Technische Mechanik E-Book

Stefan Hartmann

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Fachliteratur
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2015

Seitenzahl: 656

Beschreibung

Die Technische Mechanik (TM) ist ein unerlässliches Grundlagenfach und bietet das Rüstzeug für die Planung und Entwicklung komplexer Strukturen wie zum Beispiel Gebäude, Brücken, Fahrzeuge oder Triebwerke. Die TM liefert das theoretische Hintergrundwissen und die Verfahren zur Untersuchung von Kräften und Bewegungen und somit zur Berechnung der Konstruktion, Festigkeit, Lebensdauer und Zuverlässigkeit von Bauteilen. Sie liefert damit die Antwort auf die Frage: Was ist technisch möglich? Teilgebiete, die den Inhalt der klassischen Technischen Mechanik darstellen sind Statik, Festigkeitslehre, Kinematik und Dynamik. Stefan Hartmanns "Technische Mechanik" ist konzipiert als vorlesungsbegleitendes Buch für Ingenieurstudiengänge wie zum Beispiel Bauwesen, Maschinenbau und Verfahrenstechnik an deutschsprachigen Universitäten. Der Autor vermittelt die Grundlagen und prüfungsrelevanten Inhalte dieses zentralen, aber oft gefürchteten Faches auf hohem didaktischen Niveau. Er beschreibt dabei klar strukturiert und schlüssig die großen Themengebiete der klassischen Technischen Mechanik - Statik, Elastostatik, und Dynamik - in einem Band. Es hilft dabei, die in der Vorlesung oder im Seminar behandelten Themen im Selbststudium nachzuarbeiten, kann aber auch zum schnellen Nachschlagen genutzt werden. Mathematische Zusammenhänge werden präzise hergeleitet und systematisch zum Lösen von komplexen Aufgabenstellungen herangezogen. Die dafür notwendige mathematische Sprache (Vektorrechnung, lineare Algebra) wird dem Leser zusätzlich vermittelt. Zahlreiche Abbildungen und kurze, realitätsnahe Übungsaufgaben erleichtern das Verständnis des Lehrstoffs. Eine treffende Zusammenfassung am Ende eines Kapitels gibt zudem Überblick und fokussiert den Blick auf die wichtigsten Konzepte. Der Ingenieurstudent erhält damit das nötige Rüstzeug zur Bewältigung des komplexen Stoffes.

Leseprobe

Contents

Abdeckung

Inhalt

Series Seite

Titel Seite

Author

Copyright

Vorwort

Einführung

Teil I Statik starrer Körper

1: Einführung in die Vektorrechnung

1.1 Grundgedanken der Vektorrechnung

1.2 Das Skalarprodukt

1.3 Das Vektorprodukt

1.4 Das Spatprodukt

1.5 Das doppelte Vektorprodukt

1.6 Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie

2: Kraftsysteme

2.1 Kraft und Moment

2.2 Definition von Kraftsystemen

2.3 Kraftdichten

3: Schwerpunktberechnungen

3.1 Materieller Körper und Massenmittelpunkt

3.2 Linien-, Flächen- und Volumenschwerpunkte

3.3 Schwerpunkt und Gravitation

3.4 Linien- und Flächenlasten

4: Strukturelemente

4.1 Schnittprinzip und Lagerreaktionen

4.2 Untersuchung der Lösbarkeit von Starrkörperberechnungen

4.3 Statisch bestimmte Fachwerkberechnung

4.4 Balkenberechnung

4.5 Seilberechnung

4.6 Momentenfreie Bögen

5: Reibung

5.1 Haftreibung

5.2 Seilreibung

Teil II Statik elastischer Körper

6: Eindimensionaler Spannungs- und Verzerrungszustand

6.1 Experimentelle Beobachtungen

6.2 Der eindimensionale, linear elastische Festkörper

6.3 Fachwerkberechnung

7: Mehrdimensionale Spannungs- und Verzerrungszustände

7.1 Grundgleichungen der Elastostatik

7.2 Spannungsmaße

7.3 Erweiterte Betrachtungen der Elastostatik

7.4 Zweidimensionale Elastostatik

8: Technische Balkentheorie

8.1 Spannungs-Schnittgrößenzusammenhang

8.2 Einfache Biegung des geraden Balkens

8.3 Querschnittswerte

8.4 Zweiachsige Biegung

8.5 Torsionstheorie

8.6 Biegung mit Querkraft

8.7 Superposition von Lösungen

8.8 Knicken von Stäben

9: Energetische Betrachtungen

9.1 Grundbegriffe der Energiemethoden

9.2 Sätze von Maxwell, Betti und Castigliano

9.3 Prinzip der virtuellen Verschiebungen

Teil III Dynamik starrer Körper

10: Kinematik von Punktmassen und starren Körpern

10.1 Dreidimensionale Punktbewegung

10.2 Dreidimensionale Starrkörperbewegung

10.3 Ebene Starrkörperbewegung

10.4 Bewegte Bezugssysteme

10.5 Bewegte Bezugssysteme in der Starrkörpermechanik

10.6 Kreiselkinematik

11: Bilanzgleichungen der Mechanik

11.1 Masse-, Impuls- und Drehimpuls

11.2 Massenbilanz

11.3 Impulssatz für Punktmassen

11.4 Spezielle Kräfte

11.5 Massenmittelpunkt und Massenträgheitsmomente

11.6 Impuls- und Drehimpulsbilanz bei Starrkörpern

11.7 Der Fall der Statik

11.8 Ebene Starrkörperbewegung

11.9 Impuls- und Drallsatz im bewegten Bezugssystem

12: Bilanz der mechanischen Leistung/Energiesatz

12.1 Energiebetrachtungen bei Punktmassen (geradlinige Bewegung)

12.2 Energiebetrachtung bei Punktmassen

12.3 Energiebetrachtungen bei Starrkörperbewegungen

13: Der Stoß

13.1 Grundbetrachtungen des Stoßes

13.2 Gerader, zentraler Stoß

13.3 Schiefer, zentraler Stoß

13.4 Exzentrischer Stoß

Anhang A Dimension und Einheit

Anhang B Analysis

B.1 Funktionen

B.2 Funktionen und deren Ableitungen

B.3 Flächen- und Volumenintegrale

Anhang C Lineare Algebra

C.1 Matrizenrechnung

C.2 Homogene Gleichungssysteme

C.3 Lösung von zwei Gleichungen für zwei Unbekannte

C.4 Berechnung der Eigenvektoren

C.5 Einführung in die Tensorrechnung

Literaturverzeichnis

Stichwortverzeichnis

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Technische Mechanik

Stefan Hartmann

Autor

Stefan Hartmann

TU Clausthal

Festkörpermechanik

Adolph-Roemer-Str. 2a

38678 Clausthal-Zellerfeld

Germany

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Satz le-tex publishing services GmbH, Leipzig, Deutschland

Druck und Bindung Markono Print Media Pte Ltd, Singapore

Print ISBN 978-3-527-33699-9

ePDF ISBN 978-3-527-68162-4

ePub ISBN 978-3-527-68167-9

Mobi ISBN 978-3-527-68166-2

Vorwort

Die Beschreibung der Einflüsse von Kräften auf technische Strukturen bzw. dem Fluss der Kräfte durch ein Bauteil sowie dessen Deformation tritt in allen Bereichen der Ingenieurwissenschaften auf. Dies betrifft nicht nur das mit seiner Vielzahl an Bauwerken geprägte Bauingenieurwesen oder den Maschinenbau und den darin zu konstruierenden Bauteilen, sondern insbesondere auch die Luft- und Raumfahrttechnik, die Verfahrenstechnik, die Mechatronik, die Werkstofftechnik, die Materialwissenschaften sowie viele weitere kleinere Studiengänge. Jeder Student sowie der später im Berufsleben tätige Ingenieur ist mit der Technischen Mechanik mehr oder weniger konfrontiert. Auch wenn es manchmal lediglich die Berechnung der mechanischen Spannung in einer Zugprobe ist. Auf die Mechanik, welche von Studenten schon immer als das Fach mit den höchsten Ansprüchen im Grundstudium (neben der Mathematik) angesehen wird, greifen die Konstruktionstechnik, die Regelungstechnik, die Betriebsfestigkeit, die Werkstofftechnik, die Behandlung tribologischer Systeme (Lager), die Baustatik, der Stahl- und Holzbau, der Stahl- und Spannbetonbau, und eine Reihe weiterer Fächer zurück. Unterschwellig lernt man zudem die Fähigkeit zur Problemlösung. Die Technische Mechanik Ausbildung ist daher kein Selbstzweck, sondern wesentliche Voraussetzung für das weitere Studium, auch wenn schon immer suggeriert wurde, dass man mit erheblich weniger Kenntnissen auskommt.

Ziel des Buches ist es daher die Technische Mechanik grundlegend zu vermitteln, wobei damit offensichtlich nicht dem heutigen Trend der Vermittlung oberflächlichen Wissens, sondern insbesondere der Aufarbeitung fundierter Kenntnisse gefolgt wird. Die Didaktik zur Vermittlung dieses Wissens könnte entweder deduktiv erfolgen, d. h. man würde von den allgemeinen Naturgesetzen ausgehen und mit einer erforderlichen mathematischen Tiefe die Theorie der Technischen Mechanik vorstellen. Da üblicherweise hierzu die mathematische Sprache in den ersten Semestern des Ingenieurstudiums fehlt, ist die klassische Dreiteilung der Technischen Mechanik in die Gebiete Statik, Elastostatik und Dynamik gewählt worden. In diesem Sinne grenzt sich das Buch nicht von den klassischen Lehrbüchern ab. Der Verfasser hat jedoch auf einige Themen einen größeren Wert gelegt, wie zum Beispiel eine konsistent eingeführte Vektorrechnung, die allgemeine Bestimmung der Hauptspannungen, zweiachsige Biegung sowie eine konsequente Herleitung der Schubspannungsverteilung bei Balken, um nur einige Themen zu nennen. Auch wird ein spezieller Wert auf den Bezug zu experimentellen Beobachtungen gelegt. Für vereinzelte Beispiele sind daher Laborexperimente herangezogen worden, um zu verdeutlichen, dass die doch eher theoretischen Betrachtungen mit den Beobachtungen etwas zu tun haben und die hergeleiteten Formeln zur Prognose praktischer Anwendungen geeignet sind.

Das Buch wird auch nicht in drei einzelne Bücher zerlegt, sondern es beschränkt sich auf die Darstellung der drei Teilgebiete der Technischen Mechanik in einem kompakten Werk. Je nach Umfang einer Vorlesung kann man sich die erforderlichen Abschnitte in den einzelnen Teilen des Buches heraussuchen und nacharbeiten.

Im Folgenden seien einige Anmerkungen an die Lernenden gerichtet: Es gibt mehrere Stufen des Lernens. Zunächst geht es in jeder Vorlesung um das Aneignen von Wissen, welches wiedergegeben werden muss. Diese Fähigkeit reicht jedoch nicht für eine Lehrveranstaltung wie die der Technischen Mechanik aus. Darüber hinaus müssen die Lernenden Verständnis entwickeln und die Sachverhalte selbständig erklären und interpretieren können (dies kann sehr gut mit einer Kommilitonin oder einem Kommilitonen geübt werden).

Wenn man diese Stufe erreicht hat, sollten die gewonnenen Vorgehensweisen und Konzepte angewendet werden, indem man Aufgaben selbständig berechnet und löst. Nach dieser dritten Lernstufe müssen die Ergebnisse analysiert oder verglichen werden, d. h. die in den Gleichungen auftretenden „Buchstaben“ sowie die Gleichungen selbst müssen erläutert werden. Es treffen daher zwei Probleme in der Mechanik aufeinander: Einerseits die Verwendung der Mathematik als Sprache und andererseits die Problemstellung der Physik, die es zu beschreiben gilt. Dabei ist bekannt, dass meist die mangelnden Kenntnisse der Mathematik die eigentlichen Ursachen von entstehenden Lernproblemen darstellen. Hierzu wird probiert die Grundlagen auf sehr engem Raum bereitzustellen. Darauf aufbauend kommt in der Synthese die Fähigkeit selbst zu entwerfen und zu entwickeln hinzu (d. h. hier Aufgaben und Fragen für mechanische Probleme). Die sechste und letzte Lernetappe stellt die Bewertung dar, in der man entscheiden, bewerten und beurteilen lernt. Ein Ziel des Studierenden muss es daher sein, möglichst die „höchste“ Stufe der Ausbildung zu erreichen. Zumeist glaubt man im Bereich der Technischen Mechanik, dass die Lernetappe Wissen wiederzugeben ausreichend ist. Dies ist leider nicht der Fall. Wünschenswert ist es mindestens Ergebnisse analysieren zu können.

Die Technische Mechanik ist keine Vorlesung in der man alles auswendig lernen kann. Es werden Konzepte an die Hand gegeben, mit denen man viele grundlegende Fragestellungen lösen kann. Auch ist der Übergang von der Schule an eine Universität zu berücksichtigen, d. h. das Begreifen des Stoffes während der Vorlesung ist nicht immer für jeden möglich. Man muss sich also den Stoff aneignen und erarbeiten, was als Studium bezeichnet wird. Aus eigener Erfahrung kann ich sagen, dass Lernen auch schmerzen kann. Es fällt nur den Allerwenigsten zu, dass dies einfach ist. Dem Leser wird daher empfohlen das Angebot aufzugreifen, sich die Theorie in diesem Buch und der darin zitierten Literatur zu erarbeiten.

Das in diesem Lehrbuch aufbereitete Wissen entstammt dem Werdegang des Verfassers, welcher einerseits durch ein praxisorientiertes Bauingenieurstudium sowie einer vertiefenden Lehre seines Lehrers und Freundes Professor Peter Haupt geschuldet ist. Diesbezüglich sind die Kenntnisse durch die Lehrjahre an der Universität Kassel und der Technischen Universität Clausthal geprägt.

Bei der Entstehung eines jeden Buches wirken unterschiedliche Personen mit. Zunächst sei dem Verlag für das Interesse an dem Buch sowie der Unterstützung während des Produktionsprozesses Dank ausgesprochen. Unterstützt haben mich zudem meine Töchter und meine Frau beim Korrekturlesen, wobei meine Familie viel Entbehrung beim Entstehen des Werkes auf sich genommen hat. Ihnen sei besonders gedankt.

Clausthal-Zellerfeld, 28. Februar 2014

Stefan Hartmann

Einführung

Die Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik, bei der die Beschreibung der Bewegung und Deformation von gasförmigen, flüssigen und festen Körpern unter äußeren Einwirkungen im Vordergrund steht. Die Spezialisierung auf technische Systeme und feste Körper beschreibt die Technische Mechanik. In traditionellen Darstellungen an deutschen Hochschulen, denenwir uns hier anschließenwollen, unterscheidet man drei Teile der Technischen Mechanik, d. h. die Statik, die Elastostatik und die Dynamik. Darüber hinaus werden im weiteren Studium noch die Spezialgebiete der Schwingungslehre, der Strömungsmechanik, der Höheren Technischen Mechanik, der Elastizitätstheorie, der Strukturmechanik, der Kontinuumsmechanik und der Experimentellen Mechanik gelehrt, auf die immer wieder hingewiesen wird.

In der Statik starrer Körper, d. h. Teil I des Buches, welche man theoretisch als Spezialfall der Dynamik betrachten sollte, werden die Grundlagen der Begriffsbildung von Kräften eingeführt und dies an Beispielen von Kraftsystemen einfachster Strukturelemente, sogenannter Zug-Druckstäbe, Balken oder Seile, sowie der Haftreibung von sich nicht bewegenden materiellen Körpern erläutert. Neben den aus der physikalischen Beschreibung resultierenden Begriffen, benötigen wir die Mathematik als Sprache zur Quantifizierung.

Da eine Kraft eine Intensität und eine Richtung aufweist, ist die mathematische Sprache die Vektorrechnung (Kapitel 1). Die Voraussetzung der Kenntnis dieser mathematischen Disziplin ist sehr unterschiedlich erfüllt, wozu sie bewusst in die Darstellung mit eingebunden wird. Die Vektorrechnung wird das Buch kontinuierlich begleiten. Daher sollte man sich intensivst damit beschäftigen. Es hat sich herausgestellt, dass die Schwierigkeit der Technischen Mechanik bei den Studierenden gerade in der Unterscheidung zwischen der mathematischen Sprache und den zu beschreibenden physikalischen Vorgängen liegt. Versteht man Ersteres nicht, so wird auch die Beschreibung der Vorgänge nicht verstanden. Neben der Vektorrechnung werden die Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung wiederholt und erweitert. Differenziationsprozesse liefern uns Auskünfte über die Änderung (Steigung) einer physikalischen Größe, welche Aufschlüsse über den Kraftfluss in einem Körper sowie später über die Bewegungs- und Deformationsprozesse geben. Da wir es mit endlich ausgedehnten Körpern zu tun haben, müssen wir auch über räumliche, im einfachsten Fall über ein- oder zweidimensionale Gebiete, integrieren. Auch dies muss sich der Leser erarbeiten.

In der Statik starrer Körper gehen wir zunächst davon aus, dass sich Körper weder bewegen noch deformieren können, d. h. es werden lediglich die Grundgedanken der Krafteinwirkung auf starre Körper angesprochen. Alle auf den materiellen Körper einwirkenden Kräfte bilden ein Kraftsystem (Kapitel 2), welches durch eine resultierende Kraft und ein resultierendes Moment charakterisiert ist. Ein Gleichgewicht im Sinne der Statik liegt nur vor, wenn die resultierende Kraft und das resultierende Moment verschwinden, eine der vordringlichen Aussagen, die Teil I und II durchgehend begleiten. Eine wesentliche Idealisierung stellen Kräfte dar, die aus verteilten Lasten resultieren. Diese können linien-, flächen- oder volumenhaft vorliegen. Damit verbunden ist die Integration, um die resultierende Kraft und auch das resultierende Moment zu bestimmen.

Um die Integration zu üben, behandelt Kapitel 3 die erforderlichen Begriffe wie Massenmittelpunkt, Linien-, Flächen- und Volumenschwerpunkt sowie insbesondere Linien- und Flächenlasten.

In Kapitel 4 werden nach diesen vorbereitenden Untersuchungen Strukturelemente, wie Stäbe, Balken und Seile angesprochen und zunächst das wichtigste Grundprinzip erörtert, nämlich das Freischneiden. Mit dem Freischneiden werden die inneren Kraftzustände freigelegt, was zu den Begriffen der Schnittgrößen führt. Insbesondere für den wichtigen Fall balkenartiger Strukturen dient das Freischneiden zur Charakterisierung des inneren Belastungszustandes und damit zur Dimensionierung des Balkens. Wir wären damit fast in der Lage einen Träger von seinen Abmessungen her auszuwählen, damit er den alltäglichen Belastungen standhält. „Fast in der Lage“ soll hierbei andeuten, dass wir hierzu noch nicht ganz in der Lage sind, da wir die Deformation nicht beschreiben können. Dies wird im zweiten Teil des Buches, der Elastostatik bzw. der Statik elastischer Körper, behandelt. Als Abschluss des ersten Buchteiles dient die Reibung in Form der Haft- und Seilreibung, um den Fall der Statik zu komplettieren.

In Teil II des Buches, der Statik elastischer Körper, werden statisch unbestimmte Strukturen behandelt, also solche mechanischen Systeme, bei denen die Gleichgewichtsbedingungen alleine nicht mehr ausreichen, um Abschätzungsformeln bereitzustellen. In Teil I des Buches gehen wir davon aus, dass materielle Körper starr sind, d. h. der Abstand zweier beliebiger materieller Punkte eines Körpers immer konstant ist. Die Deformierbarkeit des Körpers wird dabei nicht modelliert. Zudem ist die Lagerung derart gewählt, dass die Lagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen berechenbar sind und sich daher die betrachteten materiellen Körper, bzw. Bauteile, in Ruhe befinden.1) Man kann es auch so formulieren: Der Körper (das Bauteil) deformiert sich bei einer äußeren Belastung nicht und zwar unabhängig von der Größe der Belastung. Unsere tägliche Anschauung von belasteten Strukturen sieht aber anders aus. Wenn man auf einer Baustelle über ein Brett geht, so biegt sich dieses durch. Ein belasteter Autoreifen hat, je nach Einstellung der Lenkung, ein anderes Aussehen. Ein Schwamm, den man zusammendrückt, wird dünner, d. h. alle materiellen Körper deformieren sich unter einer äußeren Belastung. Die Annahme eines starren Körpers ist daher nur eine sehr grobe Approximation der Beschreibung des wirklichen Verhaltens von Bauteilen. Natürlich ist diese Annahme in vielen Fällen ausreichend. Andererseits erkennen wir auch, dass sich nicht alle Systeme, wie z. B. statisch unbestimmte Strukturen, nur aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen lassen. Zur Berechenbarkeit und auch für die genauere Vorhersage des Bauteilverhaltens ist die Kenntnis über die Deformierbarkeit materieller Körper notwendig. Einerseits nutzen wir das deformierbare Verhalten von Gegenständen aus (Haushaltsgummis, Gummilager bei Brücken oder Maschinen bzw. Fahrzeugen, Metallbleche, die zu Karosserieteilen eines Fahrzeugs geformt werden, etc.) und andererseits darf die Deformation eines Bauteils nicht zu groß sein, damit wir Toleranzen von Bauteilgeometrien oder auch unserem Sicherheitsgefühl Genüge tun (man stelle sich hier eine sich sehr stark durchbiegende Deckenkonstruktion vor, die zwar halten würde, bei der wir jedoch Unbehagen empfinden, wenn die Durchbiegung zu groß ist).

Wenn sich demnach ein Körper deformiert, so besteht die Frage nach der mathematischen Beschreibbarkeit. Es muss ein Zusammenhang zwischen der Belastung (Kraft, Moment, Strecken- oder Flächenlasten, Eigengewicht, ...) und der Deformation existieren. Dieser Zusammenhang hängt von den Lagerungsbedingungen, von den Materialeigenschaften (Stahl, Kunststoff, Elastomer, Holz, Beton, etc.) und von der Form bzw. auch der Höhe der Belastung ab.