Technische Mechanik I Statik für Dummies E-Book

Georg Rill

• Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
• Kategorie: Fachliteratur
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 390

Veröffentlichungsjahr: 2019

Beschreibung

Dieses Buch wurde bewusst kurz gehalten. Es deckt dennoch die Lehrinhalte »Technische Mechanik: Statik« ab, wie sie in der Regel in Bachelor-Studiengängen technischer Fachrichtungen vermittelt werden. Der Stoff wird überwiegend an Hand von Beispielen dargestellt. Am Ende jedes Kapitels laden Übungen zum Selbststudium ein. Und wem das noch nicht reicht, der findet für die Prüfungsvorbereitung noch ein Extra-Kapitel mit Übungen. Dieses Buch liefert Studierenden alles, was sie für die Statik-Prüfung brauchen.

Leseprobe

Technische Mechanik I Statik für Dummies

Schummelseite

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN: ALLGEMEINE DEFINITIONEN

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN: TYPISCHE WERTE

= =

Winkel

0

0

1

0

1

1

0

KOORDINATENSYSTEME UND VEKTOREN

Koordinatensysteme definieren mit ihren Achsen, die von einem Ursprung ausgehen, die drei Richtungen im Raum (zum Beispiel längs, quer und vertikal). Der Ursprung wird häufig mit 0 bezeichnet und die Achsen benennt man mit , , oder passend zum Ursprung mit , , . Die Achsen stehen jeweils senkrecht zueinander und werden in alphabetischer Reihenfolge (, , ) dem abgewinkelten Daumen, dem gestreckten Zeigefinger und dem ebenfalls abgewinkelten Mittelfinger der rechten Hand zugeordnet. Eine positive Drehung um die -Achse erfolgt so, dass dabei die -Achse in Richtung der -Achse gedreht wird. Mit der zyklischen Vertauschung von -- in -- und -- ergeben sich dann die restlichen positiven Drehungen um die - und die -Achse.

Darstellung

Betrag oder Länge

Einheitsvektor

Skalarprodukt:

Vektorprodukt:

definiert den Winkel , den die Vektoren und einschließen.

KRÄFTE, MOMENTE UND GLEICHGEWICHT

Die Belastung eines starren Körpers oder eines Systems von starren Körpern kann durch die Vektoren

allgemein beschrieben werden. Dabei definieren die Ortsvektoren die Lage der Kraftangriffspunkte vom Ursprung 0 eines Koordinatensystems aus, die Vektoren beschreiben die auf den Körper oder das System wirkenden Kräfte, und der Vektor beinhaltet die Einzelmomente , die aus Kräftepaaren resultieren und dadurch lediglich eine Momentenwirkung auf den Körper oder das System ausüben. Das Gleichgewichtsaxiom verlangt, dass die Wirkung aller Kräfte und Momente auf den starren Körper oder auf das System von starren Körpern einer Nullkraft und einem Nullmoment äquivalent ist. Dies bedeutet

Im Raum stehen somit pro Körper oder pro System 6 Gleichgewichtsbeziehungen zur Verfügung. Bei ebenen Problemen bleiben mit dem Kräftegleichgewicht in den zwei Richtungen der Ebene und dem Momentengleichgewicht um eine Achse senkrecht zur Ebene lediglich 3 Gleichgewichtsbeziehungen übrig.

Meist ist es bequemer, die Momentenwirkung der Einzelkräfte bezüglich eines beliebigen Bezugspunkts direkt über Hebelarm mal Kraftkomponente zu ermitteln. Das Vorzeichen orientiert sich dann an einem vorgegebenen Drehsinn, der entweder der positiven Drehung um eine Koordinatenachse entspricht oder im bzw. gegen den Uhrzeigersinn definiert wird.

STRECKENLAST

Eine Belastung , die über die Länge von bis verteilt ist, kann in ihrer Wirkung auf einen starren Körper durch eine resultierende Kraft ersetzt werden. Die Kraft, die der Streckenlast äquivalent ist, und die Lage ihrer Wirkungslinie sind dann durch

festgelegt. Die Fläche unter der Streckenlast entspricht dabei der Kraft, und der Schwerpunkt definiert die Wirkungslinie:

SCHWERPUNKTE

Technische Mechanik I Statik für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2019© 2019 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This book published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Dieses Buch wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: © Volodymyr Kyrylyuk – stock.adobe.comKorrektur: Claudia Lötschert

Print ISBN: 978-3-527-71521-3ePub ISBN: 978-3-527-81712-2

Über den Autor

Der Autor blickt auf eine jahrzehntelange Erfahrung in der Lehre zurück. Die Liebe zur Mechanik entwickelte sich während des Maschinenbaustudiums an der Technischen Universität in München. Erste Lehrerfahrungen wurden dort als Tutor am Institut B für Technische Mechanik unter der Leitung von Prof. Dr. Kurt Magnus gesammelt. Als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mechanik-Institut von Prof. Dr. Werner Schiehlen an der Universität Stuttgart konnte das während des Studiums erworbene Wissen in der Technischen Mechanik vertieft und in Vortragsübungen an Studierende weitergegeben werden. Eine knapp fünfjährige Tätigkeit in der Industrie sorgte für den Praxisbezug. Nicht zuletzt die Liebe zur Lehre führte den Autor zurück an die Hochschule. Neben der Technischen Mechanik hat er dort auch Ingenieurinformatik, Fahrzeugdynamik und Mehrkörperdynamik gelehrt. Im Rahmen des berufsbegleitenden Studiengangs Systemtechnik, den die OTH Regensburg seit einigen Jahren anbietet, konnten auch Lehrerfahrungen mit Studierenden gewonnen werden, die mit unterschiedlichen Vorkenntnissen und direkt aus der Praxis an die Hochschule gekommen sind.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelseite

Impressum

Über den Autor

Einführung

Über dieses Buch

Konventionen in diesem Buch

Was Sie nicht lesen müssen

Törichte Annahmen über die Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Grundlagen

Kapitel 1: Problemstellung und Ersatzmodelle

Lösungsschritte

Ersatzmodelle und Ersatzsysteme

Ein einführendes Beispiel

Kapitel 2: Vektoren in der Mechanik

Koordinatensysteme geben uns Richtungen vor

So sehen bei uns die Vektoren aus

Länge oder Betrag: eine skalare Größe

Gleichheit

Addition und Subtraktion

Multiplikation mit einem Skalar

Einheitsvektoren

Spalten- und Zeilenvektoren

Skalarprodukt

Kreuzprodukt: etwas ganz Besonderes

Beispiel: Winkel zwischen zwei Vektoren

Übungen

Kapitel 3: Kraft und Kraftwirkung

Kräftearten

Kraftdarstellung

Kraftwirkung

Beispiel: Strommast

Übungen

Kapitel 4: Prinzipe und Axiome

Das Äquivalenzprinzip

Das Gleichgewichtsaxiom

Gegenwirkungsprinzip

Schnittprinzip

Beispiel: Lampenaufhängung

Übungen

Kapitel 5: Schwerpunkte

Gewichtsmittelpunkt

Massenmittelpunkt

Volumenmittelpunkt

Flächenmittelpunkt

Linienmittelpunkt

Mittelpunkte von Standardformen

Flächenlast

Streckenlast

Zusammengesetzte Körper

Beispiel: L-Profil

Die Guldinschen Regeln für Rotationskörper

Übungen

Kapitel 6: Lager

Reaktionen

Räumliche Lager

Lager in der Ebene

Beispiele

Problemfälle gibt es leider auch

Bestimmtheit einer Lagerung

Übungen

Kapitel 7: Spezielle Lagerelemente

Die Umlenkscheibe

Das frei rollende Rad

Die Pendelstütze

Übungen

Teil II: Stäbe, Seile und Ketten

Kapitel 8: Fachwerke

Grundlegendes

Ebene Fachwerke

Nullstäbe

Der Ritterschnitt

Räumliche Fachwerke

Übungen

Kapitel 9: Seilstatik

Was antike Kräne und Funkmasten verbindet

Nur nicht überheblich werden

Beispiel: Seil unter Einzellast

Es kann auch kompliziert werden

Eine Hängepartie

Seil unter konstanter Streckenlast

Schwerer geht es nicht

Jetzt stellen wir das Ganze auf den Kopf

Mit der Seilbahn in luftige Höhen

Übungen

Teil III: Analyse von Tragwerken

Kapitel 10: Tragwerke

Einfache Tragwerke

Nichteinfache Tragwerke

Räumliche Tragwerke

Übungen

Kapitel 11: Schnittreaktionen: die Computertomografie der Statik

The Name of the Game

Einfache Tragwerke

Von der Makro- zur Mikroskopie

Nichteinfache Tragwerke

Ein feines Kochrezept

Übungen

Kapitel 12: Virtuelle Arbeit

Prinzip der minimalen Energie

Virtuelle Arbeit

Übungen

Teil IV: Reibung

Kapitel 13: Kontakt und Reibgesetze

Kontaktkraft

Reibgesetze und Reibungsungleichung

Unterschiedliche Berührebenen

Gleichgewicht mit Kontaktkräften

Übungen

Kapitel 14: Statisch bestimmte Systeme

Einsetzende Bewegung

Erforderliche Reibwerte

Gleichgewichtsbereiche

Selbsthemmung

Fazit

Übungen

Kapitel 15: Statisch überbestimmte Systeme

Die Leiter an der Wand: das klassische Beispiel

Eine Klemmvorrichtung

Übungen

Kapitel 16: Seid umschlungen: die Seilreibung

Grundgleichung

Riemenantrieb

Bandbremse

Übungen

Teil V: Top-Ten Teil

Kapitel 17: Die ersten zehn Schritte vom Statik-Dummy zum Statik-Expert

Kapitel 18: Zehn Tipps zur Lösung von Statikaufgaben

A: Lösungen

Kapitel 1

Kapitel 2

Kapitel 3

Kapitel 4

Kapitel 5

Kapitel 6

Kapitel 7

Kapitel 8

Kapitel 9

Kapitel 10

Kapitel 11

Kapitel 12

Kapitel 13

Kapitel 14

Kapitel 15

Kapitel 16

B: Zusätzliche Aufgaben oder auch Fifty Shades of Hard Work

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 1

Tabelle 1.1: Eckpunkte bei der Auslegung der freien Aufhängung einer Verkehrsampel

Kapitel 2

Tabelle 2.1: Multiplikation mit einem Skalar

Tabelle 2.2: Veranschaulichung der komponentenweisen Auswertung eines Kreuzproduktes

Kapitel 3

Tabelle 3.1: Kraftwirkung auf einen starren Körper mit

als proportional zu

Kapitel 5

Tabelle 5.1: Längen

, Flächen

und Volumen

sowie die Koordinaten

,

und ggf. auch

der entsprechenden Mittelpunkte S von einigen Standardformen

Tabelle 5.2: Geometrische Daten für das zu einem Rechteck ergänzte L-Profil

Kapitel 6

Tabelle 6.1: Lager in der Ebene

Kapitel 9

Tabelle 9.1: Seillängen

für verschiedene Anfangssteigungen

bei vorgegebener Endsteigung

für ein Seil mit der konstanten Streckenlast

belastet

Tabelle 9.2: Zahlenwerte für eine Stromleitung zur Überquerung eines Flusses (die Abspannweiten

,

und die Höhen

,

entsprechen in etwa der 1978 in Betrieb genommenen Elbekreuzung 2; die Längen

,

und die Gewichte

,

sind Schätzwerte)

Tabelle 9.3: Ergebnisse für eine Stromleitung zur Überquerung eines Flusses

Kapitel 11

Tabelle 11.1: Randbedingungen, wobei 0 triviale Werte definiert und das Fragezeichen ? vorab nicht zu definierende Werte kennzeichnet

Tabelle 11.2: Einfluss pötzlicher Belastungsänderungen auf die Schnittreaktionen

Kapitel 14

Tabelle 14.1: Reibbeiwerte bzw. mögliche Bereiche für verschiedene Materialpaarungen (entnommen aus Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau, 24. Auflage, Springer 2014)

Kapitel 16

Tabelle 16.1: Einfluss des Umschlingungswinkels

auf die minimale Haltekraft bzw. die minimale Zugkraft bei einem Reibwert von

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1: Verschiedene Ersatzmodelle, die in der Mechanik verwendet werden

Abbildung 1.2: Frei hängende Verkehrsampel

Abbildung 1.3: Frei hängende Verkehrsampel mit freigeschnittenem Knoten als Teilsystem

Abbildung 1.4: Seilkraft

als Funktion des Durchhangs

in dimensionsloser Darstellung

Abbildung 1.5: Frei hängende Verkehrsampel mit freigeschnittenen Masten

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Orthogonales und rechtshändiges Koordinatensystem mit der Definition von Drehungen um die einzelnen Achsen

Abbildung 2.2: Vektordarstellung a) allgemein, b) Zahlenbeispiel

Abbildung 2.3: Vektor, dargestellt in verschiedenen Koordinatensystemen

Abbildung 2.4: Länge oder Betrag eines Vektor

Abbildung 2.5: Schar gleicher Vektoren mit

Abbildung 2.6: Vektor Addition mit Vektorkette

Abbildung 2.7: Fläche einer von zwei Vektoren aufgespannten Raute

Abbildung 2.8: Winkel zwischen zwei Vektoren

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Volumen- und Oberflächenkräfte

Abbildung 3.2: Schnappverschluss mit deformierbaren Bügeln am Schließbeginn und Golfball beim Abschlag erst deformiert und dann beschleunigt

Abbildung 3.3: Kraftwirkung auf einen starren Körper: a) Ausgangslage, b), c) und d) Reaktionen auf Belastungen in

-,

- und

-Richtung

Abbildung 3.4: Wirkungslinie einer Kraft

Abbildung 3.5: Nullkraft

Abbildung 3.6: Zug- und Druckstab

Abbildung 3.7: Kräftepaar äquivalent zu Einzelmoment

Abbildung 3.8: Scherverformung, erzeugt durch zwei Kräftepaare

Abbildung 3.9: Strommast mit gerissener Leitung und Ersatzsystem mit Nullkraft

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Allgemeines Belastungsszenario und äquivalentes System

Abbildung 4.2: Gegenwirkungsprinzip am Beispiel eines beladenen Pick-ups

Abbildung 4.3: Zerlegung eines Ersatzmodells in Teilsysteme

Abbildung 4.4: Lampenaufhängung: Problemskizze und als Gesamtsystem freigeschnitten

Abbildung 4.5: Gesamtsystem Lampenaufhängung, zerlegt in Teilsysteme

Kapitel 5

Abbildung 5.1: Gewichtsmittelpunkt

Abbildung 5.2: Dünnwandiges Blech

Abbildung 5.3: Flächenlast

Abbildung 5.4: Durch Wasserdruck belastete Staumauer

Abbildung 5.5: Streckenlast und äquivalente Einzelkraft

Abbildung 5.6: Ebenes Ersatzsystem einer Staumauer

Abbildung 5.7: Aus zwei Teilen zusammengesetzter Körper (

)

Abbildung 5.8: Schwerpunkt eines L-Profils

Abbildung 5.9: Schwerpunkt eines L-Profils für verschiedene Sonderfälle

Abbildung 5.10: Querschnitt eines L-Profils zu einem Rechteck ergänzt

Abbildung 5.11: Oberfläche und Volumen eines Drehkörpers, erzeugt durch eine rotierende Linie bzw. eine rotierende Fläche

Kapitel 6

Abbildung 6.1: Kugel- und Scharniergelenk

Abbildung 6.2: Körper durch drei einwertige Lager fixiert

Abbildung 6.3: Körper durch ein festes und ein verschiebliches Gelenklager fixiert

Abbildung 6.4: Körper durch eine Führung und ein verschiebliches Gelenklager fixiert

Abbildung 6.5: Körper fest an der Wand montiert

Abbildung 6.6: Körper mit drei festen Gelenklagern fixiert

Abbildung 6.7: Körper durch horizontal verschiebliche Gelenklagern abgestützt

Kapitel 7

Abbildung 7.1: Seilzug mit Umlenkscheibe: Ersatzsystem und freigeschnittene Teilsysteme

Abbildung 7.2: Flaschenzug durch Minimalschnitt analysiert

Abbildung 7.3: Eselskarren auf schiefer Ebene mit freigeschnittenen Teilsystemen

Abbildung 7.4: Karren mit frei drehbaren Rädern als Gesamtsystem freigeschnitten

Abbildung 7.5: Pendelstütze als Verbindungselement (Lager) zwischen zwei Körpern mit Freikörperbild und Ersatzmodell

Abbildung 7.6: Abstützung einer Motorhaube und Motorhaube freigeschnitten

Kapitel 8

Abbildung 8.1: Fachwerkbrücke mit stabähnlichen Bauteilen, die durch Knotenbleche verbunden sind und Ersatzmodell idealer Knoten als Gelenklager mit idealen Stäben

Abbildung 8.2: Kräfte am freigeschnittenem Stab in allgemeiner und fachwerktypischer Darstellung

Abbildung 8.3: Fachwerkausschnitt Knoten und Knoten freigeschnitten

Abbildung 8.4: Ebenes Fachwerk mit freigeschnittenen Knoten

Abbildung 8.5: Einfaches, ebenes Fachwerk als Gesamtsystem freigeschnitten

Abbildung 8.6: Nichteinfaches Fachwerk mit angedeuteter innerer Bewegungsmöglichkeit

Abbildung 8.7: Freigeschnittene Knoten und Freikörperbild des nichteinfachen Fachwerks

Abbildung 8.8: Der unbelastete Zweischlag

Abbildung 8.9: Der belastete Zweischlag

Abbildung 8.10: Der unbelastete Dreischlag

Abbildung 8.11: Fachwerk mit markierten Nullstäben und mit freigeschnittenen Knoten

Abbildung 8.12: Lang gestrecktes Fachwerk

Abbildung 8.13: Teilsysteme

Abbildung 8.14: Gesamtsystem

Abbildung 8.15: Einfaches räumliches Fachwerk mit freigeschnittenen Knoten

Abbildung 8.16: Räumliches Fachwerk mit ebenen Ersatzmodellen

Abbildung 8.17: Hochbehälter, durch räumliches Fachwerk abgestützt

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Prinzipskizze eines antiken Krans sowie ebenes Ersatzmodell mit dem Teilsystem Hebebaum und den ebenfalls freigeschnittenen Lagern in A und B

Abbildung 9.2: Funkmast mit Abspannseilen gesichert und räumliches Ersatzmodell mit freigeschnittenem Mast und den Verankerungspunkten der Abspannseile

Abbildung 9.3: Spreiztraverse modelliert durch ein ebenes Ersatzmodell mit freigeschnittenem Knoten und räumliches Ersatzmodell für eine Traverse zum Heben eines Containers

Abbildung 9.4: Seil unter Einzellast und Teilsystem Kraftangriffspunkt

Abbildung 9.5: Theoretisch mögliche Grenzlagen für ein Seil unter Einzellast bei denen ein Seilabschnitt unbelastet ist

Abbildung 9.6: Seil durch zwei Einzelkräfte belastet

Abbildung 9.7: Prinzip einer Hängebrücke mit freigeschnittenem Teilsystem Tragseil und einem infinitesimalen Seilelement

Abbildung 9.8: Infinitesimales Seilelement unter vertikaler Belastung mit Steigungsdreieck

Abbildung 9.9: Seil an Punkten unterschiedlicher Höhe befestigt und mit konstanter Streckenlast belastet

Abbildung 9.10: Ausschnitt aus einer Hängebrücke und Ersatzmodell Tragseil

Abbildung 9.11: Seilkurve und Verlauf der Seilkraft in einem Abschnitt einer Hängebrücke

Abbildung 9.12: Seil mit Last unter Windbelastung: reales System und Ersatzmodell

Abbildung 9.13: Hochspannungsleitung mit Ersatzmodell Seil und Seilelement

Abbildung 9.14: Prinzipieller Verlauf einer Hochspannungsleitung zur Flussüberquerung

Abbildung 9.15: Numerisch berechnete Seillinie in den Abschnitten 1 und 2

Abbildung 9.16: Kettenlinien und Seilkurven für verschiedene Längen und durch Spiegelung der Kettenlinien erzeugte echte Bögen

Abbildung 9.17: Römischer Torbogen als Beispiel für einen »echten Bogen« und Domkuppel mit passender, gespiegelter Kettenlinie

Abbildung 9.18: Seilbahn mit Gondel: Prinzip und Ersatzmodelle

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Seitenansicht eines Bootskranes mit ebenem Ersatzsystem als Beispiel für ein einfaches Tragwerk

Abbildung 10.2: Ersatzsystem für einen Bootskran durch einen Schnitt an der Einspannstelle A als gesamtes System von der Umgebung befreit

Abbildung 10.3: Bootskran zerlegt in Teilsysteme mit verschiedenen Zerlegungsvarianten

Abbildung 10.4: Ersatzmodell für ein nichteinfaches Tragwerk mit räumlicher Darstellung der gelenkigen Anbindung des Querträgers an die Winkelträger

Abbildung 10.5: Nichteinfaches Tragwerk, als Gesamtsystem freigeschnitten

Abbildung 10.6: Nichteinfaches Tragwerk zerlegt in Teilsysteme mit der Schnittvariante Lagerungsbolzen am Winkelträger und Lagerungsbolzen am Querträger

Abbildung 10.7: Nichteinfaches Tragwerk, zerlegt in Teilsysteme mit der alternativen Schnittvariante Lagerungsbolzen jeweils am Querträger

Abbildung 10.8: Prinzipskizze und räumliches Ersatzmodell eines Portalkrans

Abbildung 10.9: Portalkran in der Seitenansicht und ebenes Ersatzmodell freigeschnitten

Abbildung 10.10: Hebezeug zum Verladen von Containern als Gesamtsystem und zerlegt in die Teilsysteme Traverse und Container

Abbildung 10.11: Kiste auf einer Palette, modelliert durch ein räumliches Tragwerk als Gesamtsystem und mit dem Teilsystem Knoten

Abbildung 10.12: Gesamtsystem Palette bei extremer Belastung mit freigeschnittenem Pfosten, der Reaktion auf die Bodenplatte und den als Pendelstützen identifizierten Streben

Kapitel 11

Abbildung 11.1: Schnittreaktionen im Inneren eines starren Körpers

Abbildung 11.2: Komponenten der Schnittreaktionen am positiven Schnittufer

Abbildung 11.3: Räumliches Ersatzmodell einer Fahrrad-Tretkurbel mit Ansicht in der

-

-Ebene

Abbildung 11.4: Teilsystem Pedal mit Tretkurbel

Abbildung 11.5: Einfaches ebenes Tragwerk belastet durch eine Einzelkraft

Abbildung 11.6: Einfaches ebenes Tragwerk als Gesamtsystem freigeschnitten

Abbildung 11.7: Teilsysteme, erzeugt durch Schnitte in den Bereichen I, II und III (die für die Berechnung nicht benötigten Teilsysteme sind grau hinterlegt)

Abbildung 11.8: Ersatzsystem und Verlauf der Schnittgrößen

,

und

im horizontalen Träger von

bis

mit Angabe der Rand- und Übergangswerte

Abbildung 11.9: Ersatzsystem für einen Träger unter Streckenlast mit freigeschnittenem Gesamtsystem

Abbildung 11.10: Linkes Teilsystem des Trägers mit Schnittreaktionen

Abbildung 11.11: Ersatzmodelle und Verläufe der relevanten Schnittgrößen in dimensionsloser Darstellung für einen Träger, belastet durch eine Streckenlast und einer Einzelkraft

Abbildung 11.12: Mikroskopisch kleines Teilsystem mit Schnittreaktionen

Abbildung 11.13: Welle unter Eigengewicht auf zwei Blöcken liegend mit Ersatzmodell

Abbildung 11.14: Ersatzmodell und Schnittreaktionen für eine Welle unter Eigengewicht

Abbildung 11.15: Ersatzmodell eines nichteinfachen Tragwerks mit den freigeschnittenen Teilssystemen Rahmen und Träger

Abbildung 11.16: Teilsystem, erzeugt durch einen Schnitt im horizontalen Teil des Rahmens

Abbildung 11.17: Teilsysteme, erzeugt durch Schnitte im vertikalen Teil des Rahmens

Abbildung 11.18: Teilsystem, erzeugt durch einen Schnitt im horizontalen Träger

Abbildung 11.19: Verlauf der Schnittgrößen über der Struktur des Tragwerks aufgetragen

Abbildung 11.20: Ersatzsystem einer Bogenlampe mit globalem Koordinatensystem, lokalen Koordinatensystemen, dem freigeschnittenem Gesamtsystem und dem Teilsystem Stab

Abbildung 11.21: Freigeschnittene Teilsysteme Bogen und Lampe und Bogenabschnitt

Abbildung 11.22: Verlauf der Schnittgrößen über der Lampenhalterung aufgetragen

Kapitel 12

Abbildung 12.1: Schranke in horizontaler Ausgangslage und in leicht geöffneter Position

Abbildung 12.2: Instabile und stabile Gleichgewichtslage

Abbildung 12.3: Beispiel für eine instabile, stabile und indifferente Gleichgewichtslage

Abbildung 12.4: Instabile und stabile Gleichgewichtslage

Abbildung 12.5: Fachwerk mit geschnittenem Stab 8 und den daraus resultierenden virtuellen Bewegungsmöglichkeiten der beiden Fachwerkhälften

Abbildung 12.6: Virtuelle Verschiebungen am Knoten IV und an den beiden Fachwerkhälften sowie am Fachwerk angreifende Kräfte

Abbildung 12.7: Tragwerk Original und teilweise befreit

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Bei der Berührung von zwei Körpern übertragene Kontaktkraft

Abbildung 13.2: Zerlegung der Kontaktkraft in die Normalkraft

und die Reibkraft

Abbildung 13.3: Reibkraft

als Funktion der Gleitgeschwindigkeit

Abbildung 13.4: Coulombsches Reibgesetz mit getrennt dargestelltem Haftbereich

Abbildung 13.5: Festlegung der Berührebene beim Kontakt einer Deichsel mit der Fahrbahn bzw. mit einem Abstellblock

Abbildung 13.6: Ersatzsystem für ein Bierfass auf einer Rampe, Definition der Berührebene und Freikörperbild

Kapitel 14

Abbildung 14.1: Körper auf horizontaler Ebene: a) Ersatzsystem, b) konventionelles und c) problemangepasstes Freikörperbild

Abbildung 14.2: Belastungsgrenzen, um ein Abheben oder Kippen eines Kegels zu vermeiden. Kräfte, die zum Abheben oder Kippen führen würden, sind durch hohle Pfeile dargestellt.

Abbildung 14.3: Steinplatte, durch Holzstrebe abgestützt: Ersatzsystem und freigeschnittene Teilsysteme

Abbildung 14.4: Quader auf schiefer Ebene über Seilzug mit einem Gewicht verbunden: Ersatzsystem und freigeschnittene Teilkörper

Abbildung 14.5: Reibungskegel mit unterschiedlichen Belastungen durch den Hangabtrieb

und die Seilkraft

Abbildung 14.6: Backenbremse mit Freikörperbild

Kapitel 15

Abbildung 15.1: Leiter an rauer Wand und rauem Boden als Ersatzsystem und als freigeschnittenes System

Abbildung 15.2: Klemmvorrichtung: Ersatzmodell und freigeschnittene Teilsysteme Quader und Bügel

Kapitel 16

Abbildung 16.1: Seil um Trommel geschlungen und infinitesimal kleines Seilelement

Abbildung 16.2: Seil um waagrechten Pflock geschlungen und an den Enden mit der Kraft F und dem Gewicht G belastet

Abbildung 16.3: Prinzipskizze eines Riemenantriebs mit teilbefreiter Antriebstrommel

Abbildung 16.4: Bandbremse als Ersatzmodell und mit freigeschnittenen Teilkörpern

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E1

Einführung

Die Mechanik ist eine sehr alte Wissenschaft. Bereits Archimedes (285 bis 212 v. Chr.), ein bedeutender Wissenschaftler des klassischen Altertums, beschäftigte sich mit Problemen der Statik. Seine Formulierung des Gesetzes vom Auftrieb ist heute als Archimedisches Prinzip bekannt. Er untersuchte den Flaschenzug und formulierte die Hebelgesetze. Der Ausspruch »Gib mir einen Punkt, wo ich hintreten kann, und ich bewege die Erde« soll auf ihn zurückgehen.

Nun, mit diesem Lehrbuch wollen wir nicht gleich die ganze Erde in Bewegung versetzen, aber es soll eine solide Basis schaffen, die nicht nur das Bestehen einer anstehenden Prüfung ermöglicht, sondern auch die Fähigkeit vermittelt, praktische Probleme anzugehen und zu lösen.

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch wurde bewusst kurz gehalten. Es deckt die Lehrinhalte Technische Mechanik – Statik ab, die in der Regel in Bachelor-Studiengängen technischer Fachrichtungen, wie Maschinenbau, Verfahrenstechnik, Produktions- und Automatisierungstechnik oder Biomedical Engineering, vermittelt werden.

Die Themengebiete

Kräfte und ihre Darstellung, grundlegende Axiome und Prinzipe

Schwerpunkt und Resultierende verteilter Kräfte

Gleichgewicht

Coulombsche Reibung

Seilreibung

Auflagerreaktionen und Stabkräfte bei Fachwerken und Tragwerken

Schnittreaktionen in Balken, Rahmen und Bögen

Virtuelle Arbeit

Seile und Ketten

Stabilität von Gleichgewichtslagen

umfassen technisch relevante Gebiete der Statik, die wie die Dynamik auf die Modellvorstellung eines starren Körpers begründet sind.

Der Stoff orientiert sich stets an Beispielen, die überwiegend Aufgabenstellungen aus der Praxis entstammen.

Am Ende jedes Kapitels laden Übungsbeispiele zum Selbststudium ein. Als Lernkontrolle finden Sie dazu im Anhang die Lösungen und teilweise auch noch den Lösungsweg. Das Bearbeiten dieser Aufgaben stellt die Trainingsphase dar. Im Ernstfall einer Prüfung besteht jedoch keine Möglichkeit, schnell mal einen Blick auf die Lösung zu werfen. Deshalb werden ganz am Ende noch fünfzig weitere Übungsaufgaben zur Verfügung gestellt, für die hier im Lehrbuch aber keine Lösungen angegeben werden. Wenn Sie sich bei der Bearbeitung dieser Aufgaben auch noch ein Zeitlimit setzen, können Sie eine reale Prüfungsbedingung ganz gut nachstellen und so auch den Ernstfall trainieren.

Konventionen in diesem Buch

Zur besseren und einheitliche Darstellung werden in diesem Buch folgende Konventionen verwendet:

Zahlen werden in der Gleitpunkt-Darstellung (floating point), also beispielsweise 3.14, angegeben. Dies ist international üblich und wird auch in den gängigen Programmiersprachen (Matlab, Python, C, C++ …) so gehandhabt.

Vektoren werden im Text mit

durch einem Pfeil über dem Symbol

kennzeichnet, der gleichzeitig den Betrag

bzw. die Länge des Vektors angibt. In den Abbildungen werden Vektoren als Pfeile dargestellt. Dort ist zur Bezeichnung dann nur noch das Symbol erforderlich. Eckige Klammern kennzeichnen die Komponentendarstellung von Vektoren.

Zur eindeutigen Beschreibung von Ortsvektoren, also von Vektoren, die zum Beispiel von A nach B zeigen, werden mit

der Fußpunkt A und die Pfeilspitze B als Indizes mit angegeben.

Koordinatenachsen werden allgemein mit

,

und

bezeichnet. Gelegentlich wird auch der Name des Koordinatenursprungs als Index hinzugefügt. Mit Nummern als Indizes wie

,

und

können lokale Koordinatensysteme von dem globalen Koordinatensystem

,

und

unterschieden werden.

In den Abbildungen werden freigeschnittene Teile eines System durch eine gestrichelte Line abgegrenzt. Diese Linie markiert dann die Systemgrenze für dieses Teilsystem.

Was Sie nicht lesen müssen

Wie vieles im Leben hängt das, was Sie lesen oder nicht lesen, davon ab, was Sie wollen oder benötigen. Wenn Sie primär nur die anstehende Prüfung erfolgreich bestehen wollen, dann sollten Sie zunächst klären, welcher Stoffumfang dort abgeprüft wird. Das Modulhandbuch oder eine Sammlung alter Prüfungsaufgaben gibt da eine meist verlässliche Antwort. Damit entfällt unter Umständen schon das eine oder andere Kapitel. Insbesondere trifft dies auf die Kapitel 9 und 12 zu, die zwar zur Statik gehören, aber nicht immer im Lehrstoff enthalten sind.

Je nach Kenntnisstand können Sie auch das Kapitel 2 überblättern, sofern Sie die am Ende dieses Kapitels aufgeführten Beispiele locker vom Hocker lösen können. Unabhängig davon, ist ein sorgfältiges Durcharbeiten von Teil I dringend zu empfehlen. Hier werden die Grundlagen der Statik vermittelt, die in allen weiteren Teilen benötigt werden.

Törichte Annahmen über die Leser

Beim Schreiben dieses Buches habe ich angenommen, dass Sie

Grundkenntnisse in der Mathematik haben. Also Gleichungen umstellen und auflösen können. Mit trigonometrischen Funktionen vertraut sind und sogar Ungleichungen behandeln können.

voller Begeisterung die Beispiele im Buch nachvollziehen, die Übungsaufgaben ohne vorherigen Blick auf die Lösung bearbeiten und auch vor den Zusatzaufgaben nicht zurückschrecken.

die in diesem Lehrbuch vermittelten Methoden konsequent umsetzen und auch mal eigene Lösungsansätze ausprobieren.

stets die Gültigkeit Ihrer Lösungen kritisch hinterfragen und so weit möglich durch Sonderfälle oder Plausibilitätskontrollen überprüfen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch besteht aus fünf Teilen, die jeweils in mehrere Kapitel untergliedert sind. Lösungen zu den Übungsaufgaben und zusätzliche Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung runden den Inhalt ab. Im Detail finden Sie im

Teil I: Grundlagen

Ein einführendes Beispiel, das die Problemstellung und die Wahl geeigneter Ersatzmodelle erläutert, sowie ein separates Kapitel zu den Vektoren in der Mechanik.

In weiteren Kapiteln werden dann die Darstellung von Kräften und deren Wirkung diskutiert, die wesentlichen Prinzipe und Axiome der Statik behandelt und in Kapitel 5 auch gleich angewendet.

In den beiden letzten Kapitel dieses grundlegenden Teils werden die Lager als ideale Verbindungselemente im Allgemeinen und Speziellen vorgestellt und an Beispielen analysiert.

Teil II: Stäbe, Seile, Ketten

Die Behandlung ganz spezieller Bauteile. Zunächst werden dort Fachwerke untersucht, die per Definition nur aus gelenkig miteinander verbundenen Stäben aufgebaut sind. Das ausführlich diskutierte Knotenpunktverfahren, mit dem grundsätzlich jedes statisch bestimmte Fachwerk gelöst werden kann, bietet ausreichend Gelegenheit, das Freischneiden und das Aufstellen von Gleichgewichtsbeziehungen zu üben.

Abschließend werden dann Seile und Ketten betrachtet, die durch Einzelkräfte, Streckenlasten, ihr Eigengewicht oder durch ihr Eigengewicht und eine Einzelkraft belastet werden. Eine Spreiztraverse, eine Containerbefestigung, eine Hängebrücke sowie eine Stromleitung liefern praxisnahe Beispiele zu diesem Thema.

Teil III: Analyse von Tragwerken

Eine Methodik zur Behandlung allgemeiner Systeme. Neben ebenen Tragwerken werden dabei auch räumliche Konstruktionen analysiert.

Die Ermittlung der Schnittreaktionen liefert das Interface zu weiterführenden Berechnungen, die im Rahmen der Elasto-Statik auch Materialeigenschaften mit einbeziehen und dann auch eine Festigkeitsanalysen ermöglichen.

Teil IV: Reibung

Die Beschreibung von Kontaktkräften. Kontakte werden in der Statik wie Lager behandelt, die allerdings nicht uneingeschränkt Kräfte und ggf. auch Momente übertragen können. Dabei muss neben dem Abheben oder Kippen auch noch das Rutschen in Betracht gezogen werden. Das Coulombsche Reibgesetz liefert eine Betragsungleichung, die den Betrag der Reibkraft über den Reibwert an die Normalkraft koppelt.

Eine sorgfältige Analyse der Reibungsungleichung gibt dann Auskunft über erforderliche Reibwerte, mögliche Gleichgewichtsbereiche und das Phänomen der Selbsthemmung.

Eine Grenzbetrachtung ermöglicht die Analyse von Systemen, die infolge von Reibkräften statisch überbestimmt sind.

Teil V: Top-Ten Teil

Vielleicht nicht ganz die Top Ten, aber zumindest die ersten zehn Schritte auf dem Weg von Statik-Dummy zum Statik-Expert.

Da in vielen Fällen der Weg zum Statik-Expert den Stolperstein Prüfung beinhaltet, werden zusätzlich noch zehn Tipps zum Bestehen einer Statik-Prüfung angegeben.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Mit Icons hervorgehobene Stellen im Text beinhalten

wichtige und grundlegende Definitionen, die für die gesamte Statik zutreffen und die deshalb auch im Stichwortverzeichnis aufgeführt sind.

Tipps mit speziellen und zum Teil auch allgemeingültigen Informationen, die über entsprechende Einträge im Stichwortverzeichnis leicht und schnell auffindbar sind.

Warnungen, die unbedingt zu beachten sind, die aber nur einen beispielhaften Charakter haben können. Denn subjektiv betrachtet, ist vielleicht die eine oder andere Warnung gar nicht nötig oder die Warnungen wären ggf. an anderen Stellen erforderlich. Gern können Sie nach Bedarf an betreffenden Stellen zusätzliche persönliche Warnschilder aufstellen.

einen Bezug zur Praxis. Die Statik, die in diesem Lehrbuch vermittelt wird, dient ja nicht zum Selbstzweck. Zwar durchaus verständlich, aber dennoch schade wäre es, wenn das Arbeiten mit diesem Lehrbuch nur der Prüfungsvorbereitung dient. Deshalb stellt dieses Techniker-Icon einen Bezug zur Praxis her, und das ist ja letztendlich Sinn und Zweck des Ganzen.

Verweise auf bereits behandelte Themen. Dieses Icon stellt also den erhobenen Zeigefinger dar, der Sie auffordert, ggf. den Stoff zu wiederholen, auf den dieses Erinnerungs-Icon verweist.

Geplauder aus dem Nähkästchen. Die Statik geht ja bis auf die Antike zurück, und da ist es nicht verwunderlich, das einige Themen bereits von anderen Personen beackert wurden. Das Anekdoten-Icon liefert hier den entsprechenden Bezug.

Wie es weitergeht

Teil I

Grundlagen

IN DIESEM TEIL…

Stellen wir zunächst einige grundsätzliche Überlegungen an. Wir führen eine Unterteilung durch, grenzen die Problematik ein und definieren geeignete Ersatzmodelle.

Befassen wir uns auch mit der Vektorrechnung, einer wesentlichen Grundlage der Mechanik. Je nach persönlichem Kenntisstand wird dies eine angenehme Wiederholung bekannter Dinge oder Neuland bedeuten. In beiden Fällen lohnt sich eine intensive Auseinandersetzung mit der Vektorrechnung, da sie die mathematische Behandlung von Problemen aus der Mechanik deutlich erleichtert.

Werden wir den Kräften und ihrer Wirkung auf die Spur kommen. Dabei steht der starre Körper, das Standard-Ersatzmodell der Statik, im Vordergrund. Zum besseren Verständnis und zur Abgrenzung wird hier auch die Kraftwirkung auf den elastischen Körper, das Standard-Ersatzmodell der Elasto-Statik, am Beispiel der Dehnung und der Scherverformung erläutert.

Lernen wir mit den Prinzipen und Axiomen die Basis der Technischen Mechanik kennen. Wobei die für die Statik wesentlichen Bausteine im Vordergrund stehen. Die Äquivalenz von Kräftesystemen wird uns zu den Schwerpunkten führen, die eine sehr kompakte Darstellung von Belastungen ermöglichen.

Beschäftigen wir uns abschließend mit der Lagerung von Bauteilen. Neben einer allgemeinen Zusammenstellung werden dabei auch spezielle Lagerelemente untersucht.

Kapitel 1

Problemstellung und Ersatzmodelle

IN DIESEM KAPITEL

Die richtigen Lösungsschritte

Ersatzmodelle und Ersatzsysteme

Ein Beispiel für den Einstieg

Die Statik spielt im wahrsten Sinne des Wortes eine tragende Rolle im Bereich des Bauingenieurwesen, des Maschinenbaus, der Medizintechnik sowie in der Mechatronik und auch in der Elektrotechnik. Denn dort müssen alle Bauteile und natürlich auch die gesamte Konstruktion so ausgelegt werden, dass sie Belastungen standhalten, die zum Teil bekannt sind oder im Rahmen von »Worst-Case-Szenarios« abgeschätzt werden müssen. Die Statik liefert dann nicht nur Informationen über die Beanspruchung der Lager, mit denen die Bauteile untereinander oder mit der Umgebung verbunden sind, sondern auch die Kräfte und Momente, die im Inneren eines Bauteils auftreten.

Lösungsschritte

Um die Grundgesetze und die Methoden der Technischen Mechanik zur Lösung von Problemen anwenden zu können, sind folgende Schritte zu durchlaufen:

Formulieren der technischen Aufgabe,

Auswahl eines mechanischen Ersatzmodells,

mathematische Beschreibung,

analytische oder numerische Lösung und

Interpretation und Überprüfung der Ergebnisse.

In der Praxis müssen die Schritte 2 bis 5 oft mehrfach mit entsprechenden Erweiterungen oder weiteren Vereinfachungen durchlaufen werden.

Ersatzmodelle und Ersatzsysteme

Durch die Beschränkung auf das Wesentliche und durch eine geeignete Systemabgrenzung kann ein reales System über Vereinfachungen und Idealisierungen in ein mathematisch beschreibbares Ersatzmodell oder Ersatzsystem abgebildet werden.

Die Technische Mechanik kann, basierend auf den physikalischen Eigenschaften der Ersatzmodelle, in verschiedene Gebiete unterteilt werden, Abbildung 1.1.

Abbildung 1.1: Verschiedene Ersatzmodelle, die in der Mechanik verwendet werden

Die Kontinuums-Mechanik fasst die Modellvorstellung deformierbarer, flüssiger und gasförmiger Körper zusammen.

In der Statik und der Dynamik arbeitet man in der Regel mit der Modellvorstellung des starren Körpers. In der Ebene hat ein starrer Körper drei freie Bewegungsmöglichkeiten (zwei translatorische und eine rotatorische Bewegung). Im Raum sind es sogar sechs (drei translatorische und drei rotatorische Bewegungen).

Die Festigkeitslehre lässt mit der Modellvorstellung eines elastischen Körpers Bauteildeformationen zu, setzt aber in der Regel voraus, dass diese im Vergleich zu den geometrischen Abmessungen vernachlässigbar klein bleiben. Die Bewegungen und die auf den Körper einwirkenden Kräfte und Momente können dann in der Regel weiterhin mit dem Modell des starren Körpers ermittelt werden.

Ein einführendes Beispiel

Mit diesem Beispiel tauchen wir bereits voll in die Welt der Statik ein. Dazu müssen jedoch mit der Kraftdarstellung sowie der Kraftzerlegung und dem Schnittprinzip jetzt schon Begriffe und Methoden angewendet werden, die im Detail erst in den Kapiteln 3 und 4 vermittelt werden.

Problemstellung und Ersatzmodell

In einigen Ländern hängen Verkehrsampeln direkt über der Mitte von Kreuzungen. Wie aus Abbildung 1.2 zu erkennen, werden dazu zwei Masten und ein Drahtseil benötigt. Die Verkehrsampel soll in diesem Beispiel genau in der Mitte zwischen zwei gleich hohen Masten hängen. Dies wird in einigen Fällen nicht exakt erfüllt sein und stellt somit bereits eine erste Idealisierung dar. Die Straßenbreite (zwei Fahrspuren der Breite ), die maximale Durchfahrtshöhe und die Höhe der Verkehrsampel liegen fest.

Abbildung 1.2: Frei hängende Verkehrsampel

Für eine erste statische Analyse wird das Modell der starren Körper verwendet. Im vorliegenden Fall bedeutet dies, dass eine mögliche Biegung der Masten unberücksichtigt bleibt. Passend dazu wird auch eine belastungsbedingte Längenänderungen des Drahtseils nicht betrachtet. Dann sind mit

(1.1)

(1.2)

die Höhe der Masten und die halbe Länge des Drahtseils nur noch von dem Parameter abhängig, der den Durchhang des Drahtseils angibt. Bei der Berechnung von wurde der Satz von Pythagoras angewendet. Die nach Voraussetzung gleich großen Dreiecke A-C-M und C-B-M sind rechtwinklig und haben jeweils als Hypotenuse und und als Katheten.

Der erste Gedanke, mit die Höhe der Masten und die Länge des Drahtseils auf ein Minimum zu reduzieren, ist aber nicht praktikabel. Bei stimmt gemäß (1.2) die halbe Länge des Drahtseils mit dem halben Mastabstand überein. Wenn nun bei der Fertigung das Drahtseil nur geringfügig zu kurz abgeschnitten wird, kann es nicht mehr, bzw. nicht mehr ohne Gewalt, zwischen den Pfosten montiert werden.

Deshalb wollen wir nun eine typische statische Analyse durchführen.

Mathematische Beschreibung

Die Verkehrsampel selbst wird im Ersatzmodell nur noch durch einen Pfeil symbolisiert, der im Knoten C angreift und nicht nur die Richtung der Gewichtskraft (Pfeilspitze zeigt nach unten), sondern über die Pfeillänge auch deren Größe darstellt, Abbildung 1.3. Zusätzlich wurde der Winkel eingezeichnet, der die Neigung der Seilabschnitte (links und rechts) beschreibt. Der Definition der Winkelfunktionen in einem rechtwinkligen Dreieck entsprechend, gelten dann folgende Zusammenhänge

Abbildung 1.3: Frei hängende Verkehrsampel mit freigeschnittenem Knoten als Teilsystem

(1.3)

wobei die Gegenkathete, die Ankathete und die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks A-C-M darstellen.

Das gedankliche Durchtrennen des Drahtseils links und rechts vom Knoten C befreit diesen vom Rest des Ersatzmodells und liefert das Teilsystem Knoten, das in Abbildung 1.3 rechts oben dargestellt ist. Dem Schnittprinzip gehorchend, müssen dann an den durchtrennten Bauteilen entsprechende Reaktionen berücksichtigt werden. In der idealen Modellvorstellung der Statik kann ein Seil nur Zugkräfte in Seilrichtung übertragen. Deshalb haben die Pfeile und die gleiche Richtung wie die nach links und rechts verlaufenden Abschnitte des Drahtseils. Ihre vom Knoten weg zeigenden Spitzen symbolisieren die Zugwirkung.

Aufgrund der symmetrischen Anordnung sind die Seilkräfte im linken und rechten Abschnitt gleich groß , aber entgegengesetzt gerichtet. Teilt man die Belastung durch das Gewicht in zweimal auf, dann zerfällt das Teilsystem Knoten in zwei symmetrische Hälften, die zur besseren Darstellung leicht auseinandergezogen dargestellt wurden.

Darüber hinaus wurde der Kraftpfeil der Seilkraft mit und jeweils in eine horizontale und in eine vertikale Komponente zerlegt.

Die Zerlegung von Kraftpfeilen erfolgt immer so, dass der Weg vom Fußpunkt zur Pfeilspitze nicht mehr direkt durchlaufen, sondern über Umwege (zum Beispiel vertikal und horizontal) angesteuert wird.

Die am Knoten nach links und rechts zeigenden horizontalen Komponenten heben sich auf. Damit dasselbe auch in vertikaler Richtung zutrifft, muss

(1.4)

gelten. Die vertikale Komponente der Seilkraft ist demnach unabhängig vom Durchhang immer gleich dem halben Gewicht der Verkehrsampel.

Lösung

Die Beziehung (1.4) entspricht dem Gleichgewichtsaxiom von Newton, das in Kapitel 4 ausführlich behandelt wird. Die Seilkraft und ihre Komponenten und bilden ein rechtwinkliges Dreieck, das durch Öffnungswinkel gekennzeichnet ist. Analog zu (1.2) und (1.3) gilt dann

(1.5)

Mit (1.3) und (1.4) bleibt

(1.6)

Die gesamte Seilkraft ergibt sich dann zu

(1.7)

wobei die Beziehungen (1.2) und (1.3) mit berücksichtigt wurden. Damit wird die Vermutung bestätigt, dass eine simple Auslegung mit nicht praktikabel ist, da (1.7) bei eine unendlich große Seilkraft liefert.

Interpretation

Mit steigendem Durchhang wird die Seilkraft kleiner und erreicht für den Grenzwert , der gemäß (1.4) dem Wert der vertikalen Komponente entspricht. Das leuchtet ein, denn bei liefert (1.1) auch eine unendlich große Mastenhöhe . Die beiden Seilabschnitte verlaufen dann (eine endliche Breite vorausgesetzt) vertikal nach unten und müssen je zur Hälfte das Gewicht der Verkehrsampel tragen. Das sich hier ergebende Dilemma bei der Auslegung wird in der Tabelle 1.1 veranschaulicht.

Durchhang

Mastenhöhe aus (1.1)

Seilkraft aus (1.7)

Grenzwert