Mathematische Methoden der Elektrotechnik E-Book

Jürgen Ulm

• Herausgeber: UTB
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2021

Seitenzahl: 223

Beschreibung

Das Buch bietet eine praxisorientierte Einführung in die mathematischen Methoden der Elektrotechnik. Der Schwerpunkt liegt auf der Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels analytischer und numerischer Methoden. Dabei werden die analytischen Methoden den numerischen gegenübergestellt. Die Differenzialgleichungen wurden mit Blick auf die Problemstellungen der Elektrotechnik gewählt. Gezeigt wird, wie diese beispielsweise auch auf die Mechanik übertragen werden können. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen erleichtern den Transfer des Wissens in die Anwendungen.

Leseprobe

utb 5777

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Prof. Dr. Jürgen Ulm lehrt Elektrotechnik und leitet das Institut für Digitalisierung und elektrische Antriebe (IDA) am Campus Künzelsau der Hochschule Heilbronn.

Jürgen Ulm

Mathematische Methoden der Elektrotechnik

Umschlagabbildung: © Jürgen Ulm

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar.

© 2021 · expert verlag GmbH

Dischingerweg 5 · D-72070 Tübingen

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Einbandgestaltung: Atelier Reichert, Stuttgart

CPI books GmbH, Leck

utb-Nr.: 5777

ISBN 978-3-8252-5777-4 (Print)

ISBN 978-3-8385-5777-9 (ePDF)

ISBN 978-3-8463-5777-4 (ePub)

Vorwort

Die Mathematik ist für den Naturwissenschaftler das universelle Werkzeug,

„…denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens“

(David Hilbert, dt. Mathematiker, 1862–1943).

Dem Erlernen der Anwendung des Werkzeugs gilt daher eine besondere Aufmerksamkeit. Wie so oft steht die Erkenntnis der Notwendigkeit gepaart mit der Motivation des Anwenders im Vordergrund. Ist das erklärte Ziel, physikalische Zusammenhänge mittels der Mathematik zu beschreiben, so ist hierzu nicht notwendigerweise eine mathematische Strenge vonnöten.

Wohl dürfte die Anwendung einer mathematischen Strenge diesem Anliegen kontraproduktiv gegenüberstehen. Des Weiteren gilt zudem der Gödel’sche Unvollständigkeitssatz der Mathematik, welcher sogar der Mathematik selbst ihre Schranken zeigt.

Erfahrungsgemäß ist ein Bestreben der Anwender zur mathematischen Strenge dann zu beobachten, wenn diese von der Mathematik und deren Möglichkeiten überzeugt und begeistert sind. Aus diesem Grund sollte der mathematischen Strenge zu Beginn nicht die höchste Priorität eingeräumt werden. Mathematik lebt aus der Freude ihrer Anwender und Anwendungen!

„Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so“

(Richard Feynman, Physiker und Nobelpreisträger, 1918–1988),denn

„Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben“

(Galileo Galilei, 1564–1642).

Taschenrechner, Papier, Bleistift und Radiergummi in Kombination mit Kaffee bilden eine gute Basis.

Das universelle Werkzeug der Elektrotechnik ist die Mathematik. Mit ausgewählten mathematischen Methoden werden ebenso ausgewählte Themengebiete der Elektrotechnik bearbeitet. Die Bearbeitung erfolgt durch Vorstellen der Grundlagen, Aufgabenbeschreibung und ausführliche Aufgabenlösung. Aus dem Vorgehen resultiert auch die Zielgruppe der Leser. Diese sind aus Sicht des Autors:

•Studierende der Ingenieurwissenschaften, welche naturwissenschaftliche Themenstellungen mittels mathematischer Methoden bearbeiten möchten.

•Softwareingenieure, welche Differenzialgleichungen in Matrizenform in Mikroprozessoren implementieren möchten.

•Simulationsingenieure, die gerne mal „was zu Fuß“ nachrechnen möchten.

•Messtechnikingenieure, welche einen Messwert von einem Ort benötigen, an welchem kein Sensor adaptiert werden und für diese Stelle nur gerechnet werden kann.

•Mathematikerschrockene, bleich im Gesicht, überlebt und es nun nochmals mit Mathe probieren möchten.

Da unsere Wissenschaft spiegelbildlich aufgebaut ist, lohnt sich beispielsweise das vertiefte Einarbeiten in eine wissenschaftliche Disziplin. Hier sei vorzugsweise die Elektrotechnik empfohlen. Durch Auswechseln der Koeffizienten einer Differenzialgleichung erobert sich der begeisterte Leser dieses Buches eine weitere wissenschaftliche Disziplin (daher die Verwendung des Begriffs „spiegelbildlich“). Wer beispielsweise elektrische Netzwerke (Maschen) lösen kann, kann demzufolge auch thermische, magnetische, mechanische und hydraulische Netzwerke lösen. Die mathematischen Grundlagen umfassen Rechenregeln, Definitionen, Matrizen, gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen sowie Koordinatensysteme. Sie bieten den Zugang zum Verständnis der gewählten mathematischen Methoden und Anwendungen in der Elektrotechnik. Eine elementare Anwendung in der Elektrotechnik bildet der LCR-Schwingkreis, welcher mit Differenzialgleichungen beschrieben wird und dessen Eigenschaften vorgestellt werden. Die Bildung des inneren Produkts zur Lösung von Differenzialgleichungen haben die Integraltransformation, die Momentenmethode und die Green’sche Methode gemeinsam. In die beiden zuletzt genannten Methoden wird ausführlich mit Hilfe von Beispielen eingeführt. Mit der Momentenmethode erfolgt die Überleitung zur Finite-Element-Methode (FEM) und Finite-Differenzen-Methode (FDM) anhand von Anwendungsbeispielen. Anhand der Momentenmethode wird zudem in die Eigenwertproblematik eingeführt. Die Entwicklung von unendlichen Reihen durch wechselweise Anwendung des Durchflutungs- und des Induktionsgesetzes führt auf Besselfunktionen sowie auf das Phänomen der Feldverdrängung mit Wirkung der Stromverdrängung im Leiter. Ausgewählte Normen sollen dem Leser Hinweise zur Erstellung von wissenschaftlichen Dokumentationen liefern. Es sei noch ein Hinweis zur erweiterten Nutzung des Buches gestattet: Neue Übungsaufgaben lassen sich durch einfaches Abändern der gestellten und bereits gelösten Originalaufgabe generieren. Die Abänderung der Originalaufgabe soll in der Weise vorgenommen werden, dass deren Lösung bereits im Voraus bekannt ist. Damit besteht die Möglichkeit, die Ergebnisse zu vergleichen und die Einarbeitung weiter zu vertiefen. Denn immer gilt

„Unsicher sind die Berechnungen der Sterblichen“

(Weisheitsliteratur).

Mit freundlichen Grüßender Autorim Herbst 2021

Weitere Infos über die Institute siehe auch Anhang B.

Inhaltsverzeichnis

1Erforderliche mathematische Grundlagen

1.1Matrizen

1.1.1Rechenoperationen mit Matrizen

1.1.2Addition und Subtraktion zweier Matrizen

1.1.3Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

1.1.4Quadratische Matrix

1.1.5Einheitsmatrix

1.1.6Determinante

1.1.7Unterdeterminante oder Minor

1.1.8Adjunkte oder algebraisches Komplement

1.1.9Inverse Matrix

1.1.10Transponierte einer Matrix

1.1.11Komplex konjugierte Matrix

1.1.12Hermitesche konjugierte Matrix

1.1.13Hermitesche Matrix – selbstadjungierte Matrix

1.1.14Orthogonalmatrix

1.1.15Unitäre Matrix

1.1.16Normalmatrix – Normale Matrix

1.1.17Norm einer Matrix

1.1.18Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl

1.1.19Eigenwert, Eigenvektor

1.1.20Quadratische Matrizen – eine Zusammenfassung

1.2Integral-, Differenzialgleichungen

1.2.1Definitionen

1.2.2Differenzierung skalarer Funktionen

1.2.3Gewöhnliche Differenzialgleichungen höherer Ordnung

1.2.4Partielle Differenzialgleichungen

1.2.5Partielle Integration

1.2.6Klassifikation von Differenzialgleichungen

1.2.7Anfangswertaufgabe

1.2.8Randwertaufgabe

1.2.9Lineare Operatoren

1.2.10Inneres Produkt

1.2.11Starke Form/Formulierung einer Differenzialgleichung

1.2.12Schwache Form/Formulierung einer Differenzialgleichung

1.3Vektor-Klassifikation

1.4Differenziationsregeln für Vektoren

1.5Vektoroperatoren

1.5.1Nabla- und Laplace-Operator

1.5.2Vektoroperator Gradient

1.5.3Vektoroperator Divergenz

1.5.4Vektoroperator Rotation

1.5.5Gegenüberstellung der Vektoroperatoren

1.5.6Rechenregeln für den Nabla-Operator

1.5.7Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt

1.6Maxwell’sche Gleichungen

1.6.1Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral

1.6.2Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral

1.6.3Maxwell’sche Gleichungen – Differenzialform

1.6.4Maxwell’sche Gleichungen – Integralform

1.6.5Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder

1.7Dirac’sche Deltafunktion

2Koordinatensysteme

2.1Kartesisches Koordinatensystem

2.2Zylinderkoordinatensystem

2.3Kugelkoordinatensystem

3LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis

3.1Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen

3.2Eigenfrequenz – Fehlerrechnung

3.3Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation

3.3.1Spannungsverlauf über der Induktivität

3.3.2Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand

3.3.3Spannungsverlauf über dem Widerstand

3.3.4Spannungsverlauf über der Kapazität

3.4Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis

3.5Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis

3.6Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis

3.7Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis

3.8Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis

3.9Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis

4Stromverdrängung im Leiter

4.1Stromverdrängung im Leiter – Modellbildung

4.2Stromverdrängung im Leiter – Berechnungsergebnis

4.3Stromverdrängung im Leiter – Simulationsergebnis

4.4Stromverdrängung im Leiter – Zusammenfassung

5Besselgleichung und Besselfunktion

5.1Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel

5.2Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises

5.3Besselgleichung der Felddiffusionsgleichung

5.4Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator

5.4.1Modellanordnung

5.4.2Herleitung der Besselfunktion

5.5Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule

5.5.1Modellanordnung

5.5.2Herleitung der Besselfunktion

5.6Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung

6Lösung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen

6.1Zur Person George Green

6.2Green’sche Integralsätze

6.3PDE – Auf-, Integrationspunktanordnungen

6.4PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Differenzialform

6.5PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Integralform

6.5.1Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable

6.5.2Homogene Randbedingungen

6.5.3Inhomogene Randbedingungen

6.5.4Dirichlet-Randbedingungen

6.5.5Neumann-Randbedingungen

6.6PDE – Lösung der Poisson’schen DGL

6.6.1Aufgabenbeschreibung

6.6.2Lösungsweg

6.7PDE – Lösung der Laplace’schen DGL

6.7.1Aufgabenbeschreibung

6.7.2Lösungsweg

6.8ODE – Vorbereitung zur Lösung mit der Green’schen Funktion

6.8.1Homogene Randbedingungen

6.8.2Inhomogene Randbedingungen

6.8.3Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen

6.9.1Aufgabenbeschreibung

6.9.2Lösungsweg I

6.9.3Lösungsweg II

6.10.1Aufgabenbeschreibung

6.10.2Lösungsweg

6.11.1Aufgabenbeschreibung

6.11.2Lösungsweg

6.12.1Aufgabenbeschreibung

6.12.2Lösungsweg

6.13.1Aufgabenbeschreibung

6.13.2Lösungsweg

7Differenzialgleichungen und Finite Elemente

7.1Beispiele aus der Physik für Differenzialgleichungen 1’ter Ordnung

7.2Beispiele aus der Physik für Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung

7.3Finite Elemente

8Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode

8.1Grundprinzip der Momentenmethode (MOM)

8.2Anmerkungen zur Momentenmethode

8.2.1Matrix (ljk)

8.2.2Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen ϕn und wk

8.3Zur Person Boris Galerkin

8.4Galerkins Idee

9Traditionelle Galerkin-Methode

10.1Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

10.2Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion

10.3Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

10.4Lösung des linearen Gleichungssystems

11.1Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

11.2Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion

11.3Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

11.4Lösung des linearen Gleichungssystems

12.1Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

12.2Schwache Formulierung der Differenzialgleichung

12.3Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

12.4Lösung des linearen Gleichungssystems

13.1Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

13.2Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion

13.3Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

13.4Lösung des linearen Gleichungssystems

14Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz

14.1Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters

14.1.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung

14.1.2Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

14.1.3Lösung des linearen Gleichungssystems

14.2Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters

14.2.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung

14.2.2Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

14.2.3Lösung des linearen Gleichungssystems

14.3Gegenüberstellung von FEM- mit Galerkin-Ergebnis

15Galerkin-FEM

15.1Galerkin-FEM – Was wird gelöst?

15.2Galerkin-FEM – Vorgehen zur Lösung

16.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung

16.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω

16.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

16.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen ϕ(x)

16.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

16.6Lösung des linearen Gleichungssystems

17.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung

17.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω

17.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

17.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen ϕ(x)

17.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

17.6Lösung des linearen Gleichungssystems

18Galerkin-FEM – Elektrostatische Feldberechnung

18.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung

18.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω

18.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

18.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen ϕ(x)

18.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

18.6Lösung des linearen Gleichungssystems

19Galerkin-FEM – Ortsabhängige Temperaturberechnung

19.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung

19.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω

19.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

19.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen ϕ(x)

19.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

19.6Lösung des linearen Gleichungssystems

19.7Diffusionsvorgang vollendet

20Galerkin-FEM – Ortsabhängige Magnetfeldberechnung

20.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung

20.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω

20.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion

20.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen ϕ(x)

20.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung

20.6Lösung des linearen Gleichungssystems

21Einführung in die Finite-Differenzen-Methode

21.1Numerische Notation der linearen Felddiffusionsgleichung

21.2Zu den Personen Crank und Nicolson

21.3Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson

21.3.1Überführung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung

21.3.2Lösung der Matrizengleichung

21.3.3Anwendungsbeispiel

21.4Lösung mit expliziter Methode

21.4.1Überführung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung

21.4.2Lösung der Matrizengleichung

21.4.3Anwendungsbeispiel

22Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung

22.1Analyse eines Proportionalmagnets

22.1.1Preprocessing

22.1.2Processing

22.1.3Postprocessing

22.2Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors

22.2.1Preprocessing

22.2.2Processing

22.2.3Postprocessing

22.2.4Musterbau des planaren Asynchronmotors

23Virtuelle Produktentwicklung

23.1Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool

23.2Mehrzieloptimierung – Pareto-Optimierung

23.3Optimierungsbeispiel Elektromagnet

23.3.1Monte Carlo-Methode

23.3.2Partikelschwarm-Methode

23.3.3Evolutionäre Methode

23.3.4Diskussion der Ergebnisse

24Eigenwertprobleme

24.1Eigenwertproblem – Einführung

24.2Eigenwertproblem – Momentenmethode

24.3Eigenwertproblem – kanonische Form

25.1Aufgabenbeschreibung

25.2Lösungsweg und Lösung

25.3Lösung für 1’ter Ordnung

25.4Lösung für 2’ter Ordnung

26Gemeinsamkeiten von Methoden zur Lösung von DGLs

26.1Momentenmethode (MOM)

26.2Integraltransformation

26.3Green’sche Methode

27Wissenswertes zur Modellbildung

27.1Kategorien der Modellbildung

27.2Analytik contra Numerik

28Nützliche Normen

Literaturverzeichnis

AAnhang

A.1MATLAB-Code – Wärmediffusionsskript

A.2MATLAB-Code – Magnetfelddiffusionsskript

A.3Toolvergleich – MATLAB vs. COMSOL

BCampus Künzelsau – Inside

Index

Symbole und Abkürzungen

Symbol

Bedeutung

Einheit

A

Koeffizient, Matrix

A

Fläche

m2

B

Koeffizient, Matrix

B,

magnet. Flussdichte, Vektor der magnet. Flussdichte

V s/m2

Bh

Interpolations-, Ansatzfunktion

C

Koeffizient, Matrix

C

Kapazität

As/V

C

Wärmekapazität

J/K

D

Koeffizient, Matrix

D

Ladungsdichte

As/m2

D

Diskrimminante

E

Koeffizient, Matrix

E,

elektr. Feldstärke, Vektor der elektr. Feldstärke

V/m

ε

Längenbezogene elektrische Feldstärke

V/m2

F

Koeffizient, Funktion

F

Kraft

N, kgm/s2

G

Green’sche Funktion

G

Koeffizient

H,

magnet. Feldstärke, Vektor des magnet. Feldes

A/m

HΦ

Interpolations-, Ansatzfunktion

I

Strom

A

J,

elektr. Stromdichte, Vektor der elektr. Stromdichte

A/m2

K

Konstante

L

Induktivität

V s/A

M

Matrix

N

Anzahl Knoten, Laufvariable, Windungszahl

P

Leistung

W

P

Polynomfunktion

Q

Ladung

As

R

Residuum

R

Radius

m

R

Widerstand

Ω

S

Matrix

SP

Scheitelpunkt

U

Spannung

V

V

Volumen

m3

W

Wronski-Determinante

X

Blindwiderstand, Reaktanz

Ω

Z, | Z |

Scheinwiderstand, Betrag der Impedanz

Ω

Z

Impedanz (komplexe Impedanz)

Ω

a

Koeffizient

a0

Beschleunigung

m/s2

b

Dämpfungskonstante

kg/s

c

Konstante

c

Federkonstante

N/m

c

Lichtgeschwindigkeit

m/s

c

spezifische Wärmekapazität

J/(kgK)

d

Durchmesser

m

e

e-Funktion

Einheitsvektor

f

Hilfsvariable, Funktion, Matrix, Spaltenvektor

g

Hilfsvariable, Funktion, Matrix

h

Elementlänge

m

i

Laufvariable

i

Strom

A

j

Laufvariable

j

imaginäre Einheit

k, k

Konstante, komplexe Konstante

l

Länge

m

l

Matrix

m

Laufvariable

m

Masse

kg

n

Normale, Anzahl Teilintervalle

p

Impuls

kg m/s

p

Variable, Funktion

r

Radius

m

s

Konstante

t

Zeit

s

u

Funktion, Interpolations-, Ansatzfunktion

u

Spannung

V

û0

Spannungsamplitude

V

v

Funktion, Interpolations-, Ansatzfunktion

v

Geschwindigkeit

m/s

w

Gewichts-, Wichtungs-, Test-, Formfunktion

x

Koordinate, Weg

m

y

Koordinate, Weg

m

y

Funktion

z

Koordinate

m

Γ

Rand des FEM-Gebietes

Δ

Delta, differenziell

Θ

Durchflutung

A

Φ

magnetischer Fluss

V s

Ψ

verketteter magnetischer Fluss

V s

Ω

Gebiet, Teilgebiet, Element

α

Koeffizient

β

Koeffizient

γ

Koeffizient, Randwert

δ

Abklingkoeffizient

ε

Permittivität

As/(V m)

ε0

Permittivität des Vakuums [8, 8542 10−12As/(V m)]

As/(V m)

υ

Temperatur

°C

κ

spezifische elektrische Leitfähigkeit

m/(Ωmm2)

λ

Wärmeleitfähigkeit

W/(mK)

λ

Eigenwert

μ

Permeabilität

V s/(Am)

μ0

Permeabilität des Vakuums [4π10−7V s/(Am)]

V s/(Am)

ρ

Dichte

kg/m3

ρ

Raumladungsdichte

As/m3

τ

Zeitkonstante

s

υh

Ansatz-, Testfunktion

φ

Potenzial

V

φ

Interpolations-, Ansatzfunktion

ϕ

Entwicklungs-, Basis-, Dreiecksfunktion

ω

Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz

1/s

Linearer Operator

Linearer Operator

Null-Operator

Identitätsoperator

∇

Nabla-Operator

Δ

Delta-Operator

Kapitel 1

Erforderliche mathematische Grundlagen

Die zur numerischen Lösung von Differenzialgleichungen erforderlichen Grundlagen sind in diesem Kapitel zusammengestellt worden. Diese beinhalten im Wesentlichen Matrizen, Definitionen und Klassifikationen von Differenzialgleichungen sowie Anfangs- und Randwertaufgaben und Vektoroperatoren. Hierzu besonders zu empfehlende Literatur sind [3], [51] sowie [57].

1.1Matrizen

Die Matrizenschreibweise fasst die Berechnungen mit Funktionen zusammen und erhöht damit die Übersicht. Hierzu vergleichbar fasst ein Vektoroperator Ableitungen zusammen, welche mit einem einfachen Symbol (Nabla-, Laplace-Operator) gekennzeichnet werden. Die Matrizenschreibweise (Matrizengleichungen) ermöglicht mittels den in der Literatur bekannten Lösungsverfahren die numerische Lösung von linearen Gleichungssystemen. Daher erhalten Matrix und Matrizen eine besondere Aufmerksamkeit. Hier werden ausgewählte Matrizenoperationen vorgestellt. Diese beinhalten die erforderlichen Matrizen-Rechenregeln, die Invertierung, Multiplikation einer Matrix, Matrixtypen sowie Determinantenberechnungsregeln u. a. m. Als empfehlenswerte Literatur sei hier auf [51], S. 268 ff. und [27], S. 12 ff. (Zufallsmatrizen – Neue universelle Gesetze) verwiesen.

1.1.1Rechenoperationen mit Matrizen

In Tab. 1.1 werden die wichtigsten algebraischen Axiome zusammengefasst.

Tabelle 1.1: Zusammenfassung der wichtigsten Rechenregeln

Man beachte, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, was

A·B≠B·A

bedeutet.

1.1.2Addition und Subtraktion zweier Matrizen

Zwei Matrizen gleichen Typs werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre entsprechenden Elemente addiert oder subtrahiert:

1.1.3Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar λ erfolgt durch Multiplikation eines jeden einzelnen Matrixelementes mit dem Skalar

1.1.4Quadratische Matrix

Beispiele für quadratische Matrizen sind die Diagonalmatrizen, die symmetrischen Matrizen, Normalmatrizen, hermitesche Matrizen und die Einheitsmatrizen.

1.1.5Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix E ist eine Diagonalmatrix, in welcher alle außerhalb der Hauptdiagonalen liegenden Elemente verschwinden

1.1.6Determinante

Eine Determinante wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem die Elemente einer einzigen Zeile mit dem Skalar multipliziert werden:

Die 3-reihige Determinante wird nach der Regel von Sarrus

detAa11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32− a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33

berechnet. Eine Determinante nimmt den Wert Null an, wenn

•alle Elemente gleich Null sind,

•zwei Zeilen oder Spalten gleich sind,

•zwei Zeilen oder Spalten zueinander proportional sind,

•eine Zeile oder Spalte als Linearkombination der übrigen Zeilen oder Spalten darstellbar ist.

Ein Beispiel hierzu ist

die Determinante des Dürer-Quadrates aus seinem Kupferstich MELENCOLIA I.

1.1.7Unterdeterminante oder Minor

Werden bei einer n-reihigen Determinante m beliebige Zeilen und m beliebige Spalten gestrichen, so entsteht eine (n − m)-reihige Determinante, die als Unterdeterminante (n − m)’ter Ordnung oder Minor bezeichnet wird. Ein Beispiel hierzu ist die Determinante A, deren Minor M1,2 gesucht wird. Dieser wird durch Streichen der ersten Zeile und zweiten Spalte erreicht:

Unterdeterminanten werden beispielsweise zur Berechnung der inversen Matrix erforderlich und bilden die Vorstufe zur Berechnung der Adjunkte.

1.1.8Adjunkte oder algebraisches Komplement

Die Adjunkte oder das algebraische Komplement Aadj entsteht durch Unterdeterminantenbildung der Matrix A nach der in Abb. 1.1 dargestellten Vorgehensweise. Eine anschließende Multiplikation der Elemente mit dem Vorzeichen (−1)i+k, der i-ten Zeile und k-ten Spalte, welche in der Abb. 1.1 fettgedruckt dargestellt sind sowie das Transponieren führt zur Adjunkte Aadj der Matrix A.

Abbildung 1.1: Vorgehensweise zur Entwicklung der Adjunkte

Ein Beispiel hierzu ist

Die Adjunkte darf nicht mit der adjungierten Matrix verwechselt werden. Der lateinische Begriff „Adjunkte“ bedeutet die einem Element einer Determinante zugeordnete Unterdeterminante, wobei „adjungieren“ zuordnen, beifügen bedeutet. Das lateinische Wort „Komplement“ bedeutet Ergänzung. Mit Hilfe der Adjunkte kann die Inverse einer quadratischen Matrix berechnet werden.

1.1.9Inverse Matrix

Die Berechnung der inversen Matrix A−1

erfolgt unter Verwendung der Adjunkte. Weiterhin gilt

AA−1

A−1A

E.

Ein Beispiel hierzu ist

mit

detA=93

und

Die Invertierung einer Matrix ermöglicht beispielsweise die Lösung von linearen Gleichungssystemen.

1.1.10Transponierte einer Matrix

Beispielsweise ist das Transponieren einer Matrix Bestandteil zur Berechnung der Adjunkte, oder wird zur Eigenwertberechnung angewendet.

1.1.11Komplex konjugierte Matrix

Die konjugiert komplexe Zahl von

za + bi

ist

z*a − bi.

Die komplex konjugierte Matrix von A ist A* in welcher jedes Element der Matrix durch ihr komplex konjugiertes Element ersetzt wird. Ein Beispiel hierzu ist

Das Vertauschen des Vorzeichens der imaginären Einheit entspricht der Spiegelung des Imaginärteils an der Realachse.

1.1.12Hermitesche konjugierte Matrix

Die hermitesche konjugierte Matrix oder adjungierte einer Matrix oder Adjunkte der Matrix A vom Typ (m.n) mit komplexen Elementen ist die Transponierte ihrer komplex Konjugierten, oder die komplex Konjugierte ihrer Transponierten

Ein Beispiel hierzu ist

Die adjungierte Matrix darf nicht mit der Adjunkte verwechselt werden.

1.1.13Hermitesche Matrix – selbstadjungierte Matrix

Die hermitesche Matrix A ist eine quadratische Matrix mit komplexen Elementen, die gleich ihrer adjungierten Matrix

ist. Bei reeller Elementbesetzung entsprechen die Begriffe symmetrische und hermitesche Matrix einander. Ein Beispiel hierzu ist

Hermitesche Matrizen finden beispielsweise in linearen Gleichungssystemen Anwendung. Benannt wurde die Marix nach Charles Hermite, einem französischen Mathematiker (1822-1901).

1.1.14Orthogonalmatrix

Eine quadratische Matrix A wird als orthogonal bezeichnet, wenn deren Transponierte gleich ihrer Inversen

ATA−1

oder die Multiplikation der transponierten orthogonalen Matrix mit der orthogonalen Matrix gleich der Einheitsmatix

ATAE

ist. Ein Beispiel hierzu ist

damit ist

Des Weiteren ist

gegeben. Orthogonale Matrizen finden in linearen Gleichungssystemen sowie in der Matrizenzerlegung Anwendung.

1.1.15Unitäre Matrix

Eine quadratische Matrix A mit komplexen Elementen wird als unitäre Matrix definiert, wenn

ist. Sie ist damit die Transponierte ihrer komplexen konjugierten, was der invertierten Matrix entspricht. Im Reellen fallen die Begriffe unitär und orthogonal zusammen. Ein Beispiel hierzu ist

Unitäre Matrizen finden in der Matrizenzerlegung Anwendung.

1.1.16Normalmatrix – Normale Matrix

Eine quadratische Matrix wird als Normale Matrix bezeichnet, wenn sie die Gleichung

AATATA

erfüllt. Hermitesche, unitäre, symmetrische und orthogonale Matrizen sind Beispiele von Normalmatrizen. Ein Beispiel einer Normalmatrix ist

1.1.17Norm einer Matrix

Gegeben sei die Matrix A mit

deren Norm mit

berechnet wird. Matrixnormen werden häufig in der linearen Algebra und in der numerischen Mathematik verwendet. Des Weiteren finden Sie Anwendung um die Konvergenz von Potenzreihen von Matrizen zu untersuchen.

1.1.18Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl

Bei der Lösung einer Matrizengleichung können numerische Probleme auftreten, welche es zu bewerten gilt. Gegeben ist die Matrizengleichung

•eine kleine Änderung von I

•eine kleine Änderung von I eine kleine Änderung von D, so gilt das System als gut konditioniert.

Die Bewertung einer Matrix A erfolgt mit ihrer Konditionszahl condA unter Einbezug ihrer Inversen. Hierbei ist

•condA ≈ 1: gut konditionierte Matrix (well conditioned),

•condA > 1: schlecht konditionierte Matrix (ill conditioned).

Gegeben sind die Matrizen A und A−1 mit

Die Konditionszahl condA der Matrix A wird mit der maximalen Summe der Elemente einer Reihe

berechnet. Die Matrix gilt als schlecht konditioniert. Des Weiteren wird mittels

log(condA)

log(3.603)

3, 6

die Anzahl an Dezimalen (Nachkommastellen) berechnet, welche an Genauigkeit verloren gehen. Hier liegt kein klare Definition vor, deshalb ist bei der Anwendung Vorsicht geboten.

1.1.19Eigenwert, Eigenvektor

Als Beispiel sei die Matrizengleichung

genannt, bei welcher der Spaltenvektor der linken Gleichungshälfte nicht mit dem Ergebnisvektor der rechten Gleichungshälfte übereinstimmt. Durch Änderung des linken Spaltenvektors und erneuter Multiplikation mit der Matrix folgt

ein Ergebnisvektor, welcher gleich dem linken Spaltenvektor ist. Die Matrizengleichung nimmt die allgemeine Form

Aλ ·

ein, wobei A die Matrix ist, als Eigenvektor und λ als skalarer Eigenwert bezeichnet wird. Die linke Seite der Gleichung ist eine Matrix-Vektor- und die rechte Seite der Gleichung eine skalare Multiplikation. Wird im Fortgang λ

mit Hilfe der Einheitsmatrix E beschrieben, so folgt erneut die Matrizengleichung in allgemeiner Form

A=(λE) · .

Durch Umstellen folgt

Gesucht werden Werte für λ, welche die Gleichung erfüllen. Die Bedingung wird mit dem charakteristischen Polynom P(λ)

beschrieben, welches durch die Entwicklung der Determinante entsteht. Die Bestimmung von Eigenwerten wird in physikalisch-technischen Systemen bevorzugt zur Berechnung von Resonanzfrequenzen herangezogen.

1.1.20Quadratische Matrizen – eine Zusammenfassung

Quadratische Matrizen vom Typ (m m) oder kurz Amm finden häufig zur Beschreibung physikalischer Phänomene eine Anwendung. Folgend werden quadratische Matrizen zusammengefasst, welche in der Physik eine Signifikanz erfahren.

Obere Dreiecksmatrix (upper)

Untere Dreiecksmatrix (lower)

Symmetrische Matrix

Antisymmetrische Matrix oder schiefsymmetrische Matrix

Diagonalmatrix

Orthogonale Matrix

Hermitesche Matrix oder selbstadjungierte Matrix

Antihermitesche Matrix oder schiefhermitesche Matrix

gilt für A mit komplexen Elementen

gilt für A mit komplexen Elementen

Unitäre Matrix

Normale Matrix

gilt für A mit komplexen Elementen

Abbildung 1.2: Zusammenfassung gewählter Typen quadratischer (n, n) Matrizen

1.2Integral-, Differenzialgleichungen

Viele Vorgänge in Naturwissenschaft und Technik werden mittels Differenzialgleichungen beschrieben. Um den Zugang zu den Differenzialgleichungen zu erleichtern, werden diese hier vorgestellt. Nach anfänglichen Begriffsdefinitionen wird eine Klassifizierung von Differenzialgleichungen vorgenommen. Des Weiteren werden Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben vorgestellt. Bei der nachfolgenden Zusammenfassung wurde sich insbesondere der Literatur [3], [52], [58] bedient.

1.2.1Definitionen

•Wenn x und y zwei variable Größen sind und wenn sich einem gegebenen x-Wert genau ein y-Wert zuordnen lässt, dann nennt man y eine Funktion von x und schreibt y=f(x).

•Die veränderliche Größe x heißt unabhängige Variable oder Argument der Funktion y. Die veränderliche Größe y heißt abhängige Variable.

•Differenzialgleichung