Übungsbuch Wirtschaftsmathematik für Dummies E-Book

Sören Jensen

• Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
• Kategorie: Fachliteratur
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 387

Veröffentlichungsjahr: 2019

Beschreibung

Sich all die Regeln der verschiedenen Gebiete der Wirtschaftsmathematik zu merken ist schon ein hartes Geschäft und dann soll man sie auch noch richtig anwenden. Ist die Not groß, ist das passende »... für Dummies«-Buch nicht weit. Mit dem »Übungsbuch Wirtschaftsmathematik für Dummies« können Sie sich zielgerichtet auf die nächsten Prüfungen vorbereiten. Mit zahlreichen Übungen zu Algebra, Analysis, Linearer Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Finanzmathematik gewinnen Sie Sicherheit und können mit Zuversicht den Herausforderungen aus der Welt der Wirtschaftsmathematik entgegensehen.

Leseprobe

Übungsbuch Wirtschaftsmathematik für Dummies

Schummelseite

NIEMALS NULL IM NENNER

, aber ist undefiniert.

SPEZIELLE PRODUKTE

Ausklammern:

binomische Formel:binomische Formel:binomische Formel:

QUADRATFORMELN

abc-Formel: Wenn ist, dann gilt: .

pq-Formel: Wenn ist, dann gilt: .

REGELN FÜR POTENZEN

REGELN FÜR WURZELN

LOGARITHMUSREGELN

Äquivalenzen:

Logarithmus von 1:

Logarithmus von a zur Basis a:

Natürlicher Logarithmus:

Logarithmus eines Produkts:

Logarithmus eines Quotienten:

Logarithmus einer Potenz:

Logarithmus eines Kehrwerts:

DIE HANDLICHE ABLEITUNGSTABELLE

Die Summenregel

Die Produktregel

Die Quotientenregel

Die Kettenregel

Übungsbuch Wirtschaftsmathematik für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

2. Auflage 2019

© 2019 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: © Aris Suwanmalee / stock.adobe.comKorrektur: Petra Heubach-Erdmann, KölnExternes Projektmanagement: Harriet Gehring, Köln

Print ISBN: 978-3-527-71620-3ePub ISBN: 978-3-527-82369-7

Über die Autoren

Dr. Sören Jensen, CFA, studierte Betriebswirtschaftslehre an der Universität Mannheim und promovierte am dortigen Lehrstuhl für ABWL, Risikotheorie, Portfoliomanagement und Versicherungswirtschaft. Er arbeitet nun im strategischen Kapitalanlagemanagement bei einer großen Versicherung. Nebenbei führt er Seminare in der Privatwirtschaft zu den Themen Risikomanagement sowie Investment Management durch und hält eine Vorlesung zur Einführung in die Betriebswirtschaftslehre an der VWA München. In der übrigen Zeit freut er sich über den Verkaufserfolg des Buches Wirtschaftsmathematik für Dummies. Sein Spaß an der Wirtschaftsmathematik wurde ihm im ersten Semester von einem Super-Dozenten vermittelt:

Prof. Dr. Christoph Mayer studierte Betriebswirtschaftslehre an der Universität Mannheim und promovierte am dortigen Lehrstuhl für ABWL, Risikotheorie, Portfoliomanagement und Versicherungswirtschaft. Im Anschluss war er im Konzernrisikomanagement der EnBW Energie Baden-Württemberg AG tätig. Unter anderem führte er dort als Projektleiter die wahrscheinlichkeitsbasierte Modellierung relevanter Finanzkennzahlen ein. Im Jahr 2013 nahm er einen Ruf der Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden auf die Professur für Betriebswirtschaftslehre/Investition und Finanzierung an. Seit 2017 ist er zudem Mitglied des Vorstandes der Risk Management Association e. V.

Dr. Olivia Gwinner absolvierte an der Universität Mannheim und der University of the Sunshine Coast in Australien ihr Studium der Betriebswirtschaftslehre. Im Anschluss promovierte sie am Lehrstuhl für Business-to-Business Marketing, Sales & Pricing der Universität Mannheim. Während ihres Studiums und ihrer Promotion sammelte sie langjährige Lehrerfahrung in den Fächern Finanzmathematik, Quantitative Methoden, Statistik und Marketing. Mittlerweile arbeitet sie bei einem großen Softwareunternehmen.

Marina Friedrich studierte Betriebswirtschaftslehre an der Universität Mannheim und der HEC Paris. Schon während ihres Studiums sammelte sie Lehrerfahrung in den Fächern Finanzmathematik, Quantitative Methoden und Management. Sie promoviert am Center for Doctoral Studies in Business an der Universität Mannheim im Bereich Management. Außerdem forscht und lehrt sie als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Lehrstuhl für ABWL, Public & Nonprofit Management.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelseite

Impressum

Über die Autoren

Einführung

Über dieses Buch

Konventionen in diesem Buch

Törichte Annahmen über den Leser

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Einfache Algebra

Kapitel 1 Das kleine Einmaleins der Wirtschaftsmathematik: Einfache Algebra

Mit Vorzeichen rechnen

Wichtige Rechengesetze

Mit Brüchen rechnen

Prozent und Promille

Potenzrechnung

Back to the roots: Mit Wurzeln rechnen

Lassen Sie sich von Logarithmen nicht aus dem Rhythmus bringen

Mehrere Terme ausmultiplizieren

Lösungen

Kapitel 2: Gleichungen lösen

Lineare Gleichungen

Quadratische Gleichungen

Bruchgleichungen?! Immer schön rational bleiben

Wurzelgleichungen lösen

Exponentialgleichungen lösen

Lösungen

Teil II: Analysis

Kapitel 3: Folgen und Reihen

Grundlagen der Folgen

Arithmetische und geometrische Folgen

Immer der Reihe nach ...

Lösungen

Kapitel 4: Die Funktion der Funktionen

Die Grundlagen der Funktionen

Lösungen

Kapitel 5: Eigenschaften von Funktionen

Schnittpunkte mit den Achsen

Grenzwerte

Stetige Funktionen

Lösungen

Kapitel 6: Testen Sie Ihr Fahrverhalten: Kurvendiskussion

Ableitungen bestimmen

Die Höhen und Tiefen des Lebens: Extrema finden

Aufgabenstellung aus der Wirtschaft

Lösungen

Kapitel 7: Mehrdimensionale Funktionen

Lassen Sie sich kein x für ein u vormachen – partielle Ableitungen bilden

Für alle, die höher hinaus wollen – Ableitungen höherer Ordnung

Minima und Maxima bestimmen

Lösungen

Kapitel 8: Und jetzt andersherum – Integralrechnung

Stammfunktionen – die Rückwärts-Differentiation

Flächen unter Funktionskurven bestimmen

Lösungen

Teil III: Matrizen und Gleichungssysteme

Kapitel 9: Mehr Mathe mit mächtigen Matrizen

Verschiedene Matrizentypen

Addieren und Subtrahieren

Multiplizieren mit einem Skalar

Multiplizieren von Matrizen

Innerbetriebliche Materialverflechtung

Lösungen

Kapitel 10: Lineare Gleichungssysteme lösen

Zuerst auf die grafische Art und Weise

Dann durch Addition

Oder doch lieber durch Einsetzen?

Mehr als nur zwei Gleichungen

Betriebswirtschaftliche Anwendungen

Lösungen

Kapitel 11: Noch mehr Möglichkeiten mit Matrizen

Determinanten von Matrizen

Dichter schreiben in Versen – Sie ermitteln Inversen

Das Leontief-Modell

Lösungen

Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 12: Warm-up für die Wahrscheinlichkeitsrechnung – die wichtigsten Grundlagen

Mengennotationen verstehen und formulieren

Die verschiedenen Arten der Wahrscheinlichkeit und Regeln zur Berechnung

Unabhängige Ereignisse

Ausschließlichkeit von Ereignissen

Lösungen

Kapitel 13: Wahrscheinlichkeitsdiagramme – ein Bild sagt mehr als tausend Worte

Venn-Diagramme interpretieren und zeichnen

Baum-Diagramme interpretieren und zeichnen

Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

Das Bayes-Theorem

Lösungen

Kapitel 14: Immer schön die Diskretion wahren – der richtige Umgang mit diskreten Verteilungen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Ermittlung und Anwendung kumulativer Verteilungsfunktionen

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung diskreter Zufallsvariablen bestimmen

Lösungen

Kapitel 15: »Also normal ist das nicht!« – die Normalverteilung verstehen und anwenden

Der Umgang mit Normalverteilungen

Rückwärtsrechnung

Lösungen

Kapitel 16: Besondere diskrete und stetige Verteilungen

Diskrete Verteilungen

Stetige Verteilungen

Lösungen

Kapitel 17: Groß denken, aber Grenzen kennen – das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz

Das Gesetz der großen Zahlen

Lösungen

Teil V: Finanzmathematik

Kapitel 18: Von Zinsen und Zinseszinsen

Verschiedene Verzinsungen

Lösungen

Kapitel 19: Eines ist sicher: Die Rentenrechnung

Jährliche gleich hohe Zahlungen

Unterjährige Rente

Kapitalverzehr

Wachsende oder fallende Renten

Ewige Renten

Lösungen

Kapitel 20: Tilgen, tilgen, tilgen!

Grundlegendes

Ratentilgung

Annuitätentilgung

Laufzeit des Darlehens

Lösungen

Kapitel 21: Das Anleihen-Einmaleins

Mit Anleihen Geld an andere leihen

Immer schön fair bleiben – gerade beim Kurs einer Anleihe

Renditen ermitteln

Lösungen

Kapitel 22: To invest or not to invest – das ist hier die Frage

Zahlungsströme aufstellen und verstehen

Die Kapitalwertmethode verstehen und anwenden

Interne Zinssätze berechnen

Amortisationsdauern bestimmen

Lösungen

Teil VI: Top-Ten-Teil

Kapitel 23: Zehn Excel-Funktionen, die Ihnen das Leben erleichtern

Pivot-Tabelle

Daten filtern

Weiße Hintergrundfarbe

Bedingte Formatierung

Umbruchvorschau

Der S-Verweis

Absoluter Verweis

Doppelklick zum Kopieren von Formeln

Spur zum Nachfolger

Makro aufzeichnen

Kapitel 24: Zehn Orte zum mehr oder weniger effektiven Mathelernen

In den eigenen vier Wänden

Im Café

Im Garten

In der Bibliothek

Am Strand

Am Küchentisch

Im Keller

In der U-Bahn

Am Schreibtisch

Im Baumhaus

A: Tabelle für die Normalverteilung

Stichwortverzeichnis

End User License Agreement

Tabellenverzeichnis

Kapitel 8

Tabelle 8.1: Formeln zur Bestimmung von Stammfunktionen

Kapitel 10

Tabelle 10.1: Text in Tabellen – so ist es übersichtlicher

Tabelle 10.2: Anfallende Primärkosten je Kostenstelle

Kapitel 14

Tabelle 14.1: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X

Tabelle 14.2: Kumulative Verteilungsfunktion von X

Tabelle 14.3: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zur Zufallsvariablen X

Tabelle 14.4: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Zufallsvariablen Z

Tabelle 14.5: Kumulative Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Z

Tabelle 14.6: Intervalle und ihre Komplemente

Tabelle 14.7: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X

Tabelle 14.8: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zur Zufallsvariablen Z

Tabelle 14.9: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zur Zufallsvariablen X

Tabelle 14.10: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zur Zufallsvariablen Z

Kapitel 17

Tabelle 17.1: Vorhergesagte und tatsächliche Häufigkeiten

Tabelle 17.2: Vorhergesagte und tatsächliche Häufigkeiten der getroffenen Freiwürfe

Kapitel 18

Tabelle 18.1: Kontostaffel bei linearer Verzinsung

Tabelle 18.2: Kontostaffel bei exponentieller Verzinsung

Tabelle 18.3: Kontostaffel bei unterjähriger Verzinsung und halbjährlicher Zinsgutschrift

Tabelle 18.4: Effektivzinssätze für die verschiedenen Zinsmodelle bei

,

und

Kapitel 20

Tabelle 20.1: Tilgungsplan bei Ratentilgung

Tabelle 20.2: Tilgungsplan bei Annuitätentilgung

Tabelle 20.3: Tilgungsplan bei Ratentilgung

Tabelle 20.4: Tilgungsplan bei Annuitätentilgung

Kapitel 22

Tabelle 22.1: Zahlungsstrom der Erdbeereisproduktion

Tabelle 22.2: Zahlungsstrom verschiedener Investitionsalternativen

Tabelle 22.3: Zahlungsstrom der neuen Druckmaschine

Tabelle 22.4: Zahlungsstrom Ihrer Investition in einen Waffelstand

Tabelle 22.5: Zahlungsstrom der Textmarkerproduktion in Tabellenansicht

Tabelle 22.6: Tabellarische Übersicht der Kapitalanlage im Sparstrumpf

Tabelle 22.7: Zahlungsstrom beim zweimaligen Kuchenbacken

Illustrationsverzeichnis

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Täglich verkaufte Eismenge im Jahresverlauf

Abbildung 4.2: Kosten in Abhängigkeit der telefonierten Minuten

Kapitel 5

Abbildung 5.1:

Der Graph der Funktion

Kapitel 8

Abbildung 8.1: Graph von

Abbildung 8.2: Graph von

Abbildung 8.3: Entrepreneurheims neues Gewerbegebiet

Abbildung 8.4: Graph von

Abbildung 8.5: Graph von

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Die Verflechtung von Rohstoffen zu Endprodukten als Pfeildiagramm

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Der Punkt, in dem sich die Geraden treffen, ist die Lösung des Gleichungssystems.

Abbildung 10.2: Die Leistungsverflechtungen als Pfeildiagramm

Abbildung 10.3: Grafische Lösung eines Gleichungssystems

Abbildung 10.4: Grafische Lösung eines Gleichungssystems mit drei Gleichungen

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Beispiel für ein Venn-Diagramm mit Schnittmenge

Abbildung 13.2: Venn-Diagramm zu Aufgabe 13.2

Abbildung 13.3: Venn-Diagramm zu Aufgabe 13.3

Abbildung 13.4: Baumdiagramm für einen zweistufigen Prozess (Münzwurf)

Abbildung 13.5: Zweistufiges Baumdiagramm

Abbildung 13.6: Baumdiagramm zu Aufgabe 13.6

Abbildung 13.7: Schritt 1 des Venn-Diagramms zu Aufgabe 13.1

Abbildung 13.8: Schritt 2 des Venn-Diagramms zu Aufgabe 13.1

Abbildung 13.9: Schritt 3 des Venn-Diagramms zu Aufgabe 13.1

Abbildung 13.10: Schritt 4 des Venn-Diagramms zu Aufgabe 13.1

Abbildung 13.11: Venn-Diagramme zu Aufgabe 13.2

Abbildung 13.12: Baumdiagramm zu Aufgabe 13.4

Abbildung 13.13: Baumdiagramm zu Aufgabe 13.5

Abbildung 13.14: Baumdiagramm zu Aufgabe 13.8

Abbildung 13.15: Baumdiagramm zu Abbildung 13.9

Kapitel 14

Abbildung 14.1: Histogramm der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X

Abbildung 14.2: Form einer kumulativen Verteilungsfunktion

Abbildung 14.3: Kumulative Verteilungsfunktion zu Aufgabe 14.4

Abbildung 14.4: Baum zu Aufgabe 14.1

Abbildung 14.5: Histogramm der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X

Abbildung 14.6: Kumulative Verteilungsfunktion zu Aufgabe 14.2

Kapitel 15

Abbildung 15.1: Normalverteilung zu Aufgabe 15.1

Abbildung 15.2: Normalverteilung mit

und

Abbildung 15.3: Form der Funktion aus Aufgabe 15.2

Abbildung 15.4: Form der Funktion aus Aufgabe 15.3

Abbildung 15.5: Form der Funktion aus Aufgabe 15.4

Kapitel 16

Abbildung 16.1: Kumulative Verteilungsfunktion

Kapitel 21

Abbildung 21.1: Eine vierjährige Anleihe

Abbildung 21.2: Eine sechsjährige Anleihe

Abbildung 21.3: Fairer Wert einer Anleihe mit einem Nominalzinssatz von 6 % p.a. sowie einem Rückzahlungskurs und Nennwert von 100 Euro

Abbildung 21.4: Zahlungsstrom einer fünfjährigen Anleihe

Abbildung 21.5: Zahlungsstrom einer sechsjährigen Anleihe

Abbildung 21.6: Zahlungsstrom einer am Markt notierten Anleihe

Abbildung 21.7: Grafische Veranschaulichung des Zahlungsstroms einer Anleihe

Kapitel 22

Abbildung 22.1: Grafische Veranschaulichung des Zahlungsstroms der Erdbeereisproduktion

Guide

Cover

Inhaltsverzeichnis

Begin Reading

Pages

C1

1

2

3

4

7

8

9

21

22

23

24

25

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

341

342

343

344

345

346

347

348

349

350

351

352

353

354

355

356

357

358

359

360

361

362

363

364

365

366

367

368

369

370

371

372

373

374

375

376

377

378

379

380

381

382

383

384

385

386

387

388

389

390

391

392

393

395

396

397

398

E1

Einführung

Stellen Sie sich vor, Sie gehen in eine Wirtschaft. Sie bestellen ein kühles, erfrischendes Getränk und eine deftige Mahlzeit zur Stärkung. Im Laufe des Abends trinken Sie vielleicht noch das ein oder andere leckere Getränk Ihrer Wahl. Bevor Sie sich dann zu später Stunde auf den Heimweg machen, müssen Sie natürlich noch Ihre Rechnung begleichen. Da Sie dem etwas zwielichtigen Wirt – warum haben Sie sich eigentlich ausgerechnet so eine Spelunke ausgesucht? – nicht über den Weg trauen, rechnen Sie vorab lieber mal aus, wie viel Sie ihm eigentlich schulden und wie viel Rückgeld Sie erwarten dürfen. Und was brauchen Sie, um diese Berechnungen durchzuführen? Wirtschaftsmathematik!

Wirtschaftsmathematische Fragestellungen begegnen Ihnen natürlich nicht nur in der Kneipe, sondern an ganz vielen Stellen im Berufsleben und auch im Alltag. Vielleicht haben Sie auch schon ein Buch darüber gelesen oder sich in der Schule oder Uni mit Wirtschaftsmathematik befasst. Wenn Ihnen das bisher zu theoretisch war und Sie auf der Suche nach anschaulichen Übungsaufgaben sind, halten Sie genau das richtige Buch in den Händen. Dieses Übungsbuch steckt voller Aufgaben aus allen Bereichen der Wirtschaftsmathematik, die darauf warten, von Ihnen gelöst zu werden – und natürlich voller Lösungen.

Über dieses Buch

Das Übungsbuch Wirtschaftsmathematik für Dummies richtet sich an Schülerinnen und Schüler an Wirtschaftsschulen, an Studierende der Wirtschaftswissenschaften im Haupt- oder Nebenfach in den ersten Semestern und natürlich an all diejenigen, die sich anhand von kurzweiligen Übungsaufgaben in das Thema einarbeiten möchten.

Für Schülerinnen und Schüler an Wirtschaftsschulen bietet dieses Buch zahlreiche Übungsaufgaben aus den Bereichen der Wirtschaftsmathematik. Mit der zusätzlichen Vertiefung in linearer Algebra, Analysis und Finanzmathematik ist es aber auch für Schülerinnen und Schüler anderer Schulformen bestens geeignet.

Wenn Sie gerade mit dem Studium der Wirtschaftswissenschaften begonnen haben und Ihnen die mathematischen Vorlesungen zu theoretisch sind, sollten Sie dieses Buch durcharbeiten. Es wiederholt die wichtigsten Inhalte der Wirtschaftsmathematik und bietet anhand von anschaulichen Aufgaben unzählige Möglichkeiten zur Anwendung Ihres theoretischen Wissens.

Auch wenn Sie einen nicht wirtschaftswissenschaftlichen Studiengang absolvieren, benötigen Sie oftmals eine betriebswirtschaftliche Grundbildung. Mit diesem Buch finden Sie die richtige Herangehensweise an Fragestellungen und lösen diese zielgerichtet.

Auch wenn Ihre Schulzeit schon ein paar Tage zurückliegt, können Sie mit diesem Buch rechnen. Wirtschaftsmathematik begegnet Ihnen schließlich nicht nur in der Schule oder im Studium, sondern lauert hinter jeder Ecke, sowohl im Alltag als auch im Berufsleben. Da kann ein bisschen Übung sicherlich nicht schaden.

Bei diesem Übungsbuch handelt es sich um ein benutzerfreundliches Mathematikbuch. Wo immer es möglich ist, wurde auf Fachchinesisch verzichtet. Kurze Wiederholungen zu Beginn der Kapitel rufen Ihnen noch einmal die wichtigsten Dinge in Erinnerung, sodass Sie ohne Zusatzmaterialien gleich voll durchstarten und üben, üben, üben können. Bis Sie ein wahrer Meister der Wirtschaftsmathematik sind!

Konventionen in diesem Buch

Die folgenden Konventionen sollen Ihnen helfen, sich in diesem Buch schnell zurechtzufinden.

Wichtige Begriffe werden bei ihrem ersten Auftreten in diesem Buch

kursiv

gekennzeichnet und erklärt.

Die Kapitel widmen sich nach kurzen Wiederholungen der wichtigsten Grundlagen anwendungsbezogenen Übungsaufgaben.

Am Ende jedes Kapitels finden Sie die Lösungen zu den Übungsaufgaben.

Zwischendurch finden Sie hilfreiche Tipps, mit denen Sie in Zukunft alle Fragestellungen problemlos beantworten können.

Törichte Annahmen über den Leser

Als Leser dieses Buches sollten Sie …

… schon einmal etwas vom Begriff Mathematik gehört haben.

… nicht ganz ohne mathematische Vorkenntnisse mit den Übungsaufgaben starten, auch wenn dieses Buch zu Beginn jedes Kapitels nochmals die wichtigsten Grundlagen wiederholt. Wenn Ihre letzte Begegnung mit der Mathematik etwas länger her ist, schauen Sie, bevor Sie mit dem Rechnen beginnen, vielleicht besser noch mal in das Hauptbuch

Wirtschaftsmathematik für Dummies

.

… bereit sein, ein wenig Zeit und Mühe aufzubringen. Obwohl wir natürlich versucht haben, den Stoff so intuitiv und simpel wie möglich darzustellen, gilt auch hier: ohne Fleiß kein Preis. Ganz ohne etwas Zeit und Mühe in die Lösung der Aufgaben zu stecken, werden Sie in Sachen Wirtschaftsmathematik nicht weiterkommen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Übungsbuch orientiert sich an der Struktur des Hauptbuchs Wirtschaftsmathematik für Dummies. Es besteht aus den fünf Teilen Algebra, Analysis, lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Finanzmathematik. Diese Teile sind wiederum in mehrere Kapitel gegliedert, in denen Übungsaufgaben mit Lösungen vorgestellt werden.

Teil I: Einfache Algebra

Die wichtigsten Grundlagen finden Sie in Teil I – von der einfachen Algebra bis hin zum Lösen von Gleichungen. Die Aufgaben in diesem Teil eignen sich wunderbar zum Warmwerden. Wenn danach das grundlegende Handwerkszeug wieder sitzt, kann in den folgenden Teilen nichts mehr schiefgehen!

Teil II: Analysis

Teil II richtet sich an den Analytiker in Ihnen – Sie werden sich hier ausschließlich mit Analysis befassen. Nachdem Sie Folgen und Reihen wiederholt haben, können Sie sich voll und ganz den Funktionen widmen. Denn diese sind nicht nur in der Schule oder Uni wichtig, sondern auch für viele wirtschaftliche Fragestellungen äußerst hilfreich. Anhand verschiedenster Aufgaben lernen Sie zunächst alle wichtigen Eigenschaften von Funktionen kennen. Dann sind Sie fit für Kurvendiskussionen: Schnittpunkte berechnen, Extrema bestimmen und Funktionen zeichnen wird nach diesem Teil ein Leichtes für Sie sein. Zum Abschluss werden Sie sich sogar mit mehrdimensionalen Funktionen beschäftigen und durch die Integralrechnung auch verstehen, wieso es der e-Funktion auf Partys schwerfällt, sich zu integrieren.

Teil III: Matrizen und Gleichungssysteme

Wenn Sie systematische Lösungen mögen, sind Sie in diesem Teil genau richtig. Denn hier dürfen Sie mit Matrizen rechnen. Komplizierte Gleichungssysteme werden mit der Matrixrechnung gleich viel überschaubarer. Mit ihr bringen Sie Ordnung in Ihre Zahlenwelt. Dies ist auch für viele ökonomische Probleme äußert hilfreich: Sie wollen beispielsweise wissen, wie viele Rohstoffe Sie für die Produktion Ihres Endprodukts benötigen? Oder welche Preise Sie setzen sollten? All diese Fragen zu beantworten, wird nach Teil III ein Kinderspiel für Sie sein.

Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sie möchten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Sie nach Teil III bereits aufgegeben haben? Dazu sollten Sie unbedingt mit Teil IV weitermachen, denn hier üben Sie alle wichtigen Aspekte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wiederholen zunächst grundlegende Notationen, um dann Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen berechnen zu können. Außerdem lernen Sie verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennen, mit deren Hilfe Sie Entscheidungen treffen können. Die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Fehlentscheidung wäre, nach Teil III aufzugeben? Wohl sehr hoch!

Teil V: Finanzmathematik

Welches Thema darf in einem Wirtschaftsmathematik-Buch nicht fehlen? Das liebe Geld natürlich. Teil V widmet sich diesem voll und ganz. Sie möchten die Höhe Ihrer Rente berechnen? Oder endlich wissen, wie genau die Zinsen auf Ihrem Konto eigentlich zustande kommen? Oder auch wenn Sie groß denken und gerne wissen möchten, ob Ihre geplante Millionen-Investition vorteilhaft ist, sind Sie in diesem Teil gut aufgehoben. Nachdem Sie die Übungsaufgaben gemeistert haben, werden Sie all diese Fragen mit Leichtigkeit beantworten können.

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Zum Abschluss, wie in jedem …für Dummies-Buch: die Top-Ten-Listen. Diesmal mit zehn hilfreichen Excel-Funktionen und zehn Orten, die sich besonders gut zum Mathelernen eignen.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Im Buch werden Sie öfter über einige Symbole stolpern. Diese sollen Sie auf Besonderheiten und wichtige Informationen aufmerksam machen.

Neben diesem Symbol finden Sie Definitionen oder andere Informationen, die Sie sich merken sollten.

Die Glühbirne weist Sie auf wichtige Tipps und Tricks hin, die Ihnen das Leben leichter machen und Sie schneller zur Lösung der Aufgaben führen.

Achtung! Dieses Symbol soll Sie auf häufig gemachte Fehler hinweisen, die Sie unbedingt vermeiden sollten.

Wie es weitergeht

Zuerst einmal sollten Sie Ihr Getränk austrinken, die Rechnung begleichen, sich dabei nicht vom zwielichtigen Wirt übers Ohr hauen lassen und dann nach Hause gehen – oder an einen anderen tollen Ort zum Mathelernen. Anregungen dafür finden Sie übrigens im letzten Kapitel dieses Buchs. Und dann geht's endlich los mit den Grundlagen in Kapitel 1. Falls Sie keine Auffrischung Ihres Grundwissens benötigen, können Sie aber auch an einer anderen Stelle einsteigen. Wenn Sie dann in ein paar Wochen nach dem Lösen ganz vieler Aufgaben wieder in der Wirtschaft sitzen und ein zwangloses Gespräch beginnen möchten, haben Sie ein Thema mehr zum Einstieg:

Das Wetter

Der Tatort vom letzten Sonntag

Staudensellerie

Politik

Fußball

Die Gesellschaft im Allgemeinen

Hydrokulturen im Speziellen

Wirtschaftsmathematik

Teil I

Einfache Algebra

IN DIESEM TEIL …

Mit der Mathematik ist es wie mit dem Kochen: Wie wollen Sie ein kompliziertes Drei-Gänge-Menü kochen, wenn Sie nicht wissen, wie man ein Ei aufschlägt oder das Messer richtig hält? Genau: gar nicht! Und wie wollen Sie Tilgungsraten bestimmen, mit Matrizen hantieren oder Ihre Gewinnchancen beim Lotto ausrechnen (übrigens eine sehr ernüchternde Rechnung), wenn Sie die Grundlagen der Mathematik nicht kennen? Wieder richtig geraten: gar nicht! Aber Sie haben Glück – genau diese notwendigen Grundlagen finden Sie in Teil I dieses Buches. Los geht es mit einfacher Algebra, bevor Sie sich dem Lösen von Gleichungen widmen. Hier können Sie Ihr Basiswissen auffrischen, wenn Sie schon länger nichts mehr mit Mathematik am Hut hatten und schon seit einigen Jahren aus der Schulbank herausgewachsen sind. Nach dem Lösen der Aufgaben sollte das Jonglieren mit Brüchen, Potenzen und Wurzeln ein Kinderspiel für Sie sein. Worauf warten Sie noch?! Satteln Sie die Pferde, schärfen Sie die Messer, spitzen Sie die Bleistifte und werden Sie Wirtschaftsmathematik-Profi!

Kapitel 1

Das kleine Einmaleins der Wirtschaftsmathematik: Einfache Algebra

IN DIESEM KAPITEL

Mit Vorzeichen und Klammern rechnen

Wichtige Rechengesetze kennenlernen und anwenden

Sich mit Brüchen und Prozenten anfreunden

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen berechnen

Mehrere Terme ausmultiplizieren

Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Algebra und legt damit das Fundament für die folgenden Kapitel. Vieles, was hier behandelt wird, haben Sie sicherlich schon einmal angewendet – im Alltag, im Job, im Studium oder im Mathematikunterricht. Hier haben Sie die Möglichkeit, Ihr Wissen aufzufrischen und die Grundlagen zu wiederholen.

Mit Vorzeichen rechnen

Haben Sie sich schon mal gefragt, warum eins plus eins zwei ergibt? Und wie werden eigentlich negative Zahlen addiert? Die Addition von zwei Zahlen wird mit dem Pluszeichen »+« gekennzeichnet:

Dabei nennt man und Summanden. Addiert man sie, das heißt, rechnet sie zusammen, erhält man die Summe. Natürlich können auch mehr als zwei Zahlen addiert werden.

DieSubtraktion, auch bekannt als Minus-Rechnung, ist die Umkehroperation der Addition. Was bedeutet das? Betrachten Sie beispielsweise die Zahl 5. Wenn Sie 3 zu 5 addieren, ist das Ergebnis 8. Die Addition können Sie umkehren, indem Sie 3 wieder von 8 abziehen. Das Ergebnis ist 5 – die ursprüngliche Zahl. Die Subtraktion wird mit dem Minuszeichen »–« aufgeschrieben.

Man nennt Minuend und Subtrahend. ist das Ergebnis der Subtraktion und wird als Differenz zwischen und bezeichnet. Die Subtraktion kann auch als Addition der Gegenzahl verstanden werden. Statt von abzuziehen, können Sie also auch zu addieren:

Bei der Multiplikation und der Division multiplizieren oder dividieren Sie zunächst die Beträge der Zahlen. Der Betrag einer Zahl ist die Zahl ohne ihr Vorzeichen. Über das Vorzeichen des Ergebnisses entscheiden die Vorzeichen der Zahlen, die Sie miteinander multiplizieren beziehungsweise durcheinander dividieren.

Bei der Multiplikation oder Division von zwei Zahlen ist das Ergebnis positiv, falls beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben. Haben die beiden Zahlen unterschiedliche Vorzeichen, dann ist das Ergebnis negativ.

Aufgabe 1.1

Führen Sie die folgenden Berechnungen durch.

Wichtige Rechengesetze

Es gibt einige wichtige Rechengesetze, die Ihnen das Leben leichter machen. Das Kommutativgesetz besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge Zahlen addiert oder miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis ist immer das gleiche.

Kommutativgesetz der Addition:

Kommutativgesetz der Multiplikation:

DasAssoziativgesetz sagt aus, dass Sie die Gruppierungen von Operationen verändern können, ohne dass sich dadurch das Ergebnis ändert. Oder einfacher ausgedrückt: Sie können Klammern setzen, wie Sie möchten.

Assoziativgesetz der Addition:

Assoziativgesetz der Multiplikation:

Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation, aber NICHT für die Subtraktion und die Division.

Ein weiteres wichtiges Rechengesetz, das die Multiplikation mit der Addition beziehungsweise Subtraktion verbindet, ist das Distributivgesetz.

Distributive Multiplikation über die Addition:

Distributive Multiplikation über die Subtraktion:

Wie Sie sehen, können Sie nach dem Distributivgesetz jeden Term innerhalb einer Klammer mit dem Koeffizienten außerhalb der Klammer multiplizieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Umgekehrt funktioniert es natürlich auch, dann spricht man vom Ausklammern.

Aufgabe 1.2

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich.

Aufgabe 1.3

Klammern Sie aus.

Mit Brüchen rechnen

In diesem Abschnitt lernen Sie, wie Sie mit Brüchen rechnen können. Ein Bruch besteht aus einem Zähler, einem Bruchstrich und einem Nenner. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Der Zähler wird durch den Nenner geteilt, also zum Beispiel:

Der Nenner eines Bruchs darf nie null sein!

Vertauscht man den Zähler und den Nenner eines Bruchs, so erhält man seinen Kehrwert. Der Kehrwert von ist also . Multipliziert man eine Zahl – außer null – mit ihrem Kehrwert, so ist das Ergebnis immer 1.

Die Multiplikation von Brüchen ist ganz einfach:

Wenn Sie einen Bruch durch einen anderen Bruch teilen möchten, tun Sie dies, indem Sie den ersten Bruch unverändert lassen und ihn mit dem Kehrwert – also der Umkehrung – des zweiten Bruchs multiplizieren:

Die Addition und Subtraktion von Brüchen sind etwas komplizierter.

Sie können Brüche nur addieren oder subtrahieren, wenn sie den gleichen Nenner haben.

Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, werden sie addiert, indem Sie die beiden Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten:

Wenn Sie hingegen zwei Brüche zusammenrechnen möchten, die unterschiedliche Nenner haben, so müssen Sie die beiden Brüche zunächst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Dazu multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl. Der Wert des Bruchs verändert sich dadurch nicht. Nach der Erweiterung können Sie die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten. Formal dargestellt sieht das so aus:

Aufgabe 1.4

Führen Sie die folgenden Berechnungen durch.

Prozent und Promille

Ein Prozent ist ein Hundertstel. Sie können also als ausdrücken.

Sie können jede Prozentzahl auch als Dezimalzahl ausdrücken, indem Sie den Bruch ausrechnen.

Um mit Prozenten zu rechnen, sollten Sie die folgenden Formeln kennen. Hier sind die Formeln für Steuern und Rabatte aufgeschrieben, aber natürlich können Sie sie auch für alle anderen Anwendungsbereiche verwenden.

Preis ohne Steuern = Preis mit Steuern / (1 + Steuersatz in %)

Ermäßigter Preis = ursprünglicher Preis

(1 – Rabatt in %)

Ursprünglicher Preis = ermäßigter Preis / (1 – Rabatt in %)

Der Begriff Promille ist Ihnen vielleicht weniger geläufig. Das Promillezeichen ist ‰. 1 % entspricht 10 ‰. Promillewerte kann man auch als Brüche darstellen. Hier steht im Nenner die Zahl 1.000.

Aufgabe 1.5

Wie viel Prozent sind 72,9 ‰?

Wie viel Promille sind 0,263 %?

Ein Verkäufer bietet Ihnen zwei mögliche Rabatte an: einen Rabatt in Höhe von 15 % oder einen Rabatt in Höhe von 143 ‰. Für welchen sollten Sie sich entscheiden?

Aufgabe 1.6

Sie möchten in Urlaub fahren und haben sich bereits für eine Kreuzfahrt entschieden. Nachdem Sie alle Angebote verglichen haben, nehmen Sie drei Anbieter in die engere Wahl. Die gebotenen Leistungen sind bei den drei Angeboten identisch. Das erste Angebot haben Sie online entdeckt. Es liegt bei 799 Euro. Wenn Sie heute noch buchen, bekommen Sie außerdem einen Preisnachlass von 20 Euro. Das zweite Angebot stammt von einem Reisebüro und beträgt 870 Euro. Das Reisebüro feiert diese Woche seinen elften Geburtstag. Daher gibt es gerade 11,11 % Rabatt auf alle Reisen. Schließlich haben Sie noch ein weiteres Angebot online entdeckt. Der Grundpreis der Reise ist mit 999 Euro wesentlich höher als bei den anderen beiden Angeboten. Dennoch schauen Sie sich das Angebot genauer an und stellen fest, dass es gleich zwei Rabatte gibt. Zunächst erhalten Sie 10 % Rabatt, danach auf den reduzierten Preis weitere sensationelle 13 %. Bei welchem der drei Anbieter sollten Sie Ihre Kreuzfahrt buchen?

Aufgabe 1.7

Sie verlassen den Elektromarkt mit einem neuen Laptop. Der Laptop hat 722 Euro gekostet. Wie viel hätte er ohne Mehrwertsteuer gekostet? Auf dem Heimweg kaufen Sie sich noch eine Bratwurst für 2,50 Euro. Wie viel hätte sie ohne Mehrwertsteuer gekostet? Der Mehrwertsteuersatz für den Laptop beträgt 19 %, für die Bratwurst gilt der ermäßigte Steuersatz von 7 %.

Da es sich bei dem Laptop nicht um das allerneueste Modell handelt, haben Sie 5 % Rabatt bekommen. Wie viel hätte er ohne den Rabatt gekostet?

Björn kauft einen Milchaufschäumer. Dieser kostet ursprünglich 75 Euro. Da der Verkäufer heute gut gelaunt ist, schenkt er Björn die Mehrwertsteuer. Der Mehrwertsteuersatz liegt bei 19 %. Wie viel Rabatt hat Björn bekommen (in Prozent und in Euro)?

Potenzrechnung

In der Analysis und anderen Teilgebieten der Mathematik werden Ihnen immer wieder Potenzen begegnen. Beim Rechnen mit Potenzen gibt es einige Regeln zu beachten, die hier kurz für Sie zusammengefasst sind:

»Hoch 2« bedeutet, dass eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Die Hochzahl, in diesem Fall 2, nennt man Exponent.

»Hoch 3« bedeutet, dass eine Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert wird.

Das gilt für alle außer für . ist nicht definiert.

Ein negativer Exponent bedeutet NICHT, dass das Ergebnis negativ ist.

Es gilt NICHT: . Wie Sie den Ausdruck berechnen, erfahren Sie im Abschnitt Mehrere Terme ausmultiplizieren am Ende dieses Kapitels.

Aufgabe 1.8

Berechnen Sie beziehungsweise vereinfachen Sie so weit wie möglich.

Back to the roots: Mit Wurzeln rechnen

Das Wurzelziehen kann als eine Umkehrung des Potenzierens betrachtet werden. Schauen Sie sich einmal den folgenden Ausdruck an:

Wie würden Sie hier vorgehen, um zu bestimmen? Sie würden die »a-te« Wurzel ziehen. Damit berechnen Sie die Zahl, die mit potenziert ergibt: .

Wenn über der Wurzel keine Zahl steht, also , dann ist damit die zweite Wurzel gemeint, das heißt . Die zweite Wurzel bezeichnet man auch als Quadratwurzel.

Jede Wurzel lässt sich als Potenz aufschreiben. Dabei ist der Exponent, also die Hochzahl, ein Bruch. So lässt sich als schreiben, als und allgemein als . Da sich jede Wurzel als Potenz schreiben lässt, gelten für das Rechnen mit Wurzeln ebenfalls die Regeln, die Sie im vorigen Abschnitt für das Rechnen mit Potenzen kennengelernt haben.

Unter einer Quadratwurzel oder einer anderen geradzahligen Wurzel kann keine negative Zahl stehen – zumindest nicht in der grundlegenden Algebra.

Für geradzahlige Wurzeln gilt:

und so weiter

Bei geradzahligen Wurzeln müssen Sie immer Betragsstriche setzen. Das Ergebnis ist nämlich stets positiv, egal ob positiv oder negativ ist. Bei ungeradzahligen Wurzeln werden hingegen keine Betragsstriche gesetzt, also:

und so weiter

Aufgabe 1.9

Berechnen Sie beziehungsweise vereinfachen Sie so weit wie möglich.

Lassen Sie sich von Logarithmen nicht aus dem Rhythmus bringen

Logarithmus – puh, das klingt ganz schön kompliziert. Ist es aber eigentlich gar nicht! Erinnern Sie sich an den Ausdruck, den Sie sich zu Beginn des letzten Abschnitts angeschaut haben, um den Wurzelbegriff zu verstehen:

Wenn Sie bestimmen wollen, ziehen Sie die a-te Wurzel. Aber was tun Sie, wenn und gegeben sind und Sie bestimmen wollen? Dann hilft Ihnen der Logarithmus weiter. Sie müssen den Logarithmus von zur Basis bestimmen. Das schreibt man dann so auf: . Das erscheint auf den ersten Blick kompliziert? Schauen Sie sich das folgende Beispiel an, danach wird Ihnen der Logarithmus bestimmt klarer.

Gesucht wird hier eine Zahl, mit der man 2 potenzieren muss, um 16 zu erhalten. Anders ausgedrückt: 2 hoch welche Zahl ergibt 16? Die Antwort ist:

Die Lösung muss 4 sein, denn ergibt 16.

Die Basis eines Logarithmus kann irgendeine positive Zahl sein. Wenn die Basis 10 ist, wird die Schreibweise verwendet. In diesem Fall wird die Basis nicht spezifiziert. Zum Beispiel ist , denn . Wenn die Basis die eulersche Zahl ist, schreibt man und spricht vom natürlichen Logarithmus. Dieser Ausdruck steht für . Auch für das Rechnen mit Logarithmen gibt es ein paar Regeln, die Sie kennen sollten:

Das gilt für alle . Unabhängig von der Basis ist der Logarithmus von 1 immer 0. Das sollte Sie nicht überraschen, da Sie wissen, dass (für alle außer 0) stets 1 ergibt.

Diese Eigenschaft ist besonders hilfreich, wenn Sie Logarithmen ausrechnen wollen. Auf dem Taschenrechner finden Sie nämlich nur den Zehnerlogarithmus (log) und den natürlichen Logarithmus (ln). Wenn Sie mit Ihrem Taschenrechner ausrechnen wollen, können Sie oder eintippen.

Aufgabe 1.10

Berechnen Sie die folgenden Logarithmen und machen Sie die Probe.

Aufgabe 1.11

Vereinfachen Sie so weit wie möglich.

Mehrere Terme ausmultiplizieren

Am Anfang dieses Kapitels haben Sie das Distributivgesetz kennengelernt, mit dessen Hilfe Sie einen Term mit einer Reihe weiterer Terme ausmultiplizieren können. In diesem Abschnitt geht es jetzt darum, Binome und Polynome auszumultiplizieren.

Ein Polynom ist eine Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen. Ein Polynom, bei dem zwei Terme addiert werden, bezeichnet man als Binom. Sind es drei Terme, spricht man von einem Trinom.

ist also ein Binom, weil es aus zwei Termen besteht. ist ein Trinom.