Le Livre de Mathématique: Volume 2 E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Französisch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.
Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.
L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.
L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.
L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

Leseprobe

Table des Matières

« Le livre de mathématique : volume 2 »

FONCTIONS RÉELLES MULTIVARIABLES

GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

CALCUL INTÉGRAL MULTIVARIABLE

INTÉGRALES DE SURFACE ET DE VOLUME

TENSEURS ET MATHÉMATIQUES TENSORIELLES

ANALYSE COMPLEXE

ANALYSE FONCTIONNELLE

TRANSFORMATION

DISTRIBUTIONS

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES

« Le livre de mathématique : volume 2 »

SIMONE MALACRIDA

La plupart des mathématiques sont présentées dans ce livre, en partant des concepts de base et élémentaires pour explorer les domaines les plus complexes et avancés.

Les mathématiques sont abordées à la fois d'un point de vue théorique, en exposant des théorèmes et des définitions de chaque type particulier, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 1 000 exercices.

L'approche des mathématiques est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.

L'ensemble du livre est divisé en trois sections distinctes : les mathématiques élémentaires, les mathématiques avancées données par l'analyse et la géométrie, et enfin la partie concernant les statistiques, l'algèbre et la logique.

L'écriture se présente comme une œuvre englobante concernant les mathématiques, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

Simone Malacrida (1977)

Ingénieur et écrivain, a travaillé sur la recherche, la finance, la politique énergétique et les installations industrielles.

INDEX ANALYTIQUE

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26 – FONCTIONS RÉELLES MULTIVARIABLES

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27 – GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

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28 – CALCUL INTÉGRAL M ULTIVARIABLE

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29 – INTÉGRALES DE SURFACE ET DE VOLUME

––––––––

30 – TENSEURS ET MATHÉMATIQUES TENSORIELLES

––––––––

31 – ANALYSE COMPLEXE

––––––––

32 – ANALYSE FONCTIONNELLE

––––––––

33- TRANSFORMATION

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34- REPARTITIONS

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35 – ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

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36 – ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES

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26

FONCTIONS RÉELLES MULTIVARIABLES

Introduction

Les fonctions de variables réelles à plusieurs variables sont une extension de ce qui a été dit pour les fonctions réelles à une variable.

Presque toutes les propriétés mentionnées pour les fonctions à une variable restent valables (telles que l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité), à l'exception de la propriété d'ordre qui n'est pas définissable.

Le domaine d'une fonction multivariée est donné par le produit cartésien des domaines calculés sur les variables simples.

Un level set, ou courbe de niveau, est l'ensemble de points tel que :

Le level set avec c=0 est utilisé pour analyser le signe de la fonction dans le domaine.

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Opérations

La définition topologique de la limite est la même que celle donnée pour les fonctions à une variable, la définition métrique change comme suit :

La limite existe si sa valeur ne dépend pas du sens dans lequel elle est calculée.

Il en va de même pour la continuité.

Une fonction est dite continue séparément par rapport à l'une de ses variables si elle est continue en fonction de l'unique variable, en gardant les autres constantes.

La continuité séparée est une condition plus faible que la continuité globale sur toutes les variables.

Pour une fonction de plusieurs variables, cependant, il existe différents concepts de dérivée.

On appelle dérivée partielle la dérivée effectuée sur une seule des variables, en définissant toujours la dérivée comme la limite d'un rapport incrémental.

Pour distinguer la dérivée partielle de la totale, le symbole est utilisé .

Les dérivées partielles d'ordre supérieur renvoient l'ordre à l'exposant de ce symbole.

Un point est dit simple si les premières dérivées partielles sont continues et non nulles, mais si l'une des dérivées est nulle ou n'existe pas, le point est dit singulier.

La dérivabilité partielle implique une continuité séparée.

En étendant le concept de dérivée partielle d'un chemin le long des axes de coordonnées à n'importe quel chemin, nous avons la dérivée directionnelle.

Une fois qu'un vecteur unitaire générique est défini, la dérivée directionnelle le long de ce vecteur est donnée par :

La dérivée directionnelle indique le taux de variation de la fonction par rapport à la direction donnée.

La dérivée d'une fonction à plusieurs variables qui tient compte de la dépendance mutuelle des variables elles-mêmes est définie comme la dérivée totale.

Par exemple nous avons :

Cependant, la dérivabilité n'est pas une condition suffisante pour la continuité.

Une condition suffisante est plutôt donnée par la dérivabilité.

Une fonction de plusieurs variables est différentiable en un point de dans un ensemble ouvert de l'espace euclidien à n dimensions R s'il existe une application linéaire L telle que la relation suivante soit vérifiée :

Le différentiel premier total est donné par le produit suivant :

Alors que la dérivée totale est donnée par .

La fonction est dérivable si elle est dérivable en tout point de son domaine.

Le théorème de la différentielle totale stipule qu'une fonction est différentiable en un point si toutes les dérivées partielles existent au voisinage du point et si ces dérivées partielles sont continues.

Si l'application est également continue, la fonction est dite continûment dérivable.

Le différentiel premier total peut également être exprimé comme suit :

Les différentiels totaux d'ordre supérieur peuvent être exprimés comme suit, pour une fonction de deux variables :

On appelle dérivées mixtes les dérivées d'ordre supérieur au premier qui prévoient la dérivation de variables différentes les unes des autres.

Pour une fonction à deux variables définie sur un ouvert, si elle admet des dérivées secondes mixtes continues, le théorème de Schwarz est vrai selon lequel l'ordre de la dérivation peut être inversé sans changer le résultat :

Si une fonction est différentiable en un point, alors toutes les dérivées partielles calculées en ce point existent et sont continues.

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Algèbre jacobienne, hessienne et nabla

L'application linéaire définie comme la somme des premières dérivées partielles est une matrice m lignes n colonnes appelée matrice jacobienne et est exactement l'équivalent de l'application linéaire L mentionnée précédemment :

Si m=1, la matrice jacobienne se réduit à un vecteur à n dimensions appelé gradient qui indique la direction de pente maximale du graphe de la fonction en un point.

Si n=1 la fonction paramétrise une courbe et sa différentielle est une fonction qui indique la direction de la tangente à la courbe au point.

Le théorème de la fonction inverse stipule qu'une fonction continuellement différentiable est inversible si et seulement si son déterminant jacobien est non nul.

Si une fonction de plusieurs variables est différentiable, alors la dérivée directionnelle existe et est égale au produit scalaire entre le gradient par rapport à la variable unique et le verseur lui-même.

La dérivée directionnelle prend donc une valeur maximale lorsque le gradient et le vecteur unitaire sont parallèles et concordants, une valeur minimale lorsqu'ils sont parallèles et discordants, et une valeur nulle lorsqu'ils sont perpendiculaires.

Une différentielle est dite exacte si et seulement si elle est intégrable, c'est-à-dire si elle peut être exprimée en fonction de la deuxième classe de continuité simplement connexe (en d'autres termes, le théorème de Schwarz doit être vérifié).

Nous définissons le gradient comme la quantité qui, multipliée selon le produit scalaire avec n'importe quel vecteur, renvoie la dérivée directionnelle de la fonction par rapport au vecteur.

Le gradient est un champ vectoriel et, dans le cas d'un référentiel cartésien, c'est la somme des produits entre les dérivées partielles premières et les verseurs :

Où dans le deuxième membre il y a la notation selon l'opérateur nabla.

Cet opérateur différentiel est défini comme suit :

On définit la divergence d'un champ vectoriel continu et différentiable comme la fonction scalaire donnée par le produit scalaire entre l'opérateur nabla et le champ vectoriel :

On définit curl d'un champ vectoriel continu et différentiable, un champ vectoriel donné par le produit vectoriel entre l'opérateur nabla et le champ lui-même :

On définit le Laplacien le carré de l'opérateur nabla égal à :

Certaines propriétés de l'opérateur nabla sont les suivantes :

Si toutes les dérivées partielles secondes existent, nous définissons la matrice jacobienne du gradient comme hessienne de la fonction :

Si toutes les dérivées secondes sont continues, le théorème de Schwarz est valable et la matrice hessienne est symétrique.

Si le gradient de la fonction est nul en un point, ce point est appelé point critique.

Si à ce point aussi le déterminant de la matrice hessienne est nul alors le point critique est dit dégénéré.

Pour un point critique non dégénéré, si la matrice hessienne est définie positive alors la fonction a un minimum local en ce point, si au contraire elle est définie négative il y a un maximum local.

Si la matrice hessienne a toutes les valeurs propres non nulles et qu'elles assument à la fois des valeurs positives et négatives, ce point est appelé un point de selle.

Dans tous les autres cas, par exemple pour les matrices hessiennes semi-définies positives ou négatives, rien ne peut être dit sur la présence de points stationnaires.

Recherche de points stationnaires et méthode des multiplicateurs de Lagrange

Une condition nécessaire pour la recherche de maxima et de minima contraints est la méthode dite du multiplicateur de Lagrange.

Pour une fonction bidimensionnelle, cette méthode stipule que la condition nécessaire pour avoir un extremum contraint est que :

Les valeurs de sont précisément les multiplicateurs de Lagrange puisque la fonction h peut être définie comme le lagrangien du système.

Un cas pratique d'application de ce formalisme est celui de la mécanique lagrangienne dans laquelle les équations du mouvement sont obtenues en trouvant les points stationnaires d'une intégrale, appelée action.

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Fonctions implicites

Les fonctions implicites sont des fonctions du type :

Pour les fonctions bidimensionnelles, le théorème de Dini suivant est valable.

Considérant une fonction continûment différentiable définie sur un ensemble ouvert et un ensemble non vide dans lequel la fonction f(x,y) est nulle, alors il existe un point dans cet ensemble où la relation suivante est vérifiée :

Si ce point n'est pas critique, c'est-à-dire que l'inégalité est vraie :

Alors il existe un voisinage de ce point tel que l'ensemble donné par l'intersection de ce voisinage et l'ensemble dans lequel se situe le point non critique représente le graphe d'une fonction différentiable.

Cela revient à dire qu'il existe une seule fonction explicite du type y=y(x) ou x=x(y) qui relie les deux inconnues.

Ce théorème fournit donc une condition suffisante pour l'explicitation des fonctions implicites.

Dans plusieurs dimensions, les variables de fonction peuvent être divisées en deux blocs, un jusqu'au nième degré et un jusqu'au mième degré, comme suit :

La matrice jacobienne calculée dans l'ensemble ouvert à n+m dimensions peut être divisée en deux blocs, rappelant la division des variables :

En supposant que X est inversible.

Le théorème de la fonction implicite stipule qu'il existe une unique explicitation de la fonction f(x,y)=0. Cette fonction g(y)=x est continûment dérivable et la relation vaut :

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Des exercices

Exercice 1

Déterminez le domaine et les dérivées partielles de la fonction suivante :

Le domaine est donné par le dénominateur non nul, donc :

Les dérivées partielles sont simplement :

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Exercice 2

Déterminez le domaine et les dérivées partielles de la fonction suivante :

Le domaine est donné par le dénominateur différent de zéro et l'argument de la tangente différent de 90° et ses multiples, donc :

Les dérivées partielles sont simplement :

––––––––

Exercice 3

Déterminez le domaine et les dérivées partielles de la fonction suivante :

Le domaine est donné par le dénominateur non nul et l'argument du logarithme supérieur à zéro, ainsi :

Les dérivées partielles sont simplement :

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Exercice 4

Déterminez le domaine et les dérivées partielles de la fonction suivante :

Le domaine est donné par le dénominateur non nul et la racine supérieure ou égale à zéro, donc :

Les dérivées partielles sont simplement :

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Exercice 5

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de deux variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est de classe .

L'ensemble donné est compact.

D'après le théorème de Weierstrass, il existe un maximum et un minimum de la fonction dans l'ensemble.

Nous utilisons la méthode du multiplicateur de Lagrange pour trouver ces points.

Endroit:

On cherche les points stationnaires de la fonction :

Cela signifie que:

Ou alors:

Élargir les comptes que nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont donc :

Revenant à la fonction de départ, les points stationnaires sont :

Puisque vous avez :

Le premier point est le maximum absolu, tandis que le second est le minimum absolu.

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Exercice 6

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de deux variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est de classe .

L'ensemble donné est compact.

D'après le théorème de Weierstrass, il existe un maximum et un minimum de la fonction dans l'ensemble.

Nous avons:

Endroit:

On voit que :

Cela signifie que:

Ainsi, les deux premiers points sont le minimum absolu, tandis que les deux seconds sont le maximum absolu.

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Exercice 7

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de deux variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est de classe .

L'ensemble donné est compact.

D'après le théorème de Weierstrass, il existe un maximum et un minimum de la fonction dans l'ensemble.

Nous utilisons la méthode du multiplicateur de Lagrange pour trouver ces points.

Endroit:

On cherche les points stationnaires de la fonction :

Cela signifie que:

Ou alors:

Élargir les comptes que nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont donc :

Revenant à la fonction de départ, les points stationnaires sont :

Puisque vous avez :

Le premier point est le minimum absolu, tandis que le second est le maximum absolu.

Exercice 8

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de deux variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est de classe .

L'ensemble donné est compact (vérifier qu'il est fermé et borné en utilisant les propriétés topologiques de complémentarité).

D'après le théorème de Weierstrass, il existe un maximum et un minimum de la fonction dans l'ensemble.

Nous utilisons la méthode du multiplicateur de Lagrange pour trouver ces points.

On cherche les points stationnaires de la fonction :

Cela signifie que:

Ou alors:

Élargir les comptes que nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont donc :

Revenant à la fonction de départ, les points stationnaires sont :

Puisque vous avez :

Les deux premiers points sont les plus bas de tous les temps, tandis que les deux seconds sont les plus hauts de tous les temps.

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Exercice 9

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de deux variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est de classe .

L'ensemble donné est compact.

D'après le théorème de Weierstrass, il existe un maximum et un minimum de la fonction dans l'ensemble.

On cherche d'abord les points extrêmes intérieurs de M :

Les points extrêmes se trouvent parmi les points stationnaires, c'est-à-dire :

Donc on a ça :

Le seul point fixe interne est donc :

Pour établir s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum ou d'une selle, nous calculons la matrice hessienne :

Alors la matrice hessienne au point est donnée par :

Donc le point est de minimum local et la fonction est valide, en ce point :

Nous cherchons maintenant les points stationnaires sur le bord :

Nous avons ça :

Endroit:

Les points extrêmes se trouvent entre les points stationnaires et les extrêmes de l'intervalle [-1,1] où cette nouvelle fonction est définie.

Depuis:

Il en résulte qu'un point stationnaire est :

En étudiant le signe de la dérivée on voit que ce point est un minimum. C'est un minimum local. Aux extrémités de l'intervalle, nous avons :

Donc x=-1 est un point maximum absolu, tandis que x=1 est un point maximum local. En comparant les valeurs des minima, on trouve que :

C'est un point minimum absolu.

Exercice 10

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de deux variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est de classe .

L'ensemble donné est compact.

D'après le théorème de Weierstrass, il existe un maximum et un minimum de la fonction dans l'ensemble.

On cherche d'abord les points extrêmes intérieurs de M :

Les points extrêmes se trouvent parmi les points stationnaires, c'est-à-dire :

Donc on a ça :

Le seul point fixe interne est donc :

Pour établir s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum ou d'une selle, nous calculons la matrice hessienne :

Alors la matrice hessienne au point est donnée par :

Donc le point est de minimum local et la fonction est valide, en ce point :

Nous cherchons maintenant les points stationnaires sur le bord :

Nous avons ça :

Endroit:

Les points extrêmes se trouvent entre les points stationnaires et les extrêmes de l'intervalle [-2,2] où cette nouvelle fonction est définie. Depuis:

Il s'ensuit qu'il n'y a pas de points fixes.

De plus, comme la dérivée est toujours négative dans l'intervalle donné, il s'ensuit que x=2 est un point de maximum absolu et ex=-2 de minimum absolu pour cette fonction.

Ainsi (-2,0) est un point minimum absolu pour f sur le bord, tandis que (2,0) est un point maximum absolu pour f sur le bord. Être:

On voit que (1,0) est le point de minimum absolu de f sur tout l'ensemble M.

Exercice 11

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de trois variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est de classe .

L'ensemble donné est compact.

D'après le théorème de Weierstrass, il existe un maximum et un minimum de la fonction dans l'ensemble.

On cherche d'abord les points extrêmes intérieurs de M :

Les points extrêmes se trouvent parmi les points stationnaires, c'est-à-dire :

Donc on a ça :

Ainsi:

Les points fixes internes sont :

Ces points sont au minimum absolu, comme :

On remarque que les points aussi

Ils sont stationnaires et de minimum absolu, mais ils ne sont pas internes à M.

Nous cherchons maintenant les points stationnaires sur le bord :

On procède avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Endroit:

Nous avons ça :

Les points stationnaires équivalent à résoudre :

En faisant les calculs, nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont :

Les points stationnaires de f sont donc :

Les premiers sont les points de maximum absolu, tandis que nous trouvons les seconds comme ceux de minimum absolu.

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Exercice 12

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de trois variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est classe

.

L'ensemble M est fermé et non borné, donc le théorème de Weierstrass ne peut pas être appliqué.

Néanmoins, en utilisant la définition de limite, on peut écrire que :

La fonction f est symétrique en M par rapport au plan xy, soit :

Autrement dit, si on prouve qu'il y a un maximum, il faut aussi qu'il y ait un minimum.

En prenant n'importe quelle valeur R, on peut écrire que :

L'intersection entre M et un tel ensemble :

C'est un ensemble compact et non vide, et contient également le point en question.

Dans cet ensemble, on peut appliquer le théorème de Weierstrass pour lequel la fonction admet un maximum et un minimum.

On cherche d'abord les points extrêmes intérieurs de M :

Les points extrêmes se trouvent parmi les points stationnaires, c'est-à-dire :

Donc on a ça :

Ainsi:

Les points fixes internes sont :

On remarque que les points aussi

Ils sont stationnaires, mais ils ne sont pas internes à M.

Tous ces points ne sont ni minimum ni maximum, en fait :

Mais c'est aussi valable :

Nous cherchons maintenant les points stationnaires sur le bord :

On procède avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Endroit:

Nous avons ça :

Les points stationnaires équivalent à résoudre :

En faisant les calculs, nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont :

Les points stationnaires de f sont donc :

Nous avons ça :

Les maxima absolus sont donc :

Alors que les minimums absolus :

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Exercice 13

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de trois variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est classe

L'ensemble M est compact.

Nous pouvons appliquer le théorème de Weierstrass selon lequel la fonction admet un maximum et un minimum.

On cherche d'abord les points extrêmes intérieurs de M :

Les points extrêmes se trouvent parmi les points stationnaires, c'est-à-dire :

Donc on a ça :

La fonction n'admet pas de points stationnaires, donc même pas de maxima et de minima.

Nous cherchons maintenant les points stationnaires sur le bord :

On procède avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Endroit:

Nous avons ça :

Les points stationnaires équivalent à résoudre :

En faisant les calculs, nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont :

Les points stationnaires de f sont donc :

Nous avons ça :

Les maxima absolus sont donc :

Alors que les minimums absolus :

Quant aux pointes :

Nous notons que, sur la base du choix des quartiers, les deux relations suivantes sont vérifiées :

Et donc ces points ne sont ni maximum ni minimum.

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Exercice 14

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de trois variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est classe

L'ensemble M est fermé et borné, donc compact.

Nous pouvons appliquer le théorème de Weierstrass selon lequel la fonction admet un maximum et un minimum.

On procède avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Endroit:

Nous avons ça :

Les points stationnaires équivalent à résoudre :

En faisant les calculs, nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont :

Les points stationnaires de f sont donc :

Nous avons ça :

Les maxima absolus sont donc :

Alors que les minimums absolus :

Quant aux pointes :

Nous notons que, sur la base du choix des quartiers, les deux relations suivantes sont vérifiées :

Et donc ces points ne sont ni maximum ni minimum.

––––––––

Exercice 15

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de trois variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est classe

L'ensemble M est fermé et non borné, donc le théorème de Weierstrass ne peut pas être appliqué.

Néanmoins, en utilisant la définition de limite, on peut écrire que :

La fonction f est symétrique en M par rapport aux plans xy=1 et x+y=1, soit :

Autrement dit, si on prouve qu'il y a un maximum, il faut aussi qu'il y ait un minimum.

En prenant n'importe quelle valeur R, on peut écrire que :

L'intersection entre M et un tel ensemble :

C'est un ensemble compact et non vide, et contient également le point en question.

Dans cet ensemble, on peut appliquer le théorème de Weierstrass pour lequel la fonction admet un maximum et un minimum.

On cherche d'abord les points extrêmes intérieurs de M :

Les points extrêmes se trouvent parmi les points stationnaires, c'est-à-dire :

Donc on a ça :

Ainsi:

Les points fixes internes sont :

Tous ces points ne sont ni minimum ni maximum, en fait :

Mais c'est aussi valable :

Nous cherchons maintenant les points stationnaires sur le bord :

On procède avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Endroit:

Nous avons ça :

Les points stationnaires équivalent à résoudre :

En faisant les calculs, nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont :

Les points stationnaires de f sont donc :

Nous avons ça :

Les maxima absolus sont donc :

Alors que les minimums absolus :

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Exercice 16

Déterminez les points minimum et maximum locaux et absolus pour la fonction suivante de trois variables sur l'ensemble spécifié :

La fonction est classe

L'ensemble M est fermé et non borné, donc le théorème de Weierstrass ne peut pas être appliqué.

Néanmoins, en utilisant la définition de limite, on peut écrire que :

La fonction f est symétrique en M par rapport aux plans xy=0 et x+y=0, soit :

Autrement dit, si on prouve qu'il y a un maximum, il faut aussi qu'il y ait un minimum.

En prenant n'importe quelle valeur R, on peut écrire que :

L'intersection entre M et un tel ensemble :

C'est un ensemble compact et non vide, et contient également le point en question.

Dans cet ensemble, on peut appliquer le théorème de Weierstrass pour lequel la fonction admet un maximum et un minimum.

On cherche d'abord les points extrêmes intérieurs de M :

Les points extrêmes se trouvent parmi les points stationnaires, c'est-à-dire :

Donc on a ça :

Les points fixes internes sont :

Tous ces points ne sont ni minimum ni maximum, en fait :

Mais c'est aussi valable :

Nous cherchons maintenant les points stationnaires sur le bord :

On procède avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Endroit:

Nous avons ça :

Les points stationnaires équivalent à résoudre :

En faisant les calculs, nous avons :

Les points stationnaires de cette fonction sont :

Les points stationnaires de f sont donc :

Nous avons ça :

Les maxima absolus sont donc :

Alors que les minimums absolus :

27

GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

Introduction

La géométrie différentielle concerne l'étude des objets géométriques par l'analyse mathématique.

A la base de la géométrie différentielle se trouve la notion de variété différentiable qui généralise à la fois les notions de courbe et de surface dans un espace de dimension quelconque et l'approche donnée par les variétés topologiques.

Les variétés différentiables représentent aussi le lien avec la topologie différentielle en fait ce sont des espaces topologiques et, localement, des espaces euclidiens qui sont reliés entre eux par des fonctions différentiables.

Considérant une variété topologique, les ensembles ouverts qui composent sa couverture peuvent être reliés à un ensemble ouvert de l'espace euclidien par un ensemble d'homéomorphismes auquel on donne le nom d'atlas (alors que l'homéomorphisme unique est appelé carte).

La composition de fonctions constituées d'une carte et de sa fonction inverse est appelée fonction de transition.

Une variété topologique est différentiable si la fonction de transition est différentiable.

Une sous-variété différentiable dans une variété différentiable est un sous-ensemble décrit comme zéro d'une fonction différentiable.

Dans le cas de sous-variétés de codomaine égal à l'ensemble des nombres réels on parle d'hypersurface et la condition de dérivabilité revient à exiger que le gradient de la sous-variété sur chaque carte soit partout différent de zéro.

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Opérations

On définit un produit extérieur dans un espace vectoriel, produit de vecteurs associatifs et bilinéaires :

sont linéairement dépendants

Une forme différentielle définie sur un ouvert est donnée par l'expression suivante :

Avec des fonctions données par des fonctions différentiables.

La forme est dite d'ordre k.

Une forme d'ordre zéro est une fonction différentiable définie sur l'ensemble de référence.

Deux formes d'ordre k peuvent être additionnées ou multipliées par un scalaire, donnant ainsi naissance à un espace vectoriel.

Il est également possible de définir un produit extérieur entre deux formes ayant des ordres différents et la forme différentielle du produit est donnée par une forme ayant un ordre égal à la somme des ordres précédents.

La dérivée d'une forme d'ordre k est une forme d'ordre k+1.

Cette dérivée est appelée externe.

La dérivée extérieure d'une forme d'ordre zéro coïncide avec la différentielle de la fonction.

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