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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Lösen von Differentialgleichungen verschiedener Ordnungen
Systeme von Differentialgleichungen
Anfangswertprobleme von Cauchy und Neumann.
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Inhaltsverzeichnis
„Übungen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen“
EINFÜHRUNG
THEORETISCHE ÜBERSICHT
ÜBUNGEN
„Übungen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen“
SIMONE MALACRIDA
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Lösen von Differentialgleichungen verschiedener Ordnungen
Systeme von Differentialgleichungen
Anfangswertprobleme von Cauchy und Neumann.
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
––––––––
I – THEORETISCHE UBERSICHT
Einführung und Definitionen
Auflösungsmethoden
Lösungen
Bemerkenswerte Differentialgleichungen
Autonome Systeme
––––––––
II – ÜBUNGEN
Übung 1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
Übung 11
Übung 12
Übung 13
Übung 14
Übung 15
Übung 16
Übung 17
Übung 18
Übung 19
Übung 20
Übung 21
Übung 22
Übung 23
Übung 24
Übung 25
Übung 26
Übung 27
Übung 28
Übung 29
Übung 30
Übung 31
Übung 32
Übung 33
Übung 34
Übung 35
Übung 36
Übung 37
EINFÜHRUNG
In diesem Arbeitsbuch werden einige Rechenbeispiele zu gewöhnlichen Differentialgleichungen durchgeführt.
Darüber hinaus werden die wichtigsten Sätze vorgestellt, die in der Differentialanalyse von Gleichungen verwendet werden.
Gewöhnliche Differentialgleichungen stellen einen grundlegenden Punkt in der mathematischen Analyse dar, da durch ihre Auflösung viele physikalische und technologische Probleme beantwortet werden können.
Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen dargestellt wird, wird im ersten Kapitel auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.
Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen in fortgeschrittenen mathematischen Analysekursen behandelt (Analyse 2).
I
THEORETISCHE ÜBERSICHT
Einführung und Definitionen
––––––––
Eine Differentialgleichung ist eine Beziehung zwischen einer Funktion und einigen ihrer Ableitungen.
Eine in einem Intervall der Menge der reellen Zahlen definierte Gleichung, in der die gesamten Ableitungen der Funktion nach der Unbekannten vorhanden sind, heißt gewöhnlich.
Die Ordnung der höchsten Ableitung in der Gleichung wird als Ordnung der Gleichung bezeichnet.
Man kann die definierende Menge einer gewöhnlichen Differentialgleichung zu einer offenen und zusammenhängenden Gattung verallgemeinern, die in dem komplexen Raum einer Dimension größer als zwei enthalten ist.
Eine Lösung oder ein Integral der gewöhnlichen Differentialgleichung ist eine Funktion, die die Beziehung der Gleichung erfüllt.
Eine Gleichung heißt autonom , wenn die Relation nicht explizit von der Variablen abhängt, und heißt in Normalform geschrieben , wenn sie bezüglich der Ableitung maximalen Grades explizit gemacht werden kann.
Die Gleichung heißt linear , wenn die Lösung eine Linearkombination der Ableitungen nach dieser Formel ist:
Der Term r(x) heißtQuelle und wenn er Null ist, heißt die lineare Differentialgleichung homogen .
Im Allgemeinen hat eine gewöhnliche Differentialgleichung vom Grad n n linear unabhängige Lösungen, und jede Linearkombination von ihnen ist selbst eine Lösung.
––––––––
Bei einer allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung, die einer gewöhnlichen Differentialgleichung zugeordnet ist, ist es möglich, eine bestimmte Lösung der Gleichung zu finden.
Dies wird in Kürze durch die analytischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen verdeutlicht.
Eine in Normalform ausgedrückte gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung n kann durch das sogenannte Reduktionsverfahren erster Ordnung auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen der Ordnung eins in Normalform reduziert werden.
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Auflösungsmethoden
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Die gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung n kann wie folgt ausgedrückt werden:
Wir können Koeffizienten so definieren, dass:
