Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra II E-Book

Thoralf Räsch

• Herausgeber: Wiley-VCH
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Wiley Schnellkurs
• Sprache: Deutsch

Seitenzahl: 357

Veröffentlichungsjahr: 2015

Beschreibung

Bei etwas komplizierteren Fragestellungen kommen Sie oft mit den Grundlagen der Linearen Algebra nicht weiter. Hier hilft Ihnen dieses Buch. Thoralf Räsch erklärt Ihnen zu Beginn ganz knapp die Grundlagen, geht dann aber schnell weiter zu Koordinatentransformation, Eigenwerten und Eigenvektoren. Er erläutert zudem Determinanten von Matrizen, euklidische Vektorräume, Definiertheit von Matrizen und vieles mehr. Mit Übungsaufgaben samt Lösungen können Sie Ihr Wissen testen und festigen.

Leseprobe

Mit diesem Test können Sie versuchen einzuschätzen, wo Sie stehen. Ich habe exemplarisch eine Aufgabe pro Kapitel herausgesucht. Aber denken Sie daran, es handelt sich um eine exemplarische Auswahl ein Hineinschnuppern in die einzelnen Kapitel wird sich auf jeden Fall lohnen!

Wenn Sie nicht all diese Aufgaben in allen Finessen einfach so lösen konnten oder meine Lösungen nicht in allen Details verstanden haben, dann ist das Buch genau richtig für Sie.

Blättern Sie weiter und folgen Sie mir wir gehen es Schritt für Schritt gemeinsam durch ...

Thoralf Räsch

Wiley Schnellkurs Lineare Algebra II

Fachkorrektur von Dr. Regine Freudenstein

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;

detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2015

© 2015 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim

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Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form.

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Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Cover: Torge Stoffers Grafik-Design, Leipzig

Korrektur: Regine Freudenstein

Satz: inmedialo Digital- und Printmedien UG, Plankstadt

ePub ISBN: 978-3-527-69954-4

mobi ISBN: 978-3-527-69952-0

Print: ISBN: 978-3-527-53021-22

Über den Autor

Dr.Thoralf Räsch studierte Mathematik und Informatik an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte anschließend an der Universität Potsdam im Bereich der Mathematischen Logik. Zurzeit ist er Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet dort seit vielen Jahren Mathematik in verschiedenen Bachelorstudiengängen der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät. Außerdem engagiert er sich schon seit mehr als einem Jahrzehnt in verschiedenen Projekten für Schülerinnen und Schüler zunächst aus dem Berliner und später Bonner Raum, in denen auf unterschiedlichem Niveau begeisternd in die Welt der Mathematik eingeführt wird. Nicht zuletzt durch Erfahrungen in Kursen der Volkshochschule kennt er so die mathematischen Wünsche, aber auch die Ängste von Jung und Alt und zeigt in seinen Projekten, dass Mathematik auch Spaß bereiten kann. Diese Projekte und seine Bücher sind inhaltlich stets verständlich und unterhaltsam motivierend angelegt, um potentielle Ängste gegenüber der Mathematik abzubauen.

Danksagung

Das Buch basiert auf meinem Vorlesungsmanuskript zur Linearen Algebra, das in den letzten zehn Jahren stetig erweitert wurde. Daher bin ich dem Bonner Fachbereich Mathematik für die Möglichkeit dankbar, durch meine Lehre das Manuskript in Hinblick auf das im Buch angesprochene Zielpublikum immer weiter optimieren zu können: Dies sind vor allem Studierende der Physik, Informatik und des Lehramts Mathematik samt der eingebauten Anwendungen für Studierende der Naturwissenschaften und Ingenieurswissenschaften. Dies alles zeichnet nun dankenswerterweise beide Schnellkursbücher Lineare Algebra und Lineare Algebra II aus.

Ich danke insbesondere allen meinen Studierenden der letzten Jahre, die mich mit ihren hilfreichen Fragen und Kommentaren enorm inspirierten und so viele Details ins Buch einfließen ließen. Nicht weniger danke ich meinen Kolleginnen und Kollegen, die direkt oder auch nur indirekt Passagen des Manuskriptes gewinnbringend beeinflußten; exemplarisch möchte ich hier die sehr geschätzten Herren Kollegen Joachim Gräter, Peter Koepke und Michael Welter nennen.

Weiterhin danke ich der Lehramtsstudentin Christiane Langel, vor allem für ihre überdurchschnittlich professionelle und detailverliebte penible Umsetzung meiner Abbildungswünsche sowie für das Korrekturlesen eines Großteils des Buches. Vor allem das tapfere Durcharbeiten meiner Lösungen im letzten Kapitel hat sie viel Kraft gekostet. Ihre unermütliche Zuarbeit trägt im besonderen Maße zur Qualität und dem Lesevergnügen des Buches bei.

Ich danke darüber hinaus den drei Lehramtstudierenden Roman Kiriljuk, Jessica Rolauf und Britta Schmidt meiner Kurse aus den Jahren 2013/14 für das enorm nützliche Korrekturlesen jeweils des gesamten Buches. Sie alle haben dankenswerterweise und durch ihre Korrekturen in Quantität und Qualität unglaublich dazu beigetragen, dass viele mögliche Problemstellen erst gar nicht problematisch wurden, sondern bereits im Keim erstickt werden konnten. Ihre sehr fleißig erstellten und in ihrer Genauigkeit mich immer wieder beeindruckenden Anmerkungen halfen mir darüber hinaus, den Lesefluss noch einmal zu verbessern.

Nicht zu vergessen mögen die lieben Menschen sein, die bereits im Vorfeld das Vorlesungsskript positiv beeinflusst haben. An dieser Stelle danke ich für ihren jeweiligen besonderen Einsatz den drei Mathematikern Anika Markgraf-Smith, Angel Koutev und Robert Kucharczyk sowie den folgenden (damaligen) Studierenden: Lea Krüger, Cina Razzaghi, Roman Schmitz, Ruben Sparka, Anja Stein, Martin Üding und Frank Zickenheiner.

Des Weiteren möchte ich auch einmal mehr bei diesem Projekt meinem Lektor, Herrn Marcel Ferner, für die professionelle, hilfreiche und sehr angenehme Unterstützung bei der Umsetzung dieses Projektes danken.

Last but not least: Ich danke den Dreien in der Vier für die letzten fünf schönen Jahre.

Th.R.

Inhaltsverzeichnis

Über den Autor

Danksagung

Einleitung

Was Sie schon immer über lineare Algebra wissen wollten

Meine Leser

Ziel des Buches

Nötiges Vorwissen

Was bedeutet was

Nur Mut zum Stolpern

1 Schnellkurs Lineare Algebrawas bisher geschah...

2 Koordinatentransformation bei Basiswechselund darstellende Matrizen

Erste Schritte der Koordinatentransformation

Transformationsmatrizen für einen Basiswechsel

Darstellende Matrizen von linearen Abbildungen bezüglich beliebiger Basen

Darstellende Matrizen über Transformationsmatrizen generieren

3 Auf der Suche nach einfachen darstellendenMatrizen

Die scheinbar perfekte allgemeine Darstellung in Diagonalgestalt

Darstellende Matrizen von Endomorphismen

Erster Darstellungsversuch einer Spiegelung in der Ebene

Zweiter Darstellungsversuch einer Spiegelung in der Ebene

4 Eigenwerte und Eigenvektoren verstehen

Grundlegende Begriffe der Eigenwertheorie

Eigenwerte und Eigenvektoren an bekannten Beispielen

Berechnung von Eigenvektoren bei gegebenen Eigenwerten

Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren

Vorläufige Strategie des Diagonalisierens

5 Determinanten von Matrizen

Motivation für Determinanten: Eigenwerte bei

(2

×

2)

-Matrizen

Determinanten von Matrizen berechnen

Determinanten und Gaußscher Algorithmus

Praktisch Determinanten berechnen

Die wichtigsten Sätze über Determinanten

Die Cramersche Regel

Determinanten und Volumina

6 Charakteristische Polynome undDiagonalisierbarkeit

Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Ein erstes Beispiel des Diagonalisierens

Der finale Algorithmus des Diagonalisierens

Vielfachheiten eines Eigenwertes  algebraisch und geometrisch

7 Diagonalisieren an praktischen Beispielen

Das MEGA-Beispiel oder was alles passieren kann

Folgerungen aus dem MEGA-Beispiel

Diagonalisieren einer Matrix mit Parametern

Diagonalisieren als Anwendung bei den Fibonacci Zahlen

Ausblick Hauptachsentransformation einer Quadrik

8 Euklidische Vektorräume  Vektoren vermessen

Geometrische Begriffe in der reellen Ebene

Allgemeine Skalarprodukte

Normen als Begriff der Länge

Orthogonalität von Vektoren

9 Orthonormalsysteme undOrthonormalisierungsverfahren

Orthonormalsysteme schätzen lernen

Die Entwicklungsformel für Linearkombinationen

Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Orthonormieren über nicht-triviale Skalarprodukte

10 Orthogonale Zerlegungen und orthogonaleAbbildungen

Orthogonale Zerlegungen und Projektionen

Orthogonale Abbildungen

Orthogonale Matrizen und die orthogonale Gruppe

11 Über selbstadjungierte Endomorphismenund reell-symmetrische Matrizen

Selbstadjungierte Endomorphismen verstehen

Hauptachsentransformation mittels des Spektralsatzes

Definitheit von Matrizen

Anwendung der Definitheit

12 Trigonalisierung von Matrizen  die alternative Form

Grundlagen des Verfahrens

Trigonalisierung am praktischen Beispiel

Algorithmus des Trigonalisierens ohne Gedanken über Hintergründe

13 Die Jordansche Normalform  die Königsklasse der Darstellungsformen

Erste Gedanken zur Jordanschen Normalform

Wie die Jordansche Normalform aufgebaut ist und funktioniert

Mit Jordanketten zum Ziel

Anwendung der Jordanschen Normalform bei Differentialgleichungen

14 Hinter die Kulissen der JordanschenNormalform sehen

Minimalpolynome bestimmen und verarbeiten können

Vorbereitungen auf dem Weg zur Jordanschen Normalform

Größe der Jordankästchen analysieren lernen

Bestimmung der zur Jordanform passenden Jordanbasis

15 Die Jordansche Normalform für praktischeBeispiele bestimmen

Beispiel 1: Jeweils nur ein Jordankästchen

Beispiel 2: Zwei einfache Jordankästchen zum gleichen Eigenwert

Beispiel 3: Zwei nicht-triviale Jordankästchen zum gleichen Eigenwert

16 Lösungen zu den Aufgaben

Glossar

Index

Einleitung

Schön, dass Sie sich (wieder) für lineare Algebra interessieren.

Lassen Sie mich Ihnen kurz die Spielregeln erläutern, damit Sie wissen, worauf Sie sich einlassen. Keine Angst ich bin auf Ihrer Seite!

Was Sie schon immer über lineare Algebra wissen wollten

Im ersten Teil des Buches Schnellkurs Lineare Algebra habe ich Ihnen die drei Welten der linearen Gleichungssysteme, der linearen Abbildungen und auch die der Matrizen mit all ihren Details näher gebracht. Sind Sie nun bereit für den nächsten Schritt und möchten endlich Koordinaten von Vektoren von einer Basis in eine andere transformieren? Sehr gut.

Ich zeige Ihnen weiterhin, wie Sie Darstellungen von linearen Abbildungen in Matrizenform zu beliebigen Basen aufstellen können. Auf der Suche nach der perfekten Darstellungsart beschäftigen wir uns mit der Eigenwerttheorie, die unter anderem die Hauptachsentransformation und Diagonalisierung nach sich zieht. Wir sprechen viele Beispiele zu diesen Themen durch. Anschließend lernen Sie, in allgemeinen Vektorräumen Längen und Winkel zu messen. Dies wird zu Orthonormalsystemen und dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren führen. Aber damit nicht genug. Schließlich zeige ich Ihnen Varianten der Diagonalisierung: Wir trigonalisieren! Und danach wird die Königsklasse aller Darstellungsformen betrachtet: die Jordansche Normalform. Alles langsam und anhand zahlreicher Beispiele. Seien Sie gespannt!

Meine Leser

Das Buch führt Sie tiefer in die Welt der linearen Algebra ein. Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das so grundlegend ist, dass es Stoff fast jedes Studiums mit mathematischen Bereichen ist: Sei es im Bachelorstudium des Faches Mathematik selbst oder in Kursen für Mathematiklehrämtler, aber eben auch in den Studienkursen für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschafts- und Geowissenschaftler, Ernährungs- und Lebensmittelwissenschaftler und viele andere mehr.

Das Buch bietet keine Nachhilfestunde für einführende Kurse in der Schule. Es hilft Ihnen, die ersten Semester Ihres Mathematikanteils zu überleben. Beachten Sie aber dabei, dass es inhaltlich die Fortsetzung des ersten Buches Schnellkurs Lineare Algebra darstellt und somit die dort erlernten Bereiche voraussetzt. Mehr dazu im ersten Kapitel.

Die typische potentielle Leserin ist also Studentin in einem solchen, gerade beschriebenen Studiengang. Das Lesen dieses Buches möge Ihnen trotz kommender Schweißtropfen Spaß bereiten. Vielleicht möchten Sie Ihr Wissen in linearer Algebra auffrischen? Vielleicht möchten Sie als Vorgeschmack in diese Themen hineinschnuppern? Hauptsache ist, dass Sie motiviert und mit Spaß an das Buch herangehen.

Glauben Sie mir, es wird Übungsaufgaben geben, an denen Sie kurzzeitig fast verzweifeln werden. Es wird frustrierend sein. Sehr gut, denn dann sind Sie gerade dabei, etwas zu verstehen. Nur weiter so und durchhalten! Schaffen Sie es, dann belohnen Sie sich ganz alleine mit ihrem mathematischen Durchbruch. So lernt man Mathematik, eben auch die lineare Algebra. Dann macht es auch Spaß und Sie möchten weiterlesen. Dürfen Sie sehr gern, also los!

Ziel des Buches

Ich zeige Ihnen im Wesentlichen, was Sie alles mithilfe des erlernten Wissens über lineare Gleichungssysteme, lineare Abbildungen und Matrizen aus dem ersten Schnellkurs nun darüber hinaus in der linearen Algebra anstellen können. Wir steigen tiefer in die Materie ein, lernen Eigenwerte und Eigenvektoren kennen, diagonalisieren und trigonalisieren Matrizen und durchleuchten schließlich die Jordansche Normalform. Nebenbei (ver)messen wir Vektoren in allgemeinen Vektorräumen und lernen so Skalarprodukte und Orthonormalsysteme zu schätzen. Das alles lernen Sie hier in diesem Buch. Und auch das ist echte und echt spannende Mathematik.

Nötiges Vorwissen

Ich setze in diesem Buch ganz klar das Wissen aus dem ersten Buch Schnellkurs Lineare Algebra voraus. Das Buch soll Sie an dieser Stelle noch weiter und tiefer in die Welt der linearen Algebra einführen. Wie immer sollten Sie eine gewisse Grundvertrautheit mit der Mathematik mitbringen. Sie sollten keine Angst vor mathematischen Grundbegriffen haben, wohl aber den nötigen Respekt vor den Themen, um nach Hintergründen zu fragen. Glauben Sie nicht an mathematische Aussagen fragen Sie nach Beweisen!

Was bedeutet was

Der Text ist (relativ) leicht lesbar geschrieben. Die mathematischen Inhalte habe ich in kleine Häppchen verpackt, so dass sie (fast) leicht verdaulich sind. Neue Begriffe habe ich zur besseren Sichtbarkeit in Fettdruck gesetzt. Die außerdem noch sichtbaren kursiven Worte sollen bestimmte Passagen in eine von mir gewünschte Richtung betonen.

Tipp

Hier erhalten Sie Tipps, manchmal Eselsbrücken und ebenso nützliche Aussagen zum jeweiligen Thema. Manchmal sind es auch nur einfache Aussagen, die ich Ihnen nicht vorenthalten möchte, aber dennoch nicht weiter begründen oder gar beweisen werde.

Satz

Unter einem Satz versteht der Mathematiker eine mathematische Aussage oder Formel, die Ihnen in ihrer Anwendung das Leben einfacher gestaltet. Es werden Zusammenhänge zwischen Begriffen geklärt oder Behauptungen aufgestellt. Solche Aussagen verlangen einen Nachweis, einen so genannten mathematischen Beweis, den ich auch direkt nach dem Satz gebe. Ein solcher Beweis wird mit dem Endesymbol abgeschlossen.

Definition

Bei diesen Passagen müssen Sie sich besonders konzentrieren. Hier verstecken sich Begriffe, die geklärt werden müssen oder manchmal einfach nur falsch verstanden werden könnten. Eine solche Begriffsklärung und -festlegung erleichtert das Weiterlesen.

Beispiel 1.1

In diesem Buch wird es viele Beispiele und Anwendungen der Theorie geben. Manchmal scheinbar noch immer theoretischer Art, manchmal vollkommen aus der Praxis genommen. Rechnungen hinter diesem Symbol sind in der Regel besondere Beispiele, die das Gelernte noch ergänzen oder Ihnen näher bringen mögen.

Nur Mut zum Stolpern

Sie interessieren sich noch immer für dieses Buch? Sehr gut! Das freut mich. Dann können wir ja langsam mit der Mathematik beginnen.

Bedenken Sie, ich führe Sie immer tiefer in die Materie ein. Ich leite den Weg, halte Ihre Hand, wenn Ihnen das hilft. Aber ich brauche Ihre Mithilfe, man lernt Mathematik nur dann, wenn man selbst stolpert! Also nur Mut zum Stolpern. Der entstehende Frust wird auch wie im realen Leben wieder vergehen. Haben Sie eine (mathematische) Hürde gemeistert, werden Sie nicht mehr über (virtuelle) blaue Flecken jammern, sondern stolz auf sich sein und Mut für weitere Hürden geschöpft haben.

Wenn Sie nicht ab und zu stolpern, etwas stocken oder nicht weiter wissen, dann lassen Sie sich nicht tief genug auf den Stoff ein. Dieser ist nämlich nicht so leicht. Auch wenn ich dies manchmal behaupten werde, Sie müssen echt arbeiten, um hier durchzukommen.

Also stolpen Sie! Wie? Übungsaufgaben sind das Stichwort. Ich habe im gesamten Buch jede Menge davon ans Ende eines Kapitels gesetzt. Nutzen Sie die Chance und versuchen Sie es. Erst wenn Sie selbst Probleme lösen, werden Sie die Probleme und Strategien wirklich verinnerlichen. Erst dann werden Sie die Finessen verstehen und sehen, warum Mathematiker die jeweiligen Wege gegangen sind.

Mathematik lernt sich nicht, indem Sie das Buch wie einen Roman lesen. Üben Sie, hinterfragen Sie, beweisen Sie, lösen Sie die Aufgaben. Das ist frustrierend? Ja, genau. Und das gehört dazu. Starten Sie mit dem Einstiegstest und testen Sie, wo Sie stehen.

1Schnellkurs Lineare Algebrawas bisher geschah...

In diesem Kapitel

Sich der Inhalte aus dem ersten Teil des Schnellkurses erinnern

Lücken erkennen und im Vorfeld beseitigen

Gestärkt mit Volldampf in diesen zweiten Teil hineingehen

Es freut mich, dass Sie noch mehr über lineare Algebra lernen möchten. Sie haben im Titel lesen können und ich hoffe, ich erschrecke Sie jetzt dabei nicht , dass es sich bei diesem Buch um einen zweiten Teil handelt. Es handelt sich um die inhaltliche Fortsetzung des ersten Teils:

Schnellkurs Lineare Algebra.

Das bedeutet zum einen, dass dieses Buch zwar erneut modular geschrieben wurde, so dass Sie hin- und herblättern können und ich Sie sogar dazu verstärkt ermutigen möchte. Das bedeutet aber auf der anderen Seite eben auch, dass ich inhaltlich das Wissen aus dem ersten Teil voraussetzen werde und auch nicht darum herum komme. Dafür ist dort bereits (thematisch) sehr viel passiert.