Die Grundlagenkrise der Mathematik - Ein Wissenschaftsskandal E-Book

Gert Dr. Treiber

• Herausgeber: tredition
• Kategorie: Geisteswissenschaft
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 477

Veröffentlichungsjahr: 2014

Beschreibung

In »Die Grundlagenkrise der Mathematik« werden Widersprüche in den Grundlagen dieser Wissenschaft nachgewiesen. Dazu gehört die Mathematik des Unendlichen, die Georg Cantor (1845-1918) erschaffen hat. Sie war bereits ursprünglich in wissenschaftsuntypischer Weise hochemotional umstritten. Hilbert sah sich im Paradies, aus dem man sich nicht mehr vertreiben ließe, Poincaré diagnostizierte eine Krankheit, von der die Mathematik genesen werde. Widersprüche wurden allerdings nicht nachgewiesen, der Autor zeigt diese aber auf. Bei der auf Cantor folgenden axiomatischen Begründung seiner Theorie wurde die Null falsch definiert. Die Richtigstellung erzwingt auch eine grundlegende Korrektur der Mathematik des Unendlichen. Unumstritten waren dagegen bisher die Unvollständigkeitssätze Kurt Gödels (1906-1978), der die Existenz mathematischer Sätze fordert, für die weder Beweis noch Widerlegung möglich ist, obwohl sie wahr sind. Auch sie werden widerlegt. Eine widerspruchsfreie Theorie der Grundlagen der Mathematik wird vorgelegt. Die wissenschaftliche Publikation dieser Ergebnisse wurde durch die etablierten Mathematiker inquisitorisch verweigert, dies begründet den Untertitel »Ein Wissenschaftsskandal«. Die Thematik ist in einer Form aufbereitet, die sie einem breiten Leserkreis auch ohne vertiefte Kenntnisse der Mathematik zugänglich macht. In einer in der Wissenschaftsgeschichte einmaligen, nur durch das Internet möglichen Aktion fordert der Autor seine Leser auf, sich für die alte oder die neue Theorie zu entscheiden, um einen wissenschaftlichen Diskurs unumgänglich zu machen. Entscheiden Sie mit!

Leseprobe

Gert Treiber

Die Grundlagenkrise der Mathematik Ein Wissenschaftsskandal

Null und Unendlich

Beweis und Widerlegung

Dr. Gert [email protected]

ISBN

978 – 3 – 8495 – 9009 – 3

Paperback

978 – 3 – 8495 – 9010 – 9

Hardcover

978 – 3 – 8495 – 9011 – 6

e-book

Sept. 2014 tredition Hamburg. [email protected]

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechts ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Cover und Buchinhalt

Bei orientierendem Durchblättern des vorliegenden Buches könnte der Eindruck entstehen, es sei nur schwer verständlich. Das wäre ein Trugschluß. Das Wesentliche der Thematik lässt sich bereits aus der Einleitung, den kursiv gedruckten Zusammenfassungen, sowie den abschließenden Bemerkungen nachvollziehen. In den Kapiteln selbst wird die Thematik vertieft aufgearbeitet. Dadurch liegt eine hierarchische Redundanz vor. Die Publikation wendet sich dementsprechend an einen breiten Leserkreis auch ohne vertiefte Kenntnisse der Mathematik.

Georg Cantor schuf gegen Ende des 19. Jahrhunderts eine faszinierende Mathematik des Unendlichen im Rahmen seiner Mengenlehre. Sie gehört seitdem zu den Grundlagen der Mathematik. Er führte ein neues Paradigma ein, die Forderung des „aktual Unendlichen“, d.h von Grenzen im Unendlichen, im Gegensatz zu Aristoteles’ „infinitum actu non datur“, „das aktual Unendliche gibt es nicht“. Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, …. sind bei Cantor trotz nicht abbrechender Folge durch eine aktual unendliche Zahl begrenzt. Das widerspricht völlig unserer Intuition, die Aristoteles zustimmt und fordert, daß immer nur eine Zahl auf die vorhergehende folgt, ohne daß im Unendlichen eine Begrenzung vorliegt. Trotzdem hat sich Cantor’s Theorie durchgesetzt. Er verlangt dabei nicht nur eine einzige Grenze, sondern eine unendliche Folge von aktual unendlichen Größen, eine Stufung der Unendlichkeit. Alle Lehrbücher zu den Grundlagen der Mathematik oder Monographien zur Mengenlehre gehen davon aus. Die ursprünglich in wissenschaftsuntypischer Weise höchst emotionale Kritik an Cantor’s Theorie ist allerdings nie vollständig verstummt. Im anschließenden „Schlaglicht der Kommentare“ wird die Bandbreite von Zustimmung und Ablehnung exemplarisch dargestellt. Cantor’s Überlegungen führten allerdings zu Antinomien, unlösbar scheinenden Widersprüchen, wodurch die sog. „Grundlagenkrise der Mathematik“ ausgelöst wurde. Erst durch die Definition von Axiomen, Grundsätzen der Theorie, die ohne Deduktion vorausgesetzt werden und aus denen weitere Aussagen abgeleitet werden können, galt die Grundlagenkrise Anfang des 20. Jahrhunderts als bewältigt. Die Größen „Null“ und „Unendlich“ spielen dabei eine herausragende Rolle.

Die Intention der Mathematiker, Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit ihrer Sätze generell sicherzustellen, wurde allerdings 1931 durch den Logiker Kurt Gödel grundlegend eingeschränkt. Gödel wies die Existenz von Sätzen der Theorie der natürlichen Zahlen nach, für die weder Beweis noch Widerlegung möglich ist, obwohl sie wahr sind. Auch ihre Widerspruchsfreiheit läßt sich nicht beweisen. Eine Theorie, die solchermaßen eingeschränkt ist, wird als „unvollständig“ bezeichnet. Gödel’s Unvollständigkeitssätze beweisen anscheinend die Unvollständigkeit der Zahlentheorie. Die Sätze der mathematischen Logik, vor allem Gödel’s Beiträge, bilden den zweiten Pfeiler der Grundlagen der Mathematik.

Cantor’s Grenze nicht abbrechender natürlicher Zahlen ist nicht vorstellbar, noch weniger eine Stufung des Unendlichen. Ein Beweis dieser Forderungen ist nicht möglich. Deshalb werden sie durch axiomatische Definition festgelegt.

Die Axiome müssen dann aber widerspruchsfrei sein. In dem vorliegenden Buch wird gezeigt, daß allerdings ein widersprüchliches Axiomensystem der Mengenlehre geschaffen wurde.

Vor allem die grundlegendsten Begriffe der Mathematik, „Null“ und „Unendlich“, wurden falsch definiert. Die in diesem Buch vorgelegte Erneuerung der Fundamente der Mathematik hebt diese Inkonsistenz auf.

Der Null wird das Prädikat „Zahl“ abgesprochen. Sie ist das Zeichen für „nichts“, im Kontext der Mathematik für „keine Zahl“. Dies wird auch durch die Subtraktion einer Zahl von sich selbst bestätigt. Dabei bleibt keine Zahl, die 0, übrig.

Die 0 ist keine Zahl, sondern im Gegenteil das Zeichen für „keine Zahl“.

Diese Feststellung erklärt auch, warum die 0 keine der Eigenschaften aufweist, durch die Zahlen charakterisiert sind: Sie beschreibt weder Anzahl, noch Rangordnung noch Betrag.

Es sollte nicht überraschen, daß eine neue Sicht der Null auch eine andere Interpretation des Unendlichen erzwingt. Dadurch läßt sich demonstrieren, wie in diesem Buch gezeigt wird, daß die axiomatische Definition von Cantor’s aktual unendlichen Größen widersprüchlich ist. Diese existieren nicht.

Auch die Unvollständigkeitssätze werden widerlegt. Sie erweisen sich als integraler Bestandteil der Grundlagenkrise der Mathematik, die erst durch die vorgelegte revidierte Theorie aufgelöst wird.

Ein neues Kapitel dieser Wissenschaft wird aufgeschlagen. Das gut hundertjährige Interregnum Cantor’s in der Interpretation des Unendlichen in der Mathematik ist beendet, Aristoteles kehrt an seinen angestammten Platz zurück. Die Mathematik wird zudem aus dem Prokrustesbett angeblicher Unvollständigkeit befreit.

Das alles ist kein Wissenschaftsskandal. Theorien erweisen sich als falsch und werden durch neue abgelöst.

Skandalös ist aber die systematische Verweigerung der Veröffentlichung der neuen Ergebnisse. Ein halbes Dutzend Gutachter der Disziplinen Mathematik, mathematische Logik und Philosophie haben die Publikation eines zusammenfassenden Artikels in wissenschaftlichen Zeitschriften abgelehnt, ohne dafür eine Begründung zu liefern. Es fallen aber Äußerungen wie „hätte der Autor Recht, wäre die Mathematik, die wir kennen, ausgelöscht“. Das ist zwar übertrieben, denn an der praxisrelevanten Mathematik ändert sich dadurch nichts, aber entscheidende Teile der Grundlagen, auf denen die Mathematik angeblich aufbaut und der daraus ableitbare praxisirrelevante Überbau, sind tatsächlich „ausgelöscht“.

Auch der Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung DMV lehnte die ihm unterbreiteten wesentlichsten Aussagen ohne substantielle Begründung ab und sprach sich gegen eine Veröffentlichung aus.

Sogar der Druck dieses Buches durch Wissenschaftsverlage wurde aufgrund des Einspruchs von Gutachtern verhindert. Das Werk trug zu diesem Zeitpunkt, völlig frei von Provokation, den Titel „Hilbert’s Hotel“ mit dem Untertitel „Die unbewältigte Grundlagenkrise der Mathematik und ihre Auflösung“. Das inquisitorische Vorgehen aller Gutachter, bis hin zum Präsidenten der DMV, ist nicht beispiellos, aber fraglos skandalös.

Für den Leser stellt sich die Frage: Legt der Autor eine irrelevante, publikationsunwürdige Theorie vor, oder handeln die Mathematiker in inquisitorischer Anmaßung?

Der Leser ist aufgerufen ( s. S. 193 ), darüber per Abstimmung im Internet eine Entscheidung zu fällen.

Die Einwände gegen Cantor’s Theorie bzw. ihre axiomatische Formulierung lassen sich bereits aufgrund der Einleitung, der Leitfäden A und C sowie der Abschnitte C I. I und C I. II beurteilen, ohne auf die übrigen Kapitel zurückgreifen zu müssen. Die Widerlegung von Gödel’s Unvollständigkeitssätzen kann anhand der Leitfäden, der Abschnitte A I. I und A I. II sowie C II. II nachvollzogen werden.

Eine Erklärung wichtiger Begriffe im Anhang ist für den Leser gedacht, der kein Spezialwissen besitzt. Auch Zeichen der mathematischen Logik sind dort definiert.

Die Dramaturgie des Buches speist sich zum einen aus dem dialektischen Prozeß von Irrtum und Erkenntnis des Autors. Er folgte der Theorie Cantor’s ursprünglich mit Bewunderung und löste sich nur langsam aus ihrem Bann.

Zum anderen zeichnet das Werk die kontroversen Auseinandersetzungen mit e-mail Partnern und Gutachtern wissenschaftlicher Zeitschriften bis hin zum Präsidenten der DMV nach.

Im Schlaglicht der Kommentare

Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen hat, soll uns niemand vertreiben können ……… Seine Theorie der transfiniten Zahlen …. erscheint mir als die bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes und überhaupt eine der höchsten Leistungen rein verstandesmäßiger menschlicher Tätigkeit.

David Hilbert ( 1862 – 1943 )

Die Eroberung des Aktual Unendlichen für die Wissenschaft überhaupt ist eine historische Tatsache und auf ihrem Boden, auf Cantor’s Ideen aufbauend, wird sich die Entwicklung weiter vollziehen.

Adolf Fränkel ( 1891–1965 )

Zukünftige Generationen werden die Mengenlehre [ des aktual Unendlichen ] als eine Krankheit betrachten, von der man sich erholt hat.

Henri Poincaré ( 1864 – 1912 ) zugeschrieben

Herren Geheimrat Hilbert and Prof. Dr. Cantor, I’d like to be excused from your ‚Paradise’: It is a Paradise of fools and besides feels more like hell“.

Doron Zellberger ( 2005 )

Sein [ Gödel’s ] Werk erschütterte die Fundamente der Mathematik. Über die Folgen streiten die Gelehrten noch heute.

Ulf v. Rauchhaupt ( 2006 )

[ Russell’s] Befremden über Gödel’s Resultat war so groß, daß er „froh [ war ], nicht länger auf dem Gebiet der mathematischen Logik zu arbeiten“.

Bertrand Russell ( 1963 )

Gödel’s Satz scheint mir zu beweisen, daß die mechanistische Auffassung falsch ist, d.h., daß der Geist nicht als Maschine zu erklären ist.

John R. Lucas ( 1961 ) in „Minds, Machines and Gödel“

Cover und Buchinhalt

Im Schlaglicht der Kommentare

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

A  Die gegenwärtige Theorie

Leitfaden A Die gegenwärtige Theorie

I      Gödel und die Unvollständigkeit der Mathematik

I. I  Das Problem der Unvollständigkeit

I. II  Einführung in Gödel’s Satz Q

I. III  Einführung in den 1. Unvollständigkeitssatz

II    Cantor oder das Paradies der Mathematiker

II. I  Die Kontinuumhypothese

II. II  Die transfiniten Zahlen ℵo, ℵ1 und ω

II. III  Mengen und Teilmengen

II. IV  Hilberts Hotel

III  Die Konstruktion von Gödel’s Satz Q

III. I  Von Q ( x, y ) zu Q ( y )

III. II  Ein analoges Beispiel aus der Physik

III. III  Von Q ( y ) zu Gödel’s Satz Q ( p )

IV   Unentscheidbarkeit und Entscheidbarkeit

IV. I  Der 1. Unvollständigkeitssatz

IV. II  Weitere Beispiele für Unentscheidbarkeit

IV. III  Der Kern der Unentscheidbarkeit

IV. IV  Entscheidbarkeit

IV. V  Ein Irrweg?

V     Cantor oder die Hölle der Mathematiker

V. I  Die Diskrepanz zwischen ℵo und ω

V. II  Aktual unendlich

V. III  Die echte Klasse

V. IV  Mengen und Teilmengen

V. V  Die Kontinuumhypothese

V. VI  Cantor’s Kritiker

VI   Rückschläge

VI. I  Cantor

VI. II  Gödel

VII Vertiefte Betrachtungen der Theorie Cantor’s

VII. I  Menge, Kardinalzahl, Ordinalzahl

VII. III  Limes und Limeszahl

VII. IV  Cantor’s Begründung der transfinite Ordinalzahl ω

VII. V  Mengen und Teilmengen

VIII  Gödel’s Beweis der Unvollständigkeitssätze

VIII. I  Der 1. und der 2. Satz

VIII. II  Das Problem nach dem Verstehen

IX   Die Axiomatisierung der Mengenlehre Cantor’s

IX. I  Die Antinomien der Mengenlehre

IX. II  Die Axiomensysteme ZFC und NBG

IX. III  Das Unendlichkeitsaxiom

B  Die Historie

I      Die Historie der Null und des Unendlichen

I. I  Null

I. II  Unendlich

II    Lebensläufe

II. I  Der Mensch Cantor

II. II  Der Mensch Gödel

C  Die revidierte Theorie

Leitfaden C Die revidierte Theorie

I      Neue Grundlagen der Mengenlehre

I. I  Die wahre Bedeutung von Ø und 0

I. II  Die Widersprüchlichkeit des Unendlichkeitsaxioms

I. III  Die Auflösung der Antinomien

I. IV  Die Definition der Menge

I. V  Infinite Variable statt transfiniter Konstanter

I. VI  Unendlicher Raum und infinite Zahlenmengen

I. VII  Potentiell, absolut unendlich und Null

I. VIII  Natürliche, rationale, reelle Zahlen

I. IX  Analysis

I. X  Die Axiome

I XI Reaktionen

II    Die Widerlegung der Unentscheidbarkeit

II. I  Äquivalenz von selbstbezüglichem Satz und Prädikat

II. II  Die Widerlegung der.Unvollständigkeitssätze

II. III  Turing’s Halteproblem

II. IV  Reaktionen und Kommentar

III  Folgerungen

III. I  Tertium non datur

III. II  Ockham’s Rasiermesser

III. III  Die Direttissima zu Gödel’s Satz

III. IV  Gödel’s Satz, Axiom und abgeleiteter Satz

III. V  Mathematik und Realität

IV   Versuche zu publizieren

IV. I  Versuche der Publikation eines Artikels

IV. II  Versuche, das Buch zu publizieren

IV. III  Stellungnahme der Deutschen Mathematiker-Vereinigung

D  Abschließende Bemerkungen

Anhang

I  Symbole der mathematischen Logik und der Mengenlehre

II  Erklärung wichtiger Begriffe

III  Literaturverzeichnis

IV  Aussagenlogik

V  Prädikatenlogik

Der Autor

Danksagung

II  Cantor oder das Paradies der Mathematiker

II. I  Die Kontinuumhypothese

Zusammenfassung

Bei der Sichtung der Literatur über Unvollständigkeit in der Mathematik stoße ich auf Cantor’s Kontinuumhypothese. Sie formuliert einen ebenfalls unentscheidbaren Satz.

Als Kontinuum wird die Menge der reellen Zahlen des Intervalls [ 0, 1 ] bezeichnet. Es besteht aus den Dezimalbrüchen wie z.B. 0,381…. mit sowohl endlichen wie auch unendlichen Ziffernfolgen, die das Intervall anscheinend kontinuierlich ausfüllen.

Gemäß seinem 2. Diagonalargument geht Cantor davon aus, dass die transfinite Menge der reellen Zahlen des Kontinuums sehr viel größer ist als die transfinite Menge der natürlichen Zahlen. Es existieren also verschiedene Unendlichkeiten in der Mathematik.

Die Kontinuumhypothese formuliert die Vermutung, dass zwischen der Kardinalzahl der Menge der natürlichen Zahlen und der Kardinalzahl der sehr viel größeren Menge der reellen Zahlen keine weiteren Kardinalzahlen existieren.

Es gibt demnach keine Mengen, deren Kardinalität zwischen diesen beiden Mengen liegt. Dieser Satz läßt sich, wie Gödel’s Satz Q, aus den Axiomen weder beweisen noch widerlegen. Auch hier stellt sich die Frage, ob eine Entscheidung nicht doch herbeigeführt werden kann. Mit der Kontinuumhypothese wird das weite Feld von Cantor’s Theorie des Transfiniten eröffnet.

Bei der Sichtung der für Gödel’s Theorie relevanten Literatur entdeckt man früher oder später zwangsläufig Cantor’s Kontinuumhypothese. Sie ist ein weiteres Beispiel für Unvollständigkeit in der Mathematik.

Mit Cantor assoziiere ich Begriffe wie Kardinalzahl, Aleph 0, unendlich oder transfinit, ohne damit ein wenn auch nur marginales Verständnis seiner Theorie verbinden zu können. Aber die Nennung seines Namens verursacht bei mir einen Schauer ehrfürchtiger Bewunderung. Daß Cantor die Mengenlehre begründet hat, war mir zumindest nicht mehr bewusst, von der Kontinuumhypothese habe ich vorher noch nie etwas gehört.

Ich besuche wieder die Bibliothek und sehe mir verschiedene Lehrbücher an, die Cantor’s Theorie behandeln. Dabei mache ich die gleiche Erfahrung wie bei Gödel. Die verschiedenen Autoren behandeln das Thema recht unterschiedlich und es fällt mir nicht leicht, die Theorie zu verstehen. Auch hier fälle ich die Entscheidung, auf die Originalpublikationen zurückzugreifen. Das Internet ermöglicht den Zugang ohne Probleme durch das Göttinger Digitalisierungszentrum.

Natürliche und reelle Zahlen

Ausgangspunkt der Kontinuumhypothese ist der Vergleich der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3,….n,…. mit der unendlichen Menge der reellen Zahlen im Intervall [ 0,1 ], d.h. der Dezimalbrüche z.B. der Form 0,381…..Dabei treten sowohl endliche wie auch unendliche Ziffernfolgen auf.

Um Cantor’s Hypothese verstehen zu können, muß zunächst der Begriff der Kardinalzahl erläutert werden. Diese charakterisiert die Anzahl der Elemente im Gegensatz zur Ordinalzahl, die deren Anordnung als 1., 2., 3., …. Element beschreibt.

Nach Cantor ist die Kardinalzahl der transfinite Menge der reellen Zahlen sehr viel größer als die Kardinalzahl der transfiniten Menge der natürlichen Zahlen. Das war für die damalige Zeit ein sensationelles Ergebnis. Cantor belegt diese revolutionäre Erkenntnis durch sein 2. Diagonalargument. Dabei geht er davon aus, dass eine unendlich lange Liste reeller Zahlen r erstellt werden kann, die durch die natürlichen Zahlen n abgezählt werden:

Tab. 1

n

r

1

0,310874002...........

2

0,015698307...........

3

0,982407532...........

4

0,154290621...........

  ........................................

Zufallslist einer Menge reeller Zahlen r als Funktion der natürlichen Zahlen n