Übungsbuch Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies E-Book

Thoralf Räsch

• Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 394

Veröffentlichungsjahr: 2018

Beschreibung

Für alle Naturwissenschaftler ist sie unverzichtbar aber nicht unbedingt beliebt: die Mathematik! Aber Mathematik muss nicht langweilig oder schwer verständlich sein, es kann sogar Spaß machen, wenn man die Grundlagen versteht und Erfolge beim Lösen der Aufgaben feiern kann. In diesem Buch wiederholt Thoralf Räsch noch einmal kurz die wichtigsten Formeln, Definitionen und Rechenregeln, sodass Sie sich gleich auf die vielen passenden Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen stürzen können. So können Sie sich perfekt auf die nächste Prüfung vorbereiten.

Leseprobe

Übungsbuch Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies

Schummelseite

STRAHLENSÄTZE

SPEZIELLE PRODUKTE – BINOMISCHE FORMELN

Summe und Differenz:

Quadriertes Binom:

Kubisches Binom:

REGELN FÜR WURZELN

Wurzel eines Produkts:

Wurzel eines Quotienten:

Bruchexponent:

PERMUTATIONEN UND KOMBINATIONEN

Variation (mit Reihenfolge)Kombination (ohne Reihenfolge)Mit Wiederholung (mit Zurücklegen)Ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen)

STANDARDGLEICHUNGEN FÜR KEGELSCHNITTE

Parabel:Kreis:Ellipse:Hyperbel:

QUADRAT‐/MITTERNACHTSFORMEL

Wenn , so ist , sofern und .

LOGARITHMUSREGELN

Äquivalenzen:Logarithmus eines Produkts:Logarithmus eines Quotienten:Logarithmus einer Potenz:Logarithmus eines Reziproks:Logarithmus der Basis:Logarithmus von 1:

SUMME VON FOLGEN

Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen:Summe der ersten n Quadratzahlen:Summe der ersten n Kubikzahlen:Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge:Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge:Summe aller Terme einer geometrischen Folge mit |r| < 1:

KOORDINATENGEOMETRIE

Für zwei Punkte () und () gilt:

DIE WUNDERBARE TRIGONOMETRIETABELLE

Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks

H = Hypotenuse A = Ankathete

G = Gegenkathete

DIE NOCH WUNDERBARERE GEOMETRIETABELLE

Alle Dreiecke:Kreis:Parallelogramm:Gleichseitiges Dreieck:Kugel:Trapez: ( und sind die Grundlinien.)Rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras: (c ist die Hypotenuse)Kreisabschnitt: (α = Winkel in der Mitte)Kegel und Pyramide: (A ist die Grundfläche.)

Übungsbuch Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2018

© 2018 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies‐Mann‐Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: © CherriesJD / iStock / Thinkstock

Korrektur: Matthias Delbrück, Dossenheim

Lektorat: Tobias Schwaibold, Rösrath

Print ISBN: 978‐3‐527‐71317‐2

ePub ISBN: 978‐3‐527‐80504‐4

mobi ISBN: 978‐3‐527‐80505‐1

Über den Autor

Dr. Thoralf Räsch studierte Mathematik undd Informatik an der Humboldt‐Universität zu Berlin und promovierte anschließend an der Universität Potsdam im Bereich der Mathematischen Logik. Derzeit ist er Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet dort seit vielen Jahren Mathematik in verschiedenen Bachelor‐Studiengängen der Mathematisch‐Naturwissenschaftlichen Fakultät. Für sein Engagement in der Lehre verlieh ihm die Deutsche Telekom Stiftung 2015 den Preis für MINT‐Lehrerbildung. Insgesamt ist er schon seit mehr als einem Jahrzehnt in verschiedenen Projekten für Schülerinnen und Schüler zunächst aus dem Berliner und später Bonner Raum tätig, in denen auf unterschiedlichem Niveau begeisternd in die Welt der Mathematik eingeführt wird. Nicht zuletzt durch Erfahrungen in Kursen der Volkshochschule kennt er die mathematischen Wünsche, aber auch die Ängste von Jung und Alt und zeigt in seinen Projekten, dass Mathematik auch Spaß bereiten kann. Seine Projekte und Bücher sind inhaltlich stets verständlich und unterhaltsam angelegt, um potenzielle Widerstände gegenüber der Mathematik abzubauen.

Danksagung

Ich danke den Studierenden der letzten Jahre, an denen ich die eine oder andere Aufgabe ausprobieren durfte und die mich mit ihren hilfreichen Fragen und Kommentaren enorm inspirierten. Insbesondere sei hierbei mein Team der Tutoreninnen und Tutoren erwähnt. Je nach Semester und Teamzusammenstellung sind hier sehr fruchtbare Diskussionen rund um die Aufgaben entstanden. Am meisten danke ich der angehenden Mathematiklehrerin Christiane Langel, vor allem für ihre überdurchschnittlich professionelle und detailverliebte Umsetzung meiner Abbildungswünsche sowie für das Korrekturlesen des gesamten Buches. Durch ihre Korrekturen hat sie dankenswerterweise in Quantität und Qualität dazu beigetragen, dass viele mögliche Problemstellen erst gar nicht problematisch wurden, sondern bereits im Keim erstickt werden konnten. Ihre sorgsam erstellten Umsetzungen halfen darüber hinaus, den Lesefluss des Buches noch einmal zu verbessern.

Nicht weniger danke ich meinen Kolleginnen und Kollegen, die direkt oder auch nur indirekt Passagen des Manuskriptes gewinnbringend beeinflussten. Exemplarisch möchte ich hier die sehr geschätzten Herren Kollegen Joachim Gräter, Michael Rapoport und Michael Welter nennen. Außerdem danke ich der Universität Bonn für die Möglichkeit, Teil der Bonner Mathematik zu sein und so auch die vielfältige, inspirierende und mir persönlich sehr wichtige Lehre in den Studiengängen der Mathematik, Physik und Informatik durchführen zu können. Ohne diese Lehre würde mir der richtige Blickwinkel für das Schreiben meiner Bücher fehlen.

Einmal mehr hat die Zusammenarbeit mit meinem Lektor viele interessante Detaildiskussionen hervorgebracht. Ich danke an dieser Stelle ausdrücklich und in einer ganz besonderen Weise Herrn Tobias Schwaibold für seine unkomplizierte, effiziente und zielorientierte Arbeitsweise. Er hatte nicht nur die stilistischen Details der Buchreihe im Blick, sondern machte mit seinem mathematisch‐naturwissenschaftlichen Können auch zahlreiche Stellen im Buch besser lesbar und befreite einige Passagen von inhaltlichen Unstimmigkeiten.

Last but not least: Ich danke Klara und Ben für ihr Dasein in meinem Leben und somit auch für die Kraft, die sie mir zum Schreiben gaben. Von Herzen kommend für so vieles geht nicht minder mein Dank an ihre Frau Mama.

Th. R.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Titelseite

Impressum

Über den Autor

Danksagung

Einleitung

Über dieses Buch

Törichte Annahmen über den Leser

Konventionen in diesem Buch

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Wie es weitergeht

Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen

Kapitel 1: Der Sandkasten der Mathematik

Mit den logischen Grundlagen starten

Aufgaben zum Üben

Zahlen, Klammern, Brüche, Potenzen und Wurzeln

Aufgaben zum Üben

Gleichungen und Ungleichungen in Angriff nehmen

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 2: Mengen, Induktion, Prozente und Zinsen

Einfache Mengenoperationen und Venndiagramme

Aufgaben zum Üben

Vollständige Induktion bezwingt die Unendlichkeit

Aufgaben zum Üben

Prozentrechnung für den Alltag

Aufgaben zum Üben

Zins‐ und Zinseszinsrechnung zum Verstehen

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 3: Elementare Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit

Grundlegende Funktionen mit ihren Eigenschaften

Von Umkehrfunktionen und inversen Funktionen

Aufgaben zum Üben

Funktionen mithilfe von Grenzwerten auswerten

Aufgaben zum Üben

Funktionen und ihre (Un‐)Stetigkeitsstellen

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Teil II: Differenziation – die Kunst des Ableitens

Kapitel 4: Idee und Regeln des Ableitens – nur wer sich ändert, bleibt sich treu

Der wichtige Differenzenquotient

Grundlegende Regeln der Differenziation

Aufgaben zum Üben

Differenziationsregeln für Profis

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 5: Die Extrem‐, Wende‐ und Sattelpunkte sowie Taylorpolynome

Kurvendiskussion: Extrem‐, Wende‐, Sattelpunkte und Krümmungsverhalten berechnen

Aufgaben zum Üben

Den Zwischen‐ und Mittelwertsatz benutzen

Aufgaben zum Üben

Rettungsanker Taylorpolynom

Aufgaben zum Üben

Die nützliche Regel von l'Hospital

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Teil III: Folgen, Reihen und die Kunst des Integrierens

Kapitel 6: Von Folgen und Reihen

Konvergenzregeln für Zahlenfolgen anwenden

Aufgaben zum Üben

Konvergenzregeln für Reihen anwenden

Aufgaben zum Üben

Umordnungssätze einmal praktisch gesehen

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 7: Integration: Differenziation rückwärts

Integrationstheorie leicht gemacht – das Riemannintegral

Integration durch Substitution

Integration durch partielles Integrieren

Integrieren mittels Partialbruchzerlegung

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Teil IV: Lineare Algebra

Kapitel 8: Grundlagen von Vektorräumen verstehen

Die Werkzeugkiste für Vektoren im Vektorraum

Aufgaben zum Üben

Untervektorräume – Vektorräume in Vektorräumen

Aufgaben zum Üben

Vektoren und ihre Koordinaten

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 9: Lineare Abbildungen, Matrizen und lineare Gleichungssysteme verknüpfen

Geradengleichungen und ihre Lagebeziehungen

Aufgaben zum Üben

Rechnen mit Matrizen

Aufgaben zum Üben

Artenvielfalt von linearen Gleichungssystemen

Aufgaben zum Üben

Kapitel 10: Matrizenrechnung leicht verständlich

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte

Aufgaben zum Üben

Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen

Aufgaben zum Üben

Matrizen und ihre Determinanten

Aufgaben zum Üben

Die Cramersche Regel

Aufgaben zum Üben

Flächen und Volumina mittels Determinanten bestimmen

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Auf Linearität prüfen

Kapitel 11: Keine Angst vor Basistransformation, Eigenwerttheorie und Diagonalisieren

Basistransformation und Matrixdarstellung bezüglich beliebiger Basen

Aufgaben zum Üben

Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume

Aufgaben zum Üben

Matrizen einfach diagonalisieren

Aufgaben zum Üben

Drehungen und Spiegelungen

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 12: Real, aber selten reell: komplexe Zahlen

Einfache komplexe Rechenoperationen

Aufgaben zum Üben

Rechnen mit komplexen Gleichungen

Aufgaben zum Üben

Polarkoordinaten und Einheitswurzeln

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Teil V: Grundlagen der Stochastik

Kapitel 13: Von Mittelwerten, Quantilen und vertrauenswürdigen Zusammenhängen

Qualitative und quantitative Daten beschreiben

Aufgaben zum Üben

Lagemaße, Perzentile und Boxplots

Aufgaben zum Üben

Standardabweichung

Aufgaben zum Üben

Streudiagramme und Korrelationskoeffizienten

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 14: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf einen Blick

Im Dschungel der Wahrscheinlichkeiten überleben

Aufgaben zum Üben

Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse

Aufgaben zum Üben

Von Urnen und Kugeln

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 15: Venn‐ und Baumdiagramme und der Satz von Bayes

Wahrscheinlichkeiten in Venndiagrammen

Aufgaben zum Üben

Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen darstellen

Aufgaben zum Üben

Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

Aufgaben zum Üben

Der Satz von Bayes

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Teil VI: Stochastik für Fortgeschrittene

Kapitel 16: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen

Aufgaben zum Üben

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen

Aufgaben zum Üben

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 17: Die wunderbare Welt der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Gleichverteilung

Aufgaben zum Üben

Binomialverteilung

Aufgaben zum Üben

Poissonverteilung

Aufgaben zum Üben

Geometrische Verteilung

Aufgaben zum Üben

Hypergeometrische Verteilung

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Kapitel 18: Die wunderbare Welt der stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Stetige Gleichverteilung

Normalverteilung

Aufgaben zum Üben

Exponentialverteilung

Aufgaben zum Üben

Lösungen zu den Aufgaben

Teil VII: Der Top‐Ten‐Teil

Kapitel 19: Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses

Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung

Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen

Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften

Schauen Sie auch in die Bücher

Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben

Gruppenarbeit nicht ausnutzen

Lernen Sie nicht nur für die Klausur

Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher

Aus Fehlern lernen

Der eigene Kurs ist immer der wichtigste!

A Tabellen beliebter Verteilungsfunktionen

Tabelle für die Binomialverteilung

Tabelle für die Normalverteilung

Tabelle für die Poissonverteilung

Stichwortverzeichnis

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Guide

Cover

Inhaltsverzeichnis

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Illustrationsverzeichnis

Kapitel 1

Abbildung 1.1: Spielkarten aus Aufgabe 1.5

Abbildung 1.2: Der Zusammenhang verschiedener Zahlenmengen (Aufgabe 1.8)

Kapitel 2

Abbildung 2.1: Das Venndiagramm dreier Mengen

,

und

(Aufgabe 2.1)

Kapitel 3

Abbildung 3.1: Injektivität versus Surjektivität – schematische Darstellung der vier Fälle

Abbildung 3.2: Die Graphen von

und

Abbildung 3.3: Zwei Arten von Unstetigkeitsstellen

Abbildung 3.4: Funktionen und ihre Graphen aus der Aufgabe 3.1

Abbildung 3.5: Funktionen und ihre Graphen aus der Aufgabe 3.2

Abbildung 3.6: Die Funktion

und ihre Umkehrung (Aufgabe 3.3)

Abbildung 3.7: Die Funktion

und ihre Umkehrung (Aufgabe 3.3)

Abbildung 3.8: Die Sinusfunktion und ihre Umkehrfunktion (Aufgabe 3.4)

Abbildung 3.9: Die Kosinusfunktion und ihre Umkehrfunktion (Aufgabe 3.4)

Abbildung 3.10: Der Graph der Funktion

aus der Aufgabe 3.5

Abbildung 3.11: Der Graph der Funktion

aus der Aufgabe 3.6

Abbildung 3.12: Die ersten vier Funktionen aus der Aufgabe 3.7

Abbildung 3.13: Die letzten beiden Funktionen aus der Aufgabe 3.7

Kapitel 4

Abbildung 4.1: Die Definition des Differenzenquotienten am Beispiel der Funktion

Abbildung 4.2: Der Graph von

aus der Aufgabe 4.1

Abbildung 4.3: Der Graph von

mit der Tangente im Punkt

aus der Aufgabe 4.2

Kapitel 5

Abbildung 5.1: Der Graph von

mit mehreren interessanten Punkten

Abbildung 5.2: Eine Darstellung des Zwischenwertsatzes

Abbildung 5.3: Eine Darstellung des Mittelwertsatzes

Abbildung 5.4: Der Graph der Funktion

aus der Aufgabe 5.1

Abbildung 5.5: Der Graph der Funktion

aus der Aufgabe 5.2

Abbildung 5.6: Der Graph der Funktion

aus der Aufgabe 5.3

Abbildung 5.7: Der Graph der Funktion

aus der Aufgabe 5.4

Abbildung 5.8: Der Graph der Funktion

aus der Aufgabe 5.5

Abbildung 5.9: Der Graph der Funktion

aus der Aufgabe 5.6

Abbildung 5.10: Eine Sekante und passende Tangente dazu an einem Graphen (Aufgabe 5.8)

Kapitel 7

Abbildung 7.1: Treppenstufen zur Annäherung einer Fläche

Kapitel 8

Abbildung 8.1: Die Basis

der reellen Ebene, bestehend aus den Winkelhalbierenden der beiden ersten Quadranten (Aufgabe 8.11)

Kapitel 9

Abbildung 9.1: Die (Lage‐)Beziehungen zweier Geraden

Kapitel 10

Abbildung 10.1: Der Kern und das Bild einer linearen Abbildung

Abbildung 10.2: Ein Parallelogramm in der Ebene

Kapitel 12

Abbildung 12.1: Eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene

Abbildung 12.2: Die Darstellung der Multiplikation komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten

Abbildung 12.3: Die komplexen fünften Einheitswurzeln aus Aufgabe 12.5

Kapitel 13

Abbildung 13.1: Abstimmungsergebnis zur Mottowahl aus der Aufgabe 13.1

Abbildung 13.2: Der Boxplot einer Stichprobe

Abbildung 13.3: Die systolischen Werte einer Blutdruckmessung (Aufgabe 13.2)

Abbildung 13.4: Die Anzahl der Blüten entsprechend der Düngemenge (Aufgabe 13.4)

Abbildung 13.5: Der Boxplot basierend auf dem Datensatz aus der Aufgabe 13.2

Abbildung 13.6: Das Streudiagramm für den Datensatz aus der Aufgabe 13.4

Abbildung 13.7: Reine Daten zur Berechnung der Studie aus Aufgabe 13.5

Kapitel 14

Abbildung 14.1: Zwei Ereignisse

A

und

B

im Baumdiagramm (Aufgabe 14.3)

Abbildung 14.2: Eine Krankheit und ihre Untersuchungstests

Abbildung 14.3: Schrittweise entlang der Pfade zum Ziel kommen (Aufgabe 14.3)

Kapitel 15

Abbildung 15.1: Verschiedene Venndiagramme für drei Mengen

A

,

B

und

C

(Aufgabe 15.1)

Abbildung 15.2: Nochmals Venndiagramme und ihre Interpretation (Aufgabe 15.2)

Abbildung 15.3: Klaras Wahrscheinlichkeiten beim Drehen des Glücksrades (Aufgabe 15.3)

Abbildung 15.4: Karriereplanung einmal anders (Aufgabe 15.4)

Abbildung 15.5: Jobchancen als Baumdiagramm (Aufgabe 15.4)

Abbildung 15.6: Das Baumdiagramm zu den Biobauern aus Aufgabe 15.5

Kapitel 16

Abbildung 16.1: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Aufgabe 16.3

Abbildung 16.2: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für das Werfen mit 3 Würfeln (Aufgabe 16.1)

Abbildung 16.3: Das Histogramm des Werfens von 3 Würfeln (Aufgabe 16.1)

Abbildung 16.4: Der Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion

aus der Aufgabe 16.2

Abbildung 16.5: Der Graph der Verteilungsfunktion

aus der Aufgabe 16.2

Abbildung 16.6: Darstellung der berechneten Wahrscheinlichkeitsfunktion

aus Aufgabe 16.3

Kapitel 17

Abbildung 17.1: Die Poissonverteilung mit

(links die Wahrscheinlichkeitsfunktion, rechts die Verteilungsfunktion)

Abbildung 17.2: Die Stichprobensituation bei einer hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung

Kapitel 18

Abbildung 18.1: Darstellung von Dichte‐ (links) und Verteilungsfunktion (rechts) einer stetigen Gleichverteilung

Abbildung 18.2: Die Normierung einer Normalverteilung führt zur

‐Verteilung.

Abbildung 18.3: Die Normalverteilung mit ihren

‐Intervallen

Tabellenverzeichnis

Appendix 1

Tabelle A:1 Die kumulative Verteilungsfunktion für die Binomialverteilung. Die Zahlen in der Tabelle repräsentieren

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Einleitung

Ich freue mich und möchte Ihnen danken, dass Sie sich für dieses Buch entschieden haben – eine gute Wahl, wie ich finde. Dieses Buch ergänzt das Buch »Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies«, und ich müsste eigentlich in jedem Kapitel mehrfach auf die in jenem Buch vermittelte Theorie verweisen. Sehen Sie beide Bücher bitte als eine Einheit, die ohne den jeweils anderen Teil nicht auskommt. Im ersten Buch versuche ich, Ihnen die Theorie in allen Details zu vermitteln. Sie finden dort die wichtigsten mathematischen Zusammenhänge, die Sie als angehender Naturwissenschaftler brauchen. In den einzelnen Kapiteln dieses Buches wird die Theorie nur sehr knapp wiederholt. Dafür haben Sie mit diesem Buch die Möglichkeit, in knapp 170 Aufgaben die Theorie nach allen Regeln der Kunst zu üben. Sie werden jetzt vielleicht sagen, dass beispielsweise ein Biologe und ein Physiker sehr unterschiedliche Herangehensweisen an die Mathematik benötigen. Stimmt. Aber was sie gemeinsam haben, sind die mathematischen Grundkonzepte und Grundideen. Alle Naturwissenschaftler brauchen die praxisrelevanten mathematischen Grundlagen, und genau darum soll es gehen.

Über dieses Buch

Dieses Übungsbuch zu dem Buch »Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies« bietet Ihnen die Chance, mathematisch zu stolpern und Ihre mathematische Perspektive durch eine Änderung des Blickwinkels zu erweitern. Mathematik lernt man nur durch eigenständiges Stolpern anhand von Aufgaben. Sie müssen selbst aktiv werden. Wenn ich Ihnen eine Aufgabe, einen Beweis oder ein Beispiel vorrechne, besteht die Gefahr, dass Sie mögliche Irrwege gar nicht erkennen. Wenn Sie aber selbst erfahren haben, wo genau die Fallgruben sind, werden Sie diese in späteren Projekten gekonnt umgehen.

Dieses Buch ist für Studierende der Naturwissenschaften geschrieben, die in ihrem Studium Mathematik anwenden und so viel davon verstehen müssen, dass sie sich später mit Mathematikern unterhalten können. Es ist kein Nachhilfebuch für den Abiturstoff, nur weil auch Integrale thematisiert werden. Vielmehr geht es um Mathematik auf Universitätsniveau, wie Sie es im Studium der Naturwissenschaften benötigen.

Törichte Annahmen über den Leser

Für wen ist dieses Buch geschrieben? Zunächst einmal haben Sie sich nicht vom Titel abschrecken lassen, weder vom Wort »Übungsbuch« noch von »Mathematik« und auch nicht von »Dummies«. Ich bin stolz auf Sie.

Dieses Buch ist geschrieben für …

Schülerinnen und Schüler, die an der Mathematik interessiert sind und erste Einblicke in die schillernde Welt der höheren Mathematik bekommen möchten. Vielleicht geht es Ihnen um einen Einblick in die Universitätsmathematik. Den können Sie hier haben.

Studierende, die Mathematikkurse belegen und ein wenig frustriert von der in der Veranstaltung angegebenen Literatur sind. Dieses Buch gibt Ihnen Ein‐ und Überblicke und jede Menge Übungsaufgaben, die ich selbst als Wochen‐ oder Klausuraufgaben in meinen Kursen verwende. Dabei werden Sie nicht mit technischen Details überfrachtet, sondern finden viele ganz praktische Hinweise. Die wichtigsten mathematischen Begriffe werden erklärt und erläutert. Dennoch werden Sie unter Umständen auch immer mal wieder in das oben genannte Hauptbuch hineinschauen müssen.

Interessierte Personen jeden Alters, die ihr mathematisches Grundlagenwissen in einem Trainingslager voller Übungsaufgaben auffrischen möchten. Wie peinlich ist es für Eltern, wenn sie ihrem Kind nicht bei den Hausaufgaben helfen können. Eltern möchten doch (fast) perfekt sein. In diesem Sinne: Zeigen Sie keine Blöße und frischen Sie mithilfe dieses Buches Ihre Kenntnisse zur Prozentrechnung auf! Beeindrucken Sie Menschen, die es nicht von Ihnen erwarten, mit mathematischen Konzepten. Man sollte sich immer weiterbilden – warum also nicht auch (und gerade) mathematisch? Folgen Sie mir also auf den Spuren einer der ältesten Wissenschaften …

Konventionen in diesem Buch

Es gibt nicht viele Regeln für dieses Buch, in die ich Sie vorher einführen müsste. Beim Schreiben des Buches war mir wichtig, dass Sie mit einem Lächeln kompetent durch die Mathematik geleitet werden. Mathematik kann nämlich Spaß machen und ist keineswegs so trocken, wie oftmals (und fälschlicherweise) vermutet wird. Lassen Sie sich also von mir (ver)führen. Ich versuche, Sie im Geiste an die Hand zu nehmen und gemeinsam mit Ihnen durch die wundersame Welt der Mathematik zu spazieren. Auf dem kurvigen Weg besprechen wir ein paar Aufgaben. So sehe ich meine Bücher.

Die weiter unten erläuterten Symbole am Rand werden Ihnen helfen, schnell und übersichtlich die wichtigen Passagen zu erkennen. Neue Begriffe und Schlüsselwörter sind fett gedruckt. Inhaltliche Betonungen werden durch eine kursive Schreibweise kenntlich gemacht. So haben Sie alles Wichtige immer schnell im Blick.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in sieben Teile plus einen Anhang gegliedert. Ich habe mich dabei größtenteils am oben genannten Hauptbuch orientiert. Sie können beide Bücher nebeneinanderlegen und finden in den korrespondierenden Teilen die nötige Theorie beziehungsweise die passenden Aufgaben. Die jeweiligen Teile sind auch hier in kleinere und handliche Portionen, die Kapitel, aufgeteilt, damit Sie den Stoff besser aufnehmen können. Die Teile unterscheiden grundsätzlich vier mathematische Teilgebiete: Analysis, Lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Der Aufbau der Teile ist mit der Darstellung im Hauptbuch deckungsgleich, sie sollten sich also sofort im jeweils anderen Buch zurechtfinden. Nur einzelne Kapitelnummern können wegen Zusammenlegungen oder Aufspaltungen leicht voneinander abweichen.

Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen

In diesem Teil geht es um den mathematischen Kindergarten. Ich zeige Ihnen Grundrechenarten, erläutere noch einmal die Bruchrechnung und lüfte Geheimnisse rund um die Prozent‐ und Zinsrechnung. Anschließend können Sie Grundlagen der mathematischen Logik und der Mengenlehre wiederholen. Dann machen wir einen kleinen Sprung. Sie lernen, wie man mithilfe der vollständigen Induktion die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen bezwingen kann. Schließlich zeige ich Ihnen elementare Funktionen und ihre grundlegenden Eigenschaften, auf die Sie sich in späteren Kapiteln immer wieder beziehen können.

Teil II: Differenziation – die Kunst des Ableitens

Dies ist der erste Teil zur Analysis. Hier suchen Sie unter anderem Steigungen von Funktionen in einem Punkt. Die Ableitung einer Funktion in einem Punkt gibt an, wie steil die Funktion in diesem Punkt ist – das könnte Ihnen zum Beispiel wichtige Informationen für Ihre nächste Bergtour liefern.

Teil III: Integration – eine Kunst für sich

Dieser Teil behandelt das zweite große Thema der Analysis, die Integration. Es geht beispielsweise um das Finden von Flächeninhalten, die durch die Graphen von Funktionen begrenzt werden. Sie werden an vielen Aufgaben sehen, wie Sie die verschiedenen Integrationsmethoden schrittweise anwenden können.

Teil IV: Lineare Algebra

Mein Lieblingsteil behandelt hauptsächlich das Lösen von Gleichungssystemen. Solche Systeme spielen in der Praxis eine wesentliche Rolle, wenn komplexe Systeme beschrieben werden sollen. In der Schule haben Sie gelernt, wie man relativ leicht zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten in den Griff bekommt. In diesem Teil zeige ich Ihnen, wie Sie fast genauso einfach Systeme mit zehn Gleichungen und zehn Unbekannten lösen können, ohne daran zu verzweifeln. Die zugrundeliegenden Methoden und Herangehensweisen funktionieren sogar genauso gut für beliebig viele Gleichungen und Unbekannte!

Ein mit Gleichungssystemen verwandtes Thema sind besonders schöne Funktionen, die lineare Abbildungen genannt werden. Diese Funktionen beschreiben in der Praxis beispielsweise die Bewegungen eines Roboterarms in der Automobilherstellung. Solche Abbildungen können Sie als Matrizen darstellen. In den ganz praktischen Aufgaben zur Linearen Algebra, die ich für Sie vorbereitet habe, können Sie sich mit all diesen Methoden vertraut machen. Und als kleinen Nachschlag gibt es noch ein paar Aufgaben rund um die komplexen Zahlen obendrauf.

Teil V: Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieser Teil führt Sie in die Welt der Stochastik ein. Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Statistik umfasst. Ich zeige Ihnen, wie Sie überzeugende Statistiken des täglichen Lebens interpretieren und was Sie aus ihnen herauslesen können (und auch, was eben nicht). Außerdem gebe ich Ihnen Tipps, wie Sie die Methoden der Statistik verwenden können, um Ihre Ergebnisse geschickt darzustellen – im positiven Sinne natürlich! Anhand zahlreicher Aufgaben können Sie die Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausgiebig üben.

Teil VI: Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieser Teil setzt den vorhergehenden fort. Ich zeige Ihnen weitergehende statistische Methoden und entführe Sie in die Welt der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Dabei nehmen Sie die verschiedenen Verteilungsarten etwas genauer unter die Lupe und lernen anhand der Aufgaben, wann man welche wie einsetzt.

Teil VII: Der Top‐Ten‐Teil

In diesem Teil gebe ich Ihnen zehn wirklich gut gemeinte Ratschläge, die Sie besonders am Anfang eines Kurses beherzigen sollten. Diese Lebensweisheiten erzähle ich in jedem neuen Kurs, und jedes Mal denke ich, dass es nicht nötig gewesen wäre. Doch es gibt immer wieder Fälle, die mir das Gegenteil beweisen. Ich wünsche Ihnen eine unterhaltsame Lektüre, doch nehmen Sie die Ratschläge bitte ernst.

Anhang

In diesem Abschnitt finden Sie drei wichtige Tabellen über Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Sie in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung immer wieder benötigen. Sie werden Ihnen in Teil V und VI helfen.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Sie werden an vielen Stellen in diesem Buch graphische Symbole am Seitenrand entdecken. Ich verwende drei verschiedene Symbole, um Ihre Aufmerksamkeit auf besonders wichtige Informationen zu lenken. Die Bedeutung dieser Symbole möchte ich Ihnen jetzt erläutern.

Dieses Symbol deutet auf die Erklärung beziehungsweise mathematische Definition wichtiger Begriffe hin. Es werden also mathematische Objekte genau beschrieben. Manchmal finden Sie bei diesem Symbol auch Ideen und Zusammenhänge, die sich nachhaltig einprägen sollten. Sie werden dieses Symbol sehr häufig in diesem Buch finden.

Dieses Symbol kennzeichnet wichtige Hinweise und Ideen, die Ihnen das Leben in der mathematischen Welt erleichtern werden. Dies können Eselsbrücken oder praktische Vorgehensweisen sein. Manchmal finden Sie auch sehr einfache, aber dennoch wichtige Zusammenhänge zwischen einzelnen mathematischen Begriffen. In der Mathematik nennt man so etwas einen mathematischen Satz. In Mathematikbüchern wird für solche Aussagen immer auch ein Beweis verlangt. Aber dafür haben Sie ja die Mathematiker.

Dieses Symbol weist auf eine beliebte Fehlerquelle hin. Hier ist also Ihre volle Aufmerksamkeit gefragt. In der Vorlesung würden Sie mich an solchen Stellen laut und deutlich sagen hören: Aufpassen! Konzentrieren Sie sich an diesen Stellen bitte besonders, um nicht dieselben Fehler zu machen wie auch schon viele Generationen vor Ihnen. Lernen Sie lieber aus den Fehlern anderer.

Wie es weitergeht

Dieses Buch ist modular aufgebaut, das heißt, Sie können zwischen den einzelnen Themenbereichen hin‐ und herspringen, wenn Sie sich nur einen kleinen Überblick verschaffen möchten. Ich sage Ihnen aber noch kurz, welche Kapitel dennoch zusammenhängen.

In den ersten beiden Kapiteln können Sie noch einmal die mathematischen Grundlagen wiederholen, die Sie größtenteils aus der Schule kennen‐ und (hoffentlich) lieben gelernt haben. Nutzen Sie ruhig noch einmal die Gelegenheit, um Ihre Kenntnisse aufzufrischen. Sollten Sie sich aber schon noch fit fühlen, können Sie auch direkt in

Kapitel 3

einsteigen. Dort zeige ich Ihnen die ersten analytischen Zusammenhänge in Bezug auf elementare Funktionen.

In den

Kapiteln 4

und

5

geht es ums Ableiten und in

Kapitel 7

ums Integrieren. Diese Kapitel können Sie unabhängig voneinander verstehen, wobei ich die vorgegebene Reihenfolge empfehlen möchte. Das

Kapitel 6

gibt Ihnen einen Überblick über Folgen und Reihen, inklusive der wichtigsten Konvergenzkriterien. Es ist relativ unabhängig von den restlichen Kapiteln aus den

Teilen II

und

III

, außer dass es ein paar Kriterien gibt, die auf Methoden aus denselben basieren. Grundsätzlich müssen Sie aber für dieses Kapitel kein Analysisexperte sein.

Die

Kapitel 8

,

9

,

10

und

11

bauen aufeinander auf. Sie entwickeln die Lineare Algebra rund um Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen bis hin zur Basistransformation und der Eigenwerttheorie. Wenn Sie über entsprechendes Vorwissen verfügen, können Sie natürlich stets zu einzelnen Kapiteln springen.

Im

Kapitel 12

üben Sie die komplexen Zahlen. Dieses Kapitel ist völlig unabhängig von den anderen Kapiteln.

Die

Kapitel 13

,

14

und

15

geben Ihnen einen Überblick über die wichtigsten Hilfsmittel in der Statistik. Sie bauen aufeinander auf, ich empfehle Ihnen also, sie nacheinander durchzuarbeiten.

Die

Kapitel 16

,

17

und

18

entführen Sie zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Sie benötigen, um die reale Welt mittels mathematischer Methoden nachbilden zu können. Wenn Sie wissen, was in dieser Hinsicht alles möglich ist, können Sie Probleme aus der Praxis mathematisch modellieren und im besten Fall zu einer einsichtsreichen Lösung kommen. Hier gibt es übrigens ein Kapitel mehr als im Hauptbuch, damit Sie die wichtigsten Verteilungen ausführlich üben können. Auch hier empfehle ich Ihnen, die Kapitel nacheinander durchzugehen.

Es ist viel Stoff auf den folgenden Seiten untergebracht. Ich habe mir Mühe gegeben, diesen unterhaltsam und doch inhaltsreich für Sie aufzuarbeiten. Seien Sie also gespannt und folgen Sie mir …

Viel Spaß und gutes Gelingen!

Teil I

Algebraische und analytische Grundlagen

IN DIESEM TEIL . . .

Im ersten Teil zeige ich Ihnen noch einmal die Grundlagen der Mathematik auf. Diese Grundlagen werden in den Lösungen der Aufgaben ausführlich erklärt, teilweise aber auch nur kurz angerissen. Sie haben das meiste in diesem ersten Kapitel vielleicht schon einmal gehört, werden aber dennoch feststellen, dass Ihnen vieles davon beim selbstständigen Lösen der Aufgaben in der Regel Schwierigkeiten bereitet. Die Grundlagen der Grundlagen spreche ich im ersten Kapitel an. Im zweiten Kapitel zeige ich Ihnen alles Wissenswerte über Mengenlehre, Prozent‐ und Zinsrechnung. Im dritten Kapitel wiederhole ich mit Ihnen die wichtigsten, im mathematischen Alltag auftauchenden Begrifflichkeiten über Funktionen.

Kapitel 1

Der Sandkasten der Mathematik

IN DIESEM KAPITEL

Logische Verknüpfungen und Aussagen

Zahlenbereiche unterscheiden können

Rechnen mit Brüchen, Potenzen und Wurzeln

Gleichungen und Ungleichungen auflösen

Betrags(un)gleichungen meistern

Mit den logischen Grundlagen starten

Ich habe lange überlegt, was ich in diesen Sandkasten hineinlege. Es gibt viele mathematische Voraussetzungen, die so grundlegend sind, dass jeder von Ihnen sie kennen sollte. Ich müsste Ihnen eigentlich nichts mehr über Bruchrechnung erzählen, aber ich möchte, dass Sie sicher im Umgang mit Brüchen sind. Es tut gut, sich einfach mal Zeit für den Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen oder Beträgen zu nehmen und sich mit der Sprache der Mathematik ganz allgemein auseinanderzusetzen. Ich setze diese Dinge ab Kapitel 2 voraus, lesen Sie also bitte nicht darüber hinweg. Nehmen Sie sich Zeit für dieses erste Kapitel.

Lassen Sie mich gleich mit der Mathematik als formaler Sprache starten. Betrachten Sie dafür Aussagen der einfachen mathematischen Logik, die die logischen Verknüpfungen »und« (Konjunktion, ), »oder« (Disjunktion, ), »wenn, dann« (Implikation, ) sowie »genau dann, wenn« (Äquivalenz, ) verwenden.

Die meisten sogenannten aussagenlogischen Verknüpfungen werden sie schon gesehen haben.

Für eine

Konjunktion

, das heißt, für »

und

« beziehungsweise »es gelten

und

« schreiben Sie kurz

.

Für eine

Disjunktion

, das heißt, für »

oder

« beziehungsweise »es gilt

oder

« schreiben Sie kurz

.

Darüber hinaus schreiben Sie für eine

Negation

, das heißt, für »nicht

«, kurz

.

Für eine

Implikation

, das heißt, für »Aus

folgt

« schreiben Sie kurz

.

Für eine

Äquivalenz

, das heißt, für »

gilt genau dann, wenn

gilt« schreiben Sie kurz

.

Beachten Sie, dass das logische Oder (also die Disjunktion) ein inklusives und kein exklusives Oder ist. Das heißt, wenn oder gilt (also ), könnten auch und gleichzeitig gelten. Sprachlich verwendet man beim Oder oftmals das »Entweder‐Oder«.

Manchmal gelten Aussagen in Abhängigkeit von Variablen. Dabei treten grundsätzlich zwei Fälle auf, die ich Ihnen nicht vorenthalten möchte.

Dies sind die sogenannten quantorenlogischen Verknüpfungen:

Es gibt

Existenzaussagen

, wie »es existiert ein

mit

« beziehungsweise »es existiert ein

, so dass

«. Sie schreiben dafür kurz

.

Es gibt darüber hinaus

Allaussagen

der Form »für alle

gilt

« beziehungsweise »für alle

ist

«. Sie schreiben hierfür kurz

.

Aussagen haben Wahrheitswerte, die Sie beispielsweise mit »wahr« und »falsch« bezeichnen können. Mithilfe dieser Wahrheitswerte können Sie anhand von sogenannten Wahrheitswertetabellen schließlich auch formal die aussagenlogischen Verknüpfungen wie folgt definieren:

Lesen Sie richtig! Eine Implikation sagt nichts über aus, wenn falsch ist! Mein Lieblingsbeispiel ist das Folgende: Wenn es morgen regnet, nehme ich meinen Schirm mit. Dies sagt nichts darüber aus, ob ich meinen Schirm mitnehme oder nicht, wenn morgen die Sonne scheint. Insbesondere verbietet mir diese Aussage auch nicht, den Schirm bei Sonnenschein mitzunehmen. Ein solches Verbot hätte ich bei der Formulierung »Genau dann, wenn es morgen regnet, nehme ich meinen Schirm mit.« (oder gleichbedeutend »Ich nehme meinen Schirm genau dann mit, wenn es morgen regnet.«) Machen Sie sich den Unterschied zwischen einer Implikation und einer Äquivalenz klar und kommen Sie nicht durcheinander.

Ich spüre, wie Sie mit den Hufen scharren, lassen Sie mich also mit den Aufgaben starten, damit Sie endlich trainieren können. Dafür lesen Sie ja dieses Buch!

Aufgaben zum Üben

Aufgabe 1. Welche logischen Verknüpfungen fehlen hier? Füllen Sie die Lücken  aus:

wahr

wahr

wahr

falsch

wahr

wahr

falsch

falsch

wahr

wahr

falsch

wahr

wahr

wahr

wahr

falsch

falsch

wahr

falsch

wahr

Aufgabe 2. Überprüfen Sie, ob die folgenden Aussagen stets wahr sind:

Mathematische Sätze der Form » hat die Eigenschaft « werden durch den Ausdruck formalisiert. Aussagen der Form »Alle haben die Eigenschaft « werden durch den Allquantor formalisiert: . In analoger Weise formalisiert man Aussagen der Form »Es gibt mit der Eigenschaft « durch den Existenzquantor: .

Aufgabe 3. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen auf ihre Wahrheitswerte:

Aufgabe 4. Finden Sie eine einfache (verbale) Beschreibung der Ihnen vielleicht bekannten Menge:

Aufgabe 5. Vor Ihnen liegen einige Karten eines Kartenspiels, auf deren Rückseite sich Buchstaben befinden. Sie sehen vor sich einen Herz König, eine Kreuz 7, sowie drei Karten mit den Aufschriften »L«, »R« und »E« liegen. Jemand stellt die Hypothese auf, dass sich hinter jedem Vokal eine Bildkarte (also Bube, Dame, König oder Ass) verbirgt. Welche der genannten Karten drehen Sie um, um diese Hypothese mit einer minimalen Anzahl von Kartendrehungen zu überprüfen und warum?

Zahlen, Klammern, Brüche, Potenzen und Wurzeln

An dieser Stelle fällt es mir schwer, die richtigen Worte zu finden. Ich werde Ihnen hier keine Klammer‐, Wurzel‐ oder Potenzgesetze wiederholen. Ich könnte Ihnen auch noch einmal erklären, was die Unterschiede zwischen den verschiedenen Zahlenbereichen sind. Aber dann müsste ich Ihnen alle diese Gesetze hier vorlegen, und das wären unübersichtlich viele. Falls Sie unsicher sind, lesen Sie bitte im Basisbuch in Kapitel 1 nach.

Aber vielleicht sind Sie bereits fit – also auf geht's zu den Aufgaben.

Aufgaben zum Üben

Aufgabe 6. Keine Angst vor einfachen Termaufgaben – berechnen Sie:

Aufgabe 7. Füllen Sie die leeren Felder durch geeignete Ziffern, so dass korrekte Gleichungen entstehen. Gibt es jeweils mehrere Lösungsmöglichkeiten?

Eine Menge kann man durch einen Kreis abstrakt darstellen. Schneiden sich zwei solche Mengenkreise, dann haben die dazugehörigen Mengen gemeinsame Elemente. Liegt ein Kreis in einem anderen, so enthält die dem größeren Kreis entsprechende Menge die dazugehöhrige andere, kleinere Menge als Teilmenge.

Aufgabe 8. Zeichnen Sie für die Ihnen bekannten Zahlenmengen entsprechende Zahlenkreisdarstellungen, so dass deren Beziehungen deutlich werden:

natürliche Zahlen

ganze Zahlen

rationale Zahlen

reelle Zahlen

gerade Zahlen

durch 4 teilbare Zahlen

negative ganze Zahlen

irrationale Zahlen

Primzahlen

Was fällt Ihnen beim Darstellen auf?

Aufgabe 9. Konstruieren Sie die ganzen Zahlen samt ihrer Addition aus den natürlichen Zahlen heraus. Gehen Sie es langsam an und überlegen Sie sich zunächst, was diese Aufgabenstellung bedeutet (und was eben nicht)!

Gleichungen und Ungleichungen in Angriff nehmen

Die wichtigste Grundidee beim Auflösen von Gleichungen ist, dass Sie die Lösungsmenge nicht verändern, wenn Sie auf beiden Seiten einer Gleichung das Gleiche addieren beziehungsweise subtrahieren oder wenn Sie auf beiden Seiten der Gleichung mit einer von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch eine solche dividieren. So können Sie schrittweise versuchen, Ihre Variable allein auf eine Seite zu bekommen.

Achten Sie darauf, dass sich ein Ungleichheitszeichen umdreht, wenn Sie eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren.