Una introducción a la teoría de conjuntos E-Book

Carlos Augusto Di Prisco

• Herausgeber: Universidad de los Andes
• Kategorie: Geisteswissenschaft
• Sprache: Spanisch
• Veröffentlichungsjahr: 2023

Seitenzahl: 245

Beschreibung

Una introducción a la teoría descriptiva de conjuntos se destaca por sus conexiones con otras ramas de las matemáticas, especialmente el análisis matemático. La teoría descriptiva de conjuntos puede definirse como la teoría de los conjuntos definibles de números reales. La teoría clásica se refiere a los subconjuntos de ℝ que se obtienen a partir de los conjuntos abiertos a través de las operaciones de complementación, uniones numerables y proyecciones. Esta fue la idea adoptada por Lebesgue al iniciar un estudio de las funciones reales

Leseprobe

UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS

CARLOS AUGUSTO DI PRISCO

CARLOS UZCÁTEGUI AYLWIN

UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Di Prisco, Carlos Augusto, autor.

Una introducción a la teoría descriptiva de conjuntos / Carlos Augusto Di Prisco, Carlos Uzcátegui Aylwin. – Bogotá: Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas, Ediciones Uniandes, 2020.

ISBN 978-958-774-946-5

1. Teoría descriptiva de conjuntos I. Uzcátegui Aylwin, Carlos Enrique, autor. II. Universidad de los Andes (Colombia). Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas III. Tít.

CDD 511.322

SBUA

Primera edición: marzo del 2020

© Carlos Augusto Di Prisco y Carlos Uzcátegui Aylwin

© Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas

Ediciones Uniandes

Calle 19 n.° 3-10, oficina 1401

Bogotá, D. C., Colombia

Teléfono: 3394949, ext. 2133

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ISBN: 978-958-774-946-5

ISBN e-book: 978-958-774-947-2

Corrección de estilo: Laura Porras Montenegro

Diagramación interior en LATEX: Patricia Chávez

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Conversión ePub: Lápiz Blanco S.A.S.

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AUTORS

Carlos Augusto Di Prisco

Realizó sus estudios de pregrado en Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela y obtuvo el título de Ph. D. en el Massachusetts Institute of Technology. Investigador emérito del Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas y profesor titular jubilado de la Universidad Central de Venezuela. Actualmente es profesional distinguido de la Universidad de los Andes en Bogotá e individuo de número de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales de Venezuela. Su trabajo de investigación se ha centrado en la teoría combinatoria de conjuntos.

Carlos Uzcátegui Aylwin

Hizo estudios de pregrado en la Universidad de los Andes (Mérida, Venezuela), de maestría en el Instituto de Investigaciones Científicas (Caracas, Venezuela) y de doctorado en el California Institute of Technology (California, Estados Unidos). Fue profesor de la Universidad de los Andes de Mérida por 30 años y desde el 2015 es profesor titular de la Universidad Industrial de Santander. Sus trabajos de investigación tratan sobre teoría descriptiva de conjuntos y lógica aplicada a la inteligencia artificial.

CONTENIDO

Prefacio

Introducción

1 Espacios polacos

1.1. El espacio de Baire

1.2. Espacios polacos

1.3. Caracterización del espacio de Baire

1.4. Conjuntos perfectos

2 Los conjuntos borelianos

2.1. La jerarquía de Borel

2.2. Parametrización de las clases borelianas

2.3. Ejemplos de conjuntos borelianos

2.4. Propiedades de separación y reducción

2.5. El teorema del isomorfismo

2.6. Los borelianos como imágenes continuas de espacios polacos

2.7. Espacios Borel estándar

3 La jerarquía proyectiva

3.1. Conjuntos analíticos

3.2. Conjuntos proyectivos

3.3. Parametrización de las clases proyectivas

4 Conjuntos analíticos y coanalíticos

4.1. La propiedad del subconjunto perfecto

4.2. Separación de conjuntos analíticos

4.3. Representación de los conjuntos coanalíticos

4.4. Descomposición de conjuntos

4.5. Conjuntos -completos

4.6. Algunos ejemplos

4.7. Un teorema de Hurewicz

5 Uniformización

6 Medida y categoría

6.1. Un repaso de medida

6.2. Categoría de Baire

6.3. Propiedad de Baire y medibilidad

6.4. El juego de Banach-Mazur

6.5. El teorema de Kuratowski-Ulam

6.6. Una ley cero-uno topológica

6.7. La propiedad de Baire para ideales de subconjuntos de

7 Grupos polacos y sus acciones

7.1. Grupos topológicos

7.2. El teorema de Birkhoff-Kakutani

7.3. Grupos polacos

7.4. Acciones de grupos polacos

8 Conjuntos κ-Suslin y conjuntos κ-Borel

A Ordinales y cardinales (una revisión breve)

B Resultados de independencia en teoría descriptiva

Bibliografía

PREFACIO

Este texto tiene su origen en las notas escritas para un curso dictado por los autores en la IV Escuela Venezolana de Matemáticas, realizada en la Universidad de los Andes, Mérida, Venezuela en 1991. El curso llevaba como título Teoría descriptiva de conjuntos y la recta real, y estaba centrado, más que en la propia recta real, en el espacio de Baire y sus productos. Es bien sabido que el espacio de Baire, de las sucesiones de números naturales con la topología producto, es homeomorfo al espacio de los irracionales , y, por tanto, el título del curso estaba justificado.

A medida que ha transcurrido el tiempo, luego de aquella Escuela Venezolana de Matemáticas, cada uno de los autores ha tenido la oportunidad de usar las notas de 1991 como apoyo bibliográfico para otros cursos dictados tanto en la Universidad Central de Venezuela, la Universidad de los Andes (Mérida), el Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas y, recientemente, en la Universidad de los Andes (Bogotá) y la Universidad Industrial de Santander. En cada una de esas oportunidades, nos pareció conveniente ampliar los temas tratados o cambiar el punto de vista de la presentación.

El presente libro es el resultado de esas variadas modificaciones y correcciones que hemos hecho a las notas de 1991, y pretende servir de introducción a la teoría descriptiva de espacios polacos, es decir, espacios topológicos separables que se pueden dotar de una métrica completa.

El libro está organizado de la siguiente manera. En el primer capítulo presentamos las propiedades básicas del espacio de Baire, el espacio de todas las sucesiones de números naturales con la topología producto. Este espacio es homeomorfo a los irracionales con la topología heredada de . Luego nos dedicamos a los espacios polacos y mostramos una caracterización del espacio de Baire. El capítulo 2 está dedicado al estudio de los subconjuntos borelianos de espacios polacos. Exponemos una demostración del teorema de isomorfismo que establece que todos los espacios polacos no numerables son Borel-isomorfos, es decir, dados dos espacios polacos no numerables, existe una biyección entre ellos que preserva conjuntos borelianos. En el capítulo 3 definimos los conjuntos analíticos, que son proyecciones de conjuntos borelianos, y los conjuntos proyectivos en general. En el capítulo 4 estudiamos las principales propiedades de estos conjuntos. El capítulo 5 está dedicado a problemas de uniformización, y se incluye una demostración de que todo conjunto coanalítico del plano contiene una función cuyo gráfico es de esa misma complejidad. En el capítulo 6, luego de un breve repaso de algunos conceptos de medida y categoría, mostramos que todo conjunto analítico es medible Lebesgue y tiene la propiedad de Baire, así como el juego de Banach-Mazur y su relación con propiedades de categoría. Se presenta también el teorema de Kuratowski-Ulam que es una versión para categoría del teorema de Fubini. El capítulo 7 está dedicado a los grupos polacos, grupos topológicos, que son espacios polacos, y sus acciones. En el capítulo 8 estudiamos brevemente los conjuntos κ-Suslin y los conjuntos κ-Borel, que generalizan a los conjuntos analíticos y a los borelianos. Finalmente, en el apéndice presentamos una corta introducción a los ordinales y cardinales, así como mencionamos sin demostraciones, algunos resultados de independencia en teoría descriptiva.

Deseamos agradecer a Alexander Berenstein por las observaciones y sugerencias que nos ha hecho y por animarnos a concluir este trabajo. Igualmente agradecemos a los estudiantes que han usado este texto en cursos que en diversas ocasiones hemos dictado. Tanto las notas de 1991 como este texto deben mucho a Alexander Kechris. Su libro Classical Descriptive Set Theory publicado en 1994 ha sido ampliamente consultado.

El autor, Carlos Uzcátegui Aylwin, agradece el apoyo financiero de la Universidad Industrial de Santander a través del proyecto VIE # 2422.

Bogotá, Bucaramanga, 2020

INTRODUCCIÓN

La teoría descriptiva de conjuntos puede definirse, si quisiéramos ser concisos, como la teoría de los subconjuntos definibles de . El concepto de conjunto definible puede entenderse de dos maneras diferentes, pero equivalentes.

La primera, que se ha llamado clásica, se refiere a los subconjuntos de que se obtienen a partir de los abiertos a través de las operaciones de complementación, uniones numerables y proyecciones. Esta fue la idea adoptada por Lebesgue al iniciar un estudio de las funciones reales definibles analíticamente. Pero fueron Suslin y Luzin quienes profundizaron en el estudio de las propiedades de estos conjuntos.

La colección de los conjuntos borelianos es la menor colección de subconjuntos de que contiene a los abiertos y es cerrada bajo complementación y uniones numerables. Los conjuntos analíticos son proyecciones de los borelianos del plano. Si cerramos esta colección bajo las operaciones proyección y complemento, obtenemos los conjuntos proyectivos. Estos conjuntos son los considerados definibles según este punto de vista.

La segunda manera de entender la noción de conjunto definible está basada en el concepto de conjunto recursivo. Más adelante haremos algunos comentarios sobre este enfoque, llamado el enfoque efectivo.

Se puede decir que hay cuatro problemas básicos que han impulsado el desarrollo de la teoría descriptiva de conjuntos:

(1) ¿Son los conjuntos proyectivos medibles Lebesgue?

(2) ¿Tienen los conjuntos proyectivos la propiedad de Baire?

(3) ¿Satisfacen los conjuntos proyectivos la hipótesis del continuo?, es decir, ¿es todo conjunto proyectivo no numerable equipotente a ?

Las respuestas a estos problemas no han sido fáciles de hallar. Quizás se debería decir que todavía no han sido halladas, ya que usando las herramientas de la lógica matemática y la teoría de conjuntos se ha podido mostrar que las respuestas no siguen de los axiomas usuales de la teoría de conjuntos, sino que dependen de hipótesis adicionales.

En estas notas nos concentraremos en la teoría clásica y pretendemos introducir los conceptos básicos que permitan formular rigurosamente estos problemas y presentar los resultados que se puedan obtener sin recurrir a esas hipótesis adicionales (o axiomas adicionales) ni a argumentos que requieran conceptos sofisticados de la lógica matemática.

La teoría descriptiva de conjuntos tuvo su origen, como hemos señalado, en el análisis matemático y, aunque después siguió un desarrollo independiente, las conexiones con este se han mantenido. Se muestran algunos ejemplos para ilustrar estas conexiones. Incluimos un teorema de Mazurkiewicz sobre la complejidad de la colección de funciones diferenciables en todo punto en el espacio de las funciones continuas en un intervalo acotado. También se presentan algunos resultados, más recientes, sobre ideales de conjuntos compactos. El estudio de estos ideales ha sido motivado por un problema clásico del análisis armónico sobre la unicidad de series trigonométricas. Es interesante observar que este problema del análisis armónico fue precisamente el que motivó a Georg Cantor a desarrollar la teoría de números ordinales y cardinales y la teoría de conjuntos en general.

Esperamos que estos ejemplos ilustren también los métodos que se usan en la teoría descriptiva de conjuntos para determinar la posición exacta, en la jerarquía proyectiva, de ciertos conjuntos que aparecen “naturalmente” en el análisis y en otras ramas de las matemáticas. Caso que resulta particularmente interesante es el de conjuntos que no son borelianos (como ocurre con el ideal de conjuntos cerrados de unicidad para series trigonométricas), pues esto muestra que estos conjuntos son bastante complicados desde el punto de vista topológico-descriptivo, y, por tanto, no es fácil caracterizarlos.

Hagamos algunos comentarios sobre el punto de vista efectivo. Diremos que un subconjunto A de los números naturales es recursivamente enumerable si existe un programa de computador que lo enumera, es decir, un programa para cada dato de entrada n produce una salida f(n) ∈ A de modo que cada elemento de A es de la forma f(n) para al menos un número n. El conjunto Ase dice recursivo si tanto A como su complemento son recursivamente enumerables. Este es el concepto básico de la teoría de funciones computables.

Es fácil convencerse de que existe un programa que enumera al conjunto de los números racionales y también que hay programas que enumeran el conjunto de los pares de números racionales. Por tanto, podemos hablar de conjuntos recursivos (o recursivamente enumerables) de números racionales o de pares de números racionales.

Un abierto U de se dice efectivo si existe un subconjunto recursivo A de tal que U es una unión recursiva de intervalos (a, b) donde el par (a, b) pertenece a A. En este caso, diremos que U es una unión recursiva de intervalos. Siguiendo con este esquema, tomando uniones recursivas en vez de uniones cualesquiera, así como complementos y proyecciones, obtenemos la jerarquía efectiva de Kleene. El estudio de las profundas analogías entre la jerarquía proyectiva y la jerarquía efectiva fue iniciado por Addison [Ad54] y luego continuado por Moschovakis, Martin, Kechris y otros. Este estudio forma una parte importante de lo que se conoce hoy en día con el nombre de teoría descriptiva de conjuntos. Desafortunadamente, este enfoque moderno se escapa al alcance de estas notas. El lector que desee continuar el estudio de esta teoría puede hallar una magnífica introducción en el artículo de Martin y Kechris [MaKe] y un estudio más extenso en el libro de Moschovakis [Mo] o mas recientemente en el libro de Gao [Ga].

Es necesario hacer notar que hemos dejado casi completamente de lado otro de los aspectos más interesantes de la teoría descriptiva: los juegos infinitos y el axioma de determinación. Apenas tocamos este tema con los juegos de Banach-Mazur en el capítulo 6 y la prueba del teorema de Hurewicz en el capítulo 4. Pero es imposible en estas notas pretender hacer un estudio completo de la teoría, se trata apenas de una breve introducción al tema.

Es conveniente que el lector esté familiarizado con los conceptos básicos de la teoría de conjuntos y que tenga experiencia manejando los aspectos elementales de la topología. El texto está organizado de la siguiente manera. En el primer capítulo presentamos las propiedades básicas del espacio de Baire, el espacio de todas las sucesiones de números naturales con la topología producto. Este espacio es homeomorfo a los irracionales con la topología heredada de . Luego nos dedicamos a los espacios polacos y presentamos una caracterización del espacio de Baire. El capítulo 2 está dedicado al estudio de los subconjuntos borelianos de espacios polacos. Proponemos una demostración del teorema de isomorfismo que establece que todos los espacios polacos no numerables son Borel-isomorfos, es decir, dados dos espacios polacos no numerables, existe una biyección entre ellos que preserva conjuntos borelianos. A continuación, en el capítulo 3, definimos los conjuntos analíticos, que son proyecciones de conjuntos borelianos, y los conjuntos proyectivos en general. En el capítulo 4 estudiamos las principales propiedades de estos conjuntos. El capítulo 5 está dedicado a problemas de uniformización, e incluimos una demostración de que todo conjunto coanalítico del plano contiene una función cuyo gráfico es de esa misma complejidad. En el capítulo 6, luego de un brevísimo repaso de algunos conceptos de medida y categoría, mostramos que todo conjunto analítico es medible Lebesgue y tiene la propiedad de Baire. Se presenta el juego de Banach-Mazur y su relación con propiedades de categoría, así como el teorema de Kuratowski-Ulam que es una versión para categoría del teorema de Fubini. El capítulo 7 está dedicado a los grupos polacos, grupos topológicos que son espacios polacos, y a sus acciones. En el capítulo 8 estudiamos brevemente conjuntos κ-Suslin y conjuntos κ-Borel, que generalizan a los conjuntos analíticos y a los borelianos. Finalmente, en el apéndice presentamos una corta introducción a los ordinales y cardinales, y también mencionamos, sin demostraciones, algunos resultados de independencia en teoría descriptiva.

CAPÍTULO 1

ESPACIOS POLACOS

1.1. EL ESPACIO DE BAIRE

Comenzaremos haciendo algunos comentarios referentes a la notación. denota al conjunto de los números naturales y al espacio de todas las funciones de en dotado de la topología producto que resulta de dar a la topología discreta. En general, si A y B son conjuntos, AB denota el conjunto de las funciones de B en A. Si f es una función de A en B, y C es un subconjunto de A, f|C denota la restricción de f a C. Dada una función f : A → B, si C ⊂ A, denotaremos por f[C] al conjunto {f(a) : a ∈ C}. La colección de subconjuntos de un conjunto A se denota, como es usual, por .

El conjunto de sucesiones finitas de números naturales lo denotaremos por . Indicamos por |s| la longitud de la sucesión s. Si s y t son sucesiones finitas y s extiende propiamente a t, escribiremos . Usamos para denotar la concatenación de s y t, esto es, la sucesión que comienza con los elementos de s y continua con los de t.

El espacio se llama el espacio de Baire y es el espacio más importante para todo lo que estudiaremos en este libro. Un espacio tipo Baire es un producto X1 × X2 × . . . × Xn donde cada factor es o . Diremos que el espacio es de tipo 0 si todos los factores son y en caso contrario decimos que es tipo 1.

Para cada definimos

Denotaremos con el segmento inicial de α de longitud n, esto es,

Los conjuntos de la forma Us constituyen una base numerable de la topología de . Nótese que esta base es numerable, ya que el conjunto de sucesiones finitas de es numerable.

Ejercicio 1.1.Demuestre que la colección de los conjuntos Us, con s una sucesión finita de naturales, forma una base para la topología producto en.

Teorema 1.2.Existensubconjuntos abiertos de.

El espacio de Baire no es compacto, por ejemplo es un cubrimiento que no admite subcubrimiento finito. Más adelante veremos que ni siquiera es σ−compacto (es decir, no es la unión de una colección numerable de compactos).

El espacio de Baire es cero dimensional, esto es, tiene una base de abiertos cerrados. Cada Us es abierto cerrado, ya que si n es la longitud de s, .

Además es separable, puesto que el conjunto de las sucesiones eventualmente constantes es denso (dado que cada Us contiene sucesiones eventualmente constantes).

Teorema 1.3.Todo espacio tipo Baire de tipo 0 es homeomorfo a, y todo espacio de tipo 1 es homeomorfo a.

Demostración. Por inducción en el número de factores usando los siguientes hechos:

(1) es homeomorfo a .

(2) es homeomorfo a .

(3) es homeomorfo a .

(4) es homeomorfo a .

Para demostrar (1), definimos la función

Claramente la función f es biyectiva. Veamos que es bicontinua. La preimagen de un abierto básico Us es el abierto , donde . Y la imagen de un abierto A × ∪ {Us : s ∈ W}, donde W es un conjunto de sucesiones finitas de números naturales, es y, por tanto, un abierto.

(2) sigue de (1), ya que X × Y es homeomorfo a Y × X.

Para demostrar (3), definimos

Para probar (4) basta observar que cualquier biyección de sobre es un homeomorfismo.

Ejercicio 1.4.Demuestre que el producto de una cantidad numerable de copias del espacio de Baire es homeomorfo al espacio de Baire.

Sugerencia: muestre quees homeomorfo ay que este último espacio es homeomorfo a.

Ejercicio 1.5.Demuestre que todo abierto de N es la unión disjunta de una familia de vecindades básicas.

El espacio de Baire es metrizable por la métrica dada por

Para demostrar que esta métrica da la topología del espacio de Baire basta observar que para todo α, y se tiene que

Además, la métrica d es completa.

Ejercicio 1.6.Si a0, a1, a2, . . . es una sucesión de números naturales positivos, definamos

Se tiene que b1 < b3 < b5 < . . . < b4 < b2 < b0, y entonces es fácil probar que la sucesiónconverge a un número real a. Este número es la fracción continua determinada por la sucesión.

Demuestre que el espacio de Baire es homeomorfo al espacio de los irracionales del intervalo [0, 1]. (Considere la función que asigna a cada, la fracción continua determinada por la sucesión a0 + 1, a1 + 1, a2 + 1, . . .).

Mas adelante en la sección “Caracterización del espacio de Baire” mostraremos que es homeomorfo ausando un argumento diferente.

El espacio de Cantor, , es el conjunto de las sucesiones de ceros y unos con la topología producto. Obviamente el espacio de Cantor está incluido en el espacio de Baire, y su topología está generada por los conjuntos Us, donde s es una sucesión finita de ceros y unos.

Ejercicio 1.7.Demuestre que el espacio de Cantor es compacto.

Ejercicio 1.8.Sea . Demuestre que.

Ejemplo 1.10.El árbol completo sobre X es el conjunto X<ω de todas las sucesiones finitas de elementos de X. Por ejemploes el conjunto de sucesiones finitas de números naturales, yes el espacio de Baire .

El árbol binario {0, 1}<ωes el conjunto de sucesiones de ceros y unos, y [{0, 1}<ω] es el espacio de Cantor.

Todo subconjunto genera un árbol que denotaremos por SA:

Ejercicio 1.12.Demuestre que para todo, [SA] es la clausura de A.

Ejercicio 1.13.Un árbol T sobrese dice que está podado, si para todo s ∈ T existe t ∈ Tcon.

(2)Para todo, el árbol SA está podado.

Ejercicio 1.14.Sean A, . Muestre que

El lector puede verificar que f satisface la conclusión del teorema.

Ejercicio 1.16.Complete la demostración del teorema 1.15.

Definición 1.17.Un árbol T tiene ramificación finita si cada nodo tiene a lo sumo una cantidad finita de sucesores inmediatos, es decir, si s ∈ T, el conjuntoes finito.

Ejercicio 1.18.Considere el siguiente conjunto.

Muestre que T es un árbol con ramificación finita.

Teorema 1.19.Un conjunto cerradoes compacto si, y sólo si, SA es un árbol con ramificación finita.

De la misma manera, existe k1 tal que 〈k0, k1〉 ∈ SA y para el cual el conjunto

Teorema 1.20.El espacio de Baire no es σ-compacto.

Demostración. Veamos que el espacio de Baire no es la unión de una familia numerable de compactos. Por el resultado anterior, basta probar que el espacio de Baire no es la unión de una familia de la forma donde cada árbol Ti tiene ramificación finita. En efecto dada una tal familia, sea tal que , lo que es posible por ser T0 un árbol con ramificación finita. Tomamos ahora k1 tal que , y en general, kn tal que . Entonces para todo , .

La cardinalidad de es , igual a la cardinalidad de y de . En efecto, por una parte, como , se tiene que . Es claro que identificando cada subconjunto de con su función característica obtenemos una biyección entre y . Por otra parte, como , entonces, . El teorema de Schröder-Bernstein permite concluir que y tienen igual cardinalidad.

Teorema 1.21.(Lema de König) Sea T un árbol con ramificación finita. Si T es infinito, entonces, .

Demostración. Sea T un árbol infinito tal que cada nodo tiene un número finito de sucesores inmediatos. Como consideramos árboles contenidos en el conjunto de sucesiones finitas de elementos de un conjunto X, todo árbol tiene la sucesión vacía como nodo inicial, o raíz, en el nivel T (0). Tenemos entonces que cada nivel del árbol es finito. Para cada nodo s ∈ T, sea s ↑= {t ∈ T : s ⊆ t} el conjunto de todas las extensiones de s en T. Construimos una rama infinita de T por inducción. Dado que el nivel 1 del árbol, T(1), es finito, por tanto, existe un nodo s1 en ese nivel tal que s1 ↑ es infinito. Ahora, supongamos que hemos definido s1 ⊆ s2 ⊆ . . . , sk de modo que sk ↑ es infinito. Sea sk+1 un sucesor inmediato de sk tal que sk+1 ↑ es infinito. Tal sk+1 existe porque sk tiene una cantidad finita de sucesores inmediatos. De este modo obtenemos una rama infinita del árbol T.

Ejercicio 1.22.Sea S∞el grupo de permutaciones de. Calcule la clausura de S∞como subconjunto de .

1.2. ESPACIOS POLACOS

Un espacio topológico es polaco si es separable y existe una métrica d sobre X compatible con la topología (es decir, los abiertos respecto a d son exactamente los abiertos de X) tal que (X, d) es completo. En este caso, se dice que X es completamente metrizable.

Es muy fácil verificar que si A es un subconjunto cerrado de un espacio polaco , entonces A, a su vez, es un espacio polaco, ya que si d es una métrica completa en , entonces su restricción a A es también una métrica completa. El siguiente ejercicio pide al lector completar la demostración.

Ejercicio 1.23.Sea un espacio polaco y sea un subespacio cerrado. Entonces A también es un espacio polaco.

El resultado del ejercicio anterior no es óptimo. Como veremos en seguida, un subespacio de un espacio polaco es también un espacio polaco si, y solo si, es un subconjunto Gδ de . Un conjunto es Gδ si es la intersección de una colección numerable de abiertos.

Ejercicio 1.24.Seaun espacio polaco. Considere la siguiente métrica:

Muestre que es una métrica completa y que genera la misma topología que d.

Ejercicio 1.25.Muestre que el producto de una colección numerable de espacios métricos separables es separable.

Sugerencia: sea Dn un subconjunto numerable y denso de . Fije un elemento xn ∈ Dn para cada . Considere el siguiente conjunto

Necesitaremos el siguiente resultado.

Teorema 1.26.El producto de una colección numerable de espacios polacos es polaco con la topología producto.

Demostración. Sea un espacio polaco para cada . Por el ejercicio 1.24, podemos suponer que cada dn es un métrica acotada por 1. Considere la siguiente métrica en :

Dejamos como ejercicio al lector mostrar que d es una métrica completa sobre que genera la topología producto.

Teorema 1.27.(Alexandrov) Todo subconjunto Gδ de un espacio polaco es polaco.

Demostración. Sea un espacio polaco. Comenzaremos mostrando el resultado cuando es un abierto. Consideremos la función dada por

Primero notemos que es polaco con la topología producto (véase