Over getallen gesproken - Talking about numbers E-Book

Maarten Looijen

• Herausgeber: Van Haren Publishing
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Niederländisch

Seitenzahl: 1091

Veröffentlichungsjahr: 2016

Beschreibung

Wilt u iets weten over getallen? De auteur neemt u in deze 4de, herziene druk mee op de voortzetting van zijn persoonlijke ontdekkingsreis in de getaltheorie. 757 getallenverzamelingen geven een indrukwekkend beeld van getallen die voor veel mensen onbekend zijn. Veel worden er dagelijks gebruikt en toegepast zonder dat we ons dat bewust zijn. Ze spelen een rol in wetenschap en samenleving. Een intensieve ontdekkingsreis heeft ze ontsloten, in alfabetische volgorde geplaatst, verklaard en voorzien van interessante toevoegingen. Apart wordt aandacht besteed aan getallen met verrassende eigenschappen en aan Bijbelse getallen met wiskundige relaties. Om het boek voor een breed publiek toegankelijk te maken zijn de beschrijvingen zowel in het Nederlands als in het Engels gegeven. Kortom een boeiende en leerzame wereld wordt geopend, waar getallen het voor het zeggen hebben. Do you want to meet the colourful aspects of numbers? In this 4th , revised edition the author takes you on his further voyage of discovery in number theory. 757 number sets provide an impressive illustration of numbers that are unknown to many people. Yet many are used and applied on a daily basis without us being aware of it. They play an essential role in science and society. During the intensive voyage of discovery these number sets have been collected, placed in alphabetical order, explained and provided with interesting additions. Separate attention is paid to numbers with surprising characteristics and to Biblical numbers with mathematical relationships. To make the book accessible for a wide audience, descriptions are given in Dutch and English. In short, a fascinating and informative world opens up where numbers have the lead.

Leseprobe

Over getallen gesproken

Een wiskundige ontdekkingsreis

3de, herziene druk

Talking about numbers

A mathematical voyage of discovery

3rd, revised edition

Andere uitgaven bij Van Haren Publishing

Van Haren Publishing (VHP) is gespecialiseerd in uitgaven over Best Practices, methodes en standaarden op het gebied van de volgende domeinen:

- IT en IT-management;

- Enterprise-architectuur;

- Projectmanagement, en

- Businessmanagement.

Deze uitgaven zijn beschikbaar in meerdere talen en maken deel uit van toonaangevende series, zoals Best Practice, The Open Group series, Project management en PM series.

Van Haren Publishing is tevens de uitgever voor toonaangevende instellingen en bedrijven, onder andere: Agile Consortium, ASL BiSL Foundation, CA, Centre Henri Tudor, Gaming Works, IACCM, IAOP, IPMA-NL, ITSqc, NAF, KNVI, PMI-NL, PON, The Open Group, The SOX Institute.

Onderwerpen per domein zijn:

IT and IT Management

ABC of ICT

ASL®

CATS CM®

CMMI®

COBIT®

e-CF

ISM

ISO/IEC 20000

ISO/IEC 27001/27002

ISPL

IT4IT®

IT-CMFTM

IT Service CMM

ITIL®

MOF

MSF

SABSA

SAF

SIAMTM

TRIM

VersiSMTM

Enterprise Architecture

ArchiMate®

BIAN

GEA®

Novius Architectuur Methode

TOGAF®

Business Management

BABOK ® Guide

BiSL® and BiSL® Next

BRMBOKTM

BTF

EFQM

eSCM

FSM

IACCM

ISA-95

ISO 9000/9001

OPBOK

SixSigma

SOX

SqEME®

Project Management

A4-Projectmanagement

DSDM/Atern

ICB / NCB

ISO 21500

MINCE®

M_o_R®

MSP®

P3O®

PMBOK ® Guide

Praxis®

PRINCE2®

Voor een compleet overzicht van alle uitgaven, ga naar onze website: www.vanharen.net

Colofon

Titel/Title : Over getallen gesproken / Talking about numbers

Ondertitel/Subtitle : Een wiskundige ontdekkingsreis /A mathematical voyage of discovery

Auteur/Author : Prof. Dr. Ir. Maarten Looijen

Uitgever/Publisher : Van Haren Publishing, ’s-Hertogenbosch, www.vanharen.net

Vormgeving/Design: Mitsgaders Den Haag, Nederland /Mitsgaders The Hague, The Netherlands

ISBN : Hard copy: 978 94 018 0028 0

eBoek: 978 94 018 0601 5

Druk/Edition : 3de, herziene druk / 3rd revised edition, December 2018

2de, herziene druk / 2nd revised edition, December 2016

1e druk / First edition, December 2015

Copyright : © Van Haren Publishing, 2018

Neem voor vragen omtrent de inhoud contact op met de auteur Maarten Looijen via [email protected]

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden vermenigvuldigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke andere wijze ook, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Hoewel deze uitgave met de grootst mogelijke zorg is opgesteld, kan noch de auteur, noch de editor, noch de uitgever enige aansprakelijkheid aanvaarden voor schade voortvloeiend uit fouten of onvolkomenheden in de tekst.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced in any form by prints, photo-prints, microfilm or any other means without written permission by the publisher. Although this publication has been composed with much care, neither author, nor editor, nor publisher can accept any liability for damage caused by possible errors and/or incompleteness in this publication.

Inhoudsopgave

Deel I

1. Verantwoording

2. Woord vooraf

2.1 Waar gaat het over?

2.2 Wat is getaltheorie?

2.3 Hoe verliep de ontdekkingsreis?

2.4 Wat te presenteren?

2.5 Hoe te presenteren?

2.6 Vanwaar mijn belangstelling voor getaltheorie?

2.7 Voor wie bestemd?

2.8 Met dank aan

2.9 2de, herziene druk

2.10 3de, herziene druk

Deel II

3. Wijsheid gaat vooraf aan getallen Sapienta postea scientia

4. Basisgetallen en talstelsels

4.1 Basisgetallen

4.2 Talstelsels

5. De wiskundigen

5.1 De Vaders van …

5.2 De wiskundigen naar land

6. Wiskundige terminologie

6.1 Numerieke tekens

6.2 Figuratieve getallen

6.3 Regelmatige veelhoeken

6.4 Regelmatige sterveelhoeken

6.5 Definities en formele notaties

6.6 Het Griekse alfabet

Deel III

7. De getallen in alfabetische volgorde

Voor index ‘De getallen in alfabetische volgorde’ zie pagina 632.

8. Bijzondere getallen

8.1 Verzameling Top 12

8.2 Verzameling 0, 1, √

8.3 Verzameling π

8.4 Verzameling dag

8.5 Verzameling e

8.6 Verzameling verhouding

8.7 Verzameling temperatuur

8.8 Verzameling getal

8.9 Verzameling universum

8.10 Verzameling opdracht

8.11 Verzameling rekenkunde

8.12 Verzameling constante

9. Bijbelse getallen

9.1 Het Hebreeuwse alfabet

10. Finale

Deel IV

11. Referenties

12. Over de auteur

13. Index ‘De getallen in alfabetische volgorde’

Contents

Part I

1. Justification

2. Introduction

2.1 What is the topic of this book?

2.2 What is number theory?

2.3 What kind of voyage of discovery was undertaken?

2.4 What to present?

2.5 How to present?

2.6 Where does my interest in number theory come from?

2.7 Addressed to whom?

2.8 Thanks to

2.9 2nd, revised edition

2.10 3rd, revised edition

Part II

3. Wisdom is preceding numbers Sapienta postea scientia

4. Basic numbers and numeral systems

4.1 Basic numbers

4.2 Numeral systems

5. The mathematicians

5.1 The Fathers of …

5.2 The mathematicians by country

6. Mathematical terminology

6.1 Numerical signs

6.2 Figurative numbers

6.3 Regular polygons

6.4 Regular star polygons

6.5 Definitions and formal notations

6.6 The Greek alphabet

Part III

7. The numbers in alphabetical order

For index ‘numbers in alphabetical order’ on page 652.

8. Special numbers

8.1 Set Top 12

8.2 Set 0, 1, √

8.3 Set π

8.4 Set day

8.5 Set e

8.6 Set ratio

8.7 Set temperature

8.8 Set number

8.9 Set universe

8.10 Set assignment

8.11 Set arithmetic

8.12 Set constant

9. Biblical numbers

9.1 The Hebrew alphabet

10. Final

Part IV

11. References

12. About the author

13. Index ‘The numbers in alphabetical order’

Deel I

Deel I omvat de hoofdstukken 1 en 2 en beantwoordt vragen met betrekking tot het wat, het waarom en het hoe van de ontdekkingsreis.

Hoofdstuk 1 is een verantwoording en stelt nadrukkelijk dat de inhoud van het boek een vertegenwoordiging is van vele wiskundigen die hun ontdekkingen en uitwerkingen hebben gepubliceerd om anderen daarvan kennis te doen nemen.

Hoofstuk 2 omvat, in logische volgorde, zeven vragen met aansluitende antwoorden om het waarom en het hoe van de ontdekkingsreis tot uitdrukking te brengen, namelijk:

- Waar gaat het over?

- Wat is getaltheorie?

- Hoe verliep de ontdekkingsreis?

- Wat te presenteren?

- Hoe te presenteren?

- Vanwaar mijn belangstelling voor getaltheorie?

- Voor wie bestemd?

Na het laatste antwoord is er een Met dank aan.

Part I

Part I includes the chapters 1 and 2 and answers questions concerning the objective of the voyage of discovery and the way it happened.

Chapter 1 is a justification and emphatically states that the contents of the book represents many mathematicians who published their discoveries and results to inform people all over the world.

Chapter 2 presents, in logical sequence, seven questions and matching answers concerning why this book and how passed the voyage of discovery. These questions are as follows:

-What is the topic of this book?

-What is number theory?

-What kind of voyage of discovery was undertaken?

-What to present?

-How to present?

-Where does my interest in number theory came from?

-Addressed to whom?

After the last answer follows Thanks to.

1. Verantwoording

De inhoud van dit boek is een weergave van het werk van vele wiskundigen en geïnteresseerden in getaltheorie. In de loop van de jaren is de getaltheorie in tal van boeken en artikelen wereldkundig gemaakt. Met de komst van het internet hebben de getallen ook op websites een plaats gekregen. Zodoende is een grote spreiding ontstaan van de getallen, hun omschrijvingen en hun toepassingen. Voor mij was het een persoonlijke uitdaging om een redelijk overzicht te maken en inzicht te geven vanuit die enorme gevarieerde spreiding van getallen. Daarbij heb ik uiteraard zelf keuzes gemaakt en voorbeelden toegevoegd ter verheldering, maar ik ben steeds uitgegaan van het werk van anderen. Het is wellicht overbodig om op te merken dat dit gepaard is gegaan met veel zoektijd en het maken van keuzes wat wel en wat niet te presenteren. Persoonlijke interesse stond voorop, gevolgd door mijn grote waardering voor het werk van vele wiskundigen.

De realiteit in beschouwing nemend merk ik dat het foutloos weergeven van de vele resultaten van de wiskundige ontdekkingsreis een illusie is. Toch concludeer ik dat de voorkomende fouten geen onoverkomelijke barrière vormen om van het resultaat met plezier kennis te nemen en zo mogelijk ook te bestuderen.

Ik wens u een plezierige en verrassende ontdekkingsreis.

Maarten Looijen

1. Justification

The contents of this book is a reflection on the work of many mathematicians from all over the world and those who are interested in number theory. In the course of a great number of years number theory is done and spread over books and articles which total can hardly be overseen. The advent of the internet and other phenomena offered an unlimited warehouse for number storage in the form of websites.

It was a challenge for me to create a reasonable overview of and insight in the enormous varied number spread. Personal choices were made and examples and illustrations were added if necessary, but always based on the work and results of others. It might be unnecessary to note that a huge search had to be undertaken to get the right data and to make choices about final presentations. Personal interest for number theory and a great appreciation for the founders formed the basis of this work. The reality is that faultless copying all results of the mathematical voyage of discovery is a mission impossible. Still, I conclude that the common errors are not impassable problems to take pleasure of the outcome and also to study if possible.

I wish you a most pleasant voyage of discovery.

Maarten Looijen

2. Woord vooraf

2.1 Waar gaat het over?

Gelet op de titel is deze eerste vraag niet moeilijk om met zekerheid te beantwoorden. Het gaat over getallen. Van jongs af aan leren we de getallen 1 tot en met 10 en daarna volgen er nog veel meer. Ze spelen een belangrijke rol in het spreken en in het schrijven, in de communicatie tussen mensen en in het economische leven. En waar eigenlijk niet? Iedereen heeft er mee te maken. Het zijn de natuurlijke getallen en ze vormen een oneindige verzameling. Noem een willekeurig getal, tel er 1 bij op en je hebt weer een volgend getal. Dat is gemakkelijk te begrijpen en wellicht voor nagenoeg iedereen. Ook zullen velen wel weten wat een priemgetal is. Maar dan komt een volgende vraag. ‘Hoe luidt de verzameling van de irrationale getallen en kent u enkele transcendente getallen?’. Het antwoord daarop zal vaak achterwege blijven. Wordt echter het getal π genoemd dan is dat voor velen geen onbekend getal, maar dat het deel uitmaakt van de verzameling irrationale getallen is een nieuwtje. En wat te denken van de getallen e en i. Om het nog wat uitgebreider te maken wordt gevraagd of men wel eens gehoord heeft van Quaternionen, van Euler getallen, van Narcistische getallen en van Catalan getallen. In het algemeen zal hierop ontkennend worden gereageerd. En dan te bedenken dat er alleen al in dit boek 619 verzamelingen van getallen vermeld worden en ook vele bijzondere getallen. Ze hebben elk eigen kenmerken en de namen van vele internationale wiskundigen zijn er aan verbonden. Theorie en praktijk hebben ervoor gezorgd dat de totale verzameling getallen boeiend en verrassend is. Het maakt deel uit van de zogeheten getaltheorie.

2.2 Wat is getaltheorie?

Traditioneel behoort getaltheorie tot de zuivere wiskunde die de eigenschappen van de gehele getallen bestudeert. Zuivere wiskunde duidt op het studiedomein van wiskundigen die voorkeur geven aan de uitbreiding of detaillering van wiskundige inzichten en methoden. Ze plaatsen dit boven of naast de rechtstreekse toepassing van de wiskunde. Daarmee wordt geen nieuwe tak van de wiskunde bedoeld, maar een meer algemene manier om wiskunde te benaderen en te bedrijven.

Getaltheorie is onder te verdelen in verschillende gebieden, waaronder elementaire getaltheorie, meetkundige getaltheorie, numerieke getaltheorie, priemgetal theorie en Islamitische getaltheorie. Getaltheorie heeft oude papieren en voert terug naar India, Griekenland en Egypte, om slechts enkele landen te noemen. Voor heel oude papieren is te verwijzen naar de delen 7 - 9 van de Elementen van Euclides van Alexandrië (365 – 300 BC).

Rond het begin van de 19e eeuw begint de zogeheten moderne getaltheorie en de priemgetaltheorie, gevolgd door 20e eeuw ontwikkelingen. Met de komst van de computer ontwikkelt zich de toegepaste getaltheorie. Een toepasbaarheidsgebied dat daartoe behoort, is de publieke-sleutel cryptografie waar het RSA (genoemd naar Rivest, Shamir en Adleman) cryptosysteem en de elliptische kromme gebruik van maken. Een ander toepasbaarheidsgebied van de toegepaste getaltheorie betreft de Residu Getal Systemen (RGS). De systemen representeren zeer grote getallen. Door gebruik te maken van verzamelingen van kleinere getallen, zijn berekeningen efficiënter door te voeren.

Getaltheorie behoorde tot het domein van prof. dr. H.J.A. Duparc (1918 – 2002), hoogleraar aan de Technische Universiteit Delft. Hij had een veelbewogen leven waarin het Jappenkamp en het werken aan de beruchte Birmaspoorweg tijdens de Tweede Wereldoorlog hem niet gespaard zijn gebleven. Weer in Nederland promoveerde hij bij prof. dr. J. G. van der Corput op het proefschrift Diversibility Properties of Recurring Sequences. Het betrof recurrente rijen met onder meer de eigenschap om op systematische wijze opvolgende waarden van een functie te berekenen vanuit een gegeven initiële waarde. De Fibonacci rij is een eenvoudig voorbeeld van een recurrente rij. Het onderwerp zou hem blijven boeien. Zijn grote affiniteit tot getallen en cijferreeksen, naast andere wiskundige onderwerpen, hebben hem een grote naam gegeven. Zijn colleges en het examen getaltheorie bij hem op de kamer waren voor mij een bijzondere en blijvende ervaring. Hij maakte verder ‘naam’ toen hij zich, vanwege ontwikkelingen rond de Tweefasenstructuur van het wetenschappelijk onderwijs in Nederland, uit protest liet ontvoeren. Dat pakte anders uit dan hij had gedacht. Nederland raakte in rep en roer toen bekend werd dat een Delftse hoogleraar ontvoerd was. Men ging er vanuit dat er sprake was van een gewelddadige ontvoering. Toen het tot hem doordrong wat er gaande was kwam hij weer tevoorschijn.

Op z’n zachtst gezegd werd die gespeelde ontvoering niet door iedereen geapprecieerd en zeker niet door het toenmalige College van Bestuur van de universiteit.

In het begin van 2014 ontstond bij mij het idee om iets van getaltheorie zichtbaar te maken. Met de nadruk op iets. Het aantal wiskundige onderzoeken en publicaties over getallen is zo groot dat het niet te overzien is. Om daarvan het één en ander toch te presenteren moest ik een ontdekkingsreis ondernemen. Deze reis had als doel om zoveel mogelijk getallen uit de getaltheorie te vinden en daarvan het een en ander zo begrijpelijk mogelijk te presenteren. Tegelijkertijd zou het een leerzame exercitie zijn, die veel tijd zou vergen maar ongetwijfeld ook boeiend zou worden.

2.3 Hoe verliep de ontdekkingsreis?

Mijn doel van de reis was om in de eerste plaats zoveel mogelijk getallen en de betekenis ervan te vinden en te begrijpen. In de tweede plaats datgene te selecteren wat mogelijk ook voor anderen interessant en nuttig zou kunnen zijn. De vraag waar de getallen zouden kunnen worden aangetroffen leidde naar drie bronnen en wel:

- het eigen geheugen;

- het papieren geheugen;

- het digitaal geheugen.

Het eigen geheugen heeft in de loop der jaren heel veel getallen, hun beschrijvingen en allerhande informatie over getallen opgeslagen en toegepast. Maar ook is weer veel daarvan vervaagd of zelfs geheel verdwenen en vervangen. Niettemin zijn bij mij veel getallen voorhanden gebleven, mede veroorzaakt door bijzondere interesse en regelmatig of zelfs veelvuldig gebruik. Bovendien is het een bron die naar de andere bronnen verwijst en dan vooral naar het papieren geheugen bestaande uit leer- en lesboeken, wetenschappelijke artikelen en bijzondere verhalen over getallen, de betekenis ervan en waar ze vandaan komen.

Veel literatuur over getallen heb ik in de loop der jaren aangeschaft en gelezen. Daaruit blijkt dat de wereld van de getallen een onbegrensd gebied is. Vele, zo niet alle wiskundigen van alle continenten, zijn er mee bezig geweest of zijn er mee bezig. Op school en in gevorderde wiskunde studies kom je vanzelfsprekend namen van wiskundigen tegen zoals Euler, Gauss, Riemann, Pascal, Pythagoras, Fermat. Ze zijn bekend om hun stellingen die tot op de dag van vandaag worden onderwezen en toegepast. Maar ze zijn ook bekend om hun bijdragen aan de wereld van de getallen. Veel minder of zelfs geheel onbekend zijn Bernoulli, Bell, Carmichael, Cunningham, Fibonacci, Mersenne, Sierpiński, Sophie Germain en nog vele anderen. Ze worden in tal van wiskundige en wetenschappelijke boeken beschreven, maar je kunt ze soms ook tegenkomen in de meer algemene literatuur. Regelmatig heb ik boeken over getallen en getaltheorie geselecteerd, aangeschaft en bestudeerd. Zo maken 78 van deze boeken deel uit van mijn wetenschappelijke bibliotheek. Ze zijn alle in hoofdstuk 11 Referenties vermeld. Enkele titels als voorproefje noem ik hier op voorhand:

-Prime numbers, the Most Mysterious Figures in Math van David Wells;

-The Fabulous Fibonacci Numbers van Posamentier en Lehman;

-Numbers at Work van Taschner;

-The Man Who Loved Only Numbers van Paul Hoffman. The Man is de beroemde Hongaarse wiskundige Paul Erdös;

-The Book of Numbers van John H. Conway en Richard K. Guy.

De meeste literatuur over getallen is Engelstalig. Het reizen door die bron is zo goed als onbeperkt en vaak intensief om te lezen en te zoeken. Elk boek, vermeld in hoofdstuk 11 Referenties, belicht een aantal van de 619 getallenveramelingen uit dit boek. In veel boeken is een gevarieerdheid in getallen zeer gering. Slechts enkele boeken overstijgen een gevarieerdheid van meer dan enkele tientallen getallen. De 78 boeken dekken niet alle 619 getallenverzamelingen af. Wel is te stellen dat het papieren geheugen te kwalificeren is als de bron bij uitstek. Ten slotte is er de derde bron namelijk het digitale geheugen bestaande uit een zeer groot aantal gevarieerde websites.

Een aantal is in hoofdstuk 11 Referenties genoemd. Die heb ik beschouwd als prominenten te midden van honderden andere websites. Het is niet verrassend dat de inhoud van veel websites overeenkomt met of is afgeleid van eerder verschenen wiskundige publicaties.

Met de komst van de computer in het begin van de jaren vijftig van de vorige eeuw is de mogelijkheid gecreëerd om onbeperkte hoeveelheden gegevens op te slaan, te bewaren en te raadplegen. In het begin was dat nog mondjesmaat en werden de aantallen nog uitgedrukt in de grootheden megabytes (106) en gigabytes (109). Thans hebben we het over terabytes (1012), petabytes (1015) en zelfs over exabytes (1018) en wat te denken zettabytes (1021) en yottabytes (1024). Het betreft een onbeperkt geheugen om digitaal getallen en alles daarover op te slaan. En dat is ook gebeurd. Dat hebben uiteraard niet de vele wiskundigen van vóór het computertijdperk gedaan die de getallen met hun eigenschappen hebben ontdekt. Zij moesten het nog doen met het papieren geheugen. Anderen hebben ervoor gezorgd dat de getallen met hun omschrijvingen digitaal zijn opgeslagen. Om in de brij aan gegevens zinvol te kunnen zoeken werden zoekmachines ontwikkeld. Ook was het nodig om een zekere ordering in de opgeslagen gegevens aan te brengen. Dat gebeurde met het plaatsen van de gegevens op websites. Om razendsnel door de digitale getallenwereld te reizen is Google het instrument. Tijdens mijn ontdekkingsreis zijn vele websites bezocht en geanalyseerd. Hoewel dat vele malensneller gaat dan het zoeken en bladeren door boeken is het niettemin, qua tijd, een behoorlijk lange reis geweest. Ook heel verrassend en zelfs verbazingwekkend dat er zoveel gegevens over getallen en daarmee de getaltheorie digitaal voorhanden zijn. Diverse gerubriceerde overzichten van getallen waren zeer welkom om de ontdekkingsreis enige richting en sturing te geven. In het bijzonder zijn te noemen:

-Number Gossip Properties van de Russische Tanya Khovanova en momenteeel wiskundige bij MIT USA;

-Types of Numbers van William Tappe, gepensioneerd USA vliegtuig ingenieur;

- Uiteraard Wikipedia.

Zij hebben de ontdekkingsreis niet alleen qua tijd verlicht, maar ook heel veel inhoud en betekenis aan een groot aantal getallen gegeven. Niettemin bleef er nog heel wat over om te ontdekken en te onderzoeken. Er was geen sprake van één overzicht dat alle getallen uit de getaltheorie presenteerde. De realiteit was er één van grote versnippering.

De ontdekkingsreis was geen eentonige reis. Ik ontdekte 619 getallenverzamelingen en enkele honderden bijzondere getallen. Bovendien was het geen eenzame reis. Zo ontmoette ik 337 wiskundigen verspreid over 38 landen. Van deze wiskundigen kwamen er 27 voor in 2 verschillende landen en zelfs 2 in 3 verschillende landen. ‘Wat ervan te presenteren?’ werd de volgende vraag.

Ik vond dat het ook voor niet-wiskundigen grotendeels leesbaar moest zijn, met een sterke focus op het getal en zijn relaties. Hoe boeiend ook, een inbedding in allerhande wiskundige onderwerpen met verwijzingen naar een onbegrensde hoeveelheid rapporten en publicaties was niet aan de orde. Dat zou trouwens ook een onmogelijke opgave zijn.

2.4 Wat te presenteren?

Na de ontdekkingsreis moesten de getallenverzamelingen en de bijzondere getallen gepresenteerd worden. In de eerste plaats moest het gaan om elke verzameling zo begrijpelijk mogelijk te beschrijven. Relevante formules moesten expliciet worden vermeld. Getallenvoorbeelden dienden de omschrijvingen en de toepassing van formules te illustreren.

Deze wellicht wat cryptische omschrijving is nader toe te lichten met enkele willekeurig gekozen getallenverzamelingen en bijzondere getallen.

- De verzameling Overvloedige getallen. Het betreft alle getallen waarbij de som van de delers, behalve het getal zelf, groter is dan het getal. Zo is 12 een Overvloedig getal want de som van de delers 1, 2, 3, 4 en 6 is 16 en dat is groter dan 12.

- De verzameling van de Perfecte getallen, ook wel volmaakte getallen genoemd. Het betreft de even natuurlijke getallen p als ze van de vorm 2p-1(2p – 1) zijn waarbij 2p – 1 priemgetal is. Ze eindigen op 6 of op 8 en zijn zeldzaam. De rij begint met getal 6 gevolgd door 28. Descartes merkte op dat volmaakte getallen even zeldzaam zijn als volmaakte mensen.

Tot 2013 waren er slechts 48 Perfecte getallen bekend met als grootste 257885160 x (257885161 – 1).

- De verzameling van de Samengestelde getallen. Het betreft alle positieve gehele getallen die minstens tweemaal deelbaar zijn door een priemgetal. Zo is 15 een Samengesteld getal, want het is deelbaar door de priemgetallen 3 en 5. Het betreft de hoofdstelling van de rekenkunde.

- De Moran getallen die gedeeld door de som van hun cijfers een priemgetal opleveren. Een voorbeeld is 3031, want de som van de cijfers is 7 en 3031 gedeeld door 7 is 433 en dat is een priemgetal.

- Eén van de vele bijzondere getallen is 153.

> Het is de som van 13 + 53 + 33

- Voor nog een aantal bijzondere eigenschappen van 153 zie het hoofdstuk over de Bijbelse getallen.

En ter afsluiting nog drie voorbeelden om uit te zien naar alle andere bijzondere getallen:

- 510510: het product van de eerste 7 priemgetallen: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17

- De Gulden Snede: 1/2 · (1 + √5)

- 84: Het getal van Diophantus.

Van de voorbeelden mag niet worden afgeleid dat alle beschrijvingen van deze geringe omvang zijn. Er zijn beschrijvingen die een groot deel van een pagina vullen. Dat zijn er niet veel, maar de lezer is gewaarschuwd. Het positieve ervan is, dat het dan verzamelingen betreft die veel te vertellen hebben.

Uit de grote opsomming van de getallenverzamelingen mag niet worden geconcludeerd dat daarmee een volledig inzicht is gegeven in wat al die verzamelingen precies betekenen. Ze zijn meestal ingebed in omvangrijke wiskundige verhandelingen. De ontdekkingsreis heeft mij dat maar al te goed doen ervaren. Het valt buiten de scope van de doelstelling van deze publicatie om dat alles aan de orde te stellen. Zelfs als ik dat zou hebben willen doen dan was het onbegonnen werk geweest. Waarom deze opmerking? De reden is dat er bij een beperkt aantal getallenverzamelingen wat meer wordt vermeld dan alleen de definitie en enkele getallenvoorbeelden. Die uitbreiding is voornamelijk een gevolg van het interessante karakter van de betreffende verzameling en soms ook vanwege de gecompliceerdheid ervan, die nadere toelichting vereist.

Veel getallen hebben hun naam te danken aan de wiskundigen die ze in hun onderzoek ontdekten of een prominente plaats deden innemen. Het is vanzelfsprekend dat deze wiskundigen met naam worden genoemd, soms vergezeld gaande van enige aanvullende informatie over de persoon en soms ook van anekdotes. Het aantal beschrijvingen en ook de omvang ervan is beperkt gehouden. De vele biografieën, die direct op naam zijn te produceren, geven een schat aan allerhande gegevens waarvan de vermelding hier niet relevant is.

Na het presenteren van 619 getallenverzamelingen volgt een aantal bijzondere getallen. Het is een persoonlijke keuze. Ze spelen een frequente of een zeldzame rol in de wiskunde en in het leven van elke dag. Ze worden gevolgd door een beperkt aantal Bijbelse getallen die wiskundige eigenschappen hebben en relaties met de getallenverzamelingen. Met twee verrassende opgaven wordt de ontdekkingsreis beëindigd.

Nu duidelijk is wat er te presenteren is, ligt de vraag ‘Hoe te presenteren?’ voor de hand.

2.5 Hoe te presenteren?

Het hoe betreft allereerst de getallenverzamelingen, waarna de bijzondere getallen volgen. Elke getallenverzameling begint met vermelding van de naam in het Nederlands én in het Engels. In veel gevallen is die naam hetzelfde of nagenoeg hetzelfde. Dan volgt een omschrijving waaraan de getallen voldoen en de formule of het voorschrift die de bijbehorende getallen bepalen of waaraan ze voldoen. Voorbeelden illustreren de tekst en de toepassing van de formule. Meestal vermeldt een aantal getallen de start, dus het begin van de getallenverzameling. Veel getallenverzamelingen zijn oneindig of worden verondersteld dat te zijn. Andere zijn eindig en in een enkel geval zelfs leeg. Wel wordt dan verondersteld dat er één of meer getallen tot die verzameling behoren, maar welke tot op heden niet zijn ontdekt. De presentatievormen zijn niet alle precies hetzelfde. Dat komt dan door de aard van de getallenverzameling, de noodzaak om meer te beschrijven of dat het niet nodig is om precies volgens een en hetzelfde patroon te presenteren. Deze presentatie is Nederlandstalig.

Zo mogelijk wordt aan een getallenverzameling de naam van de hieraan verbonden wiskundige toegevoegd, de periode dat deze geleefd heeft en zijn of haar nationaliteit. In enkele gevallen wordt nog wat extra informatie toegevoegd. Deze tekst is Engelstalig.

Daarop volgt een herhaling van de gedefinieerde getallenverzameling, maar nu in het Engels. De voorbeelden worden niet altijd herhaald omdat deze vanuit het Nederlands gemakkelijk te begrijpen zijn, dat wordt althans op voorhand verondersteld. Soms is de Engelse tekst uitvoeriger dan de Nederlandse tekst om te voorkomen dat de meer bekende Engelse tekst te veel geweld wordt aangedaan bij vertaling naar het Nederlands. In het algemeen is de Engelse tekst niet een één-opéén vertaling van de Nederlandse tekst en dat geldt uiteraard ook voor het Engels naar het Nederlands. Het heeft het schrijven in twee talen aangenamer gemaakt.

Dan komt de cruciale vraag ‘In welke volgorde worden de getallenverzamelingen gepresenteerd?’ Er zijn verscheidene mogelijkheden, te weten:

- De getallenverzamelingen worden in alfabetische volgorde gepresenteerd. Een getallenverzameling is dan op naam gemakkelijk te vinden. Nadeel is dat er dan met geen enkel aspect rekening wordt gehouden. Alle getallenverzamelingen zijn als het ware van dezelfde soort, wat niet het geval is.

- De getallenverzamelingen worden in willekeurige volgorde gepresenteerd. Enerzijds is dat gemakkelijk te doen, maar anderzijds doet het chaotisch aan. Van gemakkelijk zoeken is geen sprake, er valt slechts te bladeren.

- Er worden twee typen verzamelingen gevormd. De ene verzameling bevat alle getallenverzamelingen waarin het priemgetal domineert. Bij veel getallenverzamelingen doet zich dat voor. De andere verzameling bevat alle andere getallenverzamelingen. In beide verzamelingen zijn de getallenverzamelingen alfabetisch geordend.

- De getallenverzamelingen, waarin het priemgetal dominant is, worden gepresenteerd in zogeheten priemgetallen klassen overeenkomstig Wikipedia. De volgende klassen worden onderscheiden en bij elke klasse worden ter illustratie één of twee getallenverzamelingen genoemd:

> De klasse formule:

- de Mersenne priemgetallen (2p – 1);

- de Pierpont priemgetallen (2u· 3u + 1).

> De klasse integer sequence:

- de Fibonacci priemgetallen reeks: 2, 3, 5, 13, 89, …;

- de Bell reeks: 1, 1, 2, 5, 15, …

> De klasse property:

- de Stern priemgetallen. Een kenmerk is dat ze niet beantwoorden aan een bepaalde vergelijking;

> De klasse base-dependent:

- de Gelukspriemgetallen in het 10-tallig stelsel;

- de Parasitische getallen in het 10-tallig stelsel.

> De klasse patterns:

- de Bi-twin priemgetallen (p – 1, p + 1, …);

- de Sophie-Germain getallen (p, 2p + 1).

> De klasse size:

- de Titanische priemgetallen;

- de Gigantische priemgetallen.

> De klasse Complex:

- de Eisenstein priemgetallen.

> De klasse composite:

- de Bijna-priemgetallen;

- de Pseudo-priemgetallen.

> De klasse related topics:

- de Priemgetallen formule;

- de Priemgetallen intervallen.

Uit dit alles blijkt dat er diverse presentatievormen zijn. Ik heb gekozen voor een presentatie die uit twee gedeelten bestaat. Het eerste deel is een inleidend deel dat zicht geeft op wiskundige termen en notaties. Het tweede deel is het hoofddeel waarin de getallen behandeld worden. Deze grove benadering omvat verfijnd:

- Een logisch overzicht van de basisgetallen;

- Een samenvatting van een aantal talstelsels;

- Een vermelding van de wiskundigen die tijdens de ontdekkingsreis zijn ontmoet en de landen waar zij zich hebben bevonden of nog bevinden;

- Een uitgebreide beschrijving van de wiskundige terminologie, numerieke tekens, figuratieve voorstellingen en formele notaties die zich in de getallen beschrijvingen voordoen;

- Een beschrijving van de getallenverzamelingen in het Nederlands met voorbeelden. Ze worden gevolgd, indien bekend, met de naam van de betrokken wiskundige in het Engels, gevolgd door een Engelstalige formulering. In het algemeen blijven de voorbeelden geheel of gedeeltelijk achterwege omdat deze in het Nederlands als voldoende worden beschouwd. Soms is de Engelstalige omschrijving uitvoeriger dan de Nederlandstalige;

- Een opsomming met soms een nadere uitwerking van bijzondere getallen. Het is een eigen keuze van getallen die een bijzondere betekenis of eigenschap hebben. In feite zou de opsomming oneindig kunnen zijn;

- Een aantal Bijbelse getallen die een wiskundige betekenis of relatie hebben. Het betreft niet allerhande, hoe interessant ook, symbolische of typologische omschrijvingen die al in ruime mate in boeken en andere publicaties worden aangetroffen;

- De samenwerking tussen computer en getaltheorie in de versus P-NP, gevolgd door de omschrijving van een punt, echter niet zo maar een punt, maar het Punt van Fermat;

- Een verwijzing naar literatuur en websites als belangrijke bronnen van getallen;

- De namen van de getallen in alfabetische volgorde met paginaverwijzingen.

2.6 Vanwaar mijn belangstelling voor getaltheorie?

Een interessante vraag. Temeer daar mijn werkzaamheden al vanaf eind 1960 de informatie en communicatie technologie betreffen, zowel op onderwijs- als toepassingsgebied. Vanwaar dan belangstelling voor getaltheorie, een zuiver wiskundig onderwerp? Het laat zich als volgt verklaren. Mijn belangstelling voor de wiskunde begon al direct na de 6-jarige lagere school waarna een lange intensieve studieperiode aanbrak. Tijdens die periode had wiskunde mijn bijzondere belangstelling. Aan verscheidenheid van onderwerpen ontbrak het niet zoals uit het volgende blijkt:

- 5 jaar dagstudie HBS-B te Den Haag met de wiskunde vakken:

> Reken- en stelkunde en driehoeksmeting;

> Stereometrie en beschrijvende meetkunde.

- 2 jaar dagstudie Hogere Zeevaartschool BS te Scheveningen met de wiskunde vakken:

> Zeevaartkunde en cijferen;

> Driehoeksmeting en algebra;

> Meetkunde der ruimte.

- Schriftelijke studies wiskunde:

> Koninklijke Technisch PBNA;

> Leidse Onderwijsinstellingen.

- 3 jaar avondstudie Wiskunde MO-A te Den Haag met de wiskunde vakken:

> Algebra;

> Analyse;

> Analytische meetkunde;

> Projectieve en beschrijvende meetkunde.

- 3 jaar avondstudie Wiskunde MO-B te Amsterdam met de wiskunde vakken:

> Differentiaal- en integraalrekening en differentiaal vergelijkingen;

> Functietheorie;

> Grondslagen analyse;

> Mathematische statistiek.

- 5 jaar werk en studie Technische Wiskunde TUDelft met de wiskunde vakken:

> Grondslagen analyse II;

> Analyse III;

> Waarschijnlijkheidsrekening;

> Operationele analyse A;

> Mathematische statistiek I;

> Numerieke analyse BI;

> Numerieke analyse BII;

> Algebra;

> Technische toepassing van de analyse;

> Inleiding partiële differentiaalvergelijkingen;

> Analytisch hybride rekenen.

Het legde een stevige en gevarieerde basis voor een blijvende affiniteit tot de wiskunde. Maar ook de manier van lesgeven en de grote betrokkenheid van de docenten, met niet in de laatste plaats een sterke uitstraling van hun kennis naar leerling en student hebben hun uitwerking niet gemist. Een korte illustratie ervan geven de volgende herinneringen.

De 5-jarige HBS-B periode kenmerkte zich door de aanwezigheid van één wiskundeleraar. Tussenuur, ziekteverzuim en tijdelijke vervanging waren onbekende begrippen. Het was én het bleef meneer Ouwehand. Als hij je vroeg om op een vraag van hem antwoord te geven dan werd je in het Frans aangesproken met allez votre corridor, ofwel ‘ga je gang’. Het aantal wiskunde vakken was gevarieerd en zou een goede basis vormen voor alles wat nog stond te komen.

De wiskunde op de Zeevaartschool werd gedomineerd door wiskundeleraar dr. C. de Wit. Hij was oud-stuurman van de Halcyon Line. Het kunnen navigeren op de aardbol vereiste een uitbreiding van de wiskunde uit het platte vlak. Voor de leraar geen probleem en voor mij als leerling een interessante uitbreiding. De zeevaartschool was voor De Wit geen blijvende plek. Toen ik jaren later ook oudstuurman was geworden ontmoette ik hem weer aan de Technische Universiteit Delft, maar nu vanuit de vakgroep van prof. dr. R. Timman, met onder meer het college optimalisering van praktische problemen. Prof. Timman, een fervent pijproker, richtte in 1956 de opleiding technische wiskunde op aan de Technische Universiteit Delft. Tot op deze dag mag ik één van de vier leden van de Timman Stichting zijn die een hoogleraarsstoel toekent aan een daarvoor in aanmerking komende universiteit. Voor velen buiten de TUDelft zal prof. Timman niet bekend zijn. Meer bekend zal zijn zoon Jan Timman zijn, een zeer bekend schaker.

De 3-jarige wiskunde MO-A opleiding van twee avonden per week te Den Haag werd met vol ijver gegeven door onder meer docenten van de TUDelft. Eén van hen was prof. dr. A. Grootendorst (1924 – 2004). Hij was vermaard om het vertalen van Latijnse wiskundige teksten. Eenmaal werkzaam en studerend aan de TUDelft kwam ik hem in college en gesprek vele malen tegen. Hij beschouwde het leraarsambt als een officium nobile, een nobel ambt, waarnaar hij ook handelde.

Tijdens het MO-A examen en later in de collegezaal te Delft was een ontmoeting met prof. dr. H.J. van Veen (1879 – …) er één om nooit te vergeten. Zo wees hij erop dat de combinatie th zoals in theologie, theoretisch, theocratie enzovoort, alleen in zoethout in een gescheiden vorm werd uitgesproken. Op zich een merkwaardige opmerking tijdens zijn wiskunde college. Maar wel een opmerking die ik nooit meer ben vergeten. De grote Duitse wiskundige Johann Carl Friedrich Gauss werd met volledige naam door hem uitgesproken. Maar niet alleen dat. Hij liet de naam vooraf gaan met de aanduiding Zijne Majesteit. Daarmee uitte hij zijn hoogachting voor één van de grootste wiskundigen aller tijden.

Aan deze grote wiskundige verbind ik de volgende persoonlijke ervaring. Tijdens de Tweede Wereldoorlog gingen aanvankelijk veel schepen verloren door Duitse magnetische zeemijnen. Ze werden geactiveerd door het magnetische veld dat inherent is aan een varend ijzeren schip. De Engelse Cmdr. Charles F. Goodeve ontwikkelde een tegenmiddel dat hij noemde ‘degaussing naar de Duitser Johann Carl Friedrich Gauss die behalve op wiskundig gebied ook op magnetisch gebied uitblonk. Het tegenmiddel bestond uit het neutraliseren van het scheeps-magnetische veld door middel van een elektronische kabel die in het schip rondom aanwezig was. Na de oorlog waren ook de vrachtschepen van de Holland

Amerika Lijn hiermee uitgerust. Meer dan eens voer ik als stuurman op deze schepen naar de Duitse havens Hamburg en Bremen. Dat hield in dat er gevaren werd door een uitgestrekt zeemijnen gebied waar een route doorheen liep die mijnenvegers mijn-vrij gemaakt hadden. Dat was de zogeheten ‘boeienroute’. Voor je die route invoer was het commando degaussing aan om eventueel aanwezige mijnen geen gelegenheid te geven tot ontploffing te komen.

De 3-jarige Wiskunde MO-B opleiding van 2 avonden per week te Amsterdam werd voornamelijk gedoceerd door docenten van het Koninklijk Instituut voor de Marine te Den Helder. Het programma was zwaar. Het MO-B examen was evenals het MO-A examen berucht om het hoge faal percentage. Een toentertijd voor mij vanzelfsprekend gemis van eigen auto werd door een studiegenoot, Jan Bijkerk uit Den Haag, comfortabel opgelost. Dat gebeurde met zijn kleine Fiatje die ook mij vervoerde vanaf Den Haag naar Amsterdam voor 2,5 gulden per keer (heen en terug). Tijdens de rit was wiskunde meestal de gespreksstof. Eenmaal te Den Haag werd de reis naar huis op een Batavus brommer vervolgd om vervolgens middernacht thuis te komen om de volgende morgen vroeg op de Batavus brommer weer naar het werk in Den Haag en later naar Delft te gaan.

Nog een bijzonderheid die niet onvermeld mag blijven, betrof de colleges waarschijnlijkheidsrekening van dr. P.J.A. Kanters aan de TUDelft. Die had de bijzondere eigenschap om tegelijkertijd met een krijtje in de linkerhand en een krijtje in de rechterhand in hoog tempo tekst en figuren op het befaamde zwarte schoolbord te presenteren en meteen uitleg te geven. Aan deze bijzondere eigenschap is het volgende nog toe te voegen. Uit literatuur blijkt dat de Amerikaanse wiskundige James P. Pierpont (1866 – 1938), zie Pierpont priemgetallen, zowel linkshandig als rechtshandig kon schrijven maar tevens ondersteboven (althans wat de letters, cijfers en symbolen betreft).

Het bovenvermelde kenmerkte zich door vele wiskunde studies. Het volgende is bijna te verrassend om waar te zijn. In de tweede helft van de jaren 60 trad ik in dienst van de Wiskundige Dienst van de Technische Hogeschool Delft, later Technische Universiteit Delft. De Wiskundige Dienst veranderde gaandeweg in Rekencentrum. Aan het eind van de jaren zeventig veranderde ik van werkplek. Het werd de verzameling computer centra van het Ministerie van Defensie. In de tweede helft van de jaren tachtig keerde ik terug naar de Alma Mater als hoogleraar van de Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica. In de kamer, waar ik eertijds menig examen deed, werden weer examens afgenomen, maar wel in een andere verhouding.

Na het verlaten van TUDelft als emeritus hoogleraar realiseerde ik een MSc opleiding in ICT in Ghana op verzoek van het management van een multinational. Het leidde tot het Osei Tutu II Institute for Advanced ICT Studies, waarvan ik tot 2012 Rector was. Na te zijn vertrokken uit Ghana functioneerde ik als studieadviseur en examinator aan Taiz University in Yemen. In de loop van 2014 werd ik vanuit Ghana verzocht te participeren in een nieuw te vormen Governance Council met als taak het instituut, dat ik in 2012 had verlaten, door te starten als University College.

2.7 Voor wie bestemd?

De lange inleiding begon met de vraag ‘Waar gaat het over?’ De beantwoording ervan lag voor de hand, namelijk ‘het gaat over getallen’. De beantwoording van de vraag ‘Voor wie is deze publicatie bestemd?’ krijgt een divers antwoord. Een paar antwoorden zijn namelijk voorhanden. Het eerste antwoord is ‘het is bestemd voor mijzelf’. Met andere woorden, ik heb het allereerst voor mijzelf geschreven. Vanuit mijn grote belangstelling voor getaltheorie heb ik een ontdekkingsreis ondernomen om de vele getallenverzamelingen beter te leren kennen. Maar ik wil het ook delen met anderen en ook voor hen heb ik het geschreven.

Hoewel het begrip getal en de toepassing ervan overbekend zijn, is kennis van getallen voor velen toch een onbekend gebied. De informatie erover is sterk verspreid en meestal niet gemakkelijk te vinden, ook al staan Google en een snelle zoekcomputers ter beschikking. Het werd dan ook een uitdaging om de volgende opdracht uit te voeren: ‘Ontdek en presenteer voor jezelf en wellicht ook voor andere geïnteresseerden de getallenverzamelingen en ontsluit hun verrassende eigenschappen’. Het resultaat zal ongetwijfeld kennis verrijkend zijn. Daarnaast zou het kunnen zijn dat zelfs niet-geïnteresseerden belangstelling krijgen om enig zicht te krijgen op getaltheorie met zijn gevarieerde getallenverzamelingen.

Daarom dit eenvoudige advies ‘neem en lees’ of om het met Augustinus te zeggen: ‘Tolle lege’.

Na deze lange inleiding is het de hoogste tijd om via Met dank aan kennis te gaan maken met de getallen. Een plezierige ontdekkingsreis toegewenst!

2.8 Met dank aan

Yannick Six. Mijn oudste kleinzoon die mij op Sinterklaasavond (5 december 2013) een surprise gaf met enkele meerkeuzevragen over getallen. Eén van die getallen was gekoppeld aan de naam Weird die voor mij onbekend was. Het gaf mij extra stuwkracht om met spoed een ontdekkingsreis naar getallen aan te vangen. Tot dat moment was zo’n reis reeds lang in mijn gedachten maar het had de status van een dagdroom.

Aria Looijen. Mijn vrouw was wederom zeer bereid en in staat om mijn handgeschreven teksten te ontcijferen en niet alledaagse symbolen en notaties in onze computer in te voeren. Het betrof méér dan 150.000 woorden en vele wiskundige tekens en symbolen die veelal niet één-twee-drie voorhanden waren, ondanks de goedbedoelde en gevatte opmerkingen van allerhande externe experts.

Ingrid Bor-Looijen, mijn jongste dochter, vormde met Ella een perfect en plezierig duo. Heel veel uren besteedde het duo aan het verkrijgen van eenduidige lettertypen, het logisch ordenen en het controleren van de vele voorbeelden. Het vergde extra inspanning om de niet alledaagse wiskundige notaties en formules eenduidig en helder te presenteren. Een extra inspanning was ook om, uitgaande van de Nederlandstalige index, een Engelstalige index te produceren. Aan hilariteit heeft het hen niet ontbroken. Daar zorgde de confrontatie met onder meer de Schizofrene, Luie catering, Narcistische, Cake en Hongerige getallen voor, om er slechts enkele te noemen.

Ella Looijen, mijn oudste dochter in het Ella-Ingrid duo, heeft uiterst consciëntieus aandacht besteed aan de leesbaarheid van teksten en formules met voorbeelden. Heel veel uren zijn daaraan besteed. Enthousiasme en inzet waren heel bijzonder te meer omdat het ging om een wiskundige ontdekkingsreis die niet tot de alledaagse reizen is te rekenen.

Zonder de inzet van Aria en het duo Ella-Ingrid is het voorliggende boek ondenkbaar.

Michiel Bor. Mijn vijfde kleinzoon en IT specialist in wording verzorgde vakbekwaam alle figuren in dit boek. Hij deed dit met inzet en plezier.

Alisa van Spronsen. Een achternicht en eigenaar van Mitsgaders Den Haag, gespecialiseerd in tekstopmaak, vormgeving en presentatie. Zij verzorgde wederom een fraaie lay-out van dit boek. Dit was geheel overeenkomstig een eerdere publicatie namelijk Another four years in Ghana 2008 – 2011.

2.9 2de, herziene druk

Na het verschijnen van de 1ste druk van Over getallen gesproken en het ontvangen van enthousiaste opmerkingen erover, ontstond al gauw mijn wens om de wiskundige ontdekkingsreis voort te zetten. En dat heb ik gedaan. Tijdens deze voortzetting trof ik diverse nieuwe en interessante getallenverzamelingen aan en heb ik naar een 2de, herziene druk toegewerkt. In deze herziene versie zijn ook onnauwkeurigheden hersteld. Een bijdrage hieraan in de vorm van errata kwam spontaan van Dr. Ir. L. R. Verdooren. Precies één jaar na de 1ste druk was het werk van herziening en uitbreiding gereed voor uitgave door Van Haren Publishing te Zaltbommel. Ik ben hen hiervoor zeer erkentelijk.

Deze 2de, herziene druk bevat naast een aantal verbeteringen in de 1ste druk, een uitbreiding met 64 nieuwe getallenverzamelingen, waarmee het totaal op 529 verzamelingen komt. Gevolg hiervan is een aanvulling van de wiskundigen naar land en van de wiskundige terminologie. Ook is er een flinke uitbreiding van de bijzondere getallen vooral met betrekking tot de wiskundige constanten.

Het was omvangrijker dan ik aanvankelijk had ingeschat. Zonder enthousiaste en deskundige hulp zou het niet zijn gelukt. Grote dank gaat uit naar oud-collega Prof. Dr. Em. Henk Koppelaar in Computer Science aan de Technische Universiteit Delft. Toen hij vernam dat er een tweede druk op stapel stond, zegde hij spontaan zijn inzet toe. Zo las hij nauwgezet de 1ste druk en maakte suggesties voor verbeteringen en aanvullingen. Aria verzorgde ook deze keer de eerste invoer van de nieuwe tekst. De controle, de lay-out en de juiste inpassing in de tekst van de 1ste druk was in handen van Ella.

Ik kijk met heel veel dank terug op de inzet van Aria en Ella Looijen en Henk Koppelaar bij de samenstelling van deze 2de, herziene druk.

2.10 3de, herziene druk

Deze 3de druk presenteert de getaltheorie met 619 getallenverzamelingen. Er zijn verbeteringen en aanvullingen doorgevoerd en 90 getallenverzamelingen toegevoegd. Dat is gerealiseerd mede met de deskundige opmerkingen van Prof. Dr. Em. Henk Koppelaar, docent wiskunde Pieter Post en Dr. Ir. Rob Verdooren. Vermeldenswaard is dat 619 niet zomaar een getal is, maar een getal met 3 bijzondere kenmerken. Het is het 114de priemgetal, met priemgetal 617 vormt het een priemtweeling en het is een strobogrammatisch getal. Vanwege dit laatste is 619 expliciet op de omslag van dit boek geplaatst. Het getal of aantal 619 blijft namelijk hetzelfde als de cijfers onderste boven worden gelezen of 180 graden worden gedraaid. Het invoeren van de vele verbeteringen met juiste lettertypen, aanvullingen en nieuwe verzamelingen met niet alledaagse tekens en symbolen en verantwoorde inpassingen was in handen van Aria en Ella Looijen en Alisa van Spronsen, Mitsgaders Den Haag. Ongeveer anderhalf jaar na het verschijnen van de 2de druk verzorgde van Haren Publishing te Zaltbommel dit volumineuze boek met grote betrokkenheid. Heel veel dank aan allen die hebben bijgedragen aan het te water laten van deze 3de, herziene druk.

2. Introduction

Before reading the content of this book it is most rewarding to read the following questions and answers.

2.1 What is the topic of this book?

The question is easy to answer by reading the title of the book. Already in an early stage of life children are taught to count from one to ten. It is the beginning of entering a world of infinite numbers. Take a natural number, add 1 and there will be again a number. Easy to do for everybody and well known. So from the beginning there is a general knowledge of the natural numbers. By following the line of natural numbers a question is ‘what are prime numbers’. The experience is that many people will give a correct answer. The question ‘what are irrational numbers and transcendental numbers’ will be more difficult or even impossible to answer. The expectation is that number π is more or less known, but the role it plays in daily figures and objects is usually unknown. And what about the numbers e and i. To blow it up a little more the following numbers are mentioned: Quaternions, Euler numbers, Narcissistic numbers and Catalan numbers. It is the world of many and many number sets and special numbers. It is part of the so-called number theory. And that’s the topic of this book.

2.2 What is number theory?

Number theory is part of pure mathematics focused primarily on the study of the integers, sometimes called the Queen of Mathematics. Those who are studying number theory include next to the rational numbers, the irrational numbers and the complex numbers. In the past number theory was known as arithmetic. The first historical find of it is the broken clay tablet Plimpton 322 found in

Mesopotamia around 1800 BC. Names like Euclid Elements and Pythagoras also refer to historical arithmetic. Countries like China, India, Greece and Egypt show most impressive and interesting views on historical numbers and calculations. In the beginning of the nineteenth century the so-called modern number theory and the prime number theory started. In the twentieth century computers opened the applied number theory. Well-known are the cryptographic applications. To understand the algorithms is another story. Theory and practice have expanded the world of numbers. For example the so-called Residue Number Systems are representing huge numbers and are using dedicated algorithms to perform complicated calculations including big data more efficiently. Number theory belonged to the domain of Prof Dr H.J.A. Duparc (1918 – 2002) professor at Delft University of Technology in the Netherlands. Before his professorship started at Delft, his life during World War II was very eventful. Japanese camp and Burma Railway in East Asia became ‘familiar’ to him. But he survived. Back in the Netherlands he obtained his doctorate with the thesis Divisibility Properties of Recurring Sequences. Promotor was Prof Dr J.C. van der Corput. Recurring sequences point to relations between successive values of a function or a sequence that allows the systematic calculation of these values, given an initial value or values and the relation between them. A simple example is the Fibonacci sequence. The domain of numbers kept his interest. His affinity for numbers and number sequences, together with other mathematical subjects gave him a great reputation. His lectures and the examinations in his office gave me an enduring and most pleasant reminiscence.

He also enjoyed a certain reputation around the two-phases structure of scientific education and research in the Netherlands. It started as a joke when he allowed some people to kidnap him as a protest against that structure. But as soon as it was observed as a serious and impudent kidnap he had to confess that the kidnap was a merely personal protest act. Not everybody at the university was amused and appreciated his act. In the beginning of 2014 I intended to undertake a voyage to discover the world of numbers in an extensive way.

2.3 What kind of voyage of discovery was undertaken?

To get a view of the world of numbers, my exploration took place by consultation of three sources:

-The human memory;

The human memory is the warehouse of numbers and history of numbers that is obtained by listening and reading.

-The paper memory;

In the course of many years I selected, purchased and studied many books about numbers and number theory. Seventy of these books belong to my own scientific library. They are presented in chapter 11 References. As a preview I mention the next five titles:

>Prime numbers, the Most Mysterious Figures in Math by David Wells;

>The Fabulous Fibonacci Numbers by Passementier and Lehman;

>Numbers at work by Taschner;

>The Man Who Loved Only Numbers by Paul Hoffman. The man is the famous Hungarian mathematician Paul Erdös.

>The Book of Numbers by John H. Conway and Richard K. Guy.

Each book out of chapter 11 References highlights some of the 619 numbers that are elaborated in this book. The variety in numbers in many books is very limited. Only few books go beyond a variety of more than several dozens of numbers. The 78 books do not cover all 619 numbers. Nevertheless it is noted that the paper memory can be qualified as the preferred source. Furthermore there is a third source made up by a huge number of varied websites. A number is noted in References. I consider them as prominent in the midst of hundreds of other websites.

-The digital memory;

The digital memory is meanwhile an enormous source that in no time offers a lot of information by means of Wikipedia, Google references and cross references. Expertly searching is needed to distinguish usefulness from rubbish. It is not surprising that the content of many websites is based on earlier published mathmetical literature.

This voyage took me a lot of time to discover 619 number sets and more than 200 special numbers. But the result was a huge enrichment of knowledge. Not only concerning large and varied number sets and special numbers, but also concerning the encounter of 337 mathematicians in 38 countries, 27 of them I met in 2 countries and 2 of them in 3 different countries. The next challenge was to select a part of the available information about numbers that reflects the objective: to present the numbers by definition together with examples to get an understanding of the world of numbers. And moreover to present a limited number of special and most interesting numbers.

2.4 What to present?

The number sets and the special numbers as being the outcome of the voyage of discovery must be presented. The presentation of the sets includes a description per number set and the formula to calculate the concerned number. Additional information is given by examples and in some cases worthwhile information is added. If the mathematician who discovered or coined the number is known, his name, the episode of life and the nationality is mentioned. As a preview a few examples of number sets are given as well as a few special numbers. These examples are a simple outlook on 619 number sets and many special numbers written in Part III.

-The Abundant numbers or Excessive numbers. These are numbers for which the sum of its proper divisors is greater than the number itself. For example 12.

The sum of its divisors 1, 2, 3, 4 and 6 is 16. Because 16 > 12 is 12 is an Abundant number.

-The Perfect numbers. These numbers are even and finish in varying 6 or 8. They are written as 2n-1(2n – 1) if 2n – 1 is prime number. This is not always true. They are rare. Descartes noticed: ‘Perfect numbers like perfect men are very rare’. The first Perfect number is 6 and is followed by 28.

Until 2013 only 48 Perfect numbers were known. The largest one was 257885160 x (257885161 – 1).

-The Moran numbers. These numbers divided by the sum of its digits give prime numbers. For example 3031 is a Moran number, because 3031 divided by 7 (3 + 0 + 3 + 1) gives prime number 433.

-And finally three others offer an outlook:

>510510: it is the product of the first 7 prime numbers:

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17;

>1/2 · (1 + √5): the Golden Ratio which is famous in relation to Fibonacci;

>84: the age of Diophantus.

On the basis of the examples it cannot be concluded that all number descriptions enclose only 3 - 4 rules. In many cases it takes more rules. Many descriptions show the name (or names) of the mathematician who is the founder or the inventor of the number. In some cases interesting anecdotes are added. After elaborating the numbers a chapter about special numbers and a chapter about Biblical numbers is presented.

The next challenge is how to present the total result of the voyage of discovery.

2.5 How to present?

There are several ways to present the numbers and the added information. For example a presentation of the numbers in an arbitrary order. Such an order corresponds to the fact that all numbers have the same right to be presented. Another way of presentation is to group the numbers in sets based on special properties. There are many number sets with strong relations to primality, the property of being a prime number. It is very easy to put them in classes. This is done by a Template Classes of Prime Numbers from Wikipedia.

A summary of it is given by the next classes’ overview.

-The class formula:

>the Mersenne prime numbers (2p – 1);

>the Pierpont prime numbers (2u· 3u + 1).

-The class integer sequence:

>the Fibonacci prime numbers: 2, 3, 5, 13, 89, …;

>the Bell numbers: 1, 1, 2, 5, 15, …

-The class property:

>Stern prime numbers: One of the characteristics is that they do not answer to a specific formula;

-The class base-dependent:

>Lucky numbers in the base-10 numeral system;

>Parasitic numbers: in the base-10 numeral system.

-The class patterns:

>Bi-twin chains (p – 1, p + 1, …);

>Sophie-Germain numbers (p, 2p + 1).

-The class size:

>Titanic prime numbers;

>Gigantic prime numbers.

-The class complex:

>Eisenstein prime numbers.

-The class composite:

>Almost prime numbers;

>Pseudo prime numbers.

-The class related topics:

>Prime numbers formula;

>Prime numbers intervals.

Other numbers are mainly figurative or based on special algorithms.

Finally I have chosen for an alphabetical order. Each number set has two names. The first one is written in Dutch language and in many cases Anglicized because lacking an original Dutch name. The second name is the English name. In the alphabetical order the Dutch name is leading.

In relation to the number sets additional subjects will be presented to understand the signs and notations that appear in the descriptions of the numbers.

It leads to the following overall presentation:

-A logical overview of the basic numbers;

-A summary of numeral systems;

-The names of the mathematicians which were met during the voyage of discovery;

-An extensive description of the mathematical terminology, numerical signs, figurative depictions and formal notations that will be met in the descriptions of the numbers;

-The main part of the voyage of discovery namely the descriptions of the number sets;

-Quite a few special numbers more or less based on the author’s preference;

-Biblical numbers that have a distinct relation with mathematics;

-The co-operation between the computer and number theory in P versus NP and the specification of a point, namely the Fermat point;

-References to literature and websites in number theory;

-The names of the number sets in alphabetical order, with page references.

The English text is not a literal translation from the Dutch text. The objective was to explain and to write in such a way that the descriptions are clear to understand in both English and Dutch language.

2.6 Where does my interest in number theory come from?

A very long period of studying mathematics and a continuing interest in mathematics are debit to high interest in number theory, but not only that part of mathematics.

The following provides a summary of my studies in mathematics during a period of more than 25 years, starting in 1947 and finishing in 1972:

-5 years secondary education beta oriented;

-2 years nautical college;

-2 corresponding courses;

-3 years secondary teacher training 2nd degree;

-3 years secondary teacher training 1st degree;

-5 years technical university.

It comprised a huge number mathematical subjects such as:

-Algebra;

-Arithmetic;

-Plane geometry;

-Projective geometry;

-Goniometry;

-Three-dimensional geometry;

-Analysis;

-Differential equation;

-Integral calculus;

-Statistics;

-Calculus of probability;

-Functional analysis;

-Operational analysis;

-Hybrid calculation.

In the Dutch text I illustrated the subjects with some memories on education, examination and the teachers and professors involved in it. In this regard I want to describe explicitly the extreme respect to the German mathematician Gauss by one of the Dutch professors. He did not mention Gauss but Johann Carl Friedrich Gauss and introduced the name by His Excellency. By doing this he indicated Gauss exactly as one of the greatest world mathematicians.

To the name of Gauss I associate the following personal experience. During World War II many ships were lost because of German magnetic mines. These mines were activated by the magnetic field which was inherent to a sailing steel ship. The English Cmdr. Charles F. Goodeve developed a countermeasure against the magnetic field. He named it degaussing. It referred to Johann Carl Friedrich Gauss whose knowledge and activities were not limited to mathematics but also connected to other subjects such as magnetism. Ships were provided with coiling that prevented mines to move to the ship and blow it up. After the war ships of the Holland America Line were equipped with degaussing. Many of these ships sailed via partly swept minefields to Hamburg and Bremen. During my career as a seaman I sailed these routes many times. Before entering the more or less swept a reas the command was Degaussing on to give no opportunity any existing mines to detonate.

The teachers and professors were playing a most important role during a long and intensive period of study that was partly integrated in my daily work. That work was mainly in practical and educational information and communication technology. Two of my work areas in ICT were at Delft University of Technology and one at the Ministry of Defense. At Delft I finished my last official work area in the Netherlands as professor at the Faculty Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science. After leaving the Faculty I continued as founder and Rector of Osei Tutu II Institute for Advanced ICT Studies in Ghana for a period of ten years. After that period I joined Taiz University in Yemen as supervisor and examiner of MSc students. At the end of 2014 I was invited to become member of the Governance Council in Ghana to start a University College in the former building of the Osei Tutu II Institute for Advanced ICT Studies.