Un curso de álgebra E-Book

Gabriel Navarro Ortega

• Herausgeber: Publicacions de la Universitat de València
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Educació. Sèrie Materials
• Sprache: Spanisch

Seitenzahl: 386

Veröffentlichungsjahr: 2017

Beschreibung

Segunda edición corregida y aumentada de esta obra, que ofrece una clara y concisa introducción al álgebra. Su objetivo, el gran teorema de Galois sobre resolubilidad de ecuaciones polinómicas por radicales, es uno de los teoremas más fascinantes de las matemáticas de todos los tiempos. La primera parte del libro se centra en la teoría de grupos y concluye con una nueva demostración del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. La segunda parte comienza con la teoría de los anillos, necesaria para desarrollar posteriormente la teoría de Galois. Al final de cada capítulo se proponen una serie de problemas, algunas de cuyas soluciones las podrá encontrar el lector en el apéndice.

Leseprobe

UN CURSO DE ÁLGEBRA

Educació. Materials 56

Gabriel Navarro

UN CURSO DE ÁLGEBRA

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

Colección: Educació. Materials

Esta publicación no puede ser reproducida, ni total ni parcialmente, ni registrada en, o transmitida por, un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, ya sea fotomecánico, fotoquímico, electrónico, por fotocopia o por cualquier otro, sin el permiso previo de la editorial.

1.ª edición: abril 2002

2.ª edición, corregida y aumentada: mayo 2016

© Del texto: el autor, 2016

© De esta edición: Universitat de València, 2016

Coordinación editorial: Maite Simón

Maquetación: el autor

Corrección: Communico-Letras y Píxeles S.L.

Cubierta: Celso Hernández de la Figuera

ISBN: 978-84-9134-029-4

Para Isabel, Javier, Gabo y Nacho

        Índice general

INTRODUCCIÓ

NOTA A LA SEGUNDA EDICIÓN

Capítulo 1. Conjuntos, aplicaciones, números

Capítulo 2. Grupos

Capítulo 3. Homomorfismos

Capítulo 4. Acciones de grupos

Capítulo 5. Grupos de permutaciones

Capítulo 6. Teoremas de Sylow

Capítulo 7. Anillos, polinomios y cuerpos

Capítol 8. Espacios vectoriales

Capítulo 9. Extensiones de cuerpos

Capítulo 10. Teoría de Galois

APÉNDICE: SOLUCIONES A ALGUNOS PROBLEMAS

BIBLIOGRAFÍA

ÍNDICE ANALÍTICO

Introducción

Este libro ofrece un primer curso de álgebra no lineal. En él, elegimos el objetivo de probar el gran teorema de Galois sobre la resolubilidad de ecuaciones polinómicas por radicales. Al mismo tiempo que aprendemos a «hacer» álgebra con el alumno, este tiene la sensación de que estamos resolviendo un problema natural con raíces históricas.

En la primera parte del libro introducimos los grupos.

Aunque tratamos de no apartarnos de nuestro objetivo, algunas veces no podemos resistir probar algunos teoremas que no son estrictamente necesarios para llegar a este. Por ejemplo, en el capítulo 5 damos una nueva demostración del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Tampoco la teoría de Sylow sería esencial, aunque difícilmente un especialista en teoría de grupos finitos podrá dejar de presentarla.

La segunda parte del libro empieza en el capítulo 6 con los resultados más básicos sobre anillos y polinomios que nos permiten desarrollar la teoría de Galois. Seguramente, un especialista en teoría de anillos preferirá aumentar los contenidos de esta sección a costa de la parte de grupos.

En el capítulo 7, estudiamos las extensiones de cuerpos (donde por vez primera necesitaremos resultados elementales de álgebra lineal). Finalmente, en el capítulo 8, estamos ya preparados para estudiar la teoría de Galois. Por simplicidad, sus teoremas principales los probaremos sobre cuerpos de característica cero. (Una vez entendido este caso, el alumno interesado no tendrá dificultad en entender la teoría de Galois sobre cuerpos de cualquier característica).

Dependiendo del tiempo que quedara de curso, se podrían introducir algunos de los tópicos que no incluimos como construcciones con regla y compás o extensiones ciclotómicas.

A lo largo de los distintos capítulos, proponemos diversos ejercicios que solemos utilizar en las demostraciones. La resolución de estos siempre es rutinaria y permite al alumno practicar las definiciones y entender mejor los teoremas. Al final de cada capítulo, proponemos una serie de problemas (algunas de cuyas soluciones las encontrará el lector al final del libro).

En la bibliografía, damos la referencia de algunos de los textos con los que el alumno podrá continuar estudiando álgebra.

Finalmente, este libro no hubiera sido el mismo sin la colaboración de una profesora extraordinaria de álgebra: María Jesús Iranzo. También quiero dar las gracias a Alexander Moretó y a Francisco Pérez Monasor.

Valencia, febrero de 2002

Nota a la segunda edición

Han pasado catorce años desde que apareció la primera edición de este libro y el álgebra que aquí se explica no ha cambiado en este tiempo. Pero el autor sí, y quizá también el tipo de alumnos que llega a las facultades de matemáticas. Pienso por ejemplo en mi hijo Nacho, actualmente uno de esos estudiantes. Al recomendarle mi libro, estaba convencido de que iba a apreciar, entre otras cosas, la brevedad de alguna de mis demostraciones, pero no ha sido exactamente así (aunque tampoco, creo, al contrario).

De la experiencia de explicar el contenido de este libro a mis alumnos he aprendido mucho: cuándo y cómo explicar mejor un argumento, dónde introducir exactamente determinada definición, qué conceptos es necesario que se repasen de clase en clase, etc. Desafortunadamente, el estilo del aula no se puede trasladar literalmente a un libro. Aunque algo sí.

Aparte de corregir algún error, de mejorar demostraciones, añadir nuevos teoremas, reordenar ciertas secciones, o de escribir más ejemplos y problemas, he creído conveniente escribir dos capítulos nuevos. En el primero introduzco informalmente números, conjuntos y aplicaciones, tal y como lo hago en clase. Esta introducción no pretende ser exhaustiva. También, antes de empezar la teoría de Galois, he escrito un capítulo sobre espacios vectoriales, solo con los resultados básicos que luego necesitaré. (Por tanto, la numeración de los capítulos es distinta respecto de la pasada edición). Dependiendo de los objetivos específicos que se tengan en el curso o del nivel de los estudiantes, tanto estos nuevos capítulos como otros pueden ser omitidos.

Después de estos catorce años, no estoy seguro de ser mejor matemático; pero creo que he mejorado como profesor, y he procurado que esto quede reflejado en lo que he escrito.

Es posible que no haya una tercera edición del libro, por lo que he intentado que esta sea la definitiva. Quiero dar las gracias a Noelia Rizo, Lucía Sanus, Joan Tent y Carolina Vallejo por toda la ayuda prestada.

Valencia, abril de 2016

1. Conjuntos, aplicaciones, números

1

En este libro, un conjuntoA es una colección de objetos a los que llamamos elementos de A. Dado un objeto x y un conjunto A, decimos que xpertenece a A si x es un elemento de A. En este caso escribimos x ∈ A. En caso contrario, decimos que xno pertenece a A, y escribimos x ∉ A.

No siempre es posible o conveniente listar todos y cada uno de los elementos de un conjunto: nos basta con que describamos con precisión los que pertenecen a él. Por ejemplo, el conjunto

que es una notación más ágil.

La teoría de conjuntos puede ser desarrollada de una forma axiomática que evita este tipo de contradicciones, pero este libro no es el lugar adecuado para hacerlo. La lógica es la disciplina que se ocupa de este y de otros temas.

Por otra parte, no debemos preocuparnos en exceso, al menos en lo que aqúı se refiere. Es un hecho que la mayor parte de los matemáticos puede desarrollar una carrera exitosa utilizando nuestra definición de conjuntos sin contratiempo alguno en su vida (matemática). Digamos de una forma informal que mientras tratemos con conjuntos pequeños (el conjunto de todos los conjuntos definitivamente no es un conjunto pequeño), no nos vamos a encontrar con grandes problemas.

Dados dos conjuntos A y B, podemos construir nuevos conjuntos. Por ejemplo, la unión de A y B es el conjunto

La intersección es el conjunto

La diferencia de A y B es

El producto cartesiano de A y B es el conjunto de pares

Desde luego, podemos unir o intersectar una colección arbitraria de conjuntos. Si I es un conjunto, y para cada i ∈ I tenemos definido un conjunto Ai, que depende de i, entonces definimos

Si A1, …, An son conjuntos, definimos

Si el lector está leyendo este primer capítulo, cabe la posibilidad de que no esté demasiado habituado a probar teoremas, habilidad que solo se adquiere con práctica, y leyendo muchas demostraciones. Probamos nuestro primer teorema.

Teorema 1.1 (Leyes de Morgan)Supongamos que X, I y Ai para i ∈ I son conjuntos. Entonces

Demostración. Probamos (a), por ejemplo. Queremos probar que dos conjuntos son iguales. Por tanto, debemos probar que X − (⋃i∈IAi) está contenido en ⋂i∈I (X − Ai), y la inclusión contraria. Sea x ∈ X − (⋃i∈IAi). Esto significa que x ∈ X y que x ∉ ⋃i∈IAi. Por la definición de unión de una colección de conjuntos, tenemos que x ∉ Ai para todo i ∈ I. Así, x ∈ X − Ai para todo i ∈ I, y por la definición de intersección de una colección de conjuntos, concluimos que x ∈ ⋂i∈I (X − Ai). Recíprocamente, si x ∈ ⋂i∈I (X − Ai), tenemos que x ∈ X y x ∉ Ai para todo i. Entonces x ∈ X y x ∉ ⋃i∈IAi, y por tanto x ∈ X − (⋃i∈IAi).

2

Los conjuntos se relacionan mediante aplicaciones. Si A y B son conjuntos, una aplicación o función deAenB, que escribimos

es una correspondencia (regla o criterio) que asigna a cada elemento a ∈ A un único elemento f(a) de B. A f(a) se le llama la imagen de a mediante f. El conjunto A se llama el dominio o conjunto inicial de f. El conjunto B se llama el codominio o conjunto final de f. El conjunto imagen

es el subconjunto de B formado por todas las imágenes mediante f de los elementos de A.

Podemos imaginar una función como una máquina cuyos inputs son los elementos de A. Damos a ∈ A a la máquina y esta produce un output perfectamente determinado que es f(a) ∈ B. Para el lector riguroso que no esté satisfecho ni con la definición ni con la idea de la máquina, podemos definir una función f : A → B como un subconjunto X ⊆ A × B tal que X ∩ ({a} × B) tiene exactamente un elemento para todo a ∈ A; pero esto es innecesariamente complicado. Si pensamos un momento sobre esta última definición, observamos que X es el grafo de la función f.

Ejercicio 1.1Sean A y B conjuntos. Sea BA el conjunto de las aplicaciones de A en B. Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, probar que BA tiene mn elementos.

Ejercicio 1.2Si A tiene n elementos, B tiene m elementos, y f : A → B es injectiva, probar que n ≤ m.

Ejercicio 1.3Si A tiene n elementos, B tiene m elementos, y f : A → B es suprayectiva, probar que n ≥ m.

Teorema 1.2Supongamos que A y B tienen n elementos, y sea f : A → B. Entonces f es inyectiva si y solo si f es suprayectiva.

Demostración. Esta es la primera vez en este libro que probamos un teorema si y solo si, por lo que hacemos una pausa para explicar lo que significa. Cuando tengamos que probar que un enunciado P es verdadero si y solo si un enunciado Q es verdadero, tenemos que probar que P implica Q (esto es, suponiendo P demostramos Q) y que Q implica P (suponiendo Q demostramos P).

Finalmente, una aplicación f : A → B es biyectiva si f es inyectiva y suprayectiva. Las aplicaciones biyectivas (o biyecciones) son las mejores aplicaciones que podemos encontrar entre dos conjuntos.

¿Por qué es tan importante tener aplicaciones biyectivas? Esencialmente por dos razones. La primera es que una función biyectiva posee una función inversa. En el ejemplo anterior, la inversa de s es la función arcsen : [−1, 1] → [−π/2, π/2], mientras que la inversa de t es la función ráız cuadrada. La segunda razón es que si existe una función biyectiva entre A y B cualquier propiedad que satisfaga A desde el punto de vista de la teoría de conjuntos la va a satisfacer B, y recíprocamente. Es decir, que desde la perspectiva de conjuntos, A y B son equivalentes. Esto nos permitirá después, por ejemplo, comparar conjuntos y sus tamaños.

Si f : A → B y g : B → C, podemos crear una nueva función

g ∘ f : A → C

definida por

que se llama la composición de g y f.

La primera parte del siguiente ejercicio nos dice que la composición de aplicaciones es asociativa.

Ejercicio 1.4 (i) Si f : A → B, g : B → C y h : C → D son aplicaciones, probar que

Lema 1.3Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones.

(a)Si f y g son inyectivas, entonces g ∘ f es inyectiva.

(b)Si f y g son suprayectivas, entonces g ∘ f es suprayectiva.

(c)Si g ∘ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

(d)Si g ∘ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva.

Teorema 1.4Sea f : A → B. Entonces f es invertible si y solo si f es biyectiva.

3

Si A es un conjunto, una relación en A es un subconjunto

R ⊆ A × A.

En este caso, 1 está relacionado con 1 y con 2, 2 no está relacionado con ningún elemento, y 3 está relacionado con 2. Muchas veces, en lugar de especificar R, es más sencillo describir cuándo dos elementos están relacionados. Por ejemplo, en el conjunto A de los habitantes de una ciudad, podemos decir que dos elementos de A están relacionados si viven en el mismo edificio. En este caso, observamos que cualquier a ∈ A está relacionado consigo mismo, entre otras propiedades que analizamos a continuación. Necesitamos cierto lenguaje para hablar de relaciones.

Definición 1.5Sea A un conjunto y R ⊆ A × A una relación en A.

(a)Decimos que R esreflexivasi (a, a) ∈ R para todo a ∈ A.

(b)Decimos que R essimétricasi siempre que (a, b) ∈ R, entonces (b, a) ∈ R.

(d)Decimos que R estransitivasi siempre que (a, b), (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R.

Muy pocas relaciones en un conjunto A son interesantes. De hecho, las relaciones interesantes son esencialmente de dos tipos. Una relación R es de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación R es una relación de orden si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Ejemplo 1.2

(a) En el conjunto ℝ de los números reales, definimos la relación (a, b) ∈ R si y solo si a ≤ b. Esta es una relación de orden.

(b) En el conjunto de habitantes de una ciudad, vivir en el mismo edificio establece una relación de equivalencia.

(c) En el plano ℝ2, decimos que (x1, y1) está relacionado con (x2, y2) si se tiene que Esto define en el plano una relación de equivalencia.

(e) Si A es un conjunto, definimos una relación en el conjunto P (A) de todos los subconjuntos de A. Decimos que X e Y están relacionados si X ⊆ Y. Esto define una relación de orden en P (A).

Una partición de un conjunto A es un conjunto P de subconjuntos no vacíos de A tales que

Demostración. Como a ∈ [a], está claro que [a] ≠ ∅ y que

4

¿Todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos? ¿Hay algún conjunto infinito con menos elementos que ℕ? ¿Cómo comparamos infinitos?

Al principio, puede que la intuición no nos sea del todo útil. Es famoso el Hotel de Hilbert que tiene un número infinito de habitaciones numeradas {1, 2, 3, …}, todas ellas ocupadas.

Al llegar un huésped nuevo, el conserje del hotel, lejos de rechazarlo, traslada al ocupante de la habitación n a la n+1, y deja así la primera habitación libre para el huésped nuevo. Este conserje ni se inmuta cuando momentos después ve aparecer llegando a su hotel un autobús con infinitos turistas {1, 2, 3, …}: traslada al ocupante de la habitación n a la habitación 2n y al turista m a la habitación 2m − 1. Tampoco se preocupa el conserje cuando esta vez aparece un número infinito de autobuses {a1, a2, …, ak, …} cada uno de ellos cargado de infinitos turistas {ak1, ak2, …}… pero vamos a dejarlo aquí.

Teorema 1.7Sean A, B y C conjuntos.

Demostración. Para probar (a), utilizamos la función identidad 1A. Si existe una función biyectiva f : A → B, entonces f−1 es biyectiva, y (b) queda probado. Para probar (c), usamos que la composición de funciones biyectivas es biyectiva por el lema 1.3.

Asociado a un conjunto A hay otro conjunto especial que hemos utilizado en el ejemplo 1.2 (e):

que se llama el conjunto potencia de A (o partes de A). Lo más importante de P (A) es que tiene más elementos que A.

Teorema 1.8Sea A un conjunto.

(b)No existe ninguna aplicación g : A → P (A) suprayectiva.

La siguiente propiedad de ℕ es fundamental: nos dice que en ℕ existe un buen orden.

Teorema 1.9 (teorema del buen orden en ℕ)Si A es un subconjunto no vacío de ℕ entonces existe a ∈ A tal que a ≤ b para todo b ∈ A. Este elemento a es único.

Demostración. Primero probamos la existencia de a. Como A no es vacío, sea a1 ∈ A. Si a1 ≤ b para todo b ∈ A, ya tendríamos el elemento que buscamos. En caso contrario, existe a2 ∈ A tal que a2< a1. Si a2 ≤ b para todo b ∈ A, de nuevo lo tendríamos. Como entre 0 y a1 hay solo un número finito de elementos, este proceso no se puede repetir un número infinito de veces. Así, podemos llegar a encontrar a ∈ A tal que a ≤ b para todo b ∈ A.

Al elemento a en el teorema 1.9 se le llama el menor elemento de A, y lo denotamos por min(A).

En definitiva, si A es numerable, entonces los elementos de A se pueden enumerar.

Teorema 1.10Supongamos que A es un subconjunto infinito de ℕ. Entonces A es numerable.

para k ≥ 0. Observamos pues que tenemos definidos

a1< a2< … < ak < ak+1< …

Corolario 1.11Si A es numerable y B ⊆ A, entonces B es finito o numerable.

Demostración. Supongamos que B es infinito. Sea f : A → ℕ× una aplicación biyectiva. Aplicamos el teorema 1.10 al conjunto infinito f(B).

En los problemas guiaremos al lector sobre cómo probar que el conjunto de los números racionales es numerable, o que el de los números reales no lo es, entre otras propiedades.

5

El conjunto de los números enteros es

Estamos acostumbrados a dividir dos números enteros n y m, y obtener un dividendo d y un resto r. Este es el llamado algoritmo de división.

Por el teorema del buen orden en ℕ, sea n el menor elemento de B − A. Notar que n > k, pues k ∈ A (ya que k satisface la propiedad). Entonces n − 1 no está en B − A, pues n es el menor elemento de B − A. Así, n − 1 ≥ k satisface la propiedad y por hipótesis también la satisface

Esta es la contradicción final.

Ejemplo 1.3 Probamos que

como queríamos probar.

Ejercicio 1.5Si a divide a b y a c, probar que a divide a b + c. Si a divide a b, entonces a divide a bz para todo z ∈ ℤ.

(a)Entonces d es el menor elemento del conjunto

{un + vm | u, v ∈ ℤ, un + vm > 0}.

(b)Si e divide a n y a m, entonces e divide a d.

Demostración. Consideramos el conjunto

Teorema 1.14 (Euclides)Sean n, m ∈ ℤ no cero.

(b)Supongamos que n y m son coprimos. Si z ∈ ℤ, entonces n divide mz si y solo si n divide a z.

(c)Si p es primo, entonces p divide a nm si y solo si p divide a n o a m. En particular, si p divide a un producto de enteros n1 … nk, entonces p divide a algún ni.

y deducimos que n divide a z. La otra implicación es obvia.

Teorema 1.15 (teorema fundamental de la aritmética)Si n > 1 es un entero, entonces n se escribe de forma única como

donde p1< … < pk son primos, y a1, …, ak son números naturales no cero.

El conjunto de números racionales es

Es sencillo construir el conjunto de los números racionales a partir de los números enteros como clases de equivalencia. (En el problema 1.10, explicamos cómo hacer esta construcción).

Demostración. Suponemos que , y probamos que n y m son cuadrados. Por ejemplo, probamos que n es un cuadrado. Sea p un primo y supongamos que pf es la mayor potencia de p que divide a n con f ≥ 1. Es suficiente con probar que f es par y luego utilizar el teorema fundamental de la aritmética. Por hipótesis, podemos escribir

donde a, b ∈ ℕ. Entonces

Como n y m son coprimos, sabemos que p no divide a m. Por tanto, si pe es la mayor potencia de p que divide a b, tenemos que es la mayor potencia de p que divide a a2. Concluimos que 2e + f es par, y por tanto, también lo es f. Por el teorema fundamental de la aritmética, concluimos que n es un cuadrado. La implicación contraria es trivial.

Como decimos, en la segunda parte del libro estaremos interesados en polinomios y en sus ráıces. Por ejemplo, ¿cuáles son los ceros del polinomio x8 − 1? Para contestar, necesitamos trabajar con números complejos y una cierta trigonometría.

Teorema 1.17 (fórmula de De Moivre)Si a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, entonces

Demostración. Si suponemos las igualdades trigonométricas

y

la fórmula de De Moivre es inmediata por inducción sobre n.

Con la fórmula de De Moivre, ya podemos calcular los ceros del polinomio xn − 1: son los n números complejos ξk, donde

y 0 ≤ k ≤ n−1. Estos n números complejos son muy importantes y se denominan las ráıcesn-ésimas de la unidad. Los podemos situar en la circunferencia de radio 1 al dividirla en n-ángulos iguales. Por ejemplo, las ráıces 4-ésimas de la unidad son {1, i, −1, −i}.

PROBLEMAS

1. Sean A, B, C conjuntos. Probar:

(i) Si A ⊆ X, probar que A ⊆ f−1(f(A)).

(iii) Si B ⊆ Y, probar que f(f−1(B)) ⊆ B.

(Nota: Para probar que si f es suprayectiva entonces f tiene inversa a derecha necesitamos el llamado axioma de elección. El axioma de elección afirma que si X es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos, entonces es posible elegir un elemento de cada uno de esos conjuntos. Esto que parece algo obvio, no lo es. Por ejemplo, el axioma de elección es equivalente al teorema del buen orden que establece que cualquier conjunto posee una relación de orden tal que todo subconjunto no vacío tiene menor elemento. También es equivalente al llamado lema de Zorn, una de cuyas aplicaciones es que todo espacio vectorial tiene base. Nadie ha encontrado jamás explícitamente un buen orden en ℝ. En definitiva, todo matemático debe plantearse alguna vez si acepta el axioma de elección o no. Nuestro consejo es aceptarlo y seguir adelante).

5. Sean A y B conjuntos. Probar que existe f : A → B inyectiva si y solo si existe g : B → A suprayectiva.

(Ayuda: Aplicar el problema 1.4).

6. Sea f : A → B una aplicación. Probar:

7. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones biyectivas. Probar que

(Nota: A veces este se denomina el Dressing-Undressing Principle, pues nos desvestimos en orden opuesto al que nos vestimos).

9. Para cada una de las siguientes relaciones sobre ℤ probar si son relaciones de equivalencia y en caso afirmativo, describir las clases de equivalencia.

(Nota: Los números racionales se definen como las clases de equivalencia de esta relación).

11. Sea n > 0 un entero. Definimos la siguiente relación en ℤ. Decimos que a, b ∈ ℤ están relacionados si n divide a a − b. Probar que esta relación es de equivalencia y que la clase de equivalencia de a es

12. Probar que las siguientes aplicaciones son biyectivas:

13. Si f : A → B es suprayectiva y A es numerable, entonces B es finito o numerable.

14. Sea A un conjunto numerable y sea B un conjunto. Probar las siguientes propiedades.

(i) Si B es finito, entonces A − B es numerable.

(ii) Si B es finito, entonces A ∪ B es numerable.

(iii) Si B es numerable, entonces A ∪ B es numerable. Concluir por inducción que la unión de un número finito de conjuntos numerables es numerable.

(iv) Si B es numerable, entonces A × B es numerable. Concluir por inducción que el producto cartesiano de un número finito de conjuntos numerables es numerable.

16. Si An es finito o numerable para todo n ∈ ℕ×, probar que

es finito o numerable.

(Ayuda: Por hipótesis, existe fn : ℕ× → An suprayectiva. Definimos

17. Sea ℚ[x] el conjunto de los polinomios con coeficientes en ℚ.

(i) Probar que ℚ[x] es numerable.

(Ayuda: Para (i), agrupar los polinomios según grado y aplicar los problemas 1.16 y 1.14 (iv). Para (ii), volver a aplicar el problema 1.16).

Utilizando los teoremas 1.8 y el problema 1.10, probar que [0, 1/9] no es numerable. Deducir que ℝ no es numerable.

19. Probar por inducción que

Si 1 ≤ a < n, probar que

Deducir que

21. Probar que el producto de k naturales consecutivos es divisible por k!

22. (Binomio de Newton) Si a, b ∈ ℤ y n > 0, entonces

23. Sea p un primo, y sea 1 ≤ k < p. Probar que p divide a .

(Ayuda: Sabemos que p divide a , pero p no puede dividir a (p − k)!k!).

24. Probar las siguientes afirmaciones:

(i) Si n es impar, entonces n2 − 1 es divisible por 8.

(ii) Si a ≠ 0 es un entero, entonces a divide a (1 + a)n − 1.

(iii) Si n es cualquier entero, entonces 4 no divide a n2 + 2.

26. Recordar que si a ∈ ℝ − ℚ, entonces a se dice irracional.

(i) Sean a ∈ ℚ y b ∈ ℝ irracional. Probar que a + b es irracional. Si a ≠ 0, probar que ab es irracional.

(ii) Si n ∈ ℕ, probar que es irracional.

(iii) Probar que es irracional.

(iv) Probar que no se puede escribir de la forma , donde r, s ∈ ℚ.

27. Comprobar que existen números irracionales a, b ∈ ℝ tales que ab es racional.

(Ayuda: Si no es racional, volver a elevar a ).

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

29. Hallar las ráıces 8-ésimas de la unidad.