Technische Mechanik E-Book

Karl-Friedrich Fischer

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2013

Seitenzahl: 435

Beschreibung

''Technische Mechanik'' in kompakter Form wird in diesem Lehrbuch in den Hauptkapiteln Statik, Festigkeitslehre, Kinematik, Kinetik sowie Numerische Methoden behandelt. Jedes Unterkapitel schließt mit Übungsbeispielen, praxisbezogenen Hinweisen und Tipps ab, jedes Hauptkapitel mit einer Zusammenfassung. In Ingenieurbüros und Entwicklungsabteilungen der Industrie sind numerische Methoden der Festkörpermechanik, verbunden mit Simulations- und Konstruktionssoftware und der anschließenden Visualisierungen zur Beanspruchungs- und Formänderungsermittlung ein unerlässliches Handwerkszeug. Hier schafft das Kapitel Numerische Methoden der Festkörpermechanik die Verbindung zwischen den Grundlagen der Technischen Mechanik und der praktischen Umsetzung. Der Inhalt des vorliegenden Lehrbuches ist vorwiegend auf die Anwender der Technischen Mechanik und ihrer Methoden zugeschnitten und richtet sich damit insbesondere an Ingenieurstudenten des Maschinenbaus, der Werkstoffwissenschaften, der Elektrotechnik und des Wirtschaftsingenieurwesens. Diese werden vor allem befähigt, an Hand soliden Grundwissens die Maxime aller Bauteilbewertung ''so genau wie nötig, so einfach wie möglich'' zu befolgen.

Leseprobe

Contents

Vorwort (zur 2. Auflage)

Einführung

1 Statik

1.1 Grundbegriffe

1.2 Ebenes, zentrales Kraftsystem

1.3 Ebenes, allgemeines Kraftsystem

1.4 Schwerpunktsberechnung

1.5 Ebene Tragwerke

1.6 Schnittreaktionen

1.7 Haftung und Reibung (Reibungslehre)

1.8 Ebene Fachwerke

1.9 Räumliches Kraftsystem – Raumstatik

1.10 Zusammenfassung

2 Festigkeitslehre

2.1 Mathematischer Vorspann – Flächenmomente n-ter Ordnung

2.2 Grundlagen der Festigkeitslehre

2.3 Zug-Druck-Beanspruchung

2.4 Abscherbeanspruchung

2.5 Biegebeanspruchung – Biegung

2.6 Torsionsbeanspruchung – Torsion

2.7 Querkraftschub

2.8 Zusammengesetzte Beanspruchung

2.9 Energiemethoden

2.10 Einführung in die Stabilitätstheorie

2.11 Mehrachsige Spannungszustände

2.12 Ergänzungen

2.13 Zusammenfassung

3 Kinematik

3.1 Kinematik des Punktes

3.2 Kinematik des starren Körpers

3.3 Hinweise und Zusammenfassung

4 Kinetik

4.1 Kinetik des Massenpunktes

4.2 Kinetik des Massenpunktsystems

4.3 Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse

4.4 Ebene Bewegung eines starren Körpers

4.5 Ebene Bewegung eines Systems starrer Körper

4.6 Stoßprobleme

4.7 Mechanische Schwingungen

4.8 Zusammenfassung

5 Numerische Methoden

5.1 Einführende Hinweise

5.2 Von der Berechnungsformel zum Algorithmus – Beispiele

5.3 Überblick zu Simulationsverfahren

5.4 Zusammenfassung

Anhang

Ausgewählte Werkstoffkennwerte

Haft- und Gleitreibungskoeffizienten (Auswahl)

Elastizitätsmodul E, Schubmodul G und linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient αth ausgewählter Werkstoffe

Ergänzende Literatur

Sachwörterverzeichnis

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Autoren

Karl-Friedrich Fischer

Westsächsische FH Zwickau

Fakultät Kraftfahrzeugtechnik

Dr.-Friedrichs-Ring 2

08056 Zwickau

Wilfried Günther

Westsächsische FH Zwickau

Fakultät Kraftfahrzeugtechnik

Dr.-Friedrichs-Ring 2

08056 Zwickau

Coverbild

Klappbrücke in Kiel; Foto von Jens Elgner, Heppenheim. Mit freundlicher Genehmigung.

2. Auflage 2013

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Print ISBN: 978-3-527-33381-3

Vorwort (zur 2. Auflage)

Warum kann man im Gegensatz zum vierfüßigen ein dreifüßiges Maschinengestell stets ohne „kippeln“ auf eine ebene starre Unterlage stellen, wieso benutzt man sehr häufig Querschnitte von querbelasteten Trägern in Form eines Doppel-T (I-Profil), warum versucht man schroffe Querschnittsänderungen in hochbeanspruchten Wellen zu vermeiden, wie kann man die Formänderung von Tragwerksteilen im Betriebszustand vorausberechnen, wie erreicht man mittels Werkstoffauswahl und Geometrieoptimierung, dass Triebwerksteile eines PKW eine Lebensdauer von mindestens 3000 Betriebsstunden aufweisen, warum und in welchen Drehzahlbereichen treten beim Anfahren einer Maschine deutlich verstärkte Schwingungen auf?

Dies sind nur wenige, aber typische Fragen aus dem breiten Spektrum, dem der Ingenieur in seiner Tätigkeit als Konstrukteur, aber auch Werkstoffmechaniker und vor allem Berechnungsingenieur begegnet.

Befriedigende Antworten auf derartige Fragen, die oftmals mitentscheidend für die Konkurrenzfähigkeit eines Produktes sein können, lassen sich vor allem mit Hilfe der Kenntnisse und Methoden der Wissenschaftsdisziplin Technische Mechanik geben. Als „flankierende Partner“ benötigen wir die Konstruktionslehre, die Thermodynamik, die Strömungsmechanik und vor allem die Werkstoffwissenschaft/Werkstoffprüfung.

Letztendlich geht es darum, anhand geeigneter Modelle der Bauteile und Konstruktionen, d. h. Modelle der Geometrie, der Belastung, des Werkstoffes und der Umgebungsbedingungen, eine Bewertung derselben hinsichtlich ihrer Festigkeit, Lebensdauer, Zuverlässigkeit und ihres Verformungs- und Schwingungsverhaltens vorzunehmen.

Damit ist die effektive Vermittlung derartiger anwendbarer Kenntnisse im Studium des Ingenieurwesens an Hochschulen und Universitäten ein unverzichtbares „Muss“.

Darüber hinaus hat sich mit der Entwicklung, Verbreitung und Anwendung von Software der computergestützten Konstruktion ein Zustand eingestellt, dem seitens der Lehre durch die Verschiebung einiger Gewichte in der Stoffvermittlung entsprochen wird.

Der Inhalt des vorliegenden Lehrbuches ist vorwiegend auf den Anwender der Technischen Mechanik und ihrer Methoden zugeschnitten. Dieser wird vor allem befähigt, anhand soliden Grundwissens die Maxime aller Bauteilbewertung „so genau wie nötig, so einfach wie möglich“ zu befolgen.

Dies gelingt umso besser, je eher das Computerprogramm und dessen Ergebnisse als ein effektives Werkzeug zur Bauteilbewertung angesehen werden, ohne dass der wesentliche Schritt der Abschätzung und Sinnfälligkeit dieser Resultate durch den Ingenieur mit dem eigenen „Know-how“ und herkömmlichen Methoden vergessen wird. Folgerichtig widmet sich dieses Lehrbuch auch dem Spagat zwischen den Lösungswegen der traditionellen Technischen Mechanik und den Möglichkeiten der Anwendung numerischer Methoden der Festkörpermechanik.

Der alleinige Besitz des Lehrbuches verbürgt leider bis dato noch nicht die Beherrschung des Inhalts, sondern auch hier gilt die Regel beim Studium „10 % Inspiration und 90 % Transpiration“.

Zum Schluss danken wir dem Wiley-VCH Verlag Weinheim, insbesondere Herrn Dr. Martin Preuß, Frau Dr. Waltraud Wüst und Herrn Hans-jochen Schmitt, für die vertrauensvolle und partnerschaftliche Zusammenarbeit bei der Herstellung der zweiten Auflage dieses Lehrbuches.

Zwickau, im Frühjahr 2013

Die Autoren

Einführung

Ungeachtet der angenehmen Seiten des studentischen Daseins müsste der angehende Ingenieur im Hinblick auf die im späteren Berufsleben an ihn gestellten Anforderungen bemüht sein, sein Studium effektiv und effizient zu organisieren und zu absolvieren.

Hat man sich vorgenommen Ingenieur zu werden, also nach einem erfolgreichen universitären oder Fachhochschul-Studium den akademischen Grad Diplom-Ingenieur, Bachelor of Engineering oder Master of Engineering des Maschinen- und/oder Kraftfahrzeugbaus zu erwerben, dann sollte der Weg zum Vordiplom bzw. zum ersten Praktikumssemester zielstrebig und in der gegebenen Kürze erfolgreich durchlaufen werden.

Ein wichtiger Dreh- und Angelpunkt der Ausbildung (und späteren Praxis) ist das Fach Technische Mechanik (TM). In Abhängigkeit des gewählten Studienganges ist dieses im Allgemeinen über mehrere Semester in aufeinander aufbauende Pflichtmodule gegliedert. Studentenzeitungen, Studieninformationen für erstsemestrige Studenten, wie sie von verschiedenen Fachschaften verbreitet werden, entnimmt man oftmals den dezenten Hinweis „steht TM am Stundenplan, fängt schon das Dilemma an“. Nachrichten über hohe Durchfallquoten in den obligaten Prüfungen, überfüllte Hörsäle und überbelegte Übungen, Seminare und Praktika tun ein Übriges, dem Fach TM mit seiner eigentlich „zeitlosen Schönheit und Praxisnähe“ den Mantel einer Angstdisziplin überzustülpen.

Nun wäre es vermessen, mit einem Lehrbuch allein zu versuchen, dieses etwas angekratzte Image vollständig zu korrigieren. Aber vielleicht gelingt es mit den nachfolgenden Ausführungen, den wesentlichen Inhalt der Technischen Mechanik so zu vermitteln, dass an Stelle des Attributes „schwierig“ schließlich das Motto „anspruchsvoll, aber erlernbar und notwendig“ gesetzt werden kann.

Die Gültigkeit des Letzteren beweisen vor allem die zahllosen Absolventen der Hochschulen, die Kenntnisse und Methoden der Technischen Mechanik erfolgreich und zu unser aller Nutzen anwenden.

Zunächst wollen wir uns mit dem Begriff Technische Mechanik etwas näher befassen. Die Aufgabe der Mechanik als ältestes Teilgebiet der Physik lässt sich wie folgt umreißen:

Die Aufgabe der Mechanik ist die Untersuchung der in der Natur und Technik vorkommenden Bewegungen von Körpern, Flüssigkeiten und Gasen und deren mathematische Beschreibung.

Die Mechanik lässt sich folglich grob in zwei große Teilgebiete gliedern:

Die Technische Mechanik ist innerhalb der Mechanik fester Körper die Wissenschaftsdisziplin von der Änderung des

Bewegungszustandes,

Formzustandes und

Beanspruchungs-/Spannungszustandes

technischer Gebilde (tragender Konstruktionen, Bauteile).

Den Grenzfällen der Bewegung „Ruhe“ bzw. gleichförmige Bewegung kommt dabei große Bedeutung zu.

Letztendlich geht es zumeist darum, tragende Konstruktionen und Bauteile hinsichtlich ihrer

Bewegung

(z. B. Schwingung) und

Formänderung,

Festigkeit

,

Lebensdauer

(Nutzungsdauer) und

Zuverlässigkeit

(im statistischen Sinne),

zu bewerten.

Diese Bewertung erfolgt sowohl an bereits existierenden als auch an solchen Bauteilen, die sich im Entwurfsstadium befinden.

Es gelingt jedoch mittels analytischer und numerischer Methoden nicht, derartige Aussagen über den Zustand am konkreten Bauteil zu machen. Vielmehr ist es notwendig, ein zumindest gedankliches Modell des Bauteiles zu schaffen, an dem die notwendigen Untersuchungen durchgeführt werden. Die daraus resultierende Vorgehensweise lässt sich übersichtlich im nachfolgenden Schema veranschaulichen.

Für die Modellierung gilt der Grundsatz: So einfach wie möglich, so genau wie nötig.

(Sie werden noch feststellen, dass sich diese Leitregel einfacher erlernen als konsequent umsetzen lässt.)

Obwohl die Methoden der experimentellen Mechanik nicht Gegenstand des Buches sind, wird auf folgenden Umstand hingewiesen. Die Anwendung der experimentellen Mechanik am Bauteil oder entsprechenden physischen Modellen erweist sich vor allem dann als notwendig, wenn das noch weitgehend unbekannte Belastungsmodell geschaffen werden muss (sog. Lastannahmen) und wenn die Ergebnisse der analytischen und numerischen Untersuchungen zu Zweifel Anlass geben. Grundsätzlich sollte bei allen hochbeanspruchten Bauteilen, die z. T. auch in großer Stückzahl gefertigt werden und die einem hohen sicherheitstechnischen Standard genügen müssen, experimentelle Bauteiluntersuchungen durchgeführt werden, was auch vielfach in entsprechenden Regelwerken festgelegt ist.

Darüber hinaus dienen experimentelle Methoden in Verbindung mit der Werkstoffprüfung der Ermittlung der für viele Rechnungen notwendigen Werkstoffkennwerte wie Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl, thermischer Ausdehnungskoeffizient, Streckgrenze, Bruchfestigkeit, Dauerfestigkeit, Bruchzähigkeit usw.

Um den erforderlichen Ablauf insgesamt bewältigen zu können, sind anspruchsvolle, aber übersichtliche und erlernbare Kenntnisse und Methoden notwendig. Betreffs Ihrer Vorkenntnisse wird neben der Physik vor allem auf die Mathematik zurückgegriffen. Sollten sie Lücken auf den Gebieten Vektoralgebra, lineare Algebra (Gleichungslehre) und Grundlagen der Differential- und Integralrechnung haben, dann sollten Sie diese schnellstmöglich schließen.

Der entsprechende Lehrinhalt der Technischen Mechanik wird in vielen Darstellungen – und auch hier – nach den folgenden Schwerpunkten abschnittsweise gegliedert:

Statik

(einschließlich Haftung und Reibung)

Festigkeitslehre

(Elastostatik)

Kinematik

Kinetik

Numerische Methoden

Bevor wir mit der Abhandlung der Statik beginnen, erweist es sich als sinnvoll, die nach Isaac Newton benannten Axiome voranzustellen. Axiome sind bekanntlich durch die Erfahrung bestätigte Gesetze. Die Darstellung erfolgt zugeschnitten auf die Belange der Technischen Mechanik und aus heutiger Sicht:

1. Axiom (Trägheitsgesetz)

Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe bzw. der gleichförmigen Bewegung, solange keine äußere resultierende Belastung einwirkt.

2. Axiom (kinetische Grundgesetze)

Wirkt eine äußere resultierende Belastung auf einen Körper ein, dann ändert sich seine Bewegungsgröße.

3. Axiom (Wechselwirkungsgesetz)

Bei der mechanischen Wechselwirkung zwischen zwei Körpern sind Wirkung und Gegenwirkung vom Betrag gleich und in der Richtung entgegengesetzt (lat.: actio est reactio).

Zusätzlich benötigen wir das Superpositionsprinzip, den sog. Parallelogramm-Satz (nach Simon Stevin):

Mechanische Wirkungen addieren sich jeweils wie Vektoren.

1

Statik

Die Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte am ruhenden starren Körper bzw. an Teilen davon.

1.1 Grundbegriffe

Die in der Begriffserklärung der Statik enthaltenen Grundbegriffe werden nachfolgend erläutert.

1.1.1 Starrer Körper

Starrer Körper ist ein für die weiteren Betrachtungen notwendiger Abstraktionsbegriff:

Starr bezeichnet man einen Körper, der unter Einwirkung von Kräften seine Form nicht ändert.

Bei technischen Gebilden ist dies nur näherungsweise erfüllt.

1.1.2 Gleichgewicht

Als Gleichgewicht bezeichnet man die Unveränderlichkeit (Invarianz) des Bewegungszustandes bzw. den Zustand eines Körpers, bei dem die Bedingung gleichförmige Bewegung oder Ruhe erfüllt ist.

Allgemeine Gleichgewichtsbedingungen:

Die möglichen Verschiebungen und Verdrehungen des starren Körpers müssen so unterbunden werden, damit sich der Bewegungszustand nicht ändert.

Die möglichen Verschiebungen und Verdrehungen des starren Körpers nennt man Freiheitsgrade. Der starre Körper besitzt in der Ebene drei Freiheitsgrade (zwei Verschiebungen in senkrecht zueinander stehenden Richtungen, eine Verdrehung um eine Achse senkrecht zur Ebene) und im Raum sechs Freiheitsgrade (drei Verschiebungen in Richtung dreier senkrecht aufeinander stehender Achsen und drei Verdrehungen jeweils um diese Achsen).

1.1.3 Kraft – Kraftsysteme

Als Kraft bzw. Einzelkraft bezeichnet man eine Wechselwirkung zwischen Körpern, durch die Änderungen des mechanischen Zustandes der Körper verursacht werden (Bewegung, Form, Spannung). Die Wirkung erfolgt geradlinig. Die entsprechende Gerade nennt man Wirkungslinie (WL) der Kraft. Offensichtlich benötigen wir zur eindeutigen Erfassung der Kraft sowohl ihren Betrag als auch die Richtung. Damit ist die Kraft mathematisch als Vektor beschreibbar. Der Anfangspunkt des Kraftvektors heißt Kraftangriffspunkt. Entsprechend dem 2. Newton’schen Axiom ist die Kraft mit der Beschleunigung des massebehafteten Körpers verknüpft. Für einen ruhenden Körper ergibt sich dessen Kraftwirkung (das Gewicht bzw. Gewichtskraft) aus dem Produkt von Erdbeschleunigung (g ≈ 9,81 ms–2) und seiner Masse (der sog. schweren Masse). Danach besitzt die Kraft die kohärente Maßeinheit 1 Newton= 1 N := 1 kg ms–2.

Aus der Erfahrung weiß man, dass der Kraftangriffspunkt beliebig auf der Wirkungslinie gewählt werden kann:

Axiom: Die Kraft ist ein linienflüchtiger Vektor.

Zur Beschreibung der Bestimmungsgrößen einer Kraft betrachten wir die nebenstehende Skizze. Durch den Ursprung eines räumlichen kartesischen Koordinatensystems verläuft die WL einer Kraft. Als Kraftangriffspunkt wird der Ursprung gewählt. Den Koordinaten ordnen wir die Einheitsvektoren (d. h., Richtungsvektoren vom Betrag 1) zu. Nunmehr kann man den Kraftvektor durch seine Komponenten in Richtung der Koordinatenachsen darstellen:

Kraftvektor:

Komponenten:

Einheitsvektoren, Fx, Fy, Fz sind die Beträge der Komponenten.

Betrag:

Die Winkel α, β, γ zwischen dem Kraftpfeil und den Achsen dienen zur Beschreibung der Richtung.

Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten zur Einteilung der Kräfte. Wir ordnen hier nach ihrem Wirkungsort:

Kräfte, die keine Reaktionskräfte im Sinne der Statik sind, bezeichnen wir als eingeprägte Kräfte. Dies sind z. B. die Gewichtskraft und Belastungen.

Auf ein technisches Gebilde bzw. auf das entsprechende Modell, den starren Körper, wirken im Allgemeinen mehrere Kräfte ein. Man fasst diese als Kraftsysteme (oder auch Kräftegruppen) zusammen. Die Statik wird im Wesentlichen nach der Struktur der auftretenden Kraftsysteme geordnet.

In Abhängigkeit davon, ob die zum Kraftsystem gehörenden Kräfte eine gemeinsame Wirkungsebene besitzen oder nicht, unterscheidet man ebene und räumliche Kraftsysteme.

Als zentral bezeichnen wir ein Kraftsystem dann, wenn die WL der Kräfte einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.

1.1.4 Schnittprinzip – Freischneiden

Als Freischneiden bezeichnet man das gedankliche Zerlegen der Systeme oder auch einzelner starrer Körper in Einzelkörper bzw. Teile davon. Dies erfolgt anschaulich durch das gedankliche Umfahren der betreffenden Körper durch jeweils geschlossene Schnittflächen (im Raum) und Schnittlinien (in der Ebene).

An den Schnittstellen werden dann entsprechend dem 3. Newton’schen Axiom die paarweisen Reaktionskräfte frei. Diese besitzen an den je Schnittstelle neu entstandenen zwei Schnittufern jeweils die gleiche Wirkungslinie, den gleichen Betrag und entgegengesetzte Richtung.

(Die Grundidee wurde übrigens bereits Mitte des 18. Jahrhunderts vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler entwickelt; ein Name, der uns noch an vielen Stellen der Technischen Mechanik begegnen wird.) Ein Beispiel für das Freischneiden in der Ebene zeigt das nachstehende Bild.

Unter dem Leitspruch „vom Einfachen zum Schwierigen“, wollen wir nunmehr die mechanischen Gesetzmäßigkeiten in Kraftsystemen kennenlernen. Dementsprechend folgt zunächst das ebene, zentrale Kraftsystem.

1.2 Ebenes, zentrales Kraftsystem

Ein ebenes, zentrales Kraftsystem liegt dann vor, wenn die Wirkungslinien der Kräfte eine gemeinsame Ebene aufspannen und einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Wir legen in die Wirkungsebene ein kartesisches Koordinatensystem .