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- Herausgeber: ROWOHLT E-Book
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: Professor Stewarts Mathematik
- Sprache: Deutsch
- Veröffentlichungsjahr: 2011
Wie können Sie durch Ihre Finger schneiden, ohne sie abzutrennen? Wie finden Sie heraus, ob das Kaninchen schwarz oder weiß ist, ohne unter den Hut zu schauen? Und was hat das alles mit Mathematik zu tun? Der Mathe-Guru Ian Stewart, auch hierzulande längst Kult, hat seit seinem 14. Lebensjahr in seinen Notizbüchern kuriose Knobeleien gesammelt, Kleinode, die nicht in der Schule gelehrt werden. Hier kommen sie nun – ein fabelhaftes Sammelsurium von Spielen, Rätseln, Kartentricks und Puzzles, von Anekdoten und Fakten, von seltsamen Blüten der Rechenkultur. Dazu erfahren Sie, worum es bei Fermats letztem Satz, der Poincaré-Vermutung oder den Penrose-Mustern geht, warum eigentlich minus mal minus plus ergibt und den wahren Grund, warum man nichts durch null teilen kann. Ein Buch zum Blättern und Stöbern, zum Spaßhaben und Dazulernen, für Laien und für Fortgeschrittene. Vergessen Sie Sudoku! Um Ihre kleinen grauen Zellen auf Trab zu halten, gibt es nichts Besseres als diese unterhaltsame Auswahl mathematischer Kabinettstückchen.
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Seitenzahl: 382
Ähnliche
Ian Stewart
Professor Stewarts mathematisches Sammelsurium
Deutsch von Monika Niehaus und Bernd Schuh
Inhaltsverzeichnis
Starten Sie hier
Begegnung mit Außerirdischen
Tipp aufs Tier
Seltsame Rechnungen
Karten-Dreieck
Pop-up-Dodekaeder
Abgetrennte Finger
Rüben zählen
Der Vierfarbensatz
Kaninchen im Hut
Quere den Fluss 1 – Ernte
Noch mehr Seltsamkeiten
Befrei die Kirsche!
Verwandlung in ein Fünfeck
Was ist eigentlich π ?
Gesetzgebung für π
Falls sie es wirklich verabschiedet hätten…
Leere Gläser
Wie viele …
Drei Kurze
Das Springerproblem
Gordische Knoten
Weiße Schwänze
Falschmünzer entlarven
Ewiger Kalender
Mathematische Witze 1
Windige Würfel
Altersloses Altersproblem
Warum macht minus mal minus plus?
Reiherkleid
Gleicharmiges Kreuz
Gedächtnisstütze für Zahlen
Das Königsberger Brückenproblem
Wie man Zeit für Mathematik gewinnt
Eulers pentagonale Reise
Die Schlange Ouroboros
Der Ourotorus
Wer war Pythagoras?
Beweise für den Satz des Pythagoras
Bohrung nach Maß
Fermats letzter Satz
Pythagoreische Tripel
Primzahlen – Fakten und Vermutungen
Pythagoreische Kuriosität
Hundert aus 9
Quadratur des Quadrats
Magische Quadrate
Quadratzahlquadrate
Ringstraßendreh
Rein versus angewandt
Magisches Sechseck
Pentalpha
Tapetenmuster
Wie alt wurde Diophant?
Wenn Sie gedacht haben sollten, Mathematiker seien gut im Rechnen …
Eine Sphinx aus sich selbst
Sechs Stationen entfernt
Dreiteiler, Achtung!
Den Würfel verdoppeln
Langfords Würfel
Magische Sterne
Figuren mit konstantem Durchmesser
Kabel verlegen
Münztausch
Autoklau
Raumfüllende Kurven
Fehler, die sich aufheben
Das quadratische Rad
Warum kann man nicht durch null teilen?
Quere den Fluss 2: Misstrauen gegen Frauen
Borromäische Ringe
Prozentepoker
Leutearten
Die Wurst-Connection
Der Idiotenknoten
Numerologie
Zahlenzauber
Rechtschreibfehler
Das expandierende Universum
Was versteht man unter dem goldenen Schnitt?
Was versteht man unter Fibonacci-Zahlen?
Die plastische Zahl
Eine Familienangelegenheit
Nicht loslassen!
Satz: Alle Zahlen sind interessant
Satz: Alle Zahlen sind langweilig
Die wahrscheinlichste Ziffer
Warum heißt sie «Hexe»?
Möbius und sein Band
Ein goldener Oldie
Drei weitere Quickies
Haufenweise Kacheln
Chaostheorie
Après-le-Ski
Satz von Pick
Mathematische Preise
Warum gibt es keinen Nobelpreis für Mathematik?
Gibt es einen perfekten Quader?
Paradox oder nicht, das ist hier die Frage…
Wann spielt mein MP3-Player eine Wiederholung?
Sechs Schweineställe
Patentierte Primzahlen
Die Poincaré-Vermutung
Hippologik
Langtons Ameise
Das Schwein an der Leine
Der Überraschungstest
Der Antischwerkraft-Doppelkegel
Mathematische Witze 2
Warum Gauß Mathematiker wurde
Welche Form hat eine Mondsichel?
Berühmte Mathematiker
Was ist eine Mersenne-Primzahl?
Die Goldbach-Vermutung
Lauter Schildkröten aufeinander
Hotel Hilbert
Kontinuumbusse
Eine verwirrende Zerlegung
Eine wirklich verwirrende Zerlegung
Nichts im Ärmel…
… und nichts im Hosenbein
Zwei Senkrechten
Kann man die Form einer Pauke hören?
Was ist e und warum?
Mein Gatte und ich…
Viele Knie, viele Sitze
Eulers Formel
Welchen Wochentag haben wir heute?
Streng logisch
Logisch oder nicht?
Wer züchtet was?
Gerecht teilen
Die sechste Todsünde
Seltsame Arithmetik
Wie tief ist der Brunnen?
MacMahonsche Quadrate
Was ist die Quadratwurzel von −1?
Die allerschönste Formel
Warum ist Eulers wunderbare Formel richtig?
Ihr Anruf kann zu Trainingszwecken überwacht werden
Archimedes, alter Schwindler!
Fraktale – die Geometrie der Natur
Das fehlende Zeichen
Wo eine Mauer ist, ist auch ein Weg
Konstanten, auf 50Stellen hinter dem Komma genau
Häuser mit Versorgungsunternehmen verbinden
Vorsicht, Ziege!
Alle Dreiecke sind gleichschenklig
Quadratjahr
Gödels Unvollständigkeitssätze
Wenn π kein Bruch ist, wie kann man es dann berechnen?
Unendlicher Reichtum
Das Schicksal soll entscheiden
Wie viele…
Welche Form hat ein Regenbogen?
Entführung durch Aliens
Die riemannsche Vermutung
Anti-Atheismus
Widerlegung der riemannschen Vermutung
Mord im Park
Der Käsewürfel
Das «Spiel des Lebens»
Ein Rennen mit zwei Pferden
Eine Ellipse zeichnen – und mehr?
Mathematische Witze 3
Die Keplersche Vermutung
Das Milchkartonproblem
Gleichberechtigung
Straßennetz
Komplexitätswissenschaft
Scrabble-Seltsamkeiten
Drachenkurve
Counterflip
Gleichmäßig geschnittene Brotkugel
Sind schwierige Probleme einfach? oder Wie man eine Million Dollar gewinnt, indem man das Offensichtliche beweist
Mathematische Theologie
Professor Stewarts schlauer Spickzettel
Begegnung mit Außerirdischen
Das Raumschiff Mindermind umkreiste den Planeten Karghirne, und Captain Quirl und Mr.Speck hatten sich auf die Oberfläche gebeamt.
«Laut Rudi’s Raumführer gibt es zwei Arten von intelligenten Wesen auf diesem Planeten», meinte Quirl.
«Richtig, Captain– Penibler und Kauderwelscher. Sie sprechen beide Galaktisch, und man kann sie daran unterscheiden, wie sie auf Fragen antworten. Die Penibler sagen immer die Wahrheit, die Kauderwelscher lügen immer.»
«Aber rein physisch–»
«–sind sie ununterscheidbar, Captain.»
Quirl hörte etwas, drehte sich um und sah sich drei Außerirdischen gegenüber, die auf ihn zukrochen. Sie sahen absolut gleich aus.
«Willkommen auf Karghirne», grüßte einer der Fremdlinge.
«Besten Dank. Mein Name ist Quirl. Und Sie sind…» Quirl machte eine Kunstpause. «Ach, hat ja doch keinen Zweck, sie nach ihren Namen zu fragen», murmelte er. «Sie würden ja doch nicht stimmen.»
«Logisch, Captain», entgegnete Speck.
«Weil wir nicht gut Galaktisch sprechen», improvisierte Quirl, «werde ich euch Alf, Bett und Gemm nennen, wenn ihr nichts dagegen habt.» Während er sprach, wies er der Reihe nach mit dem Finger auf sie. Dann wandte er sich zu Speck und flüsterte: «Ob sie Männlein oder Weiblein sind, wissen wir ja auch nicht, oder?»
«Sie sind alle hermandrofemigyn», sagte Speck.
«Was auch immer. Also, Alf: Zu welcher Art gehört denn Bett?»
«Zu den Kauderwelschern.»
«Aha. Bett, gehören Alf und Gemm zu verschiedenen Arten?»
«Nein.»
«Sind ja ganz schön gesprächig, was? Hmm… Gemm, zu welcher Sorte gehört denn Bett?»
«Penibler.»
Quirl nickte wissend. «Gut, damit wäre dann alles klar.»
«Alles klar, Captain?»
«Ja, zu welcher Art sie gehören.»
«Aha, und zu welcher gehören sie?»
«Keine Ahnung, Speck! Sie sind doch hier der Logiker.»
Tipp aufs Tier
Dies hier ist ein hervorragender mathematischer Trick für Kinderpartys. Zunächst suchen sich die Kinder der Reihe nach ein Tier aus dem Stern aus. Dann buchstabieren sie dessen Namen, während Sie oder ein anderes Kind auf die Punkte des zehnzackigen Sterns tippen. Beim ersten Buchstaben beginnen Sie mit dem Punkt, an dem ‹Schimpanse› steht, und folgen dann den Verbindungslinien im Uhrzeigersinn. Und, o Wunder, Sie enden mit dem letzten Buchstaben genau auf dem richtigen Tier!
Buchstabieren Sie den Namen und finden Sie das Tier.
Wie das funktioniert? Ganz einfach, das dritte Wort auf dem Weg durch den Stern ist «Kuh», hat also drei Buchstaben, das vierte ist «Maus» mit vier Buchstaben und so fort. Um den Trick etwas zu verschleiern, haben die Tiere vor der «Kuh» 10, 11, 12Buchstaben. Weil man mit zehn Schritten wieder am Punkt «Schimpanse» ankommt, mit elf beim «Wildschwein» und mit zwölf bei der 12-buchstabigen «Giftschlange», passt alles bestens.
Sie können den Trick noch undurchsichtiger machen, indem Sie statt der Namen Bilder der Tiere an den Sternecken platzieren.
Seltsame Rechnungen
Ihr Taschenrechner kann zaubern.
(1) Führen Sie die folgenden Multiplikationen auf dem Rechner aus. Was fällt Ihnen auf?
1 × 1
11 × 11
111 × 111
1111 × 1111
11111 × 11111
(2) Geben Sie die Zahl
142857
ein (am besten in den Speicher des Taschenrechners) und multiplizieren Sie sie jeweils mit 2, 3, 4, 5, 6 und 7.Was fällt Ihnen auf?
Karten-Dreieck
Sie brauchen 15Karten, durchnummeriert von 1 bis 15.Sie sollen in Dreieckform ausgelegt werden, wie in der Abbildung gezeigt. Die obersten drei Karten habe ich zum besseren Verständnis des Folgenden mit Zahlen versehen:
Karten-Dreieck
Es soll aber keine erwartbare Anordnung gelegt werden. Vielmehr möchte ich, dass jede Karte die Differenz der beiden unmittelbar darunterliegenden Karten zeigt. Zum Beispiel ist die 5 die Differenz von 9 und 4. (Man zieht immer die kleinere von der größeren Zahl ab, sodass die Differenz immer positiv herauskommt.) Nur in der untersten Reihe kann man die Regel natürlich nicht mehr anwenden.
Die obersten drei Karten liegen nun schon an ihrem korrekten Platz. Können Sie herausfinden, wie man die restlichen zwölf Karten verteilen muss?
Mathematiker kennen verschiedene solche Dreiecke, mit zwei, drei oder vier Reihen, deren Karten mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen nummeriert sind, bei 1 beginnend. Man hat bewiesen, dass es keine solche Dreiecke mit mehr als sechs Reihen geben kann.
Pop-up-Dodekaeder
Ein Dodekaeder ist ein geometrischer Körper, dessen Oberfläche aus zwölf Fünfecken besteht. Er ist einer der fünf regulären Körper.
Die drei Schritte zur Anfertigung eines Pop-up-Dodekaeders
Schneiden Sie aus festem Karton zwei gleiche Kopien der Figur ganz links im Diagramm. Falzen Sie in beiden Kopien die Kanten zwischen den Fünfecken so, dass sich die fünf äußeren Fünfecke leicht umbiegen lassen. Dann legen Sie die beiden Stücke aufeinander, so wie im mittleren Bild angedeutet. Dann schlingen Sie ein Gummiband abwechselnd über und unter die Fünfecke (siehe rechtes Bild, die kräftigen schwarzen Linien zeigen, wo das Band oberhalb verläuft); halten Sie dabei die beiden Pappstücke mit den Fingern flach.
Jetzt lassen Sie los!
Falls Ihr Gummiband die richtige Länge und Stärke hat, wird sich das ganze Gebilde nun mit einem Plopp zu einem dreidimensionalen Dodekaeder aufspannen.
Aufgespannter Dodekaeder
Abgetrennte Finger
Hier zeige ich Ihnen, wie man eine Schlinge so um die Finger legt (Ihre eigenen oder die eines «Freiwilligen»), dass sie scheinbar Ihre Finger abschneidet, wenn man die Schnur fest zieht. Der Trick verblüfft deswegen, weil wir aus Erfahrung wissen, dass die Schlinge nicht abgehen sollte, wenn sie wirklich ernsthaft um die Finger gewickelt ist. Um es präziser zu sagen: Stellen Sie sich vor, Ihre Finger würden eine feste Unterlage berühren und dadurch verhindern, dass die Schlinge über Ihre Fingerspitzen rutscht. Die Kunst besteht also darin, die Schlinge durch die Hohlräume zu bekommen, die zwischen Ihren Fingern und der Unterlage bestehen. Wenn die Schnur wirklich verschlungen wäre, könnten Sie sie gar nicht entfernen. Also muss sie nur verbunden erscheinen, obwohl sie es nicht ist.
Sollte die Schnur versehentlich echt verschlungen sein, würde sie auch tatsächlich die Finger abschnüren. Also seien Sie vorsichtig!
Wie man sich (nicht) die Finger der linken Hand abschneidet
Was das mit Mathematik zu tun hat? Es gibt ein Gebiet der Mathematik, das sich innerhalb der letzten 150Jahre entwickelt hat und mittlerweile eine zentrale Rolle spielt – die Topologie. Darin geht es um geometrische Eigenschaften – wie Knoten und Schlingen–, die sich auch unter drastischen Verformungen nicht ändern. Zum Beispiel bleiben Knoten verknotet, auch wenn man die Schnur dreht oder dehnt.
Machen Sie sich eine Schlinge aus einer 1Meter langen Schnur. Legen Sie die Schlinge über den kleinen Finger der linken Hand, verdrehen Sie dann die Schlinge, legen Sie sie über den nächsten Finger, drehen Sie die Schlinge wieder, und zwar in der gleichen Richtung wie zuvor und so weiter, bis Sie am Daumen angekommen sind (linkes Bild). Nun legen Sie die Schlinge vor den Daumen und wickeln die restlichen Finger genauso ein wie auf dem Hinweg. Wichtig ist, dass Sie die Schlinge dabei in die entgegengesetzte Richtung verdrehen wie auf dem Hinweg.
Lassen Sie nun die Schlinge los und drücken Sie den Daumen in die Handfläche, wobei die Schlinge über den Daumen rutscht. Dann ziehen Sie kräftig am freien Ende über dem kleinen Finger… man hört richtig, wie die Schnur durch Ihre Finger schneidet! Aber, o Wunder, nichts ist passiert.
Es sei denn, Sie haben sich irgendwo beim Verdrehen vertan.
Rüben zählen
«War ein richtig gutes Rübenjahr», meinte Bauer Saudrink zu seinem Nachbarn, Bauer Kufut.
«Jau, kann man wohl sagen», erwiderte der. «Wie viele hast du geerntet?»
«Hmm… so genau erinnere ich mich nicht mehr, aber ich weiß, dass ich auf dem Markt in der ersten Stunde sechs Siebtel der Rüben plus noch ein Siebtel einer einzelnen Rübe verkauft habe.»
«War wohl nicht einfach, die zu schneiden.»
«Nö, ich hab nur ganze verkauft. Ich schneid die doch nicht.»
«Sag bloß, Saudrink. Aber wie?»
«Ich hab sechs Siebtel von dem, was übrig war, und noch eine Siebtelrübe extra in der zweiten Stunde verkauft. Dann nochmal sechs Siebtel vom Rest und ein Siebtel extra in der dritten Stunde. Und vom Rest nochmal dasselbe in der vierten Stunde. Dann bin ich heim.»
«Wieso?»
«Weil ich alles verkauft hatte.»
Wie viele Rüben hatte Saudrink zum Markt gebracht?
Der Vierfarbensatz
Probleme, die einfach zu formulieren sind, sind manchmal sehr schwierig zu lösen. Der Vierfarbensatz, auch als Vierfarbenproblem oder -vermutung bekannt, ist ein gutes Beispiel dafür. Alles begann im Jahr 1852, als Francis Guthrie, der damals am University College in London studierte, an seinen jüngeren Bruder Frederick einen Brief schrieb mit einem kleinen einfachen Rätsel – so nahm er jedenfalls an. Er hatte versucht, eine Karte der englischen Grafschaften zu kolorieren, und festgestellt, dass er dazu vier Farben brauchte, wenn er vermeiden wollte, dass zwei aneinandergrenzende Grafschaften die gleiche Farbe hatten. Er fragte sich nun, ob dies nur für die Karte von England galt oder sich verallgemeinern ließ. «Lässt sich jede zweidimensionale Karte mit vier (oder weniger) Farben so einfärben, dass keine zwei Regionen mit einer gemeinsamen Grenze dieselbe Farbe haben?», schrieb er.
Es sollte 124Jahre dauern, bis diese Frage beantwortet werden konnte, und selbst heute basiert die Antwort auf intensiver Computerunterstützung. Bislang gibt es keinen einfachen konzeptuellen Beweis – einen Beweis, der Schritt für Schritt von einem Menschen innerhalb seiner Lebensspanne überprüft werden kann – für den Vierfarbensatz.
Einfärbung der englischen Landkreise mit vier Farben – eine mögliche Lösung unter vielen
Frederick Guthrie konnte die Frage seines Bruders nicht beantworten, aber er «kannte einen Mann, der es konnte» – den berühmten Mathematiker Augustus De Morgan. Wie sich jedoch rasch herausstellte, «konnte» De Morgan es auch nicht, wie er im Oktober desselben Jahres in einem Brief an seinen noch berühmteren irischen Kollegen Sir William Rowan Hamilton gestand.
Es lässt sich leicht beweisen, dass für manche Karten mindestens vier Farben nötig sind, weil es Karten mit vier Regionen gibt, bei denen jede Region an alle anderen Regionen grenzt. Vier Landkreise auf der Karte von England (hier leicht vereinfacht dargestellt) bilden eine solche Anordnung, was zeigt, dass in diesem Fall zumindest vier Farben nötig sind. Können Sie sie auf der Karte finden?
Eine einfache Karte, für die man vier Farben benötigt
De Morgan machte jedoch einige Fortschritte: Er bewies, dass es unmöglich ist, eine analoge Karte mit fünf Regionen zu finden, bei der jede Region an die vier anderen grenzt. Das ist jedoch kein Beweis für den Vierfarbensatz, sondern zeigt lediglich, dass die einfachste Weise, diesen Satz zu widerlegen, nicht funktioniert. Es könnte aber theoretisch eine höchst komplizierte Karte mit beispielsweise 100Regionen geben, die sich wegen der Art und Weise, wie lange Ketten von Regionen mit ihren Nachbarn verknüpft sind, nicht mit nur vier Farben einfärben lässt. Es besteht kein Grund zu der Annahme, dass eine «schlechte» Karte nur fünf Regionen hat.
Der erste gedruckte Hinweis auf dieses Problem datiert aus dem Jahr 1878, als Arthur Cayley in einem Brief an die Zeitschrift Proceedings of the London Mathematical Society (eine von De Morgan gegründete Gesellschaft) schrieb und sich erkundigte, ob irgendjemand das Problem inzwischen gelöst habe. Das war nicht der Fall, doch im darauffolgenden Jahr publizierte Arthur Kempe, ein Rechtsanwalt, einen Beweis, und damit schien die Angelegenheit erledigt zu sein.
Kempes Beweis war raffiniert. Zunächst bewies er, dass jede Karte zumindest eine Region mit fünf oder weniger Nachbarn aufweist. Wenn eine Region drei Nachbarn hat, kann man die Region auf einen Punkt zusammenziehen und eine einfachere Karte erhalten, und wenn sich die einfachere Karte mit vier Farben einfärben lässt, gilt dies auch für die ursprüngliche Karte. Man ordnet der punktförmigen Region einfach diejenige Farbe zu, die sich von derjenigen ihrer drei Nachbarregionen unterscheidet. Kempe hatte eine aufwendigere Methode entwickelt, um eine Region mit vier oder fünf Nachbarn zu eliminieren. Nachdem er diesen Schlüsselfaktor gefunden hatte, war der Rest des Beweises ein Kinderspiel: Um eine Karte mit vier Farben zu kolorieren, ziehe man sie Region für Region auf einen Punkt zusammen, bis sie vier oder weniger Regionen hat. Man färbe diese Regionen mit unterschiedlichen Farben ein und kehre das Verfahren dann um, indem man eine Region nach der anderen wiederherstellt und sie entsprechend Kempes Regeln einfärbt. Einfach!
Wenn die Karte rechts mit vier Farben eingefärbt werden kann, dann gilt das auch für die Karte links.
Kempes Beweis schaute zu gut aus, um wahr zu sein – und er war es auch nicht. Im Jahr 1890 entdeckte Percy Heawood, dass Kempes Regeln nicht immer funktionierten. Wenn man eine Region mit fünf Nachbarn auf einen Punkt zusammenzog und dann versuchte, sie wieder in den Originalzustand zu versetzen, konnte man in große Schwierigkeiten geraten. Im Jahr 1891 glaubte Peter Guthrie Tait, er habe diesen Fehler korrigiert, aber Julius Peterson fand auch in Taits Methode einen Fehler.
Heawood erkannte, dass sich Kempes Methode anpassen ließ und man mit ihrer Hilfe beweisen konnte, dass fünf Farben stets ausreichen, um eine beliebige Karte einzufärben. Aber niemand konnte eine Karte finden, die mehr als vier Farben brauchte. Die Lücke war quälend und wurde bald zu einer Blamage. Wenn man weiß, dass die Antwort auf ein mathematisches Problem entweder 4 oder 5 lautet, sollte man wirklich in der Lage sein zu entscheiden, welches nun die richtige Antwort ist!
Aber niemand konnte es.
Dann kam es wie üblich zu Teilfortschritten. Im Jahr 1922 bewies Philip Franklin, dass sich alle Karten mit 26 oder weniger Regionen mittels vier Farben kolorieren lassen. Das war, für sich genommen, nicht besonders erhellend, doch Franklins Methode ebnete der schließlich erfolgreichen Lösung den Weg, indem sie die Vorstellung von einer reduzierbaren Konfiguration einführte. Unter einer Konfiguration versteht man jede zusammenhängende Menge von Regionen innerhalb einer Karte plus Information darüber, wie viele Regionen an die Regionen der Konfiguration angrenzen. Ist eine bestimmte Konfiguration gegeben, kann man sie von der Karte entfernen, um eine einfachere Konfiguration zu erhalten – eine Konfiguration mit weniger Regionen. Die Konfiguration ist reduzierbar, wenn es eine Möglichkeit gibt, die ursprüngliche Karte vierfarbig zu kolorieren, vorausgesetzt, man kann die einfachere Karte entsprechend einfärben. Tatsächlich muss es eine Möglichkeit geben, die Farben in diese Konfiguration «einzufüllen», sobald alles andere vierfarbig koloriert ist.
Eine einzelne Region mit nur drei Nachbarn bildet zum Beispiel eine reduzierbare Konfiguration. Entfernen Sie sie und kolorieren Sie das, was übrig bleibt, vierfarbig – falls Sie’s können. Dann fügen Sie diese Region wieder hinzu und geben ihr eine andere Farbe als ihren drei Nachbarregionen (wie in der Abb. auf Seite 25). Kempes fehlgeschlagener Beweis zeigt in der Tat, dass eine Region mit vier Nachbarn eine reduzierbare Konfiguration bildet. Er lag aber falsch mit der Behauptung, dasselbe gelte für eine Region mit fünf Nachbarn.
Franklin entdeckte, dass dort, wo einzelne Regionen nicht funktionieren, manchmal Konfigurationen mit mehreren Regionen funktionieren. Eine große Zahl von multiregionalen Konfigurationen hat sich als reduzierbar herausgestellt.
Kempes Beweis würde funktionieren, wenn jede Region mit fünf Nachbarn reduzierbar wäre, und es ist lehrreich, sich zu überlegen, warum sein Beweis funktionieren würde. Im Grunde glaubte Kempe, zwei Dinge bewiesen zu haben: Erstens enthält jede Karte eine Region mit drei, vier oder fünf angrenzenden Regionen. Zweitens ist jede der assoziierten Konfigurationen reduzierbar. Zusammengenommen implizieren diese beiden Fakten, dass jede Karte eine reduzierbare Konfiguration enthält. Vor allem gilt: Wenn man eine reduzierbare Konfiguration entfernt, enthält die resultierende einfachere Karte ebenfalls eine reduzierbare Konfiguration. Entfernt man diese, geschieht dasselbe. Auf diese Weise kann man sich der reduzierbaren Konfigurationen Schritt für Schritt entledigen, bis das Ergebnis so einfach ist, dass es maximal vier Regionen enthält. Diese kann man einfärben, wie man es wünscht – und braucht dazu höchstens vier Farben. Dann stellt man die zuvor entfernte Konfiguration wieder her; da sie reduzierbar war, lässt sich auch die resultierende Karte mit vier Farben kolorieren… und so weiter. Auf diese Weise kann man sich zurückarbeiten und schließlich die ursprüngliche Karte vierfarbig bunt ausmalen.
Diese Argumentation funktioniert, weil jede Karte eine unserer reduzierbaren Konfigurationen enthält: Sie bilden eine «unvermeidbare Menge».
Kempes Beweisversuch schlug fehl, weil eine seiner Konfigurationen, eine Region mit fünf Nachbarn, nicht reduzierbar ist. Die Schlussfolgerung, die Franklin aus seinen Arbeiten zog, ist jedoch: Keine Sorge! Wir sollten es mit einer größeren Liste versuchen, auf der zahlreiche kompliziertere Konfigurationen stehen. Die Region mit fünf Nachbarn lassen wir außen vor und ersetzen sie durch mehrere Konfigurationen mit zwei oder drei Nachbarn. Die Liste können wir so umfangreich machen, wie wir wollen. Wenn wir irgendeine unvermeidbare Menge von reduzierbaren Konfigurationen finden können, ganz gleich, wie groß und ungeordnet, haben wir’s geschafft.
Tatsächlich – und das ist wichtig für den endgültigen Beweis – kann man auf eine schwächere Auffassung von Unvermeidbarkeit zurückgreifen, die nur für «Minimal-Störenfriede» gilt: hypothetische Karten, die fünf Farben erfordern, aber die schöne Eigenschaft besitzen, dass jedwede kleinere Karte nur vier Farben braucht. Unter dieser Bedingung ist es leichter zu beweisen, dass eine gegebene Menge unvermeidbar ist. Paradoxerweise stellte sich, als der Satz einmal bewiesen war, heraus, dass es keine «Minimal-Störenfriede» gibt. Aber das macht nichts: Das ist die Beweisstrategie!
Im Jahr 1950 vermutete Heinrich Heesch, der eine clevere Methode entwickelt hatte, um zu beweisen, dass viele Konfigurationen reduzierbar sind, der Vierfarbensatz ließe sich beweisen, wenn man eine unvermeidbare Menge an reduzierbaren Konfigurationen findet. Die einzige Schwierigkeit bestand darin, eine solche Menge zu finden – denn das würde nicht leicht sein, nachdem einige Daumenregel-Berechnungen vermuten ließen, dass eine solche Menge rund 10000Konfigurationen umfassen müsste.
Bis 1970 war es Wolfgang Haken gelungen, Heeschs Methode zum Nachweis der Reduzierbarkeit von Konfigurationen weiter zu verbessern, und er begann zu hoffen, ein computergestützter Beweis rücke in Reichweite. Es sollte möglich sein, ein Computerprogramm zu schreiben, mit dem sich prüfen ließ, ob jede Konfiguration in irgendeiner vorgeschlagenen Menge von Konfigurationen reduzierbar ist. Man konnte per Hand mehrere tausend Konfigurationen niederschreiben, wenn es wirklich sein musste. Zu beweisen, dass sie unvermeidbar waren, würde viel Zeit kosten, war jedoch nicht unbedingt undurchführbar. Allerdings hätte es mit den damals verfügbaren Computern rund ein Jahrhundert gedauert, um eine unvermeidbare Menge von 10000Konfigurationen zu bearbeiten. Moderne Rechner würden diesen Job heute in ein paar Stunden erledigen, doch Haken musst mit dem arbeiten, was er hatte, und das bedeutete, dass er die theoretischen Methoden verbessern und die Berechnungen auf einen handhabbaren Umfang herunterschrauben musste.
In Zusammenarbeit mit Kenneth Appel begann Haken ein «Zwiegespräch» mit seinem Computer. Er dachte sich neue Methoden aus, um das Problem anzugehen, und die Maschine begann zu rechnen; dabei waren die Aufgaben so ausgelegt, dass die Ergebnisse anzeigten, ob diese Methoden wahrscheinlich zum Erfolg führen würden. Bis 1975 war die Größe der unvermeidbaren Menge auf nur 2000Elemente geschrumpft, und die beiden Mathematiker hatten weitaus schnellere Tests für Reduzierbarkeit gefunden. Nun bestand ernsthaft Anlass zu der Hoffnung, dass eine Zusammenarbeit von Mensch und Maschine zum Erfolg führen könnte. Im Jahr 1976 traten Appel und Haken in die Schlussphase ein: Es ging darum, eine geeignete unvermeidbare Menge auszuarbeiten. Sie teilten dem Computer mit, was sie sich vorstellten, und dieser testete dann jede Konfiguration, um herauszufinden, ob sie reduzierbar war. Wenn eine Konfiguration bei diesem Test durchfiel, wurde sie zurückgezogen und durch eine oder mehrere Alternativen ersetzt, und der Computer führte den Test auf Reduzierbarkeit durch. Es war ein delikater Prozess, und es gab keine Garantie, dass er jemals enden würde – aber wenn er je zu einem Halt käme, würden die beiden Wissenschaftler eine unvermeidliche Menge von reduzierbaren Konfigurationen gefunden haben.
Im Juni 1976 näherte sich der Prozess dem Ende. Der Computer gab an, dass die aktuell erreichte Menge an Konfigurationen – die damals 1936Konfigurationen umfasste, eine Zahl, die die beiden später auf 1476 reduzierten – unvermeidlich und jede dieser 1936Konfigurationen nicht reduzierbar war. Der Beweis war komplett.
Die Berechnungen dauerten damals rund 1000Stunden, und der Test für Reduzierbarkeit umfasste 487 unterschiedliche Regeln. Mit unseren heutigen, schnelleren Rechnern können wir die ganze Sache in rund einer Stunde wiederholen. Andere Mathematiker haben inzwischen kleinere unvermeidbare Mengen gefunden und die Tests für Reduzierbarkeit verbessert. Aber niemandem ist es bisher gelungen, die unvermeidbare Menge so weit herunterzuschrauben, dass ein Mensch ohne Computerunterstützung nachprüfen kann, ob die Sache tatsächlich funktioniert. Und selbst wenn jemand dies tun könnte, so lieferte diese Art von Beweis keine besonders zufriedenstellende Erklärung, warum der Vierfarbensatz richtig ist. Dieser Beweis besagt lediglich: «Rechne fleißig, und das Endergebnis funktioniert.» Die Rechnerei ist raffiniert, und es sind einige sehr hübsche Ideen eingeflossen, aber die meisten Mathematiker hätten gern etwas mehr Einblick in das, was da eigentlich vor sich geht. Ein möglicher Ansatz besteht darin, sich Karten in gewisser Weise als «gekrümmt» vorzustellen und die Reduzierbarkeit als eine Art «Glättungsprozess» anzusehen. Aber bisher hat noch niemand einen geeigneten Weg gefunden, dies zu tun.
Dennoch wissen wir jetzt, dass der Vierfarbensatz richtig ist, und können damit Frank Guthries so unschuldig wirkende Frage positiv beantworten. Und das ist eine erstaunliche Leistung, auch wenn wir dazu ein wenig Hilfe von einem Computer gebraucht haben.
Quere den Fluss 1 – Ernte
Alkuin aus Northumbria (ein ehemaliges Kleinkönigreich auf den Britischen Inseln), auch Flaccus Albinus Alcuinus oder Ealhwine genannt, war ein Gelehrter, Geistlicher und Dichter. Er lebte im 8.Jahrhundert und stieg zu einem der wichtigsten Berater Karls des Großen auf. Das folgende Rätsel fügte er einem Brief an den Herrscher bei, als Beispiel für «Feinheiten der Arithmetick, zu Eurer Erbauung». Es hat auch heute noch Bedeutung in der Mathematik, wie ich später noch ausführen werde. Hier ist die Aufgabe:
Ein Bauer bringt einen Wolf, eine Ziege und eine Fuhre Kohlköpfe zum Markt. Dabei muss er einen Fluss überqueren, wo ihm nur ein kleines Boot zur Verfügung steht. Er kann deshalb immer nur jeweils ein Frachtstück (Wolf, Ziege oder Kohlfuhre) mit dem Boot transportieren. Aus naheliegenden Gründen kann er allerdings weder Wolf und Ziege noch Ziege und Kohl allein lassen. Zum Glück mag der Wolf keinen Kohl. Wie bringt der Bauer alle drei ans andere Ufer?
Befrei die Kirsche!
Dieses Rätsel ist ein betagtes Schmuckstück mit einer ebenso einfachen wie erhellenden Lösung.
Die Cocktailkirsche befindet sich einem Glas, das aus vier Streichhölzern gebildet wird. Die Aufgabe besteht darin, nicht mehr als zwei Streichhölzer so zu verlegen, dass sich die Kirsche anschließend außerhalb des Glases befindet. Das Glas darf gedreht werden, zur Seite oder kopfüber, ganz wie Sie wollen; Hauptsache, die Form bleibt erhalten.
Befreien Sie die Kirsche, indem Sie zwei Streichhölzer verlegen.
Verwandlung in ein Fünfeck
Wir starten mit einem langen, schmalen, rechteckigen Papierstreifen. Wenn die Aufgabe gelöst ist, haben wir ein regelmäßiges Fünfeck (also ein Gebilde mit fünf Seiten, die alle gleich lang sind und gleiche Winkel einschließen).
Unorthodoxe Geometrie
Was ist eigentlich π?
Die Zahl π – sie ist näherungsweise gegeben durch 3,14159 – ist die Länge des Umfangs eines Kreises, dessen Durchmesser 1 ist (in irgendeiner Maßeinheit). Allgemein gesprochen hat ein Kreis mit Durchmesser d den Umfang πd. Eine einfache Näherung für π ist 31/7 bzw. 22/7, aber das gilt nicht exakt. 31/7 ist etwa 3,14285, was schon in der dritten Nachkommastelle falsch ist. Eine bessere Näherung ist 355/113; das ist 3,1415929 bis zur siebten Stelle hinter dem Komma, wohingegen π auf sieben Stellen durch 3,1415926 gegeben ist.
Woher weiß man eigentlich, dass π keine rationale Zahl ist? Wie sehr man auch die Näherung x/y verbessert, indem man immer größere Zähler und Nenner wählt, nie bekommt man π ganz genau, immer nur zunehmend bessere Näherungen. Zahlen, die man nicht als Brüche schreiben kann, heißen irrational. Der einfachste Beweis dafür, dass π irrational ist, macht von der Infinitesimalrechnung Gebrauch; er wurde von Johann Lambert im Jahre 1768 erstmals präsentiert. Auch wenn man keine exakte Zahl für π angeben kann, so kennt man doch diverse Formeln, die π genau beschreiben, und Lamberts Beweis nutzt eine dieser Darstellungen.
Eine noch stärkere Aussage ist folgende: Die Zahl π ist transzendent, das heißt, sie erfüllt keine algebraische Gleichung, die nur rationale Zahlen enthält. Das hat erstmals Ferdinand Lindemann 1882 gezeigt, und zwar wiederum mit Hilfe der Infinitesimalrechnung. Dass π transzendent ist, macht die klassische «Quadratur des Kreises» unmöglich. Damit meint man die euklidische Konstruktion eines Quadrats, dessen Flächeninhalt mit dem eines vorgegebenen Kreises exakt übereinstimmt. (Das, so stellt sich heraus, ist gleichbedeutend damit, eine Strecke zu konstruieren, die genau dieselbe Länge wie der Kreisumfang hat.) Euklidisch nennt man eine solche Konstruktion, wenn sie sich allein mit Lineal (ohne Markierungen) und Zirkel durchführen lässt.
Gesetzgebung für π
Hartnäckig hält sich das Gerücht, der amerikanische Bundesstaaat Indiana (in manchen Versionen ist es Iowa, in anderen Idaho) habe den Wert von π per Gesetz auf 3 festgelegt – nun gut, manche sagen auch 3⅙…
Wie dem auch sei, die Geschichte stimmt so nicht. Allerdings ist beinahe etwas unangenehm Ähnliches geschehen. Der tatsächliche Wert, um den es geht, ist unklar; denn in der besagten Gesetzesvorlage erscheinen neun verschiedene Werte, und alle sind falsch. Das Gesetz wurde nicht endgültig verabschiedet, lediglich auf unbestimmte Zeit aufgeschoben; und das ist es wohl immer noch. Das Gesetz, um das es hier geht, steht in der Vorlage 246 für das Repräsentantenhaus des Staates Indiana aus dem Jahr 1897; es ermächtigte den Staat Indiana zur alleinigen und kostenlosen Nutzung einer «neuen mathematischen Wahrheit», ohne dafür zahlen zu müssen. Die Gesetzesvorlage wurde verabschiedet, allerdings nur vom Repräsentantenhaus und nicht vom Senat – es gab keinen Grund, es nicht zu tun, denn sie verpflichtete den Staat zu nichts. Tatsächlich gab es keine Gegenstimmen.
Die «neue Wahrheit» war jedoch ein ziemlich komplizierter und obendrein verkehrter Versuch einer «Quadratur des Kreises», also einer rein geometrischen Konstruktion von π. Und eine umstrittene Angelegenheit, stand doch sogar in einer Zeitung in Indianapolis zu lesen, dass eine Quadratur des Kreises unmöglich sei. Als dann die Vorlage zur Abstimmung in den Senat ging, hatten die meisten Politiker – obwohl sie von π keine Ahnung hatten – mitbekommen, dass es da gewisse Schwierigkeiten gab. (Wahrscheinlich haben die Bemühungen von Professor C.A.Waldo, Mitglied der Akademie der Wissenschaften von Indiana und seines Zeichens Mathematiker, der zufällig anwesend war, als die Vorlage diskutiert wurde, zur Aufklärung beigetragen.) Man debattierte indessen nicht über die Richtigkeit der Mathematik, sondern entschied im Senat, dass sich die Angelegenheit nicht zur Gesetzgebung eignete. Also verschob man das Gesetz… und während ich dies schreibe, 111Jahre später, ist das immer noch der Stand der Dinge.
Die Mathematik, um die es dabei ging, war mit ziemlicher Sicherheit eine Ausgeburt von Edwin J.Goodwin, einem Arzt, der in der Mathematik herumstümperte. Er wohnte in dem Dorf Solitude in Posey County, Indiana, und erhob verschiedentlich den Anspruch, ihm sei die Dreiteilung des Winkels und die Würfelverdopplung (auch Delisches Problem genannt) geglückt – zwei weitere berühmte Kunststücke, die ebenso unmöglich sind wie die Quadratur des Kreises. Wie auch immer, die Legislative von Indiana hat nicht bewusst versucht, einen falschen Wert für π gesetzlich festzulegen; andererseits kann man sich dem Schluss nicht entziehen, dass die Verabschiedung des Gesetzes Goodwins Ansatz «in Kraft gesetzt», also gültig gemacht hätte. Jedenfalls vor dem Gesetz, wenn auch nicht in der Mathematik. Eine ziemlich delikate juristische Angelegenheit.
Leere Gläser
Ich habe fünf Gläser in einer Reihe. Die ersten drei sind gefüllt, die anderen beiden leer. Wie kann ich, indem ich nur ein Glas bewege, erreichen, dass sie abwechselnd leer und voll sind?
Obere Reihe: Vorher…
Untere Reihe:… und nachher. Nur ein Glas darf bewegt werden.
Wie viele…
Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben des Alphabets (ohne Umlaute) anzuordnen?
403291461126605635584000000
Möglichkeiten gibt es, 52Spielkarten anzuordnen?
80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000
verschiedene Einstellungen hat der Zauberwürfel?
43252003274489856000
unterschiedliche Sudokus gibt es?
6670903752021072936960
(Von Bertram Felgenhauer und Frazer Jarvis 2005 berechnet.)
hundertstellige Zahlen kann man mit den Ziffern 0 und 1 bilden?
1267650600228229401496703205376
Drei Kurze
(1) Was ist wahrscheinlicher, nachdem beim Bridge alle Karten ausgeteilt sind: dass Sie und Ihr Partner alle Pik-Karten haben oder dass Sie und Ihr Partner überhaupt kein Pik haben?
(2) Wenn Sie drei Bananen von einer Staude mit dreizehn Bananen nehmen, wie viele Bananen haben Sie dann?
(3) Eine Sekretärin druckt sechs Computerbriefe aus und adressiert sechs Umschläge an die jeweiligen Empfänger. Der Chef der Sekretärin mischt sich hastig ein und stopft völlig zufällig die Briefe in die Umschläge, jeweils einen Brief pro Umschlag. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau fünf Briefe im richtigen Umschlag sind?
Das Springerproblem
Der Springer, eine Figur im Schachspiel, kann auf ungewöhnliche Weise gezogen werden: zwei Felder horizontal oder vertikal und noch ein weiteres Feld im rechten Winkel zur ersten Bewegungsrichtung. Schachfiguren auf Zwischenfeldern überspringt er. Diese Geometrie hat zu zahlreichen mathematischen Rätseln angeregt. Das einfachste ist das Springerproblem. Der Springer soll so über das Brett ziehen, dass er jedes Spielfeld genau einmal besucht. Im Bild unten links sieht man die Lösung für ein 5×5-Schachbrett; das Diagramm zeigt auch, welche Züge möglich sind. Bei dieser Lösung ist der Weg des Springers nicht «geschlossen», das heißt, Start- und Zielfeld liegen nicht genau einen Springerzug auseinander.
(Links) Ein 5x5-Springerproblem und (rechts) eine unvollständige Springerreise auf einem 4x4-Brett
Können Sie einen geschlossenen Weg auf einem 5×5-Schachbrett angeben?
Ich habe versucht, das 4×4-Problem zu lösen, aber ich bin nur 13Felder weit gekommen. Können Sie einen Weg finden, auf dem alle 16Felder liegen? Falls nein: Wie viele Felder kann der Springer maximal besuchen?
Es gibt ausufernd viel Literatur zu diesem Thema. Hier sind ein paar gute Webseiten:
http://www.ktn.freeuk.com/
http://mathworld.wolfram.com/KnightsTour.html
Gordische Knoten
Für Mathematiker sind Knoten wie gewöhnliche Knoten in einer Schnur, nur dass die Enden der Schnur verschmolzen sind, sodass der Knoten nicht «rauskann». (sich nicht lösen lässt). Genauer gesagt ist ein Knoten eine Schlinge im dreidimensionalen Raum. Die einfachste Schlinge ist ein Kreis, auch Unknoten genannt. Die nächsteinfache Schlinge ist der Kleeblattknoten.
Unknoten und Kleeblattknoten
Für Mathematiker gelten zwei Knoten als «gleich» – fachsprachlich «topologisch äquivalent»–, wenn man sie stetig ineinander überführen kann. «Stetig» bedeutet dabei so viel wie: Die Schnur darf nicht zerschnitten werden oder sich selbst durchdringen. Die Knotentheorie wird dann richtig interessant, wenn man entdeckt, dass ein richtig komplizierter Knoten, zum Beispiel Hakens Gordischer Knoten, in Wirklichkeit nur ein Unknoten ist.
Hakens Gordischer Knoten
Der Kleeblattknoten ist echt – er lässt sich nicht entknoten. Der erste Beweis für diese augenscheinlich offensichtliche Tatsache wurde 1920 gefunden.
Man unterscheidet Knoten nach ihrer Komplexität, die man an der Minimalzahl der Überkreuzungen misst. Für den Kleeblattknoten ist diese Zahl 3.
Die Anzahl der Knoten, die sich topologisch unterscheiden, aber dieselbe Überkreuzungszahl haben, wächst sehr schnell mit dieser Zahl. Hier ist eine Liste für Knoten mit bis zu 16Überkreuzungen:
(Für ganz Pedantische: Diese Zahlen gelten für Primknoten, die man nicht in zwei getrennte Knoten zerlegen kann; außerdem sind gespiegelte Knoten nicht gezählt.)
Alle Knoten mit weniger als 8Überkreuzungen
