9,99 €
Mehr erfahren.
- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Französisch
La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.
Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.
L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.
L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.
L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.
Das E-Book können Sie in Legimi-Apps oder einer beliebigen App lesen, die das folgende Format unterstützen:
Veröffentlichungsjahr: 2023
Ähnliche
Table des Matières
« Le livre de mathématique : volume 1 »
INTRODUCTION
PREMIÈRE PARTIE : MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES
LOGIQUE MATHÉMATIQUE ÉLÉMENTAIRE
OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES ÉLÉMENTAIRES
THÉORIE DES ENSEMBLES
CALCUL LITTERAL
GEOMETRIE PLANE EUCLIDEENNE
GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE SOLIDE
ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
GEOMETRIE ANALYTIQUE ELEMENTAIRE
FONCTIONS GONIOMETRIQUES ET TRIGONOMETRIE
FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMIQUES ET HYPERBOLIQUES
THÉORIE DES FONCTIONS
NOMBRES COMPLEXES
DEUXIÈME PARTIE : ANALYSE MATHÉMATIQUE, ANALYSE FONCTIONNELLE ET GÉOMÉTRIE AVANCÉE
TOPOLOGIE GENERALE
LIMITES
FONCTIONS CONTINUES
CALCUL DIFFÉRENTIEL
CALCUL INTÉGRAL
ÉTUDE DES FONCTIONS VARIABLES RÉELLES
SUCCESSION ET SÉRIES NUMÉRIQUES
SUCCESSION ET SÉRIE DE FONCTIONS
SÉRIES POWER, TAYLOR ET FOURIER
VECTEURS ET MATHÉMATIQUES VECTORIELLES
MATRICES ET MATHÉMATIQUES MATRICIELLES
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE AVANCÉE
GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE
« Le livre de mathématique : volume 1 »
SIMONE MALACRIDA
La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.
Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.
L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.
L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.
L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.
Simone Malacrida (1977)
Ingénieur et écrivain, a travaillé sur la recherche, la finance, la politique énergétique et les installations industrielles.
INDEX ANALYTIQUE
––––––––
INTRODUCTION
––––––––
PREMIÈRE PARTIE : MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES
––––––––
1 – LOGIQUE MATHÉMATIQUE ÉLÉMENTAIRE
––––––––
2 – OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES ÉLÉMENTAIRES
––––––––
3 – THÉORIE DES ENSEMBLES
––––––––
4 – CALCUL LITTERAL
––––––––
5 – GEOMETRIE PLANE EUCLIDEENNE
––––––––
6 – GEOMETRIE SOLIDE EUCLIDEENNE
––––––––
7 – ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
––––––––
8 – GEOMETRIE ANALYTIQUE ELEMENTAIRE
––––––––
9 – FONCTIONS GONIOMETRIQUES ET TRIGONOMETRIE
––––––––
10 – FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMIQUES ET HYPERBOLIQUES
––––––––
11 – THÉORIE DES FONCTIONS
––––––––
12 – NOMBRES COMPLEXES
DEUXIÈME PARTIE : ANALYSE MATHÉMATIQUE, ANALYSE FONCTIONNELLE ET GÉOMÉTRIE AVANCÉE
––––––––
13 – TOPOLOGIE GENERALE
––––––––
14- LIMITES _ _
––––––––
15 – FONCTIONS CONTINUES
––––––––
16 – CALCUL DIFFÉRENTIEL
––––––––
17- CALCUL INTÉGRAL
––––––––
18 – ETUDE DES FONCTIONS VARIABLES REELLES
––––––––
19 – SUCCESSION ET SÉRIE NUMÉRIQUE
––––––––
20 – SUCCESSION ET SÉRIE DE FONCTIONS
––––––––
21 – SÉRIES POWER, TAYLOR ET FOURIE R
––––––––
22 – V ECTEURS ET MATHÉMATIQUES VECTORIELLES
––––––––
23 – MATRICES ET MATRICES MATHÉMATIQUES
––––––––
24 – GEOMETRIE ANALYTIQUE AVANCEE
––––––––
25 – GEOMETRIE NON EUCLIDEENNE
INTRODUCTION
Dans la société actuelle, les mathématiques sont à la base de la plupart des disciplines scientifiques et techniques telles que la physique, la chimie, l'ingénierie de tous secteurs, l'astronomie, l'économie, la médecine, l'architecture.
En outre, les modèles mathématiques régissent la vie quotidienne, par exemple dans le secteur des transports, dans la gestion et la distribution de l'énergie, dans les communications téléphoniques et télévisuelles, dans les prévisions météorologiques, dans la planification de la production agricole et dans la gestion des déchets, dans la définition des flux monétaires, dans la codification des plans industriels, etc., puisque les applications pratiques sont presque infinies.
Les mathématiques sont donc l'un des fondements fondamentaux de la formation d'une culture contemporaine de chaque individu et il ressort à la fois des programmes scolaires qui introduisent, dès les premières années, l'enseignement des mathématiques et de la relation étroite entre l'apprentissage profitable des les mathématiques et le développement social et économique d'une société.
Cette tendance n'est pas nouvelle, car elle est une conséquence directe de cette révolution qui eut lieu au début du XVIIe siècle qui introduisit la méthode scientifique comme principal outil de description de la Nature et dont le point de départ fut précisément donné par la considération que les mathématiques pouvaient être la clé de voûte pour comprendre ce qui nous entoure.
La grande « force » des mathématiques réside dans au moins trois points distincts.
Tout d'abord, grâce à elle, il est possible de décrire la réalité en termes scientifiques, c'est-à-dire en prévoyant certains résultats avant même d'avoir l'expérience réelle.
Prédire les résultats, c'est aussi prévoir les incertitudes, les erreurs et les statistiques qui surgissent nécessairement lorsque l'idéal de la théorie est amené à la pratique la plus extrême.
Deuxièmement, les mathématiques sont un langage qui a des propriétés uniques.
C'est artificiel, comme construit par des êtres humains.
Il existe d'autres langues artificielles, comme l'alphabet Morse ; mais la grande différence des mathématiques est qu'elles sont un langage artificiel qui décrit la Nature et ses propriétés physiques, chimiques et biologiques.
Cela le rend supérieur à tout autre langage possible, car nous parlons le même langage que l'Univers et ses lois. À ce stade, chacun de nous peut apporter ses propres idéologies ou croyances, qu'elles soient laïques ou religieuses.
De nombreux penseurs ont souligné à quel point Dieu est un grand mathématicien et à quel point les mathématiques sont le langage privilégié pour communiquer avec cette entité supérieure.
La dernière propriété des mathématiques est qu'elles sont un langage universel. En termes mathématiques, la tour de Babel ne pourrait pas exister.
Tout être humain qui a quelques rudiments de mathématiques sait très bien ce que signifient certains symboles spécifiques, tandis que des traducteurs et des dictionnaires sont nécessaires pour se comprendre avec des mots écrits ou des discours oraux.
Nous savons très bien que le langage est la base de toute connaissance.
L'être humain apprend, dans les premières années de la vie, une série d'informations de base pour le développement de l'intelligence, précisément à travers le langage.
Le cerveau humain se distingue précisément par cette particularité spécifique d'articuler une série de langages complexes et cela nous a donné tous les avantages bien connus sur toute autre espèce du règne animal.
Le langage est aussi l'un des présupposés du savoir philosophique, spéculatif et scientifique et Gadamer l'a mis en évidence, sans équivoque et définitivement.
Mais il y a une troisième propriété des mathématiques qui est beaucoup plus importante.
En plus d'être un langage artificiel et universel qui décrit la Nature, les mathématiques sont proprement la résolution de problèmes , donc c'est du concret fait de la science, car l'homme a toujours visé à résoudre les problèmes qui l'affligent.
Pour lever les derniers doutes en la matière, il convient de rapporter quelques exemples concrets faisant référence à il y a des millénaires.
La découverte des nombres irrationnels faite par Pythagore, surtout pi et la racine carrée, n'était pas une simple spéculation théorique.
A la base de ce symbolisme mathématique, il y avait la résolution de deux problèmes très concrets.
D'une part, puisque les maisons avaient un plan carré, la diagonale interne devait être calculée exactement afin de minimiser le gaspillage de matière dans la construction des murs, d'autre part, pi était le lien mathématique entre les distances droites et curvilignes, comme le rayon d'une roue et sa circonférence.
Face aux problèmes concrets, l'intellect humain a inventé ce langage mathématique dont la propriété est précisément celle de résoudre les problèmes en décrivant la Nature.
––––––––
La première partie de ce livre a pour but exprès de fournir les rudiments des mathématiques élémentaires, c'est-à-dire de toute cette partie des mathématiques antérieure à l'introduction de l'analyse mathématique.
Les notions et concepts exposés dans cette partie étaient, en partie, déjà connus dans l'Antiquité (au temps des Grecs par exemple), notamment en ce qui concerne la partie de la logique élémentaire, ainsi que les opérations élémentaires et les relations géométriques.
Les chapitres restants de la première partie décrivent les connaissances acquises par l'humanité au cours des siècles, en particulier après la grande explosion de la pensée qui s'est produite à la Renaissance, jusqu'à la fin du XVIIe siècle.
Cette limite est considérée comme une démarcation entre les mathématiques élémentaires et avancées, précisément parce que l'analyse mathématique, introduite à la fin du XVIIe siècle par Newton et Leibnitz, a permis le saut qualitatif vers de nouveaux horizons et vers la description réelle de la Nature en termes mathématiques.
C'est précisément pour cette raison, bien que chaque paragraphe constitue un sujet complet en soi, l'exposition des sujets suit un ordre logique, permettant la progression continue des connaissances en fonction de ce qui a été appris précédemment.
La première partie du livre coïncide plus ou moins avec ce qui était enseigné jusqu'à la fin du lycée (uniquement pour les lycées scientifiques, avec la fin de la quatrième année et non de la cinquième).
––––––––
La deuxième partie du livre donne tous les fondements des mathématiques avancées, englobant en elle à la fois la grande discipline de l'analyse mathématique et tous les domaines disparates qui ont surgi au cours des deux derniers siècles, y compris, pour n'en citer que quelques-uns, l'analyse différentielle. et géométrie fractale, géométries non euclidiennes, topologie algébrique et analyse fonctionnelle.
La quasi-totalité de ces notions ont été développées après l'introduction du formalisme de l'analyse mathématique à la fin du XVIIe siècle et, depuis, le chemin des mathématiques s'est toujours poursuivi en parallèle entre ce secteur et toutes les autres sous-disciplines possibles qui peu à peu côte à côte et ont emprunté des chemins indépendants.
Il reste à comprendre pourquoi l'analyse mathématique a introduit cette ligne de partage entre les mathématiques élémentaires et avancées.
Deux domaines se complètent dans ce discours.
D'une part, ce n'est qu'avec l'introduction de l'analyse mathématique qu'il a été possible de décrire, avec un formalisme adapté, les équations qui régissent les phénomènes naturels, qu'ils soient physiques, chimiques ou d'autre extraction, par exemple sociale ou économique.
En d'autres termes, l'analyse mathématique est l'outil principal pour construire ces mécanismes qui nous permettent de prédire les résultats, de concevoir des technologies et de réfléchir aux nouvelles améliorations à introduire.
D'autre part, l'analyse mathématique possède, dans sa nature même, une particularité spécifique qui la distingue nettement des mathématiques élémentaires antérieures.
Il prévoit des considérations locales, non exclusivement ponctuelles.
Le simple passage de la ponctualité à la localité permettra de construire un discours de la globalité, allant bien au-delà du connaissable antérieur.
Cette partie présente des notions habituellement abordées au niveau universitaire dans divers cours d'analyse et de géométrie.
Dans la troisième partie du livre, des sujets d'intérêt général pouvant être séparés de l'analyse mathématique seront exposés, tels que l'algèbre avancée, les statistiques et la logique avancée.
––––––––
Chaque chapitre du livre peut être considéré comme un domaine complet des mathématiques en soi, mais ce n'est qu'en analysant tous les sujets qu'il sera possible de toucher l'immensité des mathématiques et c'est pour cette raison que l'ordre des chapitres reflète une évolution continue. succession de connaissances pour progresser.
En fait, les mathématiques ont une étendue presque illimitée de secteurs et d'applications.
Il n'y a pas de science qui puisse se passer de concepts mathématiques et il n'y a pas d'application qui n'ait emprunté des notions mathématiques et les ait fait évoluer avec des langages particuliers.
C'est ainsi que sont nées de nombreuses disciplines et de nombreuses théories non présentées dans ce livre, pour ne citer que quelques exemples on peut citer la théorie des jeux et les mathématiques financières dans le domaine économique, les applications de la théorie des groupes et de l'algèbre avancée pour la physique théorique et les particules élémentaires, la évolution du calcul tensoriel pour des problèmes de cosmologie et d'astrophysique.
Pour cette raison, ce livre, bien que très vaste, n'est certainement pas complet et exhaustif.
Il y a plus de 1 000 exercices effectués, mais le nombre de problèmes et d'exercices possibles est presque illimité.
De plus, dans tout le livre, il n'y a pas de preuves de théorèmes qui auraient alourdi davantage l'encombrement et la compréhension.
––––––––
L'évolution des mathématiques appliquées aux disciplines et technologies individuelles a conduit à des ramifications extrêmes et à une évolution continue qui se poursuit encore aujourd'hui.
Cela a une conséquence importante : les mathématiques sont une science "vivante", contemporaine et future et ne sont pas reléguées à un rôle historique.
Ce qui a été dit ne s'applique pas seulement aux innombrables applications, mais aussi aux mathématiques « pures », c'est-à-dire aux problèmes mathématiques présentés dans ce manuel.
En faisant un historicisme des notions et des résultats exprimés, on a pu voir clairement comment certaines hypothèses et certaines démonstrations sont très récentes (un exemple surtout est la démonstration de la conjecture de Poincaré) c'est-à-dire qu'elles ont eu lieu au XXIe siècle.
Ce n'est pas un hasard s'il existe des prix pour résoudre des problèmes encore ouverts et qui sont à la fois historiques, comme les fameuses questions de Hilbert du début du XXe siècle, et très modernes en ce qui concerne le calcul informatique, la logique, la complexité et la théorie du chaos, ainsi que sous forme de concepts géométriques et algébriques.
Étant une science vivante, tout comme un langage universel, les mathématiques s'enrichissent continuellement de nouveaux mots et de nouvelles constructions et c'est pourquoi ce qui est présenté dans ce livre n'est qu'un tremplin vers des connaissances encore plus avancées et spécifiques.
Relever le défi d'écrire un nouveau chapitre ou un seul chapitre dans cette histoire passionnante du seul langage artificiel universel qui décrit la Nature fait partie de l'évolution de notre espèce et c'est pourquoi chacun de nous est appelé à y participer.
PREMIÈRE PARTIE : MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES
1
LOGIQUE MATHÉMATIQUE ÉLÉMENTAIRE
Introduction
La logique mathématique traite du codage, en termes mathématiques, de concepts intuitifs liés au raisonnement humain.
C'est le point de départ de tout processus d'apprentissage mathématique et, par conséquent, il est tout à fait logique d'exposer les règles élémentaires de cette logique au début de tout le discours.
On définit un axiome comme un énoncé supposé vrai parce qu'il est considéré comme allant de soi ou parce qu'il est le point de départ d'une théorie.
Les axiomes logiques sont satisfaits par toute structure logique et se divisent en tautologies (énoncés vrais par définition dépourvus de valeur informative nouvelle) ou axiomes considérés comme vrais malgré tout, incapables de démontrer leur validité universelle.
Les axiomes non logiques ne sont jamais des tautologies et sont appelés postulats.
Les axiomes et les postulats sont indémontrables.
Généralement, les axiomes qui fondent et démarrent une théorie sont appelés principes.
Un théorème, d'autre part, est une proposition qui, à partir de conditions initiales (appelées hypothèses) aboutit à des conclusions (appelées thèses) par une procédure logique appelée démonstration.
Les théorèmes sont donc démontrables par définition.
D'autres déclarations prouvables sont les lemmes qui précèdent et donnent généralement la base d'un théorème et les corollaires qui, à la place, sont conséquents à la démonstration d'un théorème donné.
Une conjecture, en revanche, est une proposition que l'on croit vraie grâce à des considérations générales, à l'intuition et au bon sens, mais qui n'est pas encore démontrée sous la forme d'un théorème.
Symbologie
––––––––
La logique mathématique fait intervenir des symboles qui reviendront ensuite dans tous les champs particuliers des mathématiques. Ces symboles sont variés et appartiennent à différentes catégories.
L'égalité entre deux éléments mathématiques est indiquée par le symbole de , si au contraire ces éléments sont différents l'un de l'autre, le symbole d'inégalité est donné par .
Dans le domaine géométrique il est également utile d'introduire la notion de congruence ainsi désignée et de similarité .
En mathématiques, la proportionnalité peut également être définie, notée .
Dans de nombreux cas, les concepts mathématiques et géométriques doivent être définis, le symbole de définition est ceci .
Enfin, la négation est donnée par une barre au-dessus du concept logique.
Ensuite, il y a des symboles logiques quantitatifs qui correspondent à des concepts linguistiques. L'existence d'un élément est indiquée ainsi , l'unicité de l'élément ainsi , tandis que la phrase "pour chaque élément" est transcrite ainsi .
D'autres symboles renvoient à des logiques d'ordonnancement, c'est-à-dire à la possibilité de lister les éléments individuels selon des critères quantitatifs, introduisant des informations bien au-delà du concept d'inégalité.
Si un élément est plus grand qu'un autre, il est indiqué par le symbole supérieur à >, s'il est plus petit par celui de moins <.
De même, pour les ensembles, le symbole d'inclusion s'applique pour désigner une plus petite quantité .
Ces symboles peuvent être combinés avec l'égalité pour générer des extensions incluant les concepts de "supérieur ou égal" et "inférieur ou égal" .
Évidemment on peut aussi avoir la négation de l'inclusion donnée par .
Une autre catégorie de symboles logiques met en jeu le concept d'appartenance.
Si un élément appartient à une autre structure logique, il est indiqué par , s'il n'appartient pas à .
Certains symboles logiques transcrivent ce qui se passe normalement dans les processus logiques de construction verbale.
L'implication donnée par une clause subordonnée hypothétique (le classique « si... alors ») est codée comme ceci , tandis que la co-implication logique (« si et seulement si ») comme ceci .
La construction linguistique "tel que" est résumée dans l'utilisation des deux-points :
Enfin, il existe des symboles logiques qui encodent les expressions « et/ou » (disjonction inclusive), « et » (conjonction logique), « ou » (disjonction exclusive).
Dans les deux premiers cas, un correspondant peut être trouvé dans l'union entre plusieurs éléments, indiquée par , et dans l'intersection entre plusieurs éléments .
Tous ces symboles sont appelés connecteurs logiques.
––––––––
Des principes
Il y a quatre principes logiques qui sont absolument valables dans le schéma logique élémentaire (mais pas dans certains schémas logiques avancés).
Ces principes sont des tautologies et étaient déjà connus dans la philosophie grecque antique, faisant partie du système logique d'Aristote.
1) Principe d'identité : chaque élément est égal à lui-même.
2) Principe de bivalence : une proposition est soit vraie soit fausse.
3) Principe de non-contradiction : si un élément est vrai, sa négation est fausse et inversement. D'où il suit nécessairement que cette proposition ne peut pas être vraie
4) Principe du tiers exclu : il n'est pas possible que deux propositions contradictoires soient toutes les deux fausses. Cette propriété généralise la précédente, puisque la propriété de non-contradiction n'exclut pas que les deux propositions soient fausses.
Propriétés
De plus, pour une opération logique générique, les propriétés suivantes peuvent être définies dans une structure logique générique G (il n'est pas dit que toutes ces propriétés sont valables pour chaque opération et pour chaque structure logique, cela dépendra des cas).
propriété réfléchissante :
Pour chaque élément appartenant à la structure logique, l'opération logique effectuée sur le même élément fait référence en interne à la structure logique.
Propriété d'idempotence :
Pour chaque élément appartenant à la structure logique, l'opération logique effectuée sur le même élément aboutit au même élément.
Propriété d'existence de l'élément neutre :
Pour chaque élément appartenant à la structure logique, il existe un autre élément tel que l'opération logique effectuée sur celui-ci renvoie toujours l'élément de départ.
Propriété d'existence d'élément inverse :
Pour chaque élément appartenant à la structure logique, il existe un autre élément tel que l'opération logique effectuée sur ceux-ci renvoie toujours l'élément neutre.
Propriété commutative :
Étant donné deux éléments appartenant à la structure logique, le résultat de l'opération logique effectuée sur eux ne change pas si l'ordre des éléments est modifié.
propriété transitive :
Étant donné trois éléments appartenant à la structure logique, l'opération logique effectuée sur la chaîne d'éléments ne dépend que du premier et du dernier.
Propriété associative :
Étant donné trois éléments appartenant à la structure logique, le résultat de l'opération logique qui en est faite ne change pas selon l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées.
Propriété distributive :
Étant donné trois éléments appartenant à la structure logique, l'opération logique effectuée sur un groupe de deux d'entre eux et sur l'autre est équivalente à l'opération logique effectuée sur des groupes de deux.
Les concepts d'égalité, de congruence, de similitude, de proportionnalité et d'appartenance possèdent toutes ces propriétés que nous venons d'énumérer.
Les symboles d'ordre ne satisfont que les propriétés transitives et réflexives.
Dans ce cas, la propriété d'idempotence n'est satisfaite qu'en incluant également l'ordre avec égalité, tandis que les autres propriétés ne sont pas bien définies.
L'implication logique satisfait les propriétés réflexive, idempotence et transitive, alors qu'elle ne satisfait pas les propriétés commutative, associative et distributive.
D'autre part, la co-implication les satisfait tous, tout comme les connecteurs logiques tels que la conjonction logique et la disjonction inclusive.
Une opération dans laquelle les propriétés réflexives, commutatives et transitives tiennent simultanément est appelée une relation d'équivalence .
En général, les deux théorèmes duaux de De Morgan tiennent :
Ces théorèmes impliquent les définitions des connecteurs logiques et la propriété distributive.
––––––––
Logique booléenne
Pour les connecteurs logiques, il est possible de définir, avec le formalisme de la logique dite booléenne, des tables de vérité basées sur les valeurs "vraies" ou "fausses" attribuables aux propositions individuelles.
––––––––
LE DÉNI
v
F
F
v
La négation est vraie si la proposition est fausse et vice versa.
CONJONCTION LOGIQUE
F
F
F
F
v
F
v
F
F
v
v
v
La conjonction logique n'est vraie que lorsque les deux propositions sont vraies.
DISJONCTION INCLUSIVE
F
F
F
F
v
v
v
F
v
v
v
v
La disjonction inclusive n'est fausse que lorsque les deux propositions sont fausses.
DISJONCTION EXCLUSIVE
F
F
F
F
v
v
v
F
v
v
v
F
La disjonction exclusive est fausse si les deux propositions sont fausses (ou vraies).
IMPLICATION LOGIQUE
F
F
v
F
v
v
v
F
F
v
v
v
L'implication logique est fausse seulement si la cause est vraie et la conséquence est fausse.
CO-IMPLICATION LOGIQUE
F
F
v
F
v
F
v
F
F
v
v
v
La co-implication logique est vraie si les deux propositions sont vraies (ou fausses).
Dans le cas où l'implication logique est vraie, A est appelée une condition suffisante pour B, tandis que B est appelée une condition nécessaire pour A.
L'implication logique est le principal moyen de prouver les théorèmes, en considérant que A représente les hypothèses, B les thèses, tandis que la procédure d'implication logique est la preuve du théorème.
La co-implication logique est une relation d'équivalence.
Dans ce cas, A et B sont des concepts logiquement équivalents et sont à la fois des conditions nécessaires et suffisantes l'un pour l'autre.
Rappelant les propriétés exposées, la co-implication logique peut également être exprimée comme suit :
––––––––
Applications de la logique : preuve de théorèmes
La preuve mathématique d'un théorème peut être basée sur deux grandes catégories logiques.
D'une part, il y a la déduction qui, à partir d'hypothèses considérées comme vraies (ou déjà démontrées antérieurement), détermine la validité d'une thèse en vertu de la seule cohérence formelle et logique du raisonnement démonstratif. Généralement, suivant ce modèle, un mécanisme est appliqué qui va de l'universel au particulier.
D'autre part, nous avons l'induction qui, à partir de cas particuliers, fait abstraction d'une loi générale. Comme souligné à plusieurs reprises tout au long de l'histoire de la logique, chaque induction est en fait une conjecture et donc, si nous voulons utiliser la méthode logique inductive, ces propositions doivent être considérées comme des axiomes.
Dans la logique moderne, que nous n'aborderons pas dans ce paragraphe car elle traite de concepts avancés bien au-delà de la portée de ces simples bases élémentaires, la méthode inductive n'est pas acceptée comme le raisonnement logique correct pour prouver mathématiquement des thèses.
La méthode déductive est donc la principale méthode de preuve mathématique.
Elle se distingue dans la méthode directe, dans laquelle la thèse est effectivement démontrée à partir des hypothèses, et dans la méthode indirecte, dans laquelle la thèse est supposée vraie et le chemin logique est reconstruit à rebours pour atteindre les hypothèses.
La méthode indirecte peut, à son tour, faire usage de la preuve par contradiction qui, en niant la thèse, conduit à une contradiction logique et donc la thèse reste prouvée pour le principe du tiers exclu.
La méthode par contradiction consiste donc à prouver non pas que c'est vrai, mais que c'est faux.
Parfois, on peut recourir à la preuve du soi-disant contranominal pour arriver à la preuve du théorème.
Cela provient de la relation logique suivante.
Si c'est vrai , alors c'est nécessairement vrai aussi .
Dans certains secteurs particuliers des mathématiques, par exemple en géométrie, des constructions démonstratives particulières telles que celles de similarité et d'équivalence peuvent être utilisées.
Les procédures logiques de démonstration sont constructives et itératives, en ce sens que des résultats antérieurs peuvent être utilisés pour démontrer de nouvelles thèses (c'est le cas des lemmes et corollaires par exemple) ou que les mêmes procédures logiques peuvent être utilisées un nombre de fois suffisant pour parvenir à la preuve de la thèse.
Signalons enfin que les théorèmes mathématiques, précisément parce qu'ils doivent être prouvés, ne sont ni vrais ni faux dans l'absolu ; ce sont les hypothèses qui déterminent la véracité ou non des thèses.
C'est précisément pour cette raison qu'une extension générale des connaissances mathématiques est donnée par le mécanisme de l'affaiblissement des hypothèses.
Etant donné une thèse générale prouvée sous des hypothèses convenables, laquelle de ces dernières peut être « relâchée » pour obtenir la même thèse ?
Si, au contraire, d'autres hypothèses sont modifiées, quelles nouvelles thèses peut-on en déduire ?
Telles sont les principales questions qui conduisent à dépasser les connaissances antérieures en logique et en mathématiques.
Applications de la logique booléenne : calculatrices électroniques
La logique booléenne, également appelée algèbre booléenne, est à la base des calculatrices électroniques modernes.
En effet, une mémoire d'ordinateur, ou un processeur de celui-ci ou d'un smartphone, est basé sur des unités uniques qui sont reliées par des opérations logiques.
Dans les calculatrices électroniques, chaque commande est codée par des langages de haut niveau (par exemple des systèmes d'exploitation) qui à leur tour sont basés sur des codes de programmation de niveau moyen.
Ces codes sont médiatisés par d'autres programmes qui agissent directement sur la partie physique de la machine.
Le cœur de chaque calculatrice électronique est donné par une unité logique capable de coder et d'exécuter un grand nombre d'opérations logiques par seconde.
En électronique, les opérations logiques sont définies comme suit :
- la négation s'appelle NON
- la conjonction logique s'appelle ET
- la disjonction inclusive est appelée OU
- la disjonction exclusive est appelée XOR.
De plus, les négations des précédentes sont appelées NAND, NOR et XNOR.
Les calculatrices électroniques sont constituées de milliards de cellules logiques élémentaires, chacune d'elles encode une de ces opérations logiques.
Le système de numération binaire, qui ne comporte que deux chiffres 0 et 1, est très bien adapté à l'interprétation de la logique booléenne. Le chiffre 0 correspond à l'état "faux", au chiffre 1 l'état "vrai".
En informatique, ces chiffres sont appelés bits.
Physiquement, l'état faux est constitué d'un circuit non polarisé (c'est-à-dire sans application d'une tension électrique), tandis que l'état vrai est constitué d'un circuit polarisé.
Ainsi en appliquant une tension de référence continue (pendant de nombreuses années elle était de 5 volts en continu, mais aujourd'hui on a tendance à diminuer cette valeur de 3,3 volts à 2,1 jusqu'à 1,8 ou 1,3 ou 0,9 volts), il est possible d'identifier les différents états logiques et construire les fondations physiques d'une calculatrice électronique.
––––––––
Insight : syllogisme et logique mathématique
Le syllogisme se développe autour de ce raisonnement divisé en trois énoncés :
Première proposition : tous les hommes sont mortels.
Deuxième proposition : Socrate est un homme.
Troisième affirmation : Socrate est mortel.
Traduit avec la symbologie de la logique mathématique, il devient (appelé A l'ensemble de tous les hommes, b l'élément identifiant de Socrate et C le fait d'être mortel) :
Force est de constater que, logiquement, ce raisonnement est sans faille.
Le vrai problème réside précisément dans la première affirmation.
Dire « tous les hommes sont mortels », c'est en soi déjà savoir que Socrate, en tant qu'homme, est mortel. En d'autres termes, le premier énoncé dérive d'une induction déjà connue a priori et, en tant que telle, c'est une conjecture non démontrable, mais tenue pour vraie (le bon sens nous dit que c'est le cas).
A ce titre, le syllogisme, étant un raisonnement basé sur un premier énoncé inductif, ne génère pas de connaissance réelle.
A la fin de la troisième phrase nous savons que Socrate est mortel, mais en réalité nous le savions déjà au début, puisque, pour pouvoir affirmer que tous les hommes sont mortels, il fallait nécessairement avoir déjà inclus Socrate lui-même.
La logique moderne fait fi de l'utilisation du syllogisme pour enrichir les connaissances, s'appuyant sur d'autres constructions logiques, basées sur la déduction et la démonstration de théorèmes.
––––––––
Des exercices
Exercice 1
Démontrer le premier théorème de De Morgan en utilisant des propriétés logiques.
––––––––
Le premier théorème de De Morgan stipule que :
En appliquant la propriété distributive de la négation par rapport à la conjonction logique, nous arrivons au résultat du théorème de De Morgan.
De même, le deuxième théorème est démontré.
Une autre méthode de preuve consiste à utiliser des tables de vérité.
––––––––
Exercice 2
Construire la table de vérité pour la construction logique suivante.
––––––––
F
F
F
F
v
v
v
F
v
v
v
v
v
v
v
v
F
F
F
v
F
F
F
F
En appliquant la disjonction inclusive aux deux tables, il est clair que la construction logique est toujours vraie.
Il s'agit donc d'une tautologie.
––––––––
Exercice 3
Justifier, par la logique booléenne, la véracité de la méthode de démonstration du contranominal.
––––––––
La méthode de démonstration du contranominal repose sur la négation de la thèse et la démonstration que cette négation implique la négation des hypothèses.
En termes logiques, cela signifie admettre que si c'est vrai , alors c'est nécessairement vrai aussi .
De la logique booléenne, nous savons que l'implication logique est fausse seulement si la cause est vraie et la conséquence est fausse.
F
F
v
F
v
v
v
F
F
v
v
v
v
v
v
F
v
v
v
F
F
F
F
v
Comme on peut le voir, les deux tables de vérité coïncident.
2
OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES ÉLÉMENTAIRES
Introduction
En plus de la logique, l'alphabet mathématique s'appuie sur des nombres qui sont des abstractions conceptuelles pour coder les différentes quantités d'un élément donné.
Presque tous les alphabets numériques, comme le nôtre, sont basés sur des caractères donnés par des nombres ; dans notre système de numération décimale, les chiffres sont dix, y compris zéro qui indique une quantité nulle.
Un nombre est donné par la composition de plusieurs chiffres ; en partant de la droite, le dernier chiffre représente les unités, l'avant-dernier les dizaines, l'antépénultième les centaines, le quatrième dernier les milliers.
On peut définir des opérations élémentaires liées à chaque alphabet numérique, pour la facilité d'utilisation on ne considère que le système décimal que l'on utilise abondamment.
––––––––
Addition et soustraction
L'addition tient compte de l'augmentation d'une quantité par une autre (ou d'autres).
Les quantités individuelles sont appelées additions, tandis que le résultat de l'addition est appelé somme.
Pour l'addition, les propriétés commutatives et associatives sont valables, de plus l'élément neutre est donné par zéro.
L'addition satisfait également une propriété d'ordre puisque la somme est toujours supérieure aux additions simples et, inversement, chaque addition est toujours inférieure à la somme.
Le symbole mathématique de l'addition est +.
La soustraction, quant à elle, tient compte de la réduction d'une quantité par une autre (ou d'autres).
La quantité à soustraire s'appelle la diminution, la quantité à soustraire s'appelle la soustraction, tandis que le résultat s'appelle la différence.
Pour la soustraction, la propriété associative est valable, l'élément neutre est toujours donné par zéro et une propriété d'ordre est satisfaite étant la différence toujours plus petite que la diminution et, vice versa, la diminution toujours supérieure à la différence.
Le symbole mathématique de la soustraction est moins –.
Un cas particulier de soustraction se produit lorsque la soustraction est supérieure à la diminution de la fin.
Dans ce cas, la différence est négative, c'est-à-dire inférieure à zéro.
Les nombres négatifs ont exactement la même forme que les nombres positifs, sauf avec le préfixe - .
Ce faisant on voit que la soustraction ne satisfait pas la propriété commutative, mais une autre dite anti-commutative :
Cette formulation permet d'unifier les notions d'addition et de soustraction.
Nous pouvons associer les signes + et - à des numéros individuels et non à l'opération.
La soustraction est donc une addition entre un nombre positif et un nombre négatif, en appliquant la règle bien connue des signes selon laquelle un nombre pair de signes concordants (deux plus ou deux moins) renvoie un signe positif, tandis qu'un nombre pair de signes discordants ( un plus et un moins) donne un signe négatif.
Cela se produit inversement s'il y a un nombre impair de signes concordants et discordants.
Dans cette vue unificatrice, la propriété commutative est toujours valide puisque la soustraction tombe dans l'addition. De plus, chaque nombre a un inverse par rapport à l'opération d'addition/soustraction donnée par sa contrepartie négative.
––––––––
Multiplication et division
La multiplication est une opération qui résume l'addition itérée de nombres égaux.
Les nombres à multiplier sont appelés facteurs, tandis que le résultat est appelé produit.
Le symbole de multiplication est donné par , même si en mathématiques le point est plus souvent utilisé ou le symbole de multiplication est totalement omis (et cela se produit dans la grande majorité des cas).
Pour la multiplication, les propriétés commutatives et associatives sont valables, de plus la propriété distributive est valable en ce qui concerne l'addition et la soustraction :
L'élément neutre est donné par l'unité (tout nombre multiplié par 1 se donne toujours), tandis que la règle des signes exposés précédemment est toujours valable.
De plus, pour la multiplication, il y a aussi un élément zéro, donné précisément par zéro (tout nombre multiplié par zéro donne toujours zéro).
La division est l'inverse de la multiplication.
Le nombre à diviser s'appelle le dividende, le nombre qui divise s'appelle le diviseur et le résultat s'appelle le quotient.
Le symbole de division est donné par , parfois la barre oblique / est également utilisée.
Les propriétés indiquées pour la multiplication ne s'appliquent pas à la division.
L'élément neutre est donné par l'unité (tout nombre divisé par 1 se donne toujours) et la règle des signes précédemment exposée est toujours valable.
Cependant, l'opération de division par zéro n'est pas définie.
Si le dividende est supérieur au diviseur, le quotient est supérieur à 1, et si le dividende est inférieur au diviseur, le quotient est inférieur à 1.
L'opération de division fait apparaître des nombres non entiers, c'est-à-dire des nombres qui ne peuvent être définis qu'avec des chiffres inférieurs à l'unité.
Pour de telles figures, la convention de placer une virgule entre la partie supérieure et la partie inférieure est utilisée.
Les chiffres après la virgule expriment respectivement les dixièmes, les centièmes, les millièmes et ainsi de suite.
Lorsque le dividende est un multiple du diviseur, le quotient est un nombre entier et est appelé quotient et, dans ce cas, le dividende est divisible par le diviseur, le reste étant nul.
Un nombre est toujours divisible par lui-même (donnant la valeur 1) et par 1 (donnant la valeur elle-même).
Les nombres qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et 1 sont appelés nombres premiers.
Les nombres divisibles par 2 sont dits pairs, ceux qui ne sont pas divisibles par 2 sont dits impairs.
Un quotient peut toujours être exprimé comme la somme d'un quota et d'un reste.
Les quotients non entiers peuvent avoir un nombre limité de chiffres décimaux ou un nombre infini de ces chiffres.
Dans ce dernier cas, on parle de nombres périodiques car les chiffres décimaux (tous ou une partie d'entre eux) sont toujours répétés dans la même séquence.
La périodicité est indiquée par un signe au-dessus du ou des chiffres périodiques.
Par exemple, le quotient obtenu à partir de la division entre 1 et 3 est donné par un nombre ayant une infinité de chiffres décimaux tous égaux à 3 et est indiqué comme suit .
Une autre façon d'exprimer la division consiste à utiliser le concept de fraction.
Dans ce cas, le dividende et le diviseur sont respectivement appelés numérateur et dénominateur.
Puisque la division par zéro n'est pas définie, le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être égal à zéro.
Une fraction est indiquée par le symbole de fraction ––, le numérateur va dans la partie supérieure, le dénominateur dans la partie inférieure.
Une fraction est dite réduite à ses termes les plus bas, ou irréductible, si le numérateur et le dénominateur sont des nombres premiers, c'est-à-dire qu'ils ne sont plus divisibles l'un par l'autre, ce qui donne une fraction.
Si le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à 1 et est dite impropre.
Inversement, il est inférieur à 1 et est appelé propre.
Enfin, la fraction est apparente si le numérateur est un multiple du dénominateur (car, dans ce cas, la fraction est en fait un entier).
On définit l'inverse d'un nombre comme le nombre qui, multiplié par le premier, donne toujours 1.
En d'autres termes, l'inverse d'un nombre est son élément inverse par rapport à la multiplication.
Avec cette définition et avec la notation des fractions, on peut unifier le concept de division avec celui de multiplication.
Une division n'est rien d'autre qu'une multiplication entre le dividende et l'inverse du diviseur.
Par example:
Nous définissons le plus petit commun multiple (en abrégé lcm) de deux entiers ou plus, le plus petit multiple entier positif de tous les nombres considérés.
Si l'un de ces nombres est égal à zéro, alors ce lcm est égal à zéro.
Nous définissons le plus grand diviseur commun (PGCD abrégé) de deux entiers ou plus qui ne sont pas tous égaux à zéro, le plus grand entier positif par lequel tous les nombres peuvent être divisés.
Dans le cas de deux nombres, si l'un d'eux est zéro, alors PGCD est égal à l'autre nombre.
Deux nombres premiers entre eux ont un PGCD égal à 1.
Exponentiation et extraction de racine
L'exponentiation est une opération qui résume la multiplication itérée de nombres égaux.
Le nombre multiplié plusieurs fois s'appelle la base, le nombre de multiplications itérées s'appelle l'exposant.
L'exposant et la base peuvent être des nombres entiers ou décimaux, à la fois positifs et négatifs.
Le symbole d'exponentiation est donné par la base avec un exposant supérieur où l'exposant est positionné, par exemple
et se lit "deux augmenté à trois" ou "deux à trois".
Si l'exposant est égal à 2, on parle de quadrature, s'il est égal à 3, on parle de cubage.
Chaque exponentiation d'une base zéro donne toujours zéro, tandis que si la base est un, le résultat est toujours un.
Un et zéro sont donc les deux éléments neutres de l'exponentiation.
Une base négative donnera une puissance négative si l'exposant est impair, positive si l'exposant est pair, tandis qu'une base positive donnera toujours une puissance positive.
Avec la même base, l'exposant négatif équivaut à prendre l'inverse du nombre : par exemple
Il existe donc un lien entre les opérations de multiplication, de division et d'exponentiation qui s'étend également aux notions d'éléments neutres et inverses.
À la lumière de l'exponentiation, nous pouvons revoir les concepts d'unités, de dizaines, de centaines et de milliers.
Les unités sont les chiffres qui multiplient la valeur de , des dizaines de , des centaines de et des milliers de .
C'est pourquoi notre système de calcul est appelé décimal, puisqu'il suit les puissances de base 10.
L'opération inverse de l'exponentiation est appelée extraction de racine et est indiquée par le symbole où l'exposant de la racine doit apparaître en haut à gauche.
Le nombre dont extraire la racine s'appelle le radical tandis que le résultat s'appelle le radical.
Si nous reprenons l'exemple ci-dessus, nous avons
où 8 est le radical, 3 est l'exposant et le radical est 2.
Si l'exposant est égal à 2, on parle de racine carrée, s'il est égal à 3, on parle de racine cubique.
Si les radicaux sont des entiers, les radicaux respectifs sont dits parfaits (carrés parfaits dans le cas de la racine carrée, cubes parfaits dans le cas de la racine cubique).
Tous les autres radicaux sont des nombres décimaux, mais ont une infinité de chiffres non répétitifs après la virgule décimale.
Si l'exposant de la racine est pair, le radical doit nécessairement être supérieur ou égal à zéro, s'il est impair, le radical peut être positif ou négatif.
Enfin, l'extraction de racine de un et de zéro est toujours égale à un et zéro, respectivement, quel que soit l'exposant. Un et zéro sont donc les deux éléments neutres de l'extraction de racine.
––––––––
Expressions numériques et systèmes de numération
Les expressions mathématiques contiennent des nombres (entiers, décimaux, sous forme de fractions, de puissances ou de racines) et des opérations mathématiques, telles que celles présentées jusqu'ici.
La multiplication, la division, l'exponentiation et l'extraction de racine ont priorité sur l'addition et la soustraction dans le sens où, dans une expression comme celle-ci 2x3+4, la multiplication entre 2 et 3 a lieu en premier puis la somme de ce résultat avec 4.
Si vous voulez donner des priorités différentes, vous devez introduire des parenthèses : les accolades ont une priorité plus élevée que les carrées et ces dernières sur les rondes.
Par exemple, si l'expression précédente avait été écrite sous la forme 2x(3+4), il faudrait d'abord ajouter 3+4 puis multiplier ce résultat par 2.
Le système que nous utilisons est le système décimal, mais il en existe de nombreux autres, chacun étant caractérisé par un nombre différent de chiffres.
De la propriété des puissances, nous pouvons comprendre comment un système numérique autre que le système décimal a une base différente.
En particulier, les systèmes binaires (dont les chiffres ne sont que 0 et 1) et les systèmes hexadécimaux (en plus des dix chiffres de notre système, il y a aussi les lettres A, B,C,D,E,F).
Enfin, pour les systèmes géométriques, il est logique de définir, au sein du système décimal, une méthode de numérotation positionnelle sexagésimale, c'est-à-dire qui divise les "nombres" géométriques, appelés degrés, non pas en centièmes, mais en fractions de 60.
Ce système est le même que nous utilisons pour mesurer le temps en minutes et en secondes.
3
THÉORIE DES ENSEMBLES
Introduction
Nous définissons le concept primitif et intuitif d'ensemble mathématique comme une collection d'objets, appelés éléments, indiqués par des lettres minuscules, tandis que les ensembles par des lettres majuscules.
Si un élément appartient à un ensemble donné, il est indiqué par le symbole logique d'appartenance.
Deux ensembles coïncident si et seulement s'ils ont les mêmes éléments.
Un ensemble est dit fini s'il a un nombre fini d'éléments, inversement il est dit infini.
Le nombre d'éléments d'un ensemble fini est appelé cardinalité et est noté card(A).
––––––––
Opérations
Sur les ensembles, il est possible d'effectuer les opérations logiques, déjà décrites dans le premier chapitre, d'union, d'intersection et de négation.
L'union correspond à la disjonction inclusive, tandis que l'intersection à la conjonction logique.
Nous pouvons également définir la différence entre l'ensemble B et l'ensemble A de la même manière que nous définissons la différence de deux nombres.
Nous définissons le produit cartésien comme l'ensemble de toutes les paires ordonnées possibles (a,b) avec a appartenant à l'ensemble A et b à l'ensemble B.
Le produit cartésien ressemble à ceci :
Deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont aucun élément en commun
Où l'ensemble vide est présent sur le second membre.
Un ensemble contenu dans un autre est appelé un sous-ensemble propre , si l'égalité est également valide, elle est dite impropre.
L'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble existant.
Au lieu de cela, l'ensemble de parties est indiqué comme l'ensemble qui est formé par les éléments composés des sous-ensembles de l'ensemble de départ.
Appelant A l'ensemble de départ, l'ensemble des parties est P(A) et cette relation est toujours vraie :
––––––––
Ensembles numériques
On peut construire des ensembles numériques, c'est-à-dire des ensembles dont les éléments sont des nombres.
L'ensemble des nombres naturels, noté N, est l'ensemble des entiers positifs.
L'ensemble des nombres relatifs, noté Z, est l'ensemble des entiers positifs et négatifs.
L'ensemble des nombres rationnels, noté Q, est l'ensemble des nombres pouvant être obtenus sous forme de rapports entre deux nombres entiers, à la fois positifs et négatifs.
L'ensemble des nombres irrationnels, noté I, est l'ensemble des nombres décimaux non répétitifs qui ne peuvent pas être exprimés comme un rapport entre deux nombres entiers.
L'ensemble des nombres réels, noté R, est l'union de l'ensemble des nombres irrationnels avec ceux des nombres rationnels.
Par conséquent, les propriétés suivantes sont valables entre ces ensembles :
Dans l'ensemble des nombres naturels, l'addition et la multiplication entre deux nombres naturels sont définies, de plus les propriétés associatives, commutatives, distributives et l'existence de l'élément neutre (zéro pour l'addition et un pour la multiplication) sont valides).
Un tel ensemble est fermé en ce sens que la somme et le produit des nombres naturels sont également des nombres naturels.
L'ensemble des nombres naturels peut être obtenu axiomatiquement à partir des axiomes de Peano qui sont respectivement :
1) Il existe un nombre naturel correspondant à la quantité nulle appelé zéro.
2) Tout nombre naturel a a un nombre naturel successeur, noté S(a)
3) Zéro n'est le successeur d'aucun nombre naturel
4) Les nombres naturels distincts ont des successeurs distincts
5) Si une propriété P est possédée par zéro et par le successeur de tout nombre naturel qui possède cette propriété, alors la propriété est possédée par tous les nombres naturels
De ce qui précède, on peut voir que le dernier axiome de Peano fait usage du principe d'induction.
Dans l'ensemble des nombres relatifs, les mêmes propriétés mentionnées pour l'ensemble des nombres naturels s'appliquent, avec en plus l'opération de soustraction et l'existence de l'élément opposé (qui est le négatif du nombre sélectionné).
Dans l'ensemble des nombres rationnels, les mêmes propriétés mentionnées pour l'ensemble des nombres relatifs s'appliquent avec l'ajout de l'opération de division, toujours définie sauf pour les dénominateurs égaux à zéro.
Dans l'ensemble des nombres irrationnels, l'extraction de racine est définie de manière unique, à condition que le radical d'une racine paire soit supérieur ou égal à zéro.
Dans l'ensemble des nombres réels toutes les opérations ci-dessus sont définies avec les deux conditions d'existence dérivant de l'ensemble des nombres rationnels (dénominateur différent de zéro) et de l'ensemble des nombres irrationnels (radical de racine paire supérieur ou égal à zéro) .
L'ensemble des nombres réels est un corps par rapport à l'addition et à la multiplication car les propriétés associatives, commutatives, distributives et d'existence des éléments neutres et inverses par rapport aux deux opérations mentionnées sont valides.
De plus, cet ensemble est ordonné de manière totale puisque les propriétés réflexives, antisymétriques et transitives sont valables pour les relations d'ordre décroissantes ou croissantes, en plus de la propriété de dichotomie (étant donné deux nombres réels non coïncidents, ou l'un est supérieur à l'autre ou vice versa versa).
A vrai dire, les deux propriétés d'ordre total et d'être un corps sont également propres à l'ensemble des nombres rationnels.
La grande différence des nombres réels est que l'ordre est complet, c'est-à-dire que chaque sous-ensemble non vide de R a un supremum dans R.
C'est l'axiome de Dedekind et il découle directement du fait d'avoir incorporé les nombres irrationnels dans l'ensemble des nombres réels.
Cette différence se retrouve également sur la cardinalité de ces ensembles numériques.
En fait, bien qu'ils soient tous des ensembles infinis, ils n'ont pas la même cardinalité, c'est-à-dire qu'il existe des infinis d'ordre différent.
Deux ensembles sont dits équicardinaux ou équipotents si une correspondance biunivoque peut être établie entre leurs éléments, c'est-à-dire si un et un seul élément de B est associé à chaque élément de A et inversement.
La propriété d'équicardinalité est une relation d'équivalence et nous pouvons diviser des ensembles finis en classes d'équivalence, chacune pouvant être représentée par un nombre naturel.
A ce stade, la classe d'ensembles qui peut être mise en correspondance biunivoque avec l'ensemble des nombres naturels a le même cardinal que ce dernier et est appelée cardinalité du dénombrable (l'ensemble est donc appelé dénombrable, même si c'est infini).
Ce faisant, nous voyons que N et Z possèdent le cardinal du dénombrable.
Cantor a prouvé que Q a également le cardinal du dénombrable, c'est-à-dire qu'il peut être placé dans une relation un à un avec l'ensemble des nombres naturels sous des classes d'équivalence appropriées.
L'ensemble des nombres réels, en revanche, ne peut être mis en correspondance biunivoque avec celui des nombres naturels en raison de la présence de nombres irrationnels qui ne peuvent en aucun cas être inclus dans une classe d'équivalence car ils ont une infinité non -chiffres décimaux périodiques.
L'ensemble des nombres réels n'a donc pas de cardinalité du dénombrable, mais on dit qu'il a cardinalité du continuum.
––––––––
Des exercices
Exercice 1
Montrer que dans l'ensemble des nombres naturels les propriétés associatives, commutatives, distributives et l'existence de l'élément neutre (zéro pour l'addition et un pour la multiplication) sont valables.
––––––––
Dans l'ensemble des nombres naturels, les opérations d'addition et de multiplication sont définies.
La propriété commutative de l'addition provient de la combinaison des axiomes numéro 2 et numéro 4 de Peano.
La propriété commutative de la multiplication découle de cette dernière, en se rappelant que la multiplication n'est rien d'autre qu'une somme (multiplier un nombre par un autre signifie additionner le nombre lui-même un nombre de fois égal au chiffre qu'il multiplie).
La propriété associative de l'addition provient des axiomes 2 et 4 et de la propriété commutative.
Idem pour le cas de la multiplication.
De ces deux propriétés découle la distributive d'addition et de multiplication.
L'élément neutre d'addition est le premier axiome de Peano.
L'élément neutre de la multiplication est le premier successeur de zéro.
4
CALCUL LITTERAL
Opérations
En mathématiques, le calcul littéral est largement utilisé, c'est-à-dire le remplacement des nombres par des lettres pouvant prendre n'importe quelle valeur numérique. Le choix des lettres est complètement aléatoire et n'affecte pas la validité générale de ce que nous allons expliquer. Ce secteur des mathématiques s'appelle l'algèbre et les opérations que nous allons énumérer sont dites algébriques.
Ce faisant, les opérations d'addition et de soustraction peuvent s'écrire comme suit :
Et de la même manière les propriétés de ces opérations peuvent être réécrites.
A l'identique, pour la multiplication on a (rappel des différents symboles et possibilité de les omettre) :
Pour la multiplication, nous pouvons donc réécrire la propriété distributive par rapport à l'addition et à la soustraction :
Cette propriété, si elle est lue dans le sens opposé, c'est-à-dire de droite à gauche, est appelée groupement de facteurs communs et est cruciale dans le développement d'expressions contenant le calcul littéral.
Pour les fractions, les propriétés de multiplication et d'addition/soustraction suivantes sont valables :
Une relation littérale liant pgcd et ppm entre deux nombres est donnée par :
––––––––
Opérations de puissance
L'exponentiation et l'extraction de racine sont ainsi notées
Et ils lisent comme "a élevé à la puissance n" et "racine n de a" -
Les propriétés sont les suivantes :
Donc le produit des puissances ayant la même base est donné par la somme des puissances, tandis que l'exponentiation d'une puissance est donnée par le produit des puissances.
Rappelant que les exposants négatifs ramènent aux symboles fractionnaires :
On a la propriété duale suivante relative au partage entre puissances ayant la même base :
C'est-à-dire que la division entre les puissances ayant la même base est donnée par la différence des puissances.
Si au contraire les bases changent mais que les exposants sont les mêmes, nous avons :
Les deux propriétés mentionnées ci-dessus sont appelées groupement de facteur commun de la puissance.
––––––––
Opérations sur les radicaux
Rappelant que les exposants fractionnaires conduisent à l'extraction de racine :
Nous avons les propriétés suivantes des radicaux :
La première propriété résume les définitions de l'exponentiation et de l'extraction de racine et indique qu'il s'agit d'opérations inverses, c'est-à-dire que l'exponentiation à la nième puissance d'une nième racine d'un nombre renvoie le nombre lui-même.
La deuxième propriété indique que la nième racine d'une mième racine est donnée par une racine dont l'indice est le produit de n par m.
La troisième propriété indique l'interchangeabilité des opérations de racine et d'exponentiation.
La dernière propriété est appelée rationalisation du dénominateur (s'il est lu à l'envers, il est appelé irrationalisation).
––––––––
Conditions d'existence
Toutes les opérations présentées dans ce chapitre ne sont définies que sous deux conditions distinctes, que nous appellerons désormais conditions d'existence.
Le premier est donné par le dénominateur d'une fraction, qui doit toujours être différent de zéro.
La seconde est donnée par la racine d'une racine paire, qui doit toujours être supérieure ou égale à zéro.
Dans les formules nous avons :
––––––––
Monôme
Nous définissons le monôme comme une expression algébrique, dans laquelle ni addition ni soustraction n'apparaissent, constituée d'un coefficient numérique et d'une partie littérale.
Le degré d'un monôme est la somme des exposants qui y sont présents.
Deux monômes sont dits semblables s'ils ont la même partie littérale élevée aux mêmes exposants.
La multiplication et la division des monômes dérivent des règles exprimées en parlant de puissances, par exemple on a, avec K et H des coefficients numériques quelconques :
Polynômes
L'addition et la soustraction de monômes qui ne sont pas similaires donnent lieu à des polynômes.
Si le polynôme se compose de deux monômes, on l'appelle un binôme, s'il y a trois monômes, on l'appelle un trinôme.
Le degré d'un polynôme est le degré maximum des monômes individuels constituant le polynôme. Un polynôme de degré zéro est une constante numérique, s'il est de degré un il est dit linéaire, de degré deux quadratique (ou conique), de degré trois cubique.
Le produit des polynômes est donné par la somme des produits de chaque monôme du premier polynôme par tous les autres monômes du deuxième polynôme, en appliquant la règle bien connue de la propriété distributive.
Avec l'introduction des polynômes, il devient naturel de généraliser toutes les expressions littérales.
De telles expressions peuvent conduire à des identités, lorsque des parties littérales sont comparées les unes aux autres, ou à des équations.
Lorsqu'une valeur d'une partie littérale du polynôme est telle qu'elle annule tout le polynôme, on l'appelle la racine du polynôme.
La recherche des racines d'un polynôme est cruciale pour la résolution de problèmes mathématiques et fait appel aux propriétés de décomposition des polynômes en facteurs premiers, c'est-à-dire l'inverse de la propriété distributive mentionnée ci-dessus.
La division entre deux polynômes conduit à la formation de deux polynômes, l'un donné par le quotient et l'autre par le reste, tous deux de degré inférieur au polynôme de départ.
Si le polynôme du reste est nul, cela signifie que les deux polynômes de départ sont divisibles entre eux et qu'une factorisation première a été effectuée.
Ce théorème est connu sous le nom de théorème des restes. Un corollaire est donné par le théorème de Ruffini, selon lequel si un polynôme est divisible par (xa) alors a est une racine du polynôme.
De là découle la règle de Ruffini bien connue qui, une fois la racine d'un polynôme identifiée, permet de la décomposer et d'obtenir le polynôme quotient, évidemment de degré inférieur au polynôme de départ.
––––––––
Produits notables
Certains résultats utiles pour la décomposition des polynômes sont donnés par les produits dits remarquables :
Carré d'un binôme :
Carré d'un trinôme :
Cube d'un binôme :
Différence de carrés :
Somme et différence entre les cubes :
––––––––
Des exercices
Exercice 1
Résolvez l'expression littérale suivante :
En appliquant la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, on a :
Ajout et réorganisation des termes :
––––––––
Exercice 2
Résolvez le calcul fractionnaire suivant :
Les deux premiers termes se condensent dans la fraction :
Ayant le même dénominateur que le troisième terme, on a simplement :
Remarque : la règle du « produit croisé » utilisée permet de simplifier grandement les calculs par rapport au calcul normal du plus grand commun diviseur par le dénominateur et la multiplication des facteurs restants par les numérateurs. C'est l'un des nombreux cas où les mathématiques préfèrent une manière "intelligente", c'est-à-dire une manière élégante (et rapide !) de résoudre des problèmes sans s'enliser dans des calculs longs et inutiles qui conduisent à tout type d'erreur.
––––––––
Exercice 3
Trouvez le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur des nombres suivants : 15 et 18.
15= 5 x 3
18= 3 x 3 x 2
Le plus grand diviseur commun est évidemment 3.
La règle permet d'éviter des calculs inutiles, en précisant que le plus petit commun multiple est simplement donné par 15 x 18 divisé par 3 ou 90.
––––––––
Exercice 4
Résolvez les expressions suivantes :
un)
b)
––––––––
a) L'expression se développe ainsi, rappelant les propriétés des puissances :
Où, dans la troisième étape, l'opération fractionnaire du dénominateur commun a été effectuée et dans la dernière étape, le terme qui apparaissait dans toutes les expressions littérales du numérateur a été collecté comme facteur commun.
L'expression n'est définie que si b et c sont non nuls.
––––––––
b) D'après les propriétés des puissances, on a :
L'expression n'est définie que si a et b sont non nuls.
Exercice 5
Résolvez les radicaux suivants :
un)
b)
––––––––
a) D'après les propriétés des radicaux, nous avons :
Là où dans le dernier passage la propriété de « faire entrer » a été exploitée, c'est-à-dire de ramener ab sous la trentième racine pour supprimer l'exposant négatif à l'intérieur de la racine.
Une méthode plus rapide pour résoudre le radical aurait été de se rappeler que les racines peuvent être identifiées avec des exponentielles fractionnaires, c'est-à-dire :
Grâce à cette méthode, nous pouvons voir comment le calcul des radicaux n'est rien sinon une application des propriétés des puissances.
––––––––
b)
Dans le premier passage, le terme sous la racine cubique a été collecté comme facteur commun, tandis que par la suite les règles des radicaux ont été appliquées.
Dans ce cas également, nous aurions pu procéder avec les propriétés normales des puissances.
––––––––
Exercice 6
––––––––
Déterminer les conditions d'existence des expressions suivantes dans le domaine des valeurs réelles :
un)
b)
c)
––––––––
a) Il s'agit d'imposer des dénominateurs non nuls, donc la condition d'existence est toute valeur de a appartenant à R sauf 0 et 3.
––––––––
b) Il s'agit de mettre les radicaux supérieurs ou égaux à zéro. Les deux conditions doivent donc être remplies :
––––––––
c) Les racines peuvent prendre n'importe quelle valeur, car les racines ont un indice impair. La seule condition d'existence est celle relative au dénominateur qui doit être différent de zéro.
L'expression est donc définie sur l'ensemble R sauf pour a=1.
––––––––
Exercice 7
––––––––
Résolvez les opérations suivantes sur les monômes :
un)
b)
––––––––
a) Il s'agit d'appliquer les règles normales des pouvoirs :
––––––––
b) Comme dans le premier exercice :
––––––––
Exercice 8
Résolvez les polynômes suivants en les factorisant en facteurs premiers :
un)
b)
c)
––––––––
a
