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- Herausgeber: ROWOHLT E-Book
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch nimmt der britische Mathe-Guru seine Leser mit auf eine Reise durch das Reich der Zahlen – reelle, rationale, irrationale, komplexe; ganz, ganz kleine und unendlich große, Fraktale, Logarithmen, Hochzahlen, Primzahlen, Kusszahlen und viele mehr. Jedes Kapitel konzentriert sich auf eine Zahl oder Zahlengruppe und erläutert, warum sie so interessant ist. «Jede Zahl hat ihre eigene Geschichte zu erzählen», heißt es im Vorwort. Stewart erzählt sie mit Begeisterung und versteht es geschickt, diese Geschichten miteinander zu verweben, ob es um die Zahl Pi geht oder zum Schluss auch um Geheimcodes, den Rubikwürfel und Sudoku. Darüber hinaus erfährt man viel über die Geschichte der Mathematik und die Rolle, die sie für unsere Entwicklung spielt. Schließlich waren es die Zahlen, so der Autor, «die es der Menschheit ermöglicht haben, sich aus dem Schlamm zu ziehen und nach den Sternen zu greifen».
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Seitenzahl: 409
Veröffentlichungsjahr: 2016
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Ian Stewart
Unglaubliche Zahlen
Über dieses Buch
In diesem Buch nimmt der britische Mathe-Guru seine Leser mit auf eine Reise durch das Reich der Zahlen – reelle, rationale, irrationale, komplexe; ganz, ganz kleine und unendlich große, Fraktale, Logarithmen, Hochzahlen, Primzahlen, Kusszahlen und viele mehr. Jedes Kapitel konzentriert sich auf eine Zahl oder Zahlengruppe und erläutert, warum sie so interessant ist. «Jede Zahl hat ihre eigene Geschichte zu erzählen», heißt es im Vorwort. Stewart erzählt sie mit Begeisterung und versteht es geschickt, diese Geschichten miteinander zu verweben, ob es um die Zahl Pi geht oder zum Schluss auch um Geheimcodes, den Rubikwürfel und Sudoku.
Darüber hinaus erfährt man viel über die Geschichte der Mathematik und die Rolle, die sie für unsere Entwicklung spielt. Schließlich waren es die Zahlen, so der Autor, «die es der Menschheit ermöglicht haben, sich aus dem Schlamm zu ziehen und nach den Sternen zu greifen».
Vita
Ian Stewart, geboren 1945, ist der beliebteste Mathematik-Professor Großbritanniens und hat längst auch in Deutschland eine treue Fangemeinde. Seit Jahrzehnten bemüht er sich erfolgreich, seine Wissenschaft zu popularisieren. Er studierte in Cambridge und promovierte an der Universität Warwick. Dort ist er heute Professor für Mathematik und Direktor des Mathematics Awareness Center. Seit 2001 ist Stewart zudem Mitglied der Royal Society. Bei Rowohlt lieferbar: «Professor Stewarts mathematische Detektivgeschichten» (2016); «Die letzten Rätsel der Mathematik» (2015); «Weltformeln» (2014); «Professor Stewarts mathematische Schätze» (2012/2013); «Professor Stewarts mathematisches Sammelsurium» (2011).
Impressum
Die englische Originalausgabe erschien 2015 unter dem Titel «Professor Stewart’s Incredible Numbers» bei W.W. Profile Books Ltd., London.
Veröffentlicht im Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, Juli 2016
Copyright © 2016 by Rowohlt Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg
«Professor Stewart’s Incredible Numbers» Copyright © 2015 by Joat Enterprises
Redaktion Heiner Höfener
Umschlaggestaltung ZERO Werbeagentur, München, nach der Originalausgabe von Profile Books, Gestaltung Steve Panton
ISBN 978-3-644-56431-2
Hinweis: Aus technischen Gründen können die Zahlen der kapitelführenden Formeln nicht im ToC und in der «[Inhaltsübersicht]» angezeigt werden. Aus diesem Grund wird das in dieser Hinsicht vollständige Inhaltsverzeichnis der Printausgabe («INHALT») dargestellt; dieses ist aber nicht interaktiv, im Gegensatz zu den aufgeführten und verlinkten Überschriften der «[Inhaltsübersicht]», über die man direkt zur entsprechenden Kapitelüberschrift springen kann.
Die Seitenverweise im Inhalt, im Text und im Abbildungsnachweis beziehen sich auf die Seiten der Printausgabe.
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Schrift Open Sans Copyright © by Steve Matteson, Ascender Corp
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www.rowohlt.de
Inhaltsübersicht
INHALT
Vorwort
Zahlen
Die Entstehung der Zahlen
Das ständig wachsende Zahlensystem
Was ist eigentlich eine Zahl?
KLEINE ZAHLEN
Die unteilbare Einheit
Die Basis des Zahlenkonzepts
Das kleine Einmaleins mit der Eins
Ist 1 eine Primzahl?
Ungerade und gerade
Parität (gerade/ungerade)
Kleinste und einzige gerade Primzahl
Zwei Sätze über Quadratzahlen
Das binäre System
Geschichte
Digitales Rechnen
Signum einer Permutation
Kreuzungszahlen und Parität
Das Fünfzehnerspiel
Quadratische Gleichungen
Kubische Gleichungen
Die kleinste ungerade Primzahl
Kubische Gleichungen
Die Dimensionen des Raumes
Warum es unmöglich ist, einen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen und einen Würfel zu verdoppeln
Parkettierungen der Ebene mit regelmäßigen Vielecken
Summen dreier Quadratzahlen
Quadratzahlen
Eine perfekte Quadratzahl
Das Vierfarbentheorem
Der Vier-Quadrate-Satz
Die Vier-Kubikzahlen-Vermutung
Gleichungen 4. Grades
Quaternionen
Die vierte Dimension
Die Hypotenuse des Pythagoras
Die Hypotenuse des kleinsten pythagoreischen Tripels
Der Satz des Pythagoras: Beweise
Regelmäßige Körper
Gleichungen 5. Grades
Kristallographische Restriktion
Quasikristalle
Kusszahlen
Die kleinste vollkommene Zahl
Kusszahl
Waben
Zahl vierdimensionaler Polytope
Die vierte Primzahl
Faktoren finden
Primzahlen und Codes
Das Brocard-Problem
Eine siebenfarbige Karte auf einem Torus
Fibonacci-Potenzen
Die erste Kubikzahl (nach 1)
Fermats letzter Satz
Die Catalan’sche Vermutung
Die sechste Fibonacci-Zahl und die einzige nichttriviale Fibonacci-Kubikzahl
Magische Quadrate
Das kleinste magische Quadrat
Archimedische Parkettierung
Quadratische Rechtecke
Das Dezimalsystem
In Zehnerschritten zählen
Geschichte der Zahlenschreibweise
Das Dezimalkomma
Die vierte Dreieckszahl
Die dritte Viereckszahl
Orthogonale lateinische Quadrate 10. Ordnung
NULL UND NEGATIVE ZAHLEN
Ist nichts eine Zahl?
Grundlage der Zahlennotation
Eine kurze Geschichte der Null
Ist null eine Zahl?
Ungewöhnliche Eigenschaften
Zahlen aus dem Nichts
Weniger als nichts
Negative Zahlen
Geschichte der negativen Zahlen
KOMPLEXE ZAHLEN
Imaginäre Zahlen
Komplexe Zahlen
Die komplexe Ebene (Gauß’sche Zahlenebene)
Einheitswurzeln
RATIONALE ZAHLEN
Das Unteilbare teilen
Einen Winkel teilen
Die Riemann-Hypothese
Näherungen für π
Die Rationalisierung von π
Die Türme von Hanoi
Tanz der Scheiben
Das Sierpiński-Dreieck
IRRATIONALE ZAHLEN
Die erste bekannte irrationale Zahl
Dezimalzahlen, Brüche und irrationale Zahlen
Den Kreis vermessen
Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises
π und Kreise
Wo π sonst noch auftaucht
Wie man π berechnet
Die Quadratur des Kreises
Der Goldene Schnitt
Die griechische Geometrie
Zusammenhang mit Fünfecken
Fibonacci-Zahlen
Auftreten bei Pflanzen
Natürliche Logarithmen
Zinsen
Natürliche Logarithmen
Exponentielles Wachstum und exponentielles Abklingen
Exponentielles Abklingen
Verbindung zwischen e und π (Euler’sche Formel)
Fraktale
Fraktale
Die fraktale Dimension
Die Mandelbrot-Menge
Kugelpackungen
Kreispackungen
Die Kepler-Vermutung
Die Tonleiter
Schallwellen
Musikalische Intervalle
Tonleitern
Schwingende Saiten und Trommeln
Die Apéry-Konstante
Zeta von drei
Die Euler-Konstante
Harmonische Zahlen
SPEZIELLE KLEINE ZAHLEN
Die Stringtheorie
Die Vereinigung von Relativität und Quantentheorie
Extra‑Dimensionen
Pentominos
Polyominos
Kusszahl für Kugeln
Vielecke und Tapetenmuster
Regelmäßige Vielecke
Tapetenmuster
Das Geburtstagsparadox
Wahrscheinlicher als nicht
Geheime Botschaften
Cäsars Geheimschrift
Enigma
Codes mit asymmetrischem Schlüssel
Die Wurst-Vermutung
Schrumpffolienverpackung
Endliche Geometrie
Nichteuklidische Geometrie
Projektive Geometrie
Die Fano-Ebene
Einfache Gruppen und das Monster
GROSSE ZAHLEN
Fakultäten
Dinge umordnen
Die Gamma-Funktion
Der Rubik-Würfel
Geometrie des Rubik-Würfels
Sudoku
Von lateinischen Quadraten zum Sudoku
Die größte bekannte Primzahl
Mersenne-Zahlen
UNENDLICHE ZAHLEN
Aleph-null: Die kleinste Unendlichkeit
Unendlichkeit
Was ist eine unendliche Zahl?
Aleph-null: Die kleinste unendliche Zahl
Mächtiges Kontinuum
Nicht abzählbare Unendlichkeit
Keine größte Unendlichkeit
DAS LEBEN, DAS UNIVERSUM UND …
Kein bisschen langweilig
Rechteckzahl
Die sechste Catalan’sche Zahl
Magische Würfel
Weitere besondere Eigenschaften
Weiterführende Literatur
Online-Quellen
Abbildungsnachweis
Vorwort
Zahlen haben mich schon immer fasziniert. Schon lange vor Schulbeginn brachte mir meine Mutter Lesen und Rechnen bei. Als ich schließlich nach meinem ersten Schultag nach Hause kam, soll ich mich angeblich beklagt haben, dass wir «gar nicht gelernt» hätten! Ich hege den Verdacht, dass meine Eltern mich auf diesen schwierigen Tag vorbereitet hatten, indem sie mir erzählten, dass ich in der Schule eine Menge interessanter Dinge lernen würde, und ich hatte mir ihre Propaganda ein wenig zu sehr zu Herzen genommen. Aber bald erfuhr ich vieles über Planeten und Dinosaurier und den Bau von Gipstieren. Und mehr über Zahlen.
Zahlen üben noch immer einen Zauber auf mich aus, und noch immer lerne ich mehr über sie. Nun weise ich stets darauf hin, dass es in der Mathematik um vieles geht, nicht nur um Zahlen; beispielsweise geht es auch um Formen, Muster und Wahrscheinlichkeiten – aber Zahlen ziehen sich wie ein roter Faden durch das ganze Thema. Und jede Zahl ist einzigartig, ein Individuum. Einige spezielle Zahlen ragen aus der Menge der übrigen hervor und spielen offenbar in verschiedenen Gebieten der Mathematik eine zentrale Rolle. Die bekannteste dieser Superzahlen ist wohl π (Pi), auf die wir zunächst im Zusammenhang mit Kreisen stoßen, doch sie zeigt eine bemerkenswerte Tendenz, plötzlich bei Problemen aufzutauchen, die offenbar überhaupt nichts mit Kreisen zu tun haben.
Die meisten Zahlen können keine derartige Prominenz für sich beanspruchen, doch selbst bei der bescheidensten Zahl lässt sich in der Regel irgendein ungewöhnliches Merkmal finden. In Per Anhalter durch die Galaxis ist die Zahl 42 die Antwort auf die große Frage «nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest». Douglas Adams erklärte, er habe diese Zahl gewählt, weil eine kurze Umfrage unter seinen Freunden erbracht habe, dass sie total langweilig ist. Tatsächlich stimmt das nicht, wie wir im letzten Kapitel noch sehen werden.
Die Gliederung des Buches richtet sich nach den Zahlen selbst, wenn auch nicht immer in numerischer Reihenfolge. Ebenso wie die Kapitel [1], [2], [3] und so weiter gibt es ein Kapitel [0], ein Kapitel [42], ein Kapitel [–1] und ein Kapitel [], ein Kapitel [π], ein Kapitel [43252003274489856000] und ein Kapitel []. Ganz klar schaffte eine ganze Menge potenzieller Kapitel nicht den Sprung vom Zahlenstrahl ins Buch. Jedes Kapitel beginnt mit einer kurzen Zusammenfassung der Hauptthemen, die darin behandelt werden. Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Ihnen die Zusammenfassung gelegentlich kryptisch erscheint oder wenn darin pauschale Behauptungen ohne jeden Beweis aufgestellt werden: All das wird sich klären, wenn Sie weiterlesen.
Der Aufbau ist einfach: Jedes Kapitel konzentriert sich auf eine interessante Zahl und erklärt, warum sie interessant ist. So ist 2 beispielsweise interessant, weil sich die Unterscheidung zwischen gerade und ungerade durch die ganze Mathematik und Naturwissenschaft zieht, 43252003274489856000 ist interessant, weil es genau so viele Möglichkeiten gibt, Rubiks Würfel neu anzuordnen.
Da 42 ein eigenes Kapitel hat, muss sie ebenfalls interessant sein. Nun, zumindest ein bisschen.
An dieser Stelle muss ich Arlo Guthries Song Alice’s RestaurantMassacree erwähnen, eine skurrile musikalische Geschichte, die ausführlich, mit vielen Wiederholungen und in voller Länge von illegaler Müllentsorgung am Straßenrand erzählt. Nach zehn Minuten unterbricht Guthrie sein Lied plötzlich und erklärt: «Aber darüber wollte ich eigentlich gar nicht mit euch sprechen.» Schließlich stellt sich heraus, dass er eben doch genau darüber sprechen wollte, der Müll jedoch Teil einer größeren Geschichte ist. Es ist Zeit für meinen Arlo-Guthrie-Moment: In Wirklichkeit geht es in diesem Buch gar nicht um Zahlen.
Die Zahlen dienen als Einstieg, ein Tor, durch das wir in die erstaunliche Welt der Mathematik eintauchen können, die mit ihnen verknüpft ist. Jede Zahl ist etwas Besonderes. Wenn man sie als Individuen schätzen lernt, sind sie wie alte Freunde. Jede hat ihre eigene Geschichte zu erzählen. Oft führt diese Geschichte zu einer Menge anderer Zahlen, doch was wirklich zählt, ist die Mathematik, die sie miteinander verknüpft. Die Zahlen sind die Schauspieler in einem Schauspiel, und das eigentlich Wichtige dabei ist das Schauspiel selbst. Aber es gibt kein Drama ohne Schauspieler.
Um dem Buch eine gewisse Struktur zu geben, habe ich es je nach Art der behandelten Zahlen in Abschnitte unterteilt: kleine ganze Zahlen, Brüche, reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Unendlichkeit … Von einigen unvermeidlichen Ausnahmen abgesehen, folgt die Entwicklung des Stoffes einer logischen Reihenfolge, sodass frühere Kapitel die Grundlage für spätere bilden, selbst wenn es um ein völlig anderes Thema geht. Dieser Aufbau beeinflusst die Reihenfolge, in der die Zahlen abgehandelt werden, und erfordert ein paar Kompromisse. Das gilt in besonderem Maße für die komplexen Zahlen. Sie kommen sehr früh ins Spiel, weil ich sie brauche, um einige Eigenschaften besser vertrauter Zahlen zu diskutieren. Desgleichen taucht gelegentlich irgendwo Mathematik für Fortgeschrittene auf, weil es die einzig vernünftige Stelle ist, um ein solches Thema zu erwähnen. Wenn Sie auf eine dieser Stellen stoßen und sie schwierig finden, überspringen Sie sie und lesen Sie einfach weiter; Sie können später darauf zurückkommen.
Zahlen sind wirklich unglaublich – nicht in dem Sinne, dass man nichts von dem glauben könnte, was man über sie erfährt, sondern im positiven Sinne: Sie haben definitiv einen Wow-Faktor. Und den kann man erleben, ohne zu rechnen. Man kann verstehen, wie sich Zahlen historisch entwickelt haben, die Schönheit ihrer Muster würdigen, herausfinden, wie sie benutzt werden und über Überraschungen staunen: «Ich hätte nie gedacht, dass 56 so interessant ist!» Aber das ist sie. Wirklich!
Und das gilt auch für all die anderen. Einschließlich 42.
KLEINE ZAHLEN
Die uns am besten vertrauten Zahlen sind die ganzen Zahlen von 1 bis 10.
Jede dieser Zahlen ist ein Individuum mit ungewöhnlichen Merkmalen, die sie als etwas Besonderes auszeichnen.
Wenn man lernt, diese besonderen Merkmale zu schätzen, werden Zahlen bald um ihrer selbst willen zu Vertrauten, zu Freunden und zu interessanten Partnern.
Schon bald werden Sie ein Mathematiker sein.
