Mathematik erklären für Dummies E-Book

Christoph Hammer

• Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 219

Veröffentlichungsjahr: 2021

Beschreibung

Wenn sich ein Kind im Matheunterricht schwertut, sind gute Erklärungen gefragt. Sei es von Eltern, Großeltern, Freunden oder Nachhilfelehrern. Diese Neuauflage von "Mathe für Eltern für Dummies" bereitet wesentliche Themen aus den Klassen 5-10 verständlich auf: vom Bruchrechnen über Variablen, Gleichungen und Funktionen bis hin zu Sachaufgaben. Zahlreiche Beispiele und Abbildungen vermitteln Vorstellungen von dem, was abstrakte Formeln ausdrücken wollen. Ein spezielles Symbol erscheint immer dann im Buch, wenn es um typische Stolpersteine geht. Entwickeln Sie gemeinsam Freude an der Mathematik, denn Begeisterung steckt an!

Leseprobe

Mathematik erklären für Dummies

Schummelseite

GRUNDLEGENDE BEGRIFFE

In vielen mathematischen Aussagen kommt das Wort Menge vor. Es handelt sich dabei also um einen sehr grundlegenden Begriff.

Eine Zusammenfassung verschiedener Objekte oder Zahlen heißt Menge.Die in einer Menge zusammengefassten Objekte oder Zahlen sind die Elemente der Menge.Bei Gleichungen mit Variablen ist die Definitionsmenge die Menge der Zahlen, die für die Variable eingesetzt werden können. Die Lösungsmenge ist die Menge der Zahlen aus der Definitionsmenge, für die die Gleichung erfüllt ist.Die Menge ohne Elemente ist die leere Menge. Sie kommt zum Beispiel dann ins Spiel, wenn eine Gleichung keine Lösung hat.

BEGRIFFE IM ZUSAMMENHANG MIT ZAHLEN

Zahlen begegnen uns ständig. Es lohnt sich, über die Bedeutung und Darstellung von Zahlen genauer nachzudenken.

Mit natürlichen Zahlen gibt man an, wie viele Elemente eine Menge hat.Ziffern sind die Zeichen, mit denen Zahlen geschrieben werden. Die Zahl 10 279 enthält die Ziffern 0, 1, 2, 7 und 9.Im Dezimalsystem verwendet man zehn Ziffern.Stellenwert: Je nachdem, wo eine Ziffer in der Zahl steht, hat sie einen anderen Wert. In 357 bedeutet 3 die Zahl 300 und in 537 bedeutet 3 die Zahl 30.Mit einer gleichmäßig eingeteilten Geraden kann man Zahlen darstellen. So erhält man die Zahlengerade. Verwendet man nur positive Zahlen, genügt der Zahlenstrahl.Der Abstand einer Zahl vom Nullpunkt der Zahlengeraden heißt Betrag der Zahl.Zwei verschiedene Zahlen mit dem gleichen Betrag nennt man Zahl und Gegenzahl. Eine davon ist negativ, die andere positiv.Die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit den jeweiligen Gegenzahlen heißt Menge der ganzen Zahlen.Teilt man die Zahlengerade mit den ganzen Zahlen weiter gleichmäßig ein, erhält man die Brüche. Die Menge aller Brüche heißt Menge der rationalen Zahlen. Die natürlichen und die ganzen Zahlen sind in der Menge der rationalen Zahlen enthalten.Für Brüche verwendet man zwei verschiedene Schreibweisen: Als gewöhnliche Brüche mit Zähler, Nenner und Bruchstrich oder als Dezimalbruch mit Komma.

FACHAUSDRÜCKE BEI TERMEN

Mathematische Ausdrücke (Terme) und ihre Bestandteile haben Namen. Der Name eines Terms wird immer von der Rechenart bestimmt, die als letzte auszuführen ist. Hier sind einige wichtige Bezeichnungen:

Addition: Im Term sind 7 und 9 die Summanden, der Term heißt Summe und Addition ist die Rechenart.Subtraktion: Im Term ist 12 der Minuend, 7 der Subtrahend, der Term heißt Differenz und die Rechenart Subtraktion.Multiplikation: Im Term sind 7 und 9 die Faktoren, der Term heißt Produkt und Multiplikation ist die Rechenart.Division: Im Term ist 21 der Dividend, 7 der Divisor, der Term heißt Quotient und die Rechenart Division.

Dies waren die vier Grundrechenarten.

Weitere Terme:

Potenzen sind zunächst Produkte mit gleichen Faktoren: . In diesem Fall heißt 2 Basis und 3 Exponent oder Hochzahl der Potenz. Der Begriff wird noch verallgemeinert.Die Wurzel ist eine Umkehrung der Potenz. Sie gibt an, welche nicht negative Basiszahl potenziert werden muss, um die Zahl unter der Wurzel – den Radikanden – zu erhalten. Zum Beispiel ist , weil ist. Bei einer Wurzel ist also die Basis gesucht.Die andere Umkehrung der Potenz heißt Logarithmus. Er gibt an, mit welchem Exponenten eine positive Basiszahl potenziert werden muss, um den Wert der Potenz zu erhalten. Zum Beispiel ist , weil ist. Beim Logarithmus ist somit der Exponent gesucht.

FACHAUSDRÜCKE BEI GRÖSSEN

Größen haben Symbole und werden mit Maßzahl und einer Einheit angegeben. Jede Größe braucht eine Einheit! In sind das Symbol für eine Zeitspanne (»time«), 23 die Maßzahl und 1 s die Einheit.

Länge einer StreckeSymbol: beliebiger Kleinbuchstabe (, , , , , , , , …)Einheiten: 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 km, …Flächeninhalt einer ebenen FigurSymbol: meist oder Einheiten: 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 a, 1 ha, 1 km, …Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit Länge und Breite : Volumen (Rauminhalt) eines räumlichen KörpersSymbol: Einheiten: 1 mm, 1 cm ml, 1 dm l, 1 hl = 100 l, 1 m, 1 km, …Formel für das Volumen eines Quaders mit Länge , Breite und Höhe : ZeitspanneSymbol: Einheiten: 1 ms, 1 s = 1000 ms, 1 min = 60 s, 1 h = 60 min, 1 d = 24 h, …Mittlere GeschwindigkeitSymbol: Einheiten: , Umrechnung: ,

RECHENREGELN

Beim Rechnen gelten einfache Regeln. Oft ergeben sich aus diesen Regeln Rechenvorteile.

Kommutativgesetz:

Bei Summen können die Summanden und bei Produkten die Faktoren vertauscht werden (Vertauschungsgesetz).

Assoziativgesetz:

Bei Summen mit mehreren Summanden und bei Produkten mit mehreren Faktoren ist die Rechenreihenfolge beliebig.

Distributivgesetze:Klammern Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet.Punkt-vor-Strich Wenn nicht Klammern etwas anderes vorschreiben, werden zuerst die Punktrechnungen (Multiplikation und Division) und dann die Strichrechnungen (Summe und Differenz) durchgeführt.Ansonsten rechnet man von links nach rechts der Reihe nach.

FORMELN

Formeln erleichtern die Bearbeitung von Mathematikaufgaben. Sie bieten Entlastung, weil man bei vergleichbaren Aufgaben nicht jeden einzelnen Rechenschritt neu herleiten muss.

Binomische FormelnLösungsformel für quadratische Gleichungen hat die Lösung(en)

hat die Lösung(en)

Die beiden Formeln unterscheiden sich inhaltlich nicht. Wenn man die Gleichung durch () dividiert, erhält man: . Damit hat man und .

heißt Diskriminante. Für gibt es zwei Lösungen, für keine Lösung und für eine.

FUNKTIONEN

Mit Funktionen werden Zusammenhänge zwischen Zahlen oder Größen beschrieben. Es gibt mehrere Darstellungsmöglichkeiten.

Wertetabelle

Zusammengehörige Werte werden übersichtlich nebeneinander oder untereinander geschrieben.

Textform

Funktionen können mit Worten beschrieben werden. Zum Beispiel: »Wenn ich die eine Größe verdreifache, wird die andere halbiert.«

Funktionsgleichung

Mit der Funktionsgleichung wird ein Zusammenhang beschrieben, mit dessen Hilfe man die Werte berechnen kann. Meist verwendet man als Variablen und , das ist aber nicht zwingend. Insbesondere nimmt man für Zeiten die Variable und für Strecken . Diese Buchstabenwahl hat den Vorteil, dass man die Funktionsvariablen von den Parametern gut unterscheiden kann.

Dies ist eine allgemeine Funktionsgleichung. ist die von der Variablen

Bibliografische Informationder Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

2. Auflage 2022© 2022 WILEY-VCH GmbH, Weinheim

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: © Dan Race – stock.adobe.comKorrektur: Matthias Delbrück, Dossenheim/Bergstraße

Print ISBN: 978-3-527-71980-8ePub ISBN: 978-3-527-83877-6

Über den Autor

Nach 25 Jahren Tätigkeit als Gymnasiallehrer für Mathematik, Physik und Astronomie arbeitete Christoph Hammer hauptamtlich in der Lehrerfortbildung für Mathematik und Naturwissenschaften. Anschließend wechselte er als Dozent für Mathematikdidaktik an die Ludwig-Maximilians-Universität München und dann an die Universität Osnabrück. Er hat weiterhin Lehraufträge an der Technischen Universität München und der Universität Osnabrück.

Seine Begeisterung für Mathematik und Naturwissenschaften gibt er gerne weiter. Er ist der Überzeugung, dass die Haltung der Eltern entscheidenden Einfluss auf Einstellung und Erfolge ihrer Kinder in der Schule hat. Das Buch soll Eltern und andere für die Mathematik gewinnen und damit indirekt Kinder in diesem Fach unterstützen.

Zu diesem Buch gibt es die Homepage

www.mathe-fuer-eltern.de

Sie richtet sich an Eltern, die mit ihren Kindern Mathematik treiben wollen. Wenn Sie fachliche oder fachdidaktische Fragen haben – hier bekommen Sie professionelle Antworten! Auch Fragen zu den Inhalten dieses Buchs sind willkommen. Sie können diese über ein Kontaktformular abschicken.

Sie erhalten entweder persönlich per E-Mail oder auf der Homepage mit Texten, Grafiken, Audiodateien und Videoclips Antworten. Schauen Sie einfach mal rein!

Wenn Sie weiterlesen wollen, können Sie das Buch »Grundlagen der Mathematikdidaktik« zur Hand nehmen, das eine renommierte Fachdidaktikerin und der Autor dieses Dummies-Buchs als Begleitlektüre zur einführenden Vorlesung für Lehramtsstudenten und -studentinnen geschrieben haben. Diese weiterführenden Texte könnten Sie interessieren. Sie enthalten zahlreiche interessante und originelle Beispiele.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Einleitung

Törichte Annahmen über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Was Sie nicht lesen müssen

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Konventionen in diesem Buch

Teil I: Zahlen und ihre Darstellung

Kapitel 1: Was sind überhaupt Zahlen?

Natürliche Zahlen und ihre Darstellung

Zahlsysteme und Zahldarstellungen

Kapitel 2: Besondere natürliche Zahlen

Primzahlen und Teilbarkeit

Zahlenmuster

Kapitel 3: Zahlbereichserweiterungen

Brüche

Negative Zahlen

Irrationalität

Teil II: Rechnen mit Zahlen

Kapitel 4: Rechnen mit natürlichen Zahlen

Rechenregeln

Schriftliche Rechenverfahren

Kapitel 5: Rechnen mit rationalen und irrationalen Zahlen

Negative Zahlen

Brüche

Dezimalbrüche

Irrationale Zahlen

Teil III: Rechnen mit Buchstaben: Variablen, Terme und Gleichungen

Kapitel 6: Variablen

Platzhaltervorstellung

Rechenzahlaspekt

Einsetzungsaspekt

Kapitel 7: Terme und Termumformungen

Der Begriff »Term«

Termnamen

Konstante, lineare und quadratische Terme

Verschiedenartige Terme

Termumformungen

Kapitel 8: Potenzen mit rationalen Exponenten

Gesetze für Potenzen mit natürlichen Exponenten

Erweiterung des Potenzbegriffs

Umkehrung von Potenzen

Kapitel 9: Gleichungen

Das Gleichheitszeichen

Weitere wichtige Begriffe

Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen

Verhältnisgleichungen

Teil IV: Größen und Einheiten

Kapitel 10: Grundprinzip des Messens

Was bedeutet Messen?

Länge

Flächeninhalt

Rauminhalt (Volumen)

Kapitel 11: Rechnen mit Größen

Addition und Subtraktion

Multiplikation und Division

Teil V: Funktionen und ihre Graphen

Kapitel 12: Funktionaler Zusammenhang

Zuordnungen

Kovariation

Kapitel 13: Proportionalitäten und Prozentrechnung

Proportionalitäten

Prozentrechnung

Kapitel 14: Funktionsgraphen

Koordinatensystem

Qualitative Graphen

Quantitative Graphen

Graphen spezieller Funktionen

Graphen zu Messdaten

Kapitel 15: Mathematische Modellierung

Modellbildung

Modelle mit geschätzten Werten

Modelle aus Messdaten

Prognosen

Teil VI: Mathematische Probleme und Sachaufgaben

Kapitel 16: Problemlösen

Mathematische Probleme

Problemlösen lernen

Heuristische Strategien

Kapitel 17: Sprache in der Mathematik

Lesen, Sprechen und Schreiben

Textaufgaben

Teil VII: Top-Ten-Teil

Kapitel 18: 10 Irrtümer über Mathematik

Mathematik bedeutet vor allem Rechnen.

Aufgaben haben immer eine eindeutig richtige Lösung.

In Mathematik kann man nur selten selbst auf Lösungswege kommen.

In Mathematik muss man sehr viele Formeln lernen.

Eine mathematische Aussage muss in einer formalen Zeichensprache formuliert sein.

Mathematiker sind kleinlich und reklamieren jede kleine Ungenauigkeit.

Mathematik ist ein Buch mit sieben Siegeln – nicht jedermanns Sache.

Wer Probleme hat, muss eben mehr üben.

Mathematik ist eine uralte Wissenschaft, die sich seit Jahrhunderten kaum entwickelt hat.

Matheunterricht bräuchte mehr Praxisbezug.

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1: Drei Mengen mit gleicher Elementeanzahl Illustrationen: © dlyastokiv....

Abbildung 1.2: Eine Schafherde ohne und mit »Bündelung« Illustration Schaf:...

Abbildung 1.3: Stellenwerttafel

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Muster mit Streichhölzern

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Kreisdarstellung und Rechtecksdarstellung des Bruchs

Abbildung 3.2: Beispiele für Darstellungen des Bruchs

Abbildung 3.3: Umrechnung in einen Dezimalbruch

Abbildung 3.4: Zahlenstrahl und Zahlengerade

Abbildung 3.5: Quadrat mit doppelter Seitenlänge

Abbildung 3.6: Quadrat mit doppeltem Flächeninhalt

Abbildung 3.7: Quadratwurzel aus 2 am Zahlenstrahl

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Zwei Subtraktionsverfahren

Kapitel 5

Abbildung 5.1: Darstellungen der Summe

Abbildung 5.2: Bruchmultiplikation, Von-Ansatz

Kapitel 6

Abbildung 6.1: Boxenmodell

Abbildung 6.2: Quadratmuster, erste (

) und zweite (

) Figur

Abbildung 6.3: Quadratmuster, drei verschiedene Lösungsideen

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Boxenmodell zu

Abbildung 9.2: Boxenmodell zu

Abbildung 9.3: Ähnliche Dreiecke

Abbildung 9.4: Mittenlinie im Dreieck

Abbildung 9.5: Mittendreieck

Abbildung 9.6: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Abbildung 9.7: Daumensprung

Abbildung 9.8: Höhenmessung mit dem Jakobsstab

Abbildung 9.9 Bestimmung der Entfernung eines nahegelegenen Sterns

Abbildung 9.10: Pythagorasfigur

Abbildung 9.11: Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck

Abbildung 9.12: Ähnlichkeit eines Teildreiecks zum Ausgangsdreieck

Abbildung 9.13: Vergleich zweier DIN-Blätter

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Länge des Umfangs – Flächeninhalt

Abbildung 10.2: Flächeninhalt bei halbierter Seitenlänge

Abbildung 10.3: Flächenmessung beim Rechteck – frei gewählte Einheit

Abbildung 10.4: Flächenmessung beim Rechteck – Einheitsquadrate

Abbildung 10.5: Flächenmessung beim Rechteck – Variation der Einheitsquadrate

Abbildung 10.6: Flächeneinheiten

Abbildung 10.7 Flächeninhalt Parallelogramm – Verschiebung eines Dreiecks

Abbildung 10.8: Flächeninhalt Parallelogramm – Messung

Abbildung 10.9: Würfel aus Würfeln

Abbildung 10.10: Quadervolumen – erste Ebene

Kapitel 12

Abbildung 12.1: Drei Übertragungsschritte bei Infektionen unter vereinfachten Annahmen

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Direkte Proportionalität – Berechnung von Preisen

Abbildung 13.2: Direkte Proportionalität – Vielfache

Abbildung 13.3: Direkte Proportionalität – Additivität

Abbildung 13.4: Dreieck als Eselsbrücke

Abbildung 13.5: Grundaufgabe mit dem von-Ansatz

Kapitel 14

Abbildung 14.1: Kartesisches Koordinatensystem

Abbildung 14.2: Portionsweises Füllen eines zylinderförmigen Gefäßes

Abbildung 14.3: Gleichmäßiges Füllen eines zylinderförmigen Gefäßes

Abbildung 14.4: Gleichmäßiges Füllen eines kegelförmigen Gefäßes

Abbildung 14.5: Füllgraph zu einem unbekannten Gefäß

Abbildung 14.6: Kugelförmiges Gefäß im Querschnitt

Abbildung 14.7: Links: Mögliche Gefäßform zum Graphen in Abbildung 14.5; rechts: Füllgraph...

Abbildung 14.8: Graph zu einer Bewegung

Abbildung 14.9: Berechnete Werte zu

im Koordinatensystem

Abbildung 14.10: Kontinuierliche Werte

Abbildung 14.11: Graphen von direkten Proportionalitäten mit unterschiedlichen Werten für den...

Abbildung 14.12: Direkte Proportionalität zeichnen

Abbildung 14.13: Verschiebung des Graphen einer Proportionalität

Abbildung 14.14: Graph einer linearen Funktion – Steigungsdreieck

Abbildung 14.15: Indirekte Proportionalität

. Links Punkte aus der Wertetabelle; rechts...

Abbildung 14.16: Normalparabel mit Verschiebungen in

-Richtung

Abbildung 14.17: Parabeln für

,

und

Abbildung 14.18: Nullstellen der Funktion

bei

und

Abbildung 14.19: Graphen der Exponentialfunktion für die Basen 2 und

Abbildung 14.20: Graphen von Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion zur Basis 2

Abbildung 14.21: Gemeldete Fallzahlen nach Tagen seit Beginn der Aufzeichnung

Abbildung 14.22: Gemeldete Fallzahlen nachTagen seit Beginn der Aufzeichnung, logarithmi...

Kapitel 15

Abbildung 15.1: Messwerte Kreisumfang

Abbildung 15.2: Kreisumfang – Proportionalität, Steigung

Abbildung 15.3: Lebenserwartung einiger Tiere in Abhängigkeit von der Herzfrequenz

Kapitel 16

Abbildung 16.1: Sektempfang

Orientierungspunkte

Cover

Titelblatt

Impressum

Über den Autor

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Fangen Sie an zu lesen

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

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Einleitung

In dieser Einleitung erfahren Sie etwas über Aufbau, Inhalte und Grundideen dieses Buchs. Es werden auch die verwendeten Symbole erklärt.

Törichte Annahmen über den Leser

Wenn Sie dieses Buch gekauft haben,

sind Sie vielleicht eine verzweifelte Mutter oder ein überforderter Vater und wollen Ihrem Kind trotzdem bei den Matheaufgaben helfen,

standen Sie in der Schule selbst mit Mathe auf Kriegsfuß oder haben sehr viel vergessen,

sind Sie einfach an Mathe interessiert und wollen über einige schöne Beispiele nachdenken.

Wie auch immer, Sie sollen mithilfe dieses Buchs spüren, dass Mathe Freude bereiten kann oder wenigstens verstehen, warum es Menschen gibt, die gerne Mathe treiben.

Übrigens: Denken Sie doch einmal darüber nach, für welche Tätigkeiten man das Wort »treiben« verwendet. Meist machen sie Spaß!

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch hat sieben Teile, die jeweils in mehrere Kapitel untergliedert sind. Wundern Sie sich nicht, es wird nur ein Teil des Unterrichtsstoffs der Sekundarstufe behandelt, nämlich Arithmetik, Algebra und ein paar Grenzbereiche zur Geometrie. Mehr wäre zu viel für ein Buch gewesen. Die ausgewählten Gebiete sind erfahrungsgemäß gerade diejenigen, die am häufigsten Probleme bereiten und in denen es Schülerinnen und Schülern oft an Grundvorstellungen mangelt.

Teil I: Zahlen und ihre Darstellung

Teil I beschäftigt sich mit der vermeintlich simplen Frage, was Zahlen sind und wie man sie darstellen kann.

In Kapitel 1 beginnen wir mit den natürlichen Zahlen. Mit natürlichen Zahlen gibt man zum Beispiel an, wie viele Schafe eine Herde hat (mathematisch ausgedrückt: wie viele Elemente eine Menge von Schafen hat). In unserem Kulturkreis schreibt man Zahlen mit Ziffern im Dezimalsystem. Diesem liegen zwei grundlegende Prinzipien zugrunde: das Prinzip der Bündelung und das Stellenwertprinzip.

Die Mathematik wird oft als die »Wissenschaft von den Mustern« bezeichnet. Einen Eindruck davon können Sie bekommen, wenn Sie die Zahlenmuster in Kapitel 2 betrachten. Kapitel 2 beschäftigt sich außerdem mit Primzahlen. Sie werden sehen, dass Primzahlen für die natürlichen Zahlen eine Art Grundbausteine sind – wie die chemischen Elemente für den Aufbau der Materie. In Kapitel 2 finden Sie einen besonders schönen Beweis für die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

In Kapitel 3 kommen Brüche, negative und irrationale Zahlen ins Spiel. Mit diesen Zahlen sind Vorstellungsumbrüche verbunden, die manchmal für Schwierigkeiten sorgen. Zum Beispiel müssen sich Schülerinnen und Schüler von der Idee verabschieden, dass es zu einer Zahl eine nächstgrößere oder nächstkleinere gibt.

Teil II: Rechnen mit Zahlen

In Teil II geht es um das grundlegende Handwerkszeug der Mathematik, nämlich um Rechenregeln und -verfahren.

In Kapitel 4 wiederholen Sie die Regeln für die Grundrechenarten bei natürlichen Zahlen und sehen, wie sich die beiden gebräuchlichsten Verfahren für die schriftliche Subtraktion unterscheiden.

Rechnen mit rationalen und irrationalen Zahlen wird in Kapitel 5 behandelt. Hier gibt es ein paar Stolperschwellen zu beachten.

Teil III: Rechnen mit Buchstaben: Variablen, Terme und Gleichungen

Der umfangreiche Teil III ist der Algebra gewidmet. Algebra ist einer der bedeutendsten Teilbereiche der Schulmathematik. Hier werden entscheidende Grundlagen für die höheren Klassenstufen und darüber hinaus gelegt.

In Kapitel 6 lernen Sie verschiedene Sichtweisen zum Begriff der Variablen kennen. Dies gehört zum Kern der Mathematik in Schule und Wissenschaft. Viele Probleme haben ihre Ursache in fehlendem Verständnis für Variablen.

Rechnet man mit Buchstaben, so bedeutet das, Terme zu verwenden und umzuformen. Darum geht es in Kapitel 7.

In Kapitel 8 erfahren Sie, was Potenzen sind – und zwar sogar allgemeine Potenzen, das heißt auch solche, deren Exponenten (Hochzahlen) negative Zahlen oder Brüche sind.

Kapitel 9 ist das längste Kapitel in diesem Buch. Auch in der Schule wird dem Lösen von Gleichungen viel Raum gegeben, schließlich handelt es sich um das Herzstück der Algebra. Wie auch an anderer Stelle werden Bezüge zur Geometrie deutlich.

Teil IV: Größen und Einheiten

In Sachaufgaben geht es meist um Größen. Das können Zeitspannen, Gewichte, Geldbeträge, aber auch geometrische Größen sein.

In Kapitel 10 wird zunächst geklärt, was man unter einer Messung versteht. Dies ist eine Grundlage für die weiteren Überlegungen und unterstützt das Verständnis beim Umgang mit Größen.

Beim Rechnen mit Größen gibt es einige Besonderheiten und Fallstricke. Damit beschäftigt sich Kapitel 11.

Teil V: Funktionen und ihre Graphen

Mit Funktionen wird beschrieben, wie verschiedene Größen voneinander abhängen. Wie sich also eine Größe ändert, wenn eine andere variiert wird. Dafür gibt es zahlreiche Anwendungen. Um die Grundlagen zu verstehen, ist es aber auch sinnvoll, kontextfreie Beispiele zu bearbeiten.

Zunächst bietet Kapitel 12 eine Einführung in die Thematik, in der bereits drei relativ anspruchsvolle Beispiele vorkommen.

Kapitel 13 beschäftigt sich mit einfachen Funktionen, den Proportionalitäten. Eine besonders wichtige Anwendung ist die Prozentrechnung, die ausführlich behandelt wird.

Funktionen können in verschiedenen Darstellungsweisen repräsentiert sein. Es gibt zum Beispiel Wertetabellen, Funktionsgleichungen und Graphen. Letztere sind Thema in Kapitel 14. Am Graphen lassen sich die wesentlichen Informationen besonders leicht ablesen und interpretieren. Dies gilt insbesondere auch für funktionale Zusammenhänge, für die keine Funktionsgleichung bekannt ist.

In Kapitel 15 wird erläutert, was mit mathematischem Modellieren gemeint ist. Das hat nichts mit Tonfiguren oder Modellflugzeugen zu tun, sondern mit der mathematischen Bearbeitung von Sachverhalten aus dem Alltag. Erfolgreiche Modellierung gemessener Daten kann Prognosen für Werte ermöglichen, die nicht gemessen wurden.

Teil VI: Mathematische Probleme und Sachaufgaben

Mathematisch gebildete Menschen haben Vorteile auf dem Arbeitsmarkt, weil sie als gute Problemlöser gelten. Im letzten fachlichen Teil dieses Buchs gibt es Anregungen dafür, wie man lernen kann, Probleme zu lösen. Dabei spielt auch die Sprache eine wichtige Rolle, weil man, um Probleme lösen zu können, Texte verstehen und formulieren muss.

In Kapitel 16 geht es um die Frage, welche Hilfsmittel und Strategien beim Problemlösen helfen können. Macht man sich bewusst, welche Strategien bei bestimmten Problemen besonders erfolgreich sind, erleichtert das die Bearbeitung neuer Aufgaben.

Die Bearbeitung von Textaufgaben erfordert sprachliche Kompetenzen. Zwar gibt es keine Rezepte, aber einige unterstützende Anregungen sind in Kapitel 17 zu finden.

Teil VII: Top-Ten-Teil

Eine Liste von zehn Irrtümern über Mathematik rundet dieses Buch ab. Sie werden sehen, dass es eigentlich weniger um die Irrtümer geht, sondern vielmehr um ein paar damit verknüpfte Gedanken, die zeigen, warum Mathematik so toll ist.

Was Sie nicht lesen müssen

Natürlich will ich Sie eigentlich dazu animieren, das Buch ganz zu lesen. Aber das muss nicht sein. Es gibt Stellen, die eher in die Tiefe gehen und für das Gesamtverständnis nicht zwingend erforderlich sind. Sie sind an dem Techniker-Symbol erkennbar oder in grau hinterlegten Kästen untergebracht.

Sie müssen das Buch auch nicht Seite für Seite von vorne bis hinten lesen. Blättern Sie durch, suchen Sie im Inhaltsverzeichnis oder bei den Stichworten nach Themen, die Sie interessieren. Vielleicht tut es Ihnen auch gut, wenn Sie zwischendurch Pausen machen und das Buch eine Weile weglegen.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Insgesamt werden in diesem Buch fünf Symbole verwendet.

Dieses Symbol steht für ein ausführliches Beispiel. Kurze Beispiele gibt es zwar auch, sie werden aber nicht extra hervorgehoben. Da es viele Beispiele in diesem Buch gibt, werden Sie dem Symbol oft begegnen.

An manchen Stellen wird eine mathematische Definition formuliert. Die Lupe weist darauf hin. Sie wurde sehr sparsam verwendet.

Mit diesem Symbol sind kurze zusammenfassende Texte markiert, die Sie sich merken sollten. Sie enthalten die zentrale Botschaft eines Abschnitts oder gar eines ganzen Kapitels.

In der Mathematik gibt es bekanntlich einige Fallgruben und typische Fehler. In diesem Buch werden sie nicht nur benannt und mit dem explodierenden Stern gekennzeichnet, sondern Sie bekommen auch Vorschläge zur Behebung oder Vermeidung solcher Stolperstellen.

Mit dem Techniker-Symbol sind Stellen markiert, an denen es mathematisch in die Tiefe geht. Meist handelt es sich um Begründungen mathematischer Aussagen. Um die wesentlichen Gedanken des Buchs zu verstehen, muss man diese Texte nicht unbedingt lesen.

Konventionen in diesem Buch

Vieles erklärt sich selbst, aber folgende Vereinbarung soll das Lesen erleichtern: Kursiv sind neue Begriffe und Variablen – wie  – geschrieben.

Teil I

Zahlen und ihre Darstellung

IN DIESEM TEIL …

erfahren Sie etwas über Zahlen und über Zahlaspekteklären Sie, was Zahlen überhaupt sind oder besser sein könntenbefassen Sie sich mit allen Zahlbereichen, die in der Schule vorkommen

Kapitel 1

Was sind überhaupt Zahlen?