Trois études en arithmétique basique sur les nombres premiers et la décomposition des entiers naturels en produits de facteurs premiers. E-Book

Bouchaïb Bahbouhi

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Französisch

Seitenzahl: 98

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Ce livre est composé de trois études inédites issues de recherches indépendantes que j'ai réalisées. Elles portent sur la primalité du nombre et la décomposition des entiers naturels en produits de facteurs premiers. Je rapporte pour la première fois une nouvelle propriété des nombres premiers que je nomme forme numérique des nombres premiers (différente de la racine numérique). Je décris aussi une méthode alternative de décomposition des entiers naturels en produits de facteurs premiers basée sur la recherche de facteurs communs entre les deux termes d'une addition qui est égale au nombre à décomposer. L'important c'est d'apporter de la nouveauté et non pas seulement reproduire ce qui est déjà bien établi. Ce livre est destiné à un large public y compris apprenants, étudiants, enseignants et jeunes chercheurs en mathématiques.

Leseprobe

Sommaire

Préambule

Première étude

Deuxième étude

Troisième étude

Préambule

La présente étude s’adresse tout à la fois à l’apprenant qui voudrait réviser les notions apprises en classe, et éventuellement les enrichir, et à l’enseignant désireux de puiser de la matière pour alimenter son cours. Enseignants, étudiants y trouveront, je l’espère, matière à réflexion. Elle est constituée de trois parties qui, toutes, abordent la notion de primalité du nombre et la décomposition des entiers naturels en facteurs premiers. Loin de reproduire ce qui est déjà bien établi, j'ai essayé d'apporter de la nouveauté en identifiant une propriété nouvelle des nombres premiers (que je nomme forme numérique) et en proposant une méthode alternative de décomposition des nombres entiers naturels (basée sur la recherche de facteurs communs entre deux termes d'une addition). Cette étude relève exclusivement des mathématiques basiques accessibles à tous, à savoir, le calcul classique et la factorisation. Le lecteur va y trouver une nouvelle notion sur les nombres premiers ; l'unité de la primalité du nombre qui représente cette unité qui manque ou qui est de trop et qui fait qu'un nombre n'est pas divisible par 3. J'essaie de mettre en relief certaines données sur les facteurs premiers que j'estime importantes pour mieux appréhender la vraie nature des nombres premiers et des nombres entiers en général ainsi que leur décomposition en produit de facteurs premiers.

Détenteur d’un doctorat en immunologie, j'ai pratiqué la recherche scientifique pendant 12 ans dans des laboratoires de recherche en France et aux États-Unis. Loin d’être un mathématicien de formation, j’ai mis ma passion pour la recherche au service de l’arithmétique ; j’y fais en réalité,ici, mes premiers pas, en utilisant les règles de la logique et du calcul que nous apprenons dès nos premiers pas à l'école.

Cette étude a vocation à grandir avec le temps, à s’étoffer, à se préciser. Si, par chance, j’ai d’autres données à proposer, je les intégrerai dans le corps de ce document.

Je la considère comme un essai que je propose à la sagacité des lecteurs qui peut être amendé, amélioré. A vous chers lecteurs de l'examiner et de l'enrichir par vos critiques.

Vous remarquerez qu’elle n’est pas complétée par des références d’auteurs ou d’ouvrages du domaine, car toutes les notions que j'aborde sont élémentaires et classiques. J’ai préféré mettre l’accent sur la nouveauté que j'apporte.

Tout lecteur désireux de me poser des questions est invité à me contacter par courriel. Je serais heureux d'échanger et de clarifier davantage mes propos. Je rappelle que le matériel requis pour vérifier les calculs ou les reproduire sont tous disponibles gratuitement sur la toile.

Première étude

Nouvelles réflexions sur le nombre premier pour les enseignants des mathématiques

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Résumé

Je rapporte dans cette première étude de nouvelles données sur les nombres premiers concernant leur progression dans l'ensemble N, leur écriture algébrique en 6x ± 1, l'écart entre eux, ainsi qu'une formule de conversion pour trouver de nouveaux nombres premiers à partir de ceux connus. Le nombre premier est une des notions les plus fondamentales en mathématiques, et constitue donc un incontournable objectif pédagogique. Cette étude propose des activités qui peuvent contribuer à consolider les acquis des apprenants de différents niveaux sur le nombre premier.

Mots clefs

Nombre Premier. Multiples de nombres premiers. Formule numérique. L'unité de la primalité d'un nombre (upn).

A. Introduction

Parmi les diverses définitions des nombres, le nombre premier tient la première place, il est à l'intersection de plusieurs notions fondamentales en mathématiques. Il est mystérieux, fascinant, et nous ne pouvons pas le comprendre sans mobilier plusieurs notions à la fois. Il est donc à la fois un précieux outil pédagogique et un objectif principal dans l'enseignement des mathématiques. En plus, le nombre premier a une très longue histoire et il a intrigué les plus grands mathématiciens de l'histoire. Son histoire peut servir de nid d'idées pour apprendre les mathématiques. Dans cette étude, j'ai mené des recherches sur les nombres premiers. Les résultats décrits peuvent servir d'activités pédagogiques pour enseigner le nombre premier en classe, à des élèves de niveaux divers.

B. Objectifs

L'enseignement des mathématiques doit tenir en compte deux paramètres déterminants : la capacité de calculer et la capacité de raisonner chez les élèves. Cette étude propose des activités pédagogiques issues de recherches sur les nombres premiers. L'ensemble des activités permettent d'acquérir l'essentiel sur le thème du nombre premier. Les voici dans l'ordre où elles vont être abordées :

Activité 1 : Où se trouve le nombre premier par rapport aux autres nombres ? Occupe-t-il des positions spécifiques ?

Activité 2 : Les chiffres du nombre premier, ont-ils un sens ? Peuvent-ils nous renseigner davantage sur le nombre premier ?

C. Méthodologie

Pour mener ces travaux de recherches, j'ai puisé la liste des nombres premiers de l'internet, en particulier du site Les nombres premiers - liste : 100 millions a 200 millions (free.fr). Pour déterminer la primalité des nombres et leur factorisation en facteurs premiers, j'ai utilisé l'algorithme disponible sur internet https://calculis.net/premier. Le site Décomposition en Facteurs Premiers - Factorisation en Ligne (dcode.fr) est un excellent algorithme et le site offre plusieurs manières de calculer les facteurs premiers. Les opérations de calcul avec les très grands nombres ont été réalisées avec des calculatrices disponibles sur internet (Calculatrice de grands nombres - Calculatrices.app).

Activité 1: Où se trouvent les nombres premiers par rapport aux autres nombres entiers naturels ? Occupent-t-ils des positions spécifiques ?

a. Objectif pédagogique

Cette activité a pour objectif de montrer que les nombres premiers ne sont pas répartis au hasard, mais qu'ils occupent des positions spécifiques. On dessine un tableau et on surligne les positions algébriques des nombres premiers. Ensuite, on écrit l'équation qui correspond à leurs positions.

b. Résultats attendus:

b.1. Deux équations pour les nombres premiers dans l'ensemble N : En analysant les nombres premiers compris entre 6 et 100, on se rend compte qu'ils se situent toujours avant ou après un multiple de 3 et de 6 que nous posons comme 6x. La Figure 1 indique les équations ax + b qui correspondent à l’écriture algébrique de chaque nombre.

b.2. Tout produit des nombres premiers s'écrit aussi 6x ± 1 : Lorsque ce n’est pas un nombre premier aux positions 6x ± 1, nous retrouvons un multiple de nombres premiers ou une puissance de nombres premiers. Ceci semble vrai à l'infini car il n'y a pas un seul contre exemple. Tout nombre premier > 6 s'écrit par les équations 6x ± 1 mais un nombre qui s'écrit 6x ± 1 est soit premier soit un produit de nombres premiers. Aucune autre possibilité. On peut aussi rappeler le fait que l'équation 2n + 1 englobe tous les nombres impairs, mais que ces derniers se répartissent en trois classes de nombres : les multiples de 3, les premiers, et les multiples de nombres premiers. Quant aux pairs, ils forment une seule classe, car ils sont tous divisibles par 2 d'où leur équation en 2n.

Encore une fois, ces données ne s'appliquent pas seulement aux nombres premiers. Les produits de nombres premiers ont les mêmes caractéristiques, même s'ils ne sont pas premiers, il peuvent aussi s'écrire 3n + 1 ou 3n + 2 ou 6x ± 1. Quand on les divise par 3, on a les mêmes types de résultats qu'avec les nombres premiers. Divisez n'importe quel nombre produit de nombres premiers par 3 ou 6, et vous aurez les mêmes extensions décimales décrites plus haut avec les nombres premiers (avec des parties entières différentes).

b4. Discussion et bilan de l'activité 1