Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies E-Book

Thoralf Räsch

• Herausgeber: Wiley-VCH GmbH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: ...für Dummies
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 842

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Mathematik muss nicht dröge und schwer verständlich sein, manchmal kann sie sogar ein bisschen Spaß machen. Thoralf Räsch vermittelt Ihnen die Grundlagen, die alle Naturwissenschaften benötigen: Algebra, Analysis, Differentiation, Integration, Differentialgleichungen, Lineare Algebra, Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Hypothesentests. Anhand vieler Tipps und Praxisbeispiele lernen Sie, wie die erworbenen Kenntnisse in den Naturwissenschaften angewendet werden. Dieses Buch richtet sich an Studierende aller Naturwissenschaften ? sowohl zum Lernen als auch zum Nachschlagen.

Leseprobe

Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies

Schummelseite

STRAHLENSÄTZE

SPEZIELLE PRODUKTE – BINOMISCHE FORMELN

Summe und Differenz:

Quadriertes Binom:

Kubisches Binom:

REGELN FÜR WURZELN

Wurzel eines Produkts:

Wurzel eines Quotienten:

Bruchexponent:

STANDARDGLEICHUNGEN FÜR KEGELSCHNITTE

Parabel:

Kreis:

Ellipse:

Hyperbel:

PERMUTATIONEN UND KOMBINATIONEN

Variation (mit Reihenfolge)

Kombination (ohne Reihenfolge)

Mit Wiederholung (mit Zurücklegen)

nk

Ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen)

QUADRAT-/MITTERNACHTSFORMEL

Wenn ax2 + bx + c = 0, so ist sofern a ≠ 0 und b2 ≥ 4ac.

KOORDINATENGEOMETRIE

Für zwei Punkte (x1, y1) und (x2, y2) gilt:

LOGARITHMUSREGELN

Äquivalenzen:

Logarithmus eines Produkts:

Logarithmus eines Quotienten:

Logarithmus einer Potenz:

Logarithmus eines Reziproks:

Logarithmus der Basis:

Logarithmus von 1:

log a1 = 0, ln 1 = 0

DIE WUNDERBARE TRIGONOMETRIETABELLE

Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks

H = Hypotenuse A = Ankathete

G = Gegenkathete

SUMME VON FOLGEN

Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen:

Summe der ersten n Quadratzahlen:

Summe der ersten n Kubikzahlen:

Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge:

Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge:

Summe aller Terme einer geometrischen Folge mit  | r |  < 1:

GRAD UND RADIANTEN/BOGENMAß

• 2π Radianten = 360°

• π Radianten = 180°

• Um von Radianten in Grad umzurechnen, multiplizieren Sie mit

• Um von Grad in Radianten umzurechnen, multiplizieren Sie mit

DIE NOCH WUNDERBARERE GEOMETRIETABELLE

Alle Dreiecke:

Kreis:

Fläche = πr2

Umfang = 2πr = πd

Parallelogramm:

Fläche = Grundlinie · Höhe

Gleichseitiges Dreieck:

Kugel:

Oberfläche = 4πr2

Trapez:

Rechtwinkliges Dreieck

Satz des Pythagoras:

a2 + b2 = c2

(c ist die Hypotenuse)

Kreisabschnitt:

(α = Winkel in der Mitte)

Kegel und Pyramide:

(A ist die Grundfläche.)

Gerader Kreiszylinder, gerades Prisma oder Quader:

Volumen = A · h (A ist die Fläche der Grundfläche.)

Seitenfläche = UG · Höhe (UG ist der Umfang der Grundfläche.)

TRIGONOMETRISCHE IDENTITÄTEN

Reziprokidentitäten:

Quotientenidentitäten:

Pythagoreische Identitäten:

sin 2α + cos 2α = 1

tan 2α + 1 = sec 2α

1 + cot 2α = csc 2α

Schwere Formeln:

Doppelwinkelformeln:

sin (2α) = 2sin α cos α

cos (2α) = 2cos 2α – 1

Reduktionsformeln:

sin (–α) = –sin α

cos (–α) = cos α

tan (–α) = –tan α

Formeln für die Summe von Winkeln:

cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

sin (α + β) = cos α · sin β + sin α · cos β

WICHTIGE GRENZWERTE FÜR N → ∞

DIE HANDLICHE ABLEITUNGSTABELLE

Produktregel:

Quotientenregel:

DIE NOCH HANDLICHERE INTEGRAL-TABELLE

für (n ≠ –1)

WAHRSCHEINLICHKEITSREGELN

Additionsregel:

Wenn A und B einander ausschließen:

Multiplikationsregel:

Wenn A und B unabhängig sind:

Komplementregel:

Wahrscheinlichkeitsdefinitionen

A und B schließen einander aus, wenn

A und B sind unabhängig, wenn P(A|B) = P(A) oder P(B|A) = P(B)

Wahrscheinlichkeitsgesetze

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit:

Satz von Bayes:

Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 2023

© 2023 Wiley-VCH GmbH, Boschstraße 12, 69469 Weinheim, Germany

Original English language edition © 2003 (Calculus For Dummies), 2006 (Probability For Dummies), 2003 (Statistics For Dummies) by Wiley Publishing, Inc. All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley and Sons, Inc.

Copyright der englischsprachigen Originalausgabe © 2003 (Calculus For Dummies), 2006 (Probability For Dummies), 2003 (Statistics For Dummies) by Wiley Publishing, Inc. Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. Diese Übersetzung wird mit Genehmigung von John Wiley and Sons, Inc. publiziert.

Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Coverfoto: Sashkin – stock.adobe.comKorrektur: Regine Freudenstein

Print ISBN: 978-3-527-72102-3ePub ISBN: 978-3-527-84309-1

Über die Autoren

Dr. Thoralf Räsch studierte Mathematik und Informatik an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte anschließend an der Universität Potsdam im Bereich der Mathematischen Logik. Zurzeit ist er Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und gleichsam Mitglied im Excellenzcluster Hausdorff-Center for Mathematics. Er unterrichtet seit knapp zwei Jahrzehnten Mathematik in verschiedenen Bachelorstudiengängen der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät. Außerdem engagiert er sich schon die gleiche Zeit in verschiedenen Projekten für Schüler und Schülerinnen zunächst aus dem Berliner und aktuell Bonner Raum, in denen er auf unterschiedlichem Niveau begeistert in die Welt der Mathematik einführt. Für seine Leistungen in der Lehre wurde er mit dem Preis für MINT-Lehrerbildung der Deutsche Telekom Stiftung sowie dem Lehrpreis der Universität Bonn ausgezeichnet.

Dr. Deborah Rumsey promovierte 1993 in Statistik an der Ohio State University. Nach ihrer Graduierung wechselte sie zum Department of Statistics der Kansas State University, wo sie den renommierten Presidential Teaching Award gewann. Im Jahr 2000 kehrte sie an die Ohio State University zurück und ist heute Mitglied des Department of Statistics. Deborah Rumsey war Mitglied des Statistics Education Executive Committee der American Statistical Association und Lektorin des Teaching-Bits-Abschnitts des Journal of Statistics Education. Ihre Forschungsinteressen liegen auf der Lehrplanentwicklung, der Weiterbildung und Unterstützung von Lehrern und auf immersiven Lernumgebungen.

Mark Ryan ist Absolvent der Brown University und der University of Wisconsin Law School sowie Mitglied des National Council of Teachers of Mathematics. Er lehrt seit 1989 Mathematik. Er leitet das Math Center in Winnetka, Illinois (www.themathcenter.com), wo er Kurse für höhere Mathematik gibt, wie unter anderem eine Einführung in die Analysis und einen Workshop für Eltern, der auf einem von ihm selbst entwickelten Programm basiert.

Danksagung

Ich habe schon viele Worte des Dankes geschrieben. Oft große Worte. Stets ernst gemeint. Alle waren anders. Diese auch. Es ist immer eine Momentaufnahme voller persönlicher Einblicke, ein Rückblick voller Demut und Dankbarkeit für verschiedenste Details, mal die großen und mal die noch wichtigeren ganz kleinen. Auch wenn man mir nachsagt, dass es sonst weniger meine Art ist, stimme ich in diesen Tagen in aller würzigen Kürze die eher ruhigen Töne an. Das mag auch daran liegen, dass in diesen Tagen des Finalisierens gerade besinnliche Weihnachtstage jeden Quell des Lauten verstummen lassen und es keine Zeit des großen Rampenlichtes ist. Vielleicht bin ich auch endlich etwas größer und ruhiger geworden – und damit ist es zumindest klar, es liegt an Weihnachten.

Ich danke allen Studierenden in all meinen Bachelorkursen in der Informatik, Physik und Mathematik auf Lehramt, mittlerweile in schon rund zwei Jahrzehnten, die mir jedes Semester doch so wichtig sind. Ohne sie würde ein solches Projekt ganz anders sein, viel unreflektierter und mit viel weniger persönlichen Bezug. Ich danke insbesondere und darüber hinaus besonders den besonderen Menschen, die mich auf meinem Weg begleitet haben und ihren Beitrag damit direkt oder indirekt geleistet haben: Gabriela Brüll, Julian Külshammer, Christiane Langel, Anika Markgraf, Peter Rosinsky, Melanie Schirmer und Karen Seidel, sowie in aller kollegialen Freundschaft: Joachim Gräter, Antje Kiesel und Michael Welter für all die kleinen Gespräche mit großen Denkanstößen. Ohne einen stabilen Verlagspartner geht es nicht und so danke ich meinen Lektorinnen in den drei Auflagen dieses Buches: Anne Jonas, Vanessa Schöner und Damaris Kriegs.

Und von Herzen, im Herzen, für Kattrin, Klara und Ben …

Orientierungspunkte

Cover

Titelblatt

Impressum

Über die Autoren

Einleitung

Inhaltsverzeichnis

Fangen Sie an zu lesen

A: Tabellen geliebter Verteilungsfunktionen

Abbildungsverzeichnis

Stichwortverzeichnis

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Einleitung

Ich freue mich und möchte Ihnen danken, dass Sie sich für dieses Buch entschieden haben – eine gute Wahl, wie ich finde. Dieses Buch vermittelt Ihnen die mathematischen Zusammenhänge, die Sie als angehende Naturwissenschaftlerin oder Naturwissenschaftler brauchen werden. Sie werden jetzt vielleicht sagen, dass man in der Biologie und beispielsweise in der Physik sehr unterschiedliche Herangehensweisen an die Mathematik benötigt. Stimmt. Aber was diese Fächer gemeinsam haben, sind die mathematischen Grundkonzepte und Grundideen.

Die mathematischen und praxisrelevanten Grundlagen brauchen in der Tat alle in den Naturwissenschaften. Und diese finden Sie in diesem Buch, und das möglichst leicht verständlich mit vielen Beispielen – das war mein Ziel bei der Zusammenstellung der einzelnen Kapitel.

Über dieses Buch

Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies basiert im Bereich der Stochastik in Teilen auf der Vorarbeit der Autorin Deborah Rumsey, Dozentin an der Ohio State University, und im Bereich der Analysis auf der des Autors Mark Ryan, Lehrer an einer Highschool und Leiter des Math Centers in Winnetka, Illinois. Ich habe beide Vorlagen an die hierzulande üblichen Studienthemen dieser Bereiche angepasst – inhaltlich geeignet durch zusätzliche Einschübe in Bezug auf die Interessen in der Naturwissenschaft erweitert bzw. wenn nötig gekürzt. So entstand aus den guten Manuskripten ein in sich stimmiger Text mit meiner Ansprache, ergänzt um die gänzlich neuen Anteile rund um das Gebiet der schönen Linearen Algreba. Im gesamten Buch ließ ich meine Lehrerfahrung an den Universitäten Bonn und Berlin/Potsdam in allen Teilen des Buches einfließen, um Ihnen schließlich einen inhaltlich abgerundeten Streifzug durch den Dschungel der Mathematik bieten zu können, der Sie zu Ihrem persönlichen Erfolg bringen kann.

Ein leicht verständlicher Einstieg in die Mathematik anhand von Beispielen

Beispiele aus dem täglichen (mathematischen) Leben spielen eine wesentliche Rolle in diesem Buch. Sie erkennen die Beispiele im Text durch eine hervorgehobene Einleitung wie »Ein Beispiel« oder »Noch ein Beispiel« oder auch »Und noch ein Beispiel« und so weiter. In diesen Beispielrechnungen sehen Sie, wie Sie praktisch die theoretischen Zusammenhänge anwenden, und so sind Sie etwas besser vorbereitet, wenn Sie später konkrete Probleme lösen müssen.

Darüber hinaus finden Sie über das gesamte Buch verteilt immer mal wieder Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften, die Ihnen zeigen, wie man die jeweils gerade zu lernende Mathematik im praktischen Leben anwenden kann.

Dieses Buch ist für Studierende der Naturwissenschaften geschrieben, die Mathematik in ihrem Studium anwenden und so viel Mathematik verstehen sollen, dass sie sich später mit Mathematikern unterhalten können. Aber nicht alle Naturwissenschaftler sind gleich: Physikerinnen brauchen in der Regel einen anderen Teil der Mathematik als beispielsweise Biologen, Chemikerinnen, Lebensmitteltechnologen – so benötigt ein Physiker tiefe Kenntnisse der Analysis, eine Biologin eher vertiefte Kenntnisse in der Statistik. Aber in diesem Buch ist für jeden etwas dabei – ein leicht verständlicher Einstieg in die Mathematik anhand von Beispielen aus der Praxis eben. Und alle brauchen grundsätzlich Details aus allen Bereichen.

Törichte Annahmen über den Leser

Oder anders ausgedrückt: Für wen ist dieses Buch geschrieben? Zunächst einmal haben Sie sich nicht vom Titel abschrecken lassen – weder von dem Wort »Mathematik« noch von »Dummie«. Ich bin stolz auf Sie, aber es gäbe auch keinen Grund!

Dieses Buch ist geschrieben für…

Schülerinnen und Schüler, die an Mathematik interessiert sind und erste Einblicke in die schillernde Welt der Mathematik bekommen möchten. Sie dürfen auch jemand sein, der einen Einblick in die Universitätsmathematik bekommen möchte.

Studierende, die Mathematik in ihrem Studienfach haben und ein wenig frustriert von der in der Veranstaltung angegebenen Literatur sind. Dieses Buch gibt Ihnen Ein- und Überblicke. Sie werden nicht genervt mit technischen Details. Sie finden praktische Hinweise und jede Menge Beispiele. Die mathematischen Begriffe werden erklärt und erläutert; insbesondere sehen Sie Querverbindungen und Zusammenhänge.

Interessierte Personen jeden Alters, die einfach die Grundlagen der Mathematik auffrischen möchten. Zeigen Sie keine Blöße – wiederholen Sie mit diesem Buch die Prozentrechnung! Beeindrucken Sie Menschen, die es nicht von Ihnen erwarten, mit mathematischen Konzepten. Und nebenbei, sollte man sich nicht immer weiterbilden – vielleicht und auch gerade mathematisch? So folgen Sie mir auf den Spuren einer der ältesten Wissenschaften …

Konventionen in diesem Buch

Es gibt nicht viele Regeln für dieses Buch, in die ich Sie vorher einführen müsste. Mir war beim Schreiben des Buches wichtig, dass Sie mit Spaß und einem Lächeln kompetent durch die Mathematik geführt werden. Mathematik kann nämlich Spaß machen und ist keineswegs so trocken, wie oftmals (fälschlicherweise) vermutet. Lassen Sie sich (mathematisch ver)führen.

Ein paar Kleinigkeiten zur Darstellung: Ich werde Ihnen die Zusammenhänge mit der Praxis aufzeigen. Sie werden viele Beispiele vorgerechnet sehen. Manchmal bitte ich Sie, dies schnell einmal selbst durchzurechnen. Ich würde dies nicht als Übungsaufgaben verkaufen wollen, aber das selbstständige Üben ist in der Mathematik ein wesentlicher Bestandteil des Erlernens. Nutzen Sie die Chancen, wenn ich sie Ihnen gebe.

Die Symbole am Rand werden Ihnen helfen, schnell und übersichtlich die wichtigen Passagen zu erkennen. Neue Begriffe und Schlüsselwörter werden kursiv gesetzt. So haben Sie alles Wichtige immer schnell im Blick.

Nützliche Bezüge zur Praxis finden Sie in regelmäßigen Abständen in grauen Kästen. Diese dienen der Auflockerung – dort können Sie ein wenig aufatmen und verschnaufen.

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Dieses Buch ist in sieben Teile plus einen Anhang geteilt. Die jeweiligen Teile sind in kleinere und handliche Portionen, die Kapitel, geteilt, so dass Sie den Stoff besser aufnehmen können. Die angegebenen Teile unterscheiden grundsätzlich vier mathematische Teilgebiete: Analysis, lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Teil I: Algebraische und analytische Grundlagen

In diesem Teil geht es um den mathematischen Kindergarten. Ich zeige Ihnen die Grundrechenarten, erläutere noch einmal die Bruchrechnung und lüfte Geheimnisse rund um die Prozent- und Zinsrechnung. Anschließend können Sie die Grundlagen der mathematischen Logik und der Mengenlehre wiederholen.

Dann machen wir einen kleinen Sprung. Sie lernen, wie man mithilfe der vollständigen Induktion die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen bezwingen kann, und schließlich zeige ich Ihnen elementare Funktionen, die wir in späteren Kapiteln immer wieder zurate ziehen werden.

Teil II: Differentiation – die Kunst des Ableitens

Dies ist der erste Teil zur Analysis. Sie kümmern sich hier um das Bestimmen von Steigungen von Funktionen in einem Punkt. Die sogenannte Ableitung einer Funktion in einem Punkt gibt an, wie steil die Funktion in diesem Punkt ist – eine wichtige Information bei Ihrer nächsten Bergwandertour.

Teil III: Integration – eine Kunst für sich

Dieser Teil behandelt das zweite große Thema der Analysis – die Integration. Sie beschäftigen sich beispielsweise mit dem Berechnen von Flächeninhalten, die durch die Graphen von Funktionen begrenzt werden. Sie werden lernen, wie man diese Methoden in der Praxis einsetzen kann, um beispielsweise das Volumen einer Weinflasche oder eines beliebigen anderen Drehkörpers zu bestimmen. Als Höhepunkt am Ende benutze ich Methoden aus dem Teil IV, um die Theorie der Integrale in eine neue Dimension zu bringen: Wir schauen uns Differentialgleichungen an.

Teil IV: Lineare Algebra

Mein Vielleicht-Lieblingsteil behandelt hauptsächlich das Lösen von Gleichungssystemen. Solche Systeme von Gleichungen spielen in der Praxis eine sehr wesentliche Rolle, wenn es darum geht, komplexe Systeme zu beschreiben. In der Schule haben Sie gelernt, wie man relativ leicht und schnell zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten in den Griff bekommt. Ich zeige Ihnen, wie Sie genauso einfach systematisch Systeme mit zehn Gleichungen und zehn Unbekannten lösen können, ohne daran zu verzweifeln. Diese Methoden und Herangehensweisen spielen in der Praxis eine wesentliche Rolle und funktionieren sogar für beliebig viele Gleichungen und Unbekannte.

Ein anderes wichtiges, aber auch mit Gleichungssystemen verwandtes Thema ist durch besonders schöne Funktionen, sogenannte lineare Abbildungen, gegeben. Diese beschreiben in der Praxis beispielsweise die Bewegungen eines Roboterarms in der Produktion. Ich zeige Ihnen, wie man diese Bewegungen möglichst effektiv darstellen und wie man damit rechnen kann.

Teil V: Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieser Teil führt Sie in die Welt der Stochastik ein. Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik umfasst. Ich zeige Ihnen, wie Sie überzeugende Statistiken des täglichen Lebens interpretieren, und vor allem, was Sie aus solchen herauslesen können und was eben nicht. Außerdem gebe ich Ihnen Tipps, wie Sie die Methoden der Statistik benutzen können, um Ihre Ergebnisse geschickt darzustellen – im positiven Sinne natürlich!

Teil VI: Fortgeschrittene Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieser Teil setzt den vorhergehenden fort. Wir betrachten etwas weitergehende Methoden zur Beschreibung von praktischen Vorgehensweisen und nehmen die immer wieder auftauchenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen etwas genauer unter die Lupe. Am Ende sind wir Profis und nutzen die gelernte Sprache, wie diese auch im Alltag immer mal wieder verwendet wird: Wir schauen uns Konfidenzintervalle und Hypothesentests an. Die Schwierigkeit hierbei liegt darin, die statistischen Methoden richtig anzuwenden, damit auch zuverlässige Ergebnisse daraus geschlossen werden können.

Teil VII: Der Top-Ten-Teil

Dieser Teil besteht aus zwei Kapiteln. Im ersten zeige ich Ihnen zehn beliebte Fehler in der Stochastik. Glauben Sie mir, Sie werden überrascht sein, wie oft man sich im täglichen Leben einfach übers Ohr hauen lässt, da gewisse Behauptungen doch so wunderbar schlüssig erscheinen.

Das zweite Kapitel in diesem Teil gibt Ihnen zehn wirklich gut gemeinte Ratschläge, die Sie immer und besonders am Anfang eines Kurses beherzigen sollten. Diese Lebensweisheiten erzähle ich in jedem neuen Kurs, und jedes Mal denke ich, dass es nicht nötig gewesen wäre. Dennoch gibt es immer wieder Fälle, die mir das Gegenteil beweisen. Lassen Sie sich unterhalten, doch nehmen Sie bitte die Ratschläge ernst.

Anhang

In diesem Abschnitt finden Sie drei wichtige Tabellen (über Wahrscheinlichkeitsverteilungen), die Sie in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung immer wieder benötigen.

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden

Sie werden an vielen Stellen in diesem Buch Symbole am linken Rand einer Seite entdecken. Ich verwende vier verschiedene Symbole, um Ihre Aufmerksamkeit auf besonders wichtige Informationen zu lenken. Die Bedeutung dieser Symbole möchte ich Ihnen jetzt erläutern.

Dieses Symbol kennzeichnet wichtige Hinweise, Tipps und auch Ideen, die Ihnen das Leben in der mathematischen Welt erleichtern werden. Dies können Eselsbrücken oder praktische Vorgehensweisen sein. Manchmal finden Sie auch sehr einfache, aber dennoch wichtige Zusammenhänge zwischen einzelnen mathematischen Begriffen.

Dieses Symbol deutet auf Begriffserklärungen hin. Es werden auch mathematische Objekte genau angegeben – sie werden definiert. Manchmal finden Sie auch nachhaltig einzuprägende Ideen und Zusammenhänge. Sie werden dieses Symbol sehr häufig in diesem Buch finden.

Dieses Symbol weist auf eine beliebte Fehlerquelle hin. Verstehen Sie es wie ein Achtung-Zeichen. In der Vorlesung würden Sie mich an solchen Stellen laut und deutlich sagen hören: Aufpassen! Konzentrieren Sie sich bitte an diesen Stellen besonders, um nicht ähnliche Fehler zu machen wie auch schon viele Generationen vor Ihnen. Lernen Sie auch aus den Fehlern anderer.

Dieses Symbol soll Sie aufhorchen lassen. Im Unterschied zum vorhergehenden Symbol zeige ich Ihnen hier vor allem typische Fallen, in die man tappen könnte und Sie bitte ab jetzt nicht mehr tappen sollen. Es gibt immer wiederkehrende Fehler, die man selbst nicht auch noch unbedingt machen muss, wenn man sich dessen bewusst ist.

Dieses Symbol gibt Ihnen die Möglichkeit, einen Hauch der wahren Mathematik hinter den Konzepten zu spüren. Sie werden merken, dass Mathematik schnell technisch werden kann und wir gemeinsam viel Energie aufwenden müssten, um uns da durchzuarbeiten. In der Regel dienen die technischen Zusammenhänge hinter diesem Symbol als Zusatzinformation für den interessierten Leser. Wenn Sie dies nicht sofort verstehen, dann können Sie dennoch beruhigt weiterlesen, ohne den Anschluss verpasst zu haben.

Wie es weitergeht

Dieses Buch ist modular aufgebaut, das heißt, Sie können geschickt zwischen den einzelnen Themenbereichen springen, wenn Sie sich nur einen kleinen Überblick verschaffen möchten. Ich erkläre Ihnen aber kurz, welche Kapitel dennoch zusammenhängen.

In den ersten beiden Kapiteln können Sie noch einmal die mathematischen Grundlagen wiederholen, die Sie größtenteils aus der Schule kennen und (hoffentlich) lieben gelernt haben. Nutzen Sie ruhig noch einmal die Chance der Auffrischung. Sollten Sie sich aber noch fit fühlen, können Sie auch in Kapitel 3 einsteigen. Dort zeige ich Ihnen die ersten analytischen Zusammenhänge in Bezug auf elementare Funktionen.

In Kapitel 4 und 5 geht es ums Ableiten, in Kapitel 7 und 8 ums Integrieren. Beides können Sie unabhängig voneinander verstehen, wobei ich die vorgegebene Reihenfolge empfehlen möchte. Kapitel 6 gibt Ihnen einen Überblick über Folgen und Reihen mit all den hilfreichen Kriterien. Es ist relativ unabhängig von den restlichen Kapiteln aus den Teilen II und III, außer dass es ein oder zwei Kriterien gibt, die Methoden aus denselben anwenden. Grundsätzlich müssen Sie aber für dieses Kapitel kein Analysisexperte sein. Für das Kapitel 9 benötigen Sie Methoden aus dem Teil IV, dennoch schließt es inhaltlich sofort an die Ideen der Kapitel 7 und 8 an.

Die Kapitel 10, 11 und 12 bauen aufeinander auf. Sie entwickeln die lineare Algebra. Kapitel 13 ist eine Anwendung der Anfangskonzepte in Kapitel 10 und kann auch schnell getrennt von den restlichen Kapiteln durchgearbeitet werden. Komplexe Zahlen spielen in den Anwendungen der Mathematik eine wesentliche Rolle.

Kapitel 14 gibt Ihnen einen Überblick über die wichtigsten Hilfsmittel in der Statistik. Lesen Sie es, um einen Eindruck zu bekommen, worum es überhaupt geht. In den folgenden drei Kapiteln werden diese Begriffe und Darstellungsformen dann im Detail und an vielen Beispielen erläutert.

Die Kapitel 18 und 19 führen Sie in die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein, die Sie benötigen, um die reale Welt mittels mathematischer Methoden nachzubilden. Dieser Prozess ist wichtig, denn nur wenn Sie wissen, was möglich ist, können Sie Probleme aus der Praxis richtig innerhalb der Mathematik modellieren und so zu einer Lösung kommen.

In Kapitel 20 lernen Sie schließlich Konfidenzintervalle und den Hypothesentest kennen. Beide Konzepte finden Sie regelmäßig in Funk und Presse. Sie lernen in diesem Kapitel hinter die Kulissen zu schauen und können danach auch Fehlbenutzungen enttarnen.

Es ist viel Stoff auf den folgenden Seiten untergebracht. Es gibt außer den hier behandelten Bereichen noch einiges andere in der Mathematik zu erleben. Einige algebraische und vor allem analytische, weiterführende mathematische Aspekte finden Sie in dem Buch Höhere Mathematik für Dummies. Dort zeige ich Ihnen über den Stoff des Ihnen gerade vorliegenden Buches hinausgehend, …

wie Skalarprodukte bis hin zum Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Ihr Leben verändern könnten,

wie Sie mit

Potenz

- und

Taylor-, Laurent

- und

Fourierreihen

umgehen,

wie Sie die Angst vor den grundlegenden Differentialgleichungen verlieren,

wie Sie Funktionen in

mehreren

Variablen

differenzieren

und

integrieren

können.

Mathematik lernt man durch selbstständiges Üben. Sie müssen selbst stolpern und danach tapfer wieder aufstehen. Nur durch das Lösen von Übungsaufgaben lernen Sie, Probleme zu lösen und Klippen zu umschiffen. In diesem Buch rechne ich Ihnen viele Beispiele vor und gebe Ihnen die Chance, dadurch das Gelernte anzuwenden. Echtes Stolpern erfahren Sie allerdings durch echte Übungsaufgaben, die Sie beispielsweise im Übungsbuch Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies finden. Nutzen Sie die Chance und stolpern Sie – ich helfe Ihnen wieder auf.

Aber starten wir am Anfang und lernen Sie, die Angst vor der Mathematik Schritt für Schritt zu verlieren – seien Sie gespannt und folgen Sie mir …

Teil I

Algebraische und analytische Grundlagen

IN DIESEM TEIL …

Grundlagen der Mathematik kennenlernen.Diese Grundlagen an Beispielen erklärt bekommen.Potentielle Schwierigkeiten beim selbstständigen Rechnen auflösen.Die Grundlagen der Grundlagen im ersten Kapitel finden.Alles Wissenswerte über Mengenlehre, Prozent- und Zinsrechnung lesen.Schließlich die wichtigsten, im Alltag auftauchenden Funktionen wiederholen.

Kapitel 1

Die Krabbelkiste der Mathematik

IN DIESEM KAPITEL

Logische Verknüpfungen und AussagenZahlbereiche unterscheiden könnenRechnen mit Brüchen, Potenzen und WurzelnGleichungen und Ungleichungen auflösenBetrags(un)gleichungen auflösen können

Ich habe lange überlegt, wie ich dieses Buch für Sie am besten starten kann. Der Start ist so wichtig, damit Sie motiviert die ersten Seiten lesen und auch noch Lust auf den Rest bekommen. Mathematik ist nicht einfach, ich mach Ihnen nichts vor. Gemeinsam können wir aber einen guten Schritt in Richtung Verständnis gehen. Was kann ich nun in diese Krabbelkiste hineinlegen? Es gibt viele mathematische Voraussetzungen, die so grundlegend sind, dass Sie jeder von Ihnen wissen sollte. Ich müsste Ihnen eigentlich nichts mehr über Bruchrechnung erzählen, aber ich möchte, dass Sie sicher im Umgang mit Brüchen sind. Prozentrechnung ist Bestandteil des täglichen Lebens – eine kurze Wiederholung schadet nicht. Gleichungen und Ungleichungen spielen in der Mathematik (und auch in den späteren Kapiteln) eine große Rolle. Ich setze diese Dinge ab Kapitel 2 voraus, lesen Sie bitte nicht darüber hinweg. Nehmen Sie sich Zeit für dieses erste Kapitel.

Logische Grundlagen

Die Mathematische Logik ist ein Grundbestandteil der Mathematik. Wenn Sie eine Mathematikerin sprechen hören, dann definiert sie Begriffe, die sie dann im Weiteren verwendet, insbesondere auch in mathematischen Aussagen, die sie behauptet und beweist. Dabei benutzt sie die Mathematik als eine Sprache, die ebenso Regeln der Rechtschreibung und Grammatik bedarf.

Wahre und falsche Aussagen

Eine solche Aussage kann sich hinreichend kompliziert gestalten und dieses Buch wimmelt von Aussagen, durch die ich Sie schrittweise führen werde. Die Aussagen, die ich hier in diesem Buch treffe, so behaupte ich jetzt hier, sind alle wahr, also nicht falsch. Und hier erkennen Sie eine der wesentlichen Eigenschaften von mathematischen Aussagen: Man kann ihnen einen sogenannten Wahrheitswert zuordnen, nämlich entweder »wahr« oder »falsch«. So ist die Aussage Sonntag ist ein Wochentag eine wahre Aussage.

Manchmal jedoch hängt dieser Wahrheitswert vom jeweiligen Auge des Betrachters ab. So ist die Aussage Sonntags arbeite ich nicht für die meisten Arbeitnehmer wahr, aber dennoch bin ich froh, dass der Bäcker meines Vertrauens mich jeden Sonntag mit frischen Brötchen versorgt. Für diese Angestellten ist die obige Aussage nicht immer wahr.

In der Mathematik werden Sie häufig sehen, dass viele Objekte mit Buchstaben, so genannten Variablen, abgekürzt werden. Dabei verwendet man fast alle Buchstaben, die man so finden kann – große und kleine, dabei jeweils lateinische (a, b, c, …) und griechische (α, β, γ, …), auch vor kyrillischen Buchstaben (а, б, в, …) scheut man sich natürlich nicht.

Aussagen verknüpfen

Im Folgenden verwende ich lateinische Großbuchstaben für Aussagen: A, B usw. Es gibt einfache Verknüpfungen zwischen Aussagen, die Sie immer wieder benötigen werden.

Bezeichnung

Symbole

Sprechweise

Negation

¬A

Nicht A

Konjunktion

A ∧ B

A und B

Disjunktion

A ∨ B

A oder B

Implikation

A → B

aus A folgt B

Äquivalenz

A ↔ B

A genau dann, dann, B

Tabelle 1.1: Die aussagenlogischen Verknüpfungen

Die

Negation

¬

A

ist wahr, wenn die Aussage

A

falsch ist, und umgekehrt.

Die

Konjunktion A

∧

B

ist wahr, wenn

beide

Teilaussagen

A

und

B

wahr sind, und falsch in allen anderen drei Fällen.

Die

Disjunktion A

∨

B

ist wahr, wenn

mindestens eine

Teilaussage

A

oder

B

wahr ist, und sie ist nur falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind.

Die

Implikation

ist eine einfache, aber dennoch meist verkannte Verknüpfung. Sie ist nur falsch, wenn aus der wahren Aussage

A

eine falsche Aussage

B

gefolgert wird, aber ansonsten wahr!

Die

Äquivalenz A

↔

B

besagt, dass die Aussage

A

den gleichen Wahrheitswert hat wie die Aussage

B

– das heißt, beide sind wahr oder beide sind falsch.

Einige Beispiele: Die Aussage 1 ≤ 2 bezeichnen wir jetzt mit A. Damit ist A eine wahre Aussage. Die Negation ¬A ist also die Aussage 1 > 2 und somit offenbar falsch. Zusammen mit den Aussagen B beziehungsweise C gegeben durch 1 · 1 = 2 beziehungsweise 1 + 1 = 2 ist die Aussage A ∧ B, also 1 ≤ 2 ∧ 1·1 = 2, falsch, da B eine falsche Aussage ist, aber A ∧ C, also 1 ≤ 2  ∧ 1 + 1 = 2, wahr, da sowohl A als auch C wahr sind. Weiterhin sind die Aussagen A ∨ B und A ∨ C, also 1 ≤ 2 ∨ 1 · 1 = 2 und 1 ≤ 2 ∨ 1 + 1 = 2 beide wahr, denn mindestens ein Bestandteil ist wahr.

Jetzt bitte aufpassen! Die Implikationen A → C und B → A, also 1 ≤ 2 → 1 + 1 = 2 und 1 · 1 = 2 → 1 ≤ 2, sind beide wahr, aber die Aussage A → B, also 1 ≤ 2 → 1 · 1 = 2, ist falsch! Dagegen ist die Aussage A ↔ C und auch A ↔ ¬B wahr, also 1 ≤ 2 ↔ 1 + 1 = 2 und 1 ≤ 2 ↔ 1 · 1 ≠2.

Insbesondere sehen Sie, dass die beiden Bedingungen links und rechts von einem (Doppel-) Pfeil nicht unbedingt etwas miteinander zu tun haben müssen. Machen Sie sich das wirklich klar. Das widerspricht unserem natürlichen Sprachverhalten, ist aber auch völlig ok, wenn man sich nur auf Wahrheitswerte konzentriert. So ist die Aussage »Wenn ich heute an diesem Buch schreibe, dann ist 42 keine Primzahl.« völlig korrekt, einfach nur, weil es zwei wahre Aussagen sind, wenn auch inhaltlich völlig unabhängige.

Zwei Aussagen sind logisch äquivalent, wenn sie unter allen Bedingungen den gleichen Wahrheitswert aufweisen. Folgende Äquivalenzen werden Ihnen das Leben erleichtern:

Die Aussage ¬¬A ist äquivalent zu A.Die Implikation A → B ist äquivalent zu ¬A ∨ B und ebenfalls zu ¬B →¬A.Die Äquivalenz A ↔ B ist äquivalent zu ¬A ↔ ¬B und vor allem auch zu (A → B) ∧ (B → A).Es ist ¬(A ∧ B) äquivalent zu ¬A ∨ ¬B.Es ist ¬(A ∨ B) äquivalent zu ¬A ∧ ¬B.

Ein Beispiel: Wenn Sie sich in den reellen Zahlen bewegen, dann ist die Aussage x2 = 4 äquivalent zu der Aussage x = –2 ∨ x = 2. Wenn Sie allerdings nur die natürlichen Zahlen betrachten, dann gibt es dort keine negativen Zahlen. Dann gilt sogar x2 = 4 ↔ x = 2, das heißt, Sie müssen immer genau wissen, über welche Zahlbereiche Ihre Variablen laufen. Wahrheit hängt also vom Kontext ab, auch in der Mathematik.

In mathematischen Aussagen kommen sehr häufig Äquivalenzen vor; meistens in der ausgeschriebenen Form: Es gilt genau dann A, wenn B gilt. Insbesondere stecken darin die beiden Implikationen Wenn A, dann auch B und Wenn B, dann auch A. Beachten Sie dies, wenn Sie den Wahrheitswert einer Äquivalenz überprüfen wollen, begründen Sie beide darin enthaltenen Implikationen.

Eine Implikation A → B sagt also nichts über B aus, wenn A falsch ist! Mein Lieblingsbeispiel ist das folgende: Wenn es morgen regnet, nehme ich meinen Schirm mit. Müssen Sie etwas im Sinne dieser Regeln tun, wenn morgen die Sonne scheint. Nein! Diese Implikation sagt nichts darüber aus, ob ich meinen Schirm mitnehme oder nicht, wenn morgen die Sonne scheint. Insbesondere verbietet mir diese Aussage es auch nicht, den Schirm beim Sonnenschein mitzunehmen. Ein solches Verbot hätte ich bei der Formulierung: Genau dann, wenn es morgen regnet, nehme ich meinen Schirm mit oder gleichbedeutend Ich nehme meinen Schirm genau dann mit, wenn es morgen regnet. Machen Sie sich den Unterschied zwischen einer Implikation und einer Äquivalenz klar! Es ist so wichtig, ganz genau und exakt in der Mathematik zu formulieren, auch und gerade beim Sprechen.

Quantoren in den Griff bekommen

Wenn Sie tiefer in die Mathematik einsteigen, kommen Sie an bestimmten Schreibweisen nicht vorbei. So werden häufig die sogenannten Quantoren und verwendet. Hierbei bedeutet das auf dem Kopf stehende »A« die Wortgruppe »für alle« und das gespiegelte »E« die Wortgruppe »es existiert«.

Ein Beispiel: Die Aussage über den reellen Zahlen besagt, dass das Quadrat einer beliebigen reellen Zahl nicht negativ ist. Dagegen besagt die Aussage dass es zu jedem x ein y gibt, so dass die Summe beider Variablen x + y gerade 0 ist.

Achten Sie immer auf die Reihenfolge von Quantoren, denn die Änderung derselben führt in der Regel zu einer nicht äquivalenten Aussage.

So ist es ein Unterschied, ob es zu jedem x ein y gibt oder ob es ein einziges y gibt, so dass für alle x eine Aussage gilt.

Ein Beispiel: Betrachten Sie die Aussage und über den reellen Zahlen. Die erste Aussage besagt, dass es zu jeder Zahl eine größere gibt – das ist sicherlich wahr. Die zweite dagegen behauptet, dass es eine Zahl gibt, so dass alle Zahlen größer sind als die vorgegebene – das ist mit Sicherheit falsch!

Zahlen und Fakten

Es gibt viele Gesetze, die ich nennen könnte, aber dies soll keine Formelsammlung werden. Stattdessen möchte ich vor allem auf die Schummelseiten vorn in diesem Buch verweisen, die wesentliche Fakten, Regeln und Gesetze enthalten. Ein paar Dinge bleiben aber noch zu erwähnen.

Die Zahlbereiche im Visier

Wenn Sie in der Grundschule rechnen gelernt haben, dann haben Sie angefangen, die Zahlen aufzuzählen als: 1, 2, 3, 4, … Nie konnten Sie ahnen, dass da noch etwas hinzukommen würde. Diese Zahlen werden natürliche Zahlen genannt und mit dem Symbol abgekürzt. Ehrlich gesagt zähle ich die 0 noch dazu, aber Sie finden genauso viele Bücher, in denen 0 eine natürliche Zahl ist, wie andere, in denen sie es nicht ist. Das ist reine mathematische Kosmetik. Unabhängig davon können Sie in den natürlichen Zahlen addieren und multiplizieren, aber nur eingeschränkt subtrahieren und fast gar nicht dividieren.

Wenn Sie die natürlichen Zahlen alle noch einmal kopieren, an der 0 spiegeln und vor jede dieser Kopien ein Minuszeichen schreiben, dann erhalten Sie die ganzen Zahlen, nämlich: …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …. Diese kürzen Sie mit ab. Im Unterschied zu den natürlichen Zahlen gibt es hier keine kleinste Zahl. Dafür können Sie weiterhin addieren, multiplizieren und sogar subtrahieren – nur dividieren ist immer noch kaum möglich.

Die rationalen Zahlen haben die Gestalt wobei p eine natürliche und q ≠ 0 eine ganze Zahl ist (oder p eine ganze und q ≠ 0 eine natürliche Zahl ist). Das sind die Brüche, die wir alle so lieben und die ich Ihnen im Abschnitt Bruchrechnung überleben weiter hinten in diesem Kapitel näherbringen werde. In diesem Zahlenbereich können Sie nun endlich addieren, multiplizieren, subtrahieren und dividieren, ohne aus diesem Bereich herauszukommen. Man spricht davon, dass diese Menge unter den Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division abgeschlossen ist. Dieser so tolle Zahlenbereich kürzen Sie mit ab.

Der Zahlbereich, der uns oft am meisten interessiert, ist die Menge der reellen Zahlen, abgekürzt mit : Auch hier können Sie addieren, multiplizieren, subtrahieren und dividieren. Ein wesentlicher Unterschied zu den rationalen Zahlen ist, dass Sie aus allen positiven Zahlen Wurzeln ziehen können. Das liegt unter anderem daran, dass die reellen Zahlen im Gegensatz zu den rationalen Zahlen vollständig sind – das bedeutet grob ausgedrückt, dass die rationalen Zahlen zwar sehr dicht gesät sind, aber erst durch die reellen Zahlen schließlich die Lücken gefüllt werden.