Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra E-Book

Thoralf Räsch

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Wiley Schnellkurs
• Sprache: Deutsch
• Veröffentlichungsjahr: 2015

Seitenzahl: 344

Beschreibung

Sie ist nicht beliebt und manchmal schwer zu verstehen: die Lineare Algebra. Aber keine Sorge: Thoralf Räsch hat ein kompaktes und verständliches Buch geschrieben, das Ihnen hilft, die Grundlagen der Linearen Algebra zu verstehen. Er erklärt Ihnen, was Sie über die algebraischen Grundlagen, Vektorräume, Lineare Gleichungssysteme und Matrizen wissen sollten. Auch die komplexen Zahlen kommen nicht zu kurz. Übungsaufgaben und Lösungen helfen Ihnen, Ihr Wissen zu festigen und zu überprüfen. So hilft Ihnen dieses Buch beim Grundverständnis der Linearen Algebra, wenn es einmal schnell gehen soll.

Leseprobe

Thoralf Räsch

Wiley Schnellkurs Lineare Algebra

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;

detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2015

© 2015 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Korrektur: Wilhelm Kubisch

Umschlag: Susan Bauer, Mannheim

Satz: inmedialo Digital- und Printmedien UG, Plankstadt

ePub ISBN: 978-3-527-69368-9

mobi ISBN: 978-3-527-69369-6

Print: ISBN: 978-3-527-53009-0

Über den Autor

Dr. Thoralf Räsch studierte Mathematik und Informatik an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte anschließend an der Universität Potsdam im Bereich der Mathematischen Logik. Zurzeit ist er Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet dort seit vielen Jahren Mathematik in verschiedenen Bachelorstudiengängen der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät. Außerdem engagiert er sich schon seit mehr als einem Jahrzehnt in verschiedenen Projekten für Schülerinnen und Schüler zunächst aus dem Berliner und später dem Bonner Raum, in denen auf unterschiedlichem Niveau begeisternd in die Welt der Mathematik eingeführt wird. Nicht zuletzt durch Erfahrungen in Kursen der Volkshochschule kennt er so die mathematischen Wünsche, aber auch die Ängste von Jung und Alt und zeigt in seinen Projekten, dass Mathematik auch Spaß bereiten kann. Diese Projekte sind inhaltlich verständlich und dennoch unterhaltsam motivierend angelegt.

Danksagung

Das Buch basiert auf meinem Vorlesungsmanuskript zur Linearen Algebra, das in den letzten knapp zehn Jahren stetig erweitert wurde. Daher bin ich der Bonner Mathematik für die Möglichkeit dankbar, durch meine Lehre das Manuskript immer weiter optimieren zu können und das genau an dem mit diesem Buch angesprochene Zielpublikum, den Studierenden der Physik, Informatik und des Lehramts Mathematik samt der Anwendungen für Studierende der Naturwissenschaften und Ingenieurswissenschaften. Dies alles zeichnet nun dankenswerterweise dieses Buch aus.

Ich danke insbesondere allen meinen Studierenden der letzten Jahre, die mich mit ihren hilfreichen Fragen und Kommentaren enorm inspirierten und so viele Details ins Buch einfließen ließen. Nicht weniger danke ich meinen Kolleginnen und Kollegen, die direkt oder auch nur indirekt Passagen des Manuskriptes gewinnbringend beeinflußten; exemplarisch möchte ich hier die sehr geschätzten Kollegen Joachim Gräter, Peter Koepke und Michael Welter nennen.

Weiterhin danke ich vor allem der Lehramtsstudentin Christiane Langel für ihre professionelle und stets detailverliebte Umsetzung der Abbildungen des Buches sowie für das Durchrechnen und Überprüfen der Lösungen des gesamten Aufgabenpools. Ihre unermütliche Zuarbeit trägt im besonderen Maße zur Qualität des Buches bei.

Ich danke darüber hinaus den Studierenden Roman Kiriljuk, Thomas Scheurich, Britta Schmidt, Anja Stein und Daniel Reuter meines Kurses aus dem Sommersemester 2014 für das Korrekturlesen jeweils eines Großteils des Buches. Sie alle haben dankenswerterweise und im besonderen Maße innerhalb ihrer verdienten Semesterpause in Quantität und Qualität stark dazu beigetragen, dass viele Problemstellen gar nicht erst auftraten, sondern bereits im Keim erstickten wurden. Das betrifft die Ausbesserung von Typos im gleichen Maße als auch die Perfektionierung von Textstellen.

Nicht vergessen mögen die lieben Menschen sein, die vor allem bereits im Vorfeld am Vorlesungsskript für Qualität sorgten. An dieser Stelle danke ich für ihren jeweiligen besonderen Einsatz den drei Mathematikern Anika Markgraf-Smith, Angel Koutev und Robert Kucharczyk sowie den folgenden Studierenden: Lea Krüger, Cina Razzaghi, Roman Schmitz, Ruben Sparka, Martin Üding und Frank Zickenheiner.

Des Weiteren möchte ich auch bei diesem Projekt meinem Lektor, Herrn Marcel Ferner, für die professionelle, hilfreiche und sehr oft sehr angenehme Unterstützung bei der Umsetzung dieses Projektes danken.

Last but not least: Ich danke Karen aufrichtig und nicht nur für ihren mathematischen Einfluss in den letzten zehn Jahren.

Th.R.

Inhaltsverzeichnis

Einstiegstest

Über den Autor

Danksagung

Einleitung

Was Sie schon immer über lineare Algebra wissen wollten

Meine Leser

Ziel des Buches

Nötiges Vorwissen

Jenseits dieses Buches

Was bedeutet was

Nur Mut zum Stolpern

1 Algebraische Grundlagen der Zahlensysteme

Mathematik und die natürlichen Zahlen

Eigenschaften der Grundrechenarten

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen

Mathematiker und ihre Konstruktion der ganzen

Zahlen

Aufgaben mit Klammern richtig lösen

Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders

Mathematiker und ihre Definition der rationalen

Zahlen

Rationale Zahlen und Dezimalbrüche

Und plötzlich wird’s irrational

Mathematiker und die Konstruktion der reellen

Zahlen

Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen

Das Summenzeichen

Notwendige und hinreichende Bedingungen

Grundlegende Begriffe über allgemeine Funktionen

2 Logische Grundlagen der Sprache, Mengen und Beweistechniken

Alles über Mengen

Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen

Von Zahlen, Mengen und Intervallen

Mit Mengen einfach rechnen können

Mengengleichheit

Durchschnitt und Vereinigung von Mengen

Mengendifferenz und Komplementbildung

Kreuzprodukt von Mengen

Venn-Diagramme

Logische Verküpfungen kompetent anwenden können

Wahre und falsche Aussagen

Aussagen verknüpfen

Die Mathematik als Sprache erkennen

Terme als Worte im mathematischen Satz

Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache

Mit Quantoren neue Formeln bilden

Die Unendlichkeit – unzählige Welten?

Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen

Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik

Methode 1: Direkter Beweis

Methode 2: Indirekter Beweis

Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung

Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion

3 Lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt analysieren

Gleichungen in verschiedenen Formen und Größen

Lineare Gleichungen in einer Unbekannten

Quadratische Gleichungen in einer Unbekannten

Lineare Gleichungssysteme unter die Lupe genommen

Gleichungssyteme in Diagonalgestalt

Die nützliche Zeilenstufenform

Der legendäre Gauß-Algorithmus

4 Vektorräume – mehr als eine Welt der Pfeile

Der Raum

Praxisbeispiel: Kräfte an einem Ausleger berechnen

Schöne Teilmengen: Untervektorräume

5 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen

Raum

Punkte im Raum

Parametergleichung für Geraden

Zweipunktegleichung für Geraden

Parametergleichung für Ebenen

Dreipunktegleichung für Ebenen

Koordinatengleichung für Ebenen

Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden

Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Kollision während einer Flugshow in Las Vegas?

6 Rechnen in Gruppen, Ringen und Körpern

Grundlegende Strukturen: Gruppen

In Ringen mit zwei Operationen rechnen

Teilbarkeit und das Rechnen mit Restklassen

Rechnen mit Restklassen im Alltag

7 Keine Angst vor komplexen Zahlen

Definition der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen addieren und multiplizieren

Division komplexer Zahlen in der Praxis

Komplexe quadratische Gleichungen

Komplexe Zahlen als reelle Ebene

Komplexe Zahlen als Polarkoordinaten

Kurzer Ausblick auf die Anwendungen dieser Zahlen

Jenseits der komplexen Zahlen: Quaternionen und

Oktonionen

8 Überlebenstechniken in Vektorräumen

Linearkombination und lineare Hüllen

Lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme

Vektorräume und ihre Basen

Drei Existenzsätze für Basen

Dimension eines Vektorraums

9 Lineare Abbildungen tiefgründig verstehen lernen

Grundlagen linearer Abbildungen

Kerne und Bilder von linearen Abbildungen

Homomorphismen über Homomorphismen

Endliche Beschreibung von Homomorphismen

Klassifikation endlich-dimensionaler Vektorräume

Der Dimensionssatz

Eigenschaften injektiver linearer Abbildungen

10 Die Welt der Matrizen

Darstellende Matrizen von linearen Abbildungen

Matrizenaddition und -skalarmultiplikation

Matrizenmultiplikation leicht gemacht

Inverse Matrizen verstehen

Matrizen als lineare Abbildungen auffassen

11 Praktische Anwendungen von Matrizen

Matrizen als Drehungen in der reellen Ebene

Matrizen als Spiegelungen in der reellen Ebene

Überführungsmatrizen in Produktionsprozessen

Elementare Zeilenumformungen als Matrizen

Matrizen als elementare Umformung: Vertauschen von zwei Zeilen

Matrizen als Elementare Umformung: Skalarmultiplikation einer Zeile

Matrizen als Elementare Umformung: Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen

12 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und lineare Abbildungen

Koeffizientenmatrizen und ihre Eigenschaften

Geometrie der Lösungsmengen

Unterräume als Lösungsmengen

Praktisches Invertieren von Matrizen mit dem Gaußschen Algorithmus

Ausblick jenseits dieses Buches

13 Lösungen zu den Aufgaben

Glossar

Stichwortverzeichnis

Einleitung

Schön, dass Sie sich für die lineare Algebra interessieren. Lassen Sie mich Ihnen kurz die Spielregeln erläutern, damit Sie wissen, worauf Sie sich einlassen. Keine Angst – ich bin auf Ihrer Seite!

Was Sie schon immer über lineare Algebra wissen wollten

Sie können lineare Gleichungssysteme lösen? Auch wenn es mehr als zwei, drei oder vier Unbekannte oder Gleichungen sind? Nicht ganz so gut? Ich zeige Ihnen hier, wie Sie systematisch an einen Lösungsalgorithmus herangehen können. Ich erkläre Ihnen, warum Sie kein lineares Gleichungssystem aufstellen können, das genau zwei, drei oder zehn Lösungen hat. Darüber hinaus trainiere ich mit Ihnen das geometrische Verständnis in Bezug auf die Lösungsmengen von solchen Gleichungssystemen. Dazu führe ich lineare Abbildungen und Matrizen ein und zeige Ihnen, was diese mit Gleichungssystemen zu tun haben und wie Sie mit diesen rechnen können. Seien Sie gespannt!

Meine Leser

Das Buch führt in die lineare Algebra ein. Dies ist ein Teilgebiet der Mathematik, das so grundlegend ist, dass es Stoff fast jedes Studiums mit mathematischen Bereichen ist, sei es im Bachelorstudium des Faches Mathematik selbst oder in Kursen für Mathematiklehrämtler, aber eben auch in den Studienkursen für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschafts- und Geowissenschaftler, Ernährungs- und Lebensmittelwissenschaftler und viele andere mehr. Das Buch bietet keine Nachhilfestunde für einführende Kurse in der Schule. Es holt sie inhaltlich auf dem Stand des Schulwissens ab und hilft Ihnen, die ersten Semester Ihres Mathematikanteils zu überleben.

Die typische potentielle Leserin ist also Studentin in einem solchen, gerade beschriebenen Studiengang. Das Lesen dieses Buches möge Ihnen trotz kommender Schweißtropfen Spaß bereiten. Vielleicht möchten Sie Ihr Wissen in linearer Algebra auffrischen? Vielleicht möchten Sie als Vorgeschmack in diese Themen hineinschnuppern? Die Hauptsache ist, dass Sie motiviert und mit Spaß an das Buch herangehen.

Glauben Sie mir, es wird Übungsaufgaben geben, an denen Sie kurzzeitig fast verzweifeln werden. Frustrierend wird es sein. Sehr gut, dann sind Sie gerade dabei, etwas zu verstehen. Nur weiter so und durchhalten! Schaffen Sie es, dann belohnen Sie sich mit dem mathematischen Durchbruch ganz alleine. So lernt man Mathematik, eben auch die lineare Algebra. Dann macht es auch Spaß und Sie möchten weiterlesen. Dürfen Sie sehr gern, also los!

Ziel des Buches

Ich zeige Ihnen im Wesentlichen, was lineare Gleichungssysteme sind und wie Sie mit ihnen umgehen können. Das wissen Sie schon? Täuschen Sie sich nicht. Ich sehe fast jedes Semester diesen Blick von einigen Teilnehmern meiner Vorlesung in ihrer ersten Woche. Doch dieser ändert sich bereits nach ein paar Wochen. Aufgabe der Mathematik ist es, möglichst nicht für jedes Problem das Rad neu zu erfinden. Dazu müssen Sie möglichst allgemein an die Fragestellung herangehen, um mit einer Antwort gleich viele Probleme gleichzeitig zu lösen. Das strengt an. So sprechen wir natürlich nicht über Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten in zwei Gleichungen, sondern mit n Unbekannten in m Gleichungen. Da sind dann sofort mal Lösungsansätze für Systeme mit 25 Unbekannten und Gleichungen gefragt oder gar für Systeme mit 10.000 Unbekannten und Gleichungen, die in der Praxis dann erst interessant werden.

Um solche Systeme zu verarbeiten, müssen Sie sich anschnallen und bereit sein, sich auf die dahinterstehende Mathematik einzulassen. Ich führe neue Begriffe ein wie lineare Abbildungen und abstrakte Schemata wie Matrizen, die Sie teilweise vielleicht schon früher gesehen haben, die nun aber in neuem Glanz erscheinen werden. Mit unserem Blickwinkel werden Sie zwischen solchen Abbildungen, den Matrizen und dazugehörigen Gleichungssystemen kaum noch unterscheiden und je nachdem, was Ihnen gerade besser liegt, Methoden aus der einen Welt bei Probleme aus der anderen anwenden. Das lernen Sie hier. Und das ist echte Mathematik.

Nötiges Vorwissen

Ich setze in diesem Buch nicht viel heraus. Das Buch soll Sie in die Welt der linearen Algebra einführen. Ich starte in seichten Gewässern und wiederhole in den ersten zwei Kapiteln mathematisches Grundwissen, welches Sie für die lineare Algebra benötigen. Eine gewisse Grundvertrautheit mit Mathematik sollten Sie allerdings mitbringen. Sie sollten keine Angst vor mathematischen Grundbegriffen haben, wohl aber den nötigen Respekt, um nach Hintergründen zu fragen. Glauben Sie nicht an mathematische Aussagen, fragen Sie nach Beweisen!

Jenseits dieses Buches

Sollten Ihnen diese Themen Freude bereiten, dann können Sie sich dem zweiten Teil dieses Buches, dem Schnellkurs Lineare Algebra 2, tiefer in die lineare Algebra einsteigen. Dort sprechen wir über Koordinatentransformationen, Eigenwerte, das Diagonalisieren und Skalarprodukte. Einen ausführlichen Ausblick in diese fortgeschrittenen Themen gehe ich am Ende dieses Buches ein.

Was bedeutet was

Der Text ist (relativ) leicht lesbar geschrieben. Die mathematischen Inhalte habe ich in kleine Häppchen verpackt, so dass sie (fast) leicht verdaulich sind. Neue Begriffe habe ich zur besseren Sichtbarkeit in Fettdruck gesetzt. Die kursiven Worte sollen bestimmte Passagen in eine von mir gewünschte Richtung lenken.

Tipp

Hier erhalten Sie Tipps, manchmal Eselsbrücken und eben nützliche Aussagen zum jeweiligen Thema. Manchmal sind es auch einfach nur hilfreiche Aussagen, die ich Ihnen nicht vorenthalten möchte, aber dennoch nicht weiter begründen werde.

Satz

Unter einem Satz versteht der Mathematiker eine mathematische Aussage oder Formel, die Ihnen ihre Anwendung das Leben einfacher gestaltet. Es werden Zusammenhänge zwischen Begriffen geklärt oder Behauptungen aufgestellt. Solche Aussagen verlangen einen Nachweis, einen so genannten mathematischen Beweis, den ich Ihnen auch nach dem Satz gebe. Ein solcher Beweis wird mit dem Endesymbol abgeschlossen.

Definition

Bei diesen Passagen müssen Sie sich besonders konzentrieren. Hier verstecken sich Begriffe, die geklärt werden müssen oder manchmal einfach nur falsch verstanden werden könnten. Eine solche Begriffsklärung und -festlegung ist für das weitere Verständnis wichtig.

Beispiel

In diesem Buch wird es viele Beispiele und Anwendungen der Theorie geben. Manchmal sind sie scheinbar immer noch theoretischer Art, manchmal vollkommen aus der Praxis genommen. Rechnungen hinter diesem Symbol sind in der Regel besondere Beispiele, die Ihnen das Gelernte noch verständlicher machen sollen.

Nur Mut zum Stolpern

Sie interessieren sich noch immer für dieses Buch? Sehr gut! Das freut mich.

Dann können wir ja langsam mit der Mathematik beginnen.

In diesem Buch führe ich Sie immer tiefer in die Materie ein. Ich führe Sie und halte Ihre Hand, wenn Ihnen das hilft. Aber ich brauche ich Mithilfe da man Mathematik nur dann lernt, wenn man selbst stolpert! Also nur Mut zum Stolpern. Der entstehende Frust wird auch – wie im realen Leben – schnell vergehen. Haben Sie eine (mathematische) Hürde gemeistert, werden Sie nicht mehr über (virtuelle) blaue Flecken jammern, sondern stolz auf sich sein und Mut für weitere Hürden geschöpft haben.

Wenn Sie nicht ab und zu stolpern, etwas stocken, nicht weiter wissen, dann lassen Sie sich nicht tief genug auf den Stoff ein. Dieser ist nämlich nicht so leicht. Auch wenn ich dies manchmal behaupten werde, Sie müssen echt arbeiten, um hier durchzukommen.

Also stolpen Sie! Wie? Übungsaufgaben sind das Stichwort. Ich habe im gesamten Buch jede Menge davon versteckt. Nutzen Sie die Chance und versuchen Sie es. Erst wenn Sie selbst Probleme lösen, werden Sie die Probleme und Strategien wirklich verinnerlichen. Erst dann werden Sie die Finessen verstehen und sehen, warum Mathematiker die jeweiligen Wege gegangen sind. Mathematik lernt sich nicht, indem Sie das Buch wie einen Roman lesen. Üben Sie, hinterfragen Sie, beweisen Sie, lösen Sie die Aufgaben. Das ist frustrierend? Ja, genau. Und das gehört dazu. Starten Sie mit dem Einstiegstest und testen Sie, wo Sie stehen.