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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Französisch
Dans ce livre, des exercices sont réalisés sur les sujets mathématiques suivants :
fonctions réelles à plusieurs variables
recherche de maxima et minima contraints
théorèmes remarquables
Des conseils théoriques initiaux sont également présentés pour rendre compréhensible l'exécution des exercices.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Table des Matières
"Exercices de fonctions multi-variables"
INTRODUCTION
APERÇU THEORIQUE
DES EXERCICES
"Exercices de fonctions multi-variables"
SIMONE MALACRIDA
Dans ce livre, des exercices sont réalisés sur les sujets mathématiques suivants :
fonctions réelles à plusieurs variables
recherche de maxima et minima contraints
théorèmes remarquables
Des conseils théoriques initiaux sont également présentés pour rendre compréhensible l'exécution des exercices.
Simone Malacrida (1977)
Ingénieur et écrivain, il a travaillé sur la recherche, la finance, la politique énergétique et les installations industrielles.
INDEX ANALYTIQUE
––––––––
INTRODUCTION
––––––––
I – APERÇU THEORIQUE
Introduction
Opérations
––––––––
II – EXERCICES
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16
INTRODUCTION
Dans ce cahier, quelques exemples de calculs portant sur des fonctions réelles à plusieurs variables sont réalisés.
De plus, les principaux théorèmes utilisés dans ce secteur de l'analyse différentielle et leur utilisation pratique pour résoudre des problèmes sont présentés.
Les fonctions réelles multivariables représentent non seulement une généralisation des fonctions réelles à variable unique, mais coïncident avec un support mathématique fondamental pour résoudre divers problèmes physiques et applicatifs.
L'introduction de concepts tels que la dérivabilité et les opérations relatives à l'algèbre de nabla, ainsi que la contribution à la résolution des réactions de contraintes, font de ce chapitre de l'analyse l'un des plus fructueux du panorama des mathématiques.
Afin de comprendre plus en détail ce qui est présenté dans la résolution des exercices, le contexte théorique de référence est rappelé dans le premier chapitre.
Ce qui est présenté dans ce cahier est généralement abordé dans les cours avancés d'analyse mathématique (analyse 2).
I
APERÇU THEORIQUE
Introduction
––––––––
Les fonctions de variables réelles à plusieurs variables sont une extension de ce qui a été dit pour les fonctions réelles à une variable.
Presque toutes les propriétés mentionnées pour les fonctions à une variable restent valables (telles que l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité), à l'exception de la propriété d'ordre qui n'est pas définissable.
Le domaine d'une fonction multivariée est donné par le produit cartésien des domaines calculés sur les variables simples.
Un ensemble de niveaux , ou courbe de niveau, est l'ensemble des points tels que :
Le level set avec c=0 est utilisé pour analyser le signe de la fonction dans le domaine.
––––––––
Opérations
––––––––
La définition topologique de la limite est la même que celle donnée pour les fonctions à une variable, la définition métrique change comme suit :
La limite existe si sa valeur ne dépend pas du sens dans lequel elle est calculée.
Il en va de même pour la continuité.
Une fonction est dite continue séparément par rapport à l'une de ses variables si elle est continue en fonction de l'unique variable, en gardant les autres constantes.
La continuité séparée est une condition plus faible que la continuité globale sur toutes les variables.
––––––––
Pour une fonction de plusieurs variables, cependant, il existe différents concepts de dérivée.
On appelle dérivée partielle la dérivée effectuée sur une seule des variables, en définissant toujours la dérivée comme la limite d'un rapport incrémental.
Pour distinguer la dérivée partielle de la totale, le symbole est utilisé .
Les dérivées partielles d'ordre supérieur renvoient l'ordre à l'exposant de ce symbole.
Un point est dit simple si les premières dérivées partielles sont continues et non nulles, mais si l'une des dérivées est nulle ou n'existe pas, le point est dit singulier.
La dérivabilité partielle implique une continuité séparée.
En étendant le concept de dérivée partielle d'un chemin le long des axes de coordonnées à n'importe quel chemin, nous avons la dérivée directionnelle.
Une fois qu'un vecteur unitaire générique est défini, la dérivée directionnelle le long de ce vecteur est donnée par :
