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- Herausgeber: RBA Libros
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Spanisch
- Veröffentlichungsjahr: 2024
DESCUBRE LA VIDA, LA OBRA Y LOS LOGROS DE ESTE GRUPO DE Genios de la física cuántica. Desde que en 1900 Max Planck lanzara la idea de que la energía no se emite de forma continua, sino por medio de "paquetes" o cuantos, la física no volvió a ser la misma. Sobre la base de esta hipótesis radical se gestó la mecánica cuántica, la teoría que, junto con la relatividad, sustenta la visión moderna del universo. A la estela de los postulados de Planck, se sumaron físicos como Heisenberg, Schrödinger y Feynman, que abrieron y ampliaron las perspectivas en el asombroso campo de la mecánica cuántica. Este libro, dedicado a los padres de la disciplina, esboza las principales ideas que sirvieron a estos científicos para explicar el funcionamiento de la materia y de las partículas más pequeñas que la componen. Expone las bases de la física cuántica por parte de sus pioneros desde un prisma divulgativo, pero a la vez riguroso. Los autores del libro son especialistas de prestigio con un alto nivel científico, académico y profesional. Describe los orígenes y el desarrollo de la mecánica cuántica, un concepto que revolucionó los fundamentos que hasta entonces regían la física moderna.
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Seitenzahl: 1030
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max planck
erwin schrödinger werner heisenberg richard Feynman
Prólogo de Jesús Martínez Asencio
© del prólogo: Jesús Martínez Asencio
© del texto de Planck: Alberto Tomás Pérez Izquierdo
© del texto de Schrödinger: David Blanco Laserna
© del texto de Heisenberg: Jesús Navarro Faus
© del texto de Feynman: Miguel Ángel Sabadell
© de las fotografías de Planck:Age Fotostock: 27,105b,115b;Album: 97,123a;
Archivo RBA:23ad, 23b, 71a, 71b,94,102, 138;Archivo Nacional
de Estados Unidos: 80;Biblioteca del Congreso de Estados
Unidos: 51; Corbis: 115a;Benjamin Couprie: 105a;Fundación
Nobel: 82;Photoaisa: 123b,153; G.J. Stodart: 29;Universidad de
Frankfurt: 43; Universidad de Siegen: 23ai.
© de las fotografías de Schrödinger: Archivo RBA: 266;Biblioteca Central de Física
de Viena: 201ai, 201ad, 201bi, 201bd,207a, 207b,227a, 227b,257ai, 257ad;Getty Images: 257b;Universidad de Monterrey: 179; Universidad de Viena: 175.
© de las fotografías de Heisenberg: AIP Niels Bohr Library, Franck Collection, Nueva York: 385ai;American Institute of Physics: 341b, 363bd, 411ad; Archivo privado de la familia Heisenberg: 341a, 460;Archivo RBA: 329, 334, 399, 405a, 422; Editorial William Kimber: 445a,445b; Getty Images: 411b; Gerhard Gronefeld: 455b;Instituto Cinematográfico Danés: 351; Timo Kamph: 385ad;Lehrstuhl für Geschichte de Naturwissenschaften und Technik, Museo Boerhaave, Leiden, Países Bajos: 363bi; Melvin A. Miller, Argonne National Laboratory: 438; Universidad de Frankfurt: 441; Universidad de New Hampshire, Ohio: 455a;Universidad de Stuttgart: 347,363a; Betty Schultz: 405b;Smithsonian Libraries: 333; Ulstein Bilderdienst, Berlín: 411ai;Wolfgang Pauli-Archiv, Zollikon bei Zürich: 385b.
© de las fotografías de Feynman: Aisa: 545;Archivo RBA: 488, 493, 497, 542, 573ad,586; Biblioteca del Congreso de EE UU: 491, 523; Corbis: 545ai, 545ad,552, 573ai, 573b, 580, 609a, 609b; Departamento de Energía de EE UU: 502, 528, 531a, 531b; Getty Images: 561; Gert-Martin Greuel: 593; iStockphoto: 509; Museo Boerhaave, Leiden, Países Bajos: 570; Smithsonian Institution: 534.
Infografías: Joan Pejoan
Diseño de portada: Compañía.
© RBA Coleccionables, S.A.U.
© de esta edición: RBA Libros y Publicaciones, S.L.U., 2024..
Avda. Diagonal, 189 - 08018 Barcelona.
rbalibros.com
Primera edición: febrero de 2024.
ref.: OBDO280
isbn: 978-84-1132-686-5
Composición digital: Aura Digit
Queda rigurosamente prohibida sin autorización por escrito del editor cualquier
forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra,
que será sometida a las sanciones establecidas por la ley. Pueden dirigirse a Cedro
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93 272 04 47). Todos los derechos reservados.
Prólogo por Jesús Martínez Asencio 7
Max Planck: la teoría cuántica
Introducción 13
Planck y la física del siglo xix21
El nacimiento del cuanto de energía 49
La edad cuántica 85
Constantes universales contra la incertidumbre 131
Erwin Schrödinger: las paradojas cuánticas
Introducción 163
Luz y materia 171
La ecuación de ondas 203
La búsqueda del sentido 249
El gato encerrado 291
Contenido
Werner Heisenberg: el principio de incertidumbre
Introducción 313
Albores cuánticos 321
La crisis de los modelos atómicos 345
La incertidumbre cuántica 369
En defensa de la física teórica 409
La fisión nuclear y la guerra 429
Hombre público, hombre privado 451
Richard Feynman: la electrodinámica cuántica
Introducción 467
Un nuevo mundo cuántico 477
De Princeton a la bomba atómica 501
La electrodinámica cuántica: QED 533
Nuevo comienzo, nuevos retos: la superfluidez 565
De los átomos a los quarks 579
Nanotecnología y ciencia pública 595
Bibliografía611
Índice analítico y de nombres615
Prólogo
porjesús martínez asencio
Las revoluciones científicas son imprevisibles. Tan solo basta una pequeña semilla, un pequeño mecanismo, para hacer funcionar una maquinaria imparable. Una ma-quinaria totalmente nueva, original, nunca antes vista. Y para construirla tan solo se necesita un sutil aunque potente engranaje: una idea.
Las ideas tienen el poder de cambiar nuestra comprensión del mundo en el que vivimos y de la realidad que nos rodea. Y no necesariamente estas ideas tienen que ser intrincadas, laberínticas o complejas. En la mayoría de ocasiones, en la simpleza de su planteamiento radica su mayor virtud.
Por ejemplo, allá por el año 240 a.C., armado con un palo, una sombra y una idea que poner a prueba, el astrónomo y filósofo griego Eratóstenes logró calcu-lar el radio de curvatura de la Tierra. Con ello demostró que habitamos un planeta prácticamente esférico y, de paso, desmontó de un plumazo cualquier posible duda acerca de la geometría del mismo. Esta hazaña supuso toda una revolución. Desde entonces, nunca más volvimos a ver nuestro planeta con los mismos ojos (a pesar de que aún encontremos gente que defienda que la Tierra es plana).
Del mismo modo, el físico parisino Léon Foucault se tropezó con otro pensa-miento que necesitaba poner contra las cuerdas. Y para ello empleó un simple (y enorme) péndulo, que lo dejó oscilar durante horas desde la imponente bóveda del Panteón de París. Foucault observó cómo, aparentemente, el plano de oscilación del péndulo cambiaba y giraba a medida que pasaba el tiempo. Esto era algo que parecía contradecir la lógica y las leyes de la física. Algo no cuadraba. Tras medi-tarlo, el científico llegó a una conclusión inesperada, a la par que acertada: ¿Y si en realidad nunca ha girado el plano de oscilación del péndulo? ¿Y si quienes de verdad
giramos somos nosotros? En enero de 1851 y gracias a este aparentemente ingenuo experimento, tuvimos que reconfigurar nuestra percepción de la realidad una vez más. Y asimilar que no solo vivíamos en un planeta casi esférico sino que, además, este rotaba sobre sí mismo.
Por eso te propongo, querido lector o lectora, que repliquemos otro sencillo ex-perimento de consecuencias revolucionarias. Coge una manzana. Estira el brazo. Y déjala caer contra el suelo. ¡Eso es todo! Vale, puede que no haya sido la experiencia más vertiginosa de tu vida. Y eso es por una sencilla razón: porque ya conocemos el concepto «gravedad» como ese motor que hace que los objetos caigan. O sea, ya tenemos interiorizado como algo cotidiano este fenómeno, que formuló Isaac New-ton en el siglo xvii. Y gracias a que actualmente manejamos el concepto «gravedad» con cierta soltura, somos capaces de enviar robots a Marte y comprender por qué nunca hemos sido el centro del sistema solar, entre muchas otras cosas. Ahora bien, pensadlo un momento desde otra perspectiva. Esto que ahora nos resulta evidente, antes de que Newton diera con la clave supuso todo un quebradero de cabeza para cualquier científico.
Pero si te ha sabido a poco el experimento, no te preocupes. Porque vamos a ir un paso más allá. Hagamos otro experimento más. Coge la misma manzana. Estira el brazo en la misma posición que antes. Y déjala caer de nuevo contra el suelo. Si lo has repetido es porque has dudado del resultado. Lo cual está genial. Ya lo dijo Ga-lileo: «La duda es la madre del descubrimiento». Ahora dime, ¿qué has observado? La respuesta es sencilla: ha sucedido exactamente lo mismo. Y si repitieras el expe-rimento 5… 100… 10 000 veces más, volverías a obtener el mismo comportamiento.
Vale. Puede que tampoco haya sido lo más emocionante del mundo… ¿O qui-zá sí? Porque fíjate. Lo que nos dicen tanto la experiencia como las ecuaciones es que, si replicamos las condiciones de un sistema experimental, podremos predecir y reproducir el resultado con total precisión cada vez que se realice. Es lo que nos dicta la lógica. Esto es lo que se conoce como sistema determinista. Toda la Física Clásica, o sea, la que está regida por las leyes del movimiento de Newton, se lleva perfectamente bien con el determinismo. Cada evento futuro quedaría completa-mente determinado por su pasado, por más revolucionarias que sean las ideas que pongan en marcha un experimento. Pero atentos y atentas porque lo verdaderamen-te interesante de esta historia viene a continuación.
A comienzos del siglo xx, la comunidad científica desarrolló un especial interés por comprender cómo funcionaba el mundo de lo muy muy pequeño: de lo atómico y lo subatómico. O sea, de lo que pasó a conocerse como «mundo cuántico». Y algo sucedió que obligó a las mentes brillantes de la época a replantearse la naturaleza
8 prólogo
prólogo 9
más intrínseca de la propia física.
¿La culpable? Otra inocente pero poderosa idea: que este nuevo mundo atómico ya no estuviera gobernado por las usuales leyes físicas deterministas, sino que estu-viera regido por un conjunto de leyes probabilísticas. La introducción de esta idea revolucionaria fue un acto arriesgado y ad hocen ese momento. Ni siquiera el propio autor de esta idea estaba completamente convencido de la interpretación física de su teoría, ya que su formulación matemática permitía que dos partículas estuvieran en múltiples lugares al mismo tiempo o que, por el mero hecho de hacer un experimen-to, estuviéramos modificando, cada vez que lo replicábamos, el resultado del mismo. Justo lo contrario al mundo determinista de experimentos con manzanas.
Y así comenzó la era de la «Física Moderna» y la llamada Revolución Cuántica. A mi parecer, la más importante que ha vivido la física en su historia. Y con ella no solo se puso en marcha otra imparable maquinaria, la Mecánica Cuántica, sino que también se pusieron en el centro de la diana profundas implicaciones filosóficas y científicas de la naturaleza misma de la realidad que hoy día seguimos debatiendo.
Este libro rescata ese momento de la historia de la ciencia de comienzos de siglo xxy se sumerge en las vidas y mentes de cuatro brillantes científicos cuyas ideas y aportes en la teoría cuántica revolucionaron nuestra percepción de la rea-lidad, nuestra comprensión del mundo y nuestro progreso tecnológico. Ellos son Max Planck, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg y Richard Feynman.
Max Planck, el pionero y padre de la teoría cuántica, nos introduce en los albo-res de este campo. Atravesando las páginas de su vida descubriremos cómo su idea sobre la cuantización de la energía desafió todas las convenciones de la física esta-blecidas hasta la fecha, allanando el camino a una nueva era que estaba por llegar.
El testigo lo recogieron otros científicos de la época, como lo fue Erwin Schrö-dinger. En este capítulo se exploran los senderos de su mente creativa y de cómo formuló una ecuación fundamental para entender el comportamiento probabilístico de las partículas subatómicas. La misma ecuación que nos dice que dos partículas pueden estar en varios sitios al mismo tiempo o que un «gato cuántico» esté vivo y muerto a la vez.
Werner Heisenberg, con su «principio de incertidumbre», nos sumergirá en la naturaleza más elusiva del mundo cuántico. Además, conoceremos cómo su vida estuvo marcada por los eventos turbulentos de la Segunda Guerra Mundial y cómo esta afectó al devenir científico.
Y finalmente conoceremos al carismático Richard Feynman. Con su peculiar sentido del humor y habilidad para simplificar conceptos complejos a otros más sencillos, como sus famosos diagramas, guiará al lector a través del intrincado mun-
8 prólogo
prólogo 9
do de la teoría cuántica de campos a ritmo de bongos.
Este libro cuenta con una narrativa donde se combinan el rigor científico con la vertiente más humanista de estos cuatro pensadores. Sus vidas, marcadas por desafíos, fracasos y triunfos, demuestran que, tras cada ecuación, hay una historia y, tras cada descubrimiento, hay pasión y curiosidad. Este libro no busca otra cosa que abrir al lector las puertas a un mundo fascinante donde la realidad y la intuición se muestran en formas inesperadas, guiados siempre por las mentes que transfor-maron la historia de la teoría cuántica en una historia inolvidable.
Por eso, me gustaría despedir este prólogo con una cita de Isaac Newton. Iró-nicamente, de esa física que dejamos atrás para poder explicar el mundo cuántico. Dice así:
«Siento como si tan solo hubiera sido un niño que jugaba en la orilla del mar y que de vez en cuando se divertía encontrando un guijarro más liso o una concha más bonita que de costumbre, mientras el gran océano de la verdad yace aún sin descubrir ante mí».
Esta no es otra que la sensación de vértigo (e ilusión) que invade a las grandes mentes científicas de la historia cada vez que se enfrentan, cara a cara, con una idea revolucionaria, con un nuevo mundo que se abre frente a ellos y que retuerce y expande los propios límites del conocimiento en tiempo real. De un conocimiento del que además no se tiene referencia previa alguna. Esta es la sensación de salto al vacío que experimentaron los impulsores de la teoría cuántica. Gracias a este libro, seremos testigos de ese «salto cuántico».
Sí. Las ideas revolucionarias son imprevisibles. Incluso me arriesgaría a afirmar que también son impredecibles. Lo fascinante de estas ideas es que nunca se sabe cuándo, dónde ni a quién le van a iluminar las musas con ese engranaje, con esa pie-za maestra que hará cambiar el mundo. Y lo bonito es que este momento eureka le podría pasar a cualquier persona en cualquier momento. Incluso a ti, querido lector o lectora.
Quién sabe si este libro y la cuántica te servirán de inspiración.
jesús martínez asencio
Doctor en Física y guionista, miembro de Big Van Ciencia
10 prólogo
MAX PLANCK
la teoría cuántica
Introducción
El 14 de mayo de 2009, a las 10 horas y 12 minutos, hora local, los motores del Ariane 5 se encendieron y el cohete inició su ascenso hacia el espacio desde la base de la Agencia Espacial Europea (ESA) en la Guayana Francesa. En dos minutos y medio alcanzó los 70 km de altura y, en ese momento, se separaron los dos mo-tores auxiliares de combustible sólido. La línea que dibujaba la enorme humareda que iba dejando el cohete se quebró un poco entre las nubes. En ese instante la velocidad era de 2 km/s, casi seis veces la velocidad del sonido, y el cohete seguía propulsado por su motor principal. Este utilizaba hidrógeno y oxígeno, alma-cenados en los tanques en forma líquida a baja temperatura. La combustión del hidrógeno proporcionaba la energía impulsora. Casi toda la masa inicial del ingenio era combustible y cuando, finalmente, se alcanzó la altura deseada, solo quedaba en torno a un 1 % de aquella.
El Ariane 5 llevaba a bordo dos artefactos espaciales, llama-dos Plancky Herschel. Este último es un telescopio de infrarrojos de 3,50 m de diámetro. Planckes un satélite que reúne diversos instrumentos dedicados al estudio de la radiación de fondo de microondas. Todo el universo está bañado por una radiación elec-tromagnética que fue emitida en una época lejana, cuando aún no existían las estrellas y todo el espacio estaba lleno de una sopa de partículas y radiación, tan intensa esta que los átomos no podían
14 MAX PLANCK: la teoría cuántica
Introducción 15
formarse sin que fueran inmediatamente destruidos por ella. La radiación y la materia estaban entonces en equilibrio térmico, a una misma y definida temperatura. Al expandirse y enfriarse el universo la radiación dejó de ser lo suficientemente energética como para romper los átomos, y así empezaron a formarse los primeros elementos. La radiación empezó entonces a vagar por el universo libremente, sin interaccionar con la materia. Esa radia-ción la percibimos hoy en día como una señal de microondas que viene de todas partes con la misma intensidad.
El destino final del satélite Planckera el segundo punto de Lagrange del sistema Sol-Tierra, a un millón y medio de kilóme-tros de nuestro planeta (por comparación, recuérdese que la dis-tancia entre la Tierra y la Luna es de 380 000 km). Cuando un cuerpo se sitúa en un punto de Lagrange la atracción gravitatoria de los dos cuerpos en torno a los que gravita es tal que las posi-ciones relativas de los tres cuerpos permanecen siempre igual. En el caso de Planck, alcanzado ese punto, el satélite mantiene siempre la misma posición relativa respecto del Sol y la Tierra. Desde esa situación privilegiada, Planckpuede medir continua-mente la radiación de fondo de microondas.
La radiación de fondo de microondas es una radiación tér-mica, similar a la que emiten los cuerpos calientes. Max Planck estudió las características de la radiación térmica durante gran parte de su vida, en concreto, la que conocemos como radiación de cuerpo negro. En el año 1900, varios físicos experimentales habían medido con precisión cómo cambia la intensidad de la ra-diación de un cuerpo caliente en función de su temperatura y de la longitud de onda. Uno de ellos, Heinrich Rubens, comunicó per-sonalmente a Planck el 7 de octubre que las últimas medidas se desviaban de las fórmulas previamente propuestas. Probable-mente ese mismo día, Planck encontró una fórmula matemática que se ajustaba perfectamente a los resultados experimentales. Esta fórmula, conocida como ley de Planck, ha resistido todas las pruebas experimentales realizadas desde entonces. La radiación de fondo de microondas se ajusta a ella con precisión.
El hallazgo de Planck fue una mezcla de disposición de los datos adecuados, sabiduría, capacidad e inspiración: dispuso de
14 MAX PLANCK: la teoría cuántica
Introducción 15
16 MAX PLANCK: la teoría cuántica
Introducción 17
16 MAX PLANCK: la teoría cuántica
Introducción 17
la termodinámica, rama de la física que dominaba como nadie. Im-pulsó y contribuyó al desarrollo de la teoría de la relatividad. Y, como fruto colateral de su trabajo sobre el cuerpo negro, legó a la física dos constantes universales, además de las ya conocidas. Con ellas construyó un sistema de unidades de masa, distancia, tiempo y temperatura, hoy conocido como escalas de Planck, indepen-diente de cualquier convención humana.
Muerto a la avanzada edad de ochenta y nueve años, fue tes-tigo de privilegio del devenir de Alemania desde su formación hasta su casi desintegración durante la Segunda Guerra Mundial. Nacido en 1858, creció en la Alemania del Segundo Imperio y se crió en un ambiente nacionalista y conservador. Vivió el esplendor industrial, científico y tecnológico de su país y llegó a ocupar puestos de responsabilidad tanto en la universidad (fue rector de la Universidad de Berlín) como en las diversas organizaciones científicas alemanas. Durante la segunda mitad de su vida sufrió varias desgracias personales, especialmente la muerte, en circuns-tancias diferentes, de los dos hijos y las dos hijas que tuvo con su primera esposa.
Aunque Planck se unió inicialmente a la ola de nacionalismo que invadió su país al comienzo de la Primera Guerra Mundial, sufrió personalmente las consecuencias de la guerra con la pér-dida en el campo de batalla de uno de sus hijos. Ocupó una posi-ción muy influyente en la política científica y en la ciencia alemana de entreguerras, una época difícil por la falta de recur-sos y la continua inestabilidad política y social. Finalmente, tuvo una relación convulsa y compleja con el régimen de Hitler. Al final de la Segunda Guerra Mundial perdió a otro de sus hijos varones, Erwin, ejecutado por los nazis. Erwin fue acusado de participar en la conspiración organizada por un grupo de mili-tares y civiles opositores, en julio de 1944, en la que el coronel Stauffenberg intentó matar a Hitler, la llamada Operación Valki-ria. Toda la influencia que Planck podía tener fue insuficiente para salvar la vida de su hijo.
Max Planck se preocupó también por los aspectos filosóficos de la ciencia. Mantuvo una intensa polémica con uno de los más prestigiosos filósofos de su tiempo, Ernst Mach, sobre la natura-
18 MAX PLANCK: la teoría cuántica
leza de la investigación científica. En sus últimos años escribió varios ensayos sobre ciencia, filosofía y religión que tuvieron gran acogida entre el público no especializado.
La física cuántica cambió nuestra concepción del mundo na-tural. También ha dado lugar a numerosas innovaciones tecnoló-gicas que han conformado la civilización actual. Pero por cada descubrimiento que realizamos surgen decenas de nuevas pregun-tas. Max Planck sentía en su interior esa acuciante necesidad de comprensión del mundo y sus fenómenos que lleva a los hombres de ciencia a trabajar incansablemente. La búsqueda de la Verdad con mayúsculas, de lo Absoluto, fue una guía constante en su aza-rosa vida.
El Ariane 5 despegó impulsado por cientos de toneladas de combustible, pero también por nuestras ideas y el deseo de cono-cer el mundo que habitamos.
1858El 23 de abril nace Max Karl Ernest Ludwig Planck en Kiel.
1889Tras unos primeros pasos académicos en Múnich y Kiel, Planck sucede a Gustav Kirchhoff como profesor de física teórica en Berlín. Dos años más tarde sería nombrado catedrático.
1895Planck es nombrado editor de la prestigiosa publicación científica Annalen der Physik, cuyas páginas iban a acoger artículos seminales en física relativista y cuántica a lo largo de las décadas de 1910 y 1920.
1900El 19 de octubre, Planck presenta su ley de la distribución espectral de la radiación de cuerpo negro (conocida desde entonces como ley de Planck) en la reunión quincenal de la Sociedad de Física de Berlín. Un par de meses más tarde, el 14 de diciembre, hace lo propio con la hipótesis cuántica en una ponencia en la misma institución.
1909Muere Marie Planck, de soltera Merck. Un año después, Planck contraerá segundas nupcias con una sobrina de aquella, Marga von Hoesslin.
1913Planck es nombrado rector de la Universidad de Berlín.
1914A los cuatro meses de iniciarse la guerra, Planck firma, junto con otros 92 intelectuales alemanes, el manifiesto nacionalista «Llamamiento al mundo civilizado», más conocido como Manifiesto de los 93, en defensa del rol alemán en el conflicto.
1916Muere en la batalla de Verdún Karl Planck, hijo mayor de Max Planck. Al año siguiente muere Grete, una de sus dos hijas.
1919Planck es galardonado con el premio Nobel de Física por su introducción de la hipótesis cuántica. Muere su otra hija, Emma.
1933En su rol de presidente de la Sociedad Káiser Guillermo para el Avance de la Ciencia, Planck se entrevista con el recién nombrado canciller de Alemania, Adolf Hitler, para advertirle del grave perjuicio que el antisemitismo estaba provocando en la ciencia alemana. En un encuentro posterior con su colega Werner Heisenberg, Planck le confiesa: «No hay lenguaje con el que pueda uno entenderse con semejante hombre».
1945Erwin Planck es ejecutado por los nazis. De los cinco hijos de Max Planck, solo Hermann, el menor, sigue aún con vida.
1946La Sociedad Káiser Guillermo para el Avance de la Ciencia pasa a llamarse Sociedad Max Planck para el Avance de la Ciencia.
1947El 4 octubre muere Max Planck en Gotinga.
1958En abril se celebra en Berlín el centenario del nacimiento de Planck. En los actos participan científicos y autoridades políticas de las dos Alemanias.
cronología
Max Planck nació en 1858 en Kiel, una ciudad del norte de Ale-mania, en una familia de larga tradición intelectual. Su padre era profesor de jurisprudencia. Su madre, casada en segundas nup-cias con su padre, vivió noventa y tres años. Quizá Planck he-redó de ella la longevidad. Su abuelo y su bisabuelo por parte de padre habían sido teólogos y en la familia de su madre abunda-ban los pastores de almas. El ambiente de su familia y de los amigos cercanos a esta era cultivado: profesores, abogados, altos funcionarios del estado y clérigos. Max Planck disfrutó en su infancia de los medios adecuados para desarrollar sus capa-cidades intelectuales y también para disfrutar de los entreteni-mientos de la clase media-alta alemana de la época, como los veraneos en el Báltico.
Una familia así no podía ser otra cosa que conservadora, aun-que de un conservadurismo educado, intelectual y relativamente tolerante. Planck fue un hombre abierto y guiado por los dictados de la razón, capaz de relacionarse con ambos extremos del espec-tro político, en una época en la que la política fue, a menudo, ex-tremista. En una sociedad machista estuvo del lado de los que defendían que la mujer pudiera estudiar en la universidad; de hecho, fue mentor de Lise Meitner (1878-1968), una de las más importantes científicas del siglo xx. En una sociedad abiertamente racista, en la que el antisemitismo se fue radicalizando cada vez
Planck y la física del siglo xix
22 MAX PLANCK: la teoría cuántica
Planck y la física del siglo xix 23
más, Planck se mostró siempre defensor de las virtudes y capaci-dades de los individuos por encima de su raza o de su origen.
En el año 1867 su familia se trasladó a Múnich, en uno de cuyos Gymnasium completó la educación secundaria y en cuya universidad inició la formación académica. El joven Max era un estudiante brillante. Aunque no era de los primeros de la clase todo se le daba bien: lengua, matemáticas, música (en la que des-tacaba especialmente) o historia. Y era querido por compañeros y profesores por su rectitud de comportamiento. Planck se graduó brillantemente en el Gymnasium. Guiado por la pasión que uno de sus profesores, Hermann Müller, había despertado en él, se deci-dió por la física y se matriculó en el año 1874 en física experimen-tal y matemáticas en la universidad local.
Para tener una idea completa de la figura tanto científica como humana de Planck hay que acercarse al ambiente político, económico y social de la época en que se formó. Durante toda su infancia y juventud, un hombre dominó la política alemana: Otto von Bismarck (1815-1898). Canciller de Prusia, Bismarck fue el artífice de la unificación alemana. Tres guerras sucesivas dieron a Prusia el liderazgo del mundo alemán frente a los demás estados alemanes y frente al Imperio austro-húngaro. La primera de esas guerras, contra Dinamarca, propició que el niño Max Planck pre-senciara la entrada de las tropas prusianas en su ciudad natal. Fue el primer contacto de Planck con la guerra (casi al final de su larga vida contemplaría cómo otro ejército, esta vez el estadounidense, invadía la ciudad donde habitaba). Kiel quedó incorporada, junto con los ducados de Schleswig y Holstein, a la corona prusiana. En la segunda de las guerras, en 1866, Prusia se impuso a Austria, y en la tercera, la guerra franco-prusiana, a Francia.
La victoria sobre Francia llevó a la aceptación de todos los estados del sur del liderazgo de Prusia: el 18 de enero de 1871 Guillermo I (1797-1888) fue coronado en Versalles como empera-dor de la Alemania unida. El que fue conocido como Segundo Im-periounificó Alemania bajo la tutela de Prusia y Von Bismarck. Aunque existía un parlamento, en la práctica tenía muy poco poder. El poder real estaba en manos del emperador, su canciller y los altos cargos del gobierno y el ejército. El emperador o el
22 MAX PLANCK: la teoría cuántica
Planck y la física del siglo xix 23
FOTOs superior izquierda e inferior:
Max Planck en 1878. El año anterior Planck había dejado la Universidad de Múnich para trasladarse a la Universidad Friedrich-Wilhelms de Berlín (desde 1949, Universidad Humboldt), cuyo edificio principal aparece en esta litografía datada hacia 1880.
FOTO superior derecha:
Planck con su primera esposa, Marie Merck, y los cuatro hijos del matrimonio: Karl, Erwin y las gemelas Grete y Emma.
24 MAX PLANCK: la teoría cuántica
Planck y la física del siglo xix 25
canciller podían de hecho gobernar de espaldas al Parlamento, y así lo hicieron repetidamente. Bismarck estuvo en el poder hasta 1890, año en que Guillermo II (1859-1941), segundo hijo de Gui-llermo I y que tenía sus propias ideas respecto al gobierno del Estado, decidió prescindir del ya anciano canciller. Cuando Bis-marck abandonó el cargo, Planck tenía treinta y cuatro años.
El último cuarto del siglo xixfue un período de cambio eco-nómico y social radical para Alemania. La industrialización, que se había iniciado a mediados de siglo, se aceleró a un ritmo excep-cional, convirtiendo a Alemania en muy poco tiempo en una gran potencia industrial, al mismo nivel que Inglaterra. La ciencia y la tecnología se desarrollaron a la par que la industrialización siendo, a la vez, causa y consecuencia de ella. Por todo el país, pero muy especialmente en Berlín, surgieron centros de investigación fuer-temente ligados a la industria. Uno de ellos, el Instituto Imperial de Física y Tecnología, fundado en 1887, tendría un papel esencial en el descubrimiento del cuanto de energía.
La lenta y progresiva industrialización inglesa había llevado a la existencia de numerosas empresas familiares que competían entre sí. La burguesía inglesa creía que el Estado no debía interve-nir en el libre comercio. Frente al modelo inglés, el capitalismo alemán tuvo desde el principio una fuerte influencia estatal. Las grandes empresas, los grandes bancos, el ejército y el gobierno estaban íntimamente ligados y se desarrolló un capitalismo mono-polista con una creciente concentración económica. En esta situa-ción se desarrolló con fuerza el movimiento obrero (no olvidemos que Marx y Engels eran alemanes). Dada su ascendencia familiar y su carrera como científico y profesor, Planck no era, lógica-mente, simpatizante del movimiento obrero. Pero sí lo fue Albert Einstein, con quien mantuvo una estrecha y amistosa relación a pesar de sus evidentes diferencias políticas. Einstein se codeó en su juventud con militantes y simpatizantes de la socialdemocracia alemana y se definió a sí mismo como socialista en varias ocasio-nes. La amistad que unió a los dos grandes hombres muestra que Planck, aunque conservador, era un hombre abierto y tolerante.
Junto a la rápida industrialización, otra característica del Se-gundo Imperio alemán fue el nacionalismo. La unificación de 1871
24 MAX PLANCK: la teoría cuántica
Planck y la física del siglo xix 25
había tenido lugar no sin tensiones internas latentes. El estado que había nacido era un estado federal en el que sus integrantes mantenían muchas de sus leyes e incluso sus monarquías. Era necesario promover desde arriba un nacionalismo que contribu-yera a la unificación política y social. El sistema educativo sería una de las piezas clave para inculcar el sentimiento nacional entre estos «nuevos alemanes».
La situación de la economía, la industria y la ciencia alemanas a principios del siglo xxqueda ilustrada por la forma en que Ale-mania participó en la Exposición Universal de 1900 en París. El pabellón alemán superaba en altura a todos los demás pabellones. En las exposiciones temáticas los alemanes mostraban sus pro-ductos y descubrimientos, destacando su carácter alemán por en-cima del nombre de la empresa productora. Los avances alemanes en licuefacción de gases, electroquímica e iluminación maravilla-ban a los visitantes. El prestigio de la precisión y la calidad de los aparatos fabricados en Alemania data de esa época.
La industrialización requería además de una fuerza de trabajo dotada de unos mínimos educativos; por ello, entre 1870 y 1914 las escuelas elementales proliferaron por toda Europa. En la época de Bismarck se desarrolló y consolidó un sistema público educa-tivo que iba desde la escuela hasta las universidades, pasando por los Gymnasium. Los profesores universitarios eran funcionarios del estado y debían jurar lealtad al emperador. Todas estas condi-ciones crearon el ambiente en el que Planck se hizo adulto y ex-plican el ferviente ardor nacionalista que tanto Planck como la mayoría de los científicos alemanes de su generación mostraron al inicio de la Primera Guerra Mundial.
«No era algo que proporcionara un gran placer a un inglés, y si además este examinaba los artículos presentados por su país a buen seguro que sentiría una gran tristeza».
— De un artículo aparecido en la revista inglesa Naturesobre los instrumentos de precisión alemanes presentados en la Exposición Universal de 1900
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Lo cierto es que métodos industriales que los científicos y técnicos alemanes desarrollaron en el último período del siglo xix, y empresas que se fundaron o se expandieron en esa época como fruto de esas innovaciones, están asociados a nombres que han llegado hasta nuestros días, tales como Siemens, Zeiss o Bayer. Estos tres ejemplos, y podríamos poner una decena más, mues-tran no solo el poderío industrial de la Alemania de finales del siglo xix, sino también la estrecha relación de este poderío indus-trial con la investigación científica y técnica.
En definitiva, en el cambio de siglo, cuando Max Planck rea-lizó uno de los mayores descubrimientos de la historia de la fí-sica, Alemania era una gran potencia mundial que dominaba en todos los terrenos de la ciencia y de la técnica. Pero además es-taba bajo un régimen militarista y autoritario, que promovía un fuerte orgullo nacionalista entre sus súbditos. Estos dos aspec-tos, el desarrollo científico-técnico y el autoritarismo político marcaron, a la postre trágicamente, el destino de Alemania y, con ella, el de Planck.
ESTUDIOS DE TERMODINÁMICA
Era costumbre en la Alemania de la época estudiar en más de una universidad, por lo que Max Planck dejó Múnich por Berlín en 1877. Allí tuvo de profesores a Hermann von Helmholtz (1821-1894) y Gustav Kirchhoff (1824-1887). Ambos se cuentan entre los grandes físicos del siglo xixpero, a juicio del propio Planck, no debieron de ser muy buenos profesores. En su breve autobio-grafía científica Planck describe a Helmholtz como un pésimo enseñante que no se preparaba las clases y cometía continuos errores en los cálculos que hacía en la pizarra. Dar clases parece que le aburría y el aburrimiento se debía transmitir a sus alum-nos porque, según Planck, al final del curso solo él y dos más seguían asistiendo a clase.
Hermann von Helmholtz tenía una cierta excusa para no pre-pararse las clases. Justo en esa época estaba sumido en profundas
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Tres ejemplos del poderío tecnológico alemán
La empresa Siemens, cuyo nombre es el apellido de su fundador Ernst Werner von Siemens (1816-1892), lideró la electrificación de Alemania y de gran parte de Europa. Inicialmente dedicada al telégrafo, de sus factorías salieron tanto alternadores y dinamos, para producir electricidad, como motores y lámparas, para consumirla. Siemens también construyó trenes eléctricos. El Instituto Imperial de Física y Tecnología, al que se ha hecho referencia anteriormente, recibía una sustanciosa subvención de Siemens y se ocupaba de diversas cuestiones de interés para la iluminación eléctrica. Tras sobrevivir a las dos guerras mundiales, Siemens sigue siendo una potente multinacional. Zeiss, fundada por el óptico alemán Carl Zeiss (1816-1888) en 1846, fue desde sus inicios una de las grandes empresas de material óptico de precisión. De la empresa Zeiss era el microscopio con el que Ramón y Cajal descubrió la si-napsis neuronal y la estructura de la retina de los mamíferos. También la compañía Zeiss sigue existiendo hoy en día y sigue siendo líder en su campo. La tercera de estas grandes empresas, Bayer, es posiblemente la más cono-cida. Fundada en 1863 por Friedrich Bayer (1825-1880), la empresa comenzó a comercializar su famosa aspirina a finales del siglo xixy todavía hoy en día la sigue fabricando. Durante la Segunda Guerra Mundial Bayer se integró en el conglomerado químico alemán IG Farben. IG Farben construyó una planta para la producción de caucho sintético cerca de Auschwitz, utilizando como mano de obra a los prisioneros del campo en régimen de esclavitud. Después de la guerra, la empresa se dividió en otras tres: Bayer, Basf y Hoechst, que siguen siendo hoy en día potentes multinacionales.
Operarios trabajando, en 1878, en el laboratorio creado por Friedrich Bayer en Eferbeld, Alemania, en 1863, que se convertiría en la multinacional Bayer AG.
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cuestiones electromagnéticas que tenían que ver con las predic-ciones de la teoría de Maxwell. Alemania no era muy «maxwe-lliana» por entonces y fue mérito de Helmholtz introducir la teoría electromagnética del escocés en su país. En julio de 1879 la Aca-demia Prusiana de Ciencias de Berlín convocó un premio, a ins-tancias de Helmholtz, para resolver si algunas de las predicciones de la teoría de Maxwell en circuitos eléctricos de alta frecuencia se cumplían o no. El físico que aceptó el reto de resolver esta cuestión era un alumno aventajado de Helmholtz, Heinrich Hertz (1857-1894), que ganó el premio. Sus investigaciones llevarían unos años más tarde, en 1888, al descubrimiento de las ondas elec-tromagnéticas y la definitiva consagración de la teoría de Maxwell.
Aunque las clases de Helmholtz en el invierno de 1877 no fue-ran gran cosa, Planck tuvo la ocasión de conocer de primera mano los avances en electromagnetismo, una de las ramas de la física cuyo dominio iba a resultar esencial en sus descubrimientos. Eventualmente cuando Planck regresó a Berlín, ya como profesor, mantuvo una relación cordial con Helmholtz hasta la muerte de este, en 1894.
De su otro profesor en Berlín, Gustav Kirchhoff, Planck dice lo contrario que de Helmholtz: que se preparaba las clases tan minuciosamente que las recitaba de memoria, sin una coma de más o una coma de menos, con lo que también terminaba abu-rriendo al alumnado. Pero, de nuevo, posiblemente lo más impor-tante de los años de formación en Berlín no fueron las clases, sino que Planck tuvo acceso a la ciencia vanguardista de la época. Y Kirchhoff lo acercó a los desarrollos punteros en la disciplina en que Planck más iba a destacar: la termodinámica. De hecho, unos años más tarde, Planck sería el encargado de publicar, a título póstumo, las Lecciones sobre la teoría del calor de Kirchhoff.
Un tercer científico influyó en Planck durante su estancia en Berlín: Rudolf Clausius (1822-1888). Planck no tuvo ocasión de conocerlo personalmente, aunque lo intentó. Planck descubrió en Berlín los escritos de Clausius sobre termodinámica y se sumergió en su estudio con una pasión que le acompañaría toda la vida.
En el momento en que Planck fue a estudiar a Berlín ya esta-ban bien establecidos los dos principios de la termodinámica. El
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Maxwell y la gran síntesis electromagnética
A mediados del siglo xixlas teorías del electromagnetismo estaban en una en-crucijada. Gracias a la obra de Ampère (1775-1836), Faraday (1791-1867) y otros físicos de la época, se había acumulado una serie importante de datos y leyes experimentales que habían demostrado la íntima relación existente entre electri-cidad y magnetismo. Para explicar to-dos los fenómenos descubiertos había principalmente dos formas de ver las cosas. Estaban los que proponían la existencia de una acción a distancia y los que abogaban por una teoría de campos. Heinrich Weber (1795-1878), en Alemania, había propuesto una fórmula para explicar todas las fuerzas eléctricas y magnéticas, tanto estáticas como di-námicas, a partir de una acción a distan-cia entre las cargas eléctricas. Su fórmula era similar a la de la fuerza de gravedad entre dos cuerpos, pero con más términos, que dependían de la velocidad y la aceleración de las partículas. Pero uno de los profesores de Planck, Helmholtz, demostró en torno a 1870 que la fórmula de Weber era inconsistente con la ley de conservación de la energía. Por su parte, la teoría de campos había nacido con Michael Faraday, quien imaginaba que el espa-cio alrededor de un imán estaba lleno de cuerdas invisibles, «líneas de fuer-za» las llamaba él, cuya tensión era la responsable de las fuerzas de atracción o repulsión entre los polos del imán. También imaginaba líneas de fuerza eléctricas que unían las cargas negativas con las positivas, provocando su atracción. James Clerk Maxwell (1831-1879), de origen escocés, dio forma matemática a las ideas de Faraday. Formuló una teoría unificada de todas las leyes de la electricidad y el magnetismo. Su teoría era inicialmente me-cánica, y suponía que todos los fenómenos electromagnéticos eran conse-cuencia de la dinámica de un medio continuo, el éter, que llena todo el es-pacio. La teoría de Maxwell no solo podía dar cuenta de los fenómenos conocidos más relevantes, sino que hacía una predicción: el éter podía trans-mitir ondas, de manera similar a como un sólido puede transmitir vibraciones. Maxwell calculó la velocidad que tendrían esas ondas y encontró un valor cercano alde la luz. En sus propias palabras: «No podemos dejar de concluir que la luz consiste en las ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos».
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primer principio es el de la conservación de la energía, una de cuyas formulaciones es la conocida: «La energía ni se crea ni se destruye, sino que simplemente se transforma». Este principio fue establecido a mediados del siglo por varios físicos de la época: James Joule (1818-1889), Julius von Mayer (1814-1878), William Thomson (después conocido como Lord Kelvin; 1824-1907) o el mismo Helmholtz. La idea es que hay una equivalencia cuantitativa entre el trabajo mecánico, las diversas formas de energía que son capaces de producir trabajo y el calor. En la década de los cuarenta del siglo xix, el británico James Joule realizó una serie de experi-mentos que demostraban la equivalencia entre las distintas formas de energía. El más conocido de ellos y el más fácil de entender, aunque no fácil de realizar, consistía en un peso que al caer hacía girar unas palas en el interior de un recipiente lleno de agua. Una polea, una cuerda y un eje transmitían el movimiento del peso a las palas, según se muestra en la figura. El recipiente estaba térmica-mente aislado y Joule observó que el agua en su interior se calen-taba cuando el peso descendía. La energía potencial gravitatoria del peso se había convertido en calor. Joule concluyó que para calentar una libra de agua de 50 a 51 grados Fahrenheit, había que hacer descender un pie de altura un peso de 817 libras.
Con este experimento, James Joule demostró que la energía potencial gravitatoria se podía convertir en calor. Concretamente, para que una libra de agua se calentase de 50 a 51 grados Fahrenheit, hacía falta descender un pie de altura un peso de 817 libras.
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La energía tiene muchas caras
En honor a Joule la unidad de trabajo y energía en el Sistema Internacional de unidades es el julio (J). Podemos obtener 1 000 J de diversas formas, por ejemplo:
a) De la combustión de 64 mg de glucosa, produciendo agua y dióxido de carbono. La glucosa contiene lo que llamamos energía química. Esta reacción se lleva a cabo continuamente en nuestros músculos, produ-ciendo trabajo mecánico, al movernos, y calor.
b) De la fusión de 1 600 milésimas de microgramo (1,6 · 10–9g) de hidrógeno para formar helio. Este proceso de fusión se lleva a cabo en las estrellas y es la fuente de la energía que nos proporciona el Sol.
Con 1 000 J podríamos:
— Comunicar a una pelota de tenis una velocidad de 360 km/h. Este es un ejemplo de energía cinética.
— Hacer girar un trompo a 1 800 revoluciones por minuto. También se tra-ta de energía cinética.
— Subir 1 kg de manzanas a 100 m de altura, aproximadamente. Las man-zanas adquieren energía potencial gravitatoria.
— Calentar 1 litro de agua aumentando 0,24 °C su temperatura. Esto es lo que Joule hizo en su experimento, convirtiendo el trabajo que hacía el peso al caer en calor.
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denotarse con la letra S. La entropía es una propiedad de todos los sistemas físicos macroscópicos, ya se trate de un cuerpo homogé-neo o de un conjunto de cuerpos en interacción. Cuando comuni-camos una cantidad de calor Qa un cuerpo a una temperatura Taumentamos su entropía en una cantidad ΔSdada por:
El segundo principio de la termodinámica se puede enunciar también de la siguiente forma: «En un sistema aislado la entropía siempre aumenta o, como mucho, permanece constante».
Este enunciado es mucho más abstracto, y aparentemente más misterioso, pero también más útil que los anteriores en el contexto de la física teórica. En esos términos Max Planck lo usó en sus trabajos sobre la radiación de cuerpo negro, y es la razón por la que se introduce aquí.
Podemos ver la equivalencia entre este enunciado y el de Clausius si imaginamos dos cuerpos a distinta temperatura T1y T2, dos vasos de agua por ejemplo (veáse la figura).
A continuación quitamos una cantidad de calor Qal primero para dársela al segundo. La entropía del primero disminuirá en Q / T1, mientras que la del segundo aumentará en una cantidad Q / T2. La entropía del sistema total cambiará en:
Para que la entropía aumente, la diferencia 1 / T2 – 1 / T1tiene que ser positiva, con lo que T1debe ser mayor que T2. Es decir, el cuerpo caliente es el que ha cedido el calor y el cuerpo frío el que lo ha absor-bido. El proceso contrario, que conllevaría una disminución de la entropía, es por tanto imposible.
Al mezclar agua fría con agua caliente se obtiene agua a una temperatura intermedia. La entropía total aumenta durante el proceso.
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Hay muchas consecuencias del segundo principio que expe-rimentamos diariamente. Una de ellas se refiere a la conversión entre los diversos tipos de energía. ¿Qué ocurre si lanzamos una piedra contra el suelo? La piedra rebota una o dos veces y termina parándose. ¿Se ha perdido la energía que llevaba? No, la fricción contra el aire y contra el suelo la ha convertido en calor. Apenas si es perceptible el calor en este caso, pero sí lo es si tocamos los frenos de disco de una motocicleta después de una frenada apu-rada. Y también lo es en los cráteres que deja el impacto de gran-des meteoritos sobre la Tierra. Hay unos 160 cráteres conocidos y en esos lugares las rocas o la arena del suelo se han fundido y enfriado, adquiriendo un aspecto distinto del aspecto del suelo circundante. En estos procesos la energía mecánica inicial, de la piedra, la rueda de la moto o el meteorito, se ha convertido ínte-gramente en calor.
¿Podemos recoger toda la energía que se ha disipado en el suelo al caer la piedra e impactar con este para volver a lanzarla en sentido inverso con la misma velocidad que traía inicialmente? La respuesta es que no, que necesitamos un poco más. Podemos mover una piedra a partir de calor, pero, como dice el enunciado de Planck, no podemos convertir íntegramente todo el calor que se ha dispersado en el suelo en mover la piedra (véase la figura). Parte del calor que usemos, inevitablemente, se perderá en el entorno.
Esto es lo que ocurre diariamente en los motores de nuestros vehículos. La energía química de la mezcla explosiva gasolina-aire se transforma en calor. Los gases comprimidos y calientes que han
Según el enunciado de Planck del segundo principio de la termodinámica, no se puede construir ningún motor que sea capaz de convertir íntegramente en trabajo todo el calor que recibe. En el caso de la ilustración, podemos mover la piedra hacia arriba a partir de calor, pero no podemos convertir íntegramente todo el calor que se ha dispersado en mover la piedra.
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ahora es el calor que recibimos al acercarnos al fuego, es decir, el que se propaga por radiación.
En una chimenea pueden constatarse varias de las propieda-des de la transmisión del calor por radiación. En primer lugar, la radiación se produce en línea recta: se nos calienta la parte del cuerpo que se enfrenta al fuego, permaneciendo fría la de atrás. Además, si nos hacemos a un lado, el calor no nos llega. A otra característica de la radiación térmica estamos tan acostumbrados que parece obvia: es más intensa cuanto más caliente esté el cuerpo que la produce. En efecto, a medida que más y más leña entra en combustión, el fuego va alcanzando más temperatura y el calor que nos llega directamente por radiación es mayor.
La última propiedad de la radiación térmica que podemos observar en una chimenea es el tema central de la obra de Planck. Tiene que ver con el color del cuerpo caliente. A medida que los troncos se van calentando y la llama se va haciendo más viva podemos observar un cambio en su color. Las zonas menos calientes no emiten luz visible aunque sí nos calientan: la radia-ción la emiten en la zona infrarroja del espectro, invisible para nosotros. Las que están en ascuas tienen un rojo característico y están más calientes. Las zonas amarillas están entre 1 400 y 1 600 ºC. Cuanto más caliente es el fuego, más evoluciona el color de la luz emitida del rojo hacia el azul. Es un hecho experimen-tal, como vemos en el caso del fuego de una chimenea, que cuanto más caliente está un cuerpo, la luz que emite es más in-tensa y de una longitud de onda más pequeña.
Eso es así porque la luz es un fenómeno ondulatorio, y el color de la luz que percibimos tiene que ver con su longitud de onda, que es la distancia entre dos máximos o dos mínimos de la onda que se propaga. La longitud de onda del color rojo se sitúa en torno a 700 nanómetros (milmillonésimas de metro), la del amarillo a 580 nm y la del azul se sitúa por debajo de 500 nm. A medida que avanza-mos en los colores del arcoíris la longitud de onda disminuye.
El gran astrónomo anglo-alemán William
