Le Livre de Physique : Volume 2 E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Französisch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Dans ce livre, la grande histoire des découvertes de la physique est retracée, depuis la révolution scientifique de Galilée et de Newton jusqu'à la physique d'aujourd'hui et du futur proche.
La compréhension de la physique est abordée à la fois d'un point de vue théorique, en exposant les définitions de chaque domaine particulier et les hypothèses sous-jacentes à chaque théorie, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 350 exercices liés à des problèmes de physique de toutes sortes.
L'approche de la physique est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.
L'ensemble du livre est divisé en cinq sections distinctes : la physique classique, les révolutions scientifiques qui ont eu lieu au début du XXe siècle, la physique du microcosme, la physique du macrocosme, et enfin les problèmes actuels qui sont le point de départ de la physique du futur. .
L'article se présente comme un ouvrage global sur la physique, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

Leseprobe

Table des Matières

« Le livre de physique : volume 2 »

DEUXIEME PARTIE : LES REVOLUTIONS DU DEBUT DU XXE SIECLE

LA PHYSIQUE QUANTIQUE

THÉORIE DE LA RELATIVITÉ SPÉCIALE

TROISIEME PARTIE : PHYSIQUE DU MICROCOSME

PHYSIQUE DE LA MATIÈRE

PHYSIQUE CHIMIQUE

THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

PHYSIQUE NUCLÉAIRE

PHYSIQUE DES PARTICULES ET INTERACTIONS

QUATRIEME PARTIE : PHYSIQUE DU MACROCOSME

THÉORIE DE LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE

ASTRONOMIE

ASTROPHYSIQUE

COSMOLOGIE

PHYSIQUE DES TROUS NOIRS

CINQUIÈME PARTIE : LES PROBLÈMES D'AUJOURD'HUI ET LA PHYSIQUE DE DEMAIN

TENTATIVES D'UNIFICATION

LA THÉORIE DU TOUT

« Le livre de physique : volume 2 »

SIMONE MALACRIDA

Dans ce livre, la grande histoire des découvertes de la physique est retracée, depuis la révolution scientifique de Galilée et de Newton jusqu'à la physique d'aujourd'hui et du futur proche.

La compréhension de la physique est abordée à la fois d'un point de vue théorique, en exposant les définitions de chaque domaine particulier et les hypothèses sous-jacentes à chaque théorie, et sur le plan pratique, en résolvant plus de 350 exercices liés à des problèmes de physique de toutes sortes.

L'approche de la physique est donnée par des connaissances progressives, exposant les différents chapitres dans un ordre logique afin que le lecteur puisse construire un chemin continu dans l'étude de cette science.

L'ensemble du livre est divisé en cinq sections distinctes : la physique classique, les révolutions scientifiques qui ont eu lieu au début du XXe siècle, la physique du microcosme, la physique du macrocosme, et enfin les problèmes actuels qui sont le point de départ de la physique du futur. .

L'article se présente comme un ouvrage global sur la physique, n'omettant aucun aspect des multiples facettes qu'elle peut revêtir.

INDEX ANALYTIQUE

––––––––

DEUXIÈME PARTIE : LES RÉVOLUTIONS DU DÉBUT DU XXE SIÈCLE

––––––––

13 – PHYSIQUE QUANTIQUE

––––––––

14 – THÉORIE DE LA RELAVITÉ SPÉCIALE

––––––––

TROISIEME PARTIE : PHYSIQUE DU MICROCOSME

––––––––

15 – PHYSIQUE DE LA MATIÈRE

––––––––

16 – PHYSIQUE CHIMIQUE

––––––––

17 – THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

––––––––

18 – PHYSIQUE NUCLEAIRE

––––––––

19 – PHYSIQUE DES PARTICULES ET INTERACTIONS

––––––––

QUATRIEME PARTIE : PHYSIQUE DU MACROCOSME

––––––––

20 – T HÉORIE DE LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE

––––––––

21 - L' ASTRONOMIE

––––––––

22 - ASTROPHYSIQUE

––––––––

23- COSMOLOGIE

––––––––

24 – PHYSIQUE DES TROUS NOIRS

––––––––

CINQUIEME PARTIE : LES PROBLEMES D'AUJOURD'HUI ET LA PHYSIQUE DE DEMAIN

––––––––

25 – TENTATIVES D'UNIFICATION

––––––––

26 – LA THÉORIE DE TOUT

DEUXIEME PARTIE : LES REVOLUTIONS DU DEBUT DU XXE SIECLE

13

LA PHYSIQUE QUANTIQUE

La première théorie "révolutionnaire" que nous allons expliquer concerne la physique quantique qui sera inextricablement liée au microcosme.

Cette théorie expliquera nombre des phénomènes qui avaient déclenché la crise de la physique classique, ouvrant de nouveaux horizons scientifiques.

––––––––

La solution de Planck pour le spectre du corps noir

L'une des principales divergences qui ont conduit au dépassement de la physique classique était l'explication du spectre du corps noir.

Selon le schéma connu, l'énergie pouvait prendre n'importe quelle valeur possible et, par conséquent, la distribution statistique de l'énergie suivait la loi bien connue de Boltzmann, dérivée de la thermodynamique classique :

Cela a conduit à une distribution du spectre du corps noir connue sous le nom de formule de Rayleigh-Jeans :

en plein accord avec les données expérimentales pour la région infrarouge, mais pas pour la région ultraviolette, comme déjà mentionné dans le paragraphe précédent.

En 1900, Planck a émis l'hypothèse que l'énergie ne pouvait prendre aucune valeur continue possible, mais seulement quelques données discrètes à partir de l'expression suivante :

où n est un entier positif et ha constante définie comme la constante de Planck.

Ce faisant, la distribution statistique de l'énergie (moyenne sur les sommes discrètes et non sur les intégrales continues) devient :

et la distribution spectrale du corps noir a pris une nouvelle forme, en plein accord avec les données expérimentales, également dans la région ultraviolette.

Le passage logique prévu par Planck était d'une importance extraordinaire.

Pour la première fois, il fut admis que l'énergie, ou toute entité physique, était une quantité discrète et ne pouvait prendre aucune valeur.

Planck a introduit le concept d'énergie discrète pour faire correspondre la théorie avec les données expérimentales concernant le spectre du corps noir et a appelé ces valeurs d'énergie autorisées "quanta". Dès lors, la théorie résultante a pris le terme de physique quantique et l'adjectif quantum a été utilisé comme qualificatif de chaque partie de cette théorie.

Le spectre du corps noir était donc expliqué dans cette nouvelle vision, mais tous les autres problèmes ne l'étaient pas et, de plus, il n'y avait pas de théorie globale qui prévoyait tous ces résultats empiriques.

––––––––

La solution d'Einstein pour l'effet photoélectrique

En 1905 (remarquablement la même année que la publication de la théorie restreinte de la relativité), Einstein proposa une solution pour expliquer la phénoménologie de l'effet photoélectrique.

Einstein a accepté l'hypothèse de Planck et l'a appliquée à l'effet photoélectrique.

L'énergie d'une onde électromagnétique ne dépendait que de la fréquence.

L'effet photoélectrique décrit par les expériences de Hertz trouvait une explication facile si l'on acceptait l'hypothèse d'une énergie quantifiée dépendant uniquement de la fréquence de l'onde électromagnétique.

C'est pourquoi en dessous d'une certaine fréquence, il n'y avait pas d'émission d'électrons, puisqu'il n'y avait pas assez d'énergie pour "stimuler" cette émission et cela expliquait aussi pourquoi l'énergie des électrons émis était proportionnelle à la fréquence.

Einstein a appelé les "quanta" de la lumière, et des ondes électromagnétiques en général, du nom de photons.

––––––––

Le modèle Bohr

L'hypothèse de Planck avait en quelque sorte expliqué les deux incohérences relatives au spectre du corps noir et à l'effet photoélectrique.

La question de la stabilité de la matière et de l'explication générale de la raison pour laquelle l'énergie était une quantité discrète et non continue restait ouverte.

En 1913, Bohr proposa un premier modèle d'atome qui suivait les règles de la physique quantique, mais devait introduire des postulats pour expliquer la stabilité de la matière.

Inspiré par les expériences de Rutherford, il comprit que l'électron chargé négativement tournait autour d'un noyau atomique chargé positivement et introduisit quelques variations par rapport au modèle atomique précédent.

Tout d'abord, il a également quantifié le moment cinétique d'un électron tournant autour du noyau en introduisant une dépendance directe avec la constante de Planck, comme il l'avait fait des années plus tôt pour l'énergie (les règles de quantification ont ensuite été étendues et complétées par Sommerfeld en 1916).

Ce faisant, nous avons commencé à comprendre comment la quantification était un processus beaucoup plus répandu que ne l'impliquait la relation de Planck.

Plus tard, il a postulé qu'un électron tournait autour du noyau sur des orbites prédéfinies (quantifiées) sans émettre de rayonnement électromagnétique (tout cela pour expliquer la stabilité de l'atome).

L'émission de rayonnement électromagnétique ne se produit que lorsque l'électron "saute" d'une orbite à l'autre et que l'énergie émise (ou absorbée) respecte à la fois la relation de Planck et le principe de conservation de l'énergie.

Les rayons des orbites stables sont également quantifiés et liés au nombre quantique principal et au numéro atomique comme suit :

La deuxième fraction est exactement le rayon du niveau fondamental d'hydrogène, l'atome le plus simple de tous étant formé d'un seul électron et d'un seul proton.

L'énergie de ces orbites stables était donnée par

qui pour n=1 correspond exactement à l'énergie du premier état lié de l'hydrogène.

L'atome de Bohr représente la première tentative systématique de concilier la nouvelle théorie quantique avec ce qui a été trouvé expérimentalement dans d'autres disciplines, telles que l'électromagnétisme et la chimie, mais il avait le défaut de devoir postuler certaines hypothèses pour expliquer la stabilité de la matière et n'était pas en accord avec ce qui a été mesuré pour des atomes autres que celui d'hydrogène.

De plus, le dualisme entre onde et particule, devenu si évident depuis la publication des équations de Maxwell, n'a pas été expliqué.

––––––––

Nouvelles découvertes : effet Compton

Un pas de plus vers une nouvelle théorie générale fut franchi en 1920 avec l'explication de l'effet Compton.

Considérant les rayons X diffusés par les électrons et combinant l'équation d'énergie de Planck avec celle de l'énergie d'Einstein pour la relativité restreinte a expliqué la preuve expérimentale que la variation de longueur d'onde dépendait de l'angle d'incidence selon la formule suivante :

––––––––

La solution de De Broglie pour la dualité onde-particule

La simple comparaison entre deux équations énergétiques, celle de la physique quantique et celle de la relativité restreinte, a conduit à la dernière pièce nécessaire pour surmonter les problèmes mentionnés précédemment.

En 1924, De Broglie pose un de ces jalons destinés à renverser complètement des concepts jusque-là considérés comme distincts.

Partant de ces quatre équations (la première est l'équation de l'énergie selon la relativité restreinte, la seconde est la relation de Planck, la troisième est la définition de la vitesse de la lumière selon les équations de Maxwell, la quatrième est la définition de la quantité de mouvement) :

obtenu avec des étapes mathématiques simples la relation suivante :

Cette relation relie une grandeur d'onde, comme la longueur d'onde, à une grandeur matérielle, comme la quantité de mouvement, en disant que leur produit est égal à une constante.

De Broglie a eu l'intuition que cette relation était la base fondamentale pour surmonter l'éternel dualisme entre la nature ondulatoire et la nature corpusculaire des entités physiques, affirmant simplement que chacune d'elles est à la fois onde et particule et posant ce dualisme non pas comme un problème, mais comme une nouvelle frontière.

Grâce à cette relation, la longueur d'onde de l'électron a été calculée, qui n'était donc pas seulement une particule, mais aussi une onde.

––––––––

Young et les deux fissures

Le scientifique anglais Young avait réalisé, dès 1801, des expériences sur la lumière pour démontrer sa nature ondulatoire.

Les scientifiques ont compris comment cet appareil expérimental pouvait être utile pour confirmer ou non le dualisme onde-particule.

Prenez une source de lumière faible et une plaque photographique.

Entre eux, placez une barrière opaque avec deux fentes parallèles.

Construire une configuration expérimentale similaire dans laquelle la faible source de lumière est remplacée par une faible source d'électrons.

Si les sources émettent un photon (ou un électron) à la fois, la plaque est impressionnée par des points lumineux uniques, de sorte que les photons et les électrons se comportent comme des particules.

Si, par contre, on augmente le nombre de photons (ou d'électrons) émis, la planche montre les franges d'interférences classiques typiques de la nature corpusculaire.

De plus, et c'est l'aspect le plus choquant, bien que les photons et les électrons se comportent comme des particules s'ils sont émis individuellement, il n'est pas possible de déterminer par laquelle des deux fentes ils sont passés.

La dualité est présente de manière intrinsèque, c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de séparer un seul comportement de ce dualisme.

À son insu (les plaques photographiques du XIXe siècle étaient en fait insensibles aux faibles faisceaux lumineux), Young avait mis au point une expérience qui aurait pu résoudre le dualisme onde-particule bien 125 ans plus tôt !

––––––––

Mécanique quantique selon Schrödinger

Toutes ces évidences expérimentales et théoriques, qui se sont succédées pendant vingt ans, avaient besoin d'une explication générale qui les inclurait toutes, tout comme au XIXe siècle les équations de Maxwell incorporaient les expériences de Volta, Ampère, Oersted et Faraday.

C'est le rapport de De Broglie qui a donné l'impulsion finale aux arguments quantiques.

En 1926, avec quatre articles différents, Schrödinger montra que la mécanique ondulatoire de De Broglie satisfaisait aux règles de quantification de Bohr et suivant le parallélisme entre optique et mécanique (c'est-à-dire entre nature ondulatoire et corpusculaire) il établit une nouvelle équation qui devint la base de la mécanique quantique.

La mécanique de Newton est devenue une approximation de la mécanique quantique pour les « grandes » énergies et pour des échelles spatiales beaucoup plus grandes que la longueur d'onde établie par la relation de De Broglie.

La nouvelle équation dérive naturellement de la mécanique de Newton en appliquant simplement la relation de De Broglie et les règles de correspondance suivantes (considérons le cas unidimensionnel, du moins pour l'instant) :

Où est-il:

Au lieu de quantités continues telles que E et p, des opérateurs discrets ont été introduits, en totale conformité avec la procédure de quantification.

L'équation de Schrodinger prend donc cette forme générale (pour les cas multidimensionnels, il suffit de penser aux dépendances également sur les coordonnées y et z):

Cette équation révèle de multiples aspects qui expliquent presque toutes les nouvelles propriétés de la mécanique quantique.

Les solutions de cette équation sont des "fonctions d'onde", nom donné par Schrödinger lui-même pour rappeler les bases de la mécanique ondulatoire.

1) Tout d'abord, un potentiel générique V(x) apparaît dans cette équation.

Selon la forme de ce potentiel (marche, trou, oscillateur harmonique, etc.), il existe différentes solutions à cette équation.

2) Deuxièmement, il existe de fortes similitudes entre cette équation et ce qui est dérivé des équations de Maxwell, sous des réécritures appropriées. Ainsi, des correspondances simples peuvent être établies et une sorte de calcul numérique parallèle peut être établi, en gardant toujours à l'esprit les grandes différences fondamentales (quantités continues d'une part, quantités discrètes d'autre part).

3) La troisième observation concerne le facteur temps qui est un facteur de phase pur. Cette observation, ainsi que le fait que le deuxième membre de l'équation est lui-même un nombre complexe, fait une énorme différence avec les équations de Maxwell.

Dans le cas où les fonctions d'onde peuvent s'exprimer sous cette forme

L'équation de Schrödinger prend une forme simplifiée, relative aux états stationnaires :

qui est une équation à valeurs propres, donnée par l'énergie, tandis que u(x) sont les fonctions propres.

L'équation de Schrödinger est donc une équation énergétique.

L'énergie ne peut prendre que des valeurs prédéfinies, autrement dit cette équation prévoit la quantification de l'énergie et c'est un premier résultat en sa faveur.

Nous verrons bientôt comment les prédictions coïncident avec les vérifications expérimentales.

––––––––

La vision probabiliste

Avant de continuer, une clarification nécessaire doit être apportée.

A la question « que représente la fonction d'onde ? », la mécanique quantique ne peut donner que cette réponse « la solution de l'équation de Schrödinger ».

Autrement dit, il n'y a pas de correspondance entre la fonction d'onde et une grandeur physique « observable ».

En soi, la fonction d'onde ne représente rien.

Ce sera l'un des problèmes philosophiques que nous expliquerons à la fin de ce chapitre.

La véritable nouveauté de la mécanique quantique, cependant, a été donnée par le fait que le module carré de la fonction d'onde représente la probabilité de trouver l'onde/particule à un endroit donné à un instant donné.

L'évolution d'une mécanique déterministe vers une mécanique probabiliste a apporté un éclairage nouveau sur la physique elle-même.

La physique atomique, base de tous les autres secteurs étant donné que l'atome est la base constitutive de la matière, prévoyait qu'il n'est pas possible de dire avec certitude où se trouve une particule donnée, mais seulement d'établir sa probabilité.

L'interprétation probabiliste de l'équation de Schrödinger n'a été donnée qu'un an après 1926, par Born.

Avec cette clarification et en étudiant les équations de Schrodinger lorsque les potentiels V(x) variaient, la connaissance de la physique classique s'est élargie, atteignant de nouveaux horizons scientifiques.

––––––––

Les innovations par rapport à la mécanique classique

Un premier point était la prédiction que la fonction d'onde pourrait également s'étendre à des domaines que la physique classique considérait plutôt comme "interdits".

Dans le cas du pas de potentiel, par exemple, la mécanique quantique prédit que l'onde/particule peut franchir le pas même si l'énergie associée est plus faible, ce qui est impossible pour la physique classique.

Cet effet, connu sous le nom d'effet tunnel, sous-tend une grande partie du fonctionnement des ordinateurs modernes, tels que les ordinateurs et les téléphones portables. En effet, la physique quantique a été le précurseur de nombreux domaines tels que la physique du solide, la matière, les semi-conducteurs et les nanotechnologies.

De même, dans le domaine classiquement autorisé, il existe des points particuliers où la probabilité de trouver l'onde/particule est nulle.

Un deuxième point est la vérification que l'énergie ne peut prendre que des valeurs discrètes en dessous de certains seuils, par exemple le pas de potentiel précité, alors qu'elle devient "spectre continu" au-dessus d'eux.

Un troisième point est donné par l'énergie du point zéro.

À partir de l'équation de Schrodinger, nous pouvons voir comment la solution d'énergie la plus basse n'est jamais nulle, mais un multiple de ½ hf qui est précisément défini comme l'énergie du point zéro, c'est-à-dire le minimum possible. L'équation de Planck doit donc être modifiée dans ce sens (avec n entier positif) :

––––––––

Les solutions

Considérant l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques et effectuant la solution pour la partie radiale, on trouve comme solutions les fonctions u(r) données par les polynômes de Laguerre connus, dont le premier est le suivant :

où l'indice 10 désigne les deux nombres discrets utilisés pour identifier ce polynôme.

Le premier indice est précisément n, le nombre quantique principal déjà introduit par Bohr, tandis que le second indice l rend compte de la "forme" (sphérique si elle est égale à zéro, comme dans cet exemple) et ne peut varier que pour des entiers positifs inférieurs à non.

Essentiellement, le premier polynôme de Laguerre tel qu'exprimé ci-dessus est la partie radiale de la fonction d'onde référée à l'état fondamental de l'atome d'hydrogène.

En le relisant dans une clé probabiliste, le module carré de cette fonction est la probabilité de trouver l'électron dans l'atome d'hydrogène.

La mécanique quantique explique donc pourquoi l'électron ne "tombe" pas vers le noyau atomique sous la force d'attraction de Lorentz et prédit également qu'il n'y a pas d'orbites fixes, étant donné que le déterminisme classique n'est pas applicable, au profit du probabilisme quantique.

Le nom donné à ces zones de probabilité de trouver l'électron est celui d'orbitale.

Le nombre quantique l donne donc la forme des orbitales en fonction de la probabilité de trouver ou non l'électron dans cette zone spécifique.

Pour le premier état lié de l'hydrogène, il est facile de vérifier que la probabilité maximale de trouver l'électron se produit précisément dans le cas du rayon de Bohr et que, à ce rayon, l'énergie de la liaison est à l'état stable, c'est-à-dire la plus faible énergie principe.

Contrairement à la mécanique ondulatoire, l'équation de Schrödinger explique très bien même les atomes les plus complexes et pas seulement l'hydrogène.

De plus, avec la définition des orbitales, vient une compréhension théorique facile des propriétés du tableau périodique et de la règle de l'octet.

La physique atomique décrite par la mécanique quantique englobe une bonne partie des expériences de physico-chimie et de physique de la matière, en particulier les spectres atomiques et moléculaires, surtout après ce que nous allons dire tout à l'heure.

––––––––

Évolution de l'opérateur et principes d'incertitude

La mécanique quantique peut également être exprimée sous forme d'opérateur, rappelant les relations de Hamilton de la mécanique classique et les appliquant au cas quantique.

Les lois de Newton pourraient s'écrire de cette manière élégante :

avec p et q observables continues (impulsion et position) aussi appelées opérateurs canoniques, tandis que H était la fonction hamiltonienne (continue) définie comme :

Une réalisation fondamentale de la mécanique classique a été la commutation des opérateurs canoniques ; autrement dit qp-pq=0.

En appliquant les règles de correspondance mentionnées pour l'énergie et la quantité de mouvement, en mécanique quantique, les opérateurs canoniques ont été associés aux opérateurs discrets comme suit :

Alors que la fonction hamiltonienne prenait la forme d'un opérateur discret appelé hamiltonien :

Avec ce symbolisme, l'équation générale de Schrödinger et celle des états stationnaires deviennent simplement les suivantes :

En mécanique quantique, les opérateurs canoniques ne commutent pas. En fait, il y a cette relation :

Ce qui est une conséquence directe (et qui explique aussi) le principe d'incertitude de Heisenberg, énoncé quelques années seulement après 1926.

En particulier, Heisenberg affirmait que toute grandeur physique ne commutant pas avec une autre subissait l'inégalité suivante :

où [A,B] est le commutateur défini comme AB-BA alors que c'est un opérateur discret générique et la symbolique est celle du crochet utilisé par Dirac (que nous retrouverons bientôt dans cette description).

Dans le cas des opérateurs canoniques, cette inégalité se ramène à la formulation bien connue du principe d'incertitude :

Cette inégalité stipule qu'il n'est pas possible de déterminer, avec une précision absolue et en même temps, la position et la vitesse d'une particule particulière.

Si nous voulions connaître la position d'un électron grâce à une expérience avec des compteurs appropriés, nous ne pourrions rien dire sur sa vitesse et vice versa.

Cette affirmation, absolument valable, perd son sens dans le monde macroscopique, où les distances sont bien supérieures à la longueur d'onde, mais elle est d'une importance fondamentale dans le monde atomique et nucléaire.

En outre, deux nouveaux concepts en physique ont été introduits.

Le premier est celui de l'indéterminisme.

Non seulement la mécanique quantique a fait passer la physique d'une vision absolue à une vision probabiliste, mais une "perturbation" supplémentaire a été introduite donnée par l'indétermination des variables physiques.

Cela a également provoqué des effets perturbateurs sur le plan philosophique, de la même manière que la relativité avait précisément relativisé des concepts auparavant absolus, tels que l'espace et le temps.

Cependant, le véritable point focal était donné par le concept même de mesure et le rôle de l'observateur.

Il était clair que l'expérience elle-même allait changer l'état d'une grandeur physique (appelée ci-après « observable ») et que rien ne pouvait être dit sur la valeur de cette observable avant et après l'expérience.

Ainsi naquit un décalage très évident entre la réalité physique et la réalité observée et la mesure elle-même était un moyen de "révéler" les observables.

Ce problème physique et philosophique de la mécanique quantique reste encore ouvert.

Deux autres observables qui ne commutent pas sont l'énergie et le temps, pour lesquels :

Il y a donc une limite à la valeur minimale de "l'espacement" énergétique et ce minimum coïncide précisément avec l'énergie du point zéro.

De même, les impulsions temporelles ne peuvent pas être discernées en dessous de cette limite quantique et cela peut être trouvé, par exemple, dans les lasers.

Pour expliquer les spectres atomiques, il a fallu recourir à la quantification du moment cinétique, en introduisant un nouveau nombre quantique qui peut prendre des valeurs entières à partir de –la +l.

De plus, la mécanique quantique prévoyait une nouvelle grandeur liée à la quantité de mouvement totale, qui reçut le nom de spin qui n'était en rien comparable au moment cinétique classique.

Le spin a expliqué de nombreuses découvertes pratiques, y compris la règle de l'octet et l'occupation des niveaux électroniques, et a également expliqué d'autres différences dans les spectres atomiques.

L'introduction du dernier nombre quantique a été associée au spin.

Les règles de quantification de la mécanique quantique des opérateurs sont donc les suivantes, avec les valeurs propres relatives, les fonctions propres et les nombres quantiques et généralisent les règles de Sommerfeld :

––––––––

Exercices de niveau universitaire

Exercice 1

Considérons la famille d'états :

Et l'hamiltonien unidimensionnel :

Montrer qu'à la limite classique, l'évolution temporelle de l'état résout l'équation de Hamilton classique :

––––––––

La limite classique est pour :

En prenant la dérivée par rapport à la coordonnée canonique, on a :

Rappelant l'équation de Schrödinger :

Assimilation des termes réels et imaginaires :

Passer à la limite classique revient à négliger le premier terme de la première équation, donc :

Par conséquent, en dérivant la première équation pour q :

C'est la thèse.

––––––––

Exercice 2

Soit un potentiel :

Montrer que l'hamiltonien associé admet au moins un état lié.

––––––––

Prenons comme fonction test :

Ainsi:

L'énergie cinétique vaut :

La valeur moyenne du potentiel vaut :

Aller à la limite :

Mais par le théorème de Lebesgue :

Ainsi:

Ce qui revient à admettre l'existence d'au moins un état lié.

––––––––

Exercice 3

Montrer que les niveaux d'énergie discrets d'une particule soumise à un potentiel sommable V(x) tendant vers zéro à l'infini satisfont :

––––––––

Puisque le potentiel tend vers zéro à l'infini, les états liés ont des énergies négatives.

Ainsi:

Ces fonctions sont continues et tendent vers zéro à l'infini.

D'après le théorème de Weierstrass, il y aura un maximum.

À ce stade, vous aurez :

À partir duquel:

––––––––

Exercice 4

Étant donné un puits de potentiel V(x) pour x>0 et tel que V(x) est infini pour x<0, déterminer la quantification de Bohr-Sommerfeld pour l'énergie dans le régime semi-classique.

––––––––

Nous définissons:

Puisque U est égal, la condition de Bohr-Sommerfeld est :

Ainsi:

Pour V il faut prendre les états propres impairs c'est à dire n=2m+1

Et la condition de quantification est :

––––––––

Exercice 5

Étant donné un profil de potentiel qui tend vers zéro comme moins l'infini et vers une valeur constante non nulle comme plus l'infini, recherchez la dépendance énergétique du coefficient de pénétration.

––––––––

Pour:

Dans le cas de moins l'infini on a :

Et alors:

Dans le cas de plus l'infini :

Les courants entrants et sortants seront :

Et le coefficient de pénétration vaut :

Si à la place :

Le coefficient de pénétration tendra vers zéro.

––––––––

Exercice 6

Trouvez l'équation de Schrodinger unidimensionnelle décrivant les particules provenant de moins l'infini avec une impulsion p>0 et réfléchies par une barrière de potentiel infinie se déplaçant avec v<0.

Nous avons:

Dont la condition aux limites est :

La solution générale est :

Avec:

La condition aux limites dicte que :

––––––––

Exercice 7

Considérer:

Etat propre simultané de :

et

Calculer la valeur moyenne et la fluctuation moyenne de la projection du moment cinétique sur la direction n de l'état considéré qui forme un angle alpha avec l'axe z.

––––––––

Il s'agit de calculer :

Cependant:

Pour i=1 ou i=2 on peut écrire :

La valeur moyenne est donc :

Le terme quadratique est donné par :

Nous pouvons remarquer que :

De plus:

En remplaçant, nous avons :

Finalement, la fluctuation sera :

––––––––

Exercice 8

Pour une particule de spin ½ chercher les fonctions :

Décrire les états de la particule ayant une projection de spin donnée sur les axes x,y,z.

Nous avons:

Où les vecteurs propres sont présents dans le second membre.

Ainsi:

Où les sigmas sont les matrices de Pauli.

Pour l'axe des abscisses :

Ainsi:

Et en normalisant :

En suivant la même procédure, pour l'axe y nous avons :

Enfin, pour l'axe z :

––––––––

Exercice 9

Déterminer le spectre d'énergie de deux bosons identiques de spin s=0 interagissant selon le potentiel :

––––––––

L'hamiltonien du système est :

Si on met :

L'hamiltonien du mouvement relatif est :

Et alors:

Les valeurs propres sont :

A quoi correspondent les fonctions propres :

Puisque cette fonction doit être symétrique, cette somme doit être paire :

De plus, le spectre d'énergie est :

Avec N entier pair non négatif.

––––––––

Exercice 10

Soit le système décrit par :

Prouve-le:

Et qu'un état stationnaire a :

––––––––

De la définition de la position et de l'élan, nous avons :

La valeur moyenne pour chaque composante d'impulsion est :

––––––––

Exercice 11

Montrer que pour un système quantique si F et G sont des constantes de mouvement, alors [F,G] l'est aussi.

––––––––

Si F et G sont des constantes de mouvement on a :

Ainsi:

Exercice 12

Une particule de masse m se déplace avec un mouvement unidimensionnel en présence d'un potentiel :

Calculez la valeur moyenne et l'écart type des variables de position et d'impulsion dans les états propres d'énergie.

––––––––

Pour un puits de potentiel, les fonctions propres et valeurs propres sont données par :

Les fonctions d'onde étant paires, on a :

De plus, pour un état lié, ce qui suit est toujours vrai :

La racine carrée moyenne de l'impulsion est :

Pendant le poste :

––––––––

Exercice 13

Un faisceau monochromatique de particules de masse m se déplace selon l'axe des x en présence d'un potentiel :

Déterminer pour quelle valeur de E le flux transmis est égal au flux réfléchi.

––––––––

Pour un tel faisceau, la fonction d'onde peut s'écrire :

Où est-il:

Il faut imposer les conditions de continuité en 0 pour la fonction d'onde et de discontinuité de sa dérivée (due à la présence du delta de Dirac dans le potentiel).

Nous avons:

Et alors:

Pour que le carré des coefficients soit égal, il doit être :

Ou alors:

––––––––

Exercice 14

Résolvez l'équation de Schrödinger pour un potentiel :

Calculer les fonctions propres et les valeurs propres.

––––––––

Le potentiel étant toujours positif, les valeurs propres de H seront positives.

Endroit:

Les fonctions propres sont :

Pour les conditions de continuité sur les fonctions propres et de discontinuité de leurs dérivées :

Ou alors:

Il s'ensuit que toute valeur positive de E est une valeur propre de l'hamiltonien.

En plaçant:

Nous avons:

––––––––

Exercice 15

L'état d'une particule de masse m est décrit par la fonction d'onde :

En utilisant l'équation de Schrödinger, trouvez le potentiel V(x) et l'énergie E pour lesquels cette fonction d'onde est une fonction propre.

––––––––

En substituant la fonction d'onde dans l'équation de Schrödinger, on obtient :

En admettant que:

Nous avons:

––––––––

Exercice 16

Considérez l'étape potentielle en 3 dimensions.

Déduire les lois de réflexion et de réfraction pour une onde plane incidente obliquement et déterminer les conditions de réflexion totale.

––––––––

En coordonnées cartésiennes, l'hamiltonien est :

Pour la séparabilité, nous avons :

Après avoir placé la direction d'incidence dans le plan xz, de sorte que la composante énergétique en y soit nulle.

La fonction propre sera :

Endroit:

Nous avons:

Avec:

En imposant les conditions de continuité en x=0 pour la fonction d'onde et sa dérivée, on obtient les coefficients de réflexion et de transmission :

Il n'y a réflexion totale que si :

Et l'onde se propage dans la direction z.

En termes de vecteurs d'onde, les angles sont :

––––––––

Exercice 17

La fonction d'onde de l'état fondamental de l'hydrogène est :

Où est-il

C'est le rayon de Bohr.

Déterminez à quelle distance du noyau la densité de probabilité de trouver l'électron est la plus grande.

Déterminer la valeur moyenne de la position de l'électron.

––––––––

La distribution de probabilité intégrée sur l'angle solide est :

Le maximum est pour :

On constate qu'il s'agit de :

La valeur attendue de la position est :

––––––––

Exercice 18

L'état d'une particule de masse m est décrit par la fonction d'onde :

Quels sont les résultats possibles d'une mesure de la composante z du moment cinétique de la particule dans cet état ?

Quelle est la probabilité d'obtenir chacun de ces résultats ?

Quelle est la valeur attendue de la composante z du moment cinétique ?

On peut réécrire la fonction d'onde sous la forme :

Ainsi, les valeurs possibles pour la composante z du moment cinétique sont 0 e

On voit que la fonction d'onde est normalisée :

Et donc les probabilités seront :

La valeur attendue sera :

––––––––

Exercice 19

Considérez une particule de spin ½ et mesurez :

Quels sont les résultats possibles de la mesure ?

Si la composante le long de y est ensuite mesurée, quelle est la probabilité de trouver ?

Nous observons que :

Puisque les valeurs propres du second membre sont :

Ensuite nous avons:

Après la mesure, le spin de la particule sera dans le plan xz et donc la probabilité de l'une des deux valeurs propres possibles de la composante le long de y est ½.

––––––––

Exercice 20

Une particule de masse m est immergée dans un puits de potentiel comme celui-ci :

La particule est soumise à une perturbation :

Calculer, au premier ordre, les modifications des niveaux d'énergie provoquées par la perturbation.

En l'absence de perturbation, les valeurs propres et les fonctions propres sont données par :