasmo por entender todo el material y su ánimo por hacerme escribir este libro nunca conocieron límites.

También deseo agradecer a Henrik Fabian Jendle, quien realizó la primera versión en de mis notas en español, y varias de las figuras a partir de mis sencillísimos bosquejos. Para producir muchas de las gráficas se utilizó Mathematica® (Wolfram Research Inc.).

En la escritura de este manuscrito me he beneficiado de enseñar el curso de Topología y Geometría Diferencial con Aplicaciones a la Física en la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), a alumnos avanzados de licenciatura y alumnos que iniciaban el posgrado, muchos de los cuales han expresado su deseo de ver mis notas escritas como un libro.

Por último, quiero agradecer a la Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial de la UNAM por hacer posible esta edición.

Notación

Capítulo 1

Sinopsis de relatividad general

En este capítulo motivaremos la necesidad de estudiar la geometría de espacios curvos, la manera de medir en ellos, y la dinámica de dicha medición. En capítulos subsecuentes construiremos las herramientas analíticas necesarias para dicho estudio, a la vez que daremos varias aplicaciones.

La teoría de la relatividad general surge de extender la relatividad especial a sistemas de referencias acelerados. Los experimentos de Galileo muestran que la aceleración de un campo gravitacional sobre un objeto es independiente del objeto. Para cualquier observador, un sistema de referencia acelerado es entonces equivalente a un sistema inercial en presencia de un campo gravitacional. En otras palabras, para un observador arbitrario es indistinguible estar parado sobre la Tierra o estar en un cohete que viaja con una aceleración equivalente (), y es quivalente a flotar en el espacio lejos de todo objeto o estar en caída libre bajo el campo gravitacional de la Tierra, como muestra la figura a continuación.

De aquí que la relatividad general se convierta en una teoría de gravitación, y el concepto de “sistema inercial” pierda significado.

Si ya no tenemos sistemas de referencia privilegiados, la física estudiada en cualquier sistema debe ser equivalente y sus ecuaciones (si se escriben adecuadamente, es decir, independientemente de coordenadas) deben ser las mismas. Por lo tanto es necesario extender el grupo de transformaciones de Lorentz (que describen, de acuerdo con la teoría de la relatividad especial, la manera en que se relacionan las coordenadas espacio-temporales de dos observadores incerciales), al grupo de todas las transformaciones continuas de coordenadas (lineales y no lineales). En otras palabras, las ecuaciones que expresan fenómenos naturales deben ser covariantes con respecto a todas las transformaciones continuas de coordenadas. A este enunciado se le conoce como el “Principio de Relatividad”.

Bajo este grupo de transformaciones, lo único que queda invariante es el hecho de que dos puntos muy cercanos tengan coordenadas muy parecidas:

Supongamos que se envía un rayo de luz de P1 a P2. La relatividad especial nos dice que la velocidad de la luz, c, es constante independientemente del observador. Entonces,

es entonces invariante ante transformaciones de coordenadas, porque c es la misma constante en todos los sistemas de referencia. Este resultado se obtiene en relatividad especial y por lo tanto es válido localmente en cualquier sistema de referencia.

∆s2=(∆x1)2 + (∆x2)2 + (∆x3)2en coordenadas cartesianas

∆s2=∆r2 + r2(∆θ2 + sin θ2∆ϕ2)en coordenadas esféricas

como veremos en el capítulo 2. También veremos que una curva parametrizada por su longitud de arco tiene una rapidez unitaria, es decir, s puede pensarse como su “tiempo propio”. Ello motiva la siguiente definición:

1.1.Definición (Tiempo propio)

τ se llama “tiempo propio” de la trayectoria de P1 a P2.

1.2.Observación

La ecuación (1.1) es bastante poderosa; de hecho, podemos tomarla como la base de la relatividad especial, derivando de ella las transformaciones de Lorentz y otras consecuencias (cf. Ejemplos 1.3 y 1.5).

1.3.Ejemplo (Dilatación del tiempo)

De la ecuación (1.1)

es decir,

Pero ∆τ es el tiempo transcurrido en el reloj que viaja con la partícula. Por lo tanto, el intervalo de tiempo coordenado ∆t medido en un sistema de referencia con respecto al cual la partícula se mueve es mayor que el intervalo de tiempo propio ∆τ medido por un reloj en reposo con respecto a la partícula: los relojes en movimiento caminan más lento.

1.4.Distancia propia

Si |∆r| > c∆t, entonces ∆τ2 < 0 y, por lo tanto, ∆τ sería imaginario (∆τ ∈ ). Esto significa que dos eventos para los que |∆r| > c∆t en un sistema de referencia tendrían un intervalo de tiempo propio imaginario (es decir, para una partícula que vaya de un evento al otro transcurriría un intervalo de tiempo imaginario). Para ello se tendría que mover a v > c, lo que es imposible. Por lo tanto, estos eventos no pueden pertenecer a la trayectoria de una partícula.

1.5.Ejemplo (Contracción de Lorentz)

Supongamos que un sistema de referencia F′ se mueve con respecto a otro, F, a una velocidad v en dirección x, como muestra la figura a continuación.

Consideremos dos eventos:

•Evento A: coincidencia de O y O′

•Evento B: coincidencia de L y O′

¿Cuál es la relación entre A y B?

En F:

donde es la distancia de O a L medida en F′ dividida entre la velocidad a la que pasa O′ por O y por L. Igualando:

En otras palabras, una barra aparenta estar contraída (L′ < L) si su longitud se mide en un sistema en el que no está en reposo.

1.6.Transformación de coordenadas

Bajo una transformación general de coordenadas tenemos: (t, x, y, z) (x0, x1, x2, x3)

tt(x0, x1, x2, x3)

xx(x0, x1, x2, x3)

yy(x0, x1, x2, x3)

zz(x0, x1, x2, x3)

es decir,

donde

Es común utilizar la “notación de Einstein”, en la cual índices repetidos implican una suma:

Podemos escribir, entonces,

gab encierra el hecho de que puntos cercanos en un sistema de referencia se mantengan cercanos bajo una transformación de coordenadas. Nos dice entonces cómo medir en un sistema de referencia dado: en particular (cf. ecuación (1.2)) nos indica cómo obtener el tiempo propio entre 2 puntos a partir de la diferencia de coordenadas entre los puntos. Este intervalo, ∆τ, es invariante, pero no la diferencia de coordenadas.

1.7.Efecto Doppler

Para un detector que se mueve hacia la derecha con velocidad v, sólo N′ crestas pasan por el detector durante el intervalo de tiempo t.

Como

por lo que el detector que se aleja de la fuente mide un frecuencia menor. A este efecto se le llama “efecto Doppler” o “corrimiento hacia el rojo”, porque la luz roja es de menor frecuencia con respecto al punto medio del espectro visible.

1.8.Corrimiento gravitacional hacia el rojo

El fotón sube una altura h en un intervalo de tiempo . En ese tiempo, y con aceleración g, A adquiere una velocidad . Por lo tanto,

1.9.Espacio curvo, argumento de Schild

ϑ1 envía a ϑ2 una señal electromagnética consistente en un pulso de exactamente N ciclos con frecuencia ν1. El intervalo de tiempo requerido para la emisión es . ϑ2 lo recibe con frecuencia ν2, durante un intervalo . Pero hemos visto que ν2 < ν1, por lo que ∆t2 > ∆t1.

En un espacio plano, aun considerando efectos del campo gravitacional sobre los rayos de luz, las dos trayectorias del inicio y final del pulso tendrían que ser congruentes (ver figura), por lo que tendríamos un paralelogramo con dos lados opuestos desiguales (!). Por lo tanto, si hay un campo gravitacional y ∆t2 > ∆t1, el espacio tiene que ser curvo.

1.10.Sobre la dinámica degab

Sólo hemos asumido que la aceleración de un campo gravitacional sobre un objeto es independiente del objeto (Principio de Galileo). Bajo esta suposición, estar en presencia de un campo gravitacional g es equivalente a estar en un espacio curvo. gab mide cómo se curva el espacio. Por lo tanto, gab es una medida de g. Es importante entonces preguntar cuál es la dinámica que debe satisfacer gab.

La ecuación diferencial postulada para gab no puede ser menor de segundo orden. Asumiendo que no contiene derivadas (con respecto a las coordenadas) mayores a la segunda, veremos más adelante que el Principio de Relatividad, la teoría métrica de superficies de Gauss, y su extensión a dimensión arbitraria de Riemann, implican

Veremos también que la ecuación (1.5) se puede obtener de un principio variacional, donde el Lagrangiano toma la forma . Para ello, es necesario introducir suficiente formalismo matemático para hacer análisis en espacios curvos. Eso es lo que haremos en los capítulos que siguen.

1.11.Unidades geométricas

La relatividad general da cuenta de la gravitación en términos puramente geométricos. Es natural, entonces, expresar cualquier cantidad física en unidades de longitud.

Esto se logra tomando un sistema de unidades en el que tanto la velocidad de la luz, c, como la constante Newtoniana de gravitación universal G, sean iguales a la unidad:

Bajo esta convención, ya no hay distinción entre segundos y metros, ni entre metros y kilogramos. Por ejemplo, 1 segundo es equivalente, en metros, a la distancia que recorre un fotón en 1 segundo: 3 × 108m aproximadamente.

Para darnos una idea más clara de estas “unidades geométricas”, tomamos otros ejemplos:

ii)1 centímetro de masa la masa de la Tierra.

Cuando requiramos usar unidades, a menos que se mencione explícitamente lo contrario, utilizaremos unidades geométricas.

Capítulo 2

Curvas y superficies en3

I. Curvas

2.1.Curvatura, torsión y fórmulas de Frenet

Las consideraciones del capítulo 1 sugieren que, si queremos estudiar fenómenos en presencia de campos gravitacionales, tendremos que hacerlo en espacios curvos. La teoría de la relatividad general describe a los fenómenos naturales muy elegantemente en términos de la geometría del “espacio-tiempo”, una variedad diferenciable Lorentziana de dimensión 4 que representa el continuo en el que suceden todos los eventos espacial- y temporalmente. Antes de construir el concepto abstracto de variedad diferenciable y aprender técnicas analíticas en estos espacios, es recomendable ver cómo se estudia la geometría de curvas y superficies inmersas en un espacio plano tridimensional, 3. Ello nos dará una imagen mental clara del significado de conceptos como curvatura y torsión, que nos ayudará cuando los definamos y estudiemos en dimensiones mayores y en espacios que no “vivan” dentro de n.

A la disciplina que introduce las herramientas del cálculo diferencial e integral en estos espacios más generales, y estudia sus propiedades geométricas, se le llama “geometría diferencial”. Esta disciplina ha permitido expresar muchas ideas de la física de una manera más sencilla, llevándonos a un entendimiento más fundamental de las mismas. La construiremos en los capítulos siguientes.

En este capítulo estudiaremos conceptos geométricos de curvas y superficies. Denotamos por 3 al espacio cartesiano × × de ternas (x, y, z) que identificamos con puntos en el espacio y por 3 a este mismo espacio visto como espacio vectorial y provisto de los productos (escalar y vectorial) entre vectores. A 3 le llamamos el “espacio Euclideano de tres dimensiones”, y nuestras curvas y superficies a estudiar vivirán inmersas en este espacio.

Ya que el propósito aquí es el de crear una imagen mental con base en curvas y superficies familiares, seguiremos aquí de manera breve el desarrollo de la llamada geometría diferencial clásica. Para un tratamiento más detallado cf., e.g., Spivak (1999), y O’Neill (2014).

2.2.Definición (Curva en 3)

Una “curva en 3” es una función diferenciable

2.3.Ejemplos

2.4.Definición (Velocidad de una curva)

α se llama “regular” si α′(t) ≠ 0 para toda t ∈ I.

2.5.Definición (Reparametrización de una curva)

Sea α : I3 una curva, y h : J ⊂ I diferenciable. Entonces,

se llama “reparametrización” de α por h.

2.6.Lema

Si β es la reparametrización de α por h, entonces

Demostración. Trivial, usando la regla de la cadena para derivadas.

Nótese que β recorre el mismo camino que α, pero en general llega a un punto dado p del camino a un tiempo t diferente del de α.

2.7.Definición (Longitud de arco)

2.8.Teorema (Reparametrización por longitud de arco)

Si α : I3 es una curva regular en 3, existe una parametrización β de α con rapidez unitaria.

Demostración. Sea a ∈ I, y definimos s(t) := ||α′(u)|| du. Como α es regular,

Definimos β(s) := α(t(s)). Entonces, por el Lema 2.6,

y, por lo tanto,

2.9.Ejemplo

Por lo tanto,

Por lo tanto,

de donde

2.10.Definición