Kaufmännisches Rechnen für Dummies E-Book

Petra Leitert

• Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
• Kategorie: Fachliteratur
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 415

Veröffentlichungsjahr: 2021

Beschreibung

Dreisatz, Prozentrechnen und Co. - wie ging das noch gleich? Wenn Sie einen kaufmännischen Beruf anstreben oder ausüben, führt kein Weg am Kaufmännischen Rechnen vorbei. Aber keine Sorge, auch wenn Sie kein Mathe-Genie sind, werden Berechnungen wie Proportions-, Durchschnitts-, Verteilungs- oder Zinsrechnung bald kein Problem mehr für Sie sein. Petra Leitert erklärt Ihnen leicht verständlich und Schritt für Schritt alle wichtigen Rechenarten, die Sie benötigen. So erfahren Sie alles über Abschreibungen, Währungsrechnung, Deckungsbeiträge und vieles mehr. Auch komplexere Berechnungen wie Tilgungsrechnung, Zinseszinsrechnung, Berechnungen bei Geldanlagen und statistisches Rechnen kommen nicht zu kurz. Zahlreiche Beispielrechnungen, Übungen und Tipps zur Arbeit mit Excel runden dieses Buch ab.

Leseprobe

Kaufmännisches Rechnen für Dummies

Schummelseite

ZEHN WICHTIGE KAUFMÄNNISCHE FORMELN

Einfacher Durchschnitt

Dreisatz für proportionale Beziehungen

Bekannte Größen: Ausgangswert x1, abhängiger Wert y1, veränderte Ausgangsgröße x2

Berechnete Größe: veränderter abhängiger Wert y2

Prozentwert

Zinsen

Verzugszinsen

Linearer Abschreibungsbetrag

Fremdwährungsbetrag

Handelsspanne

Deckungsbeitrag

Liquidität

DIE ZEHN WICHTIGSTEN FAKTOREN FÜR HÄUFIGE PROZENTSÄTZE

Nummer

Prozentsatz

Bruchfaktor

rationaler Faktor

1

75 %

0,75

2

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0,5

3

33,33 %

0,3333

4

25 %

0,25

5

20 %

0,2

6

10 %

0,1

7

5 %

0,05

8

4 %

0,04

9

2 %

0,02

10

1 %

0,01

Prozentsätze mit den zugehörigen Faktoren

WICHTIGE ZINS- UND ZINSESZINSFORMELN

In den Kapiteln 7 und 12

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

2. Auflage 2022©2022 Wiley-VCH GmbH, Boschstraße 12, 69469 Weinheim, Germany

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Print ISBN: 978-3-527-71894-8ePub ISBN: 978-3-527-83536-2

Korrektur: Petra Heubach-Erdmann, Frauke Wilkens

Über die Autorin

Petra Leitert studierte Mathematik, Ökonomie und Medienpädagogik und ist promovierte Wirtschaftsmathematikerin. Sie ist seit über 35 Jahren in verschiedenen Forschungs-, Bildungs- und Beratungsunternehmen tätig. Sie unterrichtete Auszubildende und Unternehmensmitarbeiter in den Bereichen kaufmännisches Rechnen, Rechnungswesen und Unternehmensführung und entwickelte zahlreiche Lernprogramme. 2013 wurde sie an der Hochschule Wismar zur Professorin berufen und ist seitdem für die Mathematikausbildung an der wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät verantwortlich.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelblatt

Impressum

Über die Autorin

Einleitung

Über dieses Buch

Was Sie nicht lesen müssen

Törichte Annahmen über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Zum Start: Einfache Berechnungen für Kaufleute

Kapitel 1: Das Rechnen der Kaufleute

Das kaufmännische Rechnen entwickelt sich

Unterstützung aus der Mathematik

Kapitel 2: Proportionen

Einfache Proportionen berechnen (1)

Eine kleine Übung

Umgekehrte Proportionen (3)

Eine kleine Übung

Zusammengesetzte Proportionen (4)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 3: Durchschnittsrechnung

Einfache Durchschnitte ermitteln (1)

Gewogene Durchschnitte ermitteln (2)

Das passende Mischungsverhältnis ermitteln (3)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 4: Verteilungsrechnung

Es muss verteilt werden

Verteilungsverhältnisse berechnen

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 5: Dreisatzberechnungen

Mit dem Dreisatz rechnen

Grundlagen des Dreisatzes (1)

Antiproportionale Zuordnung mit Dreisatz berechnen (2)

Zusammengesetzte Dreisätze benutzen (3)

Kettensätze bewältigen (4)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Teil II: Ein Schritt weiter: Erste Berechnungen aus der Finanzmathematik

Kapitel 6: Prozentrechnung

Das eine Prozent von 100

Grundbegriffe der Prozentrechnung verstehen (1)

Mit verminderten und vermehrten Grundwerten rechnen (2)

Wichtige Anwendungen der Prozentrechnung

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 7: Zinsrechnung

Wann und wo treten Zinsen auf?

Den Kalender nutzen: Termin rechnen

Überwachung nötig: Verzugs- und Kontokorrentzinsen (4)

Rückwärts rechnen: Den Zinssatz und andere Größen ermitteln (5)

Zinsrechnung im und auf Hundert unterscheiden: Vermindertes und vermehrtes Kapital (6)

Den Unterschied verstehen: Nominalzins und Effektivzins (7)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 8: Zinseszinsrechnung

Auswirkungen der Verzinsung der Zinsen (1)

Rückwärts rechnen vom Endkapital (2)

Verzinsung beschleunigen: Unterjährige Verzinsung verwenden (3)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 9: Tilgungsrechnung

Tilgungsmöglichkeiten: Raten oder Annuitäten, das ist hier die Frage

Ratentilgung: Rate für Rate für Rate

Annuitätentilgung: Jahr für Jahr konstant

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 10: Abschreibung

Der Werteverlust wird abgeschrieben (1)

Mit konstantem Tempo abschreiben – lineare Abschreibung (2)

Mit schneller Abschreibung starten – degressive Abschreibung

Die Abschreibungsart wechseln (6)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Teil III: Die nächste Stufe: Etwas komplexere Zusammenhänge

Kapitel 11: Kalkulationsberechnung

Vom Einkaufs- bis zum Verkaufspreis kalkulieren (1)

Vorwärts und rückwärts kalkulieren (2)

Differenzkalkulation durchführen (3)

Das Kalkulieren vereinfachen (4)

Industrielle Kalkulation verwenden

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 12: Kostenrechnung: Teilkosten und Deckungsbeitrag

Kostendeckung untersuchen

Nach der Teilkostenrechnung vorgehen (1)

Den Deckungsbeitrag und noch etwas dazu absichern (2)

Den Gewinnpunkt (»Break-even-Point«) ermitteln (3)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgabe

Kapitel 13: Statistik für Kaufleute

Statistische Auswertungen in Unternehmen

Daten statistisch analysieren und auswerten (1)

Mit betriebswirtschaftlichen Kennziffern beurteilen (4)

Ergebnisse grafisch darstellen (5)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 14: Währungsrechnung

Währungen und Wechselkurse umrechnen (1)

Den kleinen Unterschied bei Sorten und Devisen erkennen (2)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Kapitel 15: Berechnungen bei Geldanlagen

Geld vermehren (1)

An der Börse verdienen (3)

Unterstützung durch Excel

Übungsaufgaben

Teil IV: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 16: Zehn Tipps für die Mathematikprüfung

Aufgabe vollständig lesen

Bestimmen, was gegeben ist und was gesucht wird

Rechenwege angeben

Probe durchführen

Antwortsatz angeben

Ergebnisse mit »gesundem Menschenverstand« anschauen

Mit den »leichteren« Aufgaben beginnen

Die Zeit im Auge behalten

Grafiken beschriften

Rituale nutzen

Kapitel 17: Zehn Tipps zum Lernen in der Mathematik

Üben, üben und nochmals üben

Mathematische Denkweise entwickeln

Lösungsschritte hinterfragen

Lösungswege gegenseitig erklären

Lernpartner suchen

Fragen stellen

Möglichst konkrete Fragen stellen

Bücher und andere Literaturquellen nutzen

Mit verständlicheren Büchern beginnen

Sich von Vorurteilen lösen

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 3

Tabelle 3.1: Einkaufswerte

Tabelle 3.2: Telefonkosten

Tabelle 3.3: Verkauf der Holzsorten

Tabelle 3.4: Steinarten

Tabelle 3.5: Eisverkauf

Tabelle 3.6: Bestandteile der Erdmischung

Kapitel 4

Tabelle 4.1: Bezahlte Tippscheine Tippgemeinschaft

Tabelle 4.2: Berechnete Einzelanteile

Tabelle 4.3: Einzelanteile Zimmer

Tabelle 4.4: Summe Einzelanteile Zimmer

Tabelle 4.5: Anteile Gewichte

Tabelle 4.6: Summe Einzelanteile Gewichte

Tabelle 4.7: Veränderte Einzelanteile Gewichte

Kapitel 6

Tabelle 6.1: Entwicklung der Steuersätze in der Bundesrepublik

Tabelle 6.2: Erlaubte Abweichungen bei der Teileherstellung

Kapitel 9

Tabelle 9.1: Tilgungsplanberechnung bei Ratentilgung

Tabelle 9.2: Tilgungsplan bei Annuitätentilgung

Tabelle 9.3: Tilgungsplanberechnungen bei Ratentilgung

Tabelle 9.4: Tilgungsplan bei Ratentilgung

Tabelle 9.5: Tilgungsplan bei Ratentilgung

Tabelle 9.6: Tilgungsplan bei Annuitätentilgung

Tabelle 9.7: Tilgungsplan bei Annuitätentilgung

Tabelle 9.8: Tilgungsplan für drei Jahre bei Annuitätentilgung

Tabelle 9.9: Tilgungsplan bei Ratentilgung

Tabelle 9.10: Tilgungsplan bei Annuitätentilgung

Kapitel 10

Tabelle 10.1: Wechsel nach Abschreibungssätzen

Tabelle 10.2: Abschreibungsentwicklung

Tabelle 10.3: Abschreibungstabelle

Tabelle 10.4: Abschreibungstabelle für die degressive Abschreibung

Tabelle 10.5: Bezug zur Prozentrechnung

Tabelle 10.6: Vergleich der Abschreibungsbeträge

Tabelle 10.7: Abschreibungstabelle mit Wechsel

Kapitel 11

Tabelle 11.1: Einzelkosten der Funktionsbereiche im Unternehmen

Tabelle 11.2: Gemeinkosten der Funktionsbereiche im Unternehmen

Kapitel 13

Tabelle 13.1: Zeitreihenübersicht der Kennziffer

Tabelle 13.2: Verteilung des Durchschnittsalters

Tabelle 13.3: Zeitreihen des Umsatzes und des Gewinns

Tabelle 13.4: Entwicklung der Kennziffern über die Jahre

Tabelle 13.5: Umsatz der Kundengruppen je Einrichtung

Tabelle 13.6: Entwicklung der monatlichen Forderungshöhe

Tabelle 13.7: Aufträge und Anfragen nach der Schaltung der Annonce

Tabelle 13.8: Summen der Aufträge und Anfragen

Tabelle 13.9: Anteile der Aufträge der Wochen pro Monat sowie kumulierte Anteile...

Tabelle 13.10: Umsatz- und Kostenwerte von sechs Monaten

Tabelle 13.11: Durchschnittlicher Umsatz und durchschnittliche Kosten

Kapitel 14

Tabelle 14.1: Sortenkurse

Tabelle 14.2: Fiktive Sortenkurse

Tabelle 14.3: Devisenhandel

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Grafische Darstellung der linearen Funktion der Proportion mit Ex...

Abbildung 2.2: Grafische Darstellung der Hyperbel der umgekehrten Proportion mit...

Abbildung 2.3: Einfache Proportionen

Abbildung 2.4: Umgekehrte Proportionen

Abbildung 2.5: Zusammengesetzte Proportionen

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Einfacher Durchschnitt

Abbildung 3.2: Gewogener Durchschnitt

Abbildung 3.3: Mischungsverhältnisse

Abbildung 3.4: Wenn-Funktion

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Einfache Verteilungsberechnung 1

Abbildung 4.2: Einfache Verteilungsberechnung 2

Abbildung 4.3: Zusammengesetzte Verteilungsberechnung

Kapitel 5

Abbildung 5.1: Dreisatz bei einfachen proportionalen Beziehungen

Abbildung 5.2: Dreisatz bei einfachen antiproportionalen Beziehungen

Abbildung 5.3: Dreisatz bei zusammengesetzten Beziehungen

Kapitel 6

Abbildung 6.1: Möglichkeiten der Prozentrechnung

Abbildung 6.2: Prozentrechnung mit vermindertem oder vermehrtem Grundwert

Abbildung 6.3: Umsatzsteuerberechnung

Kapitel 7

Abbildung 7.1: Einfache Zinsberechnung

Abbildung 7.2: Monatliche Zinsberechnungen

Abbildung 7.3: Verzugszinsen

Abbildung 7.4: Überziehungszinsen

Abbildung 7.5: Rückwärtsberechnung der Zinsgrößen

Abbildung 7.6: Effektiv- und Nominalzinssatz

Kapitel 8

Abbildung 8.1: Zinsentwicklung über die Jahre

Abbildung 8.2: Entwicklung der Summe der Zinsen

Abbildung 8.3: Zinseszinsberechnung

Abbildung 8.4: Zinseszinsberechnung rückwärts

Abbildung 8.5: Unterjährige Verzinsung

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Unterschied Raten- und Annuitätentilgung

Abbildung 9.2: Tilgungsplan Ratentilgung

Abbildung 9.3: Tilgungsplan Annuitätentilgung

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Wertentwicklung bei linearer Abschreibung

Abbildung 10.2: Wertentwicklung bei degressiver Abschreibung

Abbildung 10.3: Entwicklung lineare Abschreibung

Abbildung 10.4: Entwicklung degressive Abschreibung

Abbildung 10.5: Wechsel von der degressiven zur linearen Abschreibung

Kapitel 11

Abbildung 11.1: Vorwärtskalkulation

Abbildung 11.2: Rückwärtskalkulation

Abbildung 11.3: Differenzkalkulation

Abbildung 11.4: Größen der Kalkulationsvereinfachung

Kapitel 12

Abbildung 12.1: Preisgrenzen

Abbildung 12.2: Deckungsbeitragsermittlung

Abbildung 12.3: Gewinnschwellenermittlung

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Umsatzentwicklung über zehn Jahre

Abbildung 13.2: Durchschnittliche Kundenanzahl je Wochentag

Abbildung 13.3: Umsatzzahlen je Kundengruppe

Abbildung 13.4: Entwicklung der Bucherzahlen im Jahr

Abbildung 13.5: Darstellung Kostenstruktur mit Kreis- und Säulendiagramm

Abbildung 13.6: Darstellung Kostenstruktur mit Balken- und Liniendiagramm

Abbildung 13.7: Balkendiagramm für Umsatzzahlen je Kundengruppe

Abbildung 13.8: Liniendiagramm für Entwicklung der Marketingkosten

Abbildung 13.9: Gestauchte Darstellung der Kostenachse

Abbildung 13.10: Gestauchte Darstellung der Jahresachse

Abbildung 13.11: Stauchung der Achse mit den Besucherzahlen

Abbildung 13.12: Ausschnitt der Besucherzahlen von nur sechs Monaten

Abbildung 13.13: Säulendiagramm

Abbildung 13.14: Balkendiagramm

Abbildung 13.15: Liniendiagramm

Abbildung 13.16: Kreisdiagramm

Abbildung 13.17: Datenerfassung und -auswertung Telefonate

Abbildung 13.18: Betriebswirtschaftliche Kennziffern

Kapitel 14

Abbildung 14.1: Währungsumrechnungen

Kapitel 15

Abbildung 15.1: Rendite Tagesgeldkonto

Abbildung 15.2: Aktienverkaufspreis bei gegebener Rendite

Orientierungspunkte

Cover

Titelblatt

Impressum

Über die Autorin

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Fangen Sie an zu lesen

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Seitenliste

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Einleitung

Kein Kaufmann kommt heute ohne die Mathematik aus. Es gibt ständig Situationen, in denen mathematische Überlegungen die Entscheidungen und das Handeln in einem Unternehmen beeinflussen.

Da sich durch die Komplexität moderner Marktbeziehungen die Ansprüche an die Kaufleute erhöht haben, beinhaltet dieses Buch neben den grundlegenden Verfahren des kaufmännischen Rechnens auch einige einfache – inzwischen auch in kleineren Unternehmen zum Teil benötigte – Verfahren aus der Finanzmathematik.

Über dieses Buch

Dieses Buch beschäftigt sich mit dem kaufmännischen Rechnen. Dabei können Sie es als Lehrbuch zum Einstieg in diesen Themenbereich benutzen, Sie können es aber auch als Nachschlagewerk zur Wiederholung oder zur Vertiefung bestimmter Themen verwenden.

Die Kapitel sind jeweils so aufgebaut, dass sie weitestgehend voneinander unabhängig sind. So brauchen Sie nur die Kapitel oder Abschnitte zu lesen, die Sie wirklich interessieren. Wird doch einmal Wissen aus einem anderen Kapitel benötigt, erhalten Sie einen entsprechenden Hinweis.

Ziel war es, ein praxisorientiertes Buch zu schreiben. Aus diesem Grund werden alle mathematischen Sachverhalte zusätzlich durch viele Beispiele aus der Unternehmenspraxis oder des Alltags verdeutlicht.

Nach einer Einführung in die ökonomischen Zusammenhänge finden Sie in jedem Kapitel zunächst eine Zusammenfassung der wichtigsten mathematischen Formeln und Regeln für Eilige. Sind Sie mit dem Themengebiet schon vertraut, reicht Ihnen vielleicht die zusammenfassende Übersicht zum Wiederholen bereits bekannter Fakten oder zum Nachschlagen bei der praktischen Anwendung. Möchten Sie zu einer Regel noch einmal die Erklärungen nachlesen, können Sie die Nummern der einzelnen Regeln am Ende der Überschriften der dazugehörigen Abschnitte finden. Haben Sie das Kapitel gelesen, können Sie den Bereich »Für Eilige das Wichtigste zusammengefasst« natürlich auch als abschließende Zusammenfassung des Kapitels nutzen.

Darüber hinaus gibt es zu jedem Abschnitt mit neuen mathematischen Sachverhalten eine kleine Übung zum selbstständigen Anwenden/Rechnen auf der Basis eines praktischen Beispiels (natürlich mit Lösungsvorschlägen). Am Ende jedes Kapitels finden Sie noch einmal etwas umfangreichere und komplexere Übungsaufgaben, die die Anwendung der wichtigsten Inhalte erfordern. Selbstverständlich erhalten Sie auch hier Musterlösungen zum Vergleichen oder als Anregung, wenn Sie mal nicht weiterkommen. Wo es die Berechnung beschleunigte, wurden die Berechnungen mit Excel-Tabellen durchgeführt (was aber manchmal zu kleineren Rundungsabweichungen führte).

Sie können natürlich versuchen, zunächst einmal nur die Aufgaben im Buch zu lösen, um zu sehen, ob Sie entsprechende Kenntnisse besitzen. Wo Sie Wissenslücken entdecken, schauen Sie dann einfach in den Erklärungsteil oder in die dazugehörige Zusammenfassung.

Außerdem enthält jedes Kapitel des Buches einen Abschnitt »Unterstützung durch Excel«. Viele der kleinen Übungen werden hier noch einmal durchgeführt, sodass Sie gut nachvollziehen können, wie der jeweilige Lösungsweg ist.

Da in diesem Buch nicht mehr Platz für ausführliche Excel-Erklärungen besteht, werden nur relativ einfache Funktionen eingesetzt und somit leicht nutzbare Umsetzungsmöglichkeiten vorgestellt. Zur Unterstützung werden zu Beginn jedes Abschnitts die verwendeten Excel-Optionen und -Funktionen in einer Übersicht zusammengestellt. So können Sie im Bedarfsfall diese Begriffe in anderen Quellen nachschlagen.

Die meisten vorgeschlagenen Excel-Lösungen bieten auch die Möglichkeit, mit unterschiedlichen Ausgangswerten zu »spielen« und so die Auswirkungen der Veränderungen von bestimmten Daten zu erkennen.

Was Sie nicht lesen müssen

In mehreren Kapiteln gibt es zusätzliche Inhalte für Interessierte. Diese sind natürlich für das Verständnis der vorgestellten mathematischen Methode nicht erforderlich. Ich hoffe jedoch, dass Sie einige dieser weiteren Informationen interessant finden.

Auch die Zusammenfassungen müssen Sie nicht lesen und Sie haben auch weder die Pflicht, sich mit den kleinen Übungen zu beschäftigen noch die komplexeren Übungsaufgaben abzuarbeiten. Dies sind Zusatzangebote, die Sie natürlich gerne nutzen können. Denn gerade durch das Üben wird häufig das Verständnis verbessert.

Das Gleiche gilt auch für die Abschnitte der Excel-Anwendungen. Sie können sie getrost überspringen, wenn sie für Sie unwichtig sind. Für das mathematische Verständnis sind sie nicht zwingend erforderlich, können es aber durchaus unterstützen.

Für die Thematik nicht relevant, aber trotzdem interessant könnte der Top-Ten-Teil mit seinen verschiedenen zusätzlichen Informationen und Hinweisen sein.

Törichte Annahmen über den Leser

Da Sie sich Zeit für dieses Buch genommen haben, nehme ich an, dass Sie

sich in einer ökonomischen oder kaufmännischen Ausbildung befinden oder

selbstständig sind oder

in einem Unternehmen im kaufmännischen beziehungsweise verwaltungstechnischen Bereich tätig sind oder

einfach Interesse am kaufmännischen Rechnen haben oder

versuchen möchten, sich bestimmte Arbeiten am Computer mit Excel zu erleichtern, da Sie bereits einige Grundkenntnisse besitzen.

Vielleicht möchten Sie auch nur eine einfache Hilfe zur Lösung kaufmännischer Aufgaben erhalten oder suchen verständliche Beispiele kaufmännischer Berechnungen beziehungsweise Aufgaben zum Üben, um Ihre Fertigkeiten auf diesem Gebiet zu verbessern.

Ich nehme an, dass Sie einen Taschenrechner besitzen und mit ihm umgehen können. In den ersten Kapiteln können Sie viele Aufgaben noch ohne Taschenrechner erledigen, wenn Sie gut im Kopfrechnen sind oder gern mal eine Aufgabe schriftlich rechnen. Aber schon ab Teil II sollten Sie für die Übungen einen Taschenrechner parat haben, um nicht zu viel Zeit mit Berechnungen zu verbringen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in vier Teile gegliedert. Es geht mit den leichten Methoden los, die auch häufig im privaten Bereich genutzt werden. Dann geht es Schritt für Schritt weiter mit immer anspruchsvolleren beziehungsweise komplexeren Verfahren bis zu den ersten Anwendungen aus der Finanzmathematik.

Teil I: Zum Start: Allgemeine Berechnungen für Kaufleute

Im ersten Teil erhalten Sie zum Start einen kleinen Einblick in die geschichtliche Entwicklung des kaufmännischen Rechnens. Dann lernen Sie zuerst die grundlegenden Verfahren zur Berechnung von verschiedenen Proportionen, von unterschiedlichen Arten des Durchschnitts, von möglichen Verteilungen und zur Bestimmung der unterschiedlichen Dreisätze kennen.

Teil II: Ein Schritt weiter: Erste Berechnungen aus der Finanzmathematik

Im zweiten Teil finden Sie die wichtigen Berechnungsmethoden der Kaufleute:

Prozentrechnung,

Zinsrechnung,

Zinseszinsrechnung,

Tilgungsrechnung und Abschreibung,

die zum Teil bereits seit mehreren Jahrhunderten für Kaufleute unerlässlich sind und die sie noch heute in der täglichen Arbeit ständig einsetzen.

Teil III: Die nächste Stufe: Etwas komplexere Zusammenhänge

Im dritten Teil lernen Sie keine neuen mathematischen Berechnungsmethoden kennen. Aber Sie erfahren, wie Sie das bekannte mathematische Rüstzeug für komplexe Anwendungsbereiche wie

Kalkulationen,

Kostenkontrolle,

Darstellung statistischer Zusammenhänge,

Währungsumrechnungen und

Geldanlagen

einsetzen.

Diese Anwendungsgebiete benötigen in der Regel mehrere mathematische Verfahren und eine Anpassung der einzelnen Schritte an die konkrete Situation im Unternehmen.

Teil IV: Der Top-Ten-Teil

Dieser letzte Teil ist Ihnen, wenn Sie … für Dummies-Fan sind, mit Sicherheit bekannt. Ansonsten sollten Sie es schon wegen dieses interessanten Buchabschnitts werden.

In diesem Teil werden Sie zunächst noch einmal in die Geschichte des kaufmännischen Rechnens »entführt«. Sie erhalten einen Überblick, wer sich neben vielen anderen Persönlichkeiten um die Entwicklung, Verbreitung und Anwendung des kaufmännischen Rechnens verdient gemacht hat und welchen historischen Ursprung einige Begriffe haben, die wir heute so selbstverständlich benutzen.

Da das Lernen der Mathematik an sich und die Umsetzung des Erlernten in der Prüfung für viele mit viel »Kopfzerbrechen« und Unbehagen verbunden ist, erhalten Sie hier einige wertvolle Tipps, die Ihnen helfen sollen, diese Herausforderungen zu meistern.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Damit Sie sich gut im Buch orientieren können, verwende ich die nachfolgenden Symbole mit der angegebenen Bedeutung:

Hier finden Sie jeweils eines der vielen versprochenen Beispiele.

Hier erhalten Sie zum vorgestellten Verfahren einen zusätzlichen Tipp oder Ratschlag.

Mit diesem Symbol ist ein Hinweis verbunden, der Sie warnt, wo Sie vorsichtig bei der Berechnung sein müssen, um nicht einen der typischen Fehler zu begehen.

Wenn Sie dieses Symbol sehen, folgt eine Begriffserklärung oder eine Definition.

Dieses Symbol richtet sich an die interessierteren Leser. Hier erhalten Sie zusätzliche Informationen zum aktuellen Thema.

Wie es weitergeht

So viel der Vorrede – nun kann es losgehen.

Natürlich können Sie das Buch systematisch von Anfang bis Ende durcharbeiten. Damit dies für Sie interessant und verständlich bleibt, schauen Sie sich immer auch die vielen praxisorientierten Beispiele an.

Sie können sich auch einzelne Kapitel herauspicken, wenn Sie gerade ein spezielles berufliches oder privates (mathematisches) Problem zu lösen haben oder zu einigen speziellen Problemstellungen nur kleinere Wissenslücken beseitigen wollen.

Sie können das Buch aber auch nur zum Wiederholen und Üben benutzen. In diesem Fall brauchen Sie sich lediglich mit den Zusammenfassungen und Übungen zu beschäftigen.

Um einen nicht so mathematischen Einstieg in das Thema des kaufmännischen Rechnens zu bekommen, können Sie natürlich auch erst einmal den Top-Ten-Teil lesen oder – noch angenehmer – Sie erfreuen sich als Erstes an den Cartoons.

Wie auch immer Sie starten, ich wünsche Ihnen viel Spaß und Erfolg beim Lesen, Lernen, Üben und Schmökern.

Teil I

Zum Start: Einfache Berechnungen für Kaufleute

IN DIESEM TEIL …

… lernen Sie elementare Berechnungen für Kaufleute kennen. Dabei erfahren Sie nicht nur, wie Sie einfache Proportionen, den einfachen Durchschnitt oder grundlegende Verteilungen bestimmen können. Das wäre dann doch zu einfach. In den folgenden Kapiteln erfahren Sie auch, wie bei umfangreicheren Anwendungsfällen diese Methoden angewandt werden, zum Beispiel bei umgekehrten und zusammengesetzten Proportionen, dem gewogenen Durchschnitt und Mischverhältnissen sowie bei kombinierten Verteilungsverhältnissen. Darüber hinaus lernen Sie die kaufmännische Methode des Dreisatzes kennen.

Kapitel 1

Das Rechnen der Kaufleute

IN DIESEM KAPITEL

Die Entwicklung des Handels erfordert kaufmännisches Rechnen

Mathematische Grundlagen werden benötigt

Wichtige kaufmännische Berechnungsmethoden entstehen

Prozentrechnung in verschiedenen Verfahren des kaufmännischen Rechnens nutzen

Mit der Entwicklung des Handels entwickelte sich auch das kaufmännische Rechnen. Solange nur Ware gegen Ware getauscht wurde, waren lediglich einfache Zählereien erforderlich. Einfache Zahlensysteme kannten schon die Babylonier und das alte Ägypten.

Aber mit der Entwicklung des überregionalen und insbesondere des internationalen Handels entwickelten sich zunächst einfache, lokal noch recht unterschiedliche Tausch- und Zahlungsmittel, die erste Geldfunktion übernahm zum Beispiel Salz. Damit wurden einfache Verhältnisberechnungen erforderlich. Je mehr sich der Handel entwickelte, umso dringender wurden mathematische Methoden benötigt, die die Abwicklung der Handelsprozesse unterstützten. Die Mathematik war immer ein Wegbegleiter des ökonomischen Fortschritts und der Entwicklung der verschiedensten Handelsformen.

Das kaufmännische Rechnen entwickelt sich

Schon sehr früh entstanden mathematische Verfahren, die die Kaufleute bei der Entscheidungsfindung unterstützten.

Euklid (circa 360 – 280 vor Christus) – ein griechischer Mathematiker – beschäftigte sich bereits mit den Relationen zwischen zwei beziehungsweise drei Größen (siehe Kapitel 2), auf deren Basis der Dreisatz entstand.

Durch die Ausdehnung des Handels wuchs die Bedeutung des Geldes. Es entstanden erste Banken, die das Geld der Kaufleute verwalteten, ihnen Zahlungsmittel liehen oder wechselten und sie bei Geschäften unterstützten. Das Wort »Bank« kommt von dem italienischen Wort »banco« und bedeutet »Tisch«. Diese Bezeichnung entstand, weil die ersten Geldwechsler (wie sie früher häufig bezeichnet wurden) zunächst nicht von einem festen Gebäude aus agierten, sondern mit ihrem Tisch unterm Arm dorthin gingen, wo die Handelsplätze und Märkte waren. Für ihre Leistungen nahmen sie Gebühren.

Zinsberechnungen und Rentabilitätsüberlegungen bei der Wahl von Kapitalanlagemöglichkeiten beschäftigen die Kaufleute schon seit Jahrhunderten (siehe Kapitel 7). Auch hier liefert die Mathematik die Instrumentarien (Zinsrechnung), freies Kapital maximal zu verwerten beziehungsweise benötigte Kapitalressourcen optimal zu beschaffen und einzusetzen.

Das einfache Verfahren zur Berechnung eines bestimmten Prozentbetrags auf der Grundlage eines vorgegebenen Prozentsatzes nutzte bereits der römische Staat zur Ermittlung der Steuern.

Mit der Entwicklung von Handel, Staatswesen und Banken entstanden neue und immer feinere mathematische Methoden zur Lösung kaufmännischer Aufgaben. Algebra und Arithmetik machten große Fortschritte.

Im 14. Jahrhundert entstanden in Italien Rechenschulen insbesondere für Kaufleute, die aktuelle mathematische Kenntnisse sowie ihre Anwendung für kaufmännische Prozesse vermittelten. Dazu gehörten neben den grundlegenden Kenntnissen der negativen Zahlen auch Berechnungen mit Potenzen.

Von der Entwicklung der Mathematik profitierte auch das kaufmännische Rechnen. So setzte sich der Mathematiker Regiomontan 1456 in einem mathematischen Manuskript mit quadratischen Funktionen und Funktionen höherer Ordnung auseinander. In diesem Skript hat er als Anwendungsbeispiel eine Aufgabe benutzt, die wir heute der Zins- beziehungsweise Zinseszinsrechnung zuordnen.

In Deutschland wurde erst Mitte des 15. Jahrhunderts die neue Arithmetik und Algebra verbreitet. Durch die Entwicklung des Handels ließen sich deutsche Kaufleute in anderen Ländern insbesondere in Italien ausbilden. Sie brachten die modernen kaufmännischen Berechnungsmethoden mit nach Deutschland.

Um die ersten mathematischen Schriften für Kaufleute in deutscher Sprache machte sich um 1450 der Mönch Fridericus Gerhart aus dem Benediktinerkloster in Regensburg verdient. In seinen Schriften behandelte er zum Beispiel das Rechnen mit Brüchen. Insbesondere seine Schrift »Practica« enthielt eine Reihe von Aufgaben aus der Praxis des täglichen Lebens und der Kaufleute.

Johannes Widmann veröffentlichte 1489 das deutschsprachige Lehrbuch »Behend und hüpsch Rechnung vff allen Kauffmannschafften«, in dem zum ersten Mal im Druck die Zeichen »+« und »-« erschienen.

Adam Ries kommt der Verdienst zu, wesentlich für die umfassende Verbreitung und Popularisierung der algebraischen Rechentechniken und ihre Anwendung für wirtschaftliche Aufgabenstellungen gesorgt zu haben. 1518 veröffentlichte er sein Buch »Rechnung auff der linihen«, in dem die damals aktuellen mathematischen Methoden anhand praktischer Problemstellungen aus den verschiedenen Bereichen des Wirtschaftslebens erklärt wurden. Dazu gehörten neben Preisberechnungen für Waren der Dreisatz und das Umrechnen von unterschiedlichen Gewichtseinheiten. Aber auch das Rechnen mit verschiedenen Geldsystemen zum Beispiel bei Kapitaleinlagen wurde behandelt. 1522 erschien eine erheblich erweiterte Auflage dieses Buches, in die er Aufgaben für alle relevanten Bereiche des damaligen Wirtschaftslebens aufnahm. So beschäftigte sich Adam Ries im zweiten Buch auch mit der Zins- und Zinseszinsrechnung.

Mit der Entwicklung des Buchdrucks durch Johannes Gutenberg um 1440 waren auch die technischen Möglichkeiten gegeben, die die Verbreitung der Bücher mit Themen zum kaufmännischen Rechnen wesentlich unterstützten. So wurde das Rechenbuch von Adam Ries noch mehrfach aufgelegt. Da es in einer volkstümlichen Sprache geschrieben war, eignete es sich sehr gut für die Ausbildung angehender Kaufleute.

Einen Nachdruck des zweiten Rechenbuchs von Adam Ries mit einem in moderner Fassung angepassten Text enthält das interessante Buch »Das macht nach ADAM RIESE« von Stefan Deschauer (2012, Anaconda Verlag Köln).

Das kaufmännische Rechnen ist heute ein fester Bestandteil jeder kaufmännischen und ökonomischen Ausbildung. Auch von jedem Unternehmer (nicht nur von den Händlern und Kaufleuten) wird verlangt, dass er mit bestimmten Regeln des kaufmännischen Rechnens vertraut ist. Sonst ist es für ihn kaum möglich, sich an Ausschreibungen zu beteiligen, den Leistungsprozess zu planen, Rechnungen zu erstellen und zu kontrollieren oder die Unterlagen für das Finanzamt bereitzustellen. Schon der Einkauf von Materialien und Waren erfordert Kenntnisse des kaufmännischen Rechnens.

Unterstützung aus der Mathematik

Mit der Weiterentwicklung von Algebra und Arithmetik ab dem 14. Jahrhundert waren die wissenschaftlichen Instrumentarien vorhanden, die Entwicklung mathematischer Methoden für Kaufleute voranzutreiben.

Mathematische Grundlagen des kaufmännischen Rechnens sind unter anderem:

Grundrechenarten

Berechnungen mit negativen Zahlen

Bruchrechnung

Nutzung gebrochener Zahlen

Rechnen mit Termen (Termumformungen)

Lösung von Gleichungen

Rechnen mit Potenzen

Berechnen von Zahlenfolgen

Spätestens für die Verfahren der Zinseszinsrechnung benötigen Sie auch das mathematische Verständnis für die Berechnung von

Wurzeln und

Logarithmen.

Die wichtigsten Methoden des kaufmännischen Rechnens, die auf den genannten mathematischen Kenntnissen beruhen, und ihre Nutzung in kaufmännischen Bereichen lernen Sie in diesem Buch kennen. Dazu zählen:

Prozentrechnung

Dreisatz

Durchschnittsberechnung

Kosten- und Kalkulationsberechnungen

Zinsrechnung

Abschreibung

einfache Methoden der Finanzmathematik

Das meistbenutzte Instrument im kaufmännischen Rechnen ist die Prozentrechnung. Sie wird nicht nur zur Ermittlung von Anteilen an sich verwendet. Bei vielen anderen Anwendungen des kaufmännischen Rechnens wird sie als unterstützendes Werkzeug benötigt. So werden unter anderem bei folgenden Verfahren auch Prozentrechnungen durchgeführt:

Verteilungsrechnung

Zins- und Zinseszinsrechnungen

Abschreibungen

Kalkulationsberechnungen

Statistikbetrachtungen

Tilgungsrechnung

Heute verlangen Unternehmen aus Produktion, Handel, Bankwesen und Versicherungswirtschaft – um nur einige zu nennen – immer neue kompliziertere Lösungsverfahren zur Bewältigung der komplexen kaufmännischen Problemstellungen. Mittels moderner Computertechnik gelingt es, ständig umfangreichere mathematische Modelle zu entwickeln und in stets kürzerer Zeit Lösungen anzubieten.

Der technische und wissenschaftliche Fortschritt verlangt immer dringender, dass der moderne Kaufmann das mathematische Handwerkszeug beherrscht. Kaufmännisches Rechnen ist wichtiger denn je, um richtige betriebswirtschaftliche Entscheidungen zu treffen.

Die folgenden Kapitel sollen Ihnen helfen, einen schnellen Einstieg in das kaufmännische Rechnen zu finden.

Kapitel 2

Proportionen

IN DIESEM KAPITEL

Die Proportionsgleichungen anwenden

Einfache und umgekehrte Proportionen erkennen

Die Proportionen grafisch darstellen

Zusammengesetzte Proportionen richtig »zerlegen«

Ob bewusst oder unbewusst, gehen Sie im Alltag häufig mit Proportionen um. Schon die Zubereitung des Morgenkaffees stellt Sie das erste Mal vor konkrete Aufgaben der Proportionsrechnung. Ein Esslöffel je Tasse in die Kaffeemaschine; das sind bei zwei, drei, …, zehn Tassen … Ein andermal stehen Sie vor dem Parkautomaten und müssen bezahlen. Zehn Minuten Parkzeit kosten 0,25 Euro. Sie wollen 30 Minuten parken. Wie viel müssen Sie bezahlen?

Auch im Berufsleben ist die Proportionsrechnung nicht wegzudenken. Ein Handwerksmeister hat in einem Hotel fünf Tage Zeit, um insgesamt 75 Teppiche zu verlegen. Jeder Geselle benötigt einen Tag, um zweieinhalb Zimmer fertigzustellen, das heißt: um zweieinhalb Teppiche zu verlegen. Wie viele Gesellen muss der Meister im Hotel einsetzen, um den Auftrag pünktlich zu realisieren?

Die Aufzählung lässt sich problemlos weiterführen. Klar ist: Überall im beruflichen und privaten Alltag machen wir uns Gedanken über Proportionen.

Für Eilige das Wichtigste zusammengefasst

Proportionen: Haben zwei Größen x1 (10 Minuten Parkzeit) und x2 (30 Minuten Parkzeit) das gleiche Verhältnis wie zwei andere Größen y1 (0,25 € Parkgebühr) und y2 (0,75 € Parkgebühr), besteht eine Proportion:

(2.1)

Sind drei Größen dieses Verhältnisses gegeben, erhalten Sie durch die Umstellung der Gleichung auf der Basis der bekannten Rechenregeln die Gleichung zur gesuchten vierten Größe.

Proportionales Verhältnis: Entwickeln sich zwei Größen proportional, spricht man von einem proportionalen Verhältnis. Werden einfache proportionale Verhältnisse grafisch dargestellt, erhält man eine Gerade (durch den Ursprung) im Koordinatensystem.Umgekehrte Proportion: Führt die Erhöhung beziehungsweise Verringerung einer Größe (zum Beispiel Anzahl der Mitarbeiter) zu der gegenteiligen Reaktion, das heißt zur Verringerung beziehungsweise Erhöhung bei einer anderen Größe (zum Beispiel der Zeitdauer), besteht eine umgekehrte Proportion. Sie kann durch die Beziehung:

(2.2)

dargestellt werden. Sind drei Werte dieser Verhältnisgleichung bekannt, kann die vierte Größe berechnet werden.

Zusammengesetzte Proportionen: Bestehen zwischen drei Größen proportionale Beziehungen, spricht man von zusammengesetzten Proportionen. Diese zusammengesetzten Proportionen müssen in die einzelnen Proportionen (mit der jeweils gesuchten Größe) unterteilt und in zwei Schritten berechnet werden.

Einfache Proportionen berechnen (1)

Benötigt ein Auto für 100 Kilometer 10 Liter Kraftstoff, können Sie schnell ermitteln, wie viel Kraftstoff für 400 Kilometer erforderlich ist, da Sie wissen, dass sich 100 Kilometer zu 10 Liter genauso verhalten wie 400 Kilometer zur gesuchten Kraftstoffmenge.

Was mathematisch passiert

Stellen Sie diesen Zusammenhang mathematisch dar, erhalten Sie:

Allgemein gilt somit:

Sie können dieses Beispiel auch als folgendes Verhältnis darstellen:

Allgemein gilt hier:

(2.3)

Anders ausgedrückt: Entwickelt sich der Kraftstoffverbrauch eines Autos wie die gefahrenen Kilometer, besteht eine Proportion, das heißt, die benötigte Kraftstoffmenge entwickelt sich proportional zu den gefahrenen Kilometern.

Haben zwei Größen (zum Beispiel Entfernungen) das gleiche Verhältnis zueinander wie zwei andere Größen (zum Beispiel Aufwände), bezeichnet man dies in der Mathematik als Proportion.

Fahren Sie mit Ihrem Auto 200 Kilometer statt 100 Kilometer – also doppelt so weit –, benötigen Sie auch die doppelte Kraftstoffmenge (natürlich nur, wenn Sie mit ähnlicher Fahrweise weiterfahren können – das heißt, Staus, Verkehrskontrollen oder andere Beeinträchtigungen sollen hier vernachlässigt werden).

Bei 400 Kilometern wird die vierfache Strecke absolviert. Also wird auch die vierfache Menge Kraftstoff – das heißt 40 Liter – benötigt, was man in diesem Fall gut im Kopf berechnen kann.

Da die Werte im Alltag und in der betrieblichen Praxis jedoch nicht immer so schöne glatte Zahlen sind, schauen wir uns den Rechenweg dazu an.

Mit x1 : x2 = y1 : y2 können Sie die benötigte Kraftstoffmenge für die längere Strecke durch einfache Umstellungen schnell berechnen.

Stellen Sie die Verhältnisgleichung um, indem Sie beide Seiten mit

und

multiplizieren: (um die Brüche zu eliminieren),

dann ergibt dies:

Da y

2

die gesuchte Größe ist, stellen Sie die Gleichung noch so um, dass y

2

auf einer Seite allein steht. Dazu dividieren Sie die Gleichung auf beiden Seiten durch x

1

und kürzen auf der linken Seite x

1

.

Für das vorliegende Beispiel ergibt sich:

Sie erhalten das bereits erwartete Ergebnis.

Haben Sie die Verhältnisgleichung x1 : x2 = y1 : y2 angewandt, können Sie die Gleichung schneller aufstellen, wenn Sie folgende Regel nutzen:

Die beiden Größen neben dem Gleichheitszeichen werden als Innenglieder und die beiden äußeren Größen links und rechts der Gleichung als Außenglieder bezeichnet.

Mit den angegebenen Proportionsgleichungen können Sie mit drei gegebenen Größen stets die vierte gesuchte Größe bestimmen. Da ein Verhältnis bekannt ist, können Sie mithilfe dieser Gleichung auf das zweite Verhältnis zurückschließen.

Sind Sie mit Ihrem Auto 800 Kilometer gefahren und haben dabei 65 Liter Kraftstoff verbraucht, können Sie berechnen, wie viel Sie für 100 Kilometer benötigt haben.

Stellen Sie nach y2 um:

Sie erhalten als Ergebnis, dass für 100 Kilometer Autofahrt 8,125 Liter Kraftstoff benötigt wurden.

Sie können bei dem Beispiel aber auch mit der gesuchten Größe beginnen. Das Verhältnis der gesuchten Litermenge von 100 km zu den 65 l der 800 km entspricht dem Verhältnis der 100 km zu den 800 km. Stellen Sie diese Gleichung nach der gesuchten Größe um, erhalten Sie natürlich das gleiche Ergebnis:

Grafische Darstellung (2)

Stellen Sie eine einfache Proportion grafisch in einem Koordinatensystem dar (siehe Abbildung 2.1), erhalten Sie eine gerade Linie (eine lineare Funktion).

Abbildung 2.1: Grafische Darstellung der linearen Funktion der Proportion mit Excel

Für das erste Beispiel heißt das: Für 100 Kilometer benötigt das Fahrzeug 10 Liter, für 200 Kilometer 20 Liter und so weiter.

Bei einer genauen Grafik können Sie nun auch ablesen, wie viel das Fahrzeug verbraucht, wenn es 150 Kilometer weit fährt. Proportional zu den gefahrenen Kilometern entwickelt sich der Kraftstoffverbrauch.

Mit der Formel können Sie aber auch bestimmen, wie weit – also wie viele Kilometer – Sie mit dem Fahrzeug fahren können, wenn Sie 75 Liter Kraftstoff getankt haben und der Verbrauch auf 100 Kilometer (wie bereits angegeben) 10 Liter beträgt. Fangen Sie wieder mit der gesuchten Größe an:

Mit den getankten 75 Litern kann das Auto (voraussichtlich) 750 Kilometer fahren.

Eine kleine Übung

Aufgabenstellung:

Ein Unternehmen hat den Auftrag, ein Bürogebäude mit 250 etwa gleich großen Büros zu malern. Für das Malern eines Büroraums benötigt ein allein arbeitender Maler üblicherweise insgesamt fünf Stunden.

Wie viele Stunden benötigt er, wenn er allein alle 250 Räume malern müsste?

Wie viele Räume schafft ein Maler in einer Woche mit 40 Stunden Arbeitszeit?

Nachdem der Maler 50 Räume fertiggestellt hatte, wurde überprüft, ob er die Vorgabe von fünf Stunden pro Raum eingehalten hat. Für die 50 Räume hat er insgesamt 225 Stunden benötigt. Hat der Maler seine Vorgabe eingehalten oder war er schneller beziehungsweise langsamer, als ihm vorgegeben wurde beziehungsweise er üblicherweise braucht?

Lösung:

Ausgangsproportionalität:

Gegeben:

Gesucht:

Umstellung der Ausgangsbeziehung nach y2:

(2.1a)

Der Maler würde 1.250 Stunden benötigen, um alle 250 Räume zu malern.

Gegeben:

Gesucht:

Umstellung der Ausgangsbeziehung nach x2:

(2.1b)

Pro 40-Stunden-Woche schafft der Maler acht Räume.

Gegeben:

Gesucht:

Umstellung der Ausgangsbeziehung nach y1:

(2.1c)

Der Maler war schneller. Er hat nur 4,5 Stunden pro Raum benötigt.

Umgekehrte Proportionen (3)

Im vorherigen Abschnitt waren die betrachteten Proportionen dadurch gekennzeichnet, dass bei der Beziehung beide Größen im gleichen Verhältnis sich erhöhen oder sich verringern.

Es gibt aber auch umgekehrte Proportionen. Das heißt, wenn eine Größe wächst, verringert sich die andere Größe oder umgekehrt. Diese Beziehungen werden auch als antiproportional bezeichnet.

Zum Abschreiben eines Textes von einer bestimmten Anzahl von Seiten benötigt eine Mitarbeiterin sieben Stunden. Unterstützt sie eine zweite Mitarbeiterin, sind die Frauen bereits nach dreieinhalb Stunden mit dem Schreiben fertig.

Hier setzen Sie die Anzahl der Mitarbeiterinnen nicht ins Verhältnis zur Seitenzahl, da die Seitenanzahl feststeht und Sie auch nicht wissen möchten, wie viel zwei Kolleginnen in sieben Stunden schaffen können, sondern Sie möchten wissen, wie durch die Hinzunahme der weiteren Kollegin die Arbeitszeit verkürzt werden kann. Sie können schon im Kopf bestimmen, dass die beiden Frauen zusammen nur die Hälfte der Zeit benötigen.

Was hier mathematisch passiert

Bei diesen Verhältnissen liegt eine umgekehrte Proportion vor. Erhöht sich die eine Größe (im vorliegenden Beispiel die Anzahl der Frauen) um das Doppelte (also um das Zweifache), verringert sich die andere Größe (im Beispiel die Zeitdauer) um die Hälfte. Das heißt, wird die Anzahl der Frauen mal zwei genommen, wird die Zeit durch zwei geteilt. Das können Sie so natürlich fortsetzen: Stehen sogar drei Kolleginnen zur Verfügung, benötigen sie zu dritt nur ein Drittel der Zeit.

In der Praxis sind diese Verhältnisse allerdings nicht immer gleich so gut zu erkennen.

Angenommen, zwei Arbeiter schaffen es, in fünf Stunden einen Container zu entladen. Besteht die Möglichkeit, vier Arbeiter einzusetzen – also wieder die doppelte Anzahl –, wären sie auch in der Hälfte der Zeit – somit nach zwei Stunden – fertig. Nun gibt es aber manchmal das Problem, dass sich vier Arbeiter bei dieser Arbeit behindern und es sich somit nicht lohnt, vier Arbeiter einzusetzen, oder sie werden durch die Behinderung langsamer, oder es stehen nicht vier Arbeiter zur Verfügung, sondern nur drei. Dann können Sie die Berechnung nicht mehr ganz so einfach im Kopf durchführen.

Die Proportion, in der sich die Anzahl der Arbeiter erhöht, ist nicht mehr eine ganze Zahl. Aber berechnen können Sie sie natürlich trotzdem.

Die ursprüngliche Anzahl der Arbeiter sei x

1

und die neue Anzahl x

2

. Teilen Sie die erhöhte Anzahl der Arbeiter x

2

durch die ursprüngliche Anzahl der Arbeiter x

1

, können Sie das Vielfache (V) bestimmen:

Für das vorliegende Beispiel mit drei Arbeitern ergibt sich:

Die Anzahl der Arbeiter erhöht sich um das 1,5-Fache.

Nun müssen Sie nur die ursprüngliche Anzahl der Stunden (sie sei die Variable y

1

) durch 1,5 teilen. Damit erfahren Sie, wie viel Stunden y

2

die drei Arbeiter benötigen.

Werden die zwei Arbeiter durch einen weiteren Helfer unterstützt, benötigen sie nur 3,33 Stunden, um den Container zu entladen.

In beiden Gleichungen, die zur Bestimmung benutzt wurden, ist die Variable V, das Vielfache der ursprünglichen Arbeiteranzahl, enthalten:

Stellen Sie die zweite Gleichung auch nach V um und setzen beide Berechnungsseiten gleich, bekommen Sie wieder eine Verhältnisgleichung zur Berechnung der Proportionen von x1, x2, y1 und y2.

(2.2)

Es entsteht eine umgekehrte Proportion:

Die neue Anzahl der Arbeiter zur ursprünglichen Anzahl hat das gleiche Verhältnis wie die ursprüngliche Zeitdauer zur neuen Zeitdauer.

Den Umweg über die Größe V müssen Sie gar nicht gehen. Auch hier ist es wieder möglich, bei drei gegebenen Größen die vierte Größe zu berechnen.

Zur Inventur in einem Lager benötigen drei Mitarbeiter 24 Stunden. Da die Inventur aber bereits nach einem Tag und somit nach acht Stunden abgeschlossen sein soll, müssen weitere Mitarbeiter eingesetzt werden.

Bekannt sind die drei Größen:

ursprüngliche Mitarbeiteranzahl x

1

= 3 Mitarbeiter,

die ursprüngliche Zeitdauer y

1

= 24 Stunden und

die neue Zeitdauer y

2

= 8 Stunden.

Gesucht ist die neue Anzahl der Mitarbeiter x2.

Stellen Sie die Gleichung der umgekehrten Proportion

nach x2 um, erhalten Sie:

Es werden neun Mitarbeiter benötigt, um die Inventur an einem Acht-Stunden-Tag durchführen zu können.

Natürlich gibt es neben den Fällen »je mehr, desto weniger oder geringer« auch Beispiele für die Beziehungen »je weniger oder geringer, desto mehr«. Sind zum Beispiel weniger Arbeitskräfte verfügbar, dauert die Umsetzung eines Bauvorhabens entsprechend länger.

Grafische Darstellung

Die grafische Darstellung der umgekehrten Proportion ergibt eine Hyperbel (siehe Abbildung 2.2). Diese Darstellung können Sie schnell mit Excel über die Diagramm-Funktion erzeugen. Allerdings stellt Excel die Funktion etwas »eckig« dar. Aber die Veränderung des Verhältnisses können Sie trotzdem gut erkennen.

Abbildung 2.2: Grafische Darstellung der Hyperbel der umgekehrten Proportion mit Excel

Eine kleine Übung

Aufgabenstellung:

Bleiben wir bei unserem Beispiel aus dem vorhergehenden Abschnitt. In einem zu malernden Gebäude sind insgesamt 250 Räume vorhanden. Für das Malern des Bürogebäudes benötigen zwei Maler 627 Stunden. Um den Auftrag schnell durchzuführen, setzt das Unternehmen weitere neun Maler ein.

Wie viele Stunden benötigen die elf Maler für alle Räume?

Wie viele Maler werden benötigt, wenn alle Räume spätestens nach vier Arbeitswochen (je Arbeitswoche 40 Stunden) gemalert sein sollen?

Lösung:

Ausgangsproportionalität: x2 ⋅ y2 = x1 ⋅ y1

Gegeben:

Gesucht:

Umstellung der Ausgangsbeziehung nach y2:

(2.2a)

Elf Maler würden nur noch 114 Stunden benötigen, um alle 250 Räume zu malern.

Gegeben:

Gesucht:

Umstellung der Ausgangsbeziehung nach x2:

(2.2b)

Mit acht Malern kann das Gebäude in vier Wochen fertig gemalert werden. Es besteht sogar eine kleine Zeitreserve.

Zusammengesetzte Proportionen (4)

In den vorangehenden Abschnitten haben wir bisher immer nur das Verhältnis von zwei Größen, die sich verändern, zueinander betrachtet.

Anzahl der gefahrenen Kilometer ↔ benötige Kraftstoffmenge

Anzahl der Mitarbeiter ↔ benötigte Zeitdauer

Treten jedoch drei veränderbare Größen auf, zum Beispiel:

Anzahl Mitarbeiter ↔ Zeitdauer ↔ Anzahl hergestellter Produkte

bestehen mehrere Proportionen:

Anzahl Mitarbeiter ↔ Zeitdauer

Anzahl Mitarbeiter ↔ Anzahl Produkte

Zeitdauer ↔ Anzahl Produkte

In einem Spielzeugunternehmen stellen sechs Mitarbeiter am Tag mit acht Stunden 45 Spielzeugkisten zusammen. Wie lange brauchen acht Mitarbeiter für die Zusammenstellung von 180 Kisten?

Um die gestellte Frage zu beantworten, benötigen Sie jetzt zwei Berechnungsschritte.

Untersuchen Sie zunächst eine Proportion von zwei Größen, wobei eine die gesuchte Größe sein muss.

Betrachten Sie anschließend eine weitere Proportion mit der dritten Größe.

Da nach der Zeitdauer gesucht ist, betrachten Sie für das Beispiel:

die

Proportion der Anzahl der Mitarbeiter zur Zeitdauer

(für die unveränderte Anzahl der 45 Kisten). Es besteht eine umgekehrte Proportion.

Die acht Mitarbeiter benötigen für die Zusammenstellung der 45 Kisten sechs Stunden.

die

Proportion der Anzahl der Kisten zur Zeitdauer

bei fester Mitarbeiterzahl (acht Personen). Es liegt eine einfache Proportion vor (Kisten = Stck).

Für die Zusammenstellung von 180 Kisten benötigen acht Mitarbeiter 24 Stunden.

Eine kleine Übung

Aufgabenstellung:

Bleiben wir wieder bei dem Beispiel aus dem vorhergehenden Abschnitt. Nach 50 gemalerten Räumen kann das Malerunternehmen eine erste Abschlagszahlung stellen.

Wie lange brauchen die elf Maler für die 50 Räume, wenn – wie bereits bekannt – zwei Maler 627 Stunden für die 250 Räume benötigen?

Lösung:

Im ersten Schritt müssen Sie berechnen, wie viele Stunden die elf Maler für die 250 Räume benötigen. Das haben Sie bereits im vorhergehenden Abschnitt getan. Es sind 114 Stunden.

Im zweiten Schritt können Sie nun berechnen, wie viele Stunden die Maler für die 50 Räume benötigen, wenn sie für 250 Räume 114 Stunden brauchen.

Hier können Sie wieder die einfache Proportionsgleichung mit:

nutzen.

Gegeben:

Gesucht:

Für die 50 Räume werden 22,8 Stunden von den elf Malern benötigt.

Auf der Grundlage von acht Stunden pro Tag kann das Unternehmen nach dem dritten Arbeitstag (nach insgesamt 24 Stunden) bereits die erste Rechnung schreiben.

Unterstützung durch Excel

Möchten Sie die gesuchten Größen der betrachteten Proportionen mit Excel bestimmen, müssen Sie unbedingt beachten, welche Proportion vorliegt.

Bei der Umsetzung werden folgende Excel-Funktionen benutzt:

relative Bezüge

einfache Berechnungsvorschriften für Formeln

Verknüpfung von Formeln

benutzerdefiniertes Zahlenformat

Einfache Proportionen

Sie haben von der kleinen Übung des Abschnitts »Einfache Proportionen berechnen« die Teilaufgaben 1 bis 3 umgesetzt.