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Dieses einführende Lehrbuch für Studenten höherer Semester der Physik, Chemie und Informatik behandelt ein in jüngster Zeit dynamisch expandierendes Gebiet der Physik.
Das Buch befasst sich u.a. mit den Themen Quanteninformationstheorie , Quantenkommunikation, Quantencomputing, Teleportation, verborgene Parameter, Welcher-Weg-Markierung, Quantenmessprozess, POVM, Quantenkanäle und vermittelt dadurch nicht nur ein vertieftes Verständnis der Quantentheorie, sondern auch ein Basiswissen, um die schnelle Entwicklung des Gebiets zu verfolgen, bzw. in ein Spezialgebiet der Forschung einsteigen zu können.
Kommentierte Empfehlungen für weiterführende Literatur sowie Übungsaufgaben helfen dem Leser, rasch einen fundierten Zugang zu den theoretischen Grundlagen zukünftiger Schlüsseltechnologien zu finden.
Das Buch kann zur Grundlage von Vorlesungen und Seminaren gemacht werden. Da die benötigten Grundkenntnisse in Mathematik und Quantentheorie in einleitenden Kapiteln dargestellt werden, eignet sich das Buch auch zum Selbststudium.
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Seitenzahl: 423
Veröffentlichungsjahr: 2012
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1: Der mathematische Rahmen
1.1 Hilbert-Raum der Vektoren
1.2 Liouville-Raum der Operatoren
1.3 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
1.4 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
1.5 Übungsaufgaben
2: Grundkonzepte der Quantentheorie
2.1 Erste Fassung der Postulate (reine Zustände abgeschlossener Quantensysteme)
2.2 Ausblick
2.3 Manipulation der Zustandsbewegung durch projektive Messungen
2.4 Die Struktur physikalischer Theorien *
2.5 Interpretationen der Quantentheorie und physikalische Wirklichkeit *
2.6 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
3: Die einfachsten Quantensysteme: Qubits
3.1 Pauli-Operatoren
3.2 Veranschaulichung von Qubits auf der Bloch-Kugel
3.3 Veranschaulichung der Messdynamik und der unitären Dynamik
3.4 Quantengatter für einzelne Qubit-Systeme
3.5 Spin-1/2
3.6 Photonenpolarisationen
3.7 Einzelne Photonen im Strahlteiler und Interferometer
3.8 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
3.9 Übungsaufgaben
4: Gemischter Zustand und Dichteoperator
4.1 Dichteoperator zu gegebenem Ensemble (statistisches Gemisch)
4.2 Der allgemeine Quantenzustand
4.3 Verschiedene Ensemblezerlegungen eines Dichteoperators und Ignoranzinterpretation
4.4 Dichteoperatoren von Qubits
4.5 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
4.6 Übungsaufgaben
5: Shannon-Entropie und klassische Information
5.1 Definition und Eigenschaften
5.2 Shannons Theorem
5.3 Information
5.4 Klassische relative Entropie
5.5 Wechselseitige Information als Maß für die Korreliertheit zweier Botschaften
5.6 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
5.7 Übungsaufgaben
6: Von-Neumann-Entropie und Quanteninformation
6.1 Quantenkanal und Quantenentropie
6.2 Qubit als Einheit der Quanteninformation
6.3 Eigenschaften
6.4 Die Schnittstellen von Präparation und Messung
6.5 Quanteninformation
6.6 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
6.7 Übungsaufgaben
7: Zusammengesetzte Systeme
7.1 Teilsysteme
7.2 Produktraum
7.3 Grundlagen der Physik zusammengesetzter Quantensysteme
7.4 Quantengatter für mehrere Qubit-Systeme
7.5 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
7.6 Übungsaufgaben
8: Verschränkung
8.1 Korrelationen und Verschränkung
8.2 Verschränkte reine Zustände
8.3 Erzeugung verschränkter Zustände
8.4 Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit und das No-cloning-Theorem
8.5 Zustandsmarkierung durch Verschränkung
8.6 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
8.7 Übungsaufgaben
9: Korrelationen und nicht-lokale Messungen
9.1 Entropien und Korreliertheit zusammengesetzter Quantensysteme
9.2 Nicht-lokale Messungen
9.3 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
9.4 Übungsaufgaben
10: Es gibt keine (lokal-realistische) Alternative zur Quantentheorie
10.1 EPR-Experimente und ihre quantentheoretische Deutung
10.2 Korrelierte Handschuhe
10.3 Lokaler Realismus
10.4 Verborgene Parameter, Bellsche Ungleichungen und Konflikt mit dem Experiment
10.5 Separable Quantengemische erfüllen die Bellsche Ungleichung
10.6 Bell-Verletzung als Kriterium für Verschränkung bei reinen Zuständen
10.7 3-Teilchen-Verschränkung und Quantennichtlokalität
10.8 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
10.9 Übungsaufgaben
11: Verschränkung als Hilfsmittel
11.1 Quantenkryptographie
11.2 Ein Qubit überträgt zwei Bit (dense coding)
11.3 Quantenteleportation
11.4 Verschränkungsaustausch
11.5 Ergänzende Themen und weitere Literatur
11.6 Übungsaufgaben
12: Quantencomputer
12.1 Register und Netzwerke
12.2 Funktionsberechnung und Quantenparallelismus
12.3 Quantenparallelismus
12.4 Zwei einfache Quantenalgorithmen
12.5 Suchalgorithmus von Grover
12.6 Faktorisierungsalgorithmus von Shor
12.7 Quantenfehlerkorrektur mit Hilfe nicht-lokaler Messungen
12.8 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
12.9 Übungsaufgaben
13: Verallgemeinerte Messungen, POVM
13.1 Aufgaben einer allgemeinen Dynamik offener Quantensysteme
13.2 Das nicht-ideale Stern-Gerlach-Experiment als Beispiel für eine verallgemeinerte Messung
13.3 Verallgemeinerte Messungen
13.4 POVM-Messung
13.5 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
13.6 Übungsaufgaben
14: Allgemeine Entwicklung eines offenen Quantensystems und spezielle Quantenkanäle
14.1 Quantenoperationen und ihre Operatorsummenzerlegungen
14.2 Völlig allgemeine Messung und POVM
14.3 Quantenkanäle
14.4 Blick zurück: Das Szenario und die Regeln der Quantentheorie
14.5 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
14.6 Übungsaufgaben
15: Dekohärenz und Ansätze für die Beschreibung des Quantenmessprozesses
15.1 Dekohärenz erzeugende Kanäle
15.2 Umgebungsinduzierte Dekohärenz
15.3 Quantenmessprozess *
15.4 Ist das Messproblem gelöst? *
15.5 Die Viele-Welten-Interpretation *
15.6 Ergänzende Themen und weiterführende Literatur
15.7 Übungsaufgaben
16: Zwei Realisierungen von Quantenoperationen
16.1 Operatorsummenzerlegung *
16.2 Unitäre Realisierung von Quantenoperationen *
16.3 Realisierung einer völlig allgemeinen Messung durch unitäre Transformation und Projektion *
16.4 Ergänzende Themen und Literatur
16.5 Übungsaufgaben
Literatur
Literaturhinweise
Literaturverzeichnis
Register
Autor
Jürgen Audretsch
Universität Konstanz, Fachbereich Physik
e-mail: [email protected]
Umschlagbild
Itten, Johannes: Die Begegnung, 1916
© VG Bild-Kunst, Bonn 2004
Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Bibliografische Information
Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.
© 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in andere Sprachen vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form – durch Photokopie, Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren – reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen, verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden.
Print ISBN 9783527404520
Epdf ISBN 978-3-527-61859-0
Epub ISBN 978-3-527-66056-8
Mobi ISBN 978-3-527-66055-1
Dieses Buch ist ein
Lehrbuch der theoretischen Physik.
Es ist aus Vorlesungen und Seminaren entstanden, die ich in den letzten Jahren an der Universität Konstanz zum Thema
Quanteninformationstheorie unddie Grundlagen der Quantentheorie
gehalten bzw. veranstaltet habe.
Die unrelativistische Quantenphysik hat in den letzten ein bis zwei Jahrzehnten eine stürmische Entwicklung durchgemacht. Quantencomputer, Quantenteleportation, Quantenkryptographie, Quanteninformation sind die typischen Schlagwörter, die über den Kreis der Physiker hinaus in populärwissenschaftlichen Artikeln und im Feuilleton mit dieser Entwicklung verbunden werden. Das Konzept der Verschränkung ist das zentrale theoretische Konzept auf diesen „neuen Wegen“der Quantenphysik, die immer häufiger auch im Physikunterricht an den Schulen beschrieben werden. Die theoretischen Grundlagen der neuen Entwicklungen sind das Thema dieses Buches.
An wen wendet sich das Buch? Das Buch wendet sich in erster Linie an Studenten, aber darüber hinaus auch an alle, die an der Quantenphysik interessiert oder vielleicht sogar von ihr fasziniert sind. Es sollen aber nicht nur Physikstudenten und Physiker, sondern auch Studenten der Informatik, Chemie und anderer Naturwissenschaften, sowie Ingenieure und Lehrer angesprochen werden. Das Buch setzt voraus, dass der Leser schon durch eine Lehrveranstaltung oder durch Selbststudium erste Einblicke in die Quantentheorie hatte. Es fängt also nicht bei null an.
Allerdings werden alle mathematischen und physikalischen Grundkenntnisse, die für die Lektüre späterer Kapitel benötigt werden, als Einstieg in den Anfangskapiteln 1 und 2 wiederholt und aus einer für den Leser möglicherweise neuen Sicht aufgearbeitet. Dabei soll u.a. darauf vorbereitet werden, dass in der Quantentheorie die Konzepte Zustand und Zustandsentwicklung einschließlich Messung anders als in der klassischen Physik zu verstehen sind. Hier-auf bauen die in den späteren Kapiteln beschriebenen Verallgemeinerungen auf. Das zweite Kapitel enthält auch ein wissenschaftstheoretisches Rüstzeug, mit dem die Frage diskutiert werden kann, auf welche Realität sich die Quantentheorie bezieht.
Anschließend steigen die Anforderungen an den Leser von Kapitel zu Kapitel an. Die Kapitel bauen aufeinander auf. Übungsaufgaben können zur Kontrolle dienen. Kursiv geschriebene Sätze fassen Ergebnisse zusammen. Fortgeschrittene Leser können mit ihrer Hilfe den Text schnell querlesen.
Zielsetzung Dieses Buch will dem Leser dabei helfen, die raschen Entwicklungen der Quanteninformationstheorie besser überblicken, einordnen und mit angemessenem Aufwand nachvollziehen zu können.
Beschränkung und Ergänzung Der Anspruch an mathematische Präzision entspricht dem der gebräuchlichen Lehrbücher der theoretischen Physik. Inhaltlich beschränke ich mich auf die theoretischen Aspekte. Die Beschreibung der entsprechenden Experimente und technischen Anwendungen würde noch einmal so viele Kapitel benötigen. Jedes Kapitel enthält aber ein Unterkapitel über ergänzende Themen und weiterführende Literatur. Dort wird auf Experimente hingewiesen.
Diese Unterkapitel weisen auch auf theoretische Übersichtsartikel und Bücher hin. Mit deren Hilfe kann der Leser das Dargestellte vervollständigen und vertiefen. Zusammenfassenden Darstellungen wurde gegenüber Originalartikeln der Vorzug gegeben. Es werden also nicht die für die Entwicklung wichtigen Arbeiten rückblickend historisch korrekt aufgelistet, vielmehr sollen in erster Linie für den Leser nützliche weiterführende Literaturhinweise gegeben werden.
Inhalt Im Anschluss an die beiden ersten Kapitel wird in Kap. 3 und 4 zunächst die Physik abgeschlossener Quantensysteme weiterentwickelt. Viele Beispiele und Anwendungen beziehen sich auf Qubits (2-Niveau-Systeme). Mit dem Dichteoperator wird das Konzept des Quantenzustands in Kap. 4 abschließend erweitert. Allgemeinere Zustände gibt es nicht. Kapitel 5 und 6 führen in das klassische bzw. quantentheoretische Entropie- und Informationskonzept ein.
Die Grundlagen der Physik zusammengesetzter Quantensysteme werden in Kap. 7 beschrieben. Dass sich Teilsysteme zusammen in einem verschränkten Zustand befinden können, hat eine Vielzahl von überraschenden Effekten zur Folge. Eine Einführung wird in Kap. 8 gegeben. Verschränkung bedingt Korreliertheit der Teilsysteme. Zur Nicht-Lokalität der Zustände treten noch die Möglichkeiten nicht-lokaler Messungen hinzu (Kap. 9).
Die experimentell nachgewiesenen spezifischen Quantenkorrelationen (EPR-Korrelationen) bestätigen die fundamentale Aussage, dass es keine klassische Alternative zur Quantentheorie gibt (Kap. 10). Diese EPR-Korrelationen können zur Grundlage einer im Prinzip völlig abhörsicheren Quantenkryptographie gemacht werden. Auch die Quantenteleportation beruht auf ihnen (Kap. 12). Für den Quantencomputer ist Verschränkung ein wesentliches Hilfsmittel. Die Ausnutzung der Quantenparallelität erlaubt es, sehr viele Funktionswerte in sehr wenigen Operationen zu berechnen. Das Problem ist dann das Auslesen der Ergebnisse (Kap. 12).
In Kap. 13 wenden wir uns der allgemeinen Dynamik offener Quantensysteme zu und diskutieren zunächst verallgemeinerte Messungen, die die projektiven Messungen als Spezialfall enthalten. Sie spielen zusammen mit den operatorwertigen Maßen (POVM) eine immer größere Rolle in den aktuellen Publikationen. Die allgemeine Entwicklung von offenen Quantensystemen zwischen Präparation und Messung wird mit Hilfe der Quantenoperationen beschrieben. Verschiedene Quantenkanäle werden diskutiert (Kap. 14). Die Verallgemeinerung der projektiven Messungen und der unitären Transformationen führen auf ein neues Szenario der Quantenphysik.
Dekohärenz ist der Verlust der Interferenzfähigkeit und stellt daher ein Problem beim Quantencomputer dar. Umgekehrt spielt die umgebungsinduzierte Dekohärenz eine wichtige Rolle bei der Beantwortung der Frage warum es klassische Objekte gibt (Kap. 15). Es liegt nahe, diesen Ansatz auch bei der Begründung des Quantenmessprozesses zu versuchen. Mit dem Nachtrag einiger Beweise in Kap. 16 schließt das Buch ab.
Danksagungen An erster Stelle möchte ich mich bei meiner Frau für ihre Geduld bedanken. Die langjährige Zusammenarbeit mit Thomas Konrad hat sehr zum vertieften Verständnis des Stoffes beigetragen. Der „Montagsrunde“mit Thomas Konrad, Michael Nock und Artur Scherer verdanke ich ebenfalls viele Hinweise, Anregungen und Korrekturen. Vor allen Dingen haben die vielen gemeinsamen Diskussionen dafür gesorgt, dass die Begeisterung für das Thema nicht nachgelassen hat. Joseph Demuth hat die Entstehung des Manuskripts mit Hinweisen und Kommentaren begleitet. Jan Nötzold und Marcus Kubitzki haben bei der Erstellung des Manuskripts geholfen, aber ohne das unermüdliche Engagement von Stefan Bretzel und insbesondere von Michael Nock wäre das Manuskript nicht termingerecht fertig geworden. Ihnen allen vielen Dank. Danken möchte ich schließlich noch dem Zentrum für angewandte Photonik (CAP) an der Universität Konstanz für seine Unterstützung.
Jürgen Audretsch
Konstanz, im Januar 2005
Es ist die Aufgabe der Quantentheorie – genau wie die jeder anderen physikalischen Theorie – das Ergebnis von Experimenten vorherzusagen und diese Prognose zu begründen. Dazu muss man den Zustand des physikalischen Systems zu Beginn eines Experiments beschreiben, man muss die Entwicklung des Systems während des Experiments formulieren und das Ergebnis einer Wechselwirkung mit dem Messapparat vorhersagen können. Der mathematische Rahmen, der sich für die Formulierung der Quantentheorie bewährt hat, ist die Theorie des Hilbert-Raums und die Wahrscheinlichkeitstheorie. Die fundamentale Verknüpfung zwischen mathematischen Größen und physikalischer Realität wird dabei über die folgenden Zuordnungen etabliert:
Quantensystem
↔
Hilbert-Raum
Quantenzustand
↔
Vektor im oder Operator auf dem Hilbert-Raum
Entwicklung des Quantenzustands
↔
Lineare Operatoren, die auf den Vektoren wirken bzw. lineare Operatoren, die auf den Raum der Operatoren (Liouville-Raum) wirken.
Prognosen
↔
Wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen.
Wir werden dieses Grundschema der Quantentheorie noch im Einzelnen darstellen. In diesem Kapitel sollen zunächst die benötigten Definitionen und Sätze zusammengestellt werden. Dabei werden wir nicht alle mathematischen Sätze beweisen. Insbesondere werden wir voraussetzen, dass der Leser schon einmal Kontakt mit der Quantentheorie hatte, sodass die Darstellung knapp gehalten werden kann.
Die Einschränkung ist gerechtfertigt, weil die wesentlichen begrifflichen Probleme sowie die neuen Konzepte und zentralen Methoden bereits mit Bezug auf einen endlichdimensionalem Hilbert-Raum eingeführt werden können. Wir wollen den konzeptionellen physikalischen Problemen nicht noch mathematische Subtilitäten hinzufügen. Für die meisten physikalisch relevanten Fällen, die eine Beschreibung im unendlich-dimensionalen Hilbert-Raum erfordern, lassen sich die Ergebnisse für endlich-dimensionale Räume direkt übertragen.
Wie in der theoretischen Physik üblich, werden wir die Dirac-Schreibweise benutzen. In diesem Rahmen ist es günstig, die dyadische Zerlegung von Operatoren in den Mittelpunkt der Behandlung zu stellen. Sie ist für praktische Anwendungen wichtig, da sie ein einfaches direktes Ablesen von Operatoreigenschaften und Operatorwirkungen erlaubt.
Ein d-dimensionaler Hilbert-Raum , wie er in der Quantentheorie verwendet wird, ist ein linearer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen , auf dem ein Skalarprodukt definiert ist. Die Vektoren bezeichnen wir durch | φ 〉, | ψ 〉, | u 〉, |Φ) usw., |Null 〉 ist der Nullvektor.
Addition, Multiplikation mit einer komplexen Zahl, lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension des Hilbert-Raums sind analog zu den Begriffen in reellen Vektorräumen definiert.
Je zwei Vektoren | φ 〉 und | ψ 〉 ist als Skalarprodukt(scalar product) oder inneres Produkt (inner product) eine komplexe Zahl zugeordnet, die wir in der Form 〈 φ| ψ 〉 schreiben. Als Grundlage für diese Dirac-Schreibweise1 (Dirac notation) haben wir einen Ket-Raum mit den Ket-Vektoren | φ 〉, | ψ 〉 ,….. und den hierzu dualen Vektorraum der Bra-Vektoren 〈 χ|, 〈 θ|,….eingeführt (Raum der linearen Funktionale). Es ist eine Korrespondenz zwischen den Vektoren des Ket- und des Bra-Raum erklärt (wir verwenden das gleiche Kernsymbol).
(1.1)
(1.2)
Daraus folgt
(1.3)
Lesen Sie weiter in der vollständigen Ausgabe!
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