Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies E-Book

Thoralf Räsch

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 546

Veröffentlichungsjahr: 2013

Beschreibung

Viele angehende Studenten haben gehörigen Respekt vor der Mathematik, wenn sie ein naturwissenschaftliches Studium beginnen; und das zu Recht. Aber Hilfe naht: Thoralf Räsch bringt Sie, egal wo Sie auf der Schule waren und wo Sie studieren werden, auf den Stand, dass Sie der Mathematikvorlesung im ersten Semester folgen können. Er erklärt Ihnen noch einmal die Grundrechenarten, zeigt, wie man mit Brüchen, Potenzen und Logarithmen rechnet, erläutert komplexe Zahlen, Gleichungen, Vektoren und Matrizen. Er hilft Ihnen, Folgen, Reihen und Funktionen zu verstehen, und unterstützt Sie bei Ihren ersten Schritten in der Geometrie, der Differential- und Integralrechnung. So ist dies das perfekte Auffrischungsbuch vor Ihrem Studium.

Leseprobe

Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2013

© 2013 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This EBook published under license with the original publisher John Wiley and Sons, Inc.

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Coverfoto: Physical formulas and equations © EtiAmmos/Fotolia

Satz: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza

ISBN: 978-3-527-70749-2 ePub ISBN 978-3-527-66921-9mobi ISBN 978-3-527-66922-6

Inhaltsverzeichnis

Über den Autor

Danksagung

Einleitung

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand vieler Beispiele

Überall praktische Beispiele

Törichte Annahmen über den Leser

Konventionen in diesem Buch

Wie dieses Buch strukturiert ist

Teil I: Zahlen und Rechenoperationen

Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen

Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen

Teil IV: Keine Angst vor Geometrie

Teil V: Differentiation und Integralrechnung

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Die Symbole in diesem Buch

Den modularen Aufbau für sich nutzen

Teil I: Zahlen und Rechenoperationen

Kapitel 1Zahlen und Grundrechenarten

Mathematik und ihre natürlichen Zahlen

Eigenschaften der Grundrechenarten

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen

Aufgaben mit Klammern richtig lösen

Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders

Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche

Und plötzlich wird's irrational ... und real!

Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen

Das Summenzeichen

Kapitel 2Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen

Alles über Mengen

Mengen im Supermarkt?

Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen

Von Zahlen, Mengen und Intervallen

Mit Mengen einfach rechnen können

Venn-Diagramme

Prozentrechnung für den Alltag

Nur zwei Prozent Mieterhöhung

Das eigene Heim trotz Provision?

Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse

Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse

Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt?

Immer auf die genaue Formulierung achten

Preissenkungsschnäppchen mitnehmen

Zinsrechnung zum Verstehen

Lohnender Zinsertrag

Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume

Suche nach dem Startkapital

Taggenaue Zinsen

Kapitalwachstum: Zinseszins

Eine feste Anlage für zehn Jahre

Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins

Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl

Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen

Kapitel 3Logische Grundlagen und Beweismethoden

Logische Grundlagen

Wahre und falsche Aussagen

Aussagen verknüpfen

Die Mathematik als Sprache erkennen

Terme als die Worte im mathematischen Satz

Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache

Mit Quantoren neue Formeln bilden

Notwendige und hinreichende Bedingungen

Die Unendlichkeit – unzählige Welten?

Mit abzählbaren Mengen zählen lernen

Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen

Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik

Methode 1: Direkter Beweis

Methode 2: Indirekter Beweis

Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung

Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion

Kapitel 4Grundlagen von Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen in Angriff nehmen

Ungleichungen in den Griff bekommen

Beträge ins Spiel bringen

Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen

Kapitel 5Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen

Was komplexe Zahlen wirklich sind

Komplexe Rechenoperationen

Die komplexe Addition

Die komplexe Multiplikation

Die Konjugierte einer komplexen Zahl

Die komplexe Division

Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen

Komplexe quadratische Gleichungen

Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen

Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten

Der Betrag einer komplexen Zahl

Einmal Polarkoordinaten und zurück

Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten

Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten

Komplexe Potenzen und Wurzeln

Anwendungen komplexer Zahlen

Kapitel 6Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare Gleichungssysteme

Vektoren erleben

Vektoren veranschaulichen

Mit Vektoren anschaulich rechnen

Mit Vektoren rechnen

Betrag eines Vektors berechnen

Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen

Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen

Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen

Arten von Linearen Gleichungssystemen

Homogene Gleichungssysteme

Inhomogene Gleichungssysteme

Überbestimmte Gleichungssysteme

Unterbestimmte Gleichungssysteme

Quadratische Gleichungssysteme

Nicht lösbare Gleichungssysteme

Graphische Lösungsansätze für LGS

Kapitel 7Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum

Punkte im Raum

Parametergleichung für Geraden

Zweipunktegleichung für Geraden

Parametergleichung für Ebenen

Dreipunktegleichung für Ebenen

Koordinatengleichung für Ebenen

Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

Kollision während einer Flugshow in Las Vegas?

Kapitel 8Überleben in der Welt der Matrizen

Was Matrizen eigentlich sind

Addition von Matrizen

Skalarmultiplikation von Matrizen

Multiplikation von Matrizen

Matrizen in Produktionsprozessen

Transponierte und symmetrische Matrizen

Keine Angst vor inversen Matrizen

Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus

Der Rang von Matrizen

Matrizen invertieren in der Praxis

Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen

Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen

Matrizen und lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen an Beispielen

Matrizen als lineare Abbildungen

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis

Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen

Matrizen und ihre Determinanten

Determinanten von 2x2-Matrizen

Determinanten von 3x3-Matrizen

Determinanten von allgemeinen Matrizen

Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme

Die Cramersche Regel

Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen

Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen

Kreuzprodukt von Vektoren

Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene

Drehungen in der Ebene

Berechnung des Drehwinkels in der Ebene

Spiegelungen in der Ebene

Berechnung der Spiegelachse in der Ebene

Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen

Kapitel 9Was Funktionen sind!

Was Funktionen eigentlich sind

Graphische Darstellung von Funktionen

Polynome einfach verstehen

Bruchrechnung: Rationale Funktionen

Keine Angst vor der Polynomdivision

Rasch wachsende Exponentialfunktionen

Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen

Von Umkehr- und inversen Funktionen

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen zeichnen

Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten

Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen

Kapitel 10Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen

Grenzwerte einer Funktion verstehen

Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff

Links- und rechtsseitige Grenzwerte

Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet!

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten

Grenzwerte für x gegen unendlich

Stetigkeit von Funktionen

Einfache Grenzwerte auswerten

Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten

Methode 1: Faktorisieren

Methode 2: Konjugierte Multiplikation

Methode 3: Einfache algebraische Umformungen

Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich

Grenzwerte bei unendlich auswerten

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden

Kapitel 11Von Folgen und Reihen

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht

Folgen aneinanderreihen

Reihen summieren

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage!

Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz

Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz

Quotienten- und Wurzelkriterium

Alternierende Reihen

Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage!

Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen

Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen

Potenzreihen (er)kennen

Konvergenzbereich von Potenzreihen

Rechnen Sie mit Potenzreihen

Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen

Teil IV: Keine Angst vor Geometrie

Kapitel 12Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen der Geometrie

Geraden, Strahlen und Winkel

Winkel an geschnittenen Geraden

Strecken in der Ebene

Mit den Strahlensätzen rechnen

Goldener Schnitt

Das allgemeine Dreieck

Das gleichschenklige Dreieck

Das gleichseitige Dreieck

Das rechtwinklige Dreieck

Interessante Schnittpunkte in Dreiecken

Dreiecke und ihre Seitenhalbierende samt Schwerpunkte

Dreiecke und ihre Mittelsenkrechten samt Umkreisen

Dreiecke und ihre Winkelhalbierenden samt Inkreisen

Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkt

Kongruenz von Dreiecken

Ähnlichkeit von Dreiecken

Kapitel 13Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum

Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über n-Ecke zu Kreisen

Vierecke (er)kennen lernen

Allgemeine und regelmäßige n-Ecke

Keine Angst vor Kreisen

Geometrische Körper – die dreidimensionale Welt

Die Welt der Prismen

Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben

Zylinder aus Prismen entwickeln

Aus Pyramiden werden Kegel

Die Kugel – schlicht und makellos

Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehälter gesucht!

Platonische Körper genießen

Teil V: Differential- und Integralrechnung für eine Variable

Kapitel 14Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen

Erste Schritte des Ableitens

Steigungen gesucht!

Steigung von Geraden

Steigungen von Parabeln

Der Differenzenquotient

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert

Grundlegende Regeln der Differentiation

Die Konstantenregel

Die Potenzregel

Die Koeffizientenregel

Die Summenregel – und die kennen Sie schon

Trigonometrische Funktionen differenzieren

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren

Fortgeschrittene Regeln der Differentiation

Die Produktregel

Die Quotientenregel

Die Kettenregel

Implizite Differentiation

Logarithmische Differentiation

Differentiation von Umkehrfunktionen

Keine Angst vor höheren Ableitungen

Kapitel 15Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte

Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht

Berg und Tal: Positive und negative Steigungen

Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte

Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum

Atemberaubender Blick: Das globale Maximum

Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben

Halten Sie sich fest – nun geht's bergab!

Jetzt wird's kritisch an den Punkten!

Lokale Extremwerte finden

Die kritischen Werte suchen

Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend?

Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten!

Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervall finden

Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereich finden

Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen

Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet!

Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren

Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart!

Das nützliche Taylorpolynom

Die Regel von l'Hospital

Nicht akzeptable Formen in Form bringen

Kombinieren der Methoden – nur Geduld!

Kapitel 16Eindimensionale Integration

Flächenberechnung – eine Einführung

Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern

Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln

Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es?

Flächenfunktion beschreiben

Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Die erste Version des Hauptsatzes

Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen

Kapitel 17Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken

Umkehrregeln für Stammfunktionen

Genial einfach: Raten und Prüfen

Die Substitutionsmethode

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen

Partielle Integration: Teile und Herrsche!

Wählen Sie weise!

Partielle Integration: Immer wieder dasselbe!

Im Kreis gelaufen und doch am Ziel

Kapitel 18Spezielle Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks

Integrale mit Sinus und Kosinus

Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv

Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv

Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ

Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren

Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren

Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz

Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich

Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche

Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen

Bogenlängen bestimmen

Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen

Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale!

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

Kapitel 19Zehn häufig gemachte Fehler im (Stochastik-)Alltag

Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss

Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren

Falsche Schlussfolgerungen durch Vergleiche ziehen

Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden

Nicht glauben, dass 1-2-3-4-5-6 gewinnen kann

An Serien beim Würfeln glauben

Jeder Situation eine 50-50-Chance einräumen

Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln

Unabhängigkeit von Ereignissen annehmen

Und zu guter Letzt: Das Ziegenproblem

Kapitel 20Zehn interessante Ansätze der Physik

Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten

Dopplers Effekte

Keplers Planetengesetze

Galileis Fallgesetz

Newtons Trägheitsgesetz

Maxwell und seine Gleichungen

Plancks Wirkung

Schrödingers Gleichung

Heisenbergsche Unschärfe

Einsteins E=mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativität

Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie

Kapitel 21Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses

Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung

Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen

Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften

Schauen Sie auch in die Bücher

Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben

Gruppenarbeit nicht ausnutzen

Lernen Sie nicht nur für die Klausur

Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher

Aus Fehlern lernen

Der eigene Kurs ist immer der wichtigste!

Zu guter Letzt...

Stichwortverzeichnis

Über den Autor

Dr. Thoralf Räsch studierte Mathematik und Informatik an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte anschließend an der Universität Potsdam im Bereich der Mathematischen Logik. Zurzeit ist er Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet dort seit vielen Jahren Mathematik in verschiedenen Bachelorstudiengängen der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät. Außerdem engagiert er sich schon seit mehr als einem Jahrzehnt in verschiedenen Projekten für Schüler und Schülerinnen zunächst aus dem Berliner und später Bonner Raum, in denen auf unterschiedlichem Niveau begeistert in die Welt der Mathematik eingeführt wird. Als bisher letzte Stufe rundete er sein Spektrum durch Kurserfahrungen an einer Volkshochschule ab. So kennt er die mathematischen Wünsche aber auch die Ängste von jung und alt und zeigt in seinen Projekten, dass Mathematik auch Spaß bereiten kann. Diese Projekte sind inhaltlich verständlich und dennoch unterhaltsam motivierend angelegt.

Danksagung

Vor allem und als erstes danke ich meiner Frau, Karen Räsch, die mich auch bei diesem Projekt immer wieder mit Ideen und Halt versorgte und für die Erstellung des Buches so manches Wochenende auf mich verzichten musste. Dank ihrer fachlichen Kompetenz konnte sie mir als engagierte Mathematikerin und Lehrerin in unzähligen Diskussionen geduldig Möglichkeiten aufzeigen.

Gern danke ich Kattrin Sippel und Gaspare Mazarese für die tapfer ertragenen Gespräche rund um das Buch, in denen ich einerseits meine Fähigkeit der Motivierbarkeit für mathematische Inhalte bis fast an die Grenzen der Freundschaft trainieren konnte – zum anderen konnten Themen des Buches am schier unendlich großen mathematisch-naturwis­sen­schaftlichen Wissensdurst eines Ingenieurs erfolgreich vorgetestet werden.

Darüber hinaus danke ich der Mathematikerin Frau Valentina Jarovaja für das Korrekturlesen des größten Teils dieses Buches. Sie hat dabei dankenswerterweise und im besonderen Maße in Quantität und Qualität dazu beigetragen, dass viele Problemstellen gar nicht erst problematisch, sondern im Keim erstickt wurden.

Zusätzlich möchte ich auch den Studierenden des Mathematiklehramts, der Informatik und der Physik aus meinen Vorlesungen an der Universität Bonn im Sommer 2012 sowie Winter 2012/13 danken, die mich mit ihren Fragen und Kommentaren wieder einmal inspirierten, einige Details ins Buch einfließen zu lassen.

Des Weiteren möchte ich meinem Fachkorrektor Patrick Kühnel, meiner Lektorin Frau Vanessa Schweiss sowie Herrn Marcel Ferner für die professionelle, hilfreiche und sehr oft sehr angenehme Unterstützung bei der Umsetzung dieses Projektes danken. Herrn Ferner möchte ich insbesondere für das spürbar vertrauensvolle und unkomplizierte Entgegenkommen in einer für mich schweren Zeit danken.

Last but not least: Ich danke meiner Mutter für das, was sie war ... und in meinem Herzen bleiben wird.

Thoralf Räsch

Einleitung

Ich freue mich darüber und möchte Ihnen danken, dass Sie sich für dieses Buch entschieden haben – eine wirklich gute Wahl, wie ich finde. Mathematik ist eine Grundlagenwissenschaft und kein Naturwissenschaftler kommt ohne sie aus. Dieses Buch stellt die Brücke zwischen Ihrem Schulwissen und Ihrem ersten Studienjahr dar. Wir starten langsam, steigen aber immer tiefer in die Mathematik ein. Das Ganze erklärt sich am besten an vielen Beispielen: Es ist ein (praxisorientiertes) Mathematiklehrbuch. Naturwissenschaftliche Grundlagen be­nötigen jede Menge Mathematik. Diese finden Sie in diesem Buch, und das möglichst leicht verständlich mit vielen Beispielen – das war mein Ziel bei der Zusammenstellung der einzelnen Kapitel.

Bei der Auswahl der Kapitel habe ich mir Mühe gegeben, möglichst die mathematischen Grundlagen für Sie in Ruhe zu erläutern. Dabei deckt dieses Buch fast das gesamte Spektrum der Mathematik ab – fast, denn die Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung bleiben aufgrund des begrenzten Buchumfangs leider außen vor. Diesen können Sie dann nahtlos nach dem Wissen in diesem Buch in Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies nachlesen.

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand vieler Beispiele

Verstehen Sie mich nicht falsch: Die Tiefe der Mathematik lernt man, indem man nach dem Warum? fragt. Wenn Sie als Mathematikstudent dieses Buch lesen, werden Ihnen in die Beweise und Übungsaufgaben zum Selbststudium fehlen. Das ist nicht das Anliegen dieser Lektüre. Dieses Buch ist für Studierende, speziell für naturwissenschaftlich orientierte Studierende, geschrieben, die Mathematik in Ihrem Studium anwenden und soviel Mathematik verstehen müssen, dass Sie sich später mit Mathematikern unterhalten können. Das Buch ist für all diejenigen interessant, die physikalisch-naturwissenschaftliche Zusammenhänge verstehen wollen und dafür Mathematik benötigen.

In diesem Buch ist für jeden etwas dabei – ein leicht verständlicher praxisnaher Einstieg so­wohl in die Grundlagen der Mathematik als auch als Einstieg in die »Höhere Mathematik«.

Überall praktische Beispiele

Beispiele aus dem täglichen (mathematischen) Leben spielen eine wesentliche Rolle in diesem Buch. Sie erkennen die Beispiele im Text durch eine hervorgehobene Einleitung wie »Ein Beispiel« oder »Noch ein Beispiel« oder auch »Und noch ein Beispiel« usw. In diesen Beispielrechnungen sehen Sie, wie Sie praktisch die theoretischen Zusammenhänge anwenden, so dass Sie besser vorbereitet sind, wenn Sie später konkrete Probleme lösen müssen.

Ich gehe sogar noch einen Schritt weiter und das wird vielleicht nicht alle meine Mathematikkollegen erfreuen: Ich werde an einigen Stellen die zu verstehenden Begriffe eher an Beispielen praktisch vorrechnen. Ich verspreche mir davon, dass Sie bei einem gut gewählten Beispiel mehr als nur die konkrete Lösung ablesen können und zusätzlich das allgemeine Prinzip des Vorgehens besser verstehen. Zusätzliche Hinweise werden dann die allgemeine Behandlung abrunden.

Darüber hinaus finden Sie über das gesamte Buch verteilt, immer mal wieder Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften, die Ihnen zeigen sollen, wie man die jeweils gerade zu lernende Mathematik im Alltag anwenden kann.

Törichte Annahmen über den Leser

Oder anders ausgedrückt: Für wen ist dieses Buch geschrieben? Zunächst einmal haben Sie sich nicht vom Titel abschrecken lassen – weder von dem Wort »Mathematik« noch von »Dummie«. Ich bin stolz auf Sie, aber es gäbe auch keinen Grund!

Dieses Buch ist geschrieben für ...

Studenten und Studentinnen, die mathematische Grundlagen verstehen wollen oder müssen. Dieses Buch gibt Ihnen Ein- und Überblicke und Sie werden nicht genervt mit technischen Details. Sie finden praktische Hinweise und jede Menge Beispiele. Die mathematischen Begriffe werden erklärt und erläutert; insbesondere sehen Sie Querverbindungen und Zusammenhänge.

Schüler und Schülerinnen, die an der Mathematik interessiert sind und erste Einblicke in die schillernde Welt der Mathematik bekommen möchten. Sie könnten auch ein/e Schüler/in sein, der/die einen Einblick in die Universitätsmathematik bekommen, oder sich auf das nahende Studium vorbereiten möchte

Studenten oder Studentinnen, die Mathematik in Ihrem Studienfach haben und ein wenig frustriert von der in der Veranstaltung angegebenen Literatur sind.

Interessierte Personen jeden Alters, die einfach Spaß an der Mathematik haben möchten. Beeindrucken Sie Menschen mit mathematischen Konzepten, die es nicht von Ihnen erwarten. Und nebenbei, sollte man sich nicht immer weiterbilden – vielleicht auch gerade mathematisch? So folgen Sie mir auf den Spuren einer der ältesten Wissenschaften ...

Konventionen in diesem Buch

Es gibt nicht viele Regeln für dieses Buch, in die ich Sie vorher einführen müsste. Mir war beim Schreiben des Buches wichtig, dass Sie mit Spaß und einem Lächeln kompetent durch die Mathematik geführt werden. Mathematik kann nämlich Spaß machen und ist keineswegs so trocken, wie oftmals (fälschlicherweise) vermutet. Lassen Sie sich (ver)führen.

Vielleicht ein paar Kleinigkeiten zur Darstellung. Ich werde Sie stark motivieren und Ihnen die Zusammenhänge zum praktischen Leben aufzeigen. Sie werden viele Beispiele erleben und vorgerechnet sehen. Manchmal bitte ich Sie, dies rasch einmal selbst durchzurechnen – ich würde dies nicht als Übungsaufgaben verkaufen wollen, aber das selbstständige Üben ist in der Mathematik ein wesentlicher Bestandteil des Erlernens. Nutzen Sie die Chancen, wenn ich Ihnen diese gebe.

Die Symbole am Rand werden Ihnen helfen, schnell und übersichtlich die wichtigen Passagen zu erkennen. Begriffe und Schlüsselwörter werden kursiv gesetzt. So haben Sie alles wichtige immer schnell im Blick.

Nützliche Alltagsbezüge finden Sie in regelmäßigen Abständen in grauen Kästen. Diese dienen der Auflockerung – dort können Sie ein wenig aufatmen und verschnaufen.

Wie dieses Buch strukturiert ist

Dieses Buch ist in sieben Teile geteilt. Die jeweiligen Teile sind in kleinere und handliche Portionen, die Kapitel, geteilt, so dass Sie den Stoff besser aufnehmen können. Die angegebenen Teile sind grundsätzlich in analytische, algebraische und stochastische Themen unterteilt, wobei diese thematisch stark in einander verwoben sind.

Teil I: Zahlen und Rechenoperationen

In diesem Teil starten wir mit unserer kleinen Reise durch die Welt der Mathematik. Wir wiederholen einige Begriffe, die Sie sicherlich schon einmal in der Schule gehört haben. Teilweise werde ich einen anderen Blickwinkel wählen, aber das werden Sie sehen. Wir schauen uns zunächst die Zahlbereiche und ihre Eigenschaften an. Insbesondere betrachte ich mit Ihnen, wie wir von einem zum anderen kommen können. Im zweiten Kapitel gibt es ein wenig Mengenlehre zu bestaunen und ich wiederhole die beliebte Prozent- und Zinsrechnung mit Ihnen. Im dritten Kapitel wird es noch einmal technisch: Sie werden angehalten, die Mathematik als (formale) Sprache anzusehen. Das wird gewöhnungsbedürftig werden, aber dies brauchen Sie, um sich präzise in der Mathematik ausdrücken zu können. Nach einem kleinen Ausflug in die Welt der Unendlichkeit(en), schließen wir diesen Einführungsteil mit Gedanken über das Lösen von einfachen Gleichungen und Ungleichungen. Ungeduldig geworden einzusteigen? Gleich geht's los!

Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen

In diesem Teil wird Ihr Zahlenhorizont erweitert: Die komplexen Zahlen ergänzen die uns mittlerweile bekannten reellen Zahlen. Anschließend sind Sie bereit für die Lineare Algebra: Sie üben mit Linearen Gleichungssystemen und Vektorräumen umzugehen und lernen Matrizen kennen. Ich zeige Ihnen die jeweils wichtigen Eigenschaften und die grundlegenden Zusammenhänge all dieser Begriffe. Dieser Teil hat es in sich – atmen Sie gern vorher tief durch.

Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen

In diesem Teil ist es schließlich soweit – Sie starten mit der Analysis durch und lernen die wichtigsten Grundelemente kennen: Funktionen und ihre Eigenschaften, Darstellungsformen und wichtige Zusammenhänge, aber auch Zahlenfolgen und Reihen mit ihren Tests auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz. Dabei erkläre ich Ihnen wie üblich die Begriffe zunächst formal bevor die Techniken in vielen Beispielen erläutert werden, damit Sie wissen, wie Sie mit diesen analytischen Begriffen umzugehen haben. Keine Angst, wir gehen langsam voran.

Teil IV: Keine Angst vor Geometrie

In diesem Teil geht es um Geometrie – diese darf nicht fehlen! Ich zeige Ihnen ein paar Grundlagen, die Sie verstehen sollten. Im ersten der beiden Kapitel geht es um Winkel, Strahlen, aber auch Geraden und Ebenen und schließlich Dreiecke. Im zweiten der beiden Kapitel zeige ich Ihnen ein paar grundlegende Grundstrukturen in der Geometrie, sowohl bekannte Vielecke und Kreise in der Ebene, aber auch abschließend dreidimensionale Körper. All dies soll dazu dienen, dass Sie ein geometrisches Grundverständnis erwerben. Dies ist wichtig, denn die erfolgreiche Mathematik lebt von der Gabe, sich komplizierte Sachverhalte vorstellen zu können – in diesem Sinne: Möge Ihre Vorstellung hier beginnen.

Teil V: Differentiation und Integralrechnung

Differentiation und Integration von Funktionen sind die beiden großen Konzepte der Analysis. Sie bilden das Herz des Analysislehrplans. Bei der Differentiation sucht man Ableitungen. Eine Ableitung ist eine Änderungsrate, wie beispielweise Kilometer pro Stunde. Auf einem Graphen einer Abbildung teilt Ihnen die Ableitung die Steigung in einem Punkt mit. Beim Integrieren von Funktionen geht es um das Finden von Stammfunktionen, deren Ableitungen wieder die Ausgangsfunktion ergeben. Mithilfe dieser können beispielsweise Flächen unter dem Funktionsgraphen berechnet werden, die dann ebenfalls praktisch interpretiert werden können: So ist die Ableitung des Weges nach der Zeit die Geschwindigkeit, das heißt die Geschwindigkeit ist der Anstieg im Weg-Zeit-Diagramm. Andersherum ist die Größe der Fläche unter der Geschwindigkeitskurve gleich dem zurückgelegten Weg. Interessant, oder?

Teil VI: Der Top-Ten-Teil

An dieser Stelle ist es nun Zeit, einen Gang herunterzuschalten. Sie haben hier drei Kapitel vor sich, die verschiedener nicht sein könnten. Zunächst versuche ich Entwirrung in zehn verwirrende Wahrscheinlichkeitsirrtümer des Alltags zu bringen. Nehmen Sie sich Zeit, darüber nach zu denken. Wenn Sie Interesse an solchen Fragestellungen haben, sollten Sie auf jeden Fall ein wenig im Statistik- und Wahrscheinlichkeitsteil des Buches Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies schmökern! Schließlich streifen wir gemeinsam durch zehn wichtige Ansätze der naturwissenschaftlichen Physik, die stets und ständig benutzt oder nur angesprochen werden. Das allerletzte Kapitel gibt Ihnen zehn wirklich gut gemeinte Ratschläge, die Sie immer und besonders am Anfang eines Kurses beherzigen sollten. Lassen Sie sich unterhalten, doch nehmen Sie bitte die Ratschläge dennoch ernst.

Die Symbole in diesem Buch

Sie werden an vielen Stellen in diesem Buch Symbole am linken Rand einer Seite entdecken. Ich verwende drei verschiedene, um Ihre Aufmerksamkeit auf besonders wichtige Informa­tionen zu lenken. Die Bedeutung dieser Symbole möchte ich Ihnen jetzt erläutern.

Dieses Symbol kennzeichnet wichtige Hinweise, Tipps und auch Ideen, die Ihnen das Leben in der mathematischen Welt erleichtern werden. Dies können Eselsbrücken oder praktische Vorgehensweisen sein. Manchmal finden Sie auch sehr einfache, aber dennoch wichtige Zusammenhänge zwischen einzelnen mathematischen Begriffen.

Dieses Symbol deutet auf Begriffserklärungen hin. Es werden auch mathematische Objekte genau angegeben – sie werden definiert. Manchmal finden Sie auch nachhaltig einzuprägende Ideen und Zusammenhänge. Dieses Symbol wird sehr häufig auftauchen.

Dieses Symbol weist auf eine beliebte Fehlerquelle hin. Verstehen Sie es wie ein Achtung-Zeichen. In der Vorlesung würden Sie mich an solchen Stellen laut und deutlich sagen hören: Aufpassen! Konzentrieren Sie sich bitte an diesen Stellen besonders, um nicht ähnliche Fehler zu machen, wie auch schon viele Generationen vor Ihnen. Lernen Sie auch aus den Fehlern anderer.

Den modularen Aufbau für sich nutzen

Dieses Buch ist modular aufgebaut, das heißt Sie können geschickt zwischen den einzelnen Themenbereichen springen, wenn Sie sich nur einen kleinen Überblick verschaffen möchten. Ich zeige Ihnen kurz, welche Kapitel dennoch zusammenhängen.

Das erste Kapitel über die Zahlbereiche ist natürlich immer ein guter Startpunkt – dabei machen Sie nichts falsch. Wenn Sie sich dabei bereits sicher fühlen, können Sie auch im zweiten Kapitel über Polynome, Potenzen und Wurzeln sowie das Rechnen mit Zahlen und Variablen einsteigen. Das dritte Kapitel, welches Licht in die Tiefen der mathematischen Logik und Beweistechniken bringt, ist prinzipiell losgelöst von den anderen und zeigt Ihnen einen weitere Grundlage der Mathematik. Genauso verhält es sich mit dem vierten Kapitel über Gleichungen und Ungleichungen und dem Kapitel 5 über komplexe Zahlen. Diese sind alle sehr unabhängig geschrieben, geben Ihnen aber notwendige Querverweise.

In Kapitel 6 startet die Einführung in die Welt der linearen Algebra, in dem über Vektoren in Vektorräumen und lineare Gleichungssystemen gesprochen wird. Dieses baut auf dem Grundwissen aus den vorangegangen Kapiteln auf. Kapitel 7 über Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum benötigt dann das Wissen aus Kapitel 6. Das Kapitel 8 über Matrizen benötigt ebenfalls das Wissen aus Kapitel 6, ein gutes Verständnis aus Kapitel 7 ist wünschenswert.

Mit Kapitel 9 über Funktionen starten wir den analytischen Teil, der wieder auf die Grund­lagen aus den ersten fünf Kapiteln aufbaut. In Kapitel 10 wird dies thematisch über Stetigkeit und Grenzwerte fortgeführt. Kapitel 11 über Folgen und Reihen ist grundsätzlich isoliert, grundlegendes Verständnis aus den beiden vorangegangenen Analysiskapiteln ist allerdings ratsam. Die Kapitel 12 und 13 über Geometrie bauen aufeinander auf, sind aber thematisch von den anderen eher isoliert.

In Kapitel 14 über den Ableitungsbegriff von Funktionen einer Variablen benötigen Sie das Wissen aus den Kapiteln 9 und 10, vielleicht sogar ein wenig aus Kapitel 11. Das Kapitel 15 setzt mit der Kurvendiskussion direkt daran an. Dagegen können Sie das Kapitel 16 über die Integration von Funktionen einer Variablen wieder nach dem Wissen aus Kapitel 9 und 10 lesen. In den Kapitel 17 und 18 werden Ihnen Integrationstechniken gezeigt, die direkt aufeinander und das Verständnis aus Kapitel 16 aufbauen.

Trotz des modularen Aufbaus des vorliegenden Buches werden Sie dank der Querverweise Zusammenhänge erkennen können. Mit dem Kapitel 19 startet schließlich der Top-Ten-Teil. Dieser ist mit dem gewohnten Augenzwinkern geschrieben.

Es ist viel Stoff auf den folgenden Seiten untergebracht. Ich habe mir Mühe gegeben, dies unterhaltsam und doch inhaltsreich für Sie aufzuarbeiten. Seien Sie gespannt und folgen Sie mir ...

Teil I

Zahlen und Rechenoperationen

In diesem Teil ...

Wir starten nun mit unserer kleinen Reise durch die Welt der Mathematik. Wir wiederholen einige Begriffe, die Sie sicherlich schon einmal in der Schule gehört haben. Teilweise werde ich einen anderen Blickwinkel wählen, aber das werden Sie sehen. Wir schauen uns zunächst die Zahlbereiche und ihre Eigenschaften an. Insbesondere betrachte ich mit Ihnen, wie wir von einem Zahlenbereich zum anderen kommen können. Im zweiten Kapitel gibt es ein wenig Mengenlehre zu bestaunen und ich wiederhole die beliebte Prozent- und Zinsrechnung mit Ihnen. Im dritten Kapitel wird es noch einmal technisch: Sie werden angehalten, die Mathematik als (formale) Sprache anzusehen. Das wird gewöhnungsbedürftig werden, aber dies brauchen Sie, um sich präzise in der Mathematik ausdrücken zu können. Nach einem kleinen Ausritt in die Welt der Unendlichkeit(en), schließen wir diesen Einführungsteil mit Gedanken über das Lösen von einfachen Gleichungen und Ungleichungen. Ungeduldig? Dann also los ...

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Zahlen und Grundrechenarten

In diesem Kapitel ...

Natürliche Zahlen durch die Nachfolgeroperation erkennen

Mit Differenzen zu den ganzen Zahlen

Mit Quotienten zu den rationalen Zahlen

Irrationale Zahlen hinzunehmen

v Rechnen mit Variablen, Klammern und Summenzeichen

In diesem ersten Kapitel zeige ich Ihnen, woher die Zahlen kommen und wie Sie mit diesen rechnen können. Mit diesem Verständnis lernen Sie nebenbei noch einmal, wie Sie mit Brüchen zu arbeiten haben. Am Ende dieses Einführungskapitels werden Sie mit den Grundbestandteilen der mathematischen Sprache vertraut gemacht: den Variablen! Das Rechnen mit diesen Unbekannten muss sitzen, wie Sie sehen werden.

Mathematik und ihre natürlichen Zahlen

Fangen wir langsam an. Wenn Sie in einem Korb Ihre Äpfel zählen wollen, dann starten Sie mit der Eins und zählen weiter: zwei, drei, vier und so weiter. Diese Zahlen benötigen Sie ständig im täglichen Leben – es handelt sich um die so genannten natürlichen Zahlen.

Die Menge der natürlichen Zahlen bilden die Zahlen . Diese Menge ist unendlich groß: Ist nämlich eine Zahl in der Menge enthalten, so auch ihr Nachfolger.

Die natürlichen Zahlen sind in Abbildung 1.1 dargestellt, so wie Sie sie erwarten:

Abbildung 1.1: Natürliche Zahlen

Die Mathematiker sind sich oft nicht ganz einig, ob sie die Null zur Menge der natürlichen Zahlen hinzuzählen sollen. Das stellt aber auch kein Problem dar. Es handelt sich um eine typische Situation in der Mathematik: Mit beiden Varianten können sie leben und rechnen, aber sie müssen es vorher festlegen – die Mathematiker nennen dies »definieren«.

In diesem Buch gehört die Null zur Menge der natürlichen Zahlen. Ich sage Ihnen auch, warum ich dies gut finde: Stellen Sie sich vor, Sie möchten die natürlichen Zahlen verwenden, um eine Anzahl von Gegenständen zu beschreiben: Wie viele Äpfel im Korb sind; wie viele Birnen sich im Regal befinden oder wie viele Autos auf der Straße vorbeifahren. Dies können eben 1, 2, 3 oder 1000 sein. Der Korb, das Regal oder die Straße kann aber genauso gut auch leer sein. Diese Anzahl würden Sie dann mit Null beschreiben.