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- Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Serie: ...für Dummies
- Sprache: Deutsch
Physik ohne Mathematik, das ist unmöglich. Aber wenn Sie Ihre liebe Mühe mit Mathe haben, dann hilft Ihnen dieses Buch, ganz gleich aus welchem Grund Sie sich mit Physik beschäftigen müssen: als Studienanfänger der Physik, als Student der Ingenieurwissenschaften oder der Medizin. Dieses Buch erklärt Ihnen, was Sie über einfache, komplexe und mehrdimensionale Analysis, Differentialgleichungen und Lineare Algebra wissen sollten. Zahlreiche Beispiele machen die Erläuterungen noch anschaulicher.
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Seitenzahl: 557
Veröffentlichungsjahr: 2019
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Höhere Mathematik für Dummies
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
1. Auflage 2019
© 2019 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This book published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.
Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Dieses Buch wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.
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Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.
Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Coverfoto: Login – stock.adobe.comLektorat: Annette Hillig, Cologne Book Manufactory
Print ISBN: 978-3-527-71623-4ePub ISBN: 978-3-527-82318-5
Inhaltsverzeichnis
Cover
Titelseite
Impressum
Über den Autor
Danksagung
Einleitung
Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand von Beispielen
Überall praktische Beispiele
Törichte Annahmen über den Leser
Konventionen in diesem Buch
Wie dieses Buch strukturiert ist
Den modularen Aufbau für sich nutzen
Teil I: Eindimensionale Analysis
Kapitel 1: Grundlagen der Analysis
Was Funktionen eigentlich sind
Graphische Darstellung von Funktionen
Polynome einfach verstehen
Bruchrechnung: Rationale Funktionen
Rasch Wachsende Exponentialfunktionen
Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen
Von Umkehr- und Inversen Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Grenzwerte einer Funktion Verstehen
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Einfache Grenzwerte auswerten
Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten
Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten
Grenzwerte bei unendlich auswerten
Kapitel 2: Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen
Erste Schritte des Ableitens
Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert
Grundlegende Regeln der Differentiation
Fortgeschrittene Regeln der Differentiation
Implizite Differentiation
Logarithmische Differentiation
Differentiation von Umkehrfunktionen
Keine Angst vor höheren Ableitungen
Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte
Lokale Extremwerte finden
Globale Extremwerte finden
Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen
Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet!
Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren
Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart!
Die Regel von l'Hospital
Kapitel 3: Von Folgen und Reihen
Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht
Folgen aneinanderreihen
Konvergenz und Divergenz von Folgen
Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'Hospital bestimmen
Reihen summieren
Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung
Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz
Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz
Quotienten- und Wurzelkriterium
Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage!
Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen
Potenzreihen (er)kennen
Konvergenzbereich von Potenzreihen
Rechnen Sie mit Potenzreihen
Kapitel 4: Eindimensionale Integration
Das bestimmte Integral – Flächen berechnen
Stammfunktionen suchen – rückwärts ableiten
Flächenfunktionen beschreiben
Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken
Genial einfach: Raten und Prüfen
Die Substitutionsmethode
Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen
Partielle Integration: Teile und Herrsche!
Wählen Sie weise!
Partielle Integration: Immer wieder dasselbe!
Im Kreis gelaufen und doch am Ziel
Integrale mit Sinus und Kosinus
Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche
Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus
Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale!
Teil II: Lineare Algebra
Kapitel 5: Die Grundlagen: Vektorräume und lineare Gleichungssysteme
Vektoren erleben
Mit Vektoren rechnen
Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen
Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen
Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum
Arten von linearen Gleichungssystemen
Homogene Gleichungssysteme
Inhomogene Gleichungssysteme
Überbestimmte Gleichungssysteme
Unterbestimmte Gleichungssysteme
Quadratische Gleichungssysteme
Nicht lösbare Gleichungssysteme
Graphische Lösungsansätze für LGS
Kapitel 6: Überleben in der Welt der Matrizen
Was Matrizen wirklich sind
Transponierte und symmetrische Matrizen
Keine Angst vor inversen Matrizen
Matrizen und lineare Gleichungssysteme
Matrizen und lineare Abbildungen
Matrizen und ihre Determinanten
Kapitel 7: Das Matrizen-Finale: Hauptachsentransformationen und euklidische Vektorräume
Basistransformation
Eigenwerte und Eigenvektoren
Matrizen diagonalisieren
Drehungen und Spiegelungen
Mit Skalarprodukten messen können
Alles Senkrecht? – Orthogonalität erwünscht
Teil III: Komplexe Analysis, Fourieranalysis und Differentialgleichungen
Kapitel 8: Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen
Was komplexe Zahlen wirklich sind
Komplexe Rechenoperationen
Kapitel 9: Funktionentheorie: Komplexe Funktionen
Tusch bitte: Holomorphe Funktionen
Komplexe versus reelle Differenzierbarkeit
Elementare komplexe Funktionen
Komplexe Exponentialfunktion
Komplexe Logarithmusfunktion
Komplexe trigonometrische Funktionen
Nicht über isolierte Singularitäten stolpern
Noch mehr Reihen: die Laurentreihen
(Fast) Keine Angst vor den Residuen
Komplexe Kurvenintegrale berechnen
Integrale mittels Parametrisierungen lösen
Integrale mittels Stammfunktionen lösen
Integrale mittels Residuensatz lösen
Integrale mittels Cauchyscher Integralformeln lösen
Praktische Anwendung der komplexen auf reelle Integrale
Kapitel 10: Fourierreihen und -integrale
Periodische Funktionen erkennen und erschaffen
Der periodische Fall: Fourierreihen
Die komplexe Form der Fourierreihe
Der nicht-periodische Fall: Fouriertransformation
Praktische Berechnung der Fouriertransformierten
Anwendung der Fourieranalyse – kurzgefasst
Kapitel 11: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen
Mit Isoklinen zur Lösung
Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit
Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen
Der einfachste Fall: y′ = f(x)
Der Fall: y′ = f(x) ⋅ g(y) – Trennung der Variablen
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten
Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten
Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Äquivalenz einer Differentialgleichung
n
-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung
Lineare Differentialgleichungen
n
-ter Ordnung lösen
Homogene lineare Differentialgleichungen
n
-ter Ordnung
Homogene lineare Differentialgleichungen
n
-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung
n
-ter Ordnung
Anwendungen in der Schwingungslehre
Teil IV: Mehrdimensionale Analysis
Kapitel 12: Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen
Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg
Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler
Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel
Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit
Tangentialebenen als Tangenten-Alternative
Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit
Gewünschte Zugabe: Totales Differential
Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variabler
Implizite Funktionen differenzieren können
Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz
Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler
Extremwerte unter Nebenbedingungen
Kapitel 13: Mehrdimensionale Integration
Flächenintegrale – ein Einstieg
Das Prinzip des Cavalieri – Volumen der Drehkörper
Volumenintegrale – der Aufstieg
Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel
Volumen eines dreidimensionalen Rotationskörpers
Das Volumen des Torus auf zwei Arten berechnen
Integrierbare Funktionen mehrerer Variabler – der Gipfel
Substitution durch Transformation
Kapitel 14: Vektoranalysis in drei Dimensionen
Skalar- und Vektorfelder
Keine Angst vor Differentialoperatoren
Gradient eines Skalarfeldes
Langsam durch Kurven und ihre Integrale
Oberflächlich durch den Raum
Formeln von Gauß, Stokes, Green und Maxwell
Teil V: Der Top-Ten-Teil
Kapitel 15: Mehr als zehn wichtige Formeln
Wichtiger Grenzwert
Wichtiger Mittelwertsatz
Wichtiger Taylorreihenansatz
Wichtiger Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Wichtiger Betrag eines Vektors
Wichtiger Dimensionssatz für lineare Abbildungen
Wichtiges Orthonormalisierungsverfahren
Wichtige komplexe Wurzeln
Wichtiger Residuensatz
Wichtige Fouriertransformation
Wichtige Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung
Wichtige Hessematrix
Wichtige Integrale über Gebieten
Wichtige Sätze von Gauß und Stokes
Bonusrunde: Wichtige Gleichung
Kapitel 16: Zehn interessante Ansätze der Physik
Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten
Dopplers Effekte
Keplers Planetengesetze
Galileis Fallgesetz
Newtons Trägheitsgesetz
Maxwell und seine Gleichungen
Plancks Wirkung
Schrödingers Gleichung
Heisenbergsche Unschärfe
Einsteins und seine spezielle Theorie zur Relativität
Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie
Stichwortverzeichnis
End User License Agreement
Illustrationsverzeichnis
Kapitel 1
Abbildung 1.1: Injektivität vs. Surjektivität – Schematische Darstellung der vier Fälle
Abbildung 1.2: Die Entwicklung des Graphen der Normalparabel
Abbildung 1.3: Zwei (sehr) einfache Polynome
Abbildung 1.4: Die vier Quadranten eines Koordinatensystems
Abbildung 1.5: Vier Beispiele für Polynome
Abbildung 1.6: Zwei Funktionen im Vergleich
Abbildung 1.7: Die Graphen von
und
Abbildung 1.8: Die Graphen für
und
Abbildung 1.9: Die Graphen von
(für
) und
Abbildung 1.10: Das rechtwinklige Dreieck in Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen
Abbildung 1.11: Die Graphen der Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens
Abbildung 1.12: Die Graphen von
,
und
Abbildung 1.13: Die Funktion
– eine Darstellung einseitiger Grenzwerte
Abbildung 1.14: Eine typische rationale Funktion
Abbildung 1.15: Die Graphen für
und
Abbildung 1.16: Die Graphen von
und
Abbildung 1.17a: Die Sandwich-Methode für die Bestimmung eines Grenzwerts der Funktion
Abbildung 1.17b: Der Graph von
,
und
Abbildung 1.18: Der Graph von
Kapitel 2
Abbildung 2.1: Zwei Fälle, in denen es keine Ableitung gibt
Abbildung 2.2: Der Graph von
Abbildung 2.3: Die Graphen zweier zueinander inverser Funktionen
und
Abbildung 2.4: Der Graph von
mit mehreren interessanten Punkten
Abbildung 2.5: Der Graph von
Abbildung 2.6: Der Vorzeichengraph für
Abbildung 2.7: Zwei Funktionen ohne globale Extremwerte
Abbildung 2.8a: Ein Vorzeichengraph für die zweite Ableitung von
Abbildung 2.8b: Ein Graph von
der die lokalen Extremwerte, die Wendepunkte und die Konvexitätsintervalle zeigt
Abbildung 2.9:
und ihre erste Ableitung
Abbildung 2.10: Eine Darstellung des Zwischenwertsatzes
Abbildung 2.11: Die Funktion
dargestellt im Intervall
und
Abbildung 2.12: Darstellung des Mittelwertsatzes
Abbildung 2.13: Eine Näherung einer komplizierten Funktion durch eine Gerade
Abbildung 2.14: Eine Näherung einer komplizierten Funktion durch eine Parabel
Abbildung 2.15: Die Exponentialfunktion mit ihren ersten vier Taylorpolynomen
Kapitel 4
Abbildung 4.1: Die Veränderung der Größe der Fläche unter
zwischen
und
in Abhängigkeit der Lage des Punktes
.
Abbildung 4.2: Die Tabelle für die partielle Integration – allgemein und am Beispiel
Abbildung 4.3a: Die ausgefüllte Tabelle für
Abbildung 4.3b: Die Tabelle für
Abbildung 4.4a: Der Rahmen für
Abbildung 4.4b: Die Rahmen für
Abbildung 4.5a: Die Fläche zwischen
und
von
bis
Abbildung 4.5b: Welche Funktion ist wann über der anderen?
Abbildung 4.6: Wie groß ist die schattiert dargestellte Fläche? Hinweis: Diese ist nicht gleich dem Integral
Abbildung 4.7: Der Satz des Pythagoras,
, ist der Schlüssel zur Bogenlängenformel
Abbildung 4.8: Das Weinflaschen-Problem
Abbildung 4.9: Eine Drehoberfläche – hier wie ein Trompetentrichter geformt
Kapitel 5
Abbildung 5.1: Die Veranschaulichung vektorieller Größen: Geschwindigkeit und Kraft
Abbildung 5.2: Vektoren mit verschiedenen Richtungen
Abbildung 5.3a: Zwei Vektoren in der Ebene
Abbildung 5.3b: Die Summe zweier Vektoren
Abbildung 5.3c: Stauchung und Streckung von Vektoren
Abbildung 5.4: Der Betrag eines Vektors mithilfe des Satzes von Pythagoras
Abbildung 5.5: Der Winkel zwischen zwei konkreten Vektoren
Kapitel 6
Abbildung 6.1: Darstellung eines zweistufigen Produktionsprozesses
Abbildung 6.2a: Ein durch drei Vektoren aufgespannter Spat
Abbildung 6.2b: Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks
Kapitel 7
Abbildung 7.1: Ein Vektor in zwei Koordinatensystemen mit unterschiedlichen Maßstäben
Abbildung 7.2: Das Prinzip der Basistransformation
Abbildung 7.3a: Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen
Abbildung 7.3b: Basistransformation – Darstellungsmatrizen bezüglich zweier Basen
Abbildung 7.4a: Drehung eines Vektors um den Winkel
Abbildung 7.4b: Drehung des Vektors
um 90°
Abbildung 7.5: Spiegelung der Basisvektoren der Ebene an der Winkelhalbierenden von
Abbildung 7.6: Die Koordinaten eines normierten Vektors bezüglich des Winkels
Abbildung 7.7: Messung eines Winkels in Abhängigkeit von der Orientierung des Koordinatensystems
Abbildung 7.8: Die Vektoren
und
schließen einen Winkel von 90 Grad ein
Abbildung 7.9: Die Dreiecksungleichung graphisch dargestellt
Kapitel 8
Abbildung 8.1a: Die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
Abbildung 8.1b: Geometrische Interpretation der Addition komplexer Zahlen
Abbildung 8.2a: Der Betrag einer komplexen Zahl
Abbildung 8.2b: Darstellung der komplexen Zahlen
und
Kapitel 10
Abbildung 10.1a Die Funktion
auf dem Intervall
Abbildung 10.1b: Die Funktion
auf dem Intervall
Abbildung 10.2a: Die Funktion
auf dem Intervall
Abbildung 10.2b: Die durch
für
und
definierte periodische Funktion
Abbildung 10.3a: Die graphische Darstellung der ersten 5 Glieder der Fourierreihe der Sägezahnfunktion
Abbildung 10.3b: Die graphische Darstellung der ersten 50 Glieder der Fourierreihe der Sägezahnfunktion
Abbildung 10.4a: Die charakteristische Funktion des Intervalls
Abbildung 10.4b: Die Fouriertransformierte der charakteristischen Funktion des Intervalls
Kapitel 11
Abbildung 11.1a, b: Richtungsfeld der Differentialgleichung
Kapitel 12
Abbildung 12.1: Graphische Darstellung von
und
Abbildung 12.2a, b, c, d: Graphische Darstellung weiterer Funktionen
Abbildung 12.3: Schnitte von Funktionen
Abbildung 12.4: Höhenlinien der betrachteten Funktionen
Abbildung 12.5: Viele Wege zum Koordinatenursprung innerhalb des
Abbildung 12.6: Tangentialebene an der Funktion
im Punkt
Abbildung 12.7: Die halbkugelförmige Kuppel eines Planetariums mit einem speziellen Kreis am Boden
Abbildung 12.8: Der Graph von
Kapitel 13
Abbildung 13.1: Annäherung des Volumens unterhalb eines Graphen einer Funktion in zwei Variablen
Abbildung 13.2: Quader mit rechteckiger Grundfläche
und Höhe
, dargestellt durch die Funktion
Abbildung 13.3: Kartesische Koordinaten und entsprechende Polarkoordinaten
Abbildung 13.4: Kartesische Koordinaten und entsprechende Kugelkoordinaten
Abbildung 13.5: Kartesische Koordinaten und entsprechende Zylinderkoordinaten
Abbildung 13.6a: Kreiszylinder im Koordinatensystem
Abbildung 13.6b: Kreiskegel im Koordinatensystem
Abbildung 13.7: Entstehung eines Drehkörpers durch Drehen einer Fläche
Abbildung 13.8: Ein Rotationskörper um die
Achse mit der Radien
Abbildung 13.9a: Der Torus – eine besondere Fläche im reellen Raum
Abbildung 13.9b: Der rotierende Kreis erschafft den Torus
Abbildung 13.10: Der Torus als Differenz der beiden Drehkörper
und
Abbildung 13.11: Die Fläche eines Halbkreises vom Radius
Abbildung 13.12: Eine feine Quaderrasterung eines Gebiets
Abbildung 13.13: Offene und abgeschlossene Kreise im
Abbildung 13.14a: Eine wegzusammenhängende Menge des
Abbildung 13.14b: Eine nicht wegzusammenhängende Menge mit zwei Komponenten im
Abbildung 13.15: Der
dimensionale Einheitswürfel des
für
Kapitel 14
Abbildung 14.1: Vektorfelder
,
,
und
graphisch dargestellt
Abbildung 14.2a: Der Einheitskreis in der reellen Ebene
Abbildung 14.2b: Der Einheitskreis parametrisiert von
Abbildung 14.3: Der Graph von
Abbildung 14.4a: Die Kurve
im
Abbildung 14.4b: Die Kurve
im
Abbildung 14.4: Beispiele und Gegenbeispiele einfach zusammenhängender Gebiete im
Abbildung 14.5: Eine Fläche ohne Außenseite – das Möbiusband
Abbildung 14.6: Die Sattelfläche
Guide
Cover
Inhaltsverzeichnis
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Über den Autor
Dr. Thoralf Räsch studierte Mathematik und Informatik an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte anschließend an der Universität Potsdam im Bereich der Mathematischen Logik. Zurzeit ist er Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und gleichsam Mitglied im dortigen Excellenzcluster Hausdorff-Center for Mathematics. Er unterrichtet seit vielen Jahren Mathematik in verschiedenen Bachelorstudiengängen der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät. Außerdem engagiert er sich schon seit zwei Jahrzehnten in verschiedenen Projekten für Schüler und Schülerinnen zunächst aus dem Berliner und später Bonner Raum, in denen auf unterschiedlichem begeistert in die Welt der Mathematik eingeführt wird. Er rundete sein Spektrum durch Kursleitungen an der Volkshochschule aber auch in der Sommerakademie für Hochbegabte ab. So kennt er die mathematischen Wünsche aber auch die Ängste von Jung und Alt und zeigt in seinen Projekten, dass Mathematik auch Spaß bereiten kann. Diese Projekte sind inhaltlich verständlich und dennoch unterhaltsam motivierend angelegt. Für seine Leistungen in der Lehre wurde er mit dem Preis für MINT-Lehrerbildung der Deutsche Telekom Stiftung sowie dem Lehrpreis der Universität Bonn ausgezeichnet.
Danksagung
Vor allem danke ich Kattrin Sippel, der Frau auf meinem Sofa, die unvorstellbarer Weise nicht gerade grenzenlos in die Mathematik verliebt ist, für die dennoch tapfer ertragenen Gespräche rund um dieses Buch, in denen ich meine Fähigkeit der Motivierbarkeit für mathematische Inhalte bis fast an die für sie erleidbaren Grenzen trainieren kann.
Darüber hinaus danke ich den Mathematikern und Mathematikerinnen Anne Fernengel, Angel Koutev und Peter Rosinsky – alle drei haben im besonderen Maße in Quantität und Qualität dazu beigetragen, dass viele Problemstellen gar nicht erst problematisch wurden und im Keim erstickt werden konnten. Viele kleine und große wichtige Details sind dank dieser fünf ans Tageslicht gekommen.
Mein Dank gilt aber auch den Studierenden Jahr für Jahr in den Bachelorstudiengängen der Physik, Informatik und Mathematik auf Lehramt an der Universität Bonn, die mich immer wieder in meinen Kursen mit ihren Fragen und Anregungen sehr inspirierten. Ich empfinde Lehre als ein großes Geschenk und würde mich freuen, wenn meine Bücher unterstützen und Freude bereiten.
Des Weiteren möchte ich Frau Marianne Hammer-Altmann, sowie Herrn Marcel Ferner und Herrn Patrick Kühnel für die professionelle und unkomplizierte Unterstützung bei der Umsetzung dieses Projekts danken.
Last but not least: Ich danke meiner Mutter für das, was sie war … und in meinem Herzen bleiben wird.
Thoralf Räsch
Einleitung
Ich freue mich und möchte Ihnen danken, dass Sie sich für dieses Buch entschieden haben – eine wirklich gute Wahl, wie ich finde. Dieses Buch ist für all diejenigen geschrieben, die einen leicht und locker geschriebenen, praxisorientierten Einblick in die »Welt der Höheren Mathematik« genießen wollen. Dieses Buch eignet sich für werdende Physiker, Chemiker, Biologen, Geowissenschaftler, Informatiker, Ingenieure aber auch Mediziner und selbst reine Mathematiker gleichermaßen! Naturwissenschaftliche Grundlagen benötigen jede Menge Mathematik. Eine gute abstrakte Herangehensweise an die Welt schadet allerdings auch jenseits der MINT-Fächer niemanden und kann durch höhere Mathematik ebenfalls gut trainiert werden. All das finden Sie in diesem Buch und das möglichst leicht verständlich mit vielen Beispielen – das war mein Ziel bei der Zusammenstellung der einzelnen Kapitel.
Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand von Beispielen
Verstehen Sie mich nicht falsch: Die Tiefe der Mathematik lernt man, indem man nach dem Warum? fragt. Wenn Sie als Mathematikstudent dieses Buch lesen, werden Ihnen in diesem Buch die Beweise und Übungsaufgaben zum Selbststudium fehlen. Das ist nicht das Anlie- gen dieser Lektüre. Dieses Buch ist für Studierende, speziell für mathematikgrundlagenlastige MINT-Fächer orientierte, geschrieben, die Mathematik in Ihrem Studium anwenden und so viel Mathematik verstehen müssen, dass Sie sich später mit Mathematikern unterhalten können. Das Buch ist für all diejenigen interessant, die naturwissenschaftliche Zusammenhänge verstehen wollen und dafür Mathematik benötigen!
In diesem Buch ist für jeden etwas dabei – ein leicht verständlicher praxisnaher Einstieg sowohl in die Grundlagen der Mathematik als auch in die »Höhere Mathematik« und das Ganze anhand von Beispielen aus der Praxis.
Die ersten Kapitel geben eine solide, aber vielleicht knappe Darstellung der mathematischen Grundlagen. Sollten Sie mehr Tiefe in diesen Grundlagen benötigen, dann könnte Ihnen das Buch Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies, ebenfalls erschienen im Verlag Wiley-VCH, helfen. Hier in diesem Buch behandle ich nach einer Einführung für jederman auch die schweren Geschütze der Analysis: Mehrdimensionale Funktionen, komplexe Funktionen, Differentialgleichungen, Vektoranalysis und so weiter und so fort.
Übrigens, jedes der beiden Bücher steht und liest sich für sich. In beiden Büchern zusammen bekommen Sie einen kompetenten Überblick über die gesamte Mathematik von A bis Z, wie sie ein Naturwissenschaftler erleben sollte. So finden Sie die Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung im oben genannten anderen Buch.
Überall praktische Beispiele
Beispiele aus dem täglichen (mathematischen) Leben spielen eine wesentliche Rolle in diesem Buch. Sie erkennen die Beispiele im Text durch eine hervorgehobene Einleitung wie »Ein Beispiel« oder »Noch ein Beispiel« oder auch »Und noch ein Beispiel« und so weiter. In diesen Beispielrechnungen sehen Sie, wie Sie praktisch die theoretischen Zusammenhänge anwenden, so dass Sie besser vorbereitet sind, wenn Sie später konkrete Probleme lösen müssen.
Ich gehe sogar noch einen Schritt weiter und das wird vielleicht nicht alle meine Mathematikkollegen erfreuen: Ich werde an einigen Stellen die zu verstehenden Begriffe eher an Beispielen praktisch vorrechnen. Ich verspreche mir davon, dass Sie bei einem gut gewählten Beispiel mehr als nur die konkrete Lösung ablesen können und zusätzlich das allgemeine Prinzip des Vorgehens besser verstehen. Zusätzliche Hinweise werden dann die allgemeine Behandlung abrunden.
Darüber hinaus finden Sie über das gesamte Buch verteilt, immer mal wieder Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften, die Ihnen zeigen sollen, wie man die jeweils gerade zu lernende Mathematik im Alltag anwenden kann.
Törichte Annahmen über den Leser
Oder anders ausgedrückt: Für wen ist dieses Buch geschrieben? Zunächst einmal haben Sie sich nicht vom Titel abschrecken lassen – weder von dem Wort »Mathematik« noch von »Dummie«. Ich bin stolz auf Sie, aber es gäbe auch keinen Grund!
Dieses Buch ist geschrieben für …
Studenten und Studentinnen, die mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen verstehen wollen oder müssen. Dieses Buch gibt Ihnen Ein- und Überblicke und Sie werden nicht genervt mit technischen Details. Sie finden praktische Hinweise und jede Menge Beispiele. Die mathematischen Begriffe werden erklärt und erläutert; insbesondere sehen Sie Querverbindungen und Zusammenhänge.
Schüler und Schülerinnen, die an der Mathematik interessiert sind und erste Einblicke in die schillernde Welt der Mathematik bekommen möchten. Sie könnten auch ein/e Schüler/in sein, der/die einen Einblick in die Universitätsmathematik bekommen möchte.
Studenten oder Studentinnen, die Mathematik in Ihrem Studienfach haben und ein wenig frustriert von der in der Veranstaltung angegebenen Literatur sind.
Leser des ersten Buches
Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies,
erschienen im Verlag Wiley-VCH, die nun tiefer in die »Höhere Mathematik« einsteigen möchten.
Interessierte Personen jeden Alters, die einfach Spaß an der Mathematik haben möchten. Beeindrucken Sie Menschen, die es nicht von Ihnen erwarten mit mathematischen Konzepten. Und nebenbei, sollte man sich nicht immer weiterbilden – vielleicht auch gerade mathematisch? So folgen Sie mir auf den Spuren einer der ältesten Wissenschaften…
Konventionen in diesem Buch
Es gibt nicht viele Regeln für dieses Buch, in die ich Sie vorher einführen müsste. Mir war beim Schreiben des Buches wichtig, dass Sie mit Spaß und einem Lächeln kompetent durch die Mathematik geführt werden. Mathematik kann nämlich Spaß machen und ist keineswegs so trocken, wie oftmals (fälschlicherweise) vermutet. Lassen Sie sich (ver)führen.
Vielleicht ein paar Kleinigkeiten zur Darstellung. Ich werde Sie stark motivieren und Ihnen die Zusammenhänge zum praktischen Leben aufzeigen. Sie werden viele Beispiele erleben und vorgerechnet sehen. Manchmal bitte ich Sie, dies rasch einmal selbst durchzurechnen – ich würde dies nicht als Übungsaufgaben verkaufen wollen, aber das selbstständige Üben ist in der Mathematik ein wesentlicher Bestandteil des Erlernens. Nutzen Sie die Chancen, wenn ich Ihnen diese gebe.
Die Symbole am Rand werden Ihnen helfen, schnell und übersichtlich die wichtigen Passa- gen zu erkennen. Begriffe und Schlüsselwörter werden kursiv gesetzt. So haben Sie alles wichtige immer schnell im Blick.
Nützliche Alltagsbezüge finden Sie in regelmäßigen Abständen in grauen Kästen. Diese dienen der Auflockerung – dort können Sie ein wenig aufatmen und verschnaufen.
Wie dieses Buch strukturiert ist
Dieses Buch ist in fünf Teile untergliedert. Die jeweiligen Teile sind in kleinere und handliche Portionen, die Kapitel, geteilt, so dass Sie den Stoff besser aufnehmen können. Die angegebenen Teile sind grundsätzlich in analytische und algebraische Themen unterteilt, wobei diese thematisch stark ineinander verwoben sind. Grundlagen der Stochastik, also eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, erhalten Sie in dem Buch Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies, erschienen im Verlag Wiley-VCH.
Teil I: Eindimensionale Analysis
In diesem Teil starte ich mit Ihnen den Streifzug durch die Mathematik. Im ersten Kapitel gehe ich noch einmal die Grundlagen durch. Im zweiten Kapitel leiten Sie dann Funktionen ab: Sie lernen zu differenzieren. Das Ganze wird unter anderem für die Kurvendiskussion von Funktionen benötigt, um Funktionen grundlegend zu analysieren. Im dritten Kapitel werden Folgen und Reihen diskutiert. Insbesondere wenden Sie diese Theorie an, um mittels Potenzund Taylorreihen schwierige Funktionen erfolgreich anzunähern. Im vierten Kapitel zeige ich Ihnen, wie Sie Funktionen integrieren. Mittels Integrale können Sie beispielsweise Flächen und Bogenlängen bestimmen. Hierfür lernen Sie verschiedene Integrationstechni- ken kennen.
Teil II: Lineare Algebra
Die lineare Algebra ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Ich zeige Ihnen in drei Kapiteln, wie man in der Praxis mit Geraden und Ebenen umgeht, wie man in Vektorräumen rechnet und wie man (lineare) Gleichungssysteme unkompliziert löst, auch wenn sie fünf, sechs oder gar mehr Gleichungen enthalten. Außerdem zeige ich Ihnen, wie man Drehungen und Spiegelungen in den Griff bekommt, ohne den Überblick zu verlieren und wie man in vielen, ganz allgemeinen Räumen Abstände und Winkel messen kann. Als notwendiges Hilfsmittel führe ich Sie in die Welt der Matrizen ein und zeige Ihnen, wie Sie mithilfe dieser die wichtigen linearen Abbildungen besser verstehen und darstellen können – seien Sie gespannt!
Teil III: Komplexe Analysis und Differentialgleichungen
Als Naturwissenschaftler kommen Sie nicht an diesem Teil des Buches vorbei. In vier Kapiteln gebe ich Ihnen zunächst eine Einführung in die Welt der komplexen Zahlen, die Ihre bisherige Wahrnehmung der Zahlen noch einmal erweitert. In einem weiteren Kapitel über komplexe Funktionentheorie sehen Sie, warum diese Erweiterung so vielversprechend ist – insbesondere für das praktische Ausrechnen von normalen (reellen) Integralen. Außerdem wende ich mich dem Thema Fourieranalysis zu: Ich zeige Ihnen, wie Sie periodische Funktionen fast perfekt durch die bekannten trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus annähern können. Und abschließend suche ich mit Ihnen Lösungen von (Differential-)Gleichungen, die Funktionen als Variablen haben und Bedingungen über Ableitungen beschreiben: Dies begegnet Ihnen bei der täglichen Beschreibung der realen Welt als Naturwissenschaftler stets und ist damit sehr wesentlich für Sie.
Teil IV: Mehrdimensionale Analysis
Dieser Teil hat es wirklich in sich: Ich führe Sie in die Welt der Funktionen ein, die nicht auf einer Variablen, sondern gleich auf mehreren Variablen definiert sind. Solche Funktionen treten im Alltag eines Naturwissenschaftlers überall auf. Die Herausforderung bei solchen Funktionen ist, dass die Fragestellungen, denen wir in Teil I für Funktionen in einer Variablen nachgegangen sind, jetzt für Funktionen mehrerer Variabler ebenso interessant sind: Ich zeige Ihnen daher, wie Sie solche Funktionen graphisch darstellen können; wann sie stetig, differenzierbar oder integrierbar sind, wie Sie Berge und Täler in den Graphen von solchen Funktionen finden – oder auch wie solche Begriffe auf derartig komplizierten Graphen überhaupt definiert sind. Ich werde den Integralbegriff aus Teil I für diese neue Art von Funktion verallgemeinern, so dass Sie nicht nur allgemeine Flächen im reellen Raum berechnen können, sondern auch Volumina von dreidimensionalen Körpern oder einfach nur Längen von beliebigen, aber mathematisch beschreibbaren Kurven im Raum. Im letzten Kapitel führe ich Sie dann konkret in die Anwendungen dieser neuen Funktionen am Beispiel der Physik ein.
Teil V: Der Top-Ten-Teil
An dieser Stelle ist es nun Zeit, einen Gang herunterzuschalten. Sie haben hier drei Kapitel vor sich, die verschiedener nicht sein könnten. Zunächst erinnere ich Sie auf eine ungewöhnliche Art und Weise an die Themen der zurückliegenden Kapitel. Schließlich streifen wir gemeinsam durch zehn wichtige Ansätze der Physik, die stets und ständig benutzt oder nur angesprochen werden. Das allerletzte Kapitel gibt Ihnen zehn wirklich gut gemeinte Ratschläge, die Sie immer und besonders am Anfang eines Kurses beherzigen sollten. Lassen Sie sich unterhalten, doch nehmen Sie die Ratschläge bitte dennoch ernst.
Die Symbole in diesem Buch
Sie werden an vielen Stellen in diesem Buch Symbole am linken Rand einer Seite entdecken. Ich verwende drei verschiedene, um Ihre Aufmerksamkeit auf besonders wichtige Informationen zu lenken. Die Bedeutung dieser Symbole möchte ich Ihnen jetzt erläutern.
Dieses Symbol kennzeichnet wichtige Hinweise, Tipps und auch Ideen, die Ihnen das Leben in der mathematischen Welt erleichtern werden. Dies können Eselsbrücken oder praktische Vorgehensweisen sein. Manchmal finden Sie auch sehr einfache, aber dennoch wichtige Zusammenhänge zwischen einzelnen mathematischen Begriffen.
Dieses Symbol deutet auf Begriffserklärungen hin. Es werden auch mathematische Objekte genau angegeben – sie werden definiert. Manchmal finden Sie auch nachhaltig einzuprägende Ideen und Zusammenhänge. Sie werden dieses Symbol sehr häufig in diesem Buch finden.
Dieses Symbol weist auf eine beliebte Fehlerquelle hin. Verstehen Sie es wie ein Achtung-Zeichen. In der Vorlesung würden Sie mich an solchen Stellen laut und deutlich sagen hören: Aufpassen! Konzentrieren Sie sich bitte an diesen Stellen besonders, um nicht ähnliche Fehler zu machen, wie auch schon viele Generationen vor Ihnen. Lernen Sie auch aus den Fehlern anderer.
Den modularen Aufbau für sich nutzen
Dieses Buch ist modular aufgebaut, das heißt Sie können geschickt zwischen den einzelnen Themenbereichen springen, wenn Sie sich nur einen kleinen Überblick verschaffen möchten. Ich zeige Ihnen kurz, welche Kapitel dennoch zusammenhängen.
Das erste Kapitel stellt praktisch die Grundlagen von Funktionen und Grenzwerten dar. Damit ist dieses natürlich eine Grundvoraussetzung für alles Weitere, so dass Sie es zumindest kurz überfliegen sollten – vielleicht kennen Sie es auch bereits. Die folgenden drei Kapitel über Differentiation, Folgen und Reihen sowie Integration runden den ersten Teil ab. Alle drei sind relativ unabhängig voneinander geschrieben und können auch so gelesen werden. Dank der Querverweise werden Sie dennoch Zusammenhänge erkennen.
In den Kapiteln 5, 6 und 7 führe ich Sie in die Welt der Linearen Algebra ein. Ich starte mit Vektorräumen und linearen Gleichungssystemen. Zunächst unabhängig erscheinend zeige ich Ihnen in Kapitel 6 die Welt der Matrizen, werde aber immer wieder auf die starken Zusammenhänge verweisen. Die Basistransformation in Kapitel 7 bildet dann den gefühlten Höhepunkt dieses Teils und wird nur mit einem fundierten Wissen aus den Kapitel 5 und 6 wirklich verstanden. Das Ende von Kapitel 7 über euklidische Vektorräume ist abschließend wieder relativ unabhängig vom Anfang.
In Kapitel 8 führe ich in die komplexen Zahlen ein und dies ist grundsätzlich ein weiterer Einstiegspunkt für Sie. In Kapitel 9 setze ich diese Thematik fort, indem ich über Funktionen über komplexen Zahlen spreche. Kapitel 10 über die Fourierreihen und -integrale ist bewusst unabhängig geschrieben, genauso wie das Kapitel 11 über Differentialgleichungen. Natürlich benötigen Sie Hintergrundwissen und vor allem auch schon ein gewisses mathematisches Gefühl, um hier die Ansätze gut zu verstehen, aber Sie können dennoch gern versuchen, dort quer einzusteigen.
Mit dem Kapitel 12 startet der Teil IV über mehrdimensionale Analysis. Trotz der unabhängigen Schreibweise sollten Sie fundiertes Wissen über Teil I mitbringen. In Kapitel 12 starte ich mit der Differentiation und fahre in Kapitel 13 mit der Integration fort, beides allerdings diesmal für Funktionen in mehreren Variablen. Das Kapitel 14 ist gleichzeitig der Höhepunkt dieses Teils und ist relativ unabhängig verfasst, wobei es aber nicht ohne ein paar Querverweise auskommt.
Mit dem Kapitel 15 startet der Top-Ten-Teil. Dieser ist natürlich komplett modular und mit dem gewohnten Augenzwinkern geschrieben.
Es ist viel Stoff auf den folgenden Seiten untergebracht. Ich habe mir Mühe gegeben, dies unterhaltsam und doch inhaltsreich für Sie aufzuarbeiten. Seien Sie gespannt und folgen Sie mir …
Teil I
Eindimensionale Analysis
IN DIESEM TEIL…
Jetzt geht's los, aber ich fange langsam an. Im ersten Kapitel gehe ich mit Ihnen noch einmal die Grundlagen durch: Ich zeige Ihnen, was Funktionen sind und spreche über Stetigkeit und Grenzwerte. Im zweiten Kapitel leiten Sie dann Funktionen ab: Sie lernen zu differenzieren. Das Ganze wird unter anderem für die Kurvendiskussion von Funktionen benötigt, d.h. um Funktionen grundlegend zu analysieren. Im dritten Kapitel werden Folgen und Reihen diskutiert. Insbesondere wenden Sie diese Theorie an, um mittels Potenz und Taylorreihen schwierige Funktionen erfolgreich anzunähern. Das wird Ihnen im Alltag helfen. Im vierten und letzten Kapitel zeige ich Ihnen, wie Sie Funktionen integrieren. Mittels Integrale können Sie beispielsweise Flächen und Bogenlängen bestimmen. Hierfür lernen Sie verschiedene Integrationstechniken kennen. Ohne Integrale ist Physik nicht vorstellbar. Sie sehen, im ersten Teil gebe ich Ihnen einen langsamen Einstieg, gegen Ende des Buches hin geht es jedoch schon ganz schön zur Sache.
Kapitel 1
Grundlagen der Analysis
IN DIESEM KAPITEL
Grundlegendes über Analysis und grundlegende Funktionen
Polynome, rationale Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen
Umkehrfunktionen verstehen
Trigonometrische Funktionen kennenlernen
Stetigkeit von Funktionen erleben
Grenzwerte an praktischen Methoden verstehen
Funktionen sind einer der Grundbestandteile der Mathematik, die ich Ihnen in diesem Kapitel erklären werde. Sie lernen hier dieses Basiswissen und praktisch relevante Beispiele kennen. Im zweiten Teil des Kapitels geht es um erste Zusammenhänge und komplexere Vorgänge rund um das Thema Funktionen: Ich zeige Ihnen Grenzwerte, also das Verhalten von Funktionen im Unendlichen, und in diesem Zusammenhang eine der wichtigsten Eigenschaften von Funktionen – die Stetigkeit.
Was Funktionen eigentlich sind
Ein Beispiel: Starten Sie bei Ihrem Geburtstag. Obwohl ich diesen nicht kenne, weiß ich, dass Sie dabei nur ein Datum im Kopf haben. Jedem Menschen ist dieser Tag eindeutig zugeordnet. Sie können eine Geburtstagszuordnung aufstellen und so jedem Namen ein Datum zuweisen, beispielsweise Paul 29.07.2006 oder anders geschrieben oder kürzer. Das ist eine Funktion.
Eine Funktion ist eine Vorschrift mit der Eindeutigkeitsbedingung, das heißt keinem Objekt werden zwei Dinge zugeordnet. Dabei gibt es die Menge der Objekte, von denen Sie starten – den Definitionsbereich, und die Menge der Werte, in die Sie abbilden – den Bildbereich oder Wertebereich.
In diesem Beispiel ist der Definitionsbereich eine Menge von Menschen und der Bildbereich die Menge der Geburtsdaten (hier als achtstellige Zahl geschrieben).
Sie kürzen eine solche Vorschrift (Funktion) mit dem Definitionsbereich und dem Wertebereich wie folgt ab: und lesen » ist eine Funktion vonnach«.
Noch ein Beispiel: Betrachten Sie die beiden Funktionen , und , . Unterscheiden sich die beiden Funktionen? Ja, denn die Wertebereiche stimmen nicht überein: Bei der ersten Funktion betrachten Sie die nichtnegativen reellen Zahlen, bei der zweiten Funktion alle reellen Zahlen. Allerdings sind die Zuordnungsvorschriften und der Definitionsbereich gleich. Auch die Graphen beider Funktionen stimmen überein, wie Sie in Abbildung 1.2b sehen können.
Mit der Menge bezeichnet man die Menge der reellen Zahlen, also typische Zahlen wie oder (minus Wurzel zwei). Eine besondere Teilmenge der reellen Zahlen, die aus den nicht negativen Zahlen besteht, wird mit bezeichnet.
Zwei Funktionen sind gleich, wenn sie in Definitionsbereich, Wertebereich und Zuordnungsvorschrift übereinstimmen.
Umgekehrt gilt diese Eindeutigkeitseigenschaft bei Funktionen nicht immer: Sehen Sie sich noch einmal das Ausgangsbeispiel an. Es gibt durchaus Menschen, die am gleichen Tag Geburtstag haben – so etwa Pauls Zwillingsschwester Paula: . Oder betrachten Sie die Funktion . Es gilt: .
Dagegen erfüllt die Funktion , neben der Eindeutigkeitsbedingung auch die umgekehrte Eineindeutigkeitsbedingung. Wenn , so auch und . Eine solche Funktion heißt injektiv.
Eine Funktion heißt injektiv, wenn aus immer auch folgt.
Und noch ein Beispiel: Schauen Sie sich noch einmal die beiden Funktionen , und , an. Sie unterscheiden sich in den Wertebereichen. Die erste Funktion hat die Eigenschaft, dass jede Zahl in ihrem Wertebereich auch erreicht oder angenommen wird. Solche Funktionen nennt man surjektiv. Die zweite Funktion dagegen wird beispielsweise die Zahl –1 aus ihrem Wertebereich nie annehmen, das heißt es gibt keine reelle Zahl , so dass .
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn für jedes ein existiert, so dass .
Funktionen, die beide Eigenschaften erfüllen, heißen bijektiv. So ist die obige Funktion bijektiv, wie Sie sich anhand des Graphen ( in Abbildung 1.5) überlegen können.
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Folgende vier Schemata in Abbildung 1.1 fassen diese wichtigen Eigenschaften einer Funktion zusammen.
Abbildung 1.1: Injektivität vs. Surjektivität – Schematische Darstellung der vier Fälle
Graphische Darstellung von Funktionen
Funktionen graphisch darzustellen, ist sehr hilfreich, um sich ein Bild von ihnen zu machen. Sie können besser Zusammenhänge erkennen, wenn Sie sich etwas vorstellen können. Eine Funktion graphisch darzustellen, ist in der Regel sehr einfach.
Ein Beispiel: Betrachten Sie die bereits im vorangegangenen Abschnitt angesprochene Funktion , . Diese wird auch als Normalparabel bezeichnet.
Sie zeichnen zunächst ein so genanntes
Koordinatensystem,
indem Sie waagerecht die
Achse einzeichnen und senkrecht dazu die
Achse.
Am Schnittpunkt beider Achsen befindet sich der Koordinatenursprung, der Nullpunkt.
Schauen Sie schon einmal auf Abbildung 1.2a, dort können Sie die Gestalt der Normalparabel erkennen.
Abbildung 1.2: Die Entwicklung des Graphen der Normalparabel
InAbbildung 1.2a erkennen Sie aber bereits mehr, nämlich einzeln eingetragene Punkte: die Punkte , aber auch und . Diese Punkte haben alle die Form , also . Erkennen Sie es?
Verbinden Sie alle diese Punkte und Sie erhalten eine Kurve wie in
Abbildung 1.2b
. Dies ist der Graph der Funktion
.
Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte für , eingetragen (und verbunden) in einem Koordinatensystem.
Sie werden im folgenden Abschnitt immer wieder die Graphen wichtiger Funktionen kennenlernen.
Polynome einfach verstehen
Nachdem Sie nun wissen, was Funktionen sind, betrachten wir einige Beispiele, auf die Sie in Ihren praktischen Anwendungen immer wieder stoßen werden. Je nach Schwierigkeitsgrad müssen Sie diese mal mehr, mal weniger besprechen. Wir starten mit den einfachen Polynomen.
Das sind die wohl einfachsten und dennoch wichtigsten Funktionen. Für die Polynome in den kommenden Beispielen werden wir als Definitions-und Wertebereich die reellen Zahlen betrachten. Stellen Sie sich zunächst die konstante Funktion vor, die immer auf die 1 abbildet. Alle reellen Zahlen werden auf die 1 abgebildet – langweilig, mögen Sie finden, aber damit haben Sie Ihr erstes Polynom: . Abbildung 1.3a zeigt Ihnen den Graphen: eine Gerade, parallel zur Achse, die die Achse im Punkt schneidet.
Abbildung 1.3: Zwei (sehr) einfache Polynome
Schauen Sie sich jetzt die Funktion in Abbildung 1.3b an. Diese ist nicht komplizierter: Jede reelle Zahl wird auf sich selbst abgebildet. In Abbildung 1.3b sehen Sie den dazugehörigen Graphen. Dieser ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung geht und eine Winkelhalbierende im ersten und dritten Quadranten darstellt. (Dabei wird der 90-Grad-Winkel zwischen den beiden Koordinatenachsen halbiert).
Ein -Koordinatensystem wird in vier Teile eingeteilt, die so genannten Quadranten. Bezeichnet werden diese – beginnend oben rechts – mit dem ersten Quadranten, entgegen dem Uhrzeigersinn bis zum vierten Quadranten (siehe Abbildung 1.4).
Abbildung 1.4: Die vier Quadranten eines Koordinatensystems
Die Normalparabel stellt ebenfalls ein Polynom dar. Dieses haben Sie in Abbildung 1.2b bereits kennen gelernt. Allgemein kann man sagen, dass Polynome zusammengesetzte Potenzen von sind, die jeweils noch mit einem Faktor skaliert werden können.
Ein reelles Polynom ist eine Funktion, bei der es reelle Zahlen gibt mit: .
Einige Beispiele: Folgende Funktionen sind ebenfalls Polynome:
, und , aber auch
Die jeweiligen Graphen der vier Polynome sehen Sie in Abbildung 1.5.
Abbildung 1.5: Vier Beispiele für Polynome
Rollende Kugeln im Produktionsprozess
Im Verlaufe eines Produktionsabschnitts rollt eine Eisenkugel in einer Bahn von einem Tisch in einen Behälter, der auf dem Boden steht. Die Tischplatte hat eine Höhe von einem Meter. Die Kugel hat eine Anfangsgeschwindigkeit von zwei Metern pro Sekunde. In welchem Abstand vom Tisch ist mit dem Aufschlag der Kugel zu rechnen, damit dort ein Auffangbehälter stehen kann?
Keine ganz einfache Aufgabenstellung, in die ein wenig Physik hineinspielt. Sie stellen sich die Ereignisse in Abhängigkeit der Zeit (in Sekunden) vor: Ihre Koordinate gibt den horizontalen Verlauf an. Diese Bewegung hängt von der Anfangsgeschwindigkeit Meter pro Sekunde ab, also gilt . Die Koordinate hängt von der Fallbeschleunigung Meter je Sekundenquadrat ab; der so genannte freie Fall kann dabei als die folgende Parabel (also ein quadratisches Polynom) dargestellt werden: . Damit haben Sie alle Grundlagen zusammen. Stellen Sie die erste Gleichung nach t um und Sie erhalten . Dies können Sie in die zweite Gleichung einsetzen und schon haben Sie das dort eliminiert. Sie erhalten also: , und somit ebenfalls ein quadratisches Polynom in . Da das gesuchte , der Aufprall auf den Boden, positiv ist, stellen Sie die Gleichung wie folgt um und setzen schließlich alle bekannten Größen ein:
Somit sollte der Auffangbehälter in einer Entfernung von 90 Zentimetern stehen.
Bruchrechnung: Rationale Funktionen
Betrachten Sie nun Brüche von Polynomen.
Rationale Funktionen sind Funktionen der Form , wobei und Polynome über den reellen Zahlen sind. Das Nennerpolynom darf natürlich an keiner Stelle null werden, da eine Division durch null nicht erlaubt ist.
Ein Beispiel: Die Funktion ist eine rationale Funktion. Offensichtlich liegt die Zahl 1 nicht im Definitionsbereich dieser Funktion, denn für ist dieser Quotient nicht definiert, also können Sie sie bestenfalls als Funktion betrachten.
Erkennen Sie, dass der Zähler des in definierten Terms eine binomische Formel ist? Es gilt nämlich: , so dass Sie versucht sind, den Term im Zähler und Nenner zu kürzen, denn es gilt: . Aber es gibt einen sehr wichtigen Unterschied zwischen der Funktion und . Die erste ist im Gegensatz zur zweiten Funktion nicht in definiert! Seien Sie also vorsichtig mit dem Kürzen in solchen Funktionstermen. Zum besseren Verständnis noch einmal den entscheidenden Unterschied im Graphen der beiden Funktionen in Abbildung 1.6.
Abbildung 1.6: Zwei Funktionen im Vergleich
Rationale Funktionen werden Sie unter anderem im Abschnitt Integration mit demder Partialbrüche des Kapitels 4 beschäftigen, da sie sehr häufig in Anwendungsbeispielen zu finden sind.
Rasch Wachsende Exponentialfunktionen
Eine Exponentialfunktion hat eine Potenz, die eine Variable enthält, beispielsweise oder . Abbildung 1.7 zeigt die Graphen dieser beiden Funktionen in einem einzigen Koordinatensystem.
Abbildung 1.7: Die Graphen von und
Beide Funktionen laufen durch den Punkt , so wie alle Exponentialfunktionen der Form für . Wenn , liegt ein exponentielles Wachstum vor. Alle diese Funktionen wachsen nach rechts hin relativ schnell; und wenn sie links gegen gehen, dann schmiegen sie sich an die Achse an und kommen ihr immer näher, ohne sie jedoch ganz zu berühren. Mathematiker nennen dieses Verhalten asymptotisch. Mit diesen und ähnlichen Funktionen stellen Sie beispielsweise Investitionen, Inflation oder ein Populationswachstum dar.
Liegt zwischen 0 und 1, haben Sie eine Funktion mit exponentieller Abnahme. Die Graphen solcher Funktionen stellen das Gegenteil von exponentiellen Wachstumsfunktionen dar. Funktionen für eine exponentielle Abnahme schneiden die Achse ebenfalls im Punkt , aber sie steigen endlos nach links und nähern sich der Achse rechts an. Diese Funktionen stellen Zusammenhänge dar, die mit der Zeit kleiner werden, beispielsweise den Zerfall von Uran.
Meistens wird die Exponentialfunktion für betrachtet. Hierbei bezeichnet man mit die so genannte Eulersche Zahl.
Eigenschaften der Exponentialfunktion – es gelten folgende Formeln:
und
sowie
für alle
, wobei die Gleichheit nur für
gilt
Aus
folgt
(Monotonie)
Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz von
(insbesondere auch als jedes Polynom) ab einer geeigneten Stelle auf der
Achse
Stirlingsche Formel: Die Fakultätsfunktion einholen
Die Fakultätsfunktion, die einer natürlichen Zahl den Wert ! zuordnet, ist (rekursiv) über den natürlichen Zahlen definiert – es gilt: und !. Damit ist also . Diese Funktion wächst sehr schnell – probieren Sie es aus. Schon 10! ist gleich 3.628.800. Aber dank der Stirlingschen Formel können wir diese ungefähr elementar einholen: Demnach wächst ! ungefähr so schnell wie . Diese Darstellung kann Ihnen nützliche Dienste erweisen, wenn Sie die Fakultätsfunktion gleichwertig abschätzen möchten.
Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen
Eine logarithmische Funktion können Sie sich als Exponentialfunktion mit vertauschten und Achsen vorstellen. Sie sehen diese Beziehung in Abbildung 1.8 verdeutlicht, wo und in einem Koordinatensystem dargestellt sind.
Abbildung 1.8: Die Graphen für und
Ein Beispiel: Es gilt und daher .
Sowohl Exponentialfunktionen als auch logarithmische Funktionen sind monoton.
Eine monotone Funktion, wenn man sie von links nach rechts betrachtet, steigt entweder innerhalb ihres gesamten Definitionsbereichs (monoton steigende Funktion), oder sie fällt innerhalb ihres gesamten Definitionsbereichs (monoton fallende Funktion).
Der für die Anwendungen wichtigste Logarithmus ist der zur Basis . In diesem Fall schreiben Sie kurz statt .
Eigenschaften der Logarithmusfunktion – es gelten:
für alle
und
für alle
und
und
für alle
für
und
für alle
mit
Der Logarithmus wächst jeweils ab einer bestimmten Stelle auf der
