Handbuch der Elementarmathematik E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Dieses Buch legt die Grundlagen der Mathematik, beginnend mit Logik und elementaren Operationen, und geht weiter zu Themen wie Trigonometrie, komplexen Zahlen, Matrix- und Vektornotation, während es sich mit ebener, fester und analytischer Geometrie sowie den Grundlagen der kombinatorischen und numerischen Analysis befasst .
Solche Themen sind für das Verständnis der mathematischen Analyse und aller modernen Entwicklungen notwendig und bieten gleichzeitig eine nützliche Wissenserweiterung für eine erste mathematische Beschreibung der uns umgebenden Naturphänomene.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

„Handbuch der Elementarmathematik“

EINFÜHRUNG

ELEMENTARE MATHEMATISCHE LOGIK

ELEMENTARE OPERATIONEN

Wörtliche Berechnung

ELEMENTARE GEOMETRIE

MENGENTHEORIE UND FUNKTIONEN

Elementare Gleichungen und Ungleichungen

ANALYTISCHE GEOMETRIE

GONIOMETRISCHE FUNKTIONEN UND TRIGONOMETRIE

EXPONENTIAL-, LOGARITHMISCH- UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN

NACHFOLGE UND SERIE

KOMBINATORISCHE BERECHNUNG UND ELEMENTARE STATISTIK

KOMPLEXE ZAHLEN

VEKTOR- UND MATRIZIALMATHEMATIK

ELEMENTARE NUMERISCHE BERECHNUNG

„Handbuch der Elementarmathematik“

SIMONE MALACRIDA

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Dieses Buch legt die Grundlagen der Mathematik, beginnend mit Logik und elementaren Operationen, und geht weiter zu Themen wie Trigonometrie, komplexen Zahlen, Matrix- und Vektornotation, während es sich mit ebener, fester und analytischer Geometrie sowie den Grundlagen der kombinatorischen und numerischen Analysis befasst .

Solche Themen sind für das Verständnis der mathematischen Analyse und aller modernen Entwicklungen notwendig und bieten gleichzeitig eine nützliche Wissenserweiterung für eine erste mathematische Beschreibung der uns umgebenden Naturphänomene.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

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ANALYTISCHER INDEX

EINFÜHRUNG

I – ELEMENTARE MATHEMATISCHE LOGIK

II – GRUNDFUNKTIONEN

III – Wörtliche Berechnun

IV – ELEMENTARE GEOMETRIE

V – MENGENTHEORIE UND FUNKTIONEN

VI – ELEMENTARE GLEICHUNGEN UND UNGAHLUNGEN

VII – ANALYTISCHE GEOMETRIE

VIII – GONIOMETRISCHE FUNKTIONEN UND TRIGONOMETRIE

IX – EXPONENTIAL-, LOGARITHMISCH- UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN

X – NACHFOLGE UND SERIE

XI – KOMBINATORISCHE BERECHNUNG UND ELEMENTARE STATISTIK

XII – KOMPLEXE ZAHLEN

XIII – VEKTOR- UND MATRIZIALMATHEMATIK

XIV – ELEMENTARE NUMERISCHE BERECHNUNG

EINFÜHRUNG

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In der heutigen Gesellschaft ist Mathematik die Grundlage der meisten naturwissenschaftlichen und technischen Disziplinen wie Physik, Chemie, Ingenieurwissenschaften aller Bereiche, Astronomie, Wirtschaftswissenschaften, Medizin, Architektur. Darüber hinaus bestimmen mathematische Modelle den Alltag, zum Beispiel im Transportwesen, in der Energiewirtschaft und -verteilung, in der Telefon- und Fernsehkommunikation, in der Wettervorhersage, in der Planung der landwirtschaftlichen Produktion und in der Abfallwirtschaft, in der Definition von Geldströmen, in der Kodifizierung von Industrieplänen und so weiter, da die praktischen Anwendungen nahezu unbegrenzt sind.

Daher ist Mathematik eine der grundlegenden Grundlagen für die Bildung einer zeitgemäßen Kultur jedes einzelnen Individuums, und dies wird sowohl aus den Schulprogrammen deutlich, die von den frühesten Jahren an den Mathematikunterricht einführen, als auch aus der engen Beziehung zwischen dem gewinnbringenden Lernen von Mathematik Mathematik und die soziale und wirtschaftliche Entwicklung einer Gesellschaft.

Diese Tendenz ist nicht neu, da sie eine direkte Folge jener Revolution ist, die zu Beginn des siebzehnten Jahrhunderts stattfand, die die wissenschaftliche Methode als das Hauptwerkzeug der Beschreibung einführte und deren Ausgangspunkt gerade durch die Überlegung gegeben war, dass die Mathematik sein la Naturakönnte der Schlussstein für das Verständnis dessen, was uns umgibt.

Die große „Stärke“ der Mathematik liegt in mindestens drei verschiedenen Punkten.

Erstens ist es dank ihr möglich, die Realität mit wissenschaftlichen Begriffen zu beschreiben, dh indem man einige Ergebnisse vorhersieht, noch bevor man die wirkliche Erfahrung gemacht hat. Ergebnisse vorherzusagen bedeutet auch, die Unsicherheiten, Fehler und Statistiken vorherzusagen, die notwendigerweise entstehen, wenn das Ideal der Theorie in die extremste Praxis umgesetzt wird.

Zweitens ist Mathematik eine Sprache mit einzigartigen Eigenschaften.

Es ist künstlich, wie von Menschen gebaut. Es gibt andere künstliche Sprachen, wie das Morsealphabet; Aber der große Unterschied zur Mathematik besteht darin, dass sie eine künstliche Sprache ist, die ihre physikalischen, chemischen und biologischen Eigenschaften beschreibt la Natura. Das macht sie jeder anderen möglichen Sprache überlegen, da wir dieselbe Sprache sprechen wie das Universum und seine Gesetze. An dieser Stelle kann jeder von uns seine eigenen Ideologien oder Überzeugungen einbringen, ob säkular oder religiös. Viele Denker haben hervorgehoben, dass Gott ein großer Mathematiker ist und dass Mathematik die bevorzugte Sprache ist, um mit dieser überlegenen Entität zu kommunizieren.

Die letzte Eigenschaft der Mathematik ist, dass sie eine universelle Sprache ist. Mathematisch gesehen könnte der Turmbau zu Babel nicht existieren. Jeder Mensch, der über einige mathematische Grundlagen verfügt, weiß sehr gut, was mit bestimmten Symbolen gemeint ist, während Übersetzer und Wörterbücher benötigt werden, um sich mit geschriebenen Wörtern oder mündlichen Reden zu verstehen.

Wir wissen sehr gut, dass Sprache die Grundlage allen Wissens ist. Gerade durch die Sprache lernt der Mensch in den ersten Lebensjahren eine Reihe grundlegender Informationen für die Entwicklung der Intelligenz. Das menschliche Gehirn zeichnet sich gerade durch diese spezifische Besonderheit aus, eine Reihe komplexer Sprachen zu artikulieren, und dies hat uns alle bekannten Vorteile gegenüber allen anderen Arten des Tierreichs verschafft.

Sprache ist auch eine der Voraussetzungen philosophischer, spekulativer und wissenschaftlicher Erkenntnis, und Gadamer hat dies unmissverständlich und endgültig hervorgehoben.

Aber es gibt noch eine dritte Eigenschaft der Mathematik, die viel wichtiger ist. Mathematik ist nicht nur eine künstliche und universelle Sprache, die sie beschreibt , sondern auch la NaturaProblemlösung , daher ist sie Konkretheit aus Wissenschaft, da der Mensch immer darauf abzielte, Probleme zu lösen, die ihn beschäftigen.

Um die letzten Zweifel an der Sache auszuräumen, ist es ratsam, einige konkrete Beispiele zu nennen, die sich auf die Zeit vor Jahrtausenden beziehen. Die Entdeckung irrationaler Zahlen durch Pythagoras, vor allem Pi und die Quadratwurzel, war keine bloße theoretische Spekulation.

Dieser mathematischen Symbolik lag die Lösung zweier sehr konkreter Probleme zugrunde. Da die Häuser einen quadratischen Grundriss hatten, musste einerseits die innere Diagonale genau berechnet werden, um den Materialverlust beim Bau der Mauern zu minimieren, andererseits war Pi die mathematische Verbindung zwischen geraden und krummlinigen Strecken, wie der Radius eines Rades und sein Umfang.

Angesichts konkreter Probleme hat der menschliche Intellekt diese mathematische Sprache erfunden, deren Eigenschaft gerade darin besteht, Probleme durch Beschreibung zu lösenla Natura.

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Dieses Handbuch hat den ausdrücklichen Zweck, die Grundlagen der Elementarmathematik zu vermitteln, dh des gesamten Teils der Mathematik vor der Einführung der mathematischen Analyse.

Die in diesem Handbuch dargelegten Begriffe und Konzepte waren zum Teil bereits in der Antike bekannt (z. B. zur Zeit der Griechen), insbesondere im Hinblick auf den Teil der elementaren Logik, zusammen mit elementaren Operationen und geometrischen Beziehungen.

Der Rest des Buches beschreibt das Wissen, das die Menschheit im Laufe der Jahrhunderte erworben hat, insbesondere nach der großen Explosion des Denkens, die in der Renaissance bis zum Ende des 17. Jahrhunderts stattfand. Diese Grenze gilt als Abgrenzung zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik, gerade weil die Ende des 17. Jahrhunderts von Newton und Leibnitz eingeführte mathematische Analyse den qualitativen Sprung zu neuen Horizonten und zur wirklichen Beschreibung der Natur in mathematischen Begriffen ermöglichte.

Ohne die in diesem Handbuch dargelegten Begriffe ist es jedoch unmöglich, sich der mathematischen Analyse direkt zu nähern, da der mathematische kognitive Prozess eine langsame Evolution ist, die ihre Ergebnisse auf früherem Wissen basiert. Genau aus diesem Grund folgt die Darlegung der Themen einer logischen Reihenfolge, obwohl jeder Abschnitt für sich ein vollständiges Thema darstellt, was eine kontinuierliche Erweiterung des Wissens auf der Grundlage des zuvor Gelernten ermöglicht.

Darüber hinaus werden bei der Beschreibung der Elementarmathematik Begriffe ins Spiel gebracht, die explizit weit über das 17. Jahrhundert hinaus entstanden sind, aber aus Gründen der logischen Kontinuität das Bild der einzelnen zu behandelnden Teildisziplinen vervollständigen.

Diese mathematischen Werkzeuge sind daher für das vollständige Verständnis der mathematischen Analyse und aller modernen Evolutionen notwendig und liefern gleichzeitig auch eine nützliche Wissenserweiterung für eine erste Beschreibung der uns umgebenden Naturphänomene.

I

ELEMENTARE MATHEMATISCHE LOGIK

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Die mathematische Logik befasst sich mit der mathematischen Kodierung intuitiver Konzepte im Zusammenhang mit dem menschlichen Denken. Sie ist der Ausgangspunkt für jeden mathematischen Lernprozess und daher macht es durchaus Sinn, die elementaren Regeln dieser Logik am Anfang des gesamten Diskurses darzulegen.

Wir definieren ein Axiom als eine Aussage, die als wahr angenommen wird, weil sie als selbstverständlich angesehen wird oder weil sie der Ausgangspunkt einer Theorie ist. Logische Axiome werden durch jede logische Struktur erfüllt und werden in Tautologien (per Definition wahre Aussagen ohne neue Aussagekraft) oder trotzdem als wahr geltende Axiome unterteilt, die ihre universelle Gültigkeit nicht beweisen können. Nichtlogische Axiome sind niemals Tautologien und werden Postulate genannt.

Sowohl Axiome als auch Postulate sind unbeweisbar. Im Allgemeinen werden die Axiome, die eine Theorie begründeten und begründeten, Prinzipien genannt.

Ein Theorem hingegen ist ein Satz, der ausgehend von Anfangsbedingungen (sog. Hypothesen) durch ein logisches Verfahren namens Demonstration zu Schlussfolgerungen (sog. Thesen) gelangt. Sätze sind also per Definition beweisbar.

Andere beweisbare Aussagen sind die Lemmata, die normalerweise einem Theorem vorausgehen und ihm die Grundlage geben, und die Folgerungen, die stattdessen auf den Beweis eines gegebenen Theorems folgen.

Eine Vermutung hingegen ist eine Aussage, die aufgrund allgemeiner Überlegungen, Intuition und gesundem Menschenverstand für wahr gehalten, aber noch nicht in Form eines Theorems nachgewiesen wurde.

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Die mathematische Logik bewirkt, dass Symbole eingreifen, die dann in allen einzelnen Bereichen der Mathematik wiederkehren. Diese Symbole sind vielfältig und gehören zu verschiedenen Kategorien.

Die Gleichheit zwischen zwei mathematischen Elementen wird mit dem Symbol von angezeigt , wenn sich diese Elemente stattdessen voneinander unterscheiden, wird das Symbol der Ungleichheit durch angegeben .

Auf dem Gebiet der Geometrie ist es auch sinnvoll, den so bezeichneten Begriff der Kongruenz und der Ähnlichkeit einzuführen . Im mathematischen Bereich kann auch Proportionalität definiert werden, gekennzeichnet mit . In vielen Fällen müssen mathematische und geometrische Konzepte definiert werden, das Definitionssymbol ist dies . Schließlich wird die Negation durch einen Balken über dem logischen Begriff angegeben.

Dann gibt es quantitative logische Symbole, die sprachlichen Begriffen entsprechen. Die Existenz eines Elements wird auf diese Weise angezeigt , die Eindeutigkeit des Elements auf diese Weise und der Ausdruck "für jedes Element" wird auf diese Weise transkribiert .

Andere Symbole verweisen auf Ordnungslogiken, dh auf die Möglichkeit, die einzelnen Elemente nach quantitativen Kriterien aufzulisten, und bringen Informationen weit über den Begriff der Ungleichheit hinaus. Wenn ein Element größer als ein anderes ist, wird es mit dem Größer-als-Symbol > gekennzeichnet, wenn es kleiner ist, mit dem von Kleiner <. In ähnlicher Weise gilt für Mengen das Inklusionssymbol, um eine kleinere Menge zu bezeichnen . Diese Symbole können mit Gleichheit kombiniert werden, um Erweiterungen zu generieren, einschließlich der Konzepte „größer als oder gleich“ und „kleiner als oder gleich“ . Offensichtlich kann man auch die Negation der Inklusion durch gegeben haben .

Eine andere Kategorie logischer Symbole bringt das Konzept der Zugehörigkeit ins Spiel. Wenn ein Element zu einer anderen logischen Struktur gehört, wird es mit angezeigt , wenn es nicht dazugehört, mit .

Einige logische Symbole transkribieren, was normalerweise in den logischen Prozessen der verbalen Konstruktion stattfindet. Die Implikation eines hypothetischen Nebensatzes (das klassische „if...then“) wird so kodiert , während die logische Co-Implikation („if and only if“) so kodiert wird . Das sprachliche Konstrukt „so dass“ wird in der Verwendung des Doppelpunkts zusammengefasst:

Schließlich gibt es logische Symbole, die die Ausdrücke „und/oder“ (einschließlich Disjunktion), „und“ (logische Konjunktion), „oder“ (exklusive Disjunktion) codieren. In den ersten beiden Fällen kann ein Korrespondent in der Vereinigung zwischen mehreren Elementen gefunden werden, die mit gekennzeichnet ist , und in der Schnittmenge zwischen mehreren Elementen . Alle diese Symbole werden als logische Konnektoren bezeichnet.

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Es gibt vier logische Prinzipien, die im elementaren Logikschema absolut gültig sind (aber nicht in einigen fortgeschrittenen Logikschemata). Diese Prinzipien sind Tautologien und waren bereits in der antiken griechischen Philosophie als Teil des logischen Systems von Aristoteles bekannt.

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1) Identitätsprinzip: Jedes Element ist sich selbst gleich.

2) Prinzip der Bivalenz: Ein Satz ist entweder wahr oder falsch.

3) Grundsatz der Widerspruchsfreiheit: Wenn ein Element wahr ist, ist seine Negation falsch und umgekehrt. Daraus folgt notwendigerweise, dass dieser Satz nicht wahr sein kann

4) Prinzip des ausgeschlossenen Dritten: Es ist nicht möglich, dass zwei widersprüchliche Aussagen beide falsch sind. Diese Eigenschaft verallgemeinert die vorherige, da die Widerspruchsfreiheit nicht ausschließt, dass beide Aussagen falsch sind.

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Außerdem können für eine generische logische Operation die folgenden Eigenschaften in einer generischen logischen Struktur G definiert werden (es wird nicht gesagt, dass alle diese Eigenschaften für jede Operation und für jede logische Struktur gültig sind, es hängt von Fall zu Fall ab).

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Reflexionseigenschaft:

Idempotenz-Eigenschaft:

Existenzeigenschaft des neutralen Elements:

Existenzeigenschaft des inversen Elements:

Kommutativgesetz:

transitive Eigenschaft:

Assoziative Eigenschaft:

Verteilungseigenschaft:

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Die Begriffe Gleichheit, Kongruenz, Ähnlichkeit, Proportionalität und Zugehörigkeit besitzen all diese eben aufgeführten Eigenschaften. Ordnungssymbole erfüllen nur die transitiven und reflexiven Eigenschaften; die der Idempotenz wird nur dadurch befriedigt, dass auch die Ordnung mit Gleichheit eingeschlossen wird, während die anderen Eigenschaften nicht gut definiert sind. Die logische Implikation erfüllt die reflexiven, idempotenten und transitiven Eigenschaften, während sie die kommutativen, assoziativen und distributiven Eigenschaften nicht erfüllt, andererseits erfüllt die Co-Implikation alle ebenso wie logische Konnektoren .

Eine Operation, bei der die reflexiven, kommutativen und transitiven Eigenschaften gleichzeitig gelten, heißt Äquivalenzrelation.

Im Allgemeinen gelten die beiden dualen Theoreme von De Morgan:

Für logische Konnektoren lassen sich mit dem Formalismus der sogenannten Booleschen Logik Wahrheitstabellen definieren, die auf den den einzelnen Aussagen zuzuordnenden "wahren" oder "falschen" Werten basieren.

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VERWEIGERUNG

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LOGISCHE VERBINDUNG

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INKLUSIVE DISJUNKTION

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EXKLUSIVE DISJUNKTION

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Logische Implikation und Co-Implikation haben solche Wahrheitstabellen:

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LOGISCHE IMPLIKATION

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LOGISCHE KOMPLIKATION

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Falls die logische Implikation wahr ist, wird A eine hinreichende Bedingung für B genannt, während B eine notwendige Bedingung für A genannt wird. Die logische Implikation ist der Hauptweg, um Theoreme zu beweisen, wenn man bedenkt, dass A die Hypothesen darstellt, B die Thesen, während der Prozess der logischen Implikation ist der Beweis des Theorems.

Die logische Co-Implikation ist eine Äquivalenzrelation. In diesem Fall sind A und B logisch äquivalente Begriffe und sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingungen füreinander. Die logische Co-Implikation kann auch ausgedrückt werden als:

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Der mathematische Beweis eines Theorems kann auf zwei großen logischen Kategorien basieren.

Auf der einen Seite gibt es die Deduktion, die ausgehend von für wahr gehaltenen (oder bereits zuvor bewiesenen) Hypothesen die Gültigkeit einer These allein aufgrund der formalen und logischen Kohärenz der demonstrativen Argumentation bestimmt. Im Allgemeinen wird nach diesem Muster ein Mechanismus angewendet, der vom Universellen zum Besonderen reicht.

Andererseits haben wir die Induktion, die von Einzelfällen ausgehend ein allgemeines Gesetz abstrahiert. Wie in der Geschichte der Logik immer wieder hervorgehoben wird, ist jede Induktion eigentlich eine Vermutung, und daher sind diese Sätze, wenn wir die induktive logische Methode anwenden wollen, als Axiome zu betrachten.

In der modernen Logik, auf die wir in diesem Abschnitt nicht eingehen werden, da sie sich mit fortgeschrittenen Konzepten befasst, die weit über den Rahmen dieser einfachen elementaren Grundlagen hinausgehen, wird die induktive Methode nicht als die richtige logische Argumentation akzeptiert, um Thesen mathematisch zu beweisen.

Die deduktive Methode ist daher die Hauptmethode des mathematischen Beweises. Es wird unterschieden in die direkte Methode, bei der ausgehend von den Hypothesen die These tatsächlich nachgewiesen wird, und in die indirekte Methode, bei der die These als wahr angenommen wird und der logische Weg zu den Hypothesen rückwärts rekonstruiert wird.

Die indirekte Methode wiederum kann sich des Widerspruchsbeweises bedienen, der durch die Verneinung der These zu einem logischen Widerspruch führt und somit die These für das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten bewiesen bleibt. Die Widerspruchsmethode besteht also nicht darin, zu beweisen, dass sie wahr ist, sondern dass sie falsch ist.

Manchmal kann man auf den Beweis des sogenannten Kontranominals zurückgreifen, um zum Beweis des Satzes zu gelangen. Dies ergibt sich aus der folgenden logischen Beziehung. Wenn es wahr ist , dann ist es zwangsläufig auch wahr .

In einigen bestimmten Bereichen der Mathematik, zum Beispiel in der Geometrie, können bestimmte demonstrative Konstrukte wie die der Ähnlichkeit und der Äquivalenz verwendet werden.

Logische Demonstrationsverfahren sind konstruktiv und iterativ in dem Sinne, dass frühere Ergebnisse verwendet werden können, um neue Thesen zu demonstrieren (dies ist beispielsweise der Fall bei Lemmata und Korollaren) oder dieselben logischen Verfahren ausreichend oft verwendet werden können, um den Beweis zu führen der Abschlussarbeit.