Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies E-Book

Thoralf Räsch

• Herausgeber: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 667

Veröffentlichungsjahr: 2016

Beschreibung

Alle Naturwissenschaftler benötigen sie, kaum einer mag sie: die Mathematik. Aber Mathematik muss nicht dröge und schwer verständlich sein, manchmal kann sie sogar ein bisschen Spaß machen. Thoralf Räsch vermittelt Ihnen die Grundlagen, die alle Naturwissenschaftler benötigen: Algebra, Analysis, Differentiation, Integration, Lineare Algebra, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Anhand vieler Tipps und Praxisbeispiele lernen Sie, wie die erworbenen Kenntnisse in den Naturwissenschaften angewendet werden. Dieses Buch richtet sich an Studierende aller Naturwissenschaften - sowohl zum Lernen als auch zum Nachschlagen.

Leseprobe

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d‐nb.de abrufbar.

2., korrigierte Auflage 2016

© 2016 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

Original English language edition © 2003 (Calculus For Dummies), 2006 (Probability For Dummies), 2003 (Statistics For Dummies) by Wiley Publishing, Inc.

All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe © 2003 (Analysis für Dummies), 2006 (Wahrscheinlichkeitsrechnung für Dummies), 2003 (Statistik für Dummies) by Wiley Publishing, Inc.

Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies‐Mann‐Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: sumkinn/Shutterstock

Korrektur: Petra Heubach‐Erdmann

E-Book: Beltz Bad Langensalza GmbH, Bad Langensalza

Print ISBN: 978‐3‐527‐71259‐5

ePub ISBN: 978‐3‐527‐80360‐6

mobi ISBN: 978‐3‐527‐80361‐3

Über die Autoren

Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet dort Mathematik in den Bachelorstudiengängen der Mathematisch‐Naturwissenschaftlichen Fakultät. Zusätzlich hat er sich in den letzten zehn Jahren in verschiedenen Projekten für Schüler und Schülerinnen zunächst aus dem Berliner und schließlich dem Bonner Raum engagiert, in denen auf unterschiedlichem Niveau begeistert in die Welt der Mathematik eingeführt wird. Die Projekte sind inhaltlich verständlich und dabei unterhaltsam motivierend angelegt. Thoralf Räsch studierte Mathematik und Informatik an der Humboldt‐Universität zu Berlin und promovierte anschließend an der Universität Potsdam im Bereich der Mathematischen Logik.

Dr. Deborah Rumsey promovierte 1993 in Statistik an der Ohio State University. Nach ihrer Graduierung wechselte sie zum Department of Statistics der Kansas State University, wo sie den renommierten Presidential Teaching Award gewann. Im Jahr 2000 kehrte sie an die Ohio State University zurück und ist heute Mitglied des Department of Statistics. Deborah Rumsey war Mitglied des Statistics Education Executive Committee der American Statistical Association und Lektorin des Teaching‐Bits‐Abschnitts des Journal of Statistics Education. Ihre Forschungsinteressen liegen auf der Lehrplanentwicklung, der Weiterbildung und Unterstützung von Lehrern und auf immersiven Lernumgebungen.

Mark Ryan ist Absolvent der Brown University und der University of Wisconsin Law School sowie Mitglied des National Council of Teachers of Mathematics. Er lehrt seit 1989 Mathematik. Er leitet das Math Center in Winnetka, Illinois (www.themathcenter.com), wo er Kurse für höhere Mathematik gibt, wie unter anderem eine Einführung in die Analysis und einen Workshop für Eltern, der auf einem von ihm selbst entwickelten Programm basiert.

Danksagung

Vor allem danke ich der Mathematikerin Karen Seidel, die mich während der Erstellung der ersten Auflage dieses Buches mit vielen Ideen und rückenstärkendem Halt versorgt hat. Zusätzlich fabrizierte sie geduldig zahlreiche Abbildungsvorlagen in diesem Buch mit viel Geduld zu fabrizieren.

Ich danke darüber hinaus den Studierenden der Mathematik Julian Külshammer, Anika Markgraf und Melanie Schirmer, die sich neben ihrer dienstlichen Aufgabe als Übungsleiter mit Begeisterung in ihrer Freizeit ans Korrekturlesen gemacht haben. Viele kleine und große wichtige Details sind so ans Tageslicht gekommen, die das Lesen dieses Buches nicht mehr stören werden. Insbesondere danke ich der angehenden Mathematiklehrerin Christiane Langel für das geduldige und fleißige Durcharbeiten des Buches, sodass die aktuelle zweite Auflage noch runder und lesbarer geworden ist.

Mein Dank gilt auch den Studierenden des ersten Bachelorstudienjahres 2007/08 in der Informatik an der Universität Bonn, die ich ein Jahr lang mit meiner Vorlesung begleiten konnte und die mich zum Teil mit ihren Fragen inspirierten. Zum anderen beteiligten sie sich am Korrekturlesen in den für die Vorlesung im Vordergrund stehenden Kapiteln.

Des Weiteren möchte ich meinen Lektoren, Anne Jonas und Vanessa Schweiß, für die professionelle und unkomplizierte Unterstützung bei Umsetzung dieses Projektes, bis hin zur nun vorliegenden Auflage, danken.

Last but not least: Ich danke Klara und Benrich für die vielen kleinen inspirierenden Momente.

Inhaltsverzeichnis

Cover

Schummelseite

Titel

Impressum

Über den Autor

Einführung

Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen

Kapitel 1: Die Krabbelkiste der Mathematik

Logische Grundlagen

Zahlen und Fakten

Bruchrechnung überleben

Potenzen und Wurzeln

Einfache (Un‐)Gleichungen und Beträge auflösen

Kapitel 2: Mengen, Induktionen, Prozente und Zinsen

Alles über Mengen

Vollständige Induktion bezwingt die Unendlichkeit

Prozentrechnung für den Alltag

Zinsrechnung zum Verstehen

Kapitalwachstum: Zinseszins

Kapitel 3: Elementare Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit

Grundlegendes zu Funktionen

Grundlegende Funktionen

Bis an die Grenzen gehen

Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen

Einfache Grenzwerte auswerten

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten

Machen Sie eine Pause – mit einem Grenzwert‐Sandwich

Grenzwerte bei unendlich auswerten

Teil II: Differentiation – die Kunst des Ableitens

Kapitel 4: Idee und Regeln des Ableitens – was sein muss, muss sein

Erste Schritte des Ableitens

Grundlegende Regeln der Differentiation

Differentiationsregeln für Profis – Wir sind die Champs!

Implizite Differentiation

Logarithmische Differentiation

Differentiation von Umkehrfunktionen

Keine Angst vor höheren Ableitungen

Kapitel 5: Extrem‐, Wende‐ und Sattelpunkte

Ein Ausflug mit der Analysisgruppe

Lokale Extremwerte finden

Globale Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden

Die globalen Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich einer Funktion finden

Konvexität und Wendepunkte bestimmen

Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren

Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart!

Das nützliche Taylerpolynom

Die Regel von l'Hospital

Kapitel 6: Von Folgen und Reihen

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage!

Alternierende Reihen

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen

Teil III: Integration – Eine Kunst für sich

Kapitel 7: Integration: Die Rückwärts‐Differentiation

Flächenberechnung – eine Einführung

Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten

Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es?

Die müßige Flächenfunktion

Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differential‐ und Integralrechnung

Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen

Kapitel 8: Integration: Praktische Tricks für Profis

Partielle Integration: Teile und herrsche!

Integrale mit Sinus und Kosinus

Das ABC der Partialbrüche

Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale!

Teil IV: Lineare Algebra

Kapitel 9: Grundlagen der Vektorräume

Vektoren erleben

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum

Kapitel 10: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Arten von linearen Gleichungssystemen

Grafische Lösungsansätze für lineare Gleichungssysteme

Was sind eigentlich Matrizen?

Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Matrizen und lineare Abbildungen

Kapitel 11: Matrizen – Das Finale!

Matrizen und ihre Determinanten

Basistransformation

Eigenwerte und Eigenvektoren

Matrizen diagonalisieren

Drehungen und Spiegelungen

Kapitel 12: Nicht reell, aber real: Komplexe Zahlen

Teil V: Grundlagen der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 13: Das Handwerkszeug des Statistikers

Die Grundgesamtheit

Die Stichprobe

Die Zufallsstichprobe

Daten

Statistik

Das arithmetische Mittel – der Mittelwert

Der Median

Die Standardabweichung

Perzentil vs. Quantil

Der Standardwert

Die Normalverteilung

Schätzwerte

Der Zentrale Grenzwertsatz

Das Gesetz der großen Zahlen

Das Konfidenzintervall

Korrelation und Kausalzusammenhang

Kapitel 14: Von Mittelwerten, Quantilen und vertrauenswürdigen Zusammenhängen

Daten mit statistischen Größen beschreiben

Qualitative Daten beschreiben

Quantitative Daten beschreiben

Die Suche nach dem Zusammenhang: Korrelationen und ihre Koeffizienten

Kapitel 15: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Arten der Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitsregeln verstehen und anwenden

Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse

Einander ausschließende Ereignisse berücksichtigen

Unabhängige und einander ausschließende Ereignisse unterscheiden

Nützliche Zählregeln und Kombinatorik

Teil VI: Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 16: Wahrscheinlichkeiten darstellen: Venn‐Diagramme und der Satz von Bayes

Wahrscheinlichkeiten mit Venn‐Diagrammen darstellen

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen darstellen

Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes

Kapitel 17: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen

Die Verteilungsfunktion ermitteln und anwenden

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen

Kapitel 18: Die wunderbare Welt der Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Teil VII: Der Top‐Ten‐Teil

Kapitel 19: Zehn häufig gemachte Fehler im (Stochastik‐) Alltag

Vergessen, dass eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss

Kleine Wahrscheinlichkeiten fehlinterpretieren

Wahrscheinlichkeiten für kurzfristige Vorhersagen verwenden

Nicht glauben, dass 10‐22‐34‐42‐47‐48 gewinnen kann

An Glücksträhnen beim Würfeln glauben

Jeder Situation eine 50‐50‐Chance einräumen

Bedingte Wahrscheinlichkeiten verwechseln

Die falsche Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden

Die Voraussetzungen für ein Wahrscheinlichkeitsmodell nicht richtig prüfen

Unabhängigkeit von Ereignissen annehmen

Kapitel 20: Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses

Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung

Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen

Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften

Schauen Sie auch in die Bücher

Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben

Gruppenarbeit nicht ausnutzen

Lernen Sie nicht nur für die Klausur

Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher

Aus Fehlern lernen

Der eigene Kurs ist immer der wichtigste!

Tabellen geliebter Verteilungsfunktionen

Tabelle für die Binomialverteilung

Tabelle für die Normalverteilung

Tabelle für die Poissonverteilung

Stichwortverzeichnis

Eula

Einleitung

Ich freue mich und möchte Ihnen danken, dass Sie sich für dieses Buch entschieden haben – eine gute Wahl, wie ich finde. Dieses Buch vermittelt Ihnen die mathematischen Zusammenhänge, die Sie als angehender Naturwissenschaftler brauchen werden. Sie werden jetzt vielleicht sagen, dass ein Biologe und beispielsweise ein Physiker sehr unterschiedliche Herangehensweisen an die Mathematik benötigen. Stimmt. Aber was sie gemeinsam haben, sind die mathematischen Grundkonzepte und Grundideen.

Die mathematischen und praxisrelevanten Grundlagen brauchen in der Tat alle Naturwissenschaftler. Und diese finden Sie in diesem Buch, und das möglichst leicht verständlich mit vielen Beispielen – das war mein Ziel bei der Zusammenstellung der einzelnen Kapitel.

Über dieses Buch

Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies basiert im Bereich der Stochastik teilweise auf der Vorarbeit der Autorin Deborah Rumsey, Dozentin an der Ohio State University, und im Bereich der Analysis auf der des Autors Mark Ryan, Lehrer an einer Highschool und Leiter des Math Centers in Winnetka, Illinois. Ich habe beide Vorlagen an die hierzulande üblichen Studienthemen angepasst – inhaltlich geeignet durch zusätzliche Einschübe in Bezug auf die Interessen eines Naturwissenschaftlers erweitert bzw. wenn nötig gekürzt. Ich selbst ließ meine Lehrerfahrung an den Universitäten Bonn und Potsdam in den anderen Teilen des Buches einfließen, um Ihnen schließlich einen inhaltlich abgerundeten Streifzug durch den Dschungel der Mathematik bieten zu können, der Sie zu Ihrem persönlichen Erfolg bringen kann.

Ein leicht verständlicher Einstieg in die Mathematik anhand von Beispielen

Beispiele aus dem täglichen (mathematischen) Leben spielen eine wesentliche Rolle in diesem Buch. Sie erkennen die Beispiele im Text durch eine hervorgehobene Einleitung wie »Ein Beispiel« oder »Noch ein Beispiel« oder auch »Und noch ein Beispiel« und so weiter. In diesen Beispielrechnungen sehen Sie, wie Sie praktisch die theoretischen Zusammenhänge anwenden, und so sind Sie etwas besser vorbereitet, wenn Sie später konkrete Probleme lösen müssen.

Darüber hinaus finden Sie über das gesamte Buch verteilt immer mal wieder Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften, die Ihnen zeigen, wie man die jeweils gerade zu lernende Mathematik im praktischen Leben anwenden kann.

Dieses Buch ist für Studierende der Naturwissenschaften geschrieben, die Mathematik in ihrem Studium anwenden und so viel Mathematik verstehen müssen, dass sie sich später mit Mathematikern unterhalten können. Aber nicht alle Naturwissenschaftler sind gleich: Physiker brauchen in der Regel einen anderen Teil der Mathematik als beispielsweise Biologen – so benötigt ein Physiker tiefe Kenntnisse der Analysis, ein Biologe eher vertiefte Kenntnisse in der Statistik.

Aber in diesem Buch ist für jeden etwas dabei – ein leicht verständlicher Einstieg in die Mathematik anhand von Beispielen aus der Praxis eben.

Törichte Annahmen über den Leser

Oder anders ausgedrückt: Für wen ist dieses Buch geschrieben? Zunächst einmal haben Sie sich nicht vom Titel abschrecken lassen – weder von dem Wort »Mathematik« noch von »Dummie«. Ich bin stolz auf Sie, aber es gäbe auch keinen Grund!

Dieses Buch ist geschrieben für …

Schüler, die an Mathematik interessiert sind und erste Einblicke in die schillernde Welt der Mathematik bekommen möchten. Sie könnten auch ein Schüler sein, der einen Einblick in die Universitätsmathematik bekommen möchte.

Studenten, die Mathematik in ihrem Studienfach haben und ein wenig frustriert von der in der Veranstaltung angegebenen Literatur sind. Dieses Buch gibt Ihnen Ein‐ und Überblicke. Sie werden nicht genervt mit technischen Details. Sie finden praktische Hinweise und jede Menge Beispiele. Die mathematischen Begriffe werden erklärt und erläutert; insbesondere sehen Sie Querverbindungen und Zusammenhänge.

Interessierte Personen jeden Alters, die einfach die Grundlagen der Mathematik auffrischen möchten. Wie peinlich ist es für einen Elternteil, der seinem Kind nicht bei den Hausaufgaben helfen kann. (Gerade Väter können sich schließlich schlecht eingestehen, etwas nicht zu können.) Eltern möchten doch (fast) perfekt sein. In diesem Sinne: Zeigen Sie keine Blöße – wiederholen Sie mit diesem Buch die Prozentrechnung! Beeindrucken Sie Menschen, die es nicht von Ihnen erwarten, mit mathematischen Konzepten. Und nebenbei, sollte man sich nicht immer weiterbilden – vielleicht auch gerade mathematisch? So folgen Sie mir auf den Spuren einer der ältesten Wissenschaften …

Konventionen in diesem Buch

Es gibt nicht viele Regeln für dieses Buch, in die ich Sie vorher einführen müsste. Mir war beim Schreiben des Buches wichtig, dass Sie mit Spaß und einem Lächeln kompetent durch die Mathematik geführt werden. Mathematik kann nämlich Spaß machen und ist keineswegs so trocken, wie oftmals (fälschlicherweise) vermutet. Lassen Sie sich (ver)führen.

Ein paar Kleinigkeiten zur Darstellung: Ich werde Ihnen die Zusammenhänge mit der Praxis aufzeigen. Sie werden viele Beispiele vorgerechnet sehen. Manchmal bitte ich Sie, dies schnell einmal selbst durchzurechnen. Ich würde dies nicht als Übungsaufgaben verkaufen wollen, aber das selbstständige Üben ist in der Mathematik ein wesentlicher Bestandteil des Erlernens. Nutzen Sie die Chancen, wenn ich sie Ihnen gebe.

Die Symbole am Rand werden Ihnen helfen, schnell und übersichtlich die wichtigen Passagen zu erkennen. Neue Begriffe und Schlüsselwörter werden kursiv gesetzt. So haben Sie alles Wichtige immer schnell im Blick.

Nützliche Bezüge zur Praxis finden Sie in regelmäßigen Abständen in grauen Kästen. Diese dienen der Auflockerung – dort können Sie ein wenig aufatmen und verschnaufen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in sieben Teile plus einen Anhang geteilt. Die jeweiligen Teile sind in kleinere und handliche Portionen, die Kapitel, geteilt, so dass Sie den Stoff besser aufnehmen können. Die angegebenen Teile unterscheiden grundsätzlich vier mathematische Teilgebiete: Analysis, lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen

In diesem Teil geht es um den mathematischen Kindergarten. Ich zeige Ihnen die Grundrechenarten, erläutere noch einmal die Bruchrechnung und lüfte Geheimnisse rund um die Prozent‐ und Zinsrechnung. Anschließend können Sie die Grundlagen der mathematischen Logik und der Mengenlehre wiederholen.

Dann machen wir einen kleinen Sprung. Sie lernen, wie man mithilfe der vollständigen Induktion die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen bezwingen kann, und schließlich zeige ich Ihnen elementare Funktionen, die wir in späteren Kapiteln immer wieder zurate ziehen werden.

Teil II: Differentiation – die Kunst des Ableitens

Dies ist der erste Teil zur Analysis. Sie kümmern sich hier um das Finden von Steigungen von Funktionen in einem Punkt. Die sogenannte Ableitung einer Funktion in einem Punkt gibt an, wie steil die Funktion in diesem Punkt ist – eine wichtige Information bei Ihrer nächsten Bergwandertour.

Teil III: Integration – eine Kunst für sich

Dieser Teil behandelt das zweite große Thema der Analysis – die Integration. Sie beschäftigen sich beispielsweise mit dem Finden von Flächeninhalten, die durch die Graphen von Funktionen begrenzt werden. Sie werden lernen, wie man diese Methoden in der Praxis einsetzen kann, um beispielsweise das Volumen einer Weinflasche oder eines beliebigen anderen Drehkörpers zu bestimmen.

Teil IV: Lineare Algebra

Mein Vielleicht‐Lieblingsteil behandelt hauptsächlich das Lösen von Gleichungssystemen. Solche Systeme von Gleichungen spielen in der Praxis eine sehr wesentliche Rolle, wenn es darum geht, komplexe Systeme zu beschreiben. In der Schule haben Sie gelernt, wie man relativ leicht und schnell zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten in den Griff bekommt. Ich zeige Ihnen, wie Sie genauso einfach systematisch Systeme mit zehn Gleichungen und zehn Unbekannten lösen können, ohne daran zu verzweifeln. Diese Methoden und Herangehensweisen spielen in der Praxis eine wesentliche Rolle und funktionieren sogar für beliebig viele Gleichungen und Unbekannte.

Ein anderes wichtiges, aber auch mit Gleichungssystemen verwandtes Thema ist durch besonders schöne Funktionen, sogenannte lineare Abbildungen, gegeben. Diese beschreiben in der Praxis beispielsweise die Bewegungen eines Roboterarms in der Produktion. Ich zeige Ihnen, wie man diese Bewegungen möglichst effektiv darstellen und wie man damit rechnen kann.

Teil V: Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieser Teil führt Sie in die Welt der Stochastik ein. Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik umfasst. Ich zeige Ihnen, wie Sie überzeugende Statistiken des täglichen Lebens interpretieren, und vor allem, was Sie aus solchen herauslesen können und was eben nicht. Außerdem gebe ich Ihnen Tipps, wie Sie die Methoden der Statistik benutzen können, um Ihre Ergebnisse geschickt darzustellen – im positiven Sinne natürlich!

Teil VI: Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieser Teil setzt den vorhergehenden fort. Wir betrachten etwas weitergehende Methoden zur Beschreibung von praktischen Vorgehensweisen und nehmen die immer wieder auftauchenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen etwas genauer unter die Lupe.

Teil VII: Der Top‐Ten‐Teil

Dieser Teil besteht aus zwei Kapiteln. Im ersten zeige ich Ihnen zehn beliebte Fehler in der Stochastik. Glauben Sie mir, Sie werden überrascht sein, wie oft man sich im täglichen Leben einfach übers Ohr hauen lässt, da gewisse Behauptungen doch so wunderbar schlüssig erscheinen.

Das zweite Kapitel in diesem Teil gibt Ihnen zehn wirklich gut gemeinte Ratschläge, die Sie immer und besonders am Anfang eines Kurses beherzigen sollten. Diese Lebensweisheiten erzähle ich in jedem neuen Kurs und jedes Mal denke ich, dass es nicht nötig gewesen wäre. Dennoch gibt es immer wieder Fälle, die mir das Gegenteil beweisen. Lassen Sie sich unterhalten, doch nehmen Sie bitte die Ratschläge ernst.

Anhang

In diesem Abschnitt finden Sie drei wichtige Tabellen (über Wahrscheinlichkeitsverteilungen), die Sie in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung immer wieder benötigen.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Sie werden an vielen Stellen in diesem Buch Symbole am linken Rand einer Seite entdecken. Ich verwende vier verschiedene Symbole, um Ihre Aufmerksamkeit auf besonders wichtige Informationen zu lenken. Die Bedeutung dieser Symbole möchte ich Ihnen jetzt erläutern.

Dieses Symbol kennzeichnet wichtige Hinweise, Tipps und auch Ideen, die Ihnen das Leben in der mathematischen Welt erleichtern werden. Dies können Eselsbrücken oder praktische Vorgehensweisen sein. Manchmal finden Sie auch sehr einfache, aber dennoch wichtige Zusammenhänge zwischen einzelnen mathematischen Begriffen.

Dieses Symbol deutet auf Begriffserklärungen hin. Es werden auch mathematische Objekte genau angegeben – sie werden definiert. Manchmal finden Sie auch nachhaltig einzuprägende Ideen und Zusammenhänge. Sie werden dieses Symbol sehr häufig in diesem Buch finden.

Dieses Symbol weist auf eine beliebte Fehlerquelle hin. Verstehen Sie es wie ein Achtung‐Zeichen. In der Vorlesung würden Sie mich an solchen Stellen laut und deutlich sagen hören: Aufpassen! Konzentrieren Sie sich bitte an diesen Stellen besonders, um nicht ähnliche Fehler zu machen wie auch schon viele Generationen vor Ihnen. Lernen Sie auch aus den Fehlern anderer.

Dieses Symbol gibt Ihnen die Möglichkeit, einen Hauch der wahren Mathematik hinter den Konzepten zu spüren. Sie werden merken, dass Mathematik schnell technisch werden kann und wir gemeinsam viel Energie aufwenden müssten, um uns da durchzuarbeiten. In der Regel dienen die technischen Zusammenhänge hinter diesem Symbol als Zusatzinformation für den interessierten Leser. Wenn Sie dies nicht sofort verstehen, dann können Sie dennoch beruhigt weiterlesen, ohne den Anschluss verpasst zu haben.

Wie es weitergeht

Dieses Buch ist modular aufgebaut, das heißt, Sie können geschickt zwischen den einzelnen Themenbereichen springen, wenn Sie sich nur einen kleinen Überblick verschaffen möchten. Ich erkläre Ihnen aber kurz, welche Kapitel dennoch zusammenhängen.

In den ersten beiden Kapiteln können Sie noch einmal die mathematischen Grundlagen wiederholen, die Sie größtenteils aus der Schule kennen und (hoffentlich) lieben gelernt haben. Nutzen Sie ruhig noch einmal die Chance der Auffrischung. Sollten Sie sich aber noch fit fühlen, können Sie auch in Kapitel 3 einsteigen. Dort zeige ich Ihnen die ersten analytischen Zusammenhänge in Bezug auf elementare Funktionen.

In Kapitel 4 und 5 geht es ums Ableiten, in Kapitel 7 und 8 ums Integrieren. Beides können Sie unabhängig voneinander verstehen, wobei ich die vorgegebene Reihenfolge empfehlen möchte. Kapitel 6 gibt Ihnen einen Überblick über Folgen und Reihen mit all den hilfreichen Kriterien. Es ist relativ unabhängig von den restlichen Kapiteln aus den Teilen II und III, außer dass es ein oder zwei Kriterien gibt, die Methoden aus denselben anwenden. Grundsätzlich müssen Sie aber für dieses Kapitel kein Analysisexperte sein.

Die Kapitel 9, 10 und 11 bauen aufeinander auf. Sie entwickeln die lineare Algebra. Kapitel 12 ist eine Anwendung der Anfangskonzepte in Kapitel 9 und kann auch schnell getrennt von den restlichen Kapiteln durchgearbeitet werden. Komplexe Zahlen spielen in den Anwendungen der Mathematik eine wesentliche Rolle.

Kapitel 13 gibt Ihnen einen Überblick über die wichtigsten Hilfsmittel in der Statistik. Lesen Sie es, um einen Eindruck zu bekommen, worum es überhaupt geht. In den folgenden drei Kapiteln werden diese Begriffe und Darstellungsformen dann im Detail ausführlich und an vielen Beispielen erläutert.

Die Kapitel 17 und 18 führen Sie in die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein, die Sie benötigen, um die reale Welt mittels mathematischer Methoden nachzubilden. Dieser Prozess ist wichtig, denn nur wenn Sie wissen, was möglich ist, können Sie Probleme aus der Praxis richtig innerhalb der Mathematik modellieren und so zu einer Lösung kommen.

Es ist viel Stoff auf den folgenden Seiten untergebracht. Es gibt außer den hier behandelten Bereichen noch einiges andere in der Mathematik zu erleben. Einige algebraische und vor allem analytische, weiterführende mathematische Aspekte finden Sie in dem Buch Mathematik der Physik für Dummies. Dort zeige ich Ihnen über den Stoff des Ihnen gerade vorliegenden Buches hinausgehend, …

wie Skalarprodukte bis hin zum Gram‐Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Ihr Leben verändern könnten,

wie Sie mit Potenz‐ und Taylor‐, Laurent‐ und Fourierreihen umgehen,

wie Sie die Angst vor den grundlegenden Differentialgleichungen verlieren,

wie Sie Funktionen in mehreren Variablen differenzieren und integrieren können.

Mathematik lernt man durch selbstständiges Üben. Sie müssen selbst stolpern und danach tapfer wieder aufstehen. Nur durch das Lösen von Übungsaufgaben lernen Sie, Probleme zu lösen und Klippen zu umschiffen. In diesem Buch rechne ich Ihnen viele Beispiele vor und gebe Ihnen die Chance, dadurch das Gelernte anzuwenden. Echtes Stolpern erfahren Sie allerdings durch echte Übungsaufgaben, die Sie beispielsweise im Übungsbuch Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies finden. Nutzen Sie die Chance und stolpern Sie – ich helfe Ihnen wieder auf.

Aber starten wir am Anfang und lernen Sie, die Angst vor der Mathematik Schritt für Schritt zu verlieren – seien Sie gespannt und folgen Sie mir …

Teil I

Algebraische und analytische Grundlagen

In diesem Teil …

Im ersten Teil zeige ich Ihnen noch einmal die Grundlagen der Mathematik auf. Diese Grundlagen werden an Beispielen ausführlich erklärt, nur kurz genannt oder auch nur angerissen. Sie werden das meiste in diesem ersten Kapitel schon einmal gehört haben, werden aber feststellen, dass es Ihnen in der Regel Schwierigkeiten bereitet, die Aufgaben selbstständig zu lösen. Die Grundlagen der Grundlagen behandle ich im ersten Kapitel. Im zweiten Kapitel gebe ich Ihnen alles Wissenswerte über Mengenlehre, Prozent‐ und Zinsrechnung an die Hand. Im dritten Kapitel wiederhole ich mit Ihnen die wichtigsten, im Alltag auftauchenden Funktionen.

Kapitel 2

Mengen, Induktionen, Prozente und Zinsen

In diesem Kapitel

Mengenlehre im Supermarkt

Rechnen mit Mengen

Vollständige Induktion über den natürlichen Zahlen

Prozentrechnung verstehen

Zinsrechnung im Alltag

Dieses Kapitel können Sie als Fortführung der Einführung in die mathematischen Grundlagen ansehen. Mengenlehre kennen Sie vielleicht noch aus der Schule, Prozent‐ und Zinsrechnung sowieso. Nehmen Sie es leicht: Wenn Sie die Theorie noch im Kopf haben, werden Sie schnell durch diese Abschnitte kommen. (Und wenn nicht, lohnt es sich umso mehr.) Neu wird für Sie vielleicht das Prinzip der vollständigen Induktion sein. Dieses werden Sie immer wieder benötigen, so dass Sie darum nicht herumkommen. Bereit für die Mengenlehre?

Alles über Mengen

In der Mathematik spielt der Begriff der Menge eine wesentliche Rolle, ohne dass er sehr im Vordergrund steht. Die Mathematiker des 19. Jahrhunderts haben bemerkt, dass es immer wieder sprachliche Schwierigkeiten gibt, wenn man allzu sorglos mit den ganzen Begriffen innerhalb der Mathematik um sich wirft.

Mengen im Supermarkt?

So möchte man eine Menge umgangssprachlich einführen als Gesamtheit verschiedener Objekte mit einer gemeinsamen Eigenschaft. Also etwa die Menge der Leser dieses informativen Buches oder die Menge der Bäume im Schwarzwald oder eben auch die Menge der ganzen Zahlen, die gerade sind.

Allgemein gibt es also eine Grundgesamtheit von Objekten, von der Sie ausgehen können. Eine solche sollte natürlich immer hinreichend groß sein, damit dort auch alle Objekte zu finden sind, über die Sie sprechen möchten. Das kann also die Grundgesamtheit aller Objekte in unserem Universum sein (damit sind Sie auf der sicheren Seite, nur ist diese doch arg groß), oder etwas überschaubarer im Hinblick auf dieses Buch vielleicht nur die Grundgesamtheit der mathematischen Objekte (im Universum), oder noch besser, wenn Sie über Zahlen sprechen, vielleicht auch nur die Grundgesamtheit der Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft.

Sie werden sich fragen, worin nun die Schwierigkeit besteht. Ich werde es Ihnen erklären. Denken Sie einfach mit mir gemeinsam über das Konzept der Mengen nach.

Ein Beispiel: